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Análise de Sinais Dinâmicos
2.1 - Classificação de SinaisSinais dinâmicos são geralmente classificados como deterministicos e aleatórios, como mostra a figura abaixo:
Sinais Dinâmicos
Determinísticos
Caóticos
Aleatórios
Periódicos
Transientes
Estacionários
Não Estacionários
Sinal Caótico: Sinal de aparência aleatória controlado por processo determinístico
Sinal Não Estacionário: Possui parâmetros dependentes do tempo
Sinal Aleatório: Muitos Componentes em frequência
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Análise de Sinais Dinâmicos
2.2 - Média TemporalSeja a função x(t) na variável tempo mostrada abaixo:
x(t)
Tempo
dt
B
x
T
A média temporal é definida por:
xT
x t dtT
T=
→∞ ∫lim ( )10
Observações:• Flutuações (em termos de valor médio) diminuem à
medida em que T aumenta• A média temporal è comumente chamada de componente
DC de um sinal
x
10
Análise de Sinais Dinâmicos
2.3 - Média Temporal Quadrática e RMS
A média temporal (MS) é definida por:
MS xT
x t dtT
T= =
→∞ ∫2 2
0
1lim ( )
Tempo
dt
B
x
T
x2(t)
A Root Mean Square é definida por:
AT
x t dtRMS T
T=
→∞ ∫lim ( )1 2
0
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Análise de Sinais Dinâmicos
2.4 - O Espectro em FrequênciaA
mpl
itude
Frequênciafa fb fc fd
A B C D
É um gráfico das amplitudes componentes de um sinal como função do parâmetro frequência (ciclos/s)
Características principais :
• Indica frequências discretas que estão relacionadas comcaracterísticas operacionais de um dado equipamento
• Oferece uma distribuição de amplitudes que pode ser importante na tomada de decisões sobre um sistema
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Análise de Sinais Dinâmicos
Exemplo: Análise de um sinal senoidal
x (t) = D + B cos (ω ω ω ω t + φ φ φ φ )
0 2 4 6 8 101
1.5
2
Tempo [s]
Am
plitu
de
Onde:
D - “Offset” do sinal B - Amplitude ω - Frequência do sinalφ - Fase do sinal senoidal
Seja o sinal senoidal dado pela seguinte equação:
Graficamente:
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Análise de Sinais Dinâmicos
a) Média Temporal
x D B TT
D= + +
≅sen( )ω ϕ
ω
graficamente:
0 2 4 6 8 101.2
1.4
1.6
1.8
Tempo T [s]
Am
plitu
de
Média Temporal
1.5
• A parcela oscilante decresce com o aumento do período T. Amédia temporal é obtida diretamente quando ω T é múltiplo de 2π.
• Sinais senoidais tem média temporal nula quando a média (“average”) dos sinais é realizado em um período T do sinal.Este resultado é útil na seleção de tempos de “average”de instrumentos a fim de se eliminar contaminações do sinal.
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Análise de Sinais Dinâmicos
b) “Temporal Mean Square”: A2RMS
A D BD sen T senT
B sen T senT
RMS2 2
2
2
21 2 2
2
= + + −
+
+ + −
( )
( )
ω ϕ ϕω
ω ϕ ϕω
graficamente:
0 2 4 6 8 101.5
2
2.5
3
3.5
Tempo T [s]
Am
plitu
de
A2RMSRoot Mean Square
É dada pela seguinte equação:
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Análise de Sinais Dinâmicos
Conforme ωT a equação acima reduz-se a→ ∞
A D B D BRMS RMS2 2
22 2
2= + = +
A B B BRMS RMS= = =2
0 707.
Logo:
A amplitude de pico B e o BRMS estão relacionados como visto acima para sinais senoidais exclusivamente ! Então, em hipótese alguma pode-se converter uma amplitude ARMS para uma amplitude de pico ou RMS equivalente para um sinal arbitrário usando-se esta última relação.
• Para B = 0 a amplitude RMS ARMS é igual ao valor médioD; ou seja: ARMS = D
• Para D = 0, temos
onde BRMS é a amplitude senoidal RMS.
• O valor global de RMS, ARMS e a amplitude senoidal RMS, BRMS são duas grandezas completamente diferentes !
