Download - 3 Bölüm - TRİGONOMETRİK NİVELMAN
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
65
3. BÖLÜM
TRİGONOMETRİK YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ Yükseklikler genellikle geometrik nivelmanla belirlenir. Minare kule gibi yanına gidilemeyen ya da arazinin çok engebeli olduğu durumlarda ve geometrik nivelman inceliği istenmeyen işlerde, noktaların yükseklikleri trigonometrik nivelmanla belirlenir. Trigonometrik nivelman, daha çok nirengi noktaları ile takimetrik alımda ve total station benzeri elektronik aletlerle yapılan üç boyutlu kutupsal alımda nokta yüksekliklerinin belirlenmesinde kullanılır. Trigonometrik yükseklik belirlemesi için yüksekliği bilinen bir noktaya teodolit ya da total station kurularak, düşey açı okunur, alet yüksekliği ve işaret yüksekliği ölçülür. Ayrıca iki nokta arasındaki uzaklığın da bilinmesi veya ölçülmesi gerekir.
3.1. Düşey Açı
Şekil 3.1 Düşey açı
İki çeşit düşey açı vardır. Bunlar zenit (başucu) açısı ve eğim açısıdır. Teodolitlerde düşey açı ölçme düzenleri genellikle zenit açısı ölçülecek şekilde yapılmıştır. Düşey açı bölüm dairesi, daire merkezi yatay eksenle çakışacak şekilde ve düşey durumda dürbüne bağlanmıştır. Dürbün aşağı yukarı hareket ettirildiği zaman düşey açı bölüm dairesi de dürbünle birlikte hareket eder.
P
Z
Zenit (Başucu)
Yatay
Z : Zenit (başucu) açısı α : Eğim açısı Z+α = 100g
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
66
3.1.1. Gösterge (Düşey Kolimasyon) Hatası Düşey açı bir gösterge çizgisiyle okunuyorsa, optik eksen tam yatay durumda iken gösterge çizgisinin de tam 100 gradı göstermesi gerekir. Optik eksen yatay durumda iken düşey açı düzeci ayarlandığında gösterge çizgilerini birleştiren doğru ile bölüm dairesinin 100 ve 300 grad çizgileri çakışmıyorsa açı 100 gradtan biraz farklı olacaktır. Bu fazla ya da az okunan miktara gösterge hatası veya düşey kolimasyon hatası denir. Gösterge çizgilerinin yataylanması düşey açı düzeci yardımıyla veya kompensatörlerle otomatik olarak sağlanmaktadır. Gösterge hatası, ya optik eksen ile bölüm dairesinin 100g-300g çizgilerini birleştiren doğru, ya da düzeç ekseni ile gösterge ekseni birbirlerine paralel değilse oluşur. Şekilde birinci hata δ1, ikinci hata ise δ2 ile gösterilmiştir. Açı ölçümünde bu iki hatanın toplamı bir tek hata olarak görünür.
Şekil 3.2 Düşey kolimasyon hatası
α1+ α2 = 400g +2δ δ=( α1+ α2 - 400g) / 2
Eğer alet hatalı değilse dürbünün iki durumunda ölçülen zenit açılarının toplamı 400g olur. 400 gradtan fazla olan miktar, gösterge hatasının iki katıdır. Bunun yarısı α1 den çıkarılarak hatasız zenit açısı bulunur. Gösterge hatası her alet kurulan noktada ölçülen bütün açılar için yaklaşık olarak eşittir. Bir aletle iki dürbün durumunda yapılan ölçümlerle hatasız zenit açısı elde edilir. Hata büyük olursa hesapta zorluk yaratacağı ve bir dürbün durumunda yapılan ölçümler hatalı olacağından alet ayarlanarak bu hata giderilir. Alette hatanın giderilmesi şöyle yapılır: δ hata miktarı birinci dürbün durumunda okunan açıdan çıkarılarak hatasız zenit açısı Z bulunur.
δα −= 1Z
Sonra alet birinci dürbün durumunda P noktasına yöneltilir ve mikrometre vidası ile okunması gereken Z açı değeri ayarlanır. Düşey açı bölüm dairesinin gösterge
δδ2 δ1
OO
0
200
300
100
Zenit (başucu)
100100
200200
300
300
00
Zenit Zenit
PP
Z
α1
δ
α2
δ Z
α1= Z+δZ =α1-δ
α2=400g - Z+δZ =400g-(α2-δ)
Birinci dürbün durumu İkinci dürbün durumu
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
67
çizgileri, düşey açı düzeçleme vidası yardımıyla çakıştırılır ve kayan düzeç kabarcığı düzeç ayar vidası yardımıyla ortalanarak aletin hatası giderilmiş olur. Hata giderildikten sonra kontrol için işlem yinelenir. Örnek: α1=97g.6586 α2=302g.3458
6564.970022.06586.97
0022.02
0044.02
4000044.4002
400
1
21
ggg
gg
Z =−=−=
==−
=−+
=
δα
ααδ
3.1.2. Düşey Açı Ölçümü ve Hesabı
Düşey açı ölçümü genellikle refraksiyonun (ışığın kırılmasının) az olduğu öğle saatlerinde yapılmalıdır. Düşey açılar genellikle 2 silsile olarak ölçülürler. Bir silsile düşey açı ölçümü şöyle yapılır: Alet nokta üzerine kurulup düzeçlendikten sonra bir P noktasına yöneltilir ve yatay gözlem çizgisinin ortaya yakın bir yeri dürbünün düşey az hareket vidası yardımıyla noktaya tatbik edilir. Düşey açı düzeci yataylanır ve düşey açı okunur. Eğer alet otomatik ise yani gösterge çizgisinin yataylanması bir kompensatör yardımıyla otomatik olarak yapılıyorsa düzecin ayarlanmasına gerek yoktur. Dürbün ikinci duruma getirilir ve yatay gözlem çizgisi tekrar noktaya tatbik edilip, düzeç ayarlandıktan sonra düşey açı okunur. İkinci silsileye başlarken yatay açı ölçümündeki gibi başlangıç doğrultusunun kaydırılması söz konusu değildir. DN BN Silsile
No Dürbün Durumu
Okunan Düşey Açı
δ Z 400g-Z
Ortalama Z
vδ Vδ2
A B 1 I 95g.7718 -30cc 95g.7688 95g.7689 -3 9 II 304.2342 -30cc 304.2312 400.0060 400.0000 2 I 95.7730 -40cc 95.7690 +7 49 II 304.2350 -40cc 304.2310 400.0080 400.0000 C 1 I 107.3641 -35cc 107.3606 107.3601 +2 4 II 292.6429 -35cc 292.6394 400.0070 400.0000 2 I 107.3623 -27cc 107.3596 -6 36 II 292.6431 -27cc 292.6404 400.0054 δort=-33 400.0000
Bir istasyonda s tane noktaya bakılarak n silsile düşey açı ölçülmüşse, ölçü sayısı n·s olur.
