9. Osnove kvantne mehanike 9.1 NAČELA KVANTNE MEHANIKE 9.1.1 Načelo statističnega opisa o Izida poskusa s posameznim kvantnim delcem ne moremo z gotovostjo napovedati (npr.
ne moremo napovedati v kateri točki bo zadel zaslon naslednji elektron pri poskusu, ki je opisan na strani 181.
o V splošnem pa so možne napovedi za množico delcev. o Vpeljemo verjetnostno gostoto *ρ =Ψ Ψ (glejte str. 181). Bistvene lastnosti interferenčne slike elektronov (str.181) razložimo s seštevanjem valovnih funkcij. Valovna funkcija (funkcija stanja)
( )0
i k r te ω⋅ −Ψ=Ψ
( )k p
p k
W W Vω
=
= = +
gibalna količina elektrona
polna energija elektrona Uvedli smo funkcijo stanja , ki vsebuje vse informacije o stanju kvantnega delca. Verjetnost, da se delec nahaja na izbranem mestu v volumnu dV okoli točke s krajevnim vektorjem je , kjer velja:
( ,r tΨ )
r * dVΨ Ψ
*d 1
V
VΨ Ψ =∫
Pričakovana vrednost koordinate x (povprečna koordinata x):
* *d dx x x x x xρ∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
= = Ψ Ψ= Ψ Ψ∫ ∫ ∫
182
9.1.2 Heisenbergovo načelo nedoločenosti
Werner Heisenberg (1901 - 1976)
x
y
z
x py p
z p
∆ ∆ ≥∆ ∆ ≥
∆ ∆ ≥
Načelo nedoločenosti brani kvantno mehaniko. Heisenberg je ugotovil, da bi se kvantna mehanika zrušila vase, če bi mogli hkrati natančneje izmeriti lego in gibalno količino. Zato je predlagal, naj to ne bi bilo mogoče. Fiziki so se zamislili in poskušali, če jim morda to le ne bi uspelo. A nihče od njih ni mogel najti poti, po kateri bi bilo mogoče hkrati natančneje izmeriti lego in gibalno količino česarkoli – zaslonke, elektrona, biljardne krogle. In tako kvantna mehanika še nadalje obstaja. (R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: The Feynman Lectures in Physics. Quantum Mechanics, New York, Addison – Wesley, 1965, str. A-3 III).
ocena: x
p
h hλλ∆
∆
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∼
foton
pred trkom
elektron
sipani foton
po trku
odbiti elektron
183
Če pri poskusu s curkom elektronov (str. 181) poskusimo izmeriti skozi katero režo je šel kak elektron skupna verjetnostna gostota 1 2ρ ρ ρ= + nima za dve reži značilnih interferenčnih vrhov in dolin. Verjetnostna gostota za elektrone, ki so šli skozi desno režo je 1ρ , verjetnostna gostota za elektrone, ki so šli skozi levo režo pa je 1ρ .
izvor elektronov
1 2
x
x
x
merilnik 1 merilnik 2
1 2ρ ρ ρ= +
1ρ
2ρ
9.1.3 Načelo superpozicije Če smo hoteli pojasniti interferenčne poskuse z elektroni smo morali privzeti, da se funkcije stanja (imenovane tudi valovne funkcije – od tod ime »valovna mehanika«) lahko seštevajo.
