A MATEMÁTICA E O GPS:COORDENADAS GEOGRÁFICAS, DISTÂNCIAS E ÂNGULOS
ESFÉRICOS.
Luciana Cadar Chamone
Orientador: Francisco Dutenhefner
O que é GPS?
GPS é um sistema de radionavegação, inicialmente desenvolvido e controlado pelo departamento de defesa dos Estados Unidos que permite a qualquer usuário saber a sua localização, 24 horas por dia, sob quaisquer condições atmosféricas e em qualquer ponto do globo terrestre.
O SISTEMA DE POSIONAMENTO GLOBAL (GPS)
O GPS é constituído por três segmentos principais:
( O segmento espacial, o segmento de controle e o receptor ) O segmento espacial
é constituído por 24 satélites orbitando em torno da terra a uma altura aproximada de 20.200Km acima do nível do mar. Foi concebido para que exista no mínimo 4 satélites visíveis acima do horizonte a qualquer ponto da superfície e a qualquer altura.
O segmento de controle é constituído por estações terrestres distribuídas ao longo do globo. Uma estação principal rastreia os satélites, atualiza suas posições orbitais calibra e sincroniza seus relógios. Essas informações são enviadas a cada satélite para depois serem transmitida por este ao receptor.
O segmento do usuário é o aparelho receptor, usado para receber e converter o sinal GPS em posição, velocidade e tempo. Inclui ainda todos os elementos necessários neste processo como as antenas e software de processamento.
Como funciona o GPSCada satélite transmite continuamente um sinal que é recebido pelo receptor. Este por sua vez, mede o tempo que os sinais demoram para chegar até ele. Multiplicando este tempo pela velocidade do sinal (velocidade da luz), obtém-se a distância entre o satélite e o receptor.
Daí o receptor está na esfera de centro no satélite e raio d.
d = v x t
Para determinar a posição do receptor
Se o receptor capta o sinal de um satélite, concluí-se que ele deve estar sobre a superfície da esfera que tem centro no satélite e raio igual a distância do receptor ao satélite.
Agora, se ao mesmo tempo o receptor recebe o sinal de dois satélites, ele deve estar na interseção de duas esferas, cujos centros são os satélites:
Quando o receptor recebe o sinal de mais um satélite, ele deve estar na interseção de 3 esferas, cujos centros são os satélites. Neste caso a interseção de três esferas é um conjunto com dois pontos.
Com a interseção de mais uma esfera, conseguimos identificar o ponto de localização do receptor.
Logo, para determinar a posição do receptor é necessário, que este receba o sinal de no mínimo 4 satélites.
A localização é dada pela interseção de quatro esferas imaginárias, sendo os satélites o centro das esferas.
INTERSEÇÃO DE QUATRO ESFERAS
Teorema: Sejam S1, S2, S3 e S4 quatro superfícies
esféricas, tais que S1 ∩ S2 ∩ S3 ∩ S4 ≠ Ø.
Se os centros dessas esferas não são coplanares, então
S1 ∩ S2 ∩ S3 ∩ S4 contém um único ponto.
COORDENADAS DE UM PONTO NO ESPAÇO.
Coordenadas cartesianas:
Coordenadas geográficas:
),,( zyxP
),(:
),(:
sulnorteLatitude
oestelesteLongitudeP
Geometria Esférica
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS CONTIDOS NA SUPERFÍCIE ESFÉRICA.
Sejam A e B dois pontos sobre a esfera S. Esses pontos dividem o grande círculo de S que os contém em dois arcos. O menor deles é a geodésica que liga A até B.
BOARBAd ˆ),(
Ângulo esférico:
Ângulo entre dois grandes círculos que se intersectam em um ponto P. É determinado pelo ângulo entre os vetores V e W , tangentes aos grandes círculos em P.
Triângulo esférico:
É formado por três pontos distintos A, B, C e pelos arcos geodésicos AB, AC, BC.
Um triângulo esférico define seis ângulos, sendo três ângulos de lados e três ângulos de vértices.
Os três ângulos de lados são :
),(
),(
),(
OBOAang
OCOAang
OCOBang
RBAd
RCAd
RCBd
),(
),(
),(
Os comprimentos dos lados desse triângulo esférico são dados por:
),(ˆ
),(ˆ
),(ˆ
BCACangC
ABCBangB
CABAangA
Os três ângulos de vértices são :
CB ˆ,ˆ,A
CBA ˆ,ˆ,ˆ podem ser dados por:
Os ângulos
Os ângulos
Lei dos cossenos :
Asensen ˆcoscoscoscos
Seja dado um triângulo esférico ABC em uma esfera S de raio R. Então
CÁLCULO DE DISTÂNCIAS AÉREAS E ÂNGULO AZIMUTE
a) Distância em quilômetros entre Belo Horizonte e Beijing.
Para isso usamos as coordenadas de BH e Beijing.
Belo Horizonte
Beijing
Latitude 20º S 40º N
Longitude 44º O 116º L
)º160cos()º50()º110()º50cos().º110cos()cos( sensen
º67,153
682112936,2
896280573,0)cos(
radianos
Aplicando a Lei dos cossenos, tem-se a seguinte equação:
Distância Km076.17366.6682112936,2
b) Ângulo azimute de Belo Horizonte a Beijing: ângulo .
)cos()º67,153()º110()º67,153cos().º110cos()º50cos( sensen
º22,36
8067591801.0)cos(
)º110()º67,153(
)º67,153cos()º110cos()º50cos()cos(
sensen
)cos()º67,153()º50()º67,153cos().º50cos()º110cos( sensen
º45,46
6889360915.0)cos(
)º50()º67,153(
)º67,153cos()º50cos()º110cos()cos(
sensen
c) Ângulo azimute e de Beijing a Belo Horizonte: ângulo .
REFERÊNCIAS[1]ALVES, S. A geometria do globo terrestre, II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, 2004. Disponível em: www.bienasbm.ufba.br. Acessado em: setembro 2008.[2]ALVES, S. A matemática do GPS Revista do Professor de Matemática, n.59, 2006. [3]JENNINGS, George. Modern geometry with applications. New York: Springer-Verlarg, 994.[4]LIMA, Elon Lages. Coordenadas no espaço. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática/IMPA, c1993.[5]ROCHA, Cézar H.B. GPS de navegação: para mapeadores, trilheiros e navegadores, Ed. Autor, 2003.[6]SANTOS, Reginaldo J. Um curso de geometria analítica e álgebra linear. Imprensa Universitária da UFMG, 2007.Sites: [7]www.gpsvehiclenavigation.com. [8]http://paginas.terra.com.br/educacao/Astronomia/distancia.html