Download - Akademi Merkonomer Statistik Aften 4
![Page 2: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/2.jpg)
Gennemgang af aflevering Poisson Fordelingen Kontinuerte Fordelinger
◦ Intro til kontinuerte fordelinger◦ Normalfordelingen
Den Centrale Grænseværdisætning Konfidensintervaller
Evaluering
Denne dag
![Page 3: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/3.jpg)
Diskrete FordelingerLad 𝑿 en diskret stokastisk variable Binomial-fordeling.: 𝑿∼ 𝒃(𝒏,𝒑) Stikprøve med tilbagelægning Hypergeometrisk-fordeling.: 𝑿∼ 𝒉(𝑵,𝑺,𝒏) Stikprøve uden tilbagelægning Poisson-fordeling.: 𝑿∼ 𝒑𝒐(𝝀) Antal hændelser i et område (eks. tid)
![Page 4: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/4.jpg)
Poisson Fordeling IAntal hændelser i et område (eks. tid)
.: Intensiteten, der er konstant over hele området
I en poissonproces optræder begivenhederne i en tidsmæssig eller rumlig afgrænsning og følgende krav skal være opfyldt
- Max. 1 begivenhed i meget små intervaller - Sandsynligheden for en begivenhed er proportional med intervallets
længde
- For og forskellige intervaller og samt begivenheder i intervallerne gælder at og er uafhængige
Tæthedsfunktion.:
![Page 5: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/5.jpg)
Poisson Fordeling IIDer gælder
- - -
Tilnærmet til normal for
Poisson(1)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4 5 6
Poisson(2)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7
Poisson(5)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Poisson(10)
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
![Page 6: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/6.jpg)
Poisson Fordeling IIIEksempel 10.:I gennemsnit kommer 3 biler forbi et vejkryds i minuttet, hvad er ss. for derkommer flere end 3 biler forbi ?
Excell.:=POISSON(x ; Middelværdi ; Kum. [0,1])
BeWI.:2.: Sandsynlighedsfordelinger og fraktilerb.: Poissonfordeling, indtast intensitet og evt. begrænsninger
![Page 7: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/7.jpg)
Kontinuerte Stokastiske VariableTil ethvert tilfældigt eksperiment tildeles en numerisk værdi
og
En kontinuert stokastisk tæthedsfunktion skal opfylde
- er integrabel - for alle værdier af -
Eksempel 12.:
![Page 8: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/8.jpg)
Fordelings & Tæthedsfunktion , KSV
Fordelingsfunktion.: Tæthedsfunktion.:
![Page 9: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/9.jpg)
Sandsynligheder, KSVFor kont. s.v. reelle tal gælder der
- (punktsandsynligheden er ) - - -
Udtrykt ved fordelingsfunktionen
- - -
![Page 10: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/10.jpg)
Regneregler, KSVLad en kontinuert s.v.
- -
-
Husk i det diskrete tilfælde var middelværdien
og variansen
![Page 11: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/11.jpg)
NormalfordelingenLad En kontinuert s.v. med tæthedsfunktion
Kaldes normalfordelt med middelværdi og varians Vi skriver
![Page 12: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/12.jpg)
Standard Normal FordelingLad med Middelværdi.: og Varians.: Så Tæthedsfunktion.:
Fordelingsfunktion.:
![Page 13: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/13.jpg)
Transformation Standard Normal
Lad og reelle tal, da gælder
- Specielt
-
-
-
-fraktilen benævnes (skrives ofte og beregnes ved
Man er ofte interesseret i at finde , idet halen da fjernes i begge ender af fordelingsfkt.