Ψ
To pomeni: če sta in funkciji stanja je tudi vsaka linearna kombinacija 1Ψ 2Ψ
1 1 2 2c cΨ= Ψ + Ψ tudi funkcija stanja, kjer sta c1 in c2 kompleksni števili. Če pišemo:
11 1
ie αΨ = Ψ in 22 2
ie αΨ = Ψ potem je
184
( ) ( )*2 *1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 * * * *1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2
c c c c
c c c c c c
Ψ =Ψ Ψ= Ψ + Ψ Ψ + Ψ =
= Ψ + Ψ + Ψ Ψ + Ψ Ψ
torej: 2 2
1 1 2 2c cΨ ≠ Ψ + Ψ 2 9.1.4 Operatorji 9.1.4.1 Klasična mehanika Dinamično stanje masne točke je popolnoma določeno v vsakem trenutku, če poznamo njeno lego in gibalno količino. Dinamične spremenljivke so: o lega, gibalna količina o vrtilna količina o kinetična energija ( )kW
o potencialna energija ( )pV
o celotna energija ( )k pW W V= +
V klasični mehaniki poznamo vrednosti dinamičnih spremenljivk natančno vsaj v načelu. Možno jih je izmeriti v vsakem trenutku. 9.1.4.2 Kvantna mehanika Včasih imenujemo dinamične spremenljivke tudi opazljivke (ali observable). Vendar pa le te v kvantni mehaniki niso merljive brez omejitev, kakor so v Newtonovi mehaniki. To kaže že načelo nedoločenosti. Zato je bolje ne uporabljati imena »opazljivke« in ostati pri terminu »dinamična spremenljivka«. Dinamičnim spremenljivkam v kvantni mehaniki priredimo OPERATORJE. Obravnavajmo prost delec z maso , ki se giblje vzdolž osi x in ima ostro določeno gibalno količino . Že pri interferenčnih poskusih z elektroni smo zapisali valovno funkcijo takega delca v obliki:
m( ,0,0xP p= )
( )
0i k r te ω⋅ −Ψ=Ψ
p kW ω==
185
Za poseben primer gibanja delca z ostro določeno gibalno količino xp v smeri x-osi zapišemo ustrezno valovno funkcijo v obliki: Ψ
( )0
xi p x Wte −Ψ=Ψ
operator
xi px∂
− Ψ=∂
Ψ
ˆ xp ix∂
=−∂
definiramo kot operator komponente gibalne količine xp
ˆ
ˆ
y
z
p iy
p iz
∂=−
∂∂
=−∂
Posplošitev na 3 – dimenzije: p i=− ∇
operator
i Wt∂Ψ = Ψ
∂
W it∂
=∂
definiramo kot operator polne energije
‘ Valovna funkcija delca z ostro določeno gibalno količino:
‘ Valovna funkcija delca, katerega gibalna količina ni ostro določena:
x
( )xΨ
( )xΨ
x
Operatorji za koordinate:
( )ˆˆ operatorji za komponente , ,ˆ
x xy y r x y zz z
= ⎫⎪= =⎬⎪= ⎭
Ker je tudi potencialna energija odvisna samo od ( ), ,r x y z= velja:
186
( ) ( )V r V r= Operator kinetične energije:
2 2
2 2kmv pW
m= =
2 2
2ˆˆ2 2pTm m
= =− ∇
2
2ˆ2
Tm
=− ∇ operator kinetične energije
2 2
22 2
2
2x y z∂ ∂ ∂
∇ = + +∂ ∂ ∂
Preizkus (1-D): prost delec z ostro določeno gibalno količino xp ( )( )0V x =
( )( )22 2
2
22
0 22 2 2mxi p x W x x
kt pe
m x mp W−∂
− Ψ = =∂
=
Lastne vrednosti operatorjev: A AΨ = Ψ A je lastna vrednost operatorja A Ψ je lastna funkcija operatorja A V kvantni mehaniki uporabljamo linearne operatorje:
( )1 2 1ˆ ˆA AΨ +Ψ = Ψ + Ψ2A ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ ˆA c c c A c AΨ + Ψ = Ψ + Ψˆ
Produkt operatorjev v splošnem ni komutativen:
komutator
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, 0A B A B B A⎡ ⎤ = − ≠⎣ ⎦
187
9.1.5 Pričakovane vrednosti Že prej smo definirali:
* * ˆd dx x x x x
∞ ∞
−∞ −∞
= Ψ Ψ = Ψ Ψ∫ ∫
Posplošitev:
( )
* *
*
ˆ1 - D: d d
ˆ3 - D: d , kjer d d d d koordinatna reprezentacija
A A x A x
A A V V x y z
∞ ∞
−∞ −∞
= Ψ Ψ = Ψ Ψ
= Ψ Ψ =
∫ ∫
∫
( )* ˆ d prostor gibalne količineA A p= Ψ Ψ∫
9.1.6 Tabela operatorjev
Operatorji dinamičnih spremenljivk
Dinamična spremenljivka Operator koordinata …………………... x x x= koordinata …………………... y y y= koordinata ………………..…. z z z= krajevni vektor …………….. r r r= potencialna energija …...….. ( )V r ( )V V r= komponenta gibalne količine xp ( )ˆ xxp i x= ∂ ∂ komponenta gibalne količine yp ( )ˆ yp i y= ∂ ∂ komponenta gibalne količine zp ( )ˆ zp i z= ∂ ∂ vektor gibalne količine ……. p ( )p i= ∇ kinetična energija …………. kW ( )
