Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 1
Catatan Perkuliahan
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS
Endaryono
POGRAM STUDI INFORMATIKA
FAKULTAS TEKNIK DAN ILMU KOMPUTER (FTIK)
UNIVERSITAS INDRAPRASTA (UNINDRA) PGRI
2020
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 2
BAB IV
Determinan Matriks
Setelah menyelesaikan pembahasan bab IV ini, diharapkan mahasiswa dapat
memahami :
1. Pengertian Determinan
2. Determinan Matriks Ordo 2x2
3. Determinan Matriks Ordo 3x3 Metode Sarrus
4. Determnan Matriks Metode Kofaktor
5. Determinan Matriks ordo 4x4
A. Pengertian Determinan
Determinan suatu matriks A, ditulis: det A atau |A| adalah nilai skalar yang dihitung
dari entri-entri matriks persegi.
Dalam Aljabar Linier, determinan matriks akan memberikan informasi mengenai
sifat-sifat matriks tersebut. Penggunaan determinan antara lain: penentuan invers
matriks, penyelesaian Sistem persamaan Linier (SPL), penentuan transformasi luas
atau volume pada bangun ruang, dan lain-lain.
Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya
adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut.
AadjA
A .11 --------------------- Persamaan 4.1
Suatu matriks A yang memiliki determinan sama dengan nol (det A = 0) maka
matriks tersebut dinamakan matriks singular. Matriks singular tidak memiliki invers
matriks, mengapa?. Silahkan dijawab berdasarkan persamaan 4.1
B. Determinan Matriks Ordo 2x2
Matriks A2x2 adalah matriks ordo 2x2
2221
1211
aa
aaA
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 3
Maka determinan matriks A adalah:
||det AA
‘2221
1211
aa
aa
-------- Persamaan 4.2
Dalam pustaka lain, dituliskan:
dc
baA
Det A = |A|
Contoh 4-1
Carilah determinan matriks A
14
23A
Jawab
Det A = |A|
14
23
= (3.1) – (-2.4) = 3 - (-8) = 11
C. Determinan Matriks Ordo 3x3 Metode Sarrus
Determinan metode Sarrus dikemukakan oleh penemunya, Pierre
Frédéric Sarrus (10 Maret 1798 – 20 November 1861), seorang
matematikawan Perancis. Sarrus adalah profesor di Universitas
Strasbourg, Perancis (1826-1856). Ia menemukan aturan dalam
|A| = (a11a22) - (a12a21)
|A| = (ad) – (bc)
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 4
menentukan determinan matriks berordo 3x3 yang dinamakan skema Sarrus,
sebuah metode yang mudah untuk diingat (easy–to–remember), seperti bentuk
perkalian silang.
Penjelasan metode Sarrus untuk determinan matriks ordo 3x3 sebagai berikut:
Diketahui suatu matriks A3x3 atau matriks ordo 3x3
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Maka determinan matriks A adalah:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3131
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
)()()( 312231211331233321123223332211 aaaaaaaaaaaaaaa
312213312113312312332112322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa
312213332112322311312113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa
312213332112322311312113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa
322311332112312213312113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Dengan demikian, determinan matriks ordo 3x3 metode Sarrus adalah:
|A| = (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a31) – (a13a22a31) – (a12a21a33) – (a11a23a32)
Untuk diingat, pola perkaliannya adalah:
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
33
23
13
32
22
12
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
a
a
a
a
a
a
-------- Persamaan 4.3
|A| = (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a31) – (a13a22a31) – (a12a21a33) – (a11a23a32) --- Pers. 4.3
