วิชาคณิตศาสตร ์
โดย
อ.ภาคภมิู อรา่มวารกีลุ
EVENT ETV
ลิมิตของล�ำดับ
ถ้า an และ bn เป็นล�าดับ ซึ่ง lima An n ="3
และ limb Bn n ="3
เมื่อ ,A B เป็นจ�านวนจริง และ c เป็นค่าคงที่ จะได้ว่า
# '+ - limit กระจายได้หมด
1. ( ) 0 ; 0; 0
limn
kk
1n k
3
2
1=
"3 )2.
; | |r; | |lim r r 1
1
0n
n 1
2=
"3 )หาค่าไม่ได้
ทฤษฎีลิมิต
ลิมิตของล�ำดับเศษส่วนพหุนำม
- พหุนาม ดูดีกรีสูงสุด
เทคนิคการหาลิมิต
ของล�าดับเศษส่วนพหุนาม
พหุนำม
♥ ดีกรีสูงสุดของเศษน้อยกว่าส่วน
limn
n n n42 3 0
n 4
3 2
++ + + =
"3
♥ ดีกรีสูงสุดของเศษเท่ากับส่วน
limn n
n n n4 2 32 4 1
21
n 3 2
3 2
+ -+ - + =
"3
♥ ดีกรีสูงสุดของเศษมากกว่าส่วน
limn n
n n2 1n 2
3 23
+ ++ =
"3
1. ถ้า an เป็นล�าดับของจ�านวนจริงบวก ซึ่ง liman n"3
หาค่าได้ และ a n n a1 2n n= + +
แล้ว liman n"3 เท่ากับเท่าใด
EVENT ETV
2. ก�าหนดให้ an# - เป็นล�าดับของจ�านวนจริง โดยที่
a 11= และ ...a n1 41 1 9
1 1 1n 2= - - -d d en n o
ส�าหรับ , , , ...n 2 3 4= ค่าของ liman n"3 เท่ากับเท่าใด
ซิกม่ำ + ล�ำดับเลขคณิต, เรขำคณิต
c nci
n
1=
=/ (c เป็นค่าคงที่) ...i n1 2
i
n
1= + + + =
=/ ( )n n
21+
ca c aii
n
ii
n
1 1=
= =/ / ...i n1 2
i
n 2 2 2 2
1= + + + =
=/ ( ) ( )n n n
61 2 1+ +
( )a b a bi ii
n
ii
n
ii
n
1 1 1! !=
= = =/ / / ...i n1 2
i
n 3 3 3 3
1= + + + =
=/ 2
( 1)n n 2+; E
ล�ำดับเลขคณิต
สัญลักษณ์แทนกำรบวก
ล�าดับเลขคณิต คือ ล�าดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n 1+ กับพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่
เรียกค่าคงตัวนั้นว่า “ผลต่างร่วม” ( )d a an n1= -+
พจน์ทั่วไป ( )a a n d1n 1= + -
ล�ำดับเรขำคณิต
ล�าดับเรขาคณิต คือ ล�าดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n 1+ ต่อพจน์ที่ n เป็น
ค่าคงที่
เรียกค่าคงตัวนั้นว่า “อัตราส่วนร่วม” r aan
n 1= +c m พจน์ทั่วไป a a rn
n1
1=
-
EVENT ETV
3. ให้ an# - เป็นล�าดับเลขคณิต โดยที่ a 21= และ
...a a a1 2 31 1 1 สมมติว่า , ,a a a2 4 8 เรียงกันเป็น
ล�าดับเรขาคณิต จงหาค่าของ n ที่ท�าให้
...
