Capitulo 1
ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
1.1 Introdu~ao
Ja na Antiguidade Classica os fil6sofos especulavam sobre a natureza da luz e estavam
ao corrente dos fenomenos de reflexao, refrac9ao e propaga~ao rectilinea da luz. as primeiros
escritos sobre estas materias datam de c. 490-430 A.C. e sao atribuidos ao filasofo grego
Empedocles.
Ate meados do seculo XVII considerava-se a luz como sendo constituida por
corplisculos que, a partir da fonte que lhes dava origem, se deslocavam em linha recta. Estes
corplisculos atravessavam os materiais transparentes e eram reflectidos pelos materiais opacos.
Contudo, em meados do seculo XVII, come90u a desenvolver-se a ideia de que a luz possuiria
caracter ondulat6rio (Hooke e Huygens). Este novo modelo para a luz nao foi logo
abertamente aceite pela maior parte dos cientistas da epoca. Sao desta altura os trabalhos de
Newton em aptica que conduziram it sua teoria das cores. Esta teoria, segundo Newton, nao se
apoiava sobre urn modelo particular da natureza da luz, mas adiantava no entanto a sua
2 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS
preferencia pelo modelo corpuscular. Em 1678 Huygens demonstrou que as leis da reflexao e
da refrac9ao podiam ser explicadas com base numa teoria ondulatoria da luz.
No principio do seculo XIX as experiencias de Young e Fresnel, sobre os fenomenos de
interferencia e difrac9ao, demonstraram as limita90es da teoria corpuscular da luz e as
vantagens da teoria ondulatoria. Sera 0 trabalho de Maxwell (1873) que ira dar urn impulso
decisivo na aceita9ao da teoria ondulatoria da luz. Maxwell mostrou que urn circuito electrico
oscilador radiava ondas electromagneticas com uma velocidade de propaga9ao igual it 'da
velocidade da luz. Em 1887 H. Hertz efectuou a experiencia crucial. Com unl pequeno
oscilador electrico conseguiu gerar microondas e mostrou que estas possuiam todas as
propriedades das ondas de luz, nomeadamente podiam ser reflectidas, refractadas, etc. Nos
finais do seculo XIX era pois facto assente a teoria electromagnetica da luz que, como
veremos, nao se manteve por muito tempo. Na realidade, quer 0 espectrode emissao do corpo
negro, quer 0 efeito fotoelectrico extemo nao podiam ser explicados pela teoria
electromagnetica.
A solu9ao do primeiro problema por Max Planck (1900) conduziu it resolu9ao do
segundo por Einstein (1905). A ideia proposta por Planck postulava que a energia num feixe
de luz enl vez de se encontrar distribuida no espa90 pelos campos electricos e magneticos de
uma onda electromagnetica, estava concentrada em quantidades discretas de energia que
designou por "quanta". A cada "quantum" associou uma energia hf em que h e a constante de
Planck e f a frequencia da onda electromagnetica associada. Einstein desenvolveu esta ideia e
aplicou-a ao efeito fotoelectrico extemo com grande sucesso. No seu modelo a luz transporta
energia de forma identica it que se verifica para as particulas, em que cada quantum de luz, 0
fotao, possui uma el1ergia E=hf e urn momenta p=hf/v, em que v e a velocidadede propaga9ao
da luz no meio. 0 efeito fotoelectrico extemo baseia-se na transferencia de energia do fotao
para 0 electrao. A confinna9ao experimental desta teoria foi feita por Millikan (1906) que nao
so verificou 0 :valor da energia do fotao como tambem fez a primeira medida da constante de
Planck. No entanto a teoria corpuscular da luz so veio a ser definitivamente aceite apos os
resultados experimentais de A. H. Compton (1921) sobre a dispersao de Raios-X. Compton
conseguiu detenninar 0 movimento de urn fotao e de urn unico electrao antes e depois da
colisao entre eles tendo mostrado que 0 fotao- e 0 electrao se comportavam como particulas
materiais com energia cinetica e momenta conservados durante a colisao, como seria de
3 1. ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
esperar para particulas classicas.
