Download - 21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet1 Cours de graphes Quelques graphes particuliers
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 1
Cours de graphesCours de graphes
Quelques graphes particuliers.Quelques graphes particuliers.
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Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours
•Définitions de baseDéfinitions de base•ConnexitéConnexité•Les plus courts cheminsLes plus courts chemins•Dijkstra et Bellmann-FordDijkstra et Bellmann-Ford•Arbres, Arbres, graphes particuliersgraphes particuliers •Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux •Problèmes de flotsProblèmes de flots•Coloriage de graphes, graphes Coloriage de graphes, graphes planairesplanaires•CouplageCouplage•Chemins d’Euler et de HamiltonChemins d’Euler et de Hamilton•Problèmes NP-completsProblèmes NP-complets
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 3
Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous allons étudier quelques graphes particuliers Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.parallèles.
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous allons étudier quelques graphes particuliers Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.parallèles.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 5
Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous allons étudier quelques graphes particuliers Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.parallèles.
• Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :grandes catégories :
– Les ordinateurs à mémoire partagée !Les ordinateurs à mémoire partagée !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 6
Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous allons étudier quelques graphes particuliers Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.parallèles.
• Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :grandes catégories :
– Les ordinateurs à mémoire partagée !Les ordinateurs à mémoire partagée !
MMEEMMOOIIRREE
PROCPROC
PROCPROC
PROCPROC
RREESSEEAAUU
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous allons étudier quelques graphes particuliers Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.parallèles.
• Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :deux grandes catégories :
– Les ordinateurs à mémoire partagée !Les ordinateurs à mémoire partagée !
– Les ordinateurs à mémoires distribuées !Les ordinateurs à mémoires distribuées !
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous allons étudier quelques graphes particuliers Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.parallèles.
• Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :deux grandes catégories :
– Les ordinateurs à mémoire partagée !Les ordinateurs à mémoire partagée !
– Les ordinateurs à mémoires distribuées !Les ordinateurs à mémoires distribuées !
PROCPROC
PROCPROC
RREESSEEAAUU
MEMOIREMEMOIRE
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous allons étudier quelques graphes particuliers Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.parallèles.
• Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :deux grandes catégories :
– Les ordinateurs à mémoire partagée !Les ordinateurs à mémoire partagée !
– Les ordinateurs à mémoires distribuées !Les ordinateurs à mémoires distribuées !
PROCPROC
PROCPROC
RREESSEEAAUU
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MEMOIREMEMOIRE
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il y a plusieurs modes d’acheminement des données Il y a plusieurs modes d’acheminement des données !!
• Dans le mode « store and forward » le message fait Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !escale dans les nœuds intermédiaires !
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il y a plusieurs modes d’acheminement des données Il y a plusieurs modes d’acheminement des données !!
• Dans le mode « store and forward » le message fait Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !escale dans les nœuds intermédiaires !
PROCPROC
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il y a plusieurs modes d’acheminement des données Il y a plusieurs modes d’acheminement des données !!
• Dans le mode « store and forward » le message fait Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !escale dans les nœuds intermédiaires !
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PROCPROC
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Un premier saut . . .Un premier saut . . .
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il y a plusieurs modes d’acheminement des données Il y a plusieurs modes d’acheminement des données !!
• Dans le mode « store and forward » le message fait Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !escale dans les nœuds intermédiaires !
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Un premier saut . . .Un premier saut . . . suivi d’un second !suivi d’un second !
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il y a plusieurs modes d’acheminement des données Il y a plusieurs modes d’acheminement des données !!
• Dans le mode « store and forward » le message fait Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !escale dans les nœuds intermédiaires !
• Dans le mode « circuit switched » nous établissons Dans le mode « circuit switched » nous établissons un chemin direct par concaténation de liens un chemin direct par concaténation de liens individuels !individuels !
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il y a plusieurs modes d’acheminement des données Il y a plusieurs modes d’acheminement des données !!
• Dans le mode « store and forward » le message fait Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !escale dans les nœuds intermédiaires !
• Dans le mode « circuit switched » nous établissons Dans le mode « circuit switched » nous établissons un chemin direct par concaténation de liens un chemin direct par concaténation de liens individuels !individuels !
PROCPROC
MEMOIREMEMOIRE
PROCPROC
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il y a plusieurs modes d’acheminement des données Il y a plusieurs modes d’acheminement des données !!
• Dans le mode « store and forward » le message fait Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !escale dans les nœuds intermédiaires !
• Dans le mode « circuit switched » nous établissons Dans le mode « circuit switched » nous établissons un chemin direct par concaténation de liens un chemin direct par concaténation de liens individuels !individuels !
PROCPROC
MEMOIREMEMOIRE
PROCPROC
MEMOIREMEMOIRE
PROCPROC
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Plusieurs critères sont importants pour le choix du Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion !réseau d’interconnexion !
• Des critères au niveau d’un nœud !Des critères au niveau d’un nœud !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 18
Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Plusieurs critères sont importants pour le choix du Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion !réseau d’interconnexion !
• Des critères au niveau d’un nœud !Des critères au niveau d’un nœud !
• Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Plusieurs critères sont importants pour le choix du Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion !réseau d’interconnexion !
• Des critères au niveau d’un nœud !Des critères au niveau d’un nœud !
• Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !
• Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Plusieurs critères sont importants pour le choix du Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion !réseau d’interconnexion !
• Des critères au niveau d’un nœud !Des critères au niveau d’un nœud !
– Le degré des nœuds – le nombre de voisins !Le degré des nœuds – le nombre de voisins !