( ) ( ) ... ( )a a a
a a a1 1 1450391
n
n
13
23 3
13
23 3
+ + +- + - + + - =
อนุกรมจ�ำกัด, อนุกรมอนันต์
อนุกรมจ�ากัด (ผลบวก n พจน์แรก) ...S a a a an n1 2 3= + + + +อนุกรมอนันต์ ...S a a a1 2 3= + + +3
โดย limS Sn n="3 3
● อนุกรมอนันต์ที่หาผลบวกได้
เรียกว่า “อนุกรมลู่เข้า” (Convergent Series)● อนุกรมอนันต์ที่หาผลบวกไม่ได้
เรียกว่า “อนุกรมลู่ออก” (Divergent Series)
จ�ากัด อนันต์
อนุกรมเลขคณิต( )
( ( ) )
S n a an a n d2
2 2 1
n n1
1
= +
= + -...0 0 0 0+ + + =
อนุกรมเรขาคณิต (1 )S r
a r1n
n1= --
; | | 1S ra
r11 1= -3
กรณีอนุกรมเรขาคณิตแบบอนันต์
ถ้า | | 1r H จะเป็น “อนุกรมลู่ออก” หรือหาผลบวกไม่ได้
อนุกรมเลขคณิต/ เรขำคณิต
EVENT ETV
4. ให้ an# - และ bn$ . เป็นล�าดับเลขคณิตของจ�านวนจริง
โดยที่ ......
b b ba a a
nn2 11
nn
1 21 2+ + ++ + + = -
+
ส�าหรับ , , , ...n 1 2 3=
ค่าของ ab2100100 เท่ากับเท่าใด
5. ก�าหนดให้ a3
1 2 2 2 2n n
n2
2 3 f= + + + + +
เมื่อ , , , ...n 1 2 3= ค่าของ lim a a a an n1 2 3 f+ + + +"3` j
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 92
2. 81
3. 569
4. 72
5. 5625
EVENT ETV
6. ก�าหนดให้ an# - และ bn$ . เป็นล�าดับของจ�านวนจริง
โดยที่ a a3 n n1=+ และ b a2n n n= ส�าหรับ , , , ...n 1 2 3= ถ้า a 25= แล้ว
อนุกรม b b b1 2 3 f+ + + มีผลบวกเท่ากับเท่าใด
อนุกรมผสม
อนุกรมเลขคณิตกับเรขาคณิต → ให้ท�าดังนี้
1. ให้ Sn เป็นสมการ 1
2. สร้างสมการ 2 โดยน�า r คูณสมการ 1 3. น�าทั้งสองสมการมาลบกัน
7. ก�าหนดให้ , , ,..., ,...a a a an31 2 เป็นล�าดับเลขคณิตของ
จ�านวนจริง โดยที่ a 1900nn 1
25=
=/ และ
a4
8nn
n 11=
3
-=/
ค่าของ a100 ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. 298
2. 302
3. 400
4. 499
5. 598
EVENT ETV
8. ถ้า f x k x kk
2 11
100$= -
=^ h / แล้ว f
21 2` j
มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 1 99 299$+ 2. 1 100 299$+ 3. 2 99 299$+ 4. 1 99 2100$+ 5. 1 100 2100$+
อนุกรมเศษส่วนย่อย
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n d d n n d
n n d n d d n n d n d n d
1 1 1 1
21
21 1
21
+ = - +
+ + = + - + +
8
;
B
E
//
//
9. ถ้า , , ,...,a a a a1 2 3 20 เป็นล�าดับเลขคณิต ซึ่งมีผลต่างร่วม
เท่ากับ 212 แล้วผลรวม
( ) ( ) ( ) ...a a a a a a211
191
171
20 1 19 2 18 3- + - + - +
( ) ( )a a a a51
31
12 9 11 10+ - + -
มีค่าเท่ากับเท่าใดต่อไปนี้
1. 51
2. 21
3. 1
4. 2
5. 5
EVENT ETV
10. ให้ a เป็นจ�านวนจริงบวก และให้ bn$ . เป็นล�าดับของ
จ�านวนจริง โดยที่ b a n a n1n= + - +` _j i
ส�าหรับ , , , ...n 1 2 3= ถ้า a สอดคล้องกับ
lim b ba
b ba
b ba n1 2
3121
n n n1 2 2 3 1f+ + + + + ="3 +
f p
แล้วค่าของ a 572+ เท่ากับเท่าใด
11. ก�าหนดให้ an4 12
31
n
n
2= -- -e o
ส�าหรับ , , , ...n 1 2 3=
อนุกรม ann 1
3
=/ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ 45
2. อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ 43
3. อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ 65
4. อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ 61
5. อนุกรมลู่ออก