A natureza da luz parece pois depender dos fenomenos fisicos em analise. Se para
alguns casos 0 fotao e 0 modelo adequado ja para outros e necessario recorrer ao modelo da
onda electromagnetica. Cada urn dos modelos e so por si incompleto e por isso ambos devem
ser considerados, no estado actual dos conhecimentos cientificos.
1.2 Onda plana monocromatica; velocidade de Case e velocidade de grupo
A natureza electromagnetica da luz e regida pelas equa90es de Maxwell, escritas no
sistema MKS:
rotE=_aBat
(1.1)
rot H = J+ aDat
divD = p
div B = 0
Nestas equa90es E e H representam os vectores campo electrico e magnetico
respectivamente, D 0 vector deslocamento electrico e B 0 vector indu9aO magnetica. J e p
representam as fontes de corrente e carga respectivamente. As grandezas atras definidas
dependem em geral do espa90 e do tempo, e.g. E=E (x,Y,z,t). As fontes de carga e corrente
estao relacionadas atraves da equa9ao da continuidade:
,...,. J aplilV =-- (1.2)at
As rela90es constihltivas do meio sao
(1.3)
em que J.! e a permeabilidade magnetica do meio e E a sua permitividade electrica. Para meios
4 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS
isotropicos J.l e Esao escalares.
Se os vectores B, E, H e D forem nln90es sinusoidais do tempo, eles podem ser
representados pelas suas amplitudes complexas e as equa90es (1.1) tomarao a fonna
rot E=-j oS
rot FI=J+joD (1.4)
div D=p
div B=O
tendo desaparecido a dependencia explicita com 0 tempo, e em que
De (1.1) para (1.4) passou-se do dominio do tempo para 0 dominio da frequencia. Em
(1.4) os campos dependem nao s6 do espa90 como tambem da frequencia. Como normalmente
s6 se lida com uma dada frequencia ha a tendencia para se esquecer este pormenor.
No espa90 livre J.l=J.lo=41txIO-7 Him e E=Eo=8,854xIO-12 F/m e as equa90es de Maxwell
podem escrever-se
rotE=_aB (I.5a)at
rotH = ao (I.5b)at
div 0=0 (I.5c)
div B =0 (I.5d)
atendendo a que J=O e p=O.
Aplicando 0 operador rotacional a ambos os membros da equa9ao (I.5a) vern
5 10 ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
rot r oE =- ro(~~) (1.6)
d hE. -I afE. =_..2..- (r 01at
E utilizando as equa~oes (1.5b), (1.5c) e (1.3) obtem-se
(1.7)
designada por equa~ao de onda.
A equa~ao (1.7) escrita em termos de amplitudes complexas e dada por
(1.8)
Equa~oes identicas seriam obtidas para 0 campo magnetico H.
Definindo C = 1/JIJ-o Eo , sendo c a velocidade de propaga~ao de luz no vacuo, ter-se-a
para (1.7) e (1.8)
2 lapE--1- a E =0
C 2 at2
e (1.9)
1apE + (~ ) 2E=0
As equa~oes (1.9) sao equa~oes diferenciais vectoriais e cada uma delas pode ser
decomposta em tres equa~oes diferenciais escalares, correspondentes as componentes segundo
x, ye z.
A partir de (1.8), e considerando somente a componente do campo segundo z, epossivel
escrever
6 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS
ou (1.10)
Considere-se uma solU9ao do tipo
-E -E e-j(kxx+kyy+kzz) = -E e-j(k ,r)z= zO zo (1.11 )
sendo k 0 vector de propaga9ao e em que Ezo e uma constante arbitraria.
Substituindo (1.11) em (1.10) vern:
(1.12)
designada por rela9ao de dispersao. Esta rela9ao de dispersao sera a mesma para as
componentes do campo segundo x e segundo y. Embora (1.12) so seja valida para 0 espa90
livre, pode tambern ser aplicada ao espa90 material isotropico desde que J=O e p=O. Neste
caso k2=ro2J.lE sendo J.l e E a penneabilidade magnetica e a pennitividade electrica
respectivamente do meio isotropico considerado.