![Page 14: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/14.jpg)
St. Norm og BeregningerTabelopslag, Standard Normal fordeling Lad 𝑿∼ 𝑵(𝟎,𝟏) De fire mest benyttede fraktiler (læg mærke til symmetri), 𝒛𝟗𝟓%,𝒛𝟗𝟕,𝟓%,𝒛𝟓%,𝒛𝟐,𝟓%
BeWIStat.: 2. Sands. & Fordel. -> d. Z-fordel. 2. Sands. & Fordel. -> e. Normal
Excell.:
p=STANDARDNORMFORDELING(Z) Z=STANDARDNORMINV(p) p=NORMFORDELING(x;𝜇;𝜎;𝑘𝑢𝑚[0,1])
![Page 15: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/15.jpg)
Andre 𝒕− 𝑭𝒐𝒓𝒅𝒆𝒍𝒊𝒏𝒈𝒆𝒏 Lad 𝑿∼ 𝑵(𝟎,𝟏) og 𝒀∼ 𝝌𝟐(𝒏) uafh. s.v., da gælder at 𝒁= 𝑿
ඥ𝒀/𝒏∼ 𝒕(𝒏)
Bruges som tilnærmelse til 𝑵(𝝁,𝝈𝟐) når 𝒏≤ 𝟑𝟎 𝜶-fraktilen betegnes 𝒕ሺ𝒏ሻ𝜶 kan også aflæses i tabel i App. D., Excel: p=tfordeling(t,f,[0,1]) t=tinv(p,f)
𝝌𝟐 − 𝑭𝒐𝒓𝒅𝒆𝒍𝒊𝒏𝒈 Hvis vi har 𝑛 uafhængige normalfordelte s.v. 𝑿𝟏,𝑿𝟐,…,𝑿𝒏 ∼ 𝑵𝒏(𝝁,𝝈), da gælder
𝒀= ሺ𝑿𝒊 − 𝝁ሻ𝟐𝝈𝟐𝒏
𝒊=𝟏 ∼ 𝝌𝟐(𝒏)
Sammenhængen med normalfordelingen er 𝑼∼ 𝑵ሺ𝟎,𝟏ሻ⟹𝑼𝟐 ∼ 𝝌𝟐(𝟏) 𝜶-fraktilen betegnes 𝝌𝟐ሺ𝒏ሻ𝜶 = 𝝌𝒏,𝜶𝟐 kan Også aflæses i tabel i App. D., Excel: p=chifordeling(t,f)
t=chiinv(p,f) Vi vender tilbage til denne fordeling
![Page 16: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/16.jpg)
2 Normal FordelingerLad og Y , uafhængige s.v. Da er Lad , da gælder Gennemsnittet.:
Og
![Page 17: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/17.jpg)
Centrale Grænseværdi SætningLad ens fordelte s.v. med
og Da gælder at gennemsnittet er en s.v. så tilnærmelsen
gælder for
![Page 18: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/18.jpg)
Konfidensinterval MiddelværdiKonfidensintervallet for middelværdien beskriver ss. for at populationens sande middelværdi er i nærheden af stikprøvens middelværdi . Sandsynlighedsparametere udtrykkes negativt ved , der er ss. for at ikke er tæt på , vi taler derfor om et konfidensinterval Herunder er og derfor er , altså er der ss. for at ligger inden for det angivne interval omkring .
Hvis populationens sande varians er kendt, da er S
![Page 19: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/19.jpg)
Beregning af Lad den stokastiske variabel: 𝑿∼ 𝑵൫𝝁,𝝈𝟐൯
Kendt varians: 𝝈𝟐 𝟏 − 𝜶= 𝑷(𝑿ഥ− 𝒛𝟏−𝜶/𝟐 ⋅ 𝝈/ξ𝒏 < 𝝁< 𝑿ഥ+ 𝒛𝟏−𝜶/𝟐 ⋅ 𝝈/ξ𝒏 )
Ukendt varians: 𝒔𝟐 𝟏 − 𝜶= 𝑷(𝑿ഥ− 𝒕(𝒏− 𝟏)𝟏−𝜶/𝟐 ⋅ 𝝈/ξ𝒏 < 𝝁< 𝑿ഥ+ 𝒕(𝒏− 𝟏)𝟏−𝜶/𝟐 ⋅ 𝝈/ξ𝒏 )
Bemærk.: For 𝒏≥ 𝟑𝟎 anvendes normalfordelingen og 𝒛𝟏−𝜶/𝟐 fremfor t-fordeling og t(n-1).
![Page 20: Akademi Merkonomer Statistik Aften 4](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081419/568151ac550346895dbfda97/html5/thumbnails/20.jpg)
Eksempelvis.:
Struktur
Opgaver
Grupper
BeWi Stat
Evaluering