Análise de Sistemas Vibratórios
Vibrações e Ruído (10375)
2016
Pedro V. Gamboa Departamento de Ciências Aeroespaciais
Faculdade de Engenharia
Universidade da Beira Interior
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Tópicos
• Sistemas com um grau de liberdade.
• Sistemas com n graus de liberdade.
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1. Sistemas com Um DOF 1.1. Equação de movimento
Considere-se o sistema mecânico da figura sem amortecimento
(sistema conservativo) e com apenas 1 grau de liberdade (DOF).
dST traduz a deformação estática da mola devido ao peso da
massa M (a partir da posição 0’).
O deslocamento x(t) da massa M é medido a partir da posição de
equilíbrio estático 0.
dST
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1. Sistemas com Um DOF 1.1. Equação de movimento
Se a massa for afastada da posição de equilíbrio e a seguir
abandonada, a energia mecânica total do sistema é equivalente
à soma das energias cinética e potencial.
Como o sistema é conservativo:
A energia cinética deve-se à velocidade da massa:
A energia potencial do sistema resulta da combinação da energia
de deformação da mola com a devida mudança de posição da
massa.
(53) 0constante UTdt
dUT
(54) 2
2
1xmT
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1. Sistemas com Um DOF 1.1. Equação de movimento
Assim, a nergia potencial fica:
Substituindo (54) e (55) em (53), obtém-se
Uma vez que a velocidade x não pode ser nula, já que há
movimento do sistema ao longo do tempo, então a condição para
a expressão anterior se anular será:
(55)
2
0
0
2
1
molanatotalforça
kxmgxdxkxmg
dxU
x
x
(56) 02
1
2
1 22
xkxxmkxxm
dt
d
(57) 0
0
xm
kx
kxxm
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1. Sistemas com Um DOF 1.1. Equação de movimento
Considerando que, na equação (57), k/m representa o quadrado
da frequência (circular) natural do sistema, wn, então:
A eq. (58) é a equação do movimento de um sistema não
amortecido.
No entanto, este sistema não traduz os sistemas físicos reais,
havendo necessidade de se contabilizar as forças dissipativas (ou
amortecimento).
Na maior parte dos casos, há ainda que considerar o efeito de
uma perturbação externa ao sistema.
(58) 02 xx nw
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1. Sistemas com Um DOF 1.1. Equação de movimento
Considere-se, pois, o modelo da figura abaixo, representativo de
um sistema com 1 DOF com amortecimento e sujeito à ação de
uma força exterior variável no tempo.
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1. Sistemas com Um DOF 1.1. Equação de movimento
Neste caso, as forças que atuam na massa M são:
• A força da gravidade, mg=constante;
• A força da mola, k(x+dST), oposta ao deslocamento;
• A força do amortecimento, cx;
• A força perturbadora, F(t).
Recorrendo à segunda lei de Newton podemos escrever
Desenvolvendo a expressão anterior, podemos escrever
(59) xmx
forças
tFxcxkmgxm ST d
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1. Sistemas com Um DOF 1.1. Equação de movimento
Uma vez que a posição x é medida a partir da posição de
equilíbrio, tem-se
e, então, a equação de movimento fica
sendo as forças de inércia, as forças dissipativas e as
forças elásticas.
Esta equação traduz o movimento dos sistemas sob a forma de
uma vibração forçada causada por uma excitação externa F(t).
(60) tFkxxcxm
STkmg d
kxxcxm
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1. Sistemas com Um DOF 1.1. Equação de movimento
No caso particular de F(t)=0, tem-se
Neste caso, o movimento do sistema denomina-se vibração livre.
(61) 0 kxxcxm
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1. Sistemas com Um DOF 1.2. Vibração não amortecida
Como vimos, no caso de não existir amortecimento, o
movimento do sistema vibratório na ausência de forças
perturbadoras é regido pela equação (58):
Esta é uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem, cuja
solução é
Substituindo esta solução na equação (58) obtém-se
0 tkxtxm
(62) stectx .
(63) 02 kms
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1. Sistemas com Um DOF 1.2. Vibração não amortecida
Daqui, retira-se que
Aplicando a equação (64) na equação (62), vemos que a resposta
do sistema é dada por
Atendendo a que
a equação (65) pode ser escrita como
(65) titi nn ecectxww
.. 21
(64) ni
m
kis w
tte nnti n www
sincos
(66) tAtAtx nn ww sin.cos. 21
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1. Sistemas com Um DOF 1.2. Vibração não amortecida
Esta expressão representa um movimento harmónico simples,
tendo como frequência natural
A partir das condições iniciais, relativas à velocidade e
deslocamento do sistema, podemos encontrar o valor das
constantes A1 e A2.
Assim, se para t=0
então, os valores das constantes são
m
kn w
0;0 xtxxtx
(67)
n
xAxA
w
0;0 21
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1. Sistemas com Um DOF 1.2. Vibração não amortecida
Portanto a equação do movimento fica
Considerando que nesta expressão x(t) resulta da soma de dois
movimentos harmónicos, então podemos escrever esta equação
como
ou então
(68)
tx
txtx n
n
n ww
w sin.0
cos.0
(69)
0
0arctansin
00
2
2
x
xt
xxtx n
n
n
ww
w
(70)
n
n
n x
xt
xxtx
ww
w 0
0arctancos
00
2
2
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1. Sistemas com Um DOF 1.2. Vibração não nmortecida
Recorrendo a um plano de Argant-Gauss, podemos representar
os vetores girantes associados à eq. (68) como
onde
(71)
n
n
n
x
x
x
x
xxX
w
w
w
0
0arctan
0
0arctan
00
2
2
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1. Sistemas com Um DOF 1.2. Vibração não amortecida
Substituindo e , respetivamente, nas equações (69) e (70)
obtém-se
Como vemos, o vetor velocidade está adiantado p/2 radianos em
relação ao vetor deslocamento, ao passo que o vetor aceleração
está em oposição de fase.
(72)
(73)
ww
ww
w
tXtx
tXtx
tXtx
nn
nn
n
cos
sin
cos
2
ww
ww
w
tXtx
tXtx
tXtx
nn
nn
n
sin
cos
sin
2
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1. Sistemas com Um DOF 1.2. Vibração não amortecida
Esta observação é visível na figura abaixo
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1. Sistemas com Um DOF 1.2. Vibração não amortecida
ou também em
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1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento
viscoso Um sistema vibratório real está sujeito à ação de forças de
amortecimento que levarão a que a amplitude da resposta do
sistema vá decrescendo com o tempo.
Neste caso, e como já vimos, a equação de movimento é
A solução desta equação tem a forma
Substituindo a solução na equação (74) obtém-se
(75) steCtx .