( )( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
ˆ 2 2
2
T p m h m
h m x y z
= =− ∇ =
− ∂ ∂ +∂ ∂ + ∂ ∂ 2
polna energija …... kW W V= + ˆ ˆ ˆH T V= +
188
9.2 SCHRÖDINGER-jeva ENAČBA s časovno odvisnostjo
Erwin Schödinger (1887 – 1961) Za prost delec z ostro določeno gibalno količino ( )( )0V x = zapišemo funkcijo stanja v obliki
( )0
xi p x Wte −Ψ=Ψ . Od tod pa sledi:
22 2
22 2xpT
m x m
∧ ∂Ψ=− Ψ= Ψ
∂, (9.2.1)
W i Wt
∧ ∂Ψ = Ψ= Ψ
∂. (9.2.2)
Če je delec prost je ( ) 0V x = , torej 2
2xpWm
= , zato velja:
, oziroma: ˆ ˆT WΨ = Ψ
2 2
22i
m x t∂
− Ψ=∂ ∂
∂Ψ
časovno odvisna Schrödinger-jeva enačba za prosti delec (1-D)
Posplošitev na 3 – dimenzije:
22
2i
m t∂
− ∇ Ψ= Ψ∂
Če na delec deluje zunanja sila
( )grad ,F V r=− t
je celotna energija ( )2
,2pH V r tm
= + in ustrezen operator V V∧
= . Torej je operator celotne
energije:
( )2
2ˆ ,2
H Vm
=− ∇ + r t (9.2.3)
189
Operator H imenujemo Hamiltonov operator (hamiltonijan). Posplošitev Schrödinger-jeve enačbe za prost delec za primer delca z od nič različno potencialno energijo je torej: ( ,V r t )
( )2
2 ,2
V r t im
⎡ ⎤ ∂Ψ− ∇ + Ψ=⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦ t
(9.2.4)
Enačbo (9.2.4) imenujemo Schrödinger-jeva enačba s časovno odvisnostjo, katere rešitev je valovna funkcija . ( ),r tΨ=Ψ
190
9.3 SCHRÖDINGER-jeva ENAČBA brez časovne odvisnosti Če potencialna energija ni odvisna od časa tudi Hamiltonov operator ( )V r
( )2
2H
m
∧
=− ∇ +V r
)
ni odvisen od časa.
Časovno odvisno Schrödinger-jevo enačbo (9.2.4) poskušamo v tem primeru rešiti z nastavkom za valovno funkcijo v obliki:
( ) ( ) (,r t r f tΦ =Ψ (9.3.1)
Če vstavimo enačbo (9.3.1) v enačbo (9.2.4) dobimo:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2
2
2i r f t V r r f
t m⎡ ⎤∂
Ψ = − ∇ + Ψ⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦t , oziroma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2dd 2f t
i r r V r r f tt m
⎡ ⎤Ψ = − ∇ Ψ + Ψ⎢ ⎥
⎣ ⎦ / ( ) ( )r f tΨ
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )2
2
samo funkcija samo funkcija
d1 1d 2
t r
f ti r
f t t r mV r r
⎡ ⎤= − ∇ Ψ + Ψ⎢ ⎥Ψ ⎣ ⎦
(9.3.2)
Obe strani enačbe (9.3.2) sta enaki konstanti, ki ju označimo z E. Le v tem primeru je namreč enačba (9.3.2) rešljiva. Torej:
( )( )d1
df t
i Ef t t
= ⇒
( ) ( )ddf t
i E ft
= t , (9.3.3a)
( ) ( ) ( ) ( )2
21 .2
r V r r Er m
⎡ ⎤− ∇ Ψ + Ψ =⎢Ψ ⎣ ⎦
⎥
(9.3.3b)
Enačbo (9.3.2b) zapišemo v obliki:
( ) ( ) ( )2
2
2V r r E r
m⎡ ⎤− ∇ + Ψ = Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦
(9.3.4a)
Rešitev enačbe (9.3.3a) pa je:
( ) exp i E tf t C ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
.(9.3.4b)
191
Ker je splošna rešitev ( ) ( ) ( ),r t r f tΦ =Ψ , ne izgubimo nič na splošnosti, če postavimo C = 1:
( ) ( ), exp i E tr t r ⎛ ⎞Φ =Ψ −⎜ ⎟⎝ ⎠
(9.3.5)
Valovno funkcijo ( )rΨ izračunamo iz Schrödinger-jeve enačbe brez časovne odvisnosti, (enačba (9.3.4a)):
( ) ( )2
2
lastnalastna vrednostfunkcijaHamiltonov operator
2V r r E
m⎡ ⎤− ∇ + Ψ =⎢ ⎥⎣ ⎦
Ψ
(9.3.6a)
Zgornja enačba je enačba tipa . Če eni lastni vrednosti Aˆ
n nA AΨ = Ψn n ustreza več linearnih neodvisnih lastnih funkcij pravimo tem lastnim funkcijam degenerirane funkcije. Kaj predstavlja konstanta E, ki ima dimenzijo energije? Ob upoštevanju definicije Hamiltonovega operatorja lahko zapišemo enačbo (9.3.6a) v obliki:
( ) ( ).H r E r∧
↑Ψ = Ψ (9.3.6b)
Vidimo, da je E je lastna vrednost Hamiltonovega operatorja ( )2
2
2H
m
∧
=− ∇ +V r , funkcija
( )rΨ pa je ustrezna lastna funkcija.