(a11a22a33)
(a12a23a31) (a13a21a31)
– (a12a21a32)
– (a13a22a31)
– (a11a23a32)
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 5
Contoh 4-2
968
754
321
B Determinan matriks B adalah:
Det B = |B|
= (1.5.-9) + (-2.7.8) + (3.-4.6) - (3.5.8) - (-2.-4.-9) - (1.7.6)
= -45 + (-112) + (-72) - (120) - (-72) - 42
= -319
Jika kita ingin buat dalam program sederhana, yaitu dalam Excel, dapat dilihat:
Formula Excel di cel G11 adalah:
=(C10*D11*E12)+(D10*E11*C12)+(E10*C11*
D12)-(E10*D11*C12)-(D10*C11*E12)-
(C10*E11*D12)
D. Determinan Matriks dengan Ekspansi Kofaktor
Untuk menentukan determinan dengan metode Ekspansi kofaktor, perlu dipahami
istilah berikut:
1. Minor (Mij)
Minor ij suatu matriks A adalah determinan matriks A dengan menghilangkan baris
ke-i dan kolom ke-j
Contoh:
968
754
321
A
M13 adalah
968
754
321
68
5413
M
543024)6.5()6.4(
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 6
M21 adalah
968
754
321
96
3221
M
01818)6.3()9.2(
2. Cofaktor (Cij)
Cofaktor ij suatu matriks A adalah bilangan scalar hasil dari negative satu pangkat
baris-i tambah kolom-j dikali minornya. Ditulis:
-------- Persamaan 4.4
Contoh 4-3
968
754
321
A
1. 13
31
13 .)1( MC = 68
54.)1( 4
= 1 . -54 = -54
2. 21
12
21 .)1( MC
= 96
32.)1( 3
= -1 . 0 = 0
Catatan:
(-1)1 = -1 (-1)3 = -1 (-1)ganjil = -1 (-1)2 = 1 (-1)4 = 1 (-1)genap = 1
Menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor
968
754
321
A
Menghitung determinan matriks A ekspansi kofaktor baris ke-1
3
1
11detj
ijCaA
131312121111 Ca + CaCa
68
54.)1).(3(
98
74.)1).(2(
96
75.)1.(1 312111
= 1.1.(-45 - 42) + -2.-1.(36 - 56) + 3.1.(-24 - 40)
= 1.(-87) + 2.(-20) + 3.(-64)
= -87 + (-40) + (-192)
= -319 (bandingkan dengan contoh 4-2, hasilnya sama dengan metode Sarrus)
Cij = (-1)(i+j) . Mij
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 7
Menghitung determinan matriks A ekspansi kofaktor baris ke-3
3
1
33detj
ijCaA
333332323131 Ca + CaCa
54
21.)1).(9(
74
31.)1).(6(
75
32.)1.()8( 332313
= 8.1.(-14 - 15) + 6.-1.(7 – (-12)) + (-9).1.(5 – 8)
= 8.(-29) + -6.(19) + -9.(-3)
= -232 + -114 + 27
= -319 (bandingkan dengan contoh 4-2, hasilnya sama dengan metode Sarrus)
E. Sifat-sifat Determinan
Beberapa sifat-sifat determinan, antara lain
1. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom sama dengan nol, maka
determinan matriks tersebut adalah nol.
14
00A
10
30B
968
000
321
C
Det A = 0
Det B = 0 Det C = 0
2. Jika semua elemen dari salah satu baris atau kolom itu sama dengan elemen-
elemen baris atau kolom lain, maka determinan matriks tersebut adalah nol.
31
31A
371
143
371
B
686
343
171
C
Det A = 0
Det B = 0 Det C = 0
3. Jika elemen-elemen salah satu dari baris atau kolom merupakan kelipatan dari
elemen-elemen baris atau kolom lain maka determinan matriks adalah nol.
62
31A
286
143
371
B
1286
943
371
C
Det A = 0
Det B = 0 Det C = 0
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 8
4. Determinan transpose suatu matriks adalah sama dengan determinan matriks
tersebut.
|AT| = |A|, untuk AT ialah transpose dari matriks A
5. Jika matriks A adalah matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, atau matriks
diagonal, maka determinan A = hasil kali elemen diagonal utama.
200
750
341
A
768
014
004
A
300
050
001
A
det A = 1.5.2 = 10
det B = 4.1.-7 = -28 Det C = 1.5.-3 = -15
6. Jika matriks B dihasilkan dari matriks A setelah dua baris atau dua kolomnya
ditukar, maka determinan B adalah negative dari determinan matriks A.