– La régularité du degré – tout le monde a le même La régularité du degré – tout le monde a le même nombre de voisins !nombre de voisins !
• Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !
• Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 21
Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Plusieurs critères sont importants pour le choix du Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion !réseau d’interconnexion !
• Des critères au niveau d’un nœud !Des critères au niveau d’un nœud !
– Le degré des nœuds – le nombre de voisins !Le degré des nœuds – le nombre de voisins !
– La régularité du degré – tout le monde a le même La régularité du degré – tout le monde a le même nombre de voisins !nombre de voisins !
• Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !
• Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !
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Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Plusieurs critères sont importants pour le choix du Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion !réseau d’interconnexion !
• Des critères au niveau d’un nœud !Des critères au niveau d’un nœud !
• Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !
– Le diamètre du graphe !Le diamètre du graphe !
– La valeur de bissection qui donne le plus petit La valeur de bissection qui donne le plus petit nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à l’autre !l’autre !
• Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 23
Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Plusieurs critères sont importants pour le choix du Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion !réseau d’interconnexion !
• Des critères au niveau d’un nœud !Des critères au niveau d’un nœud !
• Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !
– Le diamètre du graphe !Le diamètre du graphe !
– La valeur de bissection qui donne le plus petit La valeur de bissection qui donne le plus petit nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à l’autre !l’autre !
• Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !
La bissectionLa bissectionvaut 3 ici !vaut 3 ici !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 24
Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Plusieurs critères sont importants pour le choix du Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion !réseau d’interconnexion !
• Des critères au niveau d’un nœud !Des critères au niveau d’un nœud !
• Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !
• Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !
– Est-ce que la structure du graphe est régulière ?Est-ce que la structure du graphe est régulière ?
– Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans le graphe (cycle de Hamilton) ?le graphe (cycle de Hamilton) ?
– Combien y a-t-il de plus courts chemins disjoints ?Combien y a-t-il de plus courts chemins disjoints ?
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 25
Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Plusieurs critères sont importants pour le choix du Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion !réseau d’interconnexion !
• Des critères au niveau d’un nœud !Des critères au niveau d’un nœud !
• Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !
• Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !
– Est-ce que la structure du graphe est régulière ?Est-ce que la structure du graphe est régulière ?
• Un anneau (cycle) est régulier !Un anneau (cycle) est régulier !
• Un graphe en « ligne » ne l’est pas à cause des Un graphe en « ligne » ne l’est pas à cause des extrémités !extrémités !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 26
Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Plusieurs critères sont importants pour le choix du Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion !réseau d’interconnexion !
• Des critères au niveau d’un nœud !Des critères au niveau d’un nœud !
• Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !
• Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !
– Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans le graphe (cycle de Hamilton) ?le graphe (cycle de Hamilton) ?
Ce grapheCe graphe contient un anneaucontient un anneau
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 27
Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Plusieurs critères sont importants pour le choix du Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion !réseau d’interconnexion !
• Des critères au niveau d’un nœud !Des critères au niveau d’un nœud !
• Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !
• Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !
– Combien y a-t-il de plus courts chemins Combien y a-t-il de plus courts chemins disjoints ?disjoints ?
Ce grapheCe graphe contient deux pluscontient deux pluscourts chemins :courts chemins :
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 28
Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Le graphe idéal vérifie, Le graphe idéal vérifie, entre autresentre autres : :
– Le degré de chaque sommet est moyen !Le degré de chaque sommet est moyen !
– Le graphe est de degré régulier !Le graphe est de degré régulier !
– Le diamètre est petit !Le diamètre est petit !
– La bissection est grande !La bissection est grande !
– La structure du graphe est régulière !La structure du graphe est régulière !
– Il comporte l’anneau et d’autres graphes usuels Il comporte l’anneau et d’autres graphes usuels comme sous-graphes !comme sous-graphes !
– Il offre plusieurs plus courts chemins arêtes-Il offre plusieurs plus courts chemins arêtes-disjoints !disjoints !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 29
Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Le graphe idéal vérifie, Le graphe idéal vérifie, entre autresentre autres : :
– Le degré de chaque sommet est moyen !Le degré de chaque sommet est moyen !
– Le graphe est de degré régulier !Le graphe est de degré régulier !
– Le diamètre est petit !Le diamètre est petit !
– La bissection est grande !La bissection est grande !
– La structure du graphe est régulière !La structure du graphe est régulière !
– Il comporte l’anneau et d’autres graphes usuels Il comporte l’anneau et d’autres graphes usuels comme sous-graphes !comme sous-graphes !
– Il offre plusieurs plus courts chemins arêtes-Il offre plusieurs plus courts chemins arêtes-disjoints !disjoints !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 30
Numérotation des nœudsNumérotation des nœuds----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Comment devons-nous numéroter les sommets pour Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et d’arrivée ?numéros des points de départ et d’arrivée ?
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 31
Numérotation des nœudsNumérotation des nœuds----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Comment devons-nous numéroter les sommets pour Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et d’arrivée ?numéros des points de départ et d’arrivée ?
• On appelle « router » le fait de trouver un des plus On appelle « router » le fait de trouver un des plus courts chemins entre l’expéditeur et le destinataire.courts chemins entre l’expéditeur et le destinataire.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 32
Numérotation des nœudsNumérotation des nœuds----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Comment devons-nous numéroter les sommets pour Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et d’arrivée ?numéros des points de départ et d’arrivée ?
• On appelle « router » le fait de trouver un des plus On appelle « router » le fait de trouver un des plus courts chemins entre l’expéditeur et le destinataire.courts chemins entre l’expéditeur et le destinataire.
