![Page 1: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/1.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear ElementerMA1223
3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
![Page 2: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/2.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 2
Ruang Hasilkali Dalam (RHD)
Sub Pokok Bahasan– Definisi RHD– Himpunan Ortonormal– Proses Gramm Schmidt
Aplikasi RHD : bermanfaat dalam beberapa metode optimasi,
seperti metode least square dalam peminimuman BER dalam berbagai bidang rekayasa.
![Page 3: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/3.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 3
DefinisiMisalnya V adalah suatu ruang vektor, dan maka notasi < , > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut:
1. (Simetris)
2. (Aditivitas)
3. untuk suatu kR,
(Sifat Homogenitas)
4. , untuk setiap
dan
Vvu ,
vu , uv ,
wvu , wvwu ,,
vuk , vku , vuk ,
0, uu
0, uu 0 u
u
(Sifat Positifitas)
Ruang vektor yang dilengkapi dengan operasi hasilkali
dalam dinamakan Ruang Hasilkali Dalam (RHD)
![Page 4: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/4.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 4
Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor dinyatakan oleh :
Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn )Misalkan , Rn maka
= (u12 + u22 + …..+un2)½
0, 21 uuu
u
nnvuvuvuvu ..., 2211u v
0, 21 uuu
Sudut antara dua vektor dalam suatu RHD :
vu
vu
,cos
![Page 5: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/5.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 5
Contoh 2 :
Misalnya W R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali , dimana Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam
Jawab :
Misalkan 2u1v1 + u2v2 + 3u3v3
= 2 v1u1 + v2u2+ 3v3u3
(terbukti simetris)
332211 32, vuvuvuvu
Wvu ,
Wwvu ,,
vu ,
uv ,
![Page 6: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/6.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 6
<(u1+v1, u2+v2, u3+v3), (w1, w2, w3)>
= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2)w2 + 3(u3+v3)w3
= 2u1w1+2v1w1+u2w2 +v2w2+3u3w3+3v3w3
= 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3
(bersifat aditivitas)
(iii) untuk suatu kR, <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)>
= 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3
= k2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3
(bersifat
homogenitas)
wvu ,)ii(
wvwu ,,
vuk ,
vku , vuk ,
![Page 7: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/7.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 7
Jelas bahwadan
Contoh :Tunjukan bahwa
bukan merupakan hasil kali dalamJawab :
Perhatikan
Pada saat 3u32 > u1
2 + 2u22
maka
23
22
21 32,)iv( uuuuu
uuu setiapuntuk 0, 21
0jika hanya0, uuu
332211 32, vuvuvuvu
23
22
21 32, uuuuu
0, uu
Tidak memenuhi
Sifat positivitas
![Page 8: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/8.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 8
Himpunan Ortonormal Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam
dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus).
Himpunan ortonormal himpunan ortogonal yang setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.
Misalkan, pada suatuRHDT dikatakan himpunan vektor ortogonal jika
untuk setiap i ≠ j Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal
jika untuk setiap i berlaku
ncccT ,...,, 21
0, ji cc
1ic
![Page 9: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/9.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 9
Contoh : 1.
Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.
2.
Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal.
0
1-
0
1
,
A
1-
0
0
1
,
B
![Page 10: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/10.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 10
Misalkan
adalah basis ortonormal untuk RHD V Jika adalah sembarang vektor pada V, maka
Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :
Karena S merupakan himpunan ortonormal dan
nvvvS ,...,, 21
u
nnvkvkvku ...2211
inni vvkvkvkvu ,..., 2211
inniiiii vvkvvkvvkvvk ,...,...,, 2211
ivv ii setiapuntuk 1, jivv ji setiapuntuk 0, dan
![Page 11: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/11.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 11
Sehingga, untuk setiap i berlaku
ii kvu ,
nn vvuvvuvvuu ,...,, 2211
nnvkvkvku ...2211Kombinasi linear
Ditulis menjadi
Contoh :Diketahui
2
1a pada RHD Euclides
berupa bidang yang dibangun
21
21
u
21
21
vdan
Nyatakan vua dandarilinearkombinasisebagai
![Page 12: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/12.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 12
Jawab :
vvauuaa ,,
vua
21
21
21
21
,2
1,
2
1
2
1
vua 21
23
Ingat …..{u , v} merupakanBasis ortonormal
vkuka 21
![Page 13: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/13.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 13
Proses Gramm-Schmidt
ncccS ,, 21
nwwwB ,...,, 21
basis bagi suatu RHD V
basis ortonormal bagi V
1
11.1
c
cw
Langkah yang dilakukan
![Page 14: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/14.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 14
2. Langkah kedua
2c
1w 1p
1q
2w
2w2c
1121
11221 ,
,1
wwcw
wwccproyp w
121 pcq
2122
11222
,,
,
wwcc
wwccw
Vektor satuan searah 1q
![Page 15: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/15.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 15
3. Langkah ketiga 3w3c
W
3c
1w 2w
2p
2q
3w
22311332 ,, wwcwwccproyp W 232 pcq
2231133
22311333 ,,
,,
wwcwwcc
wwcwwccw
Vektor satuan
Yang tegak lurusBidang W
![Page 16: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/16.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 16
Contoh :Diketahui :
B merupakan basis pada RHD Euclides di R3.Transformasikan basis tersebut menjadi basis Ortonormal
Jawab :Langkah 1.
