Download - 8.Pitagorina Teorema 2010
-
)
5
13
?
Naravno, primenjujemo Pitagorinu teoremu:
A
a cm
c cm
b
=
=
=
2 2 2
2 2 2
2
2
2
5 13
25 169
169 25
144
144
12
a b c
b
b
b
b
b
b cm
+ =
+ =
+ =
=
=
=
=
)
9
12
?
B
a cm
b cm
c
=
=
=
2 2 2
2 2 2
2
2
9 12
81 144
225
225
15
a b c
c
c
c
c
c cm
+ =
+ =
+ =
=
=
=
224
8
1) ?
2) ?
P cm
a cm
b
O
=
=
=
=
Primeniemo formulu za povrinu pravouglog trougla i iz nje nai katetu b.
-
28
24 skratimo 8 i 2 sa 22
24=4b
24b=
46
a bP
b
b cm
=
=
=
Sada emo pomou Pitagorine teoreme nai hipotenuzu c a zatim i obim O = a + b + c
2 2 2
2 2 2
2
2
8 6
64 36
100
100
10
a b c
c
c
c
c
c cm
+ =
+ =
+ =
=
=
=
O = a + b + c O = 8 + 6 + 10 O = 24 cm
9
12
?
?c
a cm
b cm
P
h
=
=
=
=
Kreemo od obrasca za povrinu trougla:
2
29 12
29 6
54
a bP
P
P
P cm
=
=
=
=
Primenimo Pitagorinu teoremu:
-
2 2 2
2 2 2
2
2
9 12
81 144
225
225
15
a b c
c
c
c
c
c cm
+ =
+ =
+ =
=
=
=
Dalje traimo hipotenuzinu visinu ( pogledaj teorijske napomene i podseti se formule)
9 12 skratimo 12 i 15 sa 3
159 4
5
36 cm
57, 2
c
c
c
c
c
a bh
c
h
h
h
h cm
=
=
=
=
=
Naravno najpre moramo nacrtati sliku i uoiti ta je to to se od nas trai:
A B
CD
a=8cm
b=6cmh cc
Vidimo da je traeno rastojanje ustvari hipotenuzina visina trougla ABC. Dakle, prvo emo nai duinu c, a zatim i to traeno rastojanje.
-
2 2 2
2 2 2
2
2
8 6
64 36
100
100
10
a b c
c
c
c
c
c cm
+ =
+ =
+ =
=
=
=
8 6
1048
104,8
c
c
c
c
a bh
c
h
h
h cm
=
=
=
=
A B
C
a
b
ha
a_2
b=13cm=12cm
1) Osnovicu emo nai primenom Pitagorine teoreme na plavi trougao( pogledaj teorijske napomene)
-
22 2
22 2
2
2
2
2
12 132
144 1692
169 1442
252
252
52
5 2
10
a
ah b
a
a
a
a
a
a
a
a cm
+ =
+ =
+ =
=
=
=
=
=
=
2) Visinu koja odgovara kraku b emo nai kombinujui formule za povrinu!
Kao to znamo , povrina se moe izraunati preko dve formule:
ili 2 2
Ako uporedimo ove dve formule:
skratimo dvojke2 2
odavde izrazimo
10 12
13120
13
a b
a b
a b b
a
b
b
b
a h b hP P
a h b h
a h b h h
a hh
b
h
h cm
= =
=
=
=
=
=
-
Najpre emo nai duinu dui BC, primenjujui Pitagorinu teoremu na trougao ABC.
A
B SC
3cm5cm
d
2 2 2
2 2 2
2
2
5 3
25 9
16
16
4
BC AC AB
BC
BC
BC
BC
BC cm
=
=
=
=
=
=
Kako je S sredina stranice BC , to znai da je duina BS = 2cm. Dalje primenjujemo Pitagorinu teoremu na trougao ABS
A
B SC
3cm5cm
d
2cm
-
2 2 2
2 2 2
2
2
3 2
9 4
13
13
d AB SB
d
d
d
d cm
= +
= +
= +
=
=
Obeleimo na slici take A i B.
k
q
pO A
BS
r
r
d
Kako su p i q tangente datog kruga, znamo da su one normalne na poluprenik. To nam govori da je etvorougao OASB kvadrat, stranice r i dijagonale d = OS = 4cm.