(76) 0. 2 kcsmseC st
(74) 0 tkxtxctxm
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1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento
viscoso Atendendo a que esta equação tem de ser válida para todos os
valores de t, então obtém-se a equação
As raízes desta equação são
(78) mkccm
smkccm
s 42
1;4
2
1 22
21
(77) 02 kcsms
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1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento
viscoso Olhando para esta equação, concluímos que podem acontecer 3
casos distintos:
• : ambas as raízes são reais; a força de amortecimento
é predominante e o sistema diz-se super amortecido ou
sobre-amortecido (efeito predominante das forças de
amortecimento);
• : as duas raízes são complexas; as forças de inércia e
elásticas prevalecem e o sistema diz-se sub-amortecido;
• : existem duas raízes iguais; o amortecimento do
sistema é crítico (situação limite dos casos anteriores).
mkc 42
mkc 42
mkc 42
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1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento
viscoso Vê-se, pois, que o parâmetro c2=4mk assume uma importância
destacada denominando-se como coeficiente de
amortecimento crítico, definido como:
Habitualmente, recorre-se a um parâmetro adimensional que
relaciona o amortecimento efetivo do sistema com o seu
amortecimento crítico, chamado de fator de amortecimento:
(79) ncc m
m
kmcsmkc w224 2
2
(80) nc m
c
c
c
w
2
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1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento
viscoso Amortecimento Crítio
Considerando =1, teremos duas raízes reais iguais
Neste caso, a solução da equação (74) será da forma
Considerando as condições iniciais
nnm
k
mkm
mkc
m
css ww
42
4
221
(81) tccetecectxttt nnn
2121 www
0;0 xtxxtx
00;0 21 xxcxc nw
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1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento
viscoso Substituindo esta solução na eq. (81), tem-se
ou
e, então
(82) txtxetx ntn 010
ww
texxextxt
n
t nn ww w 000)(
texetxctxtt
nnn www
010)( 1
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1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento
viscoso Sistema sobre-amortecido
Neste caso, e considerando >1, as raízes da equação (78) serão
ou
(83)
1;1
1422
2;1
422
2
42
1;4
2
1
22
21
2
2
2
1
22
21
ww nn ss
mk
c
mk
c
m
mks
mk
c
mk
c
m
mks
mkccm
smkccm
s
1;1 22
21 wwww nnnn ss
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1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento
viscoso A resposta do sistema será
ou noutra forma
Considerando as condições iniciais iguais ao caso anterior, fica-
se com
(84)
ttt nnn ececetx1
21
1
22 www
(85) tAtAetx nntn 1sinh1cosh 2
22
1 www
(86)
t
xxtxetx n
n
nn
tn 1sinh1
001cosh0 2
2
2 ww
www
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1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento
viscoso Sistema sub-amortecido
Neste caso, e considerando <1, as raízes da equação (78) serão
ou
(87)
22
21
2
2
2
1
22
21
1;1
41
22
2;
41
22
2
42
1;4
2
1
ww
isis
mk
ci
mk
c
m
mks
mk
ci
mk
c
m
mks
cmkicm
scmkicm
s
nn
22
21 1;1 wwww nnnn isis
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1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento
viscoso A resposta do sistema será
ou noutra forma
Considerando as condições iniciais iguais ao caso anterior, fica-
se com
(88)
titit nnn ececetx22 1
21
1www
(89) tAtAetx nntn 2
22
1 1sin1cos www
(90)
t
xxtxetx n
n
nn
tn 2
2
2 1sin1
001cos0 w
w
www
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1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento
viscoso O comportamento de um
sistema vibratório com
amortecimento depende do
valor do fator de
amortecimento , tal como
visível na figura abaixo.
Neste caso, temos quatro
comportamentos distintos:
sobre-amortecido
criticamente amortecido
sub-amortecido
sem amortecimento
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1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento
viscoso Algumas considerações relativamente a cada um destes tipos de
sistemas:
• Sobre-amortecido (>1): o sistema retorna à sua posição de
equilíbrio sem oscilar e com um decaimento exponencial;
• Criticamente amortecido (=1): o sistema atinge o equilíbrio
da forma mais rapidamente possível sem oscilar (situação
limite);
• Sub-amortecido (0<<1): o sistema oscila (com uma
frequência menor do que aquela relativa ao caso sem
amortecimento), levando a que a amplitude diminua
gradualmente até atingir um valor nulo;
• Sem amortecimento (=0): o sistema oscila com a sua
frequência natural (wn).
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1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento
viscoso Exemplo 3.01: Usando uma folha de cálculo represente em
função do tempo os quatro tipos de movimentos livres indicados
acima (sobre-amortecido, crítico, sub-amortecido e sem
amortecimento), e verifique o seu comportamento para
diferentes valores de wn (ou k e m), , e das condições iniciais
e .
Exemplo em http://mathlets.org/daimp/DampedVib.html.
)0(x
)0(x
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1. Sistemas com Um DOF 1.4. Análise da resposta de sistemas
amortecidos Observando a equação (86) para o movimento sobre-amortecido,
isto é, para >1, vemos que esta é constituída por uma soma de
termos com funções hiperbólicas de variável real, pelo que não
apresenta uma resposta oscilatória de caráter periódico.
No entanto, para <1, um sistema sub-amortecido, a resposta do
sistema é regida pela equação (90), descrevendo um movimento
periódico com uma frequência
sendo wa a frequência amortecida que é inferior à frequência
natural wn.
Note-se que, neste caso, a resposta do sistema sofre uma
atenuação progressiva imposta pelo fator e-wt.
(91) 21 ww na
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1. Sistemas com Um DOF 1.4. Análise da resposta de sistemas
amortecidos O fator e-wt imprime ao movimento um comportamento
semelhante ao da figura
xi
xi+1
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1. Sistemas com Um DOF 1.4. Análise da resposta de sistemas
amortecidos Os valores máximos do deslocamento ocorrem em intervalos de
tempo iguais associados ao termo com função trigonométrica,
correspondendo ao período de vibração amortecida Ta dado por
À relação entre os valores da amplitude do deslocamento entre
dois picos sucessivos (separados por Ta) chama-se Taxa de
Amortecimento da Vibração:
(92) 21
22
w
p
w
p
na
aT
(93)
an
ain
inT
Tt
t
i
i ee
e
x
x w
w
w
1
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1. Sistemas com Um DOF 1.4. Análise da resposta de sistemas
amortecidos Chama-se, também, decremento logarítmico da vibração à
grandeza
ou
Note-se que, para um dado sistema sub-amortecido em vibração
livre, o logaritmo da razão entre a amplitude de quaisquer dois
ciclos separados por mais do que um período é constante, tal
como se pode ver através da expressão
(94) w
pwwd
a
nan
i
i Tx
x 2ln
1
(95) 21
2
pd
n
a
an
ni
inT
nTt
t
ni
i nnTx
xne
e
e
x
xan
ain
in
ww
pwdw
w
w2
ln
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1. Sistemas com Um DOF 1.4. Análise da resposta de sistemas
amortecidos ou
Da equação (95) pode admitir-se que para pequenos valores de
pode escrever-se
(96) 21
2
pd
nn
(97) pd 2
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1. Sistemas com Um DOF 1.4. Análise da resposta de sistemas
amortecidos Exemplo 3.02: Considere o sistema indicado na figura.
Determine qual o valor da constante de amortecimento c para o
qual o fator de amortecimento () é igual a 1,25.
M1 M2
C
K2
K1 R1
R2
Ip
R1 = 10 cm
R2 = 30 cm
Ip = 1,1 Kgm2
M1 = 10 Kg
M2 = 25 Kg
K1 = 1x104 N/m
K2 = 1x105 N/m
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica Na prática, existem muitos sistemas vibratórios que sofrem a
ação de solicitações dinâmicas externas durante períodos de
tempo significativos, podendo estas ser do tipo harmónico,
periódico não harmónico ou não periódico.
Consideremos pois o sistema com amortecimento viscoso
presente na figura seguinte, sujeito à ação de uma solicitação
harmónica de intensidade F e de frequência w, de tal forma que
(98) tFtf wsin
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica
Neste caso, a equação diferencial que rege o movimento será
Podemos, em alternativa, substituir f(t)=Fsin(wt) por f(t)=Feiwt.