Com base na solU9ao (1.11) que matematicamente descreve uma onda electromagnetica
plana pode obter-se em valores instantaneos Ez(r,t),
Ez(r, t) =Feal {Ez ei rot} =Feal {EzO e+Krot -(k, r) (1.13)
o vector k, designado por vector de propaga9ao, determina a direc9ao de propaga9ao da
onda electromagnetica plana, Fig. 1.1. 0 modulo de k, k, designa-se por numero de ondas e
pode ser expresso em termos do comprimento de onda Ada radia9ao por
(1.14)
7 1. ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
y t' O> to
, '1:= to k
,
',t= to ",, , , , , , , , ,
~---------'x
Fig. 1.1 - Vector de onda k.
Em geral k pode ser definido por tres componentes todas diferel1tes de zero. Havera pois
tambem tres componentes para E e H , no caso geral. Contudo, 0 facto de as ondas serem
planas obriga a que sejam verificadas certas rela90es vectoriais entre E,H eke por isso, para
uma dada direC9aO de propaga9ao, nem todas as componentes de E e H existenl ja que os tres
vectores devem ser mutuamente perpendiculares entre si. Estas conclusoes sao retiradas das
equa90es de Maxwell (1.4) quando as solu90es sao ondas planas, de modo a que 0 operador
a a b ·'d ·k T (axa Ux + ay Uy+ az Uz = possa ser su StItUl 0 por -J . em-se entao
(1.15)
k xH=-roD
ou de (1.3)
(1.16)
kxH=-ffiEE
Estas rela90es onde a dependencia temporal e espacial foram elinlinadas permitem
provar a mutua perpendicularidade entre os vectores k, E e H, Fig. 1.2.
8 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS
E
~------"'k
H
Fig. 1.2 - Orienta9iio relativa dos veetores E, H e k assoeiados a uma onda plana.
De (1.16) obtem-se
(1.17)
com Z a impedancia caracteristica da onda que, para 0 espa90 livre, toma 0 valor aproximado
de 3770.
Se por exemplo 0 campo E= EM e-j /izUx k =k z Uz, entao H sera dirigido segundo +y
e vern dado por
e (1.18)
E = EM coS(rot - kzz) Ux
Os campos E e H estao em fase em todo 0 espa90 e, nllm dado instante t, a sua
amplitude varia no espa90 de acordo com a Fig. 1.3.
9 1. ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
z
y
Fig. 1.3 - Variar;iio da amplitude de E e H ao longo da direcr;iio de propagar;iio.
A del1sidade de fluxo de energia em cada ponto do espa90 e definido pelo vector de
Poynting 5 = Ex H e tern unidades de W/m2 • S possui a nlesrna direc9ao e sentido de k. Com
base na equa9ao (1.18), S pode ser expresso por
(1.19)
o vector de Poynting cornplexo e definido pela amplitude complexa
(1.20)
e 0 seu valor medio
< S>= ~ Kea/fE x R*} (1.21)
Ainda considerando 0 exemplo que conduziu as equa90es (1.18), ter-se-a 5 =E~/Zuz
que e real pois E e H estao em fase.
A densidade de energia electrica associada a onda plana e dada por
(1.22)
e a densidade de energia magnetica
(1.23)
10 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS
No espa90 livre, we == Wm e por isso
W=We +Wm = EoE~ co~(rot -kzz) (1.24)
e <W>=2"1 EO E2 M· (1.25)
Sendo assim, de (1.21) e (1.17) tem-se:
z
z
Fig. 1.4 - Amplitude do campo electrico, em dois instantes t] e t2 (t2>t), associado a uma onda plana
que se propaga segundo z .
< S>= ~CEoE~ e (1.26)
<W>= <S> e
Vma das propriedades mais importantes de uma onda plana e a sua velocidade de
propaga9ao que se designa por velocidade de fase, Fig. 1.4. A velocidade de fase e definida
como sendo a velocidade do plano de fase constante. Para as ondas dadas por (1.18)
corresponde a ter-se
(rot - k zz) = ete (1.27)
A velocidade de fase obtem-se de (1.27) e e dada por
11 10 ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
dz OJVj=-=- (1.28)
dt kz
Vma onda plana, no espa90 livre possui por isso uma velocidade de fase que eigual it
velocidade de propaga9ao de luz no vazio.