Če z operatorjem polne energije W it∂
=∂
delujemo na funkcijo Φ (enačba (9.3.5)) dobimo:
( ) ( )exp expi E t i E ti r E rt⎡ ⎤ ⎡∂ ⎛ ⎞ ⎛Ψ − = Ψ −⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥ ⎢∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎤⎞⎟⎥ , (9.3.7)
kjer je E lastna vrednost operatorja polne energije W it
∧ ∂=
∂, ( ),r tΦ pa je ustrezna lastna
funkcija. Iz enačbe (9.3.7) sledi, da je E polna energija sistema.
Funkcija stanja ( ) ( ), exp i E tr t r ⎛Φ =Ψ −⎜⎝ ⎠
⎞⎟ ustreza ostro določeni polni energiji sistema.
Pričakovana vrednost polne energije za ( ),r tΦ , E je zato enaka E:
( ) ( )** 3, , 3E r t i r t d r E d r E
t∂
= Φ Φ = Φ Φ =∂∫ ∫
ali
192
( ) ( )** 3, ,E r t H r t d r E d r
∧
= Φ Φ = Φ Φ =∫ ∫ 3 E
Prehod iz kvantne mehanike v klasično (Newton-ovo) mehaniko Ehrenfestovi enačbi (1–D):
d
dxp V
t x∂
=−∂
(9.3.8a)
1dd x
xm p
t−= (9.3.8b)
Prehod k makroskopskim telesom: ( )x x t→
193
9.4 DELEC V NESKONČNI RAVNI POTENCIALNI JAMI 9.4.1 Klasična mehanika Spekter energij je zvezen.
vm
9.4.2 Kvantna mehanika
L
-a 0 +a x
∞ ∞( )V x
Potencialna energija: ( )0,
,a x a
V xx a
− < <⎧⎪= ⎨∞ >⎪⎩ (9.4.1)
Ker za → ∞V *0 0x ρ> ⇒ =Ψ Ψ≡ za x a>
Torej: ( ) 0 prix x aΨ = =± o V področju, kjer ( ) 0V x ≡ ima Schödingerjeva enačba brez časovne odvisnosti obliko:
( ) ( )22
2
d,
2 dx
E xm x
Ψ− = Ψ
oziroma
( ) ( )
22
2
dd
xk x
xΨ
=− Ψ
, (9.4.2)
194
kjer smo definirali: 22
2mk = E (9.4.3)
Splošna rešitev enačbe (9.4.2) je: ( ) cos sinx A kx B kΨ = + x (9.4.4a) Enačbi (9.4.4b) :sta hkrati izpolnjeni v dveh primerih
Ker zahtevamo ( ) 0x aΨ =± = , od tod sledi:
cos 0sin 0
A kaB ka
==
(9.4.4b)
Enačbi (9.4.4b) sta hkrati izpolnjeni v dveh primerih:
I. B = 0, cos ka = 0 II. A = 0, sin ka = 0
, 1,3,5,2nn nk n
a Lπ π
= = = ⋅⋅⋅ , 2, 4,6,2nn nk n
a Lπ π
= = = ⋅⋅⋅
lastne funkcije: ( ) cosn n nx A kΨ = x
lastne funkcije: ( ) sinn n nx B kΨ = x
( ) ( )* 1d 1a
n n na
x x x Aa−
Ψ Ψ = ⇒ =∫
1
nBa
=
( ) 1 cos2nnx x
aaπ
Ψ = ( ) 1 sin
2nnx x
aaπ
Ψ =
1,3,5,n= ⋅⋅⋅
2, 4,6,n= ⋅⋅⋅
Torej:
I in II : , 1, 2,3, 4,5,nnkLπ
= ⋅ ⋅ ⋅ ,
kjer smo kn definirali kot 2
2n
mk = nE (glejte enačbo (9.4.3)), od koder sledi:
2 2 2 2 2
2 , 1, 2,3,4,2 2n
nk nE n
m m Lπ
= = = ⋅⋅⋅ (9.4.5)
SKLEP: ENERGIJA JE KVANTIZIRANA! Posledica: črtasti spektri izsevane svetlobe!