(99) tftFtkxtxctxm wsin
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica Assim, a equação de movimento fica
Esta equação diferencial de segunda ordem tem como solução
ou
Por uma questão de simplicidade de notação, consideraremos,
doravante, .
Assim, .
(100) tiFekxxcxm w
(101) w tiXex
(102) tieXx w
XX
tiXex w
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica Considerando apenas o coeficiente da parte imaginária, a
exemplo do que se fez para a força relativa à equação (99) e
substituindo a equação (102) na equação (100), obtemos
Então, a solução particular da equação (100) virá, na forma
complexa, como
ou
(103) titi FeXeickm wwww 2
(104)
titi Fecmk
icmkFe
icmktx ww
ww
ww
ww 222
2
2
1
tiFeHtx ww
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica em que
O termo H(w) tem o nome de resposta complexa em frequência
ou deslocabilidade.
A parte imaginária da equação (104) é
Podemos reescrever esta equação como
(105) 222
2
ww
www
cmk
icmkH
(106)
F
cmk
tmktctx
222
2 sincos
ww
wwww
(107)
2
222
arctansinw
ww
ww mk
ct
cmk
Ftx
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica A equação (107) é, portanto, a solução particular da equação
(100).
No entanto, existe um teorema matemático que diz que a
solução geral de uma equação diferencial é igual à soma da
solução da sua equação homogénea (com o membro da direita
igual a zero) com uma solução particular da mesma.
Ora, vimos anteriormente que a solução da equação homogénea
correspondia à resposta de um sistema sub-amortecido, pelo que
a solução completa da equação (100) será da forma
com
(108)
w
ww
www
t
cmk
FtAtAetx aa
tn sinsincos222
21
2arctan
w
w
mk
c
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica Desta expressão (108) facilmente se conclui que a resposta de
um sistema sujeito a uma vibração forçada sofre, num período
inicial, o efeito das vibrações livres com um caráter transitório.
Porém, como se viu no capítulo anterior, as vibrações livres
acabam por desaparecer devido ao efeito do amortecimento,
mantendo-se apenas as vibrações forçadas a partir desta fase
inicial.
Temos, por isso, um regime transitório da vibração à resposta
completa e um regime permanente após o desaparecimento das
vibrações naturais do sistema tal como visível na figura seguinte.
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica Na maior parte dos casos práticos, a duração do regime
transitório é fugaz, pelo que apenas importa considerar o que se
passa no regime permanente.
Assim, a resposta do sistema será
onde X é a âmplitude e é o desfazamento relativamente à
força aplicada.
(109) 222 ww cmk
FX
2arctan
w
w
mk
c
w tXtx sin
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica Tomando a expressão anterior e substituindo para os parâmetros
então
Nesta expressão (111), podemos chamar ao termo em função de
e b como sendo o fator de ampliação (Q), o qual traduz a
relação entre a resposta resultante de amplitude X e o
deslocamento que o sistema sofreria se a força F tivesse um
carater estático, ou seja
(111) 222 21
1
bb
k
FX
m
k
m
c
c
cn
ncn
ww
w
wb ;
2; (110)
(112) 222 21
1
bb
STX
XQ
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica O ângulo de desfasamento pode também escrever-se como
As funções das equações (112) e (113) estão representadas
graficamente na figura seguinte, a qual contém uma família de
curvas para diferentes valores de e de b.
21
2arctan
b
b
(113)
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica A observação destas curvas permite retirar algumas constatações
importantes.
• Em primeiro lugar, verifica-se que quando a frequência da
força perturbadora iguala a frequência natural do sistema,
então a amplitude da vibração aumenta significativamente,
podendo atingir valores a tender para infinito no caso de um
sistema sem amortecimento (=0).
• Esta condição, a que corresponde um ângulo de desfasamento
=90º, é conhecida como ressonância.
• Outra constatação importante diz respeito ao facto da
máxima amplitude do movimento não ocorrer exatamente
para w=wn no caso de ≠0.
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica De facto, o valor máximo de Q pode ser obtido através da
diferenciação da equação (112) em ordem a b.
Assim
Igualando esta expressão a 0 verifica-se que os máximos da
função Q ocorrem quando
Constata-se pois, que quanto maior for o valor do
amortecimento, mais afastado de wn ocorrerá o máximo valor do
fator de ampliação.
(114)
2
32242
22
4212
844
bbb
bbb
b
d
dQ
(115) 221
w
wb
n
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica Pelo contrário, para valores muito baixos de amortecimento
(<0,15) pode admitir-se que o valor máximo de Q ocorre
quando b=1, pelo que da equação (112)
Finalmente, a expressão para determinação de Qmax pode ser
obtida conjugando as equações (115) e (112):
Convém, agora, analisar o fenómeno da ressonância com mais
detalhe.
(116)
b2
11 Q
(117)
2
2max
21arctan;
12
1
Q
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica Neste caso b=1 e, então, a resposta dinâmica completa do
sistema traduzida pela equação (108) virá como:
Nota: quando b=1
Se considerarmos as condições iniciais
então, podemos encontrar os valores das contantes A1 e A2 da
equação (118).
222
1 p
ST
ST
XX
X
X
(118) tX
tAtAetx nST
aatn w
www
cos2
sincos 21
000 xx
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica Assim
Substituindo estes valores na equação (118) tem-se
Para valores muito reduzidos de amortecimento, a contribuição
do termo em seno pode ser desprezável e as frequências
naturais amortecida e não-amortecida serão praticamente
iguais, pelo a equação (120) ficará
(119) 2
21
12;
2 STST X
AX
A
(120)
ttte
Xtx naa
tST n ww
w
wcossin
1cos
2 2
(121) teX
tteX
tx ntST
nntST nn w
ww
wwcos1
2coscos
2
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica e o fator de ampliação será
Representando esta função graficamente, vê-se que a resposta
do sistema em ressonância ficará limitada ao fim de alguns ciclos
a um valor limite variável em função de .
(122) teQ nt
resn w
wcos1
2
1
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica No entanto, quando o amortecimento é nulo, a equação (122)
torna-se indeterminada.
Aplicando a Regra de L’Hopital à equação (120) obtém-se,
quando tende para 0,
Nota: a Regra de L’Hopital diz que
(123) tttQ nnnres www cossin2
1
0lim
0limcomlimlim
xg
xf
xg
xf
xg
xf
ax
axaxax
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica Neste caso, e dado que o sistema não é amortecido, a amplitude
da resposta aumenta progressivamente com o número de ciclos
até atingir um valor que provocará o colapso do sistema tal
como visível na figura.
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica Exemplo 3.03: Considere um sistema massa-mola de 1 DOF
como mostra a figura. A constante elástica da mola é k=10N/m e
o valor da massa é m=0,1kg.
a) Determine a equação de movimento livre do sistema.
b) Calcule a frequência natural.
c) Determine a equação do movimento livre sabendo que o
coeficiente de amortecimento é c.