2 primenimo kod naeg zadatka:
2
4 2
2
2 2
da
r
r cm
=
=
=
-
Najpre uoimo da su lestvice u obliku jednakokrakog trapeza. Moramo izraunati visinu tog trapeza.
a
b
cc h
a-b2
a = 1,6 m b = 0,4 m c = 1m h = ?
22 2
22 2
22
2 2
2
2
2
1,6 0,41
2
1, 21
2
1 (0,6)
1 0,36
0,64
0,64
0,8
a bh c
h
h
h
h
h
h
h m
=
=
=
=
=
=
=
=
h=0,8m
2m
-
Najvea visina koju Milan moe dosegnuti je 0,8 + 2 = 2,8 metra
stub 10m
duina senke 20m
d
vrabac
Sa slike uoavamo da je na ovaj nain oformljen pravougli trougao, a traeno rastojanje je hipotenuza ovog trougla!
2 2 2
2
2
10 20
100 400
500
500
500 100 5 100 5
10 5
d
d
d
d
d
d m
= +
= +
=
=
= = =
=
Pogledajmo najpre sliku:
25m
x
25-x
25-x
5m
-
Obeleimo sa x visinu na kojoj je stablo polomljeno. Poto je celo stablo visoko 25 metara, onaj gornji deo, koji je pao ka zemlji je 25 - x metara. Na taj nain je nastao pravougli trougao, na kome emo primeniti Pitagorinu teoremu!
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
5 (25 ) pazi, na desnoj strani je kvadrat binoma!
25 25 2 25
25 625 50
50 625 25
50 600
600
5012
x x
x x x
x x x
x x x
x
x
x m
+ =
+ = +
+ = +
+ =
=
=
=
Dakle , stablo je polomljeno na 12 metara od zemlje.
A
B
C b
a=b-2c=b+2
Primenjujemo Pitagorinu teoremu:
-
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
( 2) ( 2)
2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 nepoznate prebacimo na levu a poznate na desnu stranu
4 4 4 4
8 0
( 8) 0 0 ili b-8=0 b=8cm
2 8 2
a b c
b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b
b b b
a b a a
+ =
+ = +
+ + = + +
+ + = + +
+ =
=
= =
= = = 6
2 8 2 10
Dalje da nadjemo obim:
6 8 10
24
cm
c b c c cm
O a b c
O
O cm
= + = + =
= + +
= + +
=
48 2
?
O cm
d
=
=
a
ad
Iz obima emo nai duinu stranice a.
4
48 2 4
48 2
4
12 2
O a
a
a
a cm
=
=
=
=
Dalje koristimo formulu za dijagonalu:
-
22
12 2 2
12 2
12 2
24
d a
d
d
d
d cm
=
=
=
=
=
a=12cm
bd=b+8
Naravno, primenjujemo Pitagorinu teoremu na plavi trougao.
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
( 8) 12
2 8 8 144
16 64 144
16 144 64
16 80
80
165
Sada nije teko nai povrinu:
12 5
60
d a b
b b
b b b
b b b
b b b
b
b
b cm
P a b
P
P cm
= +
+ = +
+ + = +
+ + = +
+ =
=
=
=
=
=
=
-
r=d/2
a=12cm
b
Kako se centar opisane krunice kod pravougaonika nalazi u preseku dijagonala, to moemo zakljuiti da je poluprenik jednak polovini dijagonale odnosno da je: d = 2r , to jest d = 30cm Dalje emo primenom Pitagorine teoreme nai nepoznatu stranicu b.
2 2 2
2 2 2
2
2
2
24 30
576 900
900 576
324
324
18
a b d
b
b
b
b
b
b cm
+ =
+ =
+ =
=
=
=
=
Obim pravougaonika je:
2 2
2( )
2(24 18)
2 42
84
O a b
O a b
O
O
O cm
= +
= +
= +
=
=
-
1
2
100
40
1) ? ?
2) ?
3) ?