Ditulis: |B|= -|A|
200
750
341
A
341
750
200
B
|B| = -|A|
det A = 10
det B = -10
7. Jika matriks B adalah matriks yang diperoleh dari matriks A setelah salah satu
baris atau kolomnya dikalikan dengan konstanta k, maka determinan B adalah k
kali dari determinan A.
Ditulis: |B| = k.|A|
200
750
341
A
200
750
682
B
|B| = 2 |A|
det A = 10
det B = 20
8. Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A setelah salah satu baris atau
kolomnya dijumlah dengan perkalian konstanta k kali elemen baris atau kolom
yang lainnya, maka determinan B sama dengan determinan A (lihat teori
transformasi elementer Bab 3)
Ditulis: |B| = |A|
200
750
341
A
200
13132
341
B
|B| = |A|
det A = 10
det B = 2. ( (1.13)-(4.2) ) det B = 2. (13 - 8) = 2.5 = 10
B2+2B1
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 9
9. |AB| = |A| ×|B|
10. |kA| = k |A|, untuk A matriks persegi ordo n n dan k adalah konstanta
F. Determinan Ordo 4x4
Untuk menentukan determinan matriks ordo 4x4, dapat dilakukan dengan beberapa
cara, diantaranya:
1. Cara ekspansi kofaktor langsung
2. Cara ekspansi kofaktor dengan tranformasi elementer
3. Cara ekspansi kofaktor dengan tranformasi elementer dan bentuk segitiga
4. Cara Sarrus
1. Cara ekspansi kofaktor langsung
Untuk menentukan determinan matriks ordo 4x4 dengan ekspnsi kofaktor,
digunakan persamaan yang sudah dipahami, yaitu:
ijijCaAdet dan
Cij = (-1)(i+j) . Mij
Contoh 4-4
Tentukan determinan matriks ordo 4x4 berikut
2222
3133
1121
1312
A
Jawab
2222
3133
1121
1312
A
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 10
Kita bebas dalam melakukan ekspansi kofaktor, bisa ekspansi kofaktor tehadap baris
atau ekspansi kofaktor terhadap kolom.
Misalkan kita akan melakukan ekspansi kofaktor terhadap baris ke-1, dan kita
ketahui dalam soal bahwa jumlah kolom ada 4, maka persamaan determinan adalah:
4
1
11
j
jjCaA
14141311312121111 CaCaCaCaA
222
133
121
.)1(.1
222
333
121
.)1(.3
222
313
111
.)1(.1
222
313
112
)1.(2 41312111
A
Dicari masing-masing suku tersebut di atas. Untuk determinana ordo 3x3 dapat
dicari dengan beberapa cara, misalkan cara Sarrus.
222
313
112
)1.(2 11
1111
Ca
))2.3.2()2.3.1()2.1.1()2.3.1()2.3.1()2.1.2(.(1.21111 Ca
)1262664.(1.21111 Ca
)8.(1.21111 Ca
161111 Ca
222
313
111
.)1(.1 21
1212
Ca
))2.3.1()2.3.1()2.1.1()2.3.1()2.3.1()2.1.1(.(1.11212 Ca
)662662.(1.11212 Ca
)8.(11212 Ca
81212 Ca
222
333
121
.)1(.3 31
1313
Ca
))2.3.1()2.3.2()2.3.1()2.3.1()2.3.2()2.3.1(.(1.31313 Ca
)61266126.(1.31313 Ca
36)12.(31313 Ca
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 11
222
133
121
.)1(.1 41
1414
Ca
))2.1.1()2.3.2()2.3.1()2.3.1()2.1.2()2.3.1(.(1.11414 Ca
)2126246.(1.11414 Ca
)12.(11414 Ca
121414 Ca
Sehingga:
14141311312121111 CaCaCaCaA
1236816 A
16A
2. Cara ekspansi kofaktor dengan operasi transformasi elementer
Untuk cara ini, matriks sebelum dilakukan penghitungan determinan disederhanakan
terlebih dahulu menjadi matriks ekuivalen dengan menggunakan aturan transformasi
elementer.