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica Exemplo 3.03 (continuação):
d) Obtenha o valor do coeficiente de amortecimento para que o
amortecimento seja crítico.
e) Obtenha o valor do coeficiente de amortecimento para que o
fator de amortecimento seja 0,5.
f) Determine as frequências de vibração amortecida para as
alíneas d) e e).
g) Determine o módulo da força necessária para provocar um
deslocamento estático de 0,15m.
h) Assumindo que esta força tem uma variação harmónica ao
longo do tempo com uma frequência de 9 rad/s, calcule o fator
de ampliação, para os casos de d) e e) quando as condições
iniciais do movimento são . 000 xx
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1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma
solicitação harmónica Exemplo 3.03 (continuação):
i) Calcule a amplitude máxima dos dois movimentos acima
quando a frequência da força de excitação é 10rad/s.
j) Represente graficamente estes dois movimentos.
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1. Sistemas com Um DOF 1.6. Vibrações induzidas por massas
desequilibradas Muitos equipamentos usados em
engenharia têm peças em movimento
rotativo (ou alternativo) que,
eventualmente, podem sofrer de
vibrações provocadas por uma força
perturbadora devido à existência de um
componente desequilibrado, isto é,
cuja massa tem um centro de gravidade
fora do eixo de rotação.
Assim, considere-se o sistema da figura
representantivo de uma máquina com
um desequilíbrio de massa m1 a rodar
com uma velocidade angular w (rad/s).
e é a excentricidade
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Pedro V. Gamboa 63
1. Sistemas com Um DOF 1.6. Vibrações induzidas por massas
desequilibradas O sistema tem apenas um grau de liberdade e a sua massa total
será m=m1+m2.
A força centrífuga imposta pela massa em desequilíbrio à
máquina é igual a:
chamando
e considerando a componente vertical da força, podemos
escrever
(124) 21
2 ww emRmmaF c
m
m1
tmeF ww sin2
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Pedro V. Gamboa 64
1. Sistemas com Um DOF 1.6. Vibrações induzidas por massas
desequilibradas A equação do movimento fica
A solução desta equação é da forma
em que
(125) tmekxxcxm ww sin2
(126) w tXtx sin
(127) 222
2
ww
w
cmk
meX
2arctan
w
w
mk
c
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Pedro V. Gamboa 65
1. Sistemas com Um DOF 1.6. Vibrações induzidas por massas
desequilibradas Note-se que esta solução despreza a parte transitória da
resposta do sistema uma vez que, como vimos, esta tem uma
duração curta.
A exemplo do que já foi visto anteriormente, vamos considerar
que
e então
cn c
c
w
wb ;
(128) 222
2
21 bb
b
e
x
21
2arctan
b
b
(129)
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Pedro V. Gamboa 66
1. Sistemas com Um DOF 1.6. Vibrações induzidas por massas
desequilibradas As funções das equações (128) e (129) estão representadas
graficamente na figura seguinte, a qual contém uma família de
curvas do parâmetro x/e para diferentes valores de e de b.
Uma vez que os valores de , e, c e wn são constantes para um
dado sistema, então as curvas representadas são gráficos da
amplitude da massa do sistema em função da velocidade de
rotação da massa desequilibrada.
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Pedro V. Gamboa 67
1. Sistemas com Um DOF 1.6. Vibrações induzidas por massas
desequilibradas
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Pedro V. Gamboa 68
1. Sistemas com Um DOF 1.6. Vibrações induzidas por massas
desequilibradas A observação destas curvas permite retirar algumas constatações
importantes.
• Para pequenas velocidades de rotação da massa m1, a massa
total m move-se muito pouco;
• A amplitude cresce para valores de velocidade próximos da
frequência natural e à medida que o amortecimento diminui;
• Os valores máximos de x/e não ocorrem para b=1, mas antes
para valores ligeiramente superiores, isto é,
221
1
b
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Pedro V. Gamboa 69
1. Sistemas com Um DOF 1.6. Vibrações induzidas por massas
desequilibradas Podemos estender esta teoria de forma aproximada a situações
desequilibradas provocadas por massas alternativas (por
exemplo motores).
Considere-se, para o efeito, o motor ilustrado na figura
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1. Sistemas com Um DOF 1.6. Vibrações induzidas por massas
desequilibradas Neste caso, a força perturbadora é igual à força de inércia da
massa alternativa que é dada, aproximadamente, por
(130)
t
L
etem www 2cossin2
1
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1. Sistemas com Um DOF 1.6. Vibrações induzidas por massas
desequilibradas Exemplo 3.04: Considere um sistema massa-mola-amortecedor
de 1 DOF como mostra a figura. A constante elástica da mola é
k=10N/m, o fator de amortecimento é =0,1, o valor da massa 1
é m1=0,02kg, o valor da massa 2 é m2=0,2kg e a excentricidade é
e=0,01m.
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Pedro V. Gamboa 72
1. Sistemas com Um DOF 1.6. Vibrações induzidas por massas
desequilibradas Exemplo 3.04 (continuação):
1. Despresando o efeito da excentricidade e:
a) Obtenha os valores das frequências de vibração natural e de
vibração amortecida do sistema.
b) Calcule o valor do coeficiente de amortecimento.
c) Determine a equação de movimento livre do sistema.
d) Quanto tempo levaria a amplitude do sistema a cair para
metade?
e) Quanto tempo levaria a amplitude do sistema a cair para um
décimo?
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Pedro V. Gamboa 73
1. Sistemas com Um DOF 1.6. Vibrações induzidas por massas
desequilibradas Exemplo 3.04 (continuação):
2. Tendo, agora, em conta o efeito da excentricidade:
a) Determine a equação da força aplicada no sistema devido à
massa m1 que roda no sentido anti-horário com uma frequência
w=10rad/s.
b) Calcule a amplitude e o ângulo de fase do movimento forçado
resultante no regime permanente.
c) O que faria para reduzir a amplitude do movimento para
metade?
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1. Sistemas com Um DOF 1.7. Balanceamento de massas
desequilibradas O balancemanto de corpos em rotação com massas
desequilibradas é importante para prevenir as vibrações.
As vibrações em maquinaria pesada e geradores elétricos, por
exemplo, podem provocar falhas catastróficas.
As vibrações podem ser ruidosas e desconfortáveis e, num
automóvel, por exemplo, quando uma roda está desequilibrada
as viagens tornam-se desagradáveis.
No caso de uma simples roda, o balanceamento resume-se a
reposicionar o centro de massa da roda no seu eixo de rotação.
Para sistemas mais complexos, esta tarefa pode ser mais
trabalhosa.
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1. Sistemas com Um DOF 1.7. Balanceamento de massas
desequilibradas Para um corpo estar totalmente equilibrado, é necessário reunir
duas condições:
• Equilíbrio estático: Este ocorre quando não existe uma força
centrífuga resultante e o centro de massa coincide com o
centro de rotação.
• Equilíbrio dinâmico: Este ocorre quando não existe um
momento ao longo do eixo.
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
Se o sistema for um simples disco, então apenas é necessário
fazer o balanceamento estático.
Considere-se o disco estreito, ou roda, da figura em que o centro
de massa e o centro de rotação não estão na mesma posição.
centro de massa
centro de rotação
e
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desiquelibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
Para testar o equilíbrio estático basta apoiar a roda num
rolamento sem fricção.
O centro de massa irá posicionar-se sempre sob o centro de
rotação (como um pêndulo).
Se o disco estiver equilibrado, ele permanecerá imóvel qualquer
que seja a sua posição inicial.
Se o centro de massa estiver a uma distância e do centro de
rotação, quando o disco roda a uma velocidade angular w, então
a força centrífuga gerada é, como visto antes,
onde m é a massa do disco e e a excentricidade.
Esta é a força de desequilíbrio.
2wmeF (131)
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desiquelibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
Por forma a cancelar esta força, é necessário criar outra com a
mesma direção e intensidade mas com sentido contrário.