O cm
d cm
a d
P
h
=
=
= =
=
=
a
a
dd2
1
h
1
2
d 2
2
d
Iz obima emo nai duinu ivice a.
4
100 4
100
425
O a
a
a
a cm
=
=
=
=
Primenom Pitagorine teoreme na plavi trougao, Nai emo drugu dijagonalu.
-
2 22 1 2
22
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
4025
2 2
625 202
625 4002
625 4002
2252
2252
152
15 2
30
d da
d
d
d
d
d
d
d
d
d cm
= +
= +
= +
= +
=
=
=
=
=
=
Dalje raunamo povrinu:
1 2
2
240 30
2
600
d dP
P
P cm
=
=
=
Da bi nali duinu visine h , moramo upotrebiti i drugu formulu za povrinu:
600 25
600
2524
P a h
h
h
h cm
=
=
=
=
-
Nacrtajmo najpre sliku:
C
C1
B
A
6cm
60o
60o
60o
60o
Kako je trougao 1CC B jednakostranian, njegovi uglovi su po 60 stepeni. Kako su mu i sve stranice jednake , to je
1 1 6CC CB BC cm= = =
Kako je 1CC teina du, ona deli stranicu AB na dva jednaka dela ,pa je i 1 6C A cm= .
Dalje zakljuujemo da je trougao 1CC A jednakokraki.
Kako je 0 0 01 180 60 120CC A = = a 1CC A je jednakokraki to e dva ostala ugla biti:
0 00
1 1
180 12030
2C CA CAC
= = =
Pogledajmo na slici ta smo do sada izmozgali:
C
C1
B
A
6cm
60o
60o
60o
60o
120
30
o
o
30o
6cm
6cm
6cm
Dakle , uglovi trougla ABC su 30, 60 i 90 stepeni.
-
to se tie stranica , oigledno je BC = 6cm, AB = 12cm a AC emo dobiti primenom Pitagorine teoreme:
2 2 2
2 2 2
2
2
12 6
144 36
108
108 36 3 36 3
6 3
AC AB BC
AC
AC
AC
AC
AC CM
=
=
=
=
= = =
=
Prouimo najpre sliku:
A B
C
D
8cm 13cm
60o
30o
4cm
Kako je 060CAB = a CD visina, to nam govori da je 030ACD = , odnosno da je trougao ACD polovina jednakostraninog trougla stranice 8 cm. Onda je AD = 4cm. CD je visina tog trougla ija je stranica 8cm.
3
2
8 3
2
4 3
ah
CD
CD cm
=
=
=
-
DB emo nai pomou Pitagorine teoreme:
2 2 2
2 2 2
2
2
2
13 (4 3)
169 16 3
169 48
121
121
11
DB CB CD
DB
DB
DB
DB
DB
DB cm
=
=
=
=
=
=
=
x
y
1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
0
A(-4,0)
B(0,-3)
p
O(0,0)
d
Oigledno je trougao ABO pravougli sa katetama AO= 4 i BO =3( pazi, ovde nema jedinica mere, pa ne piemo cm, m ...)
-
2 2 2
2 2 2
2
2
3 4
9 16
25
25
5
AB OB OC
AB
AB
AB
AB
AB
= +
= +
= +
=
=
=
Traeno rastojanje d je visina ovog pravouglog trougla:
3 4
512
5
2, 4
c
a bh
c
d
d
d
=
=
=
=
Najpre dobro proitamo zadatak i dopunimo sliku:
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
0 6 7
A(1,1)
B(7,4)
C(7,1)
d
A) Oigledno je: AC = 7 1 = 6 i BC = 4-1 = 3 AB emo nai primenom Pitagorine teoreme:
-
2 2 2
2 2 2
2
2
3 6
9 36
45
45 9 5 9 5 3 5
3 5
AB BC AC
AB
AB
AB
AB
AB
= +
= +
= +
=
= = = =
=
B) Traeno rastojanje je visina ovog trougla, dakle:
2
3 6
3 5
6 moramo izvriti racionalizaciju
5
6 5
5 5
6 5
5
6 5
5
c
a bh
c
d
d
d
d
d
=
=
=
=
=
=