As ondas planas, de acordo com a defini9ao dada, ocupam 0 espa90 entre - 00 e +00 por isso
nao podem transportar infonna9ao. A velocidade de grupo tern por isso maior significado
fisico que a velocidade de fase e representa a velocidade de transmissao de energia ou
infonna9ao.
Considerem-se por isso sinais obtidos pela sobreposi9ao de urn numero finito ou infinito
de ondas planas com valores diferentes de k (ou ill). No caso de 0 nunlero de ondas planas que
se sobrepoem ser finito, 0 sinal resultante econstituido por urn numero infinito de regioes
onde hi interferencia construtiva, separadas por uma regiao onde hi interferencia destrutiva,
Fig. 1.5.
Se 0 numero de ondas planas for infinito, e estas possuirem valores de k muito
pr6ximos, entao 0 grupo de ondas resultantes possui uma unica regiao onde hi interferencia
construtiva, sendo a interferencia destnltiva no espa~o restante, Fig.l.6.
Fig.l.5 - Grupo de ondas obtido por sobreposi~ao de duas ondas planas de igual amplitude mas k
diferentes.
12 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS
Fig. 1.6 - Grupo de ondas obtido por sobreposi~aodum numero infinito de ondas planas.
A velocidade de propaga9ao do grupo de ondas epor defini9ao a velocidade do seu
centro e designa-se por velocidade de grupo. Ede real9ar que cada onda plana que contribui
para 0 grupo de ondas propaga-se conl a velocidade de fase vi' definida por (1.28).
A expressao analitica para a velocidade de grupo vg, pode ser obtida considerando uma
situa9ao simples resultante da sobreposi9ao de duas ondas planas com valores diferentes de co
e k. Escrevendo a equa9ao de onda na forma
Y= A cos (rot - kz) (1.29)
o grupo de ondas vira:
(1.30)
Fazendo
e
com
e (1.31)
e
com
13 1. ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
e (1.32)
e atendendo a rela9ao trigonometrica cosa + cos~ = 2 cos [(a+~)/2] cos [(a-~)/2], pode
escrever-se (1.30) como
ou
y = [2Acos (L1rot-L1k)¥Xos (root-koz) (1.33)
com roo, ko, L1ro e L1k definidos em (1.31) e (1.32).
o factor entre parentesis rectos representa lIma amplitude variavel, em vez da amplitude
constante utilizada em (1.29). A ful1<;ao cos(L1rot-Ma) traduz a envolvente da fun9ao
cos (root- kot),a velocidade de grupo estando associada a velocidade de propaga9ao da
envoivente. Tambem neste caso se deve verificar a rela9ao
L1 rot - L1 k =z Cte (1.34)
e por isso
que no limite
Vg-- dro I (1.35)d k k=ko
Como para 0 espa90 livre k= roJJlOEO tem-se:
1vg = =C=V, (1.36)JJlO EO
Em geral k nao varia lineannente com ro e por isso v9 ,*v,.
- - - - - - - -
14 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS
ro
Vg(roo) ~.
roo
k
Fig. 1. 7 - Interpreta~iio grafica da velocidade de grupo e velocidade de fase.
1.3 Interferencia
Quando as ondas planas monocromaticas se propagam num dado meio e nao ha
acoplamento entre elas, i.e., a presen9a de varias ondas num dado ponto nao afecta as suas
caracteristicas individuais (amplitude, frequencia, vector de propaga9ao) e valido 0 principio
da sobreposi9ao: em cada ponto do espa90 0 valor instantaneo da onda resultante e a soma
algebrica dos valores instantaneos, nesse ponto, das ondas individuais presentes.
Considerem-se por exemplo duas ondas planas transversais propagando-se segundo z,
como na Fig. 1.8.
x
z
Fig. 1.8 - Sobreposi~iio de duas ondas planas que se propagam segundo z.