Isto consegue-se, adicionando uma massa me numa posição re
numa linha que une os dois centros de massa e passa pelo eixo de
rotação.
Assim, tem-se
ou
uma vez que a velocidade angular é a mesma.
(132) 22 ww merm ee
(133) merm ee
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
Colocando uma massa adequada numa posição radial adequada
desloca-se o centro de massa para o eixo de rotação.
Este equilíbrio é válido para qualquer velocidade de rotação
desde que o produto me se mantenha igual e oposto.
centro de rotação
2wme 2weerm
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
Considere-se, agora, que o nosso disco está desiquilibrado porque
tem três outras massas agarradas a ele.
m1
m2
m3
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
Estas massas são coplanares e rodam em torno do mesmo eixo.
As forças centrífugas que atuam em cada massa são
Estas são quantidades vetoriais que podem ser adicionadas
vetorialmente para se obter a força resultante.
2333
2222
2111 ;; www rmFrmFrmF
F1 F
força resultante
F3 F2
F1 Fe
força de balanceamento
F3 F2
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
Se o sistema estivesse equilibrado não haveria força resultante.
Então, é necessário adicionar uma força com magnitude igual e
sentido oposto para anular a força resultante.
A força resultante é dada por
ou por
com
2332211
233
222
211321 wwww rmrmrmrmrmrmFFFF
(134)
jFiFF yx
(135)
2333222111 coscoscos w rmrmrmFx
2333222111 sinsinsin w srmrmrmFy
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
onde é o ângulo de posição e e são os vetores unitários na
direção x e y, respetivamente.
A magnitude e ângulo de posição da força resultante são
A excentricidade do desiquilíbrio das massas pode ser obtida a
partir da equação (131) com
onde a massa total m é
j
i
x
y
yxF
FFFF arctan;22 (136)
2wm
Fe (137)
321 mmmm (138)
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
A magnitude e a posição angular da força que opõe a força
resultante, chamada força de balanceamento, são dadas por
A força de balanceamento, em forma vetorial é dada por
Assim, para se ter o sistema equilibrado é necessário que
e, então,
jFiFjFiFF eeeeeyexe
sincos (140)
p eyxe FFF ;22(139)
eee Frm 2w (141)
2w
eee
Frm (142)
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
sendo me e re, escolhidos adequadamente, e serão válidos para
qualquer velocidade de rotação desde que me não se altere.
m1
m2
m3
me
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
Em geral, para um número n qualquer de massas, as expressões
acima que dependem delas ficam:
n
k
kkkx rmF1
2 cosw
n
k
kmm1
(145)
(143)
n
k
kkky rmF1
2 sinw (144)
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
Exemplo 3.05: Três massas A, B e C estão posicionadas num
disco equilibrado como mostra as figura em posições radiais de
120mm, 100mm e 80mm, respetivamente. As massas são de 1kg,
0,5kg e 0,7kg, respetivamente. Determine qual o valor da quarta
massa e a sua posição angular, necessária adicionar ao sistema,
numa posição radial de 60mm para que o sistema fique
estaticamente equilibrado.
mA
mB mC
30º 100º
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
Exemplo 3.06: Três massas A, B e C estão posicionadas num
disco equilibrado como mostra a figura em posições radiais de
100mm, 75mm e 90mm, respetivamente. As massas são de 1kg,
1,5kg e 2kg, respetivamente. Determine qual o valor da quarta
massa e a sua posição angular, necessária adicionar ao sistema,
numa posição radial de 60mm para que o sistema fique
estaticamente equilibrado.
mA
mB
mC
45º 165º
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
Exemplo 3.07: Considere o sistema mecânico da figura referente
à suspensão de um automóvel ligeiro. A roda tem um
desequilíbrio correspondente a uma massa m1 de 0,01kg numa
posição radial e de 0,25m. A massa sobre a roda M tem o valor de
200kg. Os valores de k e são, respetivamente, 25KN/m e 0,6.
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.1. Balanceamento num plano
Exemplo 3.07 (continuação):
Assumindo que o chão é totalmente plano, não introduzindo
qualquer força no sistema:
a) Escreva a equação do sistema em regime permanente.
b) Mostre graficamente o movimento da massa M, quando a roda
tem uma velocidade angular de 600rpm.
c) Proponha uma forma de equilibrar a roda.
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.2. Balanceamento fora do plano
Considere-se, agora, duas massas estaticamente equilibradas,
mas atuando em posições diferentes ao longo de um eixo.
Para equilíbrio estático tem-se mArA=mBrB.
Torna-se claro que, mesmo com equilíbrio estático, a força
centrífuga cria um momento em torno do centro de massa.
centro de massa
momento
w
A
B
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.2. Balanceamento fora do plano
Neste caso simples, o problema é resolvido adicionando uma
força igual e oposta nos dois pontos como mostra a figura.
w
A
B
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.2. Balanceamento fora do plano
Considere-se o momento resultante de uma única massa.
A força centrífuga produzida é F=mrw2.
O momento em relação ao plano de referência é M=Fx=mrw2x.
w
B
x
força centrífuga
r
plano de referência
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.2. Balanceamento fora do plano
Para se obter equilíbrio dinâmico e estático é necessário
determinar o momento resultante e adicionar massas em pontos
apropriados para o anular.
Os pontos apropriados vão estar em dois planos não coplanares
com qualquer das massas originais.
Para isto é necessário usar dois diagramas de vetores.
Uma vez que a velocidade angular é comum a todas as massas
pode assumir-se w=1 e desenhar vetores que representam mr e
mrx.
O método é melhor explicado através de um exemplo.
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.2. Balanceamento fora do plano
Exemplo 3.08: Considere o veio da figura com duas massas
desequilibradas, mB e mC. Determine as massas necessárias
colocar nos planos A e D e a respetiva posição angular para se
obter equilíbrio total sabendo que rA=rD=0,06m.
60º
xB=0,2m
w
plano A mB=5kg mC=2kg plano D
xC=0,3m
xD=0,375m
B
C
rB=0,075m
rC=0,050m
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.2. Balanceamento fora do plano
Exemplo 3.09: Um veio tem quatro discos A, B, C e D ao longo
do seu comprimento distanciados 100mm entre si. Uma massa de
0,8kg está no disco B a uma distância do centro de 20mm. Uma
massa de 2kg está no disco C num raio de 30mm e rodada 120º
em relação à massa B. Determine as massas necessárias colocar
em A e em D, num raio de 25mm que produzam equilíbrio total.
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1. Sistemas com Um DOF
1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas
1.7.2. Balanceamento fora do plano
Exemplo 3.10: O diagrama da figura mostra duas massas em dois
rotores nos planos B e C. Determinar o valor das massas a
adicionar aos rotores dos planos A e D num raio de 40mm para
que se obtenha equilíbrio dinâmico e estático.
60º
A
5kg
3kg
D
100mm
B C
70mm 80mm
45º
50mm
20mm
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1. Sistemas com Um DOF 1.8. Transmissibilidade da Força
Grande parte dos problemas de engenharia pressupõe que haja
uma transmissão das forças (vibrações) desenvolvidas por uma
máquina às estruturas ou componentes vizinhos, o que poderá
originar fenómenos de ruína variados (fadiga, fretting, desgaste,
etc.).
Torna-se portanto necessário isolar a transmissão de vibrações
entre componentes.
