Download - 3 อนุพันธ์ - maths.sci.ku.ac.th 3 Derivative.pdf · ภูเขามีลักษณะเป็นโค้งพาราโบลา บรรจุจุด
3 อนพนธ 3.1 นยามของอนพนธ
นยาม 3.1 ให a อยในโดเมนของฟงกชน f ถา
ax
afxf
ax
)(lim หรอ
h
afhaf
h
)(lim
0
หาคาได
เราเรยกลมตนวา อนพนธของ f ท a และเขยนแทนดวย af
หมายเหต af คอความชนของกราฟ f ทจด afa,
นยาม 3.2 ให f เปนฟงกชนของตวแปร x ทนยามบนชวงเปด เรากลาววาอนพนธของฟงกชน f ท x เขยนแทนดวย xf นยามโดย
h
xfhxfxf
h
)(lim
0
ถาลมตหาคาได
นยาม 3.3 อนพนธทางซายของฟงกชน f ท x เขยนแทนดวย xf หมายถง
h
xfhxfxf
h
0lim เมอลมตหาคาไดอนพนธทางขวาของฟงกชน f ท
x เขยนแทนดวย xf หมายถง
h
xfhxfxf
h
0lim เมอลมตหาคาได
ตวอยาง 3.1 จงหาคา โดยใชนยาม เมอ ก.
ตวอยาง 3.3 ก าหนดให
จงหา
และ
1. อนพนธของฟงกชน )(xfy เขยนแทนดวย
)(xfy หรอ )(xfdx
d
dx
dy
2. คาของอนพนธของฟงกชน )(xfy ท ax จะเขยนแทนดวย
af หรอ axdx
dy
นนคอ
h
afhafaf
h
)(lim
0
หรออาจเขยนไดอกรปแบบหนง
ax
afxfaf
ax
lim
ทฤษฎบท 3.1 ถา f เปนฟงกชนทมอนพนธท 0xx แลว f จะตอเนองท 0xx
ตวอยาง 3.4 ก าหนดให xxf )( จงหา 0),0( ff และ 0f
วธท า จาก
0,
0,
xx
xx
xxf
h
hf
h
00lim0
0
1lim0
h
h
h
h
hf
h
00lim0
0
1lim0
h
h
h
ดงนน 0,00 fff หาคาไมได
หมายเหต บทกลบของทฤษฎบท 3.1 ไมจรง นนคอ จดทฟงกชนมความตอเนอง ไมจ าเปนทจะตองมอนพนธ ทเหนไดชดคอ “จดหกมม”ทงหลาย ฟงชนกมความตอเนองแตไมมคาอนพนธ เพราะอนพนธทางซายกบอนพนธทางขวามคาไมเทากน
ตวอยาง 3.5 ก าหนดให
33
323
2 xx
xx
xf จงหาโดเมนของ xf
วธท า ถา 3x , 23 xxf
h
xhxxf
h
2323lim
0
33
lim0
h
h
h
แสดงวา 3 xf ในชวง 3x ถา 3x , 23 xxf
h
xhxxf
h
22
0
33lim
h
hxh
h
2
0
2lim
xhxh
22lim0
แสดงวา xxf 2 ในชวง 3x จะเหนวา 6323,33
ff ดงนน 3,33 fff
หาคาไมได ดงนนโดเมนของ xf คอ ,33,
3.2 การหาอนพนธโดยการใชสตร
3.2.1 อนพนธของฟงกชนพชคณต
1. 0cdx
d เมอ c เปนคาคงท
2. 1xdx
d
3. ...)()(...)( vdx
du
dx
dvu
dx
d
4. )()( udx
dccu
dx
d เมอ c เปนคาคงท
5. )()()( udx
dvv
dx
duuv
dx
d
6.
)()(
12
vdx
duu
dx
dv
vv
u
dx
d
7. 1)( nn nxxdx
d
8. dx
dunuu
dx
d nn 1)(
ตวอยาง 3.6 จงหาคาอนพนธของ
1. 5
4
4
15
x
xxf
2. xxf
3. xx
xf23
2
8. จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทวงกลมเทยบกบรศม และรศมเทยบกบพนทวงกลม 9. ทจดใดของโคง 202223 xxxy ทเสนสมผสของมนผานจดก าเนด
10. ภเขามลกษณะเปนโคงพาราโบลา บรรจจด 3 จดดงรป (หนวยเปนเมตร) เสาสงสญญาณความสง 30 เมตร ตงอยทจด 0,120 จงหาจดทใกลกบฐานของภเขาบนแกน x ทเปนบวกซงรบสญญาณโดยไมถกรบกวนจากภเขา
3.2.2 อนพนธของฟงกชนลอการทมและฟงกชนชก าลง
1. dx
duaaa
dx
d uu ln)( ; 0a และ
1a 2.