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
68
[ ]
hatası ortalama açının ölçülen silsile n
hatası ortalama açının ölçülen silsile Bir
nm
M
1sn]v[
m
δδδsn
δv
zz
2δ
z
iortii
iδ
±=
−⋅±=
−=−⋅
=
hatası ortalama açının bir ölçülen silsile2 .04 2
5.72
hatası ortalama açının bir ölçülen silsile Bir.72
cczz
cc2δ
z
4n
mM
5122
981sn]v[
m
±=±=±=
±=−⋅
±=−⋅
±=
Refraksiyon katsayısı, havanın sıcaklık derecesine, yoğunluğuna, rutubetine ve
basıncına göre değişir. En büyük değişmeler sabah ve akşam saatlerinde, en küçük
değişmeler öğle saatlerinde olmaktadır. Bu nedenle trigonometrik yükseklik
ölçümünde düşey açı ölçümleri öğle saatlerinde yapılmalıdır. Bundan başka, yere ve
su yüzeylerine yakın geçen ışınlar daha fazla kırıldıklarından, açı ölçümünde ışınların
mümkün mertebe yere ve su yüzeyine yakın olmamasına dikkat edilmelidir. k değeri,
Türkiye’nin çeşitli bölgeleri için Harita genel Komutanlığınca 1/200 000 ölçekli 27
pafta için hesaplanmış olan 27 değerin ortalaması alınarak 0.13 bulunmuştur. (C.
Songu, Ölçme Bilgisi, ikinci Cilt, 1975).
3.2. Kısa Mesafede (S<250 m) Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
D
t
Yatay i ∆h S
Şekil 3.3 Trigonometrik nivelman
Şekil 3.3 den, HB = HA + i + h – t (3.1) h = S cotZ Yatay uzunluğa göre h = D cosZ Eğik uzunluğa göre
yazılabilir. h’ın değeri yukarıdaki (3.1) eşitliğinde yerine konursa, HB = HA + i + S cotZ – t (3.2) HB = HA + i + D cosZ – t
Z h
A
B
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
69
eşitlikleri elde edilir. İki nokta arasındaki yükseklik farkının trigonometrik olarak hesaplanabilmesi için, bu noktalardan birine teodolit kurularak, diğer noktadaki işarete bakılır ve düşey açı ile birlikte yatay ya da eğik uzunluk ölçülür. Ayrıca durulan noktada alet yüksekliği (yatay eksene kadar), bakılan noktada da işaret yüksekliği ölçülür. Yerin küreselliğinin ve refraksiyonun (ışığın kırılmasının) etkisi 250 metreye kadar uzunluklarda 1 cm nin altında kaldığı için bu iki faktörün etkisi, 250 metreye kadar olan uzunluklarda dikkate alınmaz. Trigonometrik yükseklik hesabında 250 metreye kadar olan uzunluklar, kısa mesafe olarak adlandırılır.
3.2.1. Kule Yüksekliği Ölçümü
Kule Yüksekliği belirlemesi, alet kurulan nokta ile kule arasındaki S uzunluğunun doğrudan ölçülüp ölçülmemesine bağlı olarak iki şekilde ele alınır.
3.2.1.1. S Uzunluğu Ölçülüyor
Şekil 3.4 S uzunluğunun ölçülmesi durumunda kule yüksekliği hesabı
h kule yüksekliği, şekilden de görüldüğü üzere h = HT - HT’ bağıntısı ile hesaplanır. Öncelikle verilenlere göre HT ve HT’ nün hesaplanması gerekir.
HT = HA + S cotZ1 HT’ = HA + S cotZ2
h = HT – HT’ = S (cotZ1 – cotZ2)
Örnek: Z1 = 95g.3674 S = 75.14 m Z2 = 102g.1826 h = ? h = S (cotZ1 – cotZ2) = 75.14 * (cot95.3674 – coot102.1826) = 8.0546 m h = 8.05 m
Eğer kulenin tabanı olan T’ noktasının yüksekliği önceden biliniyorsa ya da geometrik nivelmanla belirlenmişse, trigonometrik olarak yalnızca kulenin tepesinin yüksekliğinin (HT) hesaplanması yeterlidir. Yine h=HT-HT’ bağıntısı kullanılarak h hesaplanır. Bu durumda Z2 nin ölçülmesine ihtiyaç yoktur; fakat i alet yüksekliğinin ölçülmesi gerekir.
T Z1
Z2 h
S A
T’i
Bilinen: HA Ölçülen: Z1, Z2, S İstenen: h = ?
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
70
Örnek : Z = 93g.7853 S = 86.55 m
HA = 125.82 m i = 1.50 m
HT’ = 127.39 m h = ?