195
02468
10121416
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
Energijski nivoji Valovne funkcije
-a 0 a x
1Ψ
2Ψ
3Ψ
4Ψ( )n xΨ
2
2 2
8n
m a Eπ
x
Lastne funkcije so ortogonalne : ( ) ( )* d 0a
m na
x x x+
−
Ψ Ψ =∫ , če n m≠
Verjetnostna gostota:
0 x-a +a
23Ψ
22Ψ
21Ψ
196
o Končna potencialna jama
-a +a0
3Ψ
2Ψ
1Ψ
x
0V
2Ψ
0,
0,( )
a x aV x
V x a− < <⎧⎪=⎨ >⎪⎩
o Klasična slika: energijski spekter je vedno zvezen
če je 2
02xp V Vm
⎛ ⎞+ < ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠je delec vedno ujet v potencialni jami
najmanjša možna energija je lahko nič.
197
9.5 HARMONSKI OSCILATOR Potencialna energija:
azvoj potencialne energije okrog točke x = a:
x
V(x)
a
R
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
je nič ker je minimum
1' ''2
k
x V a x a V x a x a V x a= + − = + − = +⋅⋅⋅ V
( ) ( ) ( )212
V x V a k x a≈ + −
hodišče koordinatnega sistema premaknem v minimum potencialne energije:
e remo:
Iz Čizbe
( ) 00
V ain a
=
=
⎫⇒⎬
⎭ ( ) 21
2V x k x=
ook-ov zakon H
x
V(x)
o Schrödinger-jeva enačba brez časovne odvisnosti za potencialno energijo: 21
2V k x= :
( ) ( ) ( )222 2
k x x E xm dx
− + Ψ = Ψ (9.5.1)22 1d xΨ
Uvedemo nove brezdimenzijske spremenljivke:
198
2 Eλω
= , (9.5.2)
kjer je 12k
mω ⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
xξ α=
, (9.5.3)
kjer je 1 14 2mk m
2
ωα = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Ob upoštevanju definicij (9.5.2) in 9.5.3) iz enačbe (9.5.1) sledi:
( ) ( ) ( )2
2d ξΨ 2 0
dλ ξ ξ
ξ+ − Ψ = (9.5.4)
Asimptotske oblika enačbe (9.5.4) za ( )2ξ ξ λ→∞ >> :
22
2 0d ξΨ− Ψ =
d ξ (9.5.5)
Približno rešitev enačbe (9.5.5) za :ξ →∞ ( )2
2p eξ
ξ ξ±
Ψ ≅ ⋅ izberemo tako, da je
funkcija končna za ξ →∞ . Nastavek išemo v obliki:
( ) ( )
za splošno rešitev zato nap
2 2H e ξξ ξ −Ψ = , (9.5.6)
kjer je H neznanaovo enačbo za
funkcija. Nastavek (9.6.5) vstavimo v enačbo (9.5.4). Tako dobimo
n ( )H ξ :
( )2d dH H2 1 0d d
Hξ λξ ξ
− + − = , (9.5.7)
ki jo imenujemo Hermitova
ovi polinom
diferencialna enačba.
Rešitev Hermitove diferencialne enačbe so Hermit i ( )nH ξ , kjer
2 1, 0,1, 2,3, 4,5,...n nλ = + = (9.5.8)
o
199
Hermitovi polionomi:
Ob upoštevanju enačbe (9.5.8) in enačbe (9.5.2) sledi:
( )( )( )( )( )
0
1
22
33
4 24
1
2
4 2
8 12
16 48 12
H
H
H
H
H
ξ
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
=
=
= −
= −
= − +
2 2 1E nω= + .
Iz enačbe (9.5.9) pa lahko izrazimo lastne energije:
1 , 0,1, 2,3,2nE n nω⎛ ⎞= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠ ...
, (9.5.10)
kjer km
ω= .
