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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Gliederung
1. Motivation / Grundlagen2. Sortierverfahren3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen4. Bäume / Graphen5. Hashing6. Algorithmische Geometrie
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Einleitung
„unser“ Blick auf Datenstrukturen
• Menge der zu verwaltenden Objekte• Menge der zu unterstützenden Operationen
... werden charakterisiert durch
• Warteschlangen (/* Queues */)• Kellerspeicher (/* Stacks */) • Prioritätswarteschlangen (/* Priority Queues */)
einfache Beispiele
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• Menge von zu verwaltenden Objekten• Objekte können hinzugefügt bzw. entfernt werden• zeitliche Reihenfolge des Einfügens ist entscheidend
Aufgabenstellung
FIFO-Prinzip ... (/* first in, first out */)
LIFO-Prinzip ... (/* last in, first out */)
Warteschlange
Kellerspeicher
Implementierungsvarianten
• Array von Objekten• verkettete Liste von Objekten
Warteschlangen / Kellerspeicher
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• Erzeugen einer leeren Warteschlange bzw. eines leeren Kellerspeichers(/* create(Q) bzw. create(S) */)
• Einfügen eines Objekts o in eine Warteschlange Q bzw. einen Kellerspeicher S (/* insert(Q,o) bzw. insert(S,o) */)
• Test, ob eine Warteschlange Q bzw. ein Kellerspeicher S leer ist(/* empty?(Q) bzw. empty?(S) */)
• Zugriff auf das zuerst in die Warteschlange Q bzw. das zuletzt in den Kellerspeicher S eingefügte Objekt (/* access(Q) bzw. access(S) */)
• Entfernen des zuerst in die Warteschlange Q bzw. des zuletzt in den Kellerspeicher S eingefügte Objekt (/* delete(Q) bzw. delete(S) */)
Operationen
Warteschlangen / Kellerspeicher
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• mindestens zwei Möglichkeiten• Möglichkeit 1 (/* implementierungsabhängig */)
• festlegen, wie die Objekte intern verwaltet werden (/* etwa mit Hilfe eines Arrays oder einer verketteten Liste */)
• „ausprogrammieren“ der Operationen
• Möglichkeit 2 (/* implementierungsunabhängig */)
• gewünschte Eigenschaften der Operationen formal beschreiben; de facto wird das „Zusammenspiel“ zwischen den Operationen festgelegt
Beschreibung der Operationen
offen: Welche Beschreibungsmittel verwendet man hier?
Warteschlangen / Kellerspeicher
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Warteschlangen / Kellerspeicher
Randbedingungen (/* implementierungsabhängig */)
• die zu verwaltenden Objekte werden in einem Array gespeichert (/* damit ist klar, daß die Anzahl der zu verwaltenden Objekte a priori beschränkt ist */)
• über die Indizes kann man auf die aktuell verwalteten Objekte zugreifen• die Anzahl der verwalteten Objekte ist von Relevanz (/* wird sich
„gemerkt“, um die Operationen einfacher zu realisieren */)
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Warteschlangen
Realisierung 1 (/* ungeschickt */)
• Array queue zum Verwalten von maximal n Objekten• Variable anz, um sich die Anzahl der verwalteten Objekte zu merken
• create(Q): Anlegen eines Arrays queue der Größe n; anz = 0
• empty?(Q): if ( anz == 0 ) return(true) else return(false)
• insert(Q,o): ++anz; queue[anz] = o
• access(Q): return(queue[1])
• delete(Q): for ( i = 1; i <= anz; ++i ) { queue[i] = queue[i+1]; };--anz
... insert(), access() und delete() bedürfen noch eines Tests auf Anwendbarkeit
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Warteschlangen