• Les numéros de l ’expéditeur et du destinataire Les numéros de l ’expéditeur et du destinataire doivent permettre de déduire facilement la doivent permettre de déduire facilement la première arête du plus court chemin !première arête du plus court chemin !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 33
Numérotation des nœudsNumérotation des nœuds----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Comment devons-nous numéroter les sommets pour Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et d’arrivée ?numéros des points de départ et d’arrivée ?
• On appelle « router » le fait de trouver un des plus On appelle « router » le fait de trouver un des plus courts chemins entre l’expéditeur et le destinataire.courts chemins entre l’expéditeur et le destinataire.
• Les numéros de l ’expéditeur et du destinataire Les numéros de l ’expéditeur et du destinataire doivent permettre de déduire facilement la doivent permettre de déduire facilement la première arête du plus court chemin !première arête du plus court chemin !
• Ensuite, nous itérons le même algorithme à partir Ensuite, nous itérons le même algorithme à partir du second sommet, etc.du second sommet, etc.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 34
Le graphe en ligneLe graphe en ligne----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L EL E
G R A P H EG R A P H E
E N L I G N EE N L I G N E
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Le graphe en ligneLe graphe en ligne----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 36
Le graphe en ligneLe graphe en ligne----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1
• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.ou plus grand.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 37
Le graphe en ligneLe graphe en ligne----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1
• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.ou plus grand.
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré non régulier, de structure Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !irrégulière !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 38
Le graphe en ligneLe graphe en ligne----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1
• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.ou plus grand.
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré non régulier, de structure Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !irrégulière !
– Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds !Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 39
Le graphe en ligneLe graphe en ligne----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1
• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.ou plus grand.
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré non régulier, de structure Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !irrégulière !
– Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds !Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds !
– Nous ne pouvons pas plonger d’anneau, il n’y a Nous ne pouvons pas plonger d’anneau, il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 40
Le graphe en ligneLe graphe en ligne----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1
• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !!
– Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds !Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds !
– Nous ne pouvons pas plonger d’anneau, il n’y a pas de Nous ne pouvons pas plonger d’anneau, il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !plus courts chemins alternatifs, . . . !
• C’est très mauvais, mis à part le fait que le degré du C’est très mauvais, mis à part le fait que le degré du graphe soit limité à 2 !graphe soit limité à 2 !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 41
Le graphe en anneauLe graphe en anneau----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L EL E
G R A P H EG R A P H E
E N A N N E A UE N A N N E A U
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 42
Le graphe en anneauLe graphe en anneau----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 43
Le graphe en anneauLe graphe en anneau----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1
• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). des modulos ).
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 44
Le graphe en anneauLe graphe en anneau----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1
• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). des modulos ).
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré régulier, de structure régulière !Graphe de degré régulier, de structure régulière !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 45
Le graphe en anneauLe graphe en anneau----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1
• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). des modulos ).
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré régulier, de structure régulière !Graphe de degré régulier, de structure régulière !
– Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds !Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 46
Le graphe en anneauLe graphe en anneau----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1
• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). des modulos ).
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré régulier, de structure régulière !Graphe de degré régulier, de structure régulière !
– Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds !Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds !
– Nous pouvons y plonger un anneau, mais il n’y a Nous pouvons y plonger un anneau, mais il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 47
Le graphe en anneauLe graphe en anneau----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1
• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). que le plus court des chemins ( différence des modulos ).
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré régulier, de structure régulière !Graphe de degré régulier, de structure régulière !
– Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds !Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds !
– Nous pouvons y plonger un anneau, mais il n’y a pas Nous pouvons y plonger un anneau, mais il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !de plus courts chemins alternatifs, . . . !
• Cela reste assez mauvais, mis à part la régularité, le Cela reste assez mauvais, mis à part la régularité, le degré limité du graphe et l’utilité de la notion d’anneau !degré limité du graphe et l’utilité de la notion d’anneau !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 48
Le produit de graphesLe produit de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L EL E
P R O D U I TP R O D U I T
D E G R A P H E SD E G R A P H E S
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 49
Le produit de graphesLe produit de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Soient deux graphes G et G’ ! Soient deux graphes G et G’ !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 50
Le produit de graphesLe produit de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Soient deux graphes G et G’ !Soient deux graphes G et G’ !
• Nous appelons produit de ces deux graphes le Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe :graphe :
– qui est composé de sommets numérotés ( i , j ) qui est composé de sommets numérotés ( i , j ) avec i issu de la numérotation de G et j de avec i issu de la numérotation de G et j de celle de G’ ,celle de G’ ,
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 51
Le produit de graphesLe produit de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Soient deux graphes G et G’ !Soient deux graphes G et G’ !
• Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe :Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe :
– qui est composé de sommets numérotés ( i , j ) avec qui est composé de sommets numérotés ( i , j ) avec i issu de la numérotation de G et j de celle de G’ ,i issu de la numérotation de G et j de celle de G’ ,
– qui comporte une arête entre ( i , j ) et ( k , l ) ssi :qui comporte une arête entre ( i , j ) et ( k , l ) ssi :
• i = k et ( j , l ) est une arête de G’ ,i = k et ( j , l ) est une arête de G’ ,
• j = l et ( i , k ) est une arête de G .j = l et ( i , k ) est une arête de G .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 52
Le produit de graphesLe produit de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 53
Le produit de graphesLe produit de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
. . .. . .
EnEnconstruction !construction !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 54
Le produit de graphesLe produit de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
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. . .. . .
. . .. . .
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. . .. . .
