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2.2.2 偏微分方程的数学分类
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内容提要
1. 两个自变量的二阶偏微分方程
2.多个自变量的二阶偏微分方程特征分类法
3.偏微分方程组的特征分类方法
(1) 两个自变量的一阶方程组
(2) 多个自变量的一阶方程组
i. 包含时间、空间自变量的一阶方程组
ii. 只有空间自变量的一阶方程组
(3) 含有部分二阶以上导数的偏微分方程组
4. 偏微分方程分类的Fourier分析方法 (Symbol)
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2.多个自变量的二阶偏微分方程特征分类法
• 方程:
• 主部系数矩阵 A
• 寻找A的特征值:
2
1 1
0N N
jk
j k j k
ua H
x x
方程主部
0A I
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分类方法
(i) A 的特征值λ中的任意一个为零,则方程为抛物型;
(ii) A 的特征值λ全部非零并且同号,则方程为椭圆型;
(iii) A 的特征值λ全部非零, 并且除了一个之外其余同号,则方程为双曲型。
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3.偏微分方程组的特征分类方法
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(1) 两个自变量的一阶方程组
• 两个函数的最简单情况:
• 矢量形式:
11 12 11 12 1
u v u va a b b e
x x y y
21 22 21 22 2
u v u va a b b e
x x y y
x y
U UA B E
11 12 11 12 1
21 22 21 22 2
, , ,
a a b b eu
v a a b b e
U A B E
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特征方程
即:
求出特征值:
0dy dxA B
0dy
dx A B
/dy dx
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分类方法
(1) 特征值λ为两个互异的实根,则方程组为双曲型
(2) 特征值λ为一个实根,则方程组为抛物型
(3) 特征值λ为两个共轭复根,则方程组为椭圆型
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n个函数两个自变量一阶方程组
(1) 特征值为n个互异实根,则方程组为双曲型
(2) 特征值有m个互异实根,无复根,且则方程组为抛物型
(3) 特征值无实根,则方程组为椭圆型
(4) 特征值一部分为实根,一部分为复根,则方程组为混合型
1 1m n
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(2) 多个自变量的一阶方程组
a. 包含时、空自变量的一阶方程组
b. 只有空间自变量的一阶方程组
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a. 包含时间、空间自变量的一阶方程组
• 方法:在(t,x), (t,y) 和 (t,z) 平面上分别考虑
例如
• 特征方程:
0t x y z
U U U UA B C R
0t x
U UA
0dx
dtA I
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b.只有空间自变量的一阶方程组
• 特征方程:
• 考察法向方向数:
固定 ,若 全复根,则方程组相对 y
方向是椭圆型
0x y z
U U UA B C R
0x y zA B C
1x z y
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(3) 含有部分二阶以上导数的偏微分方程组
实际问题基本上都含有二阶以上导数
一般做法:引入中间变量函数,化为包含有更多函数的一阶偏微分方程组,然后进行分类。特别注意:一阶方程组的系数矩阵不能等同以致使方程组奇异。
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例2.4 二维稳态不可压Navier-Stokes方程
• 引入中间变量
0x yu v
10x y x xx yyuu vu p ( u u )
Re
10x y y xx yyuv vv p ( v v )
Re
连续方程
动量方程
, , x y yR v S v T u
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6个函数 u v p R S T、 、 、 、 、
10x y x xx yyuu vu p ( u u )
Re
0x yu v
10x y y xx yyuv vv p ( v v )
Re
, , x y yR v S v T u
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矩阵形式
特征方程
x y
U UA B H
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
, 0 0 0 0 0 1
10 0 1 0 0
10 0 0 0 0
u
v
p
R
S Re
TRe
U A
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
, 0 0 0 0 1 0
10 0 0 0 0
10 0 1 0 0
Re
Re
B
0x yA B
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即:
取 , 为虚数:方程组相对 y 方向为椭圆型
取 , 为虚数:方程组相对 x 方向为椭圆型
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
y
x y
y x
y xx y
xx
A B
0
0 0 0
y
yxy
Re Re
Re Re
2 2 2( ) 0y x y
1x y
1y x
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4. 偏微分方程分类的 Fourier
分析方法
又称为偏微分方程的符号(Symbol)
可适用于单个方程、方程组;可适用于高阶导数情况;并且不需要引入中间变量
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Fourier变换
• 主要应用了Fourier变换的微分关系
时空域 频率域
Fourier变换
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a. 单个方程的情况
Fourier级数表达的解:
极限情况下用Fourier积分表达:
2 2 2
2 20
u u ua b c
x x y y
2
1( , ) exp[i( ) ]exp[i( ) ]
4x j y kjk
j k
u x y u x y
2
-
1( , ) ( , )exp(i )exp(i )
4x y x y x yu x y u x y d d
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Fourier 转换