HT = HA + i + S cotZ = 125.82 + 1.50 + 86.55 * cot93.7853 = 125.82 + 1.50 + 8.48 =
135.80 m
h = HT – HT’ = 135.80 – 127.39 = 8.41 m
3.2.1.2. S Uzunluğu Ölçülemiyor
a) Yatayda Oluşturulan iki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı Bilinenler : HA, HT’ yükseklikleri İstenen: h = ? Ölçülenler : Z düşey açısı α, β, γ, δ yatay açıları a ve b kenarları T
T
T’
A S
Şekil 3.5 Yatayda oluşturulan iki üçgen yardımıyla kule yüksekliği hesabı
δ)sin(γsinδbSATC
β)sin(αsinαaSABT
+⋅=→
+⋅=→
Buradan ortalama S bulunur ve bu değerle de HT
yüksekliği hesaplanır. HT = HA + i + S ∗ cotZ h = HT – HT’
Örnek : a = 28.15 m α = 75g.1428 b = 23.90 m β = 67.3920 Z = 95g.1686 γ = 71.2675 i = 1.50 m δ = 80.4750 HA = 101.00 m HT’=101.95 m
h = ?
Z αa
b
S
A
B
C
β
γδ
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
71
m )sin(
sin bS
m33.162 β)sin(α
sinαaS
142.33δγ
δ=
+⋅=
=+
⋅= Sort = 33.152 m
HT = HA + 1.50 + S * cotZ = 101.00 + 1.50 + 33.152 * cot95g.1686 =
= 101.00 + 1.50 + 2.52 = 105.02 m h = HT –HT’ = 105.02 -101.95 = 3.07 m
b) Düşey Düzlemde Oluşturulan İki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı
Bu yöntemde A, C ve B noktaları, aynı düşey düzlem içinde olacak şekilde seçilir.
Bilinenler: HA, HB, HT’
Ölçülenler :
ZA, ZB düşey açıları
d uzaklığı
ia, ib alet yükseklikleri
İstenen: h = ? Şekil 3.6 Düşey düzlemde iki üçgen oluşturulması
HT = HA + ia + (d + e) cotZA HT = HB + ib + e cotZB
HA +ia + + (d+e) cotZA = HB + ib + e cotZB e cotZA - e cotZB = HB + ib - HA - ia - d cotZA
BA
AabAB
cotZcotZcotZdiiHH
e−
⋅−−+−=
T noktasının yüksekliğinin incelikli olarak hesaplanabilmesi için şu noktalara dikkat edilmelidir:
1. B noktası, ZB açısı yaklaşık 50g olacak şekilde seçilmelidir. 2. d uzunluğu, kule yüksekliğinin yaklaşık iki katı olmalıdır. Bunun için de ZA, 80g
civarında olur. 3. A noktasındaki zenit açısı ZA, ZB ye göre daha hassas ölçülmelidir. 4. d uzunluğu hassas bir şekilde ölçülmelidir. 5. Kulenin yüksekliği, A noktasındaki ölçümlere göre hesaplanmalıdır. B
noktasındaki hesap kontrol için yapılmalıdır. Hesap : HT = HA + ia + (d+e) * cotZA Kontrol: HT = HB + ib + e * cotZB 6. A ve B noktalarının en uygun konumu, kulenin ayrı ayrı tarafında seçilmeleridir.
ZB
A d
ZA
T’ e
h
T
ia ibB
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
72
Örnek: ZA= 82g.1694 ia =1.55 m ZB= 53g.4961 ib =1.42 m HA = 100.00 m d = 42.76 m HB = 102.15 m h = ? HT’ = 105.24 m
m 13.47105.24118.71HHhm 118.709cot53.496116.901.42102.15HKontrol
m118.712 cot82.169416.90)(42.761.55100.00HHesap
m16.903 920.60814156210.2796382
cot53.4961cot82.1694cot82.169442.761.551.42100.00102.15
cotZcotZcotZdiiHH
e
cotZeiHcotZe)(diHcotZeiHH
cotZe)(diHH
TT
T
T
BA
AabAB
BbBAaA
BbBT
AaAT
=−=−==⋅++=→
=⋅+++=→
=−−
=
−⋅−−+−
=−
⋅−−+−=
⋅++=⋅+++⋅++=
⋅+++=
′
e
3.2.2. Trigonometrik Nivelman
Şekil 3.7 Trigonometrik nivelman
Trigonometrik nivelmanla iki nokta arasındaki yükseklik farkının bulunmasında, geometrik nivelmandaki geri - ileri bağıntısından yararlanılır.
BAAaBbAB
BbBAaAAB
BBAAABAB
cotZscotZsHHcotZscotZsHH
)h()h(ilerigeriHH∆H
ll
ll
ll
−+⋅−⋅+=⋅+−⋅−=−
−−−=−=−=
Yukarıdaki bağıntı∗, şu şekilde de elde edilebilir: Alet kurulan P noktasına göre, A ve B noktalarının yüksekliklerini veren bağıntılar yazılır ve sonra bu bağıntılardan HB -HA oluşturulur.
∗ Bu bağıntı çıkartılırken ZA ve ZB nin değerleri ne olursa olsun, ZA ve ZB nin 100g dan küçük, yani hA ve hB nin pozitif olduğu şekil 3.7 esas alınır. ZA ve ZB nin tüm değerleri için yukarıdaki eşitlik geçerlidir.
hA hB
ℓB
ℓA
sa sb
ZA ZB
A
Bgeri
ileri
P
Bilinen : HA
Ölçülenler: ZA, ZB, sa, sb, ℓA, ℓBİstenen : HB = ?
