Cap.4 Análise de Sistemas em Tempo Contínuo
(Transformada de Laplace e Transformada de Fourier)
Profª. Fabiana
Transformada de Laplace - Definição
Definição - Laplace
• Aplicando o sinal exponencial complexo , , a um SLIT com resposta ao impulso h(t), tem-se a integral de convolução:
• que é a transformada de Laplace da resposta ao impulso (h(t)) é a função de transferência do sistema.
s jw
( ) stx t e
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t st sy t h x t d h e d e h e d
( ) ( ) sH s h e d
Definição - Laplace
• Generalizando, a transformada de Laplace de um sinal x(t) é:
• E a transformada inversa de X(s) é dada por:
( ) ( ) stX s x t e dt
1( ) ( )2
c jst
c j
x t X s e dtj
Propriedades (Laplace)
Seja: x(t) X(s) e w(t) W(s)
a) Linearidade:
b) Deslocamento no tempo:
Exemplo: Determine a transformada de Laplace do sinal x(t):
( ) ( ) ( ) ( )ax t bw t aX s bW s
00( ) ( ) stex t t X s
x(t)
1
3 1 2 t
4
Seja: x(t) X(s) e w(t) W(s)
c) Deslocamento na frequência:
d) Escalonamento:
e) Convolução (tempo): x(t)*w(t) X(s).W(s)
f) Convolução (freq.): x(t).w(t) X(s)*W(s)
Obs. Outras propriedades na tabela
Exemplo: Determine a transformada de Laplace de
00( ) ( )stex t X s s
1( ) ( )saa
x at X
( ) ( )* ( )at btc t e u t e u t
PDF – “Laplace”
Transformada de Fourier - Definição
Definição – Transf. Fourier
• A transf. de Fourier pode ser considerada um caso especial da transf. de Laplace, onde .
• Logo, a transformada de Fourier é definida por:
onde o gráfico de é o espectro de amplitude e o gráfico de é o espectro de fase de .
s jw
( )( ) ( ) ( ) X jwjjwtX jw x t e dt X jw e
X ( )X jw w
X ( )X jw w
( )X jw
Aplicações
Aplicações - Filtragem
• Em muitas situações práticas é preciso limitar o espectro de um sinal.
• Os filtros ideais permitem que uma faixa (ou banda) de frequência do sinal seja transmitida sem distorção, enquanto rejeita (ou atenua) as restantes.
• Uma transmissão de um sinal (através de um SLIT) é considerada sem distorção se a entrada e a saída possuírem formas de onda idênticas, diferenciando apenas pela amplitude (se for o caso – ganho) e por um atraso no tempo.
Aplicações - Energia
• O espectro de frequência dos sinais se estende até o infinito.
• Porém, como a energia de um sinal é finita, o espectro de amplitude deve tender a zero quando a frequência tente a infinito.
• Pode-se, então, suprimir as frequências acima de que possuem pouco efeito no sinal original.
• A largura de faixa B é chamada largura de faixa essencial.
B (2πB / )Hz rad s
Aplicações - Energia
• A energia de um sinal, no tempo, é dada por:
• E a energia resultante da contribuição de todas componentes de frequência é dada por:
• Assim, a contribuição de energia em um intervalo de frequências é:
2
( ) ( )E t x t dt
2 2
0
( ) ( ) ( )1 12
E jw X jw dw X jw dw
22
1
( ) ( )1w
w
E jw X jw dw