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Análise de Sinais Dinâmicos
c) O Espectro em Frequência
Pode ser representado de tres formas diferentes:
D D2 DB B2/2 B-(1/2)
ωωωω ωωωω ωωωωAmplitude Média Quadrática RMS
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Análise de Sinais Dinâmicos
e j senj± = ±θ θ θcos( ) ( )
Forma Polar:
rA A e A e ej t j tj= =+( ) { }ω φ ωφ
dAdt
j Ae e
d Adt
Ae e
j j t
j j t
r
r
=
= −
+
+
ω
ω
φ ω φ
φ ω φ
{ }
{ }
( )
( )2
22
2.5 - Representação Complexa de Funções Reais
Relações de Euler : cos ( )
( )
θ
θ
θ θ
θ θ
= +
= −
−
−
e e
sen e ej
j j
j j2
2
x t B t( ) cos( )= +ω φExemplo:
x t X e X ej t j t( ) *= + −ω ω
X a j b a b e B ej j= + = + =2 22
φ φ
Forma Polar:
com
* Complexo conjugado de X
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Análise de Sinais Dinâmicos
2.6 - Fasores e Funções Senoidais Reais
Considere o seguinte sinal no tempo:
x t B t B( ) cos( ) cos( )= + =ω φ θ
onde B : amplitude do sinalω : frequência circular do sinal (rad/s)φ : ângulo de fase do sinal θ = ω t + φ : argumento
Esta função real pode ser expressa como:
x t B e e B e e
X e X e
j j t j j t
j t j t
( )
*
=
+
=
+
− −
−2 2
φ ω φ ω
ω ω
onde:
X a j b a b e B e
X a j b a b e B e
j j
j j
= + = + =
= − = + =− −
2 2
2 22
2
φ φ
φ φ*
a B
b B sen
ba
=
=
=
2
2
cos( )
( )
tan( )
φ
φ
φ
+ S. A. H.- S. H.
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Análise de Sinais Dinâmicos
2.3 - Sinais Períodicos
Sinal periódico: x (t + T) = x (t)
Frequência Circular: ωo = 2π (1/T) = 2 π fo
2.3.1 - Séries de Fourier para Sinais Periódicos
Qualquer sinal real, periódico e contínuo possuindo um número finito de descontinuidades pode ser escrito como:
x t X p ep
j p ot( ) ==−∞
∞∑ ω
onde Xp representa o p-ésimo coeficiente da série de Fourier, possuindo partes real e imaginária e dado por
XT
x e dpj p
t
t To= −+
∫1 ( )τ τω τ
Estas duas últimas equações constituem o
par de transformada de Fourier para sinais periódicos
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Análise de Sinais Dinâmicos
Características:
• A primeira equação para x (t) representa uma soma para todas as frequências discretas que são múltiplas da fre-quência fundamental ωo
• Os coeficientes da série Xp são obtidos mediante uma in-tegração sobre um período completo (geralmente começando em 0 ou -T/2)
• Estes coeficientes da série de Fourier representam uma “medida” da correlação entre a função x (t) e a funçãoexponencial num período fundamental T. Eles ocorrem em pares complexos conjugados (Xp e X*
p)
ap
-bp-pωo
X*p= X- p
-φ pXo
Re
Imcomponente defrequência de ordemp ou harmônico p
Frequência pωo ap
bpφ pXp
S A H
S H
21
Análise de Sinais Dinâmicos
Outras propriedades úteis da Série de Fourier:
• Somente metade dos coeficientes Xp precisam ser calculados, visto que ocorrem aos pares complexos conjugados
• Quando x (t) é uma função par, ou seja, x (-t) = x (t)somente coeficientes reais ap resultam da decompo-sição. Neste caso a função x (t) correlaciona-se com a componente cos ω ω ω ω t da série
• Quando x (t) é uma função ímpar, ou seja, x (-t) = - x(t)somente coeficientes reais bp resultam da decompo-sição. Neste caso a função x(t) correlaciona-se com a componente sin ω ω ω ω t da série
• O Espectro em Frequência da função periódica x(t)corresponde à um gráfico onde são mostrados os com-ponentes de frequência (ou harmônicos) Xp como fun-ção de frequências discretas pωωωωo. Esta representação gráfica pode ser dada em termos dos ap e bp ou em em termos do módulo e fase de Xp (mais usual !) como função da frequência.