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
73
BAAaBbAB
BAAaBbAB
AAaPA
BBbPB
ZcotsZcotsHHZcotsZcotsHH
ZcotsiHHZcotsiHH
ll
ll
l
l
−+⋅−⋅+=−+⋅−⋅=−
−⋅++=−⋅++=
Örnek :
m66.979HA661.979339.2000.100046.320.1782.8817.1300.1000H
46.320.13943.95cot17.1211871.106cot72.14100.1000HZcotsZcotsHH
)Zcots()Zcots(HHH∆
A
A
BABbAaBA
AbBAaAABAB
m
==−=+−−−=+−−+=
+−−+=−−−=−=
ll
ll
3.2.3. İki Nokta Arasındaki Uzunluğu Ölçmeden Yükseklik Farkının Bulunması
Şekil 3.8 Uzunluk ölçülmeden yükseklik farkının hesaplanması
l
l
ll
=−⋅⋅=−⋅
=⋅−⋅=⇒+=⋅
)ZcotZ(cotsZcotsZcots
mZcotsZcotsmmZcots
21
21
2
11
tiZcotsHHh∆)t(iZcotsHHh∆
ZcotZcots
2ABAB
1ABAB
21
−+⋅=−=+−+⋅=−=
−=
l
l
hA
hB
ℓB
ℓA
141.72 m 121.17 m
ZA ZB
A
BP
Bilinen : HB=1000.00 m Ölçülenler : ZA=106g.1871
ZB=95g.3943 ℓA=1.20 m ℓB=3.46 m
İstenen : HA = ?
Z1 Z2
A
B
s
m
ℓ
t
∆hABi
Ölçülenler : Z1, Z2, i, t, l İstenen : ∆hAB=?
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
74
Örnek:
mHHmHH
mZZ
s
AB
AB
57.10490.19122.97cot89.10550.157.10490.100.27120.96cot89.10550.1
89.1050188869.0
00.29122.97cot7120.96cot
00.2cotcot 21
=−⋅++==−−⋅++=
==−
=−
=l
3.2.4. Kısa Uzunluklarda Trigonometrik Yükseklik Ölçümünde İncelik
Ölçülen büyüklükler, s uzunluğu, Z düşey açısı, i alet yüksekliği ve t işaret yüksekliği ile bunların ortalama hataları da ms, mz, mi, mt olmak üzere kısa uzunluklarda trigonometrik yükseklik ölçümündeki inceliği bulmak için,
∆hAB=HB -HA=s cotZ+i-t
formülüne hata yayılma kanunu uygulanırsa;
222
2
4
2222
2
sincot
sincot
tiz
sh mmmZ
smZm
dtdidzZ
sdsZdh
++⋅+⋅=
−+−⋅=
ρ∆
elde edilir.
Örnek :
mmmmmZZ
mmmmsmZmmm
mmmmmmmmmm
mmmZ
smZmm
hh
hgg
h
hg
t
hi
hs
tiz
shcc
z
3
3
4.4
7.?6099.13445544.50555.09990
9.1009796.1444586.53936.1952
2478.1944834.5644.515
sincot15
2
2
2
222
2
4
2222
±==
=+++=⇒==
±==
=+++=⇒=±=
±=±=
=+++=±=
++⋅+⋅=±=
∆∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆ρ
Z1 Z2
A
B
s
m
ℓ
t
∆hABi
Ölçülenler :Z1=96g.7120 Z2 =97g.9122 İ= 1.50 m t=1.90 m ℓ= 2.00 m
Bilinen : HA =101.50 m İstenen : HB=?
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
75
3.3. Uzun Mesafede (S > 250 m) Trigonometrik Nivelman
Noktalar arasındaki uzaklık 250 metreden fazla ise, yerin küreselliğinin ve ışığın kırılmasının (refraksiyonun) etkisi hesaba katılır.
Şekil 3.9 Uzun mesafede trigonometrik nivelman
edilir.
h
konulursa, yerineeeşitliğind (1) değerBu
,olduğundan açı küçük
üçgeninde AOC
(1) üçgeninde
k
eldeR2
sR2ss
R2s
2γtan
2γ
Rsγtanγ
γRsγtan
2γtansh
sh
2γtanAEC
2
kk
=⋅=
==⇒==
=
⋅=⇒=
Işın yayı, bir daire yayı olarak alınabilir ve yarıçapı R‘ ile gösterilirse, ışığın kırılmasının etkisi de, yerin küreselliğinin etkisine benzetilerek
R2ks
kR2
sR2
sh222
r⋅
==′
=
R = 6373394 m (Dünyanın yarıçapı), R’= R/k (Işın yayının yarıçapı), k = Kırılma (refraksiyon) katsayısı, hk = Yerin küreselliğinin etkisi, hr =Refraksiyonun (ışığın kırılmasının) etkisi, ∆H = A ve B noktaları arasındaki yükseklik farkı,
Z = 100g – α h = s * tan α = s * cot Z
O
O’
RR’
A
B
F
E
C
γ
2δ
s
δ h hr
∆hhk
2γ
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
76
yazılabilir. Şekilden görüldüğü gibi, küreselliğin etkisi daima (+),ışığın kırılmasının etkisi ise eksi daima (-) dir. Refraksiyon (kırılma) katsayısı verilmezse ya da bilinmiyorsa, ülkemizde k=0.13 ortalama değeri kullanılır.
2Rsk)(1sH
2Rks
2Rs sH
hhh∆H
2
22rk
⋅−+⋅=
⋅−+⋅=
−+=
Zcot∆
Zcot∆
Alet ve işaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,
tis2R
k)(1s∆H 2 −+⋅−
+⋅= Zcot
olarak elde edilir. Alet kurulan noktanın yüksekliği biliniyorsa, bakılan noktanın yüksekliği aşağıdaki eşitlik ile bulunur.
tisR2
)k1(ZcotsHH∆HH 2AAB −+⋅
−+⋅+=+=
Yerin küreselliğinin ve ışığın kırılmasının etkisi k=0.13, R=6373394 m alınarak, belirli uzunluklar için hesaplanmış ve aşağıdaki çizelgede verilmiştir.