1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
321 uuuB
1
11 u
uv
3
1,1,1
3
13
13
1
![Page 17: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/17.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 17
Langkah 2
22
222
1
1
uproyu
uproyuv
v
v
3
1,
3
1,
3
2
3
1,
3
1,
3
1
3
21,1,0
, 112222 1vvuuuproyu v
36
91
91
94
22 1 uproyu v
6
16
16
2
2v
Sementara itu,
Karena itu,
sehingga :
![Page 18: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/18.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 18
Langkah 3
Sementara itu,
sehingga :
33
333
uproyu
uproyuv
W
W
2
1,
2
1,0
6
1,
6
1,
6
2
6
1
3
1,
3
1,
3
1
3
11,0,0
,, 223113333 vvuvvuuuproyuW
21
21
3
0
v
![Page 19: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/19.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 19
Jadi,
321 ,, vvv
merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3
dengan hasil kali dalam Euclides
21
21
616
16
2
313
13
1 0
,,=
![Page 20: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/20.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 20
Contoh :
1
1
0
,
1
0
1
1
1
1
u
Diketahui bidang yang dibangun oleh
merupakan subruang dari RHD Euclides di R3
Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor
pada bidang tersebut.
![Page 21: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/21.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 21
Jawab :
1
1
0
,
1
0
1
21 vv
Diketahui
Selain membangun subruang pada RHD
Karena
merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb.
himpunan tsb juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan).
21 , vv
Langkah awal :Basis tersebut basis ortonormal.
![Page 22: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/22.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 22
2
1 , 0 ,
2
1
2
1 , 0 , 1
101
1 , 0 , 1
222
1
11 v
vw
2
12
100
2
1 ,0 ,
2
1 1 , 1 , 0, 12
wvPerhatikan bahwa :
![Page 23: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/23.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 23
2
1 , 0 ,
2
1
2
1 , 0 ,
2
1
2
1 , 112 wwv
2
1 , 1 ,
2
1
2
1 , 0 ,
2
11 , 1 , 0 , 1122 wwvv
62
14
6
4
11
4
1
2
11
2
1 ,
22
2
1122
wwvv
Sehingga:
Akibatnya :
![Page 24: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/24.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 24
Akhirnya, diperoleh
6
1 ,
6
2 ,
6
1
62
12
1 , 1 ,
2
1
,
,
1122
11222
wwvv
wwvvw
6
16
2 6
1
,
2
102
1
Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb
=
![Page 25: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/25.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 25
1
1
1
u
uoy WPr 2211 , , wwuwwu
2
2
22
1 0
2
1
2
1 , 0 ,
2
1 1 , 1 , 1, 1
wu
Proyeksi Orthogonal Vektor
pada bidang tersebut adalah
Perhatikan bahwa :
6
2
6
1
6
2
6
1
6
1 ,
6
2 ,
6
1 1 , 1 , 1, 2
wu
dan
![Page 26: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/26.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 26
uoy WPr2211 , , wwuwwu
3
13
2
3
1
1
0
1
3
43
2
3
2
Dengan demikian,
=
![Page 27: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/27.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 27
Latihan
vu ,
vu ,
vu ,
1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan
= u12v1 + u2v2
2 di R2
= u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3
= u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3
a.
b.
c.
2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal dalam ruang Euclides !
![Page 28: Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061522/56813b5c550346895da45239/html5/thumbnails/28.jpg)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 28
0
1
1
1
0
1
2
1
1
3. W merupakan subruang RHD euclides di 3
yang dibangun oleh vektor
dan
Tentukan proyeksi orthogonal vektor
pada W