Realisierung 1 (/* ungeschickt */)
• Operation delete() benötigt die Zeit O(n) • alle anderen Operationen benötigen die Zeit O(1)
Verbesserungsmöglichkeit, um alle Operationen in Zeit O(1) zu realisieren:
• der Index des zuerst gespeicherten Objekts ändert sich (/* muß sich aber explizit „gemerkt“ werden */)
5 3 2
2 5 3
(/* Realisierung 1 */)
(/* Realisierung 2 */)
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Warteschlangen
Realisierung 2 (/* geschickter */)
• Array queue zum Verwalten von maximal n Objekten• Variable anz, um sich die Anzahl der verwalteten Objekte zu merken• Variable first, um sich den Index des zu erst eingefügten Objekts zu
merken
• create(Q): ...; anz = 0; first = 1
• insert(Q,o): ++anz; z = first+anz-1; if ( z <= n ) queue[z] = o else queue[z-n] = o
• delete(Q): if ( first == n) first = 1 else ++first
... insert(), access() und delete() bedürfen noch eines Tests auf Anwendbarkeit
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Warteschlangen
Beschreibung (/* implementierungsunabhängig */)
• gewünschte Eigenschaften der Operationen formal beschreiben; de facto wird das „Zusammenspiel“ zwischen den Operationen festgelegt
... wählen bedingte Gleichungen (/* Theorie der Abstrakte Datentypen */)
empty?(create(Q)) = trueempty?(insert(Q,o)) = false
empty?(Q) = true access(insert(Q,o)) = oempty?(Q) = false access(insert(Q,o)) = access(Q)
empty?(Q) = false delete(insert(Q,o)) = insert(delete(Q),o)empty?(Q) = true delete(insert(Q,o)) = Q
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Kellerspeicher
Realisierung
• Array stack zum Verwalten von maximal n Objekten• Variable anz, um sich die Anzahl der verwalteten Objekte zu merken
• create(S): Anlegen eines Arrays stack der Größe n; anz = 0
• empty?(S): if ( anz = 0 ) return(true) else return(false)
• insert(S,o): ++anz; stack[anz] = o
• access(S): return(stack[anz])
• delete(S): --anz
... insert(), access() und delete() bedürfen noch eines Tests auf Anwendbarkeit
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Kellerspeicher
Realisierung
• alle Operationen benötigen die Zeit O(1)
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Kellerspeicher
Beschreibung (/* implementierungsunabhängig */)
• gewünschte Eigenschaften der Operationen formal beschreiben; de facto wird das „Zusammenspiel“ zwischen den Operationen festgelegt
... wählen bedingte Gleichungen (/* Theorie der Abstrakte Datentypen */)
empty?(create(S)) = trueempty?(insert(S,o)) = false
access(insert(S,o)) = o
delete(insert(S,o)) = S
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
• Realisierung rekursiver Funktionen • Auswertung arithmetischer Ausdrücke
• nur binäre Operationen• vollständig geklammerte Ausdrücke
Anwendungen von Kellerspeichern
Beispiele
Auswertung arithmetischer Ausdrücke (/* Randbedingungen */)
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Stacks
Infix-Notation
(x+y)((x*y)+z)((x*(x+y))+z)
Klammern in der Infix-Notation dienen zur „Repräsentation“ von Prioritätenvon Operatoren (/* hier machen wir uns das Leben „einfacher“ */)
Postfix-Notation
xy+xy+z*xxy+*z+
Auswertung arithmetischer Ausdrücke
Grundlagen (/* Infix- versus Postfix-Notation */)
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
... Auswertung gemäß Baumstruktur (/* aufbauen + auswerten */)
((x*(x+y))+z)
+
val(z)*
+
val(y)val(x)
val(x)
Auswertung arithmetischer Ausdrücke
Auswertung eines arithmetischen Ausdrucks in Infix-Notation