dx
duee
dx
d uu )(
3. dx
du
auu
dx
da
ln
1)(log
4. dx
du
uu
dx
d 1)(ln
คณสมบตบางประการทอาจจะน าไปชวยแกปญหาโจทยได 1. caac bbb logloglog
2. cac
abbb logloglog
3. ara b
r
b loglog
4. cc
bb log1
log
5. xbx
b log และ xex ln 6. xb
xb log และ xe x ln
7. b
aa
c
cb
log
loglog
ตวอยาง 3.7 จงหาคาอนพนธของ
1. xx
xx
ee
eexf
2. 22 lnln xxf
3.3 อนพนธอนดบสง
ถา หาอนพนธได จะได dx
dyxfy และถาฟงกชน xf สามารถหาอนพนธได เรา
จะเรยกอนพนธของ xf วาเปนอนพนธอบดบสองของ y เทยบกบ x ใชสญลกษณ
2
2
dx
ydxfy ในท านองเดยวกน
อนพนธอนดบสามของ y เทยบกบ x ใชสญลกษณ 3
3
dx
ydxfy
อนพนธอนดบ n ของ y เทยบกบ x ใชสญลกษณ n
nnn
dx
ydxfy
ตวอยาง 3.8 จงหาอนพนธอนดบสองของ
1. xy 1
2. x
xy
ln
3. xeey
ตวอยาง 3.9 จงหาคาของ เมอก ำหนดให
3.4 อนพนธของฟงกชนผกผน
ทฤษฎบท 3.2 อนพนธของฟงกชนผกผน
ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนงทนยามบนชวง ba, เปนฟงกชนทหาอนพนธได และ 0 xf ทก
),( bax แลว f -1 จะมอนพนธ
xff
xf1
1 1
หรออาจเขยนเปน
dx
dydy
dx 1
ตวอยาง 3.10 จงหาคาของอนพนธของฟงกชนผกผน ท cy 1. 248 37 xxxxf , 2c
3.5 การหาอนพนธของฟงกชนประกอบ
ทฤษฎบท 3.3 (กฎลกโซ / Chain Rule) ให xgfy โดย f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได
แลว y จะเปนฟงกชนทหาอนพนธได และ xgxgfdx
dy
กฎลกโซอาจเขยนอยในอกรปแบบหนง
ให ufy และหา uf เปนอนพนธเทยบกบ u โดยท xgu ซงเราหา xu เปนอนพนธของ u เทยบกบ x ได แลวเราจะไดวา
dx
du
du
dy
dx
dy
ท านองเดยวกน ถา ufy , sgu และ ths เราจะไดกฎลกโซเปน
dt
ds
ds
du
du
dy
dt
dy
ตวอยาง 3.11 จงหา dx
dy เมอ
3.6 การหาอนพนธแบบแฝง
ฟงกชนของตวแปรหนงตว เราอาจแบงไดเปนสองประเภทใหญ ๆ คอ
1. ฟงกชนชดเจน (explicit function) คอฟงกชนทเขยนอยในรป xfy ตวแปรตาม y กบตวแปรตน x สามารถแยกกนอยางชดเจนเชน xxey x 22 21
2. ฟงกชนแบบแฝง (implicit function) คอฟงกชนทเขยนอยในรป 0, yxf ตวแปรตาม y ไมสามารถแยกกนกบตวแปรตน x ได เชน 035423 22 yxyxyx ,
2xyxe
การหาอนพนธของฟงกชนแบบแฝงอาจท าไดโดยการจดรปฟงกชนแบบแฝงเสยใหมใหอยในรปฟงกชนชดเจน คอหา y ในเทอมของ x จะสรางความยงยากมาก เราสามารถเลยงดวยการหาอนพนธของฟงกชนแบบแฝง โดยหาอนพนธทงสองขางของสมการ 0, yxf เทยบกบ x จากนน จดสมการทไดใหม
ตวอยาง 3.13 จงหา y เมอ xyxy ln
3.7 อนพนธและสมการองตวแปรเสรม
ความสมพนธระหวางตวแปร x และ y อาจนยามดวยตวแปรเดยวกน t อยในรป )(tfx , )(tgy โดยท gf DD เรยกสมการทงสองนวา เปนสมการองตวแปรเสรม เรยก t วา “ตวแปร
เสรม” เชน tx 2ln , xxey
ถา txx และ tyy แลว เราสามารถหาอนพนธจากสมการองตวแปรเสรมไดโดยกฎลกโซคอ
dt
dxdx
dt
dt
dxdt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy 1. เพราะวา
นอกจากนเรายงไดวา
dt
dx
dx
dy
dt
d
dx
dt
dx
dy
dt
d
dx
yd
2
2
เมอแทนคา
dt
dxdt
dy
dx
dy จะไดวา
dt
dx
dt
dx
dt
xd
dt
dy
dt
yd
dt
dx
dt
dx
dt
dx
dt
dy
dt
d
dx
yd
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
dt
dx
dt
xd
dt
dy
dt
yd
dt
dx
ตวอยาง 3.14 จงหา dx
dy ทจดทก าหนดของ 42 tx , ty 8 , 2t
ตวอยาง 3.15 จงหา 2
2
dx
yd ทจดทก าหนดของ tx , 42 ty , 1t