15 1. ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
(1.37)
em que <P1, <P2 representam a fase relativa.
Pelo principio da sobreposi9ao:
(1.38)
Considere-se, por simplicidade, duas ondas planas com igual amplitude, frequencia e
comprimento de onda, mas fases diferentes. Assume-se que a diferen9a entre fases econstante
como e 0 caso das ondas emitidas por duas fontes coerentes (Lasers), Fig. 1.9. Podem
considerar-se duas situa90es que permitem gerar duas ondas planas nas condi90es referidas
anteriormente, Fig. 1.9(a) e Fig. 1.9(b):
(a) Utiliza9ao de duas fontes 81, 82 independentes para emissao simultanea de ondas
planas com a mesma frequencia, amplitude e comprimento de onda, mas diferen9a de fase
constante.
(b) Como em (a) mas utilizando uma so fonte. A diferen9a entre ae a'e desprezavel, em
virtude do comprimento L ser elevado.
81
-=---_-=L~_-----I
82
b ~
Alva Alva
(a) (b)
Fig. 1.9 - Interferencia entre duas ondas planas.
16 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS
A interferencia entre as duas ondas so edetectivel quando A e a distancia entre as fontes
emuito menor que L.
Vern entao para
(1.39)
sem perda de generalidade, <1'1=0 e <1'2=- a, donde
(1.40)
e, em valores instantalleos:
(1.41)
As condi~5es para interferencia construtiva sao verificadas quando
~ =nn n =0, ± 1, ±2, ... (l.42a)
e para interferencia destrutiva
~=(n+~)n n=0,±1,±2,oo. (l.42b)
A diferen~a de fase a pode ser expressa em tennos da diferen~a de caminho percorrido
~ k~ 27[8. _.. ~". . u, a. = U = T' que permlte escrever as expressoes antenores, para InterlerenCla construtlva:
8=nA n =0,1,2, ... (l.43a)
e destrutiva
(l.43b)
17 1. ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
Para a situa9ao da Fig. 1.9 (a), pode escrever-se:
(1.44)
e observar-se-ao maximos no alvo para angulos eque verificam a condi9ao
Asere =-n n = 0, ± 1, ± 2, ... (1.45a)b
e minimos quando everifica a condi9ao:
sen8=; (n+~) n =0, ±1, ±2, ... (1.45b)
Definindo a intensidade associada it onda como
vern (1.46)
1.4 Difrac~ao
A difrac9ao e basicamente urn tipo de interferencia, resultante da interac9ao de unla
onda com urn obstaculo ou urn pequeno orificio. A condi9ao para que a difrac9ao tenha lugar e
a de que 0 comprimento de onda A~ d, sendo d a dimensao do obstaculo ou orificio. Se as
distancias da fonte ao orificio e do orificio ao alvo forem muito grandes (comparadas com A),
entao as ondas incidentes no orificio e no alvo sao convenientemente aproximadas por ondas
planas e a difrac9ao chama-se de Fraunhofer. Quando as ondas incidentes e difractadas nao sao
planas 0 fenomeno e designado por difrac9ao de Fresnel.
A difrac9ao de Fraunhofer pode ser explicada com base no principio de Huygens,
embora urn tratamento mais rigoroso resulte da aplica9ao das equa90es de Maxwell.
De acordo com 0 principio de Huygens uma onda plana ao chegar ao pequeno orificio
circular vai dar origem ao aparecimento de varias ondas esfericas. Estas novas ondas possuem
18 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS
uma rela~ao de fase fixa com a onda incidente, e por isso tambem entre si, propagando-se em
direc~ao ao alvo, Fig. 1.10. A origem das ondas geradas e em todos os pontos da area da
abertura e a diferen~a de fase entre duas 011das adjacentes e infinitesimal. A difrac~ao resulta
da interferencia entre estas ondas a distancias grandes dos pontos onde sao geradas.