• 系数:
• Fourier 转换:
• 微分特性:
-
( , ) ( , )exp(-i )exp( i )x y x yu u x y x y dxdy
u Fu
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微分关系
函数每对 x 或 y
做一次偏导数Fourier转换乘因子
或
Fourier变换
时空域 频率域
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利用微分关系改写方程
函数每对 x 或 y
做一次偏导数Fourier转换乘因子
或
Fourier变换
时空域 频率域
2 2 0x x y ya b c 2 2 2
2 20
u u ua b c
x x y y
微分方程 代数方程
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频域方程特性
原方程的特征方程:
2( ) ( ) 0x y x ya b c
2 2 0x x y ya b c
2( ) ( ) 0dy dy
a b cdx dx
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Fourier分析方法应用于方程组情况
2 2
0
1 0
0
x y
x y x y x
i i
i( u v ( ) iRe
2 2
x y
0
1 i(
x y y
u
v
pu v ( ) i
Re
0x yu v 1
0x y x xx yyuu vu p ( u u )Re
10x y y xx yyuv vv p ( v v )
Re
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方程组存在非平凡解的条件是
系数矩阵行列式为零
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主部决定方程性质:
比较特征分类法:
2 2 2 2 0x y x y x yi( u v ) ( ) / Re
2 2 2 2( )( ) 0x y x y
2 2 2( ) 0y x y
方程主部的贡献次要贡献
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Fourier 分析法与特征分析法
• Fourier 分析法与特征分析法殊途同归,可以得到一样的结论
• Fourier 分析法相对简单,适用面广
• Fourier 分析法在分析比较复杂的问题时更有优势
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2.2.3 解的适定和定解条件
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意 义
• 物理过程 = 控制方程 + 定解条件
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• 定解条件关系到具体方程是否有解,其解是否可靠
• 定解条件:边界条件、初始条件
• 偏微分方程的适定性:指定解条件能使方程 解存在、解唯一、解稳定(即解连续地依赖它的初始或边界条件)
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例2.5 给定边界条件下的二维 Laplace 方程
0 - 0
( ,0) 0
1( ,0) sin( ) 0
xx yy
y
u u x y
u x
u x nx nn
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求解过程
分离变量:
利用定解条件:
此解在 y=0 附近有可能不连续:
( , ) ( ) ( )u x y f x g y
2
1sin( )sh( )u nx ny
n
n u
( ,0) 0u x
y 接近 0 处
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原因分析
• 此方程分类?
椭圆型方程要求提封闭边界上所有点的条件,尤其是无穷远处的边界条件!
椭圆型!!!
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方程对定解条件的要求
• 平衡问题(椭圆型方程):必须提封闭边界上每一点的边界条件,要特别小心“无穷远边界”上的条件
• 行进问题(抛物型、双曲型方程):必须提初始条件(二阶偏微分方程需要有函数值、一阶导数值条件); 空间无界定义域问题,有的可以不
提无界边界上的条件,但有界定义域问题,一般需要规定一定的边界条件。
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初始条件
• 时间或类时间导数为一阶:只要给出函数在全域的初始值;
• 时间或类时间导数为二阶:函数在全域的初始值,以及函数在全域对时间或类时间变量的一阶导数值
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3类边界条件
1. Dirichlet 条件
2. Neumann 条件
3. Robin 条件
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第一类边界条件(Dirichlet)
• 直接规定边界上的函数值(可以随时间或类时间变化)
( , , , ) ( ) w wT x y z t T t
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第二类边界条件 (Neumann)
• 直接规定在边界上的函数导数值
• 热物理问题一般规定:热流值 在流入边界内部方向时为正
( , , , )( )ww
T x y z tq t
n
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第三类边界条件 (Robin)
• 规定边界上的函数值与它的法向导数之间的某个关系
• 冷却问题
( , , , )( )f ww
T x y z th T T t
n
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从物理意义方面区分
1. 运动学条件
2. 动力学条件
3. 热力学条件
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1 运动学条件 (Kinetic)
• 滑移边界条件:无粘流体沿固壁切向速度不变
• 黏附条件:粘性流体在固壁上满足静止壁上流体速度为零
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2 动力学条件(Dynamic)
• 对流换热问题:有的边界需要规定压力或它的导数条件
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3 热力学条件 (ThermoDynamic)
• 规定温度、热流率或它们两者间的关系,都是从热力学和能量守恒关系所提的边界条件
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• 来流边界条件:进口边界
• 出流边界条件:出口边界
• 壁面边界条件:滑移、粘附
• 自由面: 真空 或 大气层
• 对称面:只要研究一半
• 移动界面:相变交界处,钢水凝结、冰融化
• 间断面:激波,可能移动
• 角点:
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