si 50 m 100 m 250 m 500 m 1 km hk 0.20 mm 0.78 mm 4.90 mm 9.61 mm 78,45 mm hr -0,03 mm -0.10 mm -0.64 mm -2.54 mm 10.20 mm Hk+hr 0.17 mm 0.68 mm 4.26 mm 7.07 mm 68.25 mm
Örnek 1:
HA = 2000.00 m HB = ?
m 45.220310.350.1414.0634.20400.2000H
10.350.1)36.2462(63733942
)13.01(7215.94cot36.246200.2000H
tisR2
)k1(ZcotsHH
B
2B
2AB
=−+++=
−+⋅⋅−
+⋅+=
−+⋅−
+⋅+=
94g.7215
1.50
3.10 m
s=2462.36mA B
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
77
Örnek 2:
m755.305m755.105Hm755.105HH
85.150.1)14.34594.762(R2
13.014715.103cot14.3457524.92cot94.762
)ss(R2k1ZcotsZcotsHH
sR2k1ZcotsiHH
sR2k1ZcotsiHH
AAB
22gg
212A
2BAABBAB
12AAACA
22BBBCB
H B =+=→=−
−+−−
+⋅−⋅=
−+−⋅−
+⋅−⋅=−
−⋅−
+⋅++=
−⋅−
+⋅++=
ll
l
l
Işığın Kırılma (Refraksiyon) Katsayısının (k) Belirlenmesi
Şekil 3.10 Işığın kırılma katsayısı k nın belirlenmesi
ZA
ZB
s'
α
β1
β2
δ2
δ1
C
O
B
A
R R'
R'
s
γ
i CA
B ℓ2=1.85 m
ℓ1=1.50 m
103g.4715 92g.7524
sA=345.14 m sB=762.94 m
HA=200.00 m HB = ?R=6373 394 m
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
78
γδδγδδ
δβδβ
γββ
+=+++
=+−−+−−
+−=+−=
=++⇒
200ZZ (2)
konulursa, e yerlerinde (1) yukarıdadeğer
(1) 200 üçgeninden
21BA
2
1
g2
200Z200Z200ikiBu
Z200Z200
AOB
2B1Ag
2B
1A
1
)()(
elde edilir. AB ışın yayı bir daire yayı olarak alınırsa, δ1= δ2 olur. İnceliğe bir etkisi olmadığından s’=s alınabilir. Bu durumda,
2γkk
R2s
kR2
s'R2
sδδ 21 =⋅=⋅
=⋅
==
olur. Bu değerler (2) de yerlerine konulursa,
γ200ZZk1)k1(γγkγ200ZZ
γ200γkZZg
BAgBA
gBA
−+=−⇒−⋅=⋅−=−+
+=⋅++
ρRsγ ⋅= değeri yerine raydan cinsinden karşılığı yazılırsa,
ρρ
gBA
gBA 200ZZ
sR1k
Rs
200ZZk1 −+⋅−=→
⋅
−+=−
3.4. Karşılıklı Gözlemlerle İki Nokta Arasındaki Yükseklik Farkı Günümüzde hesaplama araçlarının gelişmiş olması nedeniyle ZA ve ZB açıları; yaklaşık olarak değil kesin olarak hesaplanmalıdır.
Şekil 3.11 Karşılıklı gözlemlerle iki nokta arasındaki yükseklik farkının belirlenmesi
A
B
C
γ/2 β1
ZA
ZB
D
α
β2
δ2
δ1
O
R
s
γ
Deniz yüzeyi
HB
h
HA
A
B Z’A
s
tA
iA
∆ZB
tB
iB
Z’B ∆ZA
ZA
ZB
DAB
DBA
L
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
79
Z’ : Ölçülen zenit açısı Z : İşaret tepesine indirgenmiş zenit açısı
∆ZA ve ∆ZB nin yaklaşık hesabı:
BBB
AA
ZZ'Z
Z'Z
∆ρs
itZ∆
Z∆ρs
itZ∆
BBB
AAA
A
+=⋅−
=
+=⋅−
=
ZA ve ZB nin Kesin hesabı:
DAB ve DBA eğik uzunlukları ölçülmemiş ve s yatay uzunluğu verilmişse öncelikle bu eğik uzunluklar,
; '' sinsin BABA
ABAB Z
sDZsD ==
eşitlikleri ile hesaplanır. Sonra tanjant teoremine göre yazılan aşağıdaki eşitlikten ∆ZA hesaplanır.
2Z200Z2
2Z200
2ZZ200Z
2ZZ200Z
DaDa
Ag
A
Ag
AAg
A
AAg
A
AB
AB'
'
'
'
tan
tan
)(tan
)(tan
+−
−
=−−−
−−+
=−+
∆∆∆
∆∆
2Z200
DaDa
2Z200Z2 A
g
AB
ABAg
A''
tantan −⋅
+−
=+−∆
⎟⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=+−
2Z200
DaDaatn
2Z200Z2 A
g
AB
ABAg
A''
tan∆
⎟⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=−
−2
Z200DaDaatn
2Z200
2Z2 A
g
AB
ABAg
A''
tan∆
2Z200
2Z200
DaDaatnZ A
gA
g
AB
ABA
''
tan −+⎟⎟
⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=∆
Benzer şekilde
2Z200
2Z200
DaDaatnZ B
gB
g
BA
BAB
''
tan −+⎟⎟
⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=∆
yazılır. Bir üçgende bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğundan, şekle göre
BBBA
AAAB
ZZZZZZ
∆
∆
+=
+='
'
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
80
yazılarak ZAB ve ZBA hesaplanır.
Tanjant teoremine göre OAB üçgeninden,
2ββtan
2ββtan
)HR()HR()HR()HR(
21
21
AB
AB+
−
=++++−+ ( 1 )
yazılabilir.