LeLevoilà !voilà !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 55
Le produit de graphesLe produit de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 56
Le produit de graphesLe produit de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
EnEnconstruction !construction !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 57
Le produit de graphesLe produit de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
. . .. . .
LeLevoilà !voilà !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 58
La grille 2 - DLa grille 2 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L AL A
G R I L L E 2 - DG R I L L E 2 - D
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 59
• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !m éléments respectivement !
La grille 2 - DLa grille 2 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 60
• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !m éléments respectivement !
La grille 2 - DLa grille 2 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 61
• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !m éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré non régulier, de structure Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !irrégulière !
La grille 2 - DLa grille 2 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 62
• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !m éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré non régulier, de structure Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !irrégulière !
– Diamètre n+m et bissection min ( n , m ) pour Diamètre n+m et bissection min ( n , m ) pour n*m nœuds !n*m nœuds !
La grille 2 - DLa grille 2 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 63
• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !
– Diamètre n+m et bissection min ( n , m ) pour n*m Diamètre n+m et bissection min ( n , m ) pour n*m nœuds !nœuds !
– Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus courts chemins alternatifs, . . . !plus courts chemins alternatifs, . . . !
La grille 2 - DLa grille 2 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 64
• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !m éléments respectivement !
• Routage :Routage :
– Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !
La grille 2 - DLa grille 2 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 65
• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !m éléments respectivement !
• Routage :Routage :
– Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !
– Nous routons d’abord sur Nous routons d’abord sur l’un des axes,l’un des axes, ensuite ensuite l’autre.l’autre.
La grille 2 - DLa grille 2 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 66
• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !éléments respectivement !
• Routage :Routage :
– Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !
– Nous routons d’abord sur Nous routons d’abord sur l’un des axes,l’un des axes, ensuite ensuite l’autre.l’autre.
– Cela s’appelle une « distance de Manhattan » !Cela s’appelle une « distance de Manhattan » !
La grille 2 - DLa grille 2 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 67
• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !éléments respectivement !
• Routage :Routage :
– Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !
– Nous routons d’abord sur Nous routons d’abord sur l’un des axes,l’un des axes, ensuite l’autre.ensuite l’autre.
– Cela s’appelle une « distance de Manhattan » !Cela s’appelle une « distance de Manhattan » !
– Il y deux plus courts chemins arêtes-disjoints !Il y deux plus courts chemins arêtes-disjoints !
La grille 2 - DLa grille 2 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 68
• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !éléments respectivement !
• Routage :Routage :
– Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !
– Nous routons d’abord sur Nous routons d’abord sur l’un des axes,l’un des axes, ensuite l’autre.ensuite l’autre.
– Cela s’appelle une « distance de Manhattan » !Cela s’appelle une « distance de Manhattan » !
– Il y deux plus courts chemins arêtes-disjoints !Il y deux plus courts chemins arêtes-disjoints !
La grille 2 - DLa grille 2 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 69
Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L EL E
T O R E 2 - DT O R E 2 - D
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 70
• C’est le produit de deux graphes en anneau de n et C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! m éléments respectivement !
Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 71
• C’est le produit de deux graphes en anneau de n et C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! m éléments respectivement !
Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . . . . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 72
• C’est le produit de deux graphes en anneau de n et C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! m éléments respectivement !
Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . . . . .. . .C’est une grille avec lesC’est une grille avec lesliens de rebouclage ! ! !liens de rebouclage ! ! !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 73
• C’est le produit de deux graphes en anneau de n et C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! m éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré régulier, de structure régulière !Graphe de degré régulier, de structure régulière !
Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . . . . .. . .C’est une grille avec lesC’est une grille avec lesliens de rebouclage ! ! !liens de rebouclage ! ! !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 74
• C’est le produit de deux graphes en anneau de n et C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! m éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré régulier, de structure régulière !Graphe de degré régulier, de structure régulière !
– Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection 2 * min ( n , Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection 2 * min ( n , m ) pour n*m nœuds !m ) pour n*m nœuds !
Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . . . . .. . .C’est une grille avec lesC’est une grille avec lesliens de rebouclage ! ! !liens de rebouclage ! ! !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 75
• C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement !éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré régulier, de structure régulière !Graphe de degré régulier, de structure régulière !
– Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection 2 * min ( n , m ) pour Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection 2 * min ( n , m ) pour n*m nœuds !n*m nœuds !
– Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour la grille mais incluant les modulos !la grille mais incluant les modulos !
Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . . . . .. . .C’est une grille avec lesC’est une grille avec lesliens de rebouclage ! ! !liens de rebouclage ! ! !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 76
• C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement !éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré régulier, de structure régulière !Graphe de degré régulier, de structure régulière !
– Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection min ( n , m ) / 2 pour Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection min ( n , m ) / 2 pour n*m nœuds !n*m nœuds !
– Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour la grille mais incluant les modulos !la grille mais incluant les modulos !
Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . . . . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 77
• C’est le produit de deux graphes en anneau de n et C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! m éléments respectivement !
• Dans l’espace :Dans l’espace :
Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . . . . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 78
La grille 3 - DLa grille 3 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L AL A
G R I L L E 3 - DG R I L L E 3 - D
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 79
• C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l éléments respectivement !et l éléments respectivement !
La grille 3 - DLa grille 3 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 80
• C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l éléments respectivement !et l éléments respectivement !
La grille 3 - DLa grille 3 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
En construction . . .En construction . . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 81
• C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l éléments respectivement !et l éléments respectivement !
La grille 3 - DLa grille 3 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le voilà !Le voilà !. . .. . .
. . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 82
• C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l éléments respectivement !et l éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré non régulier, de structure Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !irrégulière !
La grille 3 - DLa grille 3 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
. . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 83
• C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l éléments respectivement !et l éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré non régulier, de structure Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !irrégulière !
– Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) si n = min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !si n = min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !
La grille 3 - DLa grille 3 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
. . .. . .
La bissection est un plan deLa bissection est un plan desection qui coupe le moins de liens.section qui coupe le moins de liens.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 84
• C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l éléments respectivement !et l éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré non régulier, de structure Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !irrégulière !
– Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) si n = min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !si n = min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !
La grille 3 - DLa grille 3 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
. . .. . .
La bissection est un plan deLa bissection est un plan desection qui coupe le moins de liens.section qui coupe le moins de liens.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 85
• C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l éléments respectivement !éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !
– Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) si n = Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) si n = min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !
– Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois plus courts chemins alternatifs, . . . !plus courts chemins alternatifs, . . . !
La grille 3 - DLa grille 3 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
. . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 86
• C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l éléments respectivement !éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !
– Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) si n = Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) si n = min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !
– Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois plus courts chemins alternatifs, . . . !plus courts chemins alternatifs, . . . !
La grille 3 - DLa grille 3 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
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21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 87
Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L EL E
T O R E 3 - DT O R E 3 - D
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 88
• C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m et l éléments respectivement ! et l éléments respectivement !
Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 89
• C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m et l éléments respectivement ! et l éléments respectivement !
Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
C’est une grille avec lesC’est une grille avec lesliens de rebouclage ! ! !liens de rebouclage ! ! !
. . .. . .
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21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 90
• C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m et l éléments respectivement ! et l éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré régulier, de structure régulière !Graphe de degré régulier, de structure régulière !
Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
C’est une grille avec lesC’est une grille avec lesliens de rebouclage ! ! !liens de rebouclage ! ! !
. . .. . .
. . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 91
• C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m et l éléments respectivement ! et l éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré régulier, de structure régulière !Graphe de degré régulier, de structure régulière !
– Diamètre ( n+m+l ) / 2 et bissection 2 * n * Diamètre ( n+m+l ) / 2 et bissection 2 * n * min( m , l ) si n = min( n , m , l ) pour n*m*l min( m , l ) si n = min( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !nœuds !
Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
C’est une grille avec lesC’est une grille avec lesliens de rebouclage ! ! !liens de rebouclage ! ! !
. . .. . .
. . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 92
• C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m et l C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m et l éléments respectivement !éléments respectivement !
• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :
– Graphe de degré régulier, de structure régulière !Graphe de degré régulier, de structure régulière !
– Diamètre ( n+m+l ) / 2 et bissection 2 * n * min( m , l ) si Diamètre ( n+m+l ) / 2 et bissection 2 * n * min( m , l ) si n = min( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !n = min( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !
– Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois plus Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois plus courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour la grille mais incluant les modulos !la grille mais incluant les modulos !
Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
C’est une grille avec lesC’est une grille avec lesliens de rebouclage ! ! !liens de rebouclage ! ! !
. . .. . .
. . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 93
• C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m et l éléments respectivement ! et l éléments respectivement !
• Dans l’espace :Dans l’espace :
Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. . .. . .
. . .. . .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 94
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L EL E
G R A P H EG R A P H E
H Y P E R C U B EH Y P E R C U B E
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 95
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous pouvons construire des tores de toutes Nous pouvons construire des tores de toutes dimensions :dimensions :
( k , k , . . . , k )( k , k , . . . , k )11 22 nn
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 96
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous pouvons construire des tores de toutes Nous pouvons construire des tores de toutes dimensions :dimensions :
( k , k , . . . , k )( k , k , . . . , k )
• Nous obtenons un « hypercube » lorsque tous les Nous obtenons un « hypercube » lorsque tous les anneaux comportent deux nœuds :anneaux comportent deux nœuds :
( 2 , 2 , . . . , 2 )( 2 , 2 , . . . , 2 )
11 22 nn
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 97
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous pouvons construire des tores de toutes Nous pouvons construire des tores de toutes dimensions :dimensions :
( k , k , . . . , k )( k , k , . . . , k )
• Nous obtenons un « hypercube » lorsque tous les Nous obtenons un « hypercube » lorsque tous les anneaux comportent deux nœuds :anneaux comportent deux nœuds :
( 2 , 2 , . . . , 2 )( 2 , 2 , . . . , 2 )
• Deux nœuds « en ligne » et deux nœuds « en Deux nœuds « en ligne » et deux nœuds « en anneau » ont le même voisinage :anneau » ont le même voisinage :
11 22 nn
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 98
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L’hypercube deL’hypercube dedimension 0 ! ! !dimension 0 ! ! !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 99
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L’hypercube deL’hypercube dedimension 0 ! ! !dimension 0 ! ! !
L’hypercube deL’hypercube dedimension 1 ! ! !dimension 1 ! ! !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 100
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L’hypercube deL’hypercube dedimension 0 ! ! !dimension 0 ! ! !
L’hypercube deL’hypercube dedimension 1 ! ! !dimension 1 ! ! !
Nous relionsNous relionsdeux hypercubesdeux hypercubesde dimension 0 !de dimension 0 !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 101
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L’hypercube deL’hypercube dedimension 0 ! ! !dimension 0 ! ! !
L’hypercube deL’hypercube dedimension 1 ! ! !dimension 1 ! ! !
Nous relionsNous relionsdeux hypercubesdeux hypercubesde dimension 0 !de dimension 0 !