1 , 0,1, 2,...2nE n nω ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Lastne funkcije so torej: ( ) ( ) 2 2 , 0,1, 2n n nN H e nξξ ξ −Ψ = = ,3 . (9.5.11)
Vrednosti normalizacijske konstante Nn določimo iz pogoja :* d 1n n ξ+∞
−∞
Ψ Ψ =∫
( )1 22 !n
nN nα π= (9.5.12)
( )V x
hυ
x0E
1E2E3E4E
200
Verjetnostna gostota:
Primer: 2-atomna molekula, katere atoma sta vezana z efektivno interakcijsko silo, ki jo opišemo v okviru Hookovega zakona z efektivno interakcijsko konstanto k:
a)
µ ≡ reducirana masa
integracijska konstanta
k ≡
( ) 212
V x kx=
1 , 0,12nE n nω ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠ , 2,3
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
n = 1
n = 2
n = 0
2nΨ
1 2
1 2
m mm m
µ =+
k
r
1m
2m
12
,kωµ
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠
x
V(x)
r = a
V(r)
201
Tabela: Osnovne vibracijs konstanta za nekatere ke frekvence in efektivna interakcijska 2-atomne molekule
molekula interakcijska konstanta k
[N/m] frekvenca absorbcije
svetlobe za prehod iz stanja n=0 v stanje n=1
HF 138.72 10× Hz 970 HCl 138.66 10× Hz 480 HBr 137.68 10× Hz 410 HI 136.69 10× Hz 320 CO 136.42 10× Hz 1860 NO 135.63 10× Hz 1530
Iz: G. M. Barrows, The Structure of Molecules, New York,
W. A. Benjamin, 1963.
202
9.6 VODIKOV ATOM
Vodikov atom se sestoji iz protona z maso in nabojem ter elektrona
z maso in nabojem e
27−= ⋅1.67 10 kgpm 0e+
319.11 10 kgem −= ⋅ 0− . V težiščnem sistemu protona in elektrona je:
( )0p p e e
Tr =p e
m r m rm m
+=
+, (9.6.1)
je krajevni vektor iz izhodišča tež a koordinatnega ma do protona in kjer er pr iščneg sistekrajevni vektor do elektrona. Iz enačbe (9.6.1) sledi:
(9.6.2) Enačbo (9.6.2) odvajamo po času:
0p p e em r m r+ =
d d 0d d
p ep e
r rm mt t+ = , (9.6.3)
oziroma:
, (9.6.4)
kjer je
0p p e em v m v+ =
dd
pp
rv
t= hitrost protona in d
de
ervt
= hitrost elektrona. Iz enačbe (9.6.4) sledi:
ep e
p
mv vm
=− . (9.6.5)
Ker je 1e
p
mm
<< od tod sledi, da je v težiščnem sistemu vodikovega atom (proton in elektron):
p ev v<< (9.6.6) Zato je tudi kinetična energija protona:
2
2 2,
1 1 12 2 2
e ek p p p p e e e
p p
m mW m v m v m vm m
⎛ ⎞ ⎛= = =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎟⎠
, (9.6.7)
veliko manjša od kinetične energije elektrona:
2,
12k e e eW m= v , (9.6.8)
203
torej:
2 21 12 2 Na osnovi veljavnosti neenačbe (9.6. S
p p e em v m v<< . (9.6.9)
9) v chrödingerjevi enačbi za vodikov atom v prvem ribližku upoštevamo samo kinetično energijo elektrona. Zato v prvem členu Schrödingerjeve
m vstavimo kar maso elektrona : p
emenačbe brez časovne odvisnosti (9.3.6) za maso
( ) ( ) ( )r E rΨ = Ψ , (9.6.10) 2
2
2 e
V rm
⎡ ⎤− ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦
kjer je 2 2 2
22 2 2x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂ in
( )20
04 rerVπ ε
= , (9.6.11)
lektrostatska potencialna energija elektrona v električnem polju protona, kjer je e
2 2r x y z= + + 2 rad mase elektrona je namreč izhodišče težiščnega koordinatnega sistema praktično kar na
tona. Stacionarna Schrödingerjeva enačba (9.6.10) za vodikov atom v resnici šujemo v sferičnih koordinatah. Po daljšem računu dobimo za lastne vrednosti energije
(glejte primer J.