2γcot)
2γ
2πtan(
2ββtan
2γ
2π
2γ200
2ββ
21
g21
=−=+
−=−
=+
2δZδZtan
2ββtan
δZδZδZ200δZ2002β1β)δZ(200β
)δZ(200β
1A2B21
1A2B2B1A
2Bg
2
1Ag
1
−−+=
−−−+=++−−−=−
+−=
+−=
yazılabilir.
2ββ
tanve2ββ
tan 2121 −+ değerleri, yukarıda (1) no lu eşitlikte yerlerine konulursa,
2γcot
2δZδZtan
HAHBR2HAHB
1A2B −−+
=++
−
olur. Buradan ∆hAB = HB - HA çekilirse,
2δZδZtan)
R2HH1(
2γtanR2HHH∆
2γcot
2δZδZtan
)R2
HH1(R2HHH∆
1A2BBAABAB
1A2BBA
ABAB
−−+⋅
++⋅⋅=−=
−−+
⋅+
+⋅=−=
γ küçük açı olduğundan
sγR2s
R2s
2γtan =⋅⇒==
2tan2R
yazılabilir. Öte yandan AB ışın yayı bir daire yayı olarak kabul edilirse δ1= δ2 olur.
Ayrıca, mBA H
2HH
=+
denilir ve A ile B noktalarındaki işaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
81
BAABm
ABAB tt2
ZZtan)R
H1(sHHH∆ −+−
⋅+⋅=−=
şeklini alır. Noktalar arasındaki s uzaklığı ya da ortalama yükseklik Hm küçük ise parantez içindeki terim ihmal edilebilir. Bu durumda,
BAAB
ABAB tt2
ZZtansHHH∆ −+−
⋅=−= ( 2 )
olur. Formüldeki ZA ve ZB açıları işaret tepesine indirgenmiş zenit açılarıdır. A noktasının yüksekliği biliniyorsa, B noktasının yüksekliği;
BAABm
AABAB tt2
ZZtan)R
H1(sHH∆HH −+−
⋅+⋅+=+= ( 3 )
şeklinde yazılabilir.
ABH∆ yükseklik farkı şu formülle de hesaplanabilir: işaret yükseklikleri dikkate
alınmadan A ve B noktaları arasındaki yükseklik farklar ∆HAB ve ∆hBA ,
BBA
AABZcotsH∆ZcotsH∆
⋅=⋅=
biçiminde yazılabilir. Bu iki değerin ortalaması alınmak suretiyle,
2ZcotZcots
2ZcotsZcots
2H∆H∆
2)H∆(H∆H∆ BABABAABBAAB
AB−
⋅=⋅−⋅
=−
=−+
=
elde edilir. İşaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,
BABA
ABAB tt2
ZcotZcotsHHH∆ −+−
⋅=−= ( 4 )
Yatay uzunluk yerine eğik uzunluk kullanılırsa (4 ) numaralı eşitlik yerine,
BABA
ABAB tt2
ZcosZcosDHHH∆ −+−
⋅=−= (5)
olur. (4) numaralı eşitlikten elde edilen sonuçla, (2) numaralı eşitlikten elde edilen sonuçlar aynıdır. İki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanırken, önce (2) veya (4) numaralı eşitliklerden birine göre aranan nokta yüksekliği hesaplanır ve daha sonra, (3) numaralı eşitlikten noktanın kesin yüksekliği elde edilir.
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
82
3.5.1. Zenit Açılarının Zemin Noktasına İndirgenmesi
Şekil 3.12 Zenit açılarının zemin noktasına indirgenmesi
Z’A, Z’B : Ölçülen zenit açıları, ZA, ZB : Zemin noktasına indirgenmiş zenit açıları, D’, D’’ : Ölçülen eğik uzunluklar, D : Zemin noktaları arasındaki eğik uzunluk, S : Zemin noktaları arasındaki yatay uzunluk, iA, iB : Alet yükseklikleri, tA, tB : İşaret yükseklikleri olmak üzere;
a = tA-iB, b = tB-iA kısaltmaları ile ve uzun mesafede DDD ≅′′≅′ kabulüyle,
ıAsinZ
sD =→⋅= ıAZsinDs
BBB
AAA
BB
AA
Z∆ZZZ∆ZZ
ZsinDaZ∆Sin
ZsinDbZ∆Sin
+′=+′=
′⋅=′⋅=
′⋅=′⋅=
B2
A2
Zsin sa
Zsin sb
yazılır. 1ZsinsinZ arasında 2 ≅≅−= gg 11090Z alınabilir. BZ ve ∆Z∆ A nin küçük
açılar olduğu da dikkate alınırsa;
ρsaρ
DaZ∆
ρsbρ
DbZ∆
B
A
⋅=⋅=
⋅=⋅=
yazılabilir.
A
B
s
D
D
D
D’
tA
iA
a
b tB
iB
Z’B
Z’A ZA
Z’AZB Z’B
D”
∆ZA
∆ZB
ZA
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
83
ÖRNEKLER: 1- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılmıştır. Aşağıdaki verilere göre; a) k kırılma (refraksiyon) katsayısını hesaplayınız.
b) HA=2500.00 m verildiğine göre, B noktasının yüksekliğini hesaplayınız.
0483.06620.6338.4745
40.100.5S
itZ
0402.06620.6338.4745
50.150.4S
itZ
gBBB
gAAA
=⋅−
=⋅−
=∆
=⋅−
=⋅−
=∆
ρ
ρ
5856.960483.05373.96Z5373.96Z
4518.1030402.04116.103Z4116.103Zg
BB
gAA
=+=∆+=
=+=∆+=
a) 6620.630374.0
38.474563733941
6620.632005856.964518.103
SR1
200ZZSR1k
gBA ⋅−=
−+⋅−=
−+⋅−=
ρ
21.0789.01k =−=
b) BAAB
AB tt2
ZZtanSHH −+
−∗+=
00.550.42
4518.1035856.96tan38.44745HH AB −+−
∗+=
m 347.224350.01525.25600.2500HB =−−=
BAABm
AB tt2
ZZtan)
RH
1(SHH −+−
∗+⋅+=
m 674.23712
347.224300.25002
HHH BA
m =+
=+
=
=−+−
∗+⋅+= 00.550.42
4518.1035856.96tan)6373394
674.23711(38.474500.2500HB
m 25.224350.0248.25600.2500HB =−−=
∆ZB
ZA
103g.4116
5.00 m
1.40 1.50
4.50 m 96g.5373
S= 4745.38 m
A
B
ZB
∆ZA
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
84
2- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. HA=2000.00 m olduğuna göre; B noktasının yüksekliğini ve k kırılma (refraksiyon) katsayısını bulunuz (R=6373394 m alınacaktır).