011das
planas
\~ Dndas geradas
Fig. 1.10 - Difracr;ao da luz de acordo com 0 principio de Huygens. Mostram-se so tres do numero
infinito de pontos em que as ondas esfericas tem origem.
o tratamento matematico e grandemente simplificado se se considerarem as ondas
incidente e geradas como sendo ondas planas. As ondas geradas propagam-se em todas as
direc~oes. Se a abertura for dividida em N sec~oes, cada uma delas dando origem a ondas
planas de igual amplitude, pode generalizar-se 0 tratamento expressopela equa~ao (1.39). Para
isso considera-se a geometria da Fig. 1.11 que consiste em N fontes de ondas planas supostas it
distancia L do alvo onde serao observadas as figuras de interferencia.
Supoe-se que a distancia da fonte i ao alvo e Pi(i = 1, 2, ... N) e que os raios sao
paralelos, mantendo-se a diferen~a de fase entre raios luminosos adjacentes como representado
na Fig. 1.9.
No alvo, a onda resultante pode ser escrita por
(1.47)
ou ainda x=Feal {X1M &rot ~ e-j k~ } (1.48) 1=1
---
19 1. ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
------8-
PN
PN-I
N-I
N
IPi+l D
i+l Pi I
P3
P2
PI
1........------- L ---------ALva
Fig. 1.11 - Modelo utilizado na analise das figuras de interferencia.
Definindo 8 = Pi+l - Pi i=1,2, ...,N-1, ter-se-a
PN- P1 (N-1)8 (1.49)
por sua vez, colocando em evidencia e-jkp1 ,
(1.50)
Por sua vez
N-1 N-1L e-jk(i-1)8 = L e-jkm8 (1.51 ) i=1 m=O
Utilizando a relayao
20 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS
(1.52)
pode escrever-se
~1 e-jkmo = 1 - ejkNo
m=O 1 - e-jkD (1.53)
portanto
(1.54)
Pode ainda dar-se olltra forma ao resultado, trabalhando a equa~ao (1.53):
O j'kN~ _j kNo (e jk: _ e ~NO) . sen(_KN_O)1 - e-J u e 2 _lko 2
~-.......;;;....--=-- =e 2 (1.55) e-jkD1 - _L'52. (~ _L.!52.) (KD)e 2 e 2 -e 2 S3n ""2
Assim,
(1.56)
Sendo a intensidade
x2 sen 2(k~) I =< x2 >= ---.!M. ----
2 serf(k~ )
(1.57)
e substituindo 8 = b sen 8 e k = 2WA ter-se-a:
2 1= X 1M
2
sen 2[NrtbSeneJ A
serf[1tb~n9J (1.58)
21 1. ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
Na Fig~ 1.12 esta representada a intensidade I em fun9ao de sene == 8 au OIL == 8.
2x 2 I=---lM..N
2
~ 2A senS b
Fig. 1.12 - Intensidade no alvo emfun9iio de e~ ou D/L, para 10 fontes, dada pela equa9iio (1.58). Havendo N fontes havera N-l minimos entre dois maximos principais.
A transposi9ao do tratamento anterior para 0 fen6meno de difrac9ao descrito
inicialmente, em virtude do numero de fontes ser infinito, obriga autiliza9ao do integral em
vez do somat6rio em (1.50), devendo escrever-se
d /2 }X = Feal x: ei{rot -kp1) Je-jkysen9 dy (1.59)
{ -d/2
em que XM traduz amplitude da onda incidente, com os restantes parametros definidos na Fig.
1.13.
b
y = d/2 - - - -
°t-Y--- 1\
1\a ---- ~----------y=o
'~Yasene
ALVOY = -d/2 - - - -
-------- L -----..
Fig. 1.13 - Identifica9iio dos parametros utilizados na equa9iio (1.59).
22 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS
Calculando °integral de (1.59), obtem-se
(1.60)
epara
2 sen 2 (1tdSene)I = _X_M A__
2 (ltdrne ) 2 (1.61)
que esta representada na Fig. 1.14.
.A. 2A 3A senS d d d
Fig. 1.14 - Figura de difracr;iio de Fraunhofer obtida com uma so abertura e dada pela equar;iio
(1.61).