Matriks ekuivalen yang didapatkan akan memiliki elemen bernilai 0 yang akan
memudahan perhitungan determinan.
Untuk diingat dalam sifat-sifat determinan, antara lain:
Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A setelah salah satu baris atau
kolomnya dijumlah dengan perkalian konstanta k kali elemen baris atau kolom yang
lainnya, maka determinan B sama dengan determinan A. Ditulis: |B| = |A|
Contoh 4-5
Tentukan determinan matriks ordo 4x4 berikut
2222
3133
1121
1312
A
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 12
Jawab
Dilakukan trasnformasi linier agar didapat matriks ekuivalen yang entrinya bernilai 0
1110
3133
1121
1312
114
2222
3133
1121
1312
BB
1110
0230
1121
1312
2.33
1110
3133
1121
1312
BB
1110
0230
1121
3150
2.21
1110
0230
1121
1312
BB
1110
0230
0011
3150
4.12
1110
0230
1121
3150
BB
1110
0230
0011
0420
4.31
1110
0230
0011
3150
BB
1110
0230
0011
0080
3.21
1110
0230
0011
0420
BB
105,00
0230
0011
0080
3.2/14
1110
0230
0011
0080
BB
105,00
0230
0001
0080
1).8/1(2
105,00
0230
0011
0080
BB
1000
0230
0001
0080
1).16/1(4
105,00
0230
0001
0080
BB
Hasil matriks ekuivalen yang didapat yaitu:
1000
0230
0001
0080
'A
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 13
Perhatikan bahwa matriks yang didapat lebih sederhana, sehngga kita dapat
menentukan determinan matriks dengan ekspansi kofaktor terhadap baris atau
kolom yang banyak memiliki nilai 0.
Misalkan kita akan melakukan ekspansi kofaktor terhadap kolom ke-4
1000
0230
0001
0080
'A
4
1
44
i
ii CaA
230
001
080
.)1(.1
000
001
080
.)1(.0
000
230
080
.)1(.0
000
230
001
)1.(0 44434241
A
)0)16(0000.(1.1000 A
16A
3. Cara ekspansi kofaktor dengan transformasi elementer dan bentuk segitiga
Ingat kembali tentang sifat determinan berkaitan dengan matriks segitiga.
Jika matriks A adalah matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, atau matriks
diagonal, maka determinan matriks A = hasil kali elemen diagonal utama.
Contoh 4-6
Tentukan determinan matriks ordo 4x4 berikut
2222
3133
1121
1312
A
Jawab
Matriks A akan dibuat menjadi matriks segitiga
2222
3133
1121
1312
A
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 14
Lakukan transformasi baris terhadap elemen a11 terlebih dahulu
2222
3133
1121
1312
15,02 BB
2222
3133
5,15,05,20
1312
0,5 hasil pembagian 1 di B2 dan 2 di B1
2222
3133
5,15,05,20
1312
15,13 BB
2222
5,45,35,40
5,15,05,20
1312
1,5 hasil pembagian 3 di B3 dan 2 di B1
2222
5,45,35,40
5,15,05,20
1312
114 BB
1110
5,45,35,40
5,15,05,20
1312
1 hasil pembagian 2 di B4 dan 2 di B1
1110
5,45,35,40
5,15,05,20
1312
28,13 BB
1110
8,16,200
5,15,05,20
1312
1,8 dari pembagian 4,5 di B3 dan 2,5 di B2
1110
8,16,200
5,15,05,20
1312
24,04 BB
4,02,100
8,16,200
5,15,05,20
1312
0,4 dari pembagian 1 di B4 dan 2,5 di B2
4,02,100
8,16,200
5,15,05,20
1312
3462,04 BB
231,1000
8,16,200
5,15,05,20
1312