L’hypercube deL’hypercube dedimension 2 ! ! !dimension 2 ! ! !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 102
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L’hypercube deL’hypercube dedimension 0 ! ! !dimension 0 ! ! !
L’hypercube deL’hypercube dedimension 1 ! ! !dimension 1 ! ! !
Nous relionsNous relionsdeux hypercubesdeux hypercubesde dimension 0 !de dimension 0 !
L’hypercube deL’hypercube dedimension 2 ! ! !dimension 2 ! ! !
Nous relionsNous relionsdeux hypercubesdeux hypercubesde dimension 1 !de dimension 1 !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 103
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L’hypercube deL’hypercube dedimension 0 ! ! !dimension 0 ! ! !
L’hypercube deL’hypercube dedimension 1 ! ! !dimension 1 ! ! !
Nous relionsNous relionsdeux hypercubesdeux hypercubesde dimension 0 !de dimension 0 !
L’hypercube deL’hypercube dedimension 2 ! ! !dimension 2 ! ! !
L’hypercube deL’hypercube dedimension 3 ! ! !dimension 3 ! ! !
Nous relionsNous relionsdeux hypercubesdeux hypercubesde dimension 1 !de dimension 1 !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 104
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 105
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dimension 4 – en construction !Dimension 4 – en construction !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 106
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dimension 4 – en construction !Dimension 4 – en construction !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 107
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dimension 4 – le voilà !Dimension 4 – le voilà !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 108
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L E S P R O P R I E T E L E S P R O P R I E T E SS
D ED E
L ’ H Y P E R C U B EL ’ H Y P E R C U B E
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 109
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n :
– comporte 2 nœuds,comporte 2 nœuds,nn
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 110
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n :
– comporte 2 nœuds,comporte 2 nœuds,
– est régulier en structure et en degré qui vaut n ,est régulier en structure et en degré qui vaut n ,
nn
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 111
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n :
– comporte 2 nœuds,comporte 2 nœuds,
– est régulier en structure et en degré qui vaut n ,est régulier en structure et en degré qui vaut n ,
– a un diamètre n et une bissection de 2 ,a un diamètre n et une bissection de 2 ,
nn
n–1n–1
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 112
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n :
– comporte 2 nœuds,comporte 2 nœuds,
– est régulier en structure et en degré qui vaut n ,est régulier en structure et en degré qui vaut n ,
– a un diamètre n et une bissection de 2 ,a un diamètre n et une bissection de 2 ,
– permet d’y plonger un anneau,permet d’y plonger un anneau,
nn
n–1n–1
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 113
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n :
– comporte 2 nœuds,comporte 2 nœuds,
– est régulier en structure et en degré qui vaut n ,est régulier en structure et en degré qui vaut n ,
– a un diamètre n et une bissection de 2 ,a un diamètre n et une bissection de 2 ,
– permet d’y plonger un anneau,permet d’y plonger un anneau,
– possède un routage simple et intuitif,possède un routage simple et intuitif,
nn
n–1n–1
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 114
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n :
– comporte 2 nœuds,comporte 2 nœuds,
– est régulier en structure et en degré qui vaut n ,est régulier en structure et en degré qui vaut n ,
– a un diamètre n et une bissection de 2 ,a un diamètre n et une bissection de 2 ,
– permet d’y plonger un anneau,permet d’y plonger un anneau,
– possède un routage simple et intuitif,possède un routage simple et intuitif,
– possède n plus courts chemins arêtes-disjoints.possède n plus courts chemins arêtes-disjoints.
nn
n–1n–1
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 115
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n :
– comporte 2 nœuds,comporte 2 nœuds,
– est régulier en structure et en degré qui vaut n ,est régulier en structure et en degré qui vaut n ,
– a un diamètre n et une bissection de 2 ,a un diamètre n et une bissection de 2 ,
– permet d’y plonger un anneau,permet d’y plonger un anneau,
– possède un routage simple et intuitif,possède un routage simple et intuitif,
– possède n plus courts chemins arêtes-disjoints.possède n plus courts chemins arêtes-disjoints.
nn
n–1n–1
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 116
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 117
L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• A ce moment, nous avons pour n nœuds :A ce moment, nous avons pour n nœuds :
– une dimension en log ( n ) ,une dimension en log ( n ) ,
– un degré en log ( n ) ,un degré en log ( n ) ,
– un diamètre en log ( n ) ,un diamètre en log ( n ) ,
– log ( n ) plus courts chemins arêtes-disjoints,log ( n ) plus courts chemins arêtes-disjoints,
– une bissection de n / 2 !une bissection de n / 2 !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 118
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L A N U M E R O T A T I O L A N U M E R O T A T I O NN
D A N SD A N S
L ’ H Y P E R C U B EL ’ H Y P E R C U B E
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 119
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La numérotation adéquate de l’hypercube est La numérotation adéquate de l’hypercube est essentielle à son fonctionnement.essentielle à son fonctionnement.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 120
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La numérotation adéquate de l’hypercube est La numérotation adéquate de l’hypercube est essentielle à son fonctionnement.essentielle à son fonctionnement.
• Elle est basée sur une écriture des nombres en base Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2 .2 .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 121
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La numérotation adéquate de l’hypercube est La numérotation adéquate de l’hypercube est essentielle à son fonctionnement.essentielle à son fonctionnement.
• Elle est basée sur une écriture des nombres en base Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2 .2 .