0158.06620.6334.4785
35.054.1S
tiZ
0121.06620.6334.478505546.1
Sti
Z
gBBB
gAAA
=⋅−
=⋅−
=∆
=⋅−
=⋅−
=∆
ρ
ρ
8691.930158.08849.93Z5373.96Z
1715.1060121.01836.106Z1836.106Zg
BB
gAA
=−=∆−=
=−=∆−=
a) 6620.630406.0
34.478563733941
6620.632008691.931715.106
SR1
200ZZSR1k
gBA ⋅−=
−+⋅−=
−+⋅−=
ρ
15.0849.01k =−=
b) BAAB
AB tt2
ZZtanSHH −+
−∗+=
35.055.02
1715.1068691.93tan34.4785HH AB −+−
∗+=
m 38.153620.0817.46300.2000HB =+−=
BAABm
AB tt2
ZZtan)
RH
1(SHH −+−
∗+⋅+=
m 19.17682
38.153600.20002
HHH BA
m =+
=+
=
35.055.02
1715.1068691.93tan)6373394
19.17681(34.478500.2000HB −+−
∗+⋅+=
m 25.153620.0946.46300.2000HB =+−=
∆ZA
106g.1836 93g.8849
S=4785.34 m
∆ZB ZB
ZA 1.46
1.54 m0.35
0.55
A
B
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
85
3- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. HB=3000.00 m olduğuna göre; B noktasının yüksekliğini ve k kırılma katsayısını bulunuz (R=6373394 m alınacaktır). 108g.3685 91g.7007 1.60 0.45 A 1.50 m 0.65 S = 6666.66 m B a) İşaret Tepesine İndirgenmiş Açılarla Çözüm
00810662063666666
650501S
tiZ
01100662063666666
450601S
tiZ
gBBB
gAAA
...
..
...
..
=∗−
=⋅−
=
=∗−
=⋅−
=
ρ∆
ρ∆
69269100810700791ZZZ3575108011003685108ZZZ
gBBB
gAAA
......
'
'
=−=−=
=−=−=
∆
∆
4506502
6926913575108666666tt2
ZZSHHH ABBA
BABA ....tan.tan −+−
∗=−+−
⋅=−=∆
m788877450650588877HH BA .... =−+=−
m 7883877788877003000788877HH BA .... =+=+=
m8934382
000300078838772
HHH BAm ...
=+
=+
=
2000628784506502
69269135751086373394
8934381666666HH
tt2
ZZR
H1SHH
BA
ABBAm
BA
......tan).(.
tan)(
+=−+−
∗+∗=−
=−+−
⋅+⋅=−
m3878.26 878.2623000.000878.262HH m BA =+=+=→=− 262878HH BA .
m263878HA .=
∆ZA
108g.3685 91g.7007
S=6666.66 m
∆ZB ZB
ZA 1.60
1.50 m0.65
0.45
A
B
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
86
66206305010
66666663733941
6620632006926913575108
SR1200ZZ
SR1k
gBA
..
....
⋅−=−+
⋅−=−+
⋅−=ρ
24802476507523501k ... ≅=−= b) Zemin Noktasına İndirgenmiş Açılarla Çözüm
108g.3685 1.60 1.50 m 0.65 S = 6666.66 m B
00910662063666666
950662063666666
650601Sb
StiZ gBA
A ...
...
..=⋅=⋅
−=⋅=⋅
−= ρρ∆
01000662063666666
051662063666666
450501Sa
StiZ gAB
B ...
...
..=⋅=⋅
−=⋅=⋅
−= ρρ∆
69089100990700791ZZZ
3596108008903685108ZZZ
0099062400015483850700791666666
051ZSin
398000140051903685108ZSin
gBBB
gAAA
g2B
2A
......
...sin.
.
..sin
=−=−′=
=−=−′=
=→=⋅=′⋅=
=→=⋅=′⋅=
∆
∆
∆∆
∆∆
BB2
gAA
2
Z Zsin Sa
.00890Z 6666.66
0.95 Zsin Sb
m 7968772
69089135961086666662
ZZSHHH BA
BABA ...tan.tan =−
∗=−
⋅=−=∆
m 7963877796877003000796877HH BA .... =+=+=
m9034382
000300079638772
HHH BAm ...
=+
=+
=
26908913596108
63733949034381666666
2ZZ
RH
1SHH BAmBA
..tan).(.tan)( −∗+∗=
−⋅+⋅=−
m 3878.27878.2703000.000878.270HH m BA =+=+=→=− 270878HH BA .
66206305040
66666663733941
6620632006908913596108
SR1200ZZ
SR1k
gBA
..
....
⋅−=−+
⋅−=−+
⋅−=ρ
243024310756901k ... ≅=−=
91g.7007
∆ZB ZA A ZB
b=1.60-0.65=0.95
a=1.50-0.45=1.05
∆ZA
0.45
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
87
Elektronik Takeometrelerle Yapılan Karşılıklı Gözlemlerle Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Aralarındaki yükseklik farkı belirlenecek iki noktada da, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi üzerine reflektör yerleştirilmiş birer elektronik takeometre (total station) olmalıdır. Bu iki noktada eş zamanlı karşılıklı gözlemlerle düşey açı ve eğik uzunluklar ölçülürse, iki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanabilir. Elektronik takeometrenin yatay ekseni ile üzerindeki reflektör arasındaki a mesafesinin her alet için, bir kez incelikli olarak ölçülmesi yeterlidir. Daha sonra ölçüm anında yalnızca elektronik takeometrelerin yatay ekseninin zemindeki noktadan olan mesafesinin ölçülmesi yeterli olur. Düşey açı ölçümünde, yatay gözlem çizgisinin hedef levhasındaki > < işaretlerinin ortasına tatbik edilmesi yerinde olur.