zdalja med protonom in elektronom. Zaradi veliko večje mase protona pm
emomestu prore
Strnad: Fizika III):
40 0
2 2 2nnEn
= − =− , 2 20
13.6eV32
m eπ ε
(9.6.12)
kjer je glavn
Enačba (9vodikove
o kvantno število
n = 1, 2, 3, 4, …. (9.6.13)
.6.12) je enačba (8.4.19), ki smo jo uporabili za opis črtastega emisijskega spektra ga atoma (str. 181)
204
9.7 ENERGIJSKI PASOVI V KRISTALIH
Zaradi enostavnos
ti se bomo omejili na periodični Krönig – Penney-ev potencial. o periodična potencialna energija elektrona v kristalu (1 – dimenzionalni primer):
( ) ( )V x L V x+ =
v jami:
med jamami: ( ) 0V x V=−
( ) 0V x =
Slika 9.7.1: Periodična potencialna energija s pravokotnimi odseki, imenovana Krönig –
Penney-ev potencial. Perioda ima dolžino L (Brensden & Joachim, 2000). Schödingerjeva enačba ( )0 0V E− < < :
v jami: ( )22
02
d2 d
xV EΨ , (9.7.1a)
m xΨ
− − Ψ=
med jamami: ( )22 d x22 d
Em x
Ψ . (9.7.1b)
V nadaljevanju uvedemo novi spremenljivki:
Ψ− =
( )2 22 inm V Eβ α02 2
2m E= + − ,
tako, da enačbi (1a) in (1b) preideta v:
v jami:
=
( ) ( )2
22
d0
dx
xx
βΨ
+ Ψ = , (9.7.2a)
med jamami: ( ) ( )2
22
d0
dx
xx
αΨ
− Ψ = . (9.7.2b)
0x
a
( )V x
a - L
0V
L
205
o Rešitev enačb (2a) in (2b) iščemo z nastavkom (Blochov teorem):
( ) ( )ikxkx e u xΨ =
(9.7.3)
k je realen
( )ku x je periodična funkcija s periodo L, kjer je L perioda kristala
načba (9.7.3) upošteva, da elektron v kristalni mreži ne pripada samo enemu izbranemu pač pa je verjetnost, da ga najdemo v bližini kateregakoli atoma v kristalni mreži
Zapišemo rešitev ena (a-L < x v jami: izven jam Iz enač
Eatomu,enaka.
čb (9.7.2a) in (9.7.2b) v področju ene celice v kristalu
< a):
, 0i x i xAe B e a L xβ β−Ψ = + − < < , (9.7.3’a)
e: , 0x xC e D e x aα α−Ψ = + < < . (9.7.3’b)
b (9.7.3), (9.7.3’a) in (9.7.3’b) sledi:
( ) ( ) v jami: , 0ku Ae B e a L x= + − < < , (9.7.3a)
(
i k x i k xβ β− − +
izven jame ) ( ) , 0ku C e De x aik x ik xα α− − += + < < : . (9.7.3b)
E Dodatna zahteva: zveznost
Ψ in 'Ψ na obeh robovih vsake potencialne jame,
torej zveznos in prvega odvoda
t Ψ 'Ψ (ozirom in ) priIz zahteve po zveznosti in prvega odvoda pri x = 0, to je na desnem robu potencialne jame, dobimo:
A + B = C + D, (9.7.4a) .
a ku 'ku x = a – L in x = 0.
ku 'ku
( ) ( ) ( ) ( )i k A i k B ik C ik Dβ β α α− − + = − − + . (9.7.4b)
0 a
L
( )V x
a - L L
x
funkcijo v tem intervalu dobimo zaradi periodičnosti s transformacijo celica
,x x L→ −( )( ) ( )( )i k x L i k x L
ku Ae Beβ β− − + −= +
torej:
206
Iz zahteve po zveznosti in pri levem robu potencialne jame x = a - L dobimo:
ku 'ku
( ) ( ) ( ) ( )i k b k b ik a ik aAe B e C e D eβ β α α− − + − − ++ = + , (9.7.5a)
i
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i k b i k b ik aAe i k B e ik C e ik D eβ β αβ α α− + −− + = − − + ik ai k αβ +− , (9.7.5b)
D. Pogoj za netrivialno rešitev tega sistema enačb je
−
kjer b = L-a.
Enačbe (9.7.4a), (9.7.4b), (9.7.5a) in (9.7.5b) so štiri homogene enačbe za A, B, C in ( )det 0S = :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 sinh sin cosh cos cosa b a b k Lα β α β α β⎤ + =⎣ ⎦
, (9.7.6) 2 2α β⎡ −
kjer smo predpostavili , kar ustreza vezanim stanjem..