1.5 Efeito fotoelectrico externo
Como ja foi referido, ° efeito fotoelectrico extemo requer uma explica9ao baseada na
natureza corpuscular da luz em que se admite que a energia E de cada fotao e proporcional a frequencia f da luz, isto e,
23 1. ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
E=hf (1.62)
em que h e a constante de Planck, h =6, 626075~0) x 10-34 J s.
o efeito fotoelectrico extemo consiste na liberta<;ao de electr5es de urn metal quando a
radia<;ao incidente possui uma frequencia maior que urn dado valor critico, fc. Para frequencias
menores que fc nao ha liberta<;ao de electr5es, independentemente da intensidade utilizada.
A observa<;ao do efeito fotoelectrico extemo pode ser feita utilizando a montagem da
Fig. 1.15, em que se faz incidir radia<;ao ultra-violeta num electrodo de s6dio. Os electr5es
libertados poderao ser atraidos para 0 outro electrodo, se carregado positivamente, e a corrente
no circuito pode ser medida atraves do micro-amperimetro. 0 esquema de liga<;ao das baterias
permite rnodificar a polaridade dos electrodos e por isso anular a corrente no circuito exterior
para urn determinado valor da tensao entre eles, que passaremos a designar por Vc (tensao de
corte).
A 1-----__.
v.v. v
Fig. 1.15 - Circuito destinado a estudar experimentalmente 0 eJeitoJotoelectrico externo.
Urn dos resultados mais surpreendentes desta experiencia consiste nas curvas I(V) para
radia<;ao ultravioleta com a mesma frequencia e varias intensidades, i.e., numero de fot5es
incidentes na unidade de tempo, e que se encontra representado na Fig. 1.16 (a). Fig. 1.16 (b)
rnostra 0 andamento I(V) para a radia<;ao incidente com intensidade constante e varios valores
da frequencia.
o rnodelo ondulat6rio para a luz faria preyer que a urn aurnento de intensidade da
24 PROPRlEDADES OPTlCAS DOS MATERIAlS
radiayao correspondesse unl aumento de energia cinetica dos electroes emitidos e por isso
obrigando Vc a ser mais negativo. Este efeito e no entanto so conseguido atraves de urn
aumento da frequencia, como se verifica na Fig. 1.16 (b).
I IIc>IB>IA f > f > f 13 2
ff311~r f 2
VVo (a) (b)
Fig. 1.16 - (a) 1(V) para radia~iio com a mesmafrequencia e varios va/ores de intensidade.
(b) 1(V) para radia~iio com a mesma intensidade e varios va/ores defrequencia.
Para alem disso, se se fizer a representayao de -Vc em funyao da frequencia f, obter-se-a
uma linha recta, Fig. 1.17.
-vc
e = arctg(h/q)
f
Fig. 1.17 - Representa~iio de Vc emfun~iio dafrequencia da radia~iio incidente.
25 1. ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
Einstein explicou estes resultados partindo da hipotese de que a radiayao e constituida
por fotoes, cada urn deles com uma energia E= hf. Por sua vez considerou que os electroes no
metal necessitam de uma energia minima para sairem, Emin, e que serao so os mais
energeticos que irao contribuir para a corrente exterior quando V--; - Vc.
Sendo assim, a energia Emin devera ser igual it energia do fotao mais a energia do
electrao associada it tensao VC' isto e,
Emin =hf+qVc (1.63)
e portanto
(1.64)
em que q e 0 modulo da carga do electrao.
Esta expressao justifica 0 .andamento observado na Fig. 1.17 e permite a determinayao
experimental da constante de Planck.
1.6 Efeito de Compton
Urn feixe de raios-X, com urn dado comprimento de onda A, ao incidir num material de
numero atorrtico baixo (e.g. carbono) e deflectido segundo urn dado angulo. A radiayao
emergente possui urn comprimento de onda A'>A, nao explicavel pela teoria ondulat6ria. Mais
surpreendente e que esta alterayao no comprimento de onda nao e observada para as
frequencias mais baixas do espectro electromagnetico. A relayao entre. A'e A pode ser expressa
por
h A
J
- A= moc (1 - cos ~) (1.65)
em que ~ e0 angulo de deflecyao, rna a massa do electrao enl repouso e c a velocidade de
propagayao da luz no vacuo.