• Pour construire un hypercube numéroté de Pour construire un hypercube numéroté de dimension n :dimension n :
– nous partons de deux hypercubes numérotés de nous partons de deux hypercubes numérotés de dimension n–1 ,dimension n–1 ,
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 122
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La numérotation adéquate de l’hypercube est essentielle à La numérotation adéquate de l’hypercube est essentielle à son fonctionnement.son fonctionnement.
• Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2 .Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2 .
• Pour construire un hypercube numéroté de dimension n :Pour construire un hypercube numéroté de dimension n :
– nous partons de deux hypercubes numérotés de nous partons de deux hypercubes numérotés de dimension n–1 ,dimension n–1 ,
– pour l’un des cubes nous préfixons les nœuds d’un 0 ,pour l’un des cubes nous préfixons les nœuds d’un 0 ,
– pour l’autre cube, nous préfixons les nœuds d’un 1 ,pour l’autre cube, nous préfixons les nœuds d’un 1 ,
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 123
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La numérotation adéquate de l’hypercube est essentielle à son La numérotation adéquate de l’hypercube est essentielle à son fonctionnement.fonctionnement.
• Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2 .Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2 .
• Pour construire un hypercube numéroté de dimension n :Pour construire un hypercube numéroté de dimension n :
– nous partons de deux hypercubes numérotés de dimension nous partons de deux hypercubes numérotés de dimension n–1 ,n–1 ,
– pour l’un des cubes nous préfixons les nœuds d’un 0 ,pour l’un des cubes nous préfixons les nœuds d’un 0 ,
– pour l’autre cube, nous préfixons les nœuds d’un 1 ,pour l’autre cube, nous préfixons les nœuds d’un 1 ,
– nous relions les nœuds qui ne diffèrent que dans leur chiffre nous relions les nœuds qui ne diffèrent que dans leur chiffre de poids fort ( dimension n ) !de poids fort ( dimension n ) !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 124
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 11
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 125
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 11
00 11
00 11 Deux hypercubesDeux hypercubeset leur numérotation !et leur numérotation !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 126
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 11
00 0 0 00 1 1
11 0 0 11 1 1 Deux hypercubesDeux hypercubeset leur numérotation !et leur numérotation !
Nous préfixonsNous préfixonsd’un 0 ou d’un 1 !d’un 0 ou d’un 1 !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 127
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 11
00 0 0 00 1 1
11 0 0 11 1 1 Deux hypercubesDeux hypercubeset leur numérotation !et leur numérotation !
Nous préfixonsNous préfixonsd’un 0 ou d’un 1 !d’un 0 ou d’un 1 !
Nous relions les nœudsNous relions les nœudsqui diffèrent enqui diffèrent en
dimension 1 seulement !dimension 1 seulement !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 128
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 0 0 00 1 1
11 0 0 11 1 1 Deux hypercubesDeux hypercubeset leur numérotation !et leur numérotation !
Nous préfixonsNous préfixonsd’un 0 ou d’un 1 !d’un 0 ou d’un 1 !
Nous relions les nœudsNous relions les nœudsqui diffèrent enqui diffèrent en
dimension 1 seulement !dimension 1 seulement !00 11
22 33
00 11
En décimal !En décimal !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 129
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Deux hypercubesDeux hypercubeset leur numérotation !et leur numérotation !
0 00 0 0 10 1
1 01 0 1 11 10 00 0 0 10 1
1 01 0 1 11 1
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 130
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0 0 0 00 0 0 0 0 10 1
0 0 1 01 0 0 0 1 11 11 1 0 00 0 11 0 1 0 1
1 1 1 01 0 1 1 1 11 1
Deux hypercubesDeux hypercubeset leur numérotation !et leur numérotation !
Nous préfixonsNous préfixonsd’un 0 ou d’un 1 !d’un 0 ou d’un 1 !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 131
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0 0 0 00 0 0 0 0 10 1
0 0 1 01 0 0 0 1 11 11 1 0 00 0 11 0 1 0 1
1 1 1 01 0 1 1 1 11 1
Deux hypercubesDeux hypercubeset leur numérotation !et leur numérotation !
Nous préfixonsNous préfixonsd’un 0 ou d’un 1 !d’un 0 ou d’un 1 !
Nous relions les nœudsNous relions les nœudsqui diffèrent enqui diffèrent en
dimension 1 seulement !dimension 1 seulement !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 132
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0 0 0 00 0 0 0 0 10 1
0 0 1 01 0 0 0 1 11 11 1 0 00 0 11 0 1 0 1
1 1 1 01 0 1 1 1 11 1
Deux hypercubesDeux hypercubeset leur numérotation !et leur numérotation !
Nous préfixonsNous préfixonsd’un 0 ou d’un 1 !d’un 0 ou d’un 1 !
Nous relions les nœudsNous relions les nœudsqui diffèrent enqui diffèrent en
dimension 1 seulement !dimension 1 seulement !
00
En décimal !En décimal !