22
Análise de Sinais Dinâmicos
Relações importantes:
• Média: É obtida fazendo-se p = 0 na expressão de Xp
XT
x dot
t T=
+
∫1 ( )τ τ
Então, Xo é o valor médio do sinal periódico !
• Média Quadrática: É conhecida por Fórmula de Parsevale é dada por
A X XRMS o pp
2 2 2
1
2= +=
∞
∑
Esta expressão pode ser simplificada para
A XB
X BRMS op
po p
pRMS
2 22
1
2 2
12
= + = +=
∞
=
∞
∑ ∑
23
Análise de Sinais Dinâmicos
1 0.5 0 0.5 1
1
Exemplo: Séries de Fourier de uma onda quadrada
Considere a onda quadrada periódica mostrada abaixo.
Os coeficientes da Série de Fourier para este sinal são dados pela seguinte expressão
Xp A sen pp
A sinc z=
=
22
2 2( / )
( / )( )π
π
onde z = pπ /2.
sinc z sen zz
( ) ( )=
De forma similar, a fórmula de Parseval fica
MS A sinc p
p
= +
=
∞
∑2
2
141 2
2π
( t )
x ( t )
A / 2
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Análise de Sinais Dinâmicos
Coeficientes da Série de Fourier para onda periódica quadrada
Amplitude dos coeficientes da Série de Fourier para onda periódica quadrada
6 4 2 0 2 4 6
0.5
1
ω
2 |Xp| /A
0.637
0.2120.127
6 4 2 0 2 4 6
0.5
0.5
1
ω
2 Xp/A0.637
0.212
0.127
25
Análise de Sinais Dinâmicos
1 0.5 0 0.5 1
1
2.4 - Análise de Sinais TransientesConsidere o pulso retangular de amplitude A, duração T eperiodicidade To mostrado abaixo.
t
x ( t )To = β T
Objetivo: Vamos analizar esta onda para valores crescentes de β, ou seja, vamos isolar o pulso retangular e usar a séries de Fourier para descrever seu conteúdo em frequência
Componentes Xp da Série de Fourier
X ATT
sen pp
ATT
sinc zpo o
=
=( / )
( / )( )π β
π βz p= π
β
T T
T T
o
oo
=
= =
β
ω π πβ
2 2
26
Análise de Sinais Dinâmicos
6 4 2 0 2 4 6
0.5
0.5
30 20 10 0 10 20 30
0.05
0.05
0.1
(a) Valores de Xp para ββββ = 2
(b) Valores de Xp para ββββ = 10
ββββ = 2ωωωωo = π π π π /T
ββββ = 10ωωωωo = π π π π /5T
ωo ωo ωo ωo ωo ωo
Xp / A
Xp / A
p = 30
p = 10p = 20
p = -10p = -20
p = -30
ω ω ω ω 1 = π π π π / T ω ω ω ω 2 = 2π π π π / Tω ω ω ω 1 = -π π π π / Tω ω ω ω 2 =- 2π π π π / T
ωωωω
ωωωω
2 1 0 1 2
1
2 1 0 1 2
1
27
Análise de Sinais Dinâmicos
Observações importantes:
• Quando ββββ = 10, as amplitudes de Xp são da ordem de 1 / 5 daquelas correspondentes à ββββ = 2
• Onze componentes de frequência Xp estão entre ωωωω= 0 e ωωωω= ππππ / T, mostrando que os componentes em frequênciaestão muito mais próximos quando ββββ = 10
• Quando o argumento z da função sinc (z) é múltiplo de ππππ, componentes de frequência com amplitude zero ocorrem em fequências fixas
Então, torna-se evidente que o método das Séries de Fourieré inadequado para uma análise direta a medida em que ββββaumenta, ou seja, a medida em que o pulso centrado em t = 0 vai ficando cada vez mais isolado, tornando-se um sinal transiente !
Precisamos então efetuar uma modificação no procedimento de cálculo para adequar o método à sinais transientes ! Este procedimento novo recebe o nome de Transformada de Fourier para Sinais Transientes e cuja formulação será apre-sentada a seguir.