Compton explicou 0 resultado expresso por (1.65) analisando, do ponto de vista
26 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS
classico, a colisao fotao-electrao, Fig. 1.18.
y
electrao apos o choque
A. --G-T ~- \--_--p'-u ... X
fotao incidente ! electrao
fotao deflectido em repouso
Fig. 1.18 - Analise do efeito de Compton.
o fotao ecaracterizado pela energia E= hf e momenta p= h1A enquanto. que 0 electrao
possui energia E= mc2 e momenta p= mv= h1A.
Aplicando 0 principio da conserva9ao da energia, pode escrever-se:
he +m e2 = h,c +nD2 (1.66)A A ~ '---v------.J antes do choque ap6s 0 choque
Sendo m= rno (1.67)
J1-(f)2
A equa9ao (1.66) pode ainda escrever-se:
h h-+rn..c=-+rrc (1.68)A A'flU
A conserva9ao do momenta total implica a conserva9ao das suas componentes segundo
x eye por isso pode escrever-se
27 1. ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
h hI = T: xoa«\>+mvcosa (1.69a)
e o=-4ren ep+mvsenaA
Quadrando e sornando as equayoes (1.69a) e (1.69b) obtern-se:
(~) 2 = (~. ) 2 +(mv)2 + ~ (mv)(cos a cos ep-senasenjl .
(1.69b)
(1.70)
De (1.69) tira-se
1 (h h 1 cos a = (m v) \I - -:;: XOa«\»
e substituindo em (1.70) vern:
e (1.71)
(1.72)
Par sua vez, a equayao (1.68) pode escrever-se
h hrnc=---+ mocA A'
Quadrando, tira-se
(1.73)
(1.74)
Subtraindo (1.74) de (1.72) resulta
h (1 11 AI..: (cosep -1) +ma c\I - ~) =0 (1.75)
28 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS
ou seja
, hA -A = -(1-cos ~) (1.76)moc
A expressao (1.76) foi confinnada experimentalmente por Compton e permite verificar
a correc9ao das rela90es de Einstein para a energia, varia9ao da massa com a velocidade e
ainda 0 caracter corpuscular da radia9ao incidente.
Em virtude de serem conhecidos os valores de h, moe c, pode escrever-se
(m: (1.77)
com ~ Ao == 2, 4 x 10-12 m.
Em virtude do valor extremamente baixo de ~Ao' nao e possivel detectar,
experimentalmente, qualquer desvio do valor de A para as ondas de radio e micro-ondas,
havendo por isso que utilizar radia9ao a que correspondem comprimentos de onda muito mais
CllrtOS, que e 0 caso dos raios-X.
Na Fig. 1.19 mostra-se a varia9ao do valor do comprimento de onda da radia9ao
incidente em fun9ao do angulo de deflec9ao, dado por (1.77).
o n/2 7t
Fig. 1.19 - Varia9iio do valor do comprimento de onda da radia9iio incidente emfun9iio do dngulo de
dejlec9iio.
Na Fig. 1.20 mostra-se 0 espectro electromagnetico onde se destaca a regiao espectral
29 1. ACERCA DA NATUREZA DA LUZ
correspondente it radiayao visivel.
ENERGIA FREQUENCIA COMPRIMENTO DE ONDA (eV) (Hz) ()lID)
109
108
107
106
105
104
103
lif 101
10°
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
10-10
Raios C6smicos
......--- Raios-X ---.I
lif3
lif2
lif 1
lifo 1019
1018
1017
1016
Raios Gama
A{Jlrn)
0,390
0,455 0,492
0,577 0,597 0,622
0,770
Fig. 1.20 - Espectro Electromagnetico.
1.7 Bibliografia
- J. F. Borges da Silva, Electrotecnia Teorica I, AEIST, 1995. - D. Lee, Electromagnetic Principles ofIntegrated Optics, John Wiley & Sons, 1986. - K. D. Moller, Optics, University Science Books, 1988. - A. Nussbaum, Electromagnetic Theory for Engineers and Scientists, Prentice-Hall, 1965.