A eficiência do isolamento pode ser medida em termos da razão
entre a força ou movimento transmitido e a força ou movimento
desenvolvido.
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Pedro V. Gamboa 99
1. Sistemas com Um DOF 1.8. Transmissibilidade da Força
Considere-se, pois, o sistema da figura
Considere-se ainda que a rigidez da estrutura de suporte é muito
superior à do conjunto mola + amortecedor, sendo estes
responsáveis pela transmissão da força entre a massa vibrante e
a fundação.
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Pedro V. Gamboa 100
1. Sistemas com Um DOF 1.8. Transmissibilidade da Força
Neste caso, a força transmitida, FTR, será igual a
Por outro lado, podemos considerar que a força aplicada , FAP, é
dada por
Vimos anteriormente que para um sistema deste tipo, a relação
de com a força aplicada é
xckxFTR (146)
tiAPAP eFF w
APFcimk
Xww
2
1(147)
X
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Pedro V. Gamboa 101
1. Sistemas com Um DOF 1.8. Transmissibilidade da Força
Portanto, associando as expressões (146) e (147) e colocando
podemos escrever
A transmissibilidade da força pode ser obtida fazendo
ou usando as definições de e b
tieXx w
APTR Fcimk
cikXciXkF
ww
ww
2(148)
cimk
cik
F
FT
AP
TRR
ww
w
2 (149)
222
2
21
21
bb
b
RT (150)
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Pedro V. Gamboa 102
1. Sistemas com Um DOF 1.8. Transmissibilidade da Força
Graficamente TR fica:
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Pedro V. Gamboa 103
1. Sistemas com Um DOF 1.8. Transmissibilidade da Força
Da figura anterior é possível destacar algumas conclusões:
• Todas as curvas se intersetam no ponto , pelo que a
força transmitida só é menor do que a força aplicada quando
• Considerando que a amplitude de FAP é constante, a força
transmitida à fundação será proporcional à TR, pelo que será
conveniente usar velocidades de operação das máquinas de tal
forma que
2b
2nww
2nww
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Pedro V. Gamboa 104
1. Sistemas com Um DOF 1.8. Transmissibilidade da Força
No caso, de uma máquina de velocidade variável com uma massa
excêntrica, prova-se que a transmissibilidade é dada pela
expressão
com
sendo e a excentricidade.
Podemos, ainda, definir a redução da força como sendo
2wmeFn
R
n
TR TF
F 2
222
22
21
21b
bb
bb
(151)
R
AP
TRAP TF
FF
1 (152)
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Pedro V. Gamboa 105
1. Sistemas com Um DOF 1.8. Transmissibilidade da Força
Graficamente 1-TR fica:
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Pedro V. Gamboa 106
1. Sistemas com Um DOF 1.8. Transmissibilidade da Força
Um exemplo de aplicação do conceito de transmissibilidade é um
instrumento capaz de medir movimentos vibratórios como é o
caso de um sismógrafo.
Este aparelho está representado esquematicamente na figura
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Pedro V. Gamboa 107
1. Sistemas com Um DOF 1.8. Transmissibilidade da Força
Pela teoria anteriormente vista, o movimento relativo entre a
massa e a base pode ser registado, estando ambos relacionados
pela equação
222
2
21
21
bb
b
y
x(152)
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Pedro V. Gamboa 108
1. Sistemas com Um DOF 1.8. Transmissibilidade da Força
Exemplo 3.11: Considere o sistema mecânico da figura referente
à suspensão de um automóvel ligeiro que se desloca ao longo de
uma estrada com oscilações regulares que induzem uma força
harmónica na roda. A massa sobre a roda M tem o valor de 200kg.
Os valores de k e são, respetivamente, 25KN/m e 0,6.
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Pedro V. Gamboa 109
1. Sistemas com Um DOF 1.8. Transmissibilidade da Força
Exemplo 3.11 (continuação):
Assumindo que a força aplicada na roda tem a forma:
a) Calcule a transmissibilidade da força.
b) Calcule a relação entre o deslocamento da roda y e o
deslocamento da massa x.
c) Mostre graficamente o movimento da massa M.
d) Qual é o deslocamento máximo da massa M e da roda?
e) Comente os resultados.
tFAP 20sin500
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Pedro V. Gamboa 110
1. Sistemas com Um DOF 1.9. Isolamento de Vibrações
Vários materiais estão atualmente disponíveis com a função de
isolamento de vibrações, destacando-se o feltro, a borracha, a
cortiça, molas elásticas, etc..
Em qualquer dos casos, pretende-se que o isolador garanta a
quebra de ligação rígida entre a máquina e a estrutura de
suporte e, ao mesmo tempo, que a sua eventual rutura não
induza o colapso geral do equipamento/estrutura.
Vejamos, pois, algumas características desses materiais.
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Pedro V. Gamboa 111
1. Sistemas com Um DOF 1.9. Isolamento de Vibrações
• Feltro: Usado geralmente para frequências acima dos 40Hz. É
apenas eficaz quando trabalha à compressão e não resiste a
esforços de torção. Como regra geral, as deformações exigidas
aos blocos de feltro não devem ultrapassar 25% da sua
espessura. Tem um coeficiente de amortecimento elevado,
sendo particularmente satisfatório para baixos valores de b.
Sendo um material orgânico tem propensão para se deteriorar
quando exposto a óleos e solventes.
• Cortiça: Pode ser usada tanto à compressão como ao corte
sendo recomendada para frequências acima dos 40Hz. O seu
módulo de elasticidade diminui com o aumento de carga. É
resistente à corrosão, solventes e a temperaturas moderadas.
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Pedro V. Gamboa 112
1. Sistemas com Um DOF 1.9. Isolamento de Vibrações
• Molas Metálicas: São largamente utilizadas para aplicações
com baixas frequências. Têm muito pouco amortecimento e
por isso são particularmente aptas para . São resistentes
a ambientes agressivos e temperatura elevada.
• Borracha: Material muito usado como supressor de vibrações
até frequências na ordem de 50Hz. Trabalha tanto ao corte
como à compressão, mas as suas propriedades variam
significativamente com a carga, temperatura e frequência.
Podem ser atacadas por óleos e solventes.
• Molas de ar ou “airbag”: São constituídas por sacos de ar de
alta resistência, cheios com ar, e usam-se em condições de
muito baixa frequência (entre 0,07Hz e 5Hz), permitindo
deflexões apreciáveis.
2b
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Pedro V. Gamboa 113
1. Sistemas com Um DOF 1.9. Isolamento de Vibrações
Uma nota final para o facto de se assistir, atualmente a uma
tendência de se usarem certas técnicas construtivas e materiais
que são propensos à transmissão de vibrações.
Por exemplo:
• As juntas soldadas apresentam um menor amortecimento do
que as uniões rebitadas ou aparafusadas.
• Geralmente, os materiais mais resistentes (tais como o aço)
têm um muito menor coeficiente de amortecimento do que os
materiais menos resistentes (plásticos, borrachas, etc.).
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Pedro V. Gamboa 114
1. Sistemas com Um DOF 1.9. Isolamento de Vibrações
O isolamento de vibrações é um
processo pelo qual os efeitos da
vibração são minimizados, já que é
impossível eliminá-los totalmente.
Dependendo do tipo de suspensão
(que desempenha o papel de
isolador), que pode ser ativa ou
passiva, ela reduzirá, respetivamente,
a amplitude da força transmitida do
sistema para a base (fig. a), ou a
amplitude do movimento transmitido
da base para o sistema (fig. b).