Enačba (9.7.6) velja prav tako tudi za primer, ko je E > 0, kjer
0 0V E− < <
22
2 0, torej: ' in zatom E iα α α=− < = :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 '2 sin ' sin cos ' cos cosa b a b k Lα β α β α β α β⎡ ⎤− + + =⎣ ⎦ (9.7.7) '2
o Enačbo (9.7.6) zapišemo v obliki:
( ) ( )f cosE k L = (9.7.8)
Ker je ( ) ( )cos 1 1kL f E≤ ⇒ ≤ za vse vrednosti parametrov modela (glejte
sliko 9.7.2).
Slika je
a abscisni osi označujejo dovoljene vrednosti E, ki ustrezajo prevodnim pasovom. Prevodni pasovi so ločeni s
temnimi črtami.
E
-1
1
0
f(E)
(9.7.2): Odvisnost f(E), ki predstavlja levo stran enačbe (6), kot funkcija energiE. Temne črte n
prepovedanimi energijskimi pasovi področja E, ki niso označena s
207
o Vrednosti k-jev (število en rgijs ih nivojev) e k
o periodični robni pogoj za cel sistem
Zapišem v obliki (glejte še sliko 9.7.1):
( ) ( )0x x NLΨ = =Ψ = (9.7.9)
Ob upoštevanju iz zgornjega pogoja (9.7.9) sledi:
)ikNLe u NL (9.7.10a) O
0 1 2 N
-
( )ikxke u xΨ=
( ) (0 0 .k kx e u x= = =
b upoštevanju ( ) ( )k ku x u x L= + , torej tudi ( ) ( )0k ku x u x N= = =0 ikNL
L
iz enačbe (9.7.10a) sledi , torej: (9.7.10b) = (9.7.10)
Iz enačbe (9.7.10) pa sledi:
e e=( ) ( )cos sin 1ikNLe kNL kNL= +
2kNL n π= , n = 0, ± 1, ± 2... Torej:
2nkNLπ
=
, n = 0, ± 1, ± 2, . . .
aradi periodi Z čnosti funkcij se torej E ne spremeni, če 2 .k k nLπ
→ +
Torej katerikoli interval k-ja širine 2Lπ zadostuje za našo obravnavo.
N dovoljenih vrednosti za
Izberemo k (oziroma E) , kjer je
kL Lπ π
− < < N število atomov v kristalu
rvalu Znotraj energijskih pasov (slika 9.7.2) za izbrano vrednost k-ja v inte
kL Lπ π
− < < izračunamo ustrezno energijo nivoja iz enačbe (9.7.8).
208
o 9.7.1),
se energijski pasovi za
o Diskusija: ko se razdalja med potencialnimi jamami L povečuje (glejte še slik0 0V E− < < →∞ ožajo. V limiti se skrčijo v
diskretne en
o i absolumijev n
o Kovina: zas d nost energijskih
Lergijske nivoje izoliranih končnih potencialnih jam.
Izolator: izolator ima pr tni temperaturi T = 0 K zapolnjen valenčni pas in prazen prevodni pas. Fer ivo leži nekje vmes med obema pasovoma, velikost
10eVgE ≈ .
e e nivojev v kovini.
E
L
1E
2E
3E
kovina
prevodni pas
valen
energijska špranjagE
čni pas
energija E
E =
FE E
0
=
energija E
209
o olprevodniki: v polprevodnikih se elektroni vzbudijo iz zgornjega valenčnega pasu dno prevodnega pasu.
Pv
energija E
valenčni pas
gE
prevodni pas
Tabela: Širina energijske špranje gE za nekaj polprevodnikov*
( )eVgE
Kristal 0 K 300 K
Si 1.17 1.14Ge 0.744 0.67InP 1.42 1.35GaP 2.32 2.26GaAs 1.52 1.43CdS 2.582 2.42CdTe 1.607 1.45Zno 3.436 3.2ZnS 3.91 3.6*Podatki so vzeti iz: C. Kittel, Introduction
th ed., New York, iley & Sons, 1976.
to Solid State Physics, 5John W
i in akceptorskimi nivoji. Dodatna literatura:
energijska reža
donorski nivo
valenčni pasvrzel
prevodni pas
elektron
akceptorski nivo
Slika 9.7.3: Dopiran polprevodnik z donorskim
210
: Quantum mechanics, 2000, Serway: Physics with Modern Physics (2.nd),
o ed), 4th ed.
o J. Strnad (Fizika III in drugi učbeniki), o Brönsden & Joachaino
Halliday, Resnick, Walker: Fundamentals of Physics (extend
211