0,462 hasil pembagian 1,2 di B4 dan 2,6 di B3
Sehingga : 003,16231,1.6,2.5,2.2 A
4. Cara Sarrus
Metode Sarrus untuk penentuan determinan matriks ordo 4x4 terdiri 4 langkah,
Langkah ke-1 mencari A1
Langkah ke-1 dimulai tanda + (plus) dengan aturan 1 – 1 – 1
a ke f = 1, f ke k = 1 dan k ke p = 1
Sehingga pola A1 = 1 – 1 – 1
A1 = + afkp - bglm + chin - dejo
- ahkn + belo - cfip + dgjm
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 15
Langkah ke-2 mencari A2
Langkah ke-2 dimulai tanda - (minus) dengan aturan 1 – 2 – 3
a ke f = 1, f ke l = 2 dan l ke 0 = 3
Sehingga pola A2 = 1 – 2 – 3
A2 = - aflo + bgip – chjm + dekn
+ ahjo - bekp + cflm - dgin
Langkah ke-3 mencari A3
Langkah ke-3 dimulai tanda + (plus) dengan aturan 2 – 1 – 2
a ke g = 2, g ke l = 1 dan l ke n = 2
Sehingga pola A3 = 2 – 1 – 2
A3 = + agln - bhio + cejp - dfkm
- agjp + bhkm – celn + dfio
Langkah ke-4 mencari determinan matriks A
Det A = |A| = A1 + A2 + A3
Contoh 4-7 Tentukan determinan matriks ordo 4x4 berikut
2222
3133
1121
1312
A
Jawab
2222
3133
1121
1312
2222
3133
1121
1312
1
A
A1 = (afkp) – (bglm) + (chin) – (dejo) – (ahkn) + (belo) – (cfip) + (dgjm)
A1 = (2.-2.1.2) – (-1.-1.3.-2) + (3.-1.3.2) – (-1.-1.3.-2)
– (2.-1.1.2) + (-1.-1.3.-2) – (3.-2.3.2) + (-1.-1.3.-2)
A1 = (-8) – (-6) + (-18) – (-6) – (-4) + (-6) – (-36) + (-6)
A1 = -8 + 6 -18 + 6 + 4 – 6 + 36 – 6 = 14
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 16
2
3
2
1
2
3
1
2
2222
3133
1121
1312
2222
3133
1121
1312
2
3
1
1
2
1
1
3
2
A
A2 = - (aflo) + (bgip) – (chjm) + (dekn) + (ahjo) – (bekp) + (cflm) – (dgin)
A2 = - (2.-2.3.-2) + (-1.-1.3.2) - (3.-1.3.-2) + (-1.-1.1.2)
+ (2.-1.3.-2) - (-1.-1.1.2) + (3.-2.3.-2) - (-1.-1.3.2)
A2 = - (24) + (6) – (18) + (2) + (12) – (2) + (36) – (6)
A2 = 6
2
3
1
2
2222
3133
1121
1312
2222
3133
1121
1312
2
3
1
1
3
A
A3 = + (agln) – (bhio) + (cejp) – (dfkm) - (agjp) + (bhkm) – (celn) + (dfio)
A3 = (2.-1.3.2) - (-1.-1.3.-2) + (3.-1.3.2) - (-1.-2.1.-2)
- (2.-1.3.2) + (-1.-1.1.-2) - (3.-1.3.2) + (-1.-2.3.-2)
A3 = (-12) - (-6) + (-18) - (-4) - (-12) + (-2) - (-18) + (-12)
A3 = -4
Sehingga:
Det A = |A| = A1 + A2 + A3
Det A = |A| = 14 + 6 + (-4) = 16
Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor
- Halaman 17
TUGAS – 4
Kerjakan di kertas dengan tulisan tangan.
(boleh HVS atau Folio bergaris). Jangan lupa cantumkan nama dan NPM
__________________________________________________________________
Diketahui suatu matriks A
210
121
012
A
1915
4634
0003
0132
B
1. Tentukan determinan matriks A dengan metode Sarrus.
2. Tentukan determinan matriks A dengan ekspansi kofaktor terhadap baris ke-3
3. Tentukan determinan matriks A dengan ekspansi kofaktor terhadap kolom ke-2
4. Tentukan determinan transpose matriks A, ditulis: |AT|
5. Tentukan determinan matriks B ordo 4x4 (metode atau cara bebas)
Selamat mengerjakan