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Pedro V. Gamboa 115
1. Sistemas com Um DOF 1.9. Isolamento de Vibrações
O isolador de vibrações, obviamente, é um conjunto de molas
(rigidez equivalente k) e amortecedores (coeficiente de
amortecimento equivalente c).
A medida do isolamento de vibrações é feita através do
parâmetro denominado transmissibilidade.
A transmissibilidade, simbolizada por TR, é definida de acordo
com o tipo de suspensão.
Assim,
suspensão ativa:
suspensão passiva:
excitaçãodeforçadaamplitude
atransmitidforçadaamplitudeRT
excitaçãodemovimentodoamplitude
otransmitidmovimentodoamplitudeRT
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Pedro V. Gamboa 116
1. Sistemas com Um DOF 1.9. Isolamento de Vibrações
Exemplo 3.12: Um motor elétrico aciona um equipamento a uma
velocidade de 1750rpm. O sistema está montado sobre calços de
borracha os quais apresentaram uma deformação estática de
5mm durante a montagem. Determinar a transmissibilidade da
força do motor para a fundação assumindo que o fator de
amortecimento do sistema é 0,25.
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Pedro V. Gamboa 117
1. Sistemas com Um DOF 1.9. Isolamento de Vibrações
Exemplo 3.13: Um equipamento eletromecânico está montado
sobre um conjunto de isoladores de borracha. O sistema, cuja
frequência natural é 500rpm, exibe, na ressonância, um fator de
amplificação de 5. A partir de que frequência a
transmissibilidade da força é reduzida a 50%?
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Pedro V. Gamboa 118
1. Sistemas com Um DOF 1.9. Isolamento de Vibrações
Exemplo 3.14: A figura mostra a resposta em frequência do
movimento vertical do piso nas proximidades de uma prensa.
Estime o fator de amortecimento e calcule a transmissibilidade
a 1800rpm.
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Pedro V. Gamboa 119
1. Sistemas com Um DOF 1.9. Isolamento de Vibrações
Exemplo 3.15: Observa-se que a vibração livre de uma haste
vertical encastrada no chão cai de uma amplitude inicial de
20mm para metade desse valor em 10 ciclos. Calcular a
amplitude da resposta permanente na ressonância quando a base
da viga é excitada pelo deslocamento horizontal harmónico da
figura, dado em metros.
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Pedro V. Gamboa 120
1. Sistemas com Um DOF 1.9. Isolamento de Vibrações
Exemplo 3.16: Um motor elétrico roda a 1750rpm e deve ser
montado sobre suportes de borracha. Estão disponíveis dois tipos
de suporte: do tipo A com uma deflexão estática de 5mm e do
tipo B com 8mm. Qual é o tipo de suporte mais adequado no que
diz respeito ao isolamento de vibrações? Considerar que ambos os
tipos apresentam um fator de amortecimento de 0,2.
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Pedro V. Gamboa 121
1. Sistemas com Um DOF 1.10. Resposta a uma Força Periódica
Muitas vezes, os sistemas vibratórios podem estar sujeitos a
excitações periódicas que não têm que ser necessariamente
harmónicas, sendo este um caso mais geral.
No entanto, uma solicitação periódica pode ser decomposta em
várias componentes harmónicas com recurso a uma Série de
Fourier.
Assim, uma função é periódica se
sendo T o período de tempo necessário para que f(t) se repita.
Ttftf (153)
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Pedro V. Gamboa 122
1. Sistemas com Um DOF 1.10. Resposta a uma Força Periódica
Uma função periódica pode ser expandida por via de uma Série
de Fourier com a seguinte forma
ou em alternativa
sendo
Note-se que n é um número inteiro positivo, e an, bn e cn são os
coeficientes da série.
1
0 sincos2 n
nn tnbtnaa
tf ww (154)
1
0 sinn
nn tncctf w (155)
n
nnnnn
b
abac
ac arctan;;
2
2200 (156)
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Pedro V. Gamboa 123
1. Sistemas com Um DOF 1.10. Resposta a uma Força Periódica
Note-se ainda que a0/2 é o valor médio da função f(t), tendo esta
uma frequência fundamental igual a w=2p/T (a que corresponde
n=1).
Para outros valores de n corresponderão valores de frequência
dados por nw=2np/T.
Os valores de an e bn são dados por
T
n
T
n
T
dttntfT
b
dttntfT
a
dttfT
a
0
0
00
sin2
cos2
2
w
w (157)
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Pedro V. Gamboa 124
1. Sistemas com Um DOF 1.10. Resposta a uma Força Periódica
Assim, a equação de movimento geral para um sistema vibratório
com 1 grau de liberdade é:
Pelo teorema da sobreposição, a resposta dinâmica, em regime
permanente e devida a cada uma das componenentes harmónicas
inerentes à perturbação f(t), é dada por
com
1
0 sincos2 n
nn tnbtnaa
kxxcxm ww (158)
1 2222
0
21
sincos
2 n
nnnn
nnk
tnbtna
k
ax
bb
ww(159)
221
2arctan
b
b
n
nn (160)
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Pedro V. Gamboa 125
1. Sistemas com Um DOF 1.11. Fenómeno de Batimento
Já foi visto anteriormente que a soma de dois movimentos
harmónicos diferentes não resulta num movimento harmónico.
No entanto, se as frequências destes movimentos forem
ligeiramente diferentes resulta o movimento com o aspeto da
figura abaixo, onde se identifica o fenómeno de batimento
(beating) cada vez que a amplitude atinge um máximo.
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Pedro V. Gamboa 126
1. Sistemas com Um DOF 1.11. Fenómeno de Batimento
Considerem-se dois movimentos com duas frequências
ligeiramente diferentes, isto é
Então
e finalmente
tXxtXx ww cos;cos 21 (161)
ttXtXtXxxx wwww coscoscoscos21
ttXx
2cos
2cos2
w
(162)
Relembrar da trigonometria:
cos+cosb=2cos(/2-b/2)cos(/2b/2
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1. Sistemas com Um DOF 1.11. Fenómeno de Batimento
Como se vê, o movimento resultante pode ser considerado como
sendo uma função circular com frequência
e de amplitude variável
A frequência de batimento, fb, será dada por
p
p
w
p
w
22212
fffb (163)
2
w
tX
2cos2
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1. Sistemas com Um DOF 1.11. Fenómeno de Batimento
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1. Sistemas com Um DOF 1.11. Fenómeno de Batimento
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1. Sistemas com Um DOF 1.11. Fenómeno de Batimento
Efeito da alteração da frequência de um movimento em relação a
outro:
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2. Sistemas com n DOF
Muitos dos sistemas vibratórios existentes em ambiente real
pressupõem múltiplos graus de liberdade, sendo a sua análise
mais complexa e exigindo, por vezes, o recurso ao cálculo
computacional.
Enquanto um sistema com apenas 1 grau de liberdade fica sujeito
a um movimento que se pode descrever como um estado material
de vibração (ou seja, o sistema vibra com uma frequência igual à
sua frequência natural), num sistema com vários graus de
liberdade o estado natural de vibração corresponde a uma dada
configuração de deslocamentos das massas discretas, tendo um
número finito de modos de vibração conhecidos por modos
naturais de vibração.
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2. Sistemas com n DOF
Neste caso, o sistema pode vibrar com qualquer das suas
frequências naturais associadas a cada um dos modos de
vibração.