Tanjant Teoremine Göre Çözüm:
Yukarıdaki şekil ve notasyonlara göre tanjant teoreminden,
2Z200Z∆2tan
2Z200tan
2)Z∆Z200(Z∆tan
2)Z∆Z200(Z∆tan
DaDa
'AB
gA
'AB
g
A'AB
gA
A'AB
gA
AB
AB
+−
−
=−−−
−−+
=−+
2Z200tan
DaDa
2Z200Z∆2tan
'AB
g
AB
AB'AB
gA −
⋅+−
=+−
⎟⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=+−
2Z200tan
DaDaatn
2Z200Z∆2 '
ABg
AB
AB'AB
gA
⎟⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=−
−2
Z200tanDaDaatn
2Z200
2Z∆2 '
ABg
AB
AB'AB
gA
∆ZB
ZAB
Z’AB
tB
iBiA
tA Z’BA
SA
B
ZBA
∆ZA
L
DAB DBAa
a a
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
88
2Z200
2Z200tan
DaDaatnZ∆
'AB
g'AB
g
AB
ABA
−+⎟
⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=
Benzer şekilde
2Z200
2Z200tan
DaDaatnZ∆
'BA
g'BA
g
BA
BAB
−+⎟
⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=
yazılır.
B'BABA
A'ABAB
Z∆ZZ
Z∆ZZ
+=
+=
2LLL
sinZsinZDBAL
sinZsinZDL
BAAB
BA
'BA
BA
AB
'AB
ABAB+
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⋅=→=
⋅=→=
BA
BA'BA
BA
AB
AB'AB
AB
ZsinD
ZsinL
ZsinD
ZsinL
BABAABAB tt)ZcosZ(cos2LH∆ −+−⋅=
Kosinüs Teoremine Göre Çözüm Bu çözüm yolunda düşey açının 100 grad civarında olması durumunda, a kenarının çok kısa olması nedeniyle ölçülerin formüllerde yerine konmasıyla anlamsız sonuçlara ulaşılabilmektedir. Bu nedenle düşey açının 100g civarında olduğu durumlarda tanjant formüllerine göre çözüm yapılması daha doğru olacaktır.
BABAABABAB tt)ZcotZ(cotS21HHH∆ −+−⋅=−= Yatay uzunluğa göre
BABAABABAB tt)ZcosZ(cosL21HHH∆ −+−⋅=−= Eğik uzunluğa göre
2LLL
ZcosDa2DaL
ZcosDa2DaLBAAB
'BABA
2BA
2BA
'ABAB
2AB
2AB +
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⋅⋅⋅−+=
⋅⋅⋅−+=
Sinüs teoremine göre,
'AB
AB'AB
AB
AB ZsinL
DLZsin
DZsin
⋅=→= ABsinZ
)ZsinL
Darcsin(Z
)ZsinL
Darcsin(Z
'BA
BABA
'AB
ABAB
⋅=
⋅=
BABAABAB tt)ZcosZ(cos2LH∆ −+−=
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
89
Örnek: A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. Aşağıdaki verilere göre B noktasının yüksekliğini bulunuz.
?......
'
'
====
====
ABBBA
AAB
H m t m D m0.22 a m t m D
∆81147557571895Z801450579388103Z
gBA
gAB
a) Tanjant teoremine göre çözüm:
2Z200
2Z200tan
DaDaatnZ∆
'AB
g'AB
g
AB
ABA
−+⎟
⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=
2432602
93881032002
93881032004505722045057220atnZ g
gg
A ...tan....
=−
+⎟⎟⎠
⎞−⋅⎜
⎝⎛
+−
=∆
2431602
5718952002
5718952004755722047557220atnZ g
gg
B ...tan....
=−
+⎟⎟⎠
⎞−⋅⎜
⎝⎛
+−
=∆
8149695243160571895ZZZ182411042432609388103ZZZ
gBBABA
gAABAB
......
'
'
=+=+=
=+=+=
∆
∆
m4625746074647
m46057814969557189547557
2
55L
sinZsinZDBAL
m57.464 41sin104.1828sin103.93857.450
sinZsinZDL
BA
'BA
BA
AB
'AB
ABAB
...
..sin.sin.
=+
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
( ) 811801814969518241104246257ttZZ
2LH BABAABAB ...cos.cos.)cos(cos −+−⋅=−+−⋅=∆
m 7833HAB .−=∆
b) Kosinüs teoremine göre çözüm:
m LLL
m 0.22L
m L0.22
BAAB
2
AB
2
462572
46057464572
46057L57189547557220247557ZDa2Da
46457938810345057220245057ZDa2DaL
BA
2BABA
2BA
2BA
2ABAB
2AB
2AB
....
.cos...cos
..cos...cos
'
'
=+
=+
=
=
∗∗∗−+=⋅⋅⋅−+=
=
∗∗∗−+=⋅⋅⋅−+=
7823955718954625747557Z
LDZ
149110493881034625745057Z
LDZ
gBA
BABA
gAB
ABAB
.).sin..arcsin()sinarcsin(
.).sin..arcsin()sinarcsin(
'
'
===⋅=
=⋅=⋅=
=−+−⋅=−+−= 8118017823951491104246257ttZZ
2LH BABAABAB ..).cos.(cos.)cos(cos∆
m 7833HAB .−=∆