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
Auswertung arithmetischer Ausdrücke
Aufgabenstellung
• gegeben ein vollständig geklammerter arithmetischer Ausdruck in Infix-Notation (/* falls nicht, so müssen die Klammern gemäß der Prioritäten der Operatoren eingefügt werden */)
• gesucht ist der Wert des Ausdrucks (/* ... die Werte der auftretenden Variablen sind bekannt */)
Herangehensweise
• Schritt 1: Umwandlung von Infix-Notation in Postfix-Notation• Schritt 2: Auswertung des Ausdrucks in Postfix-Notation
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
von links nach rechts durchlaufen; unter Verwendung eines Stacks auswerten
2 2 2 2 10 10 11
2 2 5 1
3
Auswertung arithmetischer Ausdrücke
Auswertung eines arithmetischen Ausdrucks in Postfix-Notation
2 2 3 + * 1 +
Ausgabe: 11
Auszuwertender Ausdruck: ((2*(2+3))+1)
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
von links nach rechts durchlaufen; unter Verwendung eines Stacks auswerten
a a a a d d f
a a c e
b
a = val(x)b = val(y)
e = val(z)f = d+e
c = a+bd = a+c
Abkürzungen:
Auswertung arithmetischer Ausdrücke
Auswertung eines arithmetischen Ausdrucks in Postfix-Notation
x x y + * z +
Ausgabe: f
Auszuwertender Ausdruck: ((x*(x+y))+z)
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
• führe create(S) aus• arithmetischen Ausdruck von links nach rechts durchlaufen
• falls das aktuelle Zeichen z ein Operand ist, so führe insert(S,val(z)) aus
• falls das aktuelles Zeichen z ein Operator ist, so bestimme a = access(S), führe delete(S) aus, bestimme b = access(S), führe delete(S) aus, berechne c = z(a,b) und führe insert(S,c) aus
• falls der Ausdruck vollständig gelesen wurde, so gib access(S) aus
Auswertung arithmetischer Ausdrücke
Regeln für Schritt 2
3/1, Folie 21 © 2010 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen
Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
* * * * * * + +
+ +
Ausgabe:
Auswertung arithmetischer Ausdrücke
von links nach rechts durchlaufen; unter Verwendung eines Stacks ausgeben
Umwandlung von Infix-Notation in Postfix-Notation
x x y + * z +
( ( x * ( x + y ) ) + z )
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
• führe create(S) aus• arithmetischen Ausdruck von links nach rechts durchlaufen
• falls das aktuelle Zeichen z das Zeichen “(“ ist, so ignoriere z • falls das aktuelle Zeichen z ein Operand ist, so gebe z aus• falls das aktuelle Zeichen z ein Operator ist, so führe
insert(S,z) aus• falls das aktuelles Zeichen z das Zeichen “)“ ist, so bestimme
y = access(S), gib y aus und führe delete(S) aus
Auswertung arithmetischer Ausdrücke
Regeln für Schritt 2
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
Prioritätswarteschlangen
• Menge von zu verwaltenden Objekten, wobei jedem Objekt eine „Priorität“ zugeordnet ist
• Objekte können hinzugefügt bzw. entfernt werden • in der verwalteten Menge will man schnell ein Objekt mit der
höchsten Priorität bestimmen können
Aufgabenstellung
... betrachten Varianten der Realisierung mit Hilfe eines Arrays, d.h. die Anzahl der zu verwaltenden Objekte ist a priori begrenzt
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
Prioritätswarteschlangen
Operationen
• Erzeugen einer leeren Prioritätswarteschlange P(/* create(P) */)
• Einfügen eines Objekts o in eine Prioritätswarteschlange P(/* insert(P,o) */)
• Zugriff auf ein Objekt in der Prioritätswarteschlange P mit minimaler Priorität, wobei dieses Objekt gleichzeitig aus P gestrichen werden soll (/* acc_del(P) */)