Por questões de simplicidade, considere-se o sistema com 2 graus
de liberdade da figura
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2. Sistemas com n DOF
As equações de movimento podem ser obtidas a partir do
diagrama de corpo livre considerando um deslocamento
arbitrário no instante t.
Assumindo que se tem um movimento sinusoidal representado
por
tem-se para as velocidades e acelerações
21222
2121111
xxkxm
xxkxkxm
(164)
tXxtXx ww sin;sin 2211
tXtxtXtx
tXtxtXtx
wwww
wwww
sin;sin
cos;cos
2
2
21
2
1
2211
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2. Sistemas com n DOF
que substituídos na Eq. (164) resulta em
Rearranjando o sistema de equações, agrupando as variáveis
idênticas X, tem-se
Ou, ainda, escrevendo na forma matricial
Para que esta equação seja válida para quaisquer valores de X1 e
X2, então o determinante da matriz tem que ser nulo.
tXXktXm
tXXktXktXm
www
wwww
sinsin
sinsinsin
21222
2
2121112
1 (165)
0
0
222
212
221212
1
XkmXk
XkXkkm
w
w(166)
0
0
2
1
22
22
2212
1
X
X
kmk
kkkm
w
w(167)
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2. Sistemas com n DOF
Assim, obtém-se a seguinte equação característica
ou
Vemos que esta equação representa uma equação quadrática da
variável w2, o que significa que existem duas frequências naturais
w1 e w2.
A título de exemplo, considere-se o caso particular em que o
sistema é simétrico, isto é, m1=m2=m e k1=k2=k.
0212
2212214
21 kkkmkmkmmm ww (168)
0222
2221
21 kkmkkm ww
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2. Sistemas com n DOF
Neste caso, a Eq. (168) fica
Daqui resulta que as duas frequências naturais são dadas por
ou
Também se pode considerar para este caso, e para cada valor de
w, o quociente entre X1 e X2.
03 2242 kmkm ww (169)
2
22222
2
493
m
kmkmmk w
m
k
m
k618,1618,0 21 ww (170)
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2. Sistemas com n DOF
Assim, da segunda equação do sistema da Eq. (166) tem-se
Portanto, para w=w1, tem-se
e para w=w2 tem-se
Conclui-se, então, que se o sistema vibrar com a frequência
natural w1, ambas as massas se deslocam em fase, ao passo que a
frequência w2 levará a uma oposição de fase do deslocamento
das massas do sistema.
22
1
2 wmk
k
X
X
(171)
618,0618,02
12
2
1
X
X
618,1618,12
12
2
1
X
X
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2. Sistemas com n DOF
O exemplo apresentado ilustra o facto de as equações do
movimento serem acopladas.
De facto, vê-se através da equação (164) que as duas equações
não são independentes entre si, havendo variáveis comuns entre
ambas.
Quer isto dizer que o movimento da massa m1 é influenciado pelo
movimento da massa m2, e vice-versa.
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2. Sistemas com n DOF
Durante o projeto da maior parte dos sistemas dinâmicos é
necessário conhecer as suas frequências naturais e os modos de
vibração correspondentes para que se possa dimensionar a
relação entre as constantes elásticas e as massas e assim evitar
que o sistema funcione próximo das suas frequências naturais.
Neste sentido, as equações derivadas acima podem ser usadas
para identificar as frequências naturais e as formas dos modos de
vibração.
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2. Sistemas com n DOF
Quando estamos perante um sistema com mais de 2 DOF, a
equação do movimento pode ser representada genericamente na
seguinte forma matricial:
onde [M] é a matriz de massa, [C] é a matriz de amortecimento e
[K] é a matriz de rigidez.
Em certas situações particulares, é possível modificar as
equações de movimento de forma a selecionar um conjunto de
coordenadas principais (independentes e ortogonais) que levam a
que as matrizes de massa e de rigidez sejam diagonais, sendo a
abordagem mais simples uma vez que existe desacoplamento
(isto é, os modos de vibração são independentes uns dos outros).
tftxKtxCtxM (172)
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2. Sistemas com n DOF
Neste caso, cada equação do movimento pode ser resolvida como
se representasse um sistema de um só grau de liberdade.
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2. Sistemas com n DOF
Exemplo 3.17: Determine as frequências
naturais e as formas dos modos de vibração
de um sistema massa-mola que está
restringido de forma a mover-se na vertical.
Os dados estão identificados na figura ao
lado.
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2. Sistemas com n DOF 2.1. Um caso de interesse com 2 DOF
Para atenuar o efeito das vibrações presentes
em máquinas recorre-se por vezes, a
alterações da frequência própria relativamente
à frequência da força excitadora, variando os
valores da massa e/ou rigidez, no entanto isto
nem sempre é praticável.
Um método alternativo consiste em recorrer a
um absorsor dinâmico como o indicado na
figura ao lado, tendo o conceito sido inventado
por Frahm em 1909.
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2. Sistemas com n DOF 2.1. Um caso de interesse com 2 DOF
O absorsor dinâmico, embora não tendo componentes para
amortecimento, permite eliminar as vibrações impostas à massa
M desde que se garanta que a frequência natural do absorsor
(massa m) é igual à frequência w da força perturbadora.
Provemos esta afirmação partindo das equações de movimento:
A vibração forçada do sistema tem a forma
Uma vez que as equações (173) só contêm termos em x1, x2, e
a dupla diferenciação de uma função seno continua a ser uma
função seno.
0
sin
1222
0221211
xxkxm
tPxkxkkxM
w(173)
tax
tax
w
w
sin
sin
22
11(174)
1x 2x
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2. Sistemas com n DOF 2.1. Um caso de interesse com 2 DOF
As equações diferenciais (173) podem passar a expressões
algébricas através da divisão por sin(wt):
Por questões de simplificação, passemos estas expressões para
uma forma adimensional considerando a seguinte notação
0222
12
0221212
akmak
PakakkM
w
w(175)
massasderazão
sistemadonaturalfrequência
absorsordonaturalfrequência
principalsistemadoestáticadeformação
1
2
1
0
M
m
M
k
m
k
k
Px
n
a
ST
w
w
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2. Sistemas com n DOF 2.1. Um caso de interesse com 2 DOF
Então, a equação (175) vem como:
Resolvendo este sistema de equações em ordem a a1 e a2 tem-se
01
1
22
2
1
2
1
212
2
1
2
aa
xak
ka
k
k
a
ST
n
w
w
w
w
(176)
1
22
2
1
22
2
2
1
22
2
1
22
2
2
2
1
11
1
11
1
k
k
k
kx
a
k
k
k
kx
a
na
ST
na
a
ST
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
(177)
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2. Sistemas com n DOF 2.1. Um caso de interesse com 2 DOF
Da análise do numerador da primeira equação acima, facilmente
se conclui que a amplitude do deslocamento da massa principal
(a1) é nula quando a frequência da força de excitação iguala a
frequência natural do absorsor.
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2. Sistemas com n DOF 2.1. Um caso de interesse com 2 DOF
Exemplo 3.18: O sistema massa-mola da figura
sofre uma excitação harmónica externa na
massa M. Considere que M=50kg, k1=1kN/m e
que a força de excitação tem amplitude
P0=100N e frequência w=20rad/s.
a) Determine o valor da massa m e da
constante elástica k2, que permite reduzir a
amplitude de oscilação da massa M para zero
e, ao mesmo tempo, sabendo que a razão de
massas =0,1.
b) Determine a amplitude do movimento da
massa m nas mesmas condições.
c) Comente os resultados.