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Números Complexos
? 4
Unidade imaginaria:
Desta forma:
ou
241414 j .).(
Definição:
1j 12 j
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Deduções:
jjjjj ).(. 123
111224 )).((. jjj
jjjjjj ).).((.. 11225
11112226 )).().((.. jjjj
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Formas de Representação de um Numero Complexo
•Forma Carteziana•Forma Polar •Forma Trigonometrica
Forma Carteziana
a e b são números reais
j é a unidade imaginaria
Z=a+jb
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Plano CartezianoZ(a,b)
Eixo Imaginario (Im)
Eixo Real (R)
b
a
Forma Carteziana
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Exemplos: Representar os números complexos no plano carteziano
Z1=4+j4
4
4
Im
R
Z1
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Z2=7 (não tem parte imaginaria)
Im
R
Z2
7
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Im
R
Z3=j3 (não tem parte real)
3Z3
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Z5=3+j3
Im
R
-1-2 1
1
2
-1
-2
-3
3
2 3-3
Z4
Z5
Z4=-3+j2
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Im
R a
b
o
P
Z
Z=a +jb forma carteziana
Segmento de reta
ZOP Representa o MODULODo numero complexo z
O ângulo representa o ARGUMENTO ou ÂNGULO DEFASE de z
MÓDULO
FASE
Forma Polar
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Na forma polar um numero complexo é representado por:
z = Z
Numero complexo é representado por letra minúscula, z
E o seu modulo por letra maiúscula, Z
Z= Z
Z é o modulo e é a fase do numero complexo
Forma alternativa
Forma Polar
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Transformação da Forma Carteziana para Polar
Im
Ra
b
Z
22 baZ Dado: z=a+jb
Determinar: Z e
z = Z
a
btg
a
barctg
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Exemplos: Transformar os números para a forma polar
Z1=4+j4
Im
R
4
4
Z1
z1
1
24441 22 Z
01 45
4
4arctg
z1 = 24045
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Z2=7 (não tem parte imaginaria)
Im
R7
Z2
z22 z2 = 7
00
2=00
Z2=7
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z3=j3 (não tem parte real)
Im
R
z3
Z3 3
Z3=3
3
3=900
z3 = 3 090
Ou..........
z3 = 3 0270
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Z4=-3+j2
Im
R
z4
Z4
631323 224 ,)( Z
’
0343
2arctg'2
-3
4 4=180-34=1460
z4 = 3,6 0146
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Z5=-5
Im
R
z5
Z5=5
Z5
5
5=1800
z5 = 5 0180
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Z6=-4-j3
Im
R
-4
-3
z6
Z6
534 226 )()(Z
6
’
0374
3arctg'
6=180+37=2170
z6 = 5 0217
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Z7=-j4
Im
R
z7 -4
Z7=4
77=2700
z7 = 4 0270
Ou.....
z7 = 4 090
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Z8=4-j3
Im
R
z8Z8
4
-3
534 228 )(Z
8
’
0374
3arctg'
8=360-37=3230
z8 = 5 0323
ou............... z8 = 5 037
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Operações com Números Complexos
SOMA e SUBTRAÇÃO
Na soma e na subtração é usada a forma cartesiana
z1=10+j10 z2=5+j4
z3=z1+z2=(10+j10) + (5+j4)= (10+5)+j(10+4)=15+j14
z4=z1-z2= (10+j10) - (5+j4)= (10-5)+j(10-4)=5+j6
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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Na multiplicação e divisão é usada a forma polar
z1=4+j4=5,65 450
z2=5+j8,66=10 600
Z4= -5+j8,66= 10 1200
Z3=-j4=4 -900
Operações com Números Complexos
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Exercícios Propostos
Dados os complexo:
Z3=-j4=4 -900
z1=4+j4=5,65 450 z2=5+j8,66=10 600
Z4= -5+j8,66= 10 1200
Obter:
a) Representação no plano cartesiano de z1,z2,z3 e z4
b) z2.z4 z2.z3
c) z2/z4 z2/z3