• Erzeugen einer Prioritätswarteschlange P, die alle Objekte einer Objektmenge O enthält (/* init(P,O) */)
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
Prioritätswarteschlangen
Anwendungen
• Steuerung von Druckerwarteschlangen (/* den Benutzern werden Gruppen zugeordnet, ... */)
• als zugrunde liegende Datenstruktur diverser Algorithmen (/* sehen wir später */)
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
Prioritätswarteschlangen
Realisierung 1 (/* ungeschickt */)
• Array pqueue zum Verwalten von maximal n Objekten• Variable anz, um sich die Anzahl der verwalteten Objekte zu merken
• create(P): Anlegen eines Arrays pqueue der Größe n; anz = 0
• insert(P,o): ++anz; pqueue[anz] = o
• acc_del(P): bestimme i mit p(pqueue[i]) ist maximal;return(queue[1]);for ( j = i; j < anz; ++j ) { pqueue[j] = pqueue[j+1]; }; --anz
• init(P,O): führe erst create(P) und dann „nacheinander“ für jedes Objekt o O die Operation insert(P,o) aus
... insert(), acc_del() und init() bedürfen noch eines Tests auf Anwendbarkeit
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
Prioritätswarteschlangen
Realisierung 1 (/* ungeschickt */)
• Operationen create(P) und insert(P,o) gehen in Zeit O(1)• Operationen acc_del(P) und init(P,O) benötigen Zeit O(n)
Verbesserungsmöglichkeit
• Array pqueue zum Verwalten von maximal n Objekten• Variable anz, um sich die Anzahl der verwalteten Objekte zu merken• das Array pqueue, in dem die Objekte verwaltet werden, bildet einen
Heap (/* Ordnung der Objekte bzgl. der zugehörigen Prioritäten */)
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
Stacks
Prioritätswarteschlangen
Beispiel
• O = { a,b,c,d,e,f,g } • p(a) = p(g) = 5, p(b) = 1, p(c) = p(e) = p(f) = 3, p(d) = 2
a
e g
d b f c
Ein Knoten o mit den Söhnen ol und or hat die Heap-Eigenschaft, falls p(o) ≥ p(ol) und p(o) ≥ p(or) gilt.
... jeder Knoten muß die Heap- Eigenschaft haben
a e g d b f c
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Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
insert()-Operation
• ++anz; pqueue[anz] = o• auf dem Weg von pqueue[1] zu pqueue[anz] das neue Objekt o an
die richtige Position „steigen“ lassen
... geht in Zeit O(log(n))
• O = { a,b,c,d,e,f,g } • p(a) = p(g) = 5, p(b) = 1, p(c) = p(e) = p(f) = 3, p(d) = 6
a
g f
c e b
a
g f
c e b d
d
g a
c e b f
a g f c e b a g f c e b d d g a c e b f
Prioritätswarteschlangen
3/1, Folie 30 © 2010 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen
Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
acc_del()-Operation
• y = pqueue[1]; pqueue[1] = pqueue[anz]; --anz• Objekt an Position pqueue[1] an die richtige Position „sinken“ lassen;
return(y)
... geht in Zeit O(log(n))
a e g d b f c
• O = { a,b,c,d,e,f,g } • p(a) = p(g) = 5, p(b) = 1, p(c) = p(e) = p(f) = 3, p(d) = 2
a
e g
d b f c
c
e g
d b f
g
e c
d b f
c e g d b f g e c d b f
Prioritätswarteschlangen
3/1, Folie 31 © 2010 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen
Kapitel 3: Elementare Datenstrukturen / Anwendungen
init()-Operation
• Array pqueue mit allen Objekten in O initialisieren (/* ohne die Ordnung bzgl. der Prioritäten zu beachten */)
• Array pqueue wie in Phase 1 von HeapSort in einen Heap überführen (/* Ordnung absteigend bzgl. der Prioritäten */)
... geht in Zeit O(n)
a b c d e f g d a g b e f c
Prioritätswarteschlangen
• O = { a,b,c,d,e,f,g } • p(a) = p(g) = 5, p(b) = 1, p(c) = p(e) = p(f) = 3, p(d) = 6
a
b c
d e f g
d
a g
b e f c