11
22 33
44 55
66 77
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 133
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0 0 0 00 0 0 0 0 10 1
0 0 1 01 0 0 0 1 11 11 1 0 00 0 11 0 1 0 1
1 1 1 01 0 1 1 1 11 1Les liens deLes liens dedimension 3 !dimension 3 !
dim 3dim 3
Leurs écritures décimales diffèrent de 4 .Leurs écritures décimales diffèrent de 4 .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 134
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0 0 00 0 0 0 0 00 1 1
0 0 11 0 0 0 0 11 1 11 1 00 0 0 1 1 00 1 1
1 1 1 1 00 1 1 11 1 1Les liens deLes liens dedimension 2 !dimension 2 !
dim 2dim 2
dim 3dim 3
Leurs écritures décimales diffèrent de 2 .Leurs écritures décimales diffèrent de 2 .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 135
La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0 0 0 0 00 0 0 0 0 11
0 1 0 1 00 0 1 0 1 111 0 1 0 00 1 0 1 0 11
1 1 1 1 00 1 1 1 1 11Les liens deLes liens dedimension 1 !dimension 1 !
dim 2dim 2
dim 3dim 3
Leurs écritures décimales diffèrent de 1 .Leurs écritures décimales diffèrent de 1 .dim 1dim 1
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 136
L’anneau comme sous-grapheL’anneau comme sous-graphe----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L ’ A N N E A UL ’ A N N E A U
C O M M EC O M M E
S O U S – G R A P H ES O U S – G R A P H E
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 137
L’anneau comme sous-grapheL’anneau comme sous-graphe----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 138
L’anneau comme sous-grapheL’anneau comme sous-graphe----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.
• Les nœuds voisins dans l’hypercube ne diffèrent que Les nœuds voisins dans l’hypercube ne diffèrent que dans une position binaire.dans une position binaire.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 139
L’anneau comme sous-grapheL’anneau comme sous-graphe----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.
• Les nœuds voisins dans l’hypercube ne diffèrent que Les nœuds voisins dans l’hypercube ne diffèrent que dans une position binaire.dans une position binaire.
• Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en changeant un seul bit à la fois.en changeant un seul bit à la fois.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 140
L’anneau comme sous-grapheL’anneau comme sous-graphe----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.
• Les nœuds voisins dans l’hypercube ne diffèrent que Les nœuds voisins dans l’hypercube ne diffèrent que dans une position binaire.dans une position binaire.
• Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en changeant un seul bit à la fois.en changeant un seul bit à la fois.
• C’est le code de Gray :C’est le code de Gray :
– Le code de Gray de base est constitué de 0 suivi Le code de Gray de base est constitué de 0 suivi de 1 .de 1 .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 141
L’anneau comme sous-grapheL’anneau comme sous-graphe----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.
• Les nœuds voisins dans l’hypercube ne diffèrent que dans Les nœuds voisins dans l’hypercube ne diffèrent que dans une position binaire.une position binaire.
• Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en changeant un seul bit à la fois.changeant un seul bit à la fois.
• C’est le code de Gray :C’est le code de Gray :
– Le code de Gray de base est constitué de 0 suivi de 1 .Le code de Gray de base est constitué de 0 suivi de 1 .
– Pour obtenir le code de Gray de longueur 2*n , il faut :Pour obtenir le code de Gray de longueur 2*n , il faut :
– le code de Gray de longueur n préfixé de 0 ,le code de Gray de longueur n préfixé de 0 ,
– le code de Gray de longueur n pris dans l’ordre inverse et le code de Gray de longueur n pris dans l’ordre inverse et préfixé de 1 .préfixé de 1 .
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 142
L’anneau comme sous-grapheL’anneau comme sous-graphe----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0011
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 143
L’anneau comme sous-grapheL’anneau comme sous-graphe----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0011
00 0 000 1 111 1 111 0 0
0 00 0 0 10 1
1 01 0 1 11 1
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 144
L’anneau comme sous-grapheL’anneau comme sous-graphe----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0011
00 0 000 1 111 1 111 0 0
0 0 0 00 000 0 10 100 1 11 100 1 01 01 1 1 01 011 1 11 111 0 10 111 0 00 0
0 00 0 0 10 1
1 01 0 1 11 1
0 0 00 0 0 0 0 10 0 1
0 1 00 1 0 0 1 10 1 11 0 01 0 0 1 0 11 0 1
1 1 01 1 0 1 1 11 1 1
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 145
L’anneau comme sous-grapheL’anneau comme sous-graphe----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0011
00 0 000 1 111 1 111 0 0
0 0 0 00 000 0 10 100 1 11 100 1 01 01 1 1 01 011 1 11 111 0 10 111 0 00 0
0 00 0 0 10 1
1 01 0 1 11 1
0 0 00 0 0 0 0 10 0 1
0 1 00 1 0 0 1 10 1 11 0 01 0 0 1 0 11 0 1
1 1 01 1 0 1 1 11 1 1
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 146
Les chemins arêtes-disjointsLes chemins arêtes-disjoints----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L E SL E S
C H E M I N SC H E M I N S
A R E T E S - D I S J O I N T A R E T E S - D I S J O I N T SS
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 147
Les chemins arêtes-disjointsLes chemins arêtes-disjoints----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Il y a n plus courtsIl y a n plus courtschemins arêtes-jointschemins arêtes-joints
pour aller vers un autrepour aller vers un autrenœud à distance n !nœud à distance n !
Distance 1 Distance 1
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 148
Les chemins arêtes-disjointsLes chemins arêtes-disjoints----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Il y a n plus courtsIl y a n plus courtschemins arêtes-jointschemins arêtes-joints
pour aller vers un autrepour aller vers un autrenœud à distance n !nœud à distance n !
Distance 2 Distance 2
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 149
Les chemins arêtes-disjointsLes chemins arêtes-disjoints----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Il y a n plus courtsIl y a n plus courtschemins arêtes-jointschemins arêtes-joints
pour aller vers un autrepour aller vers un autrenœud à distance n !nœud à distance n !
Distance 3 Distance 3
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 150
Les chemins arêtes-disjointsLes chemins arêtes-disjoints----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Il y a n plus courtsIl y a n plus courtschemins arêtes-jointschemins arêtes-joints
pour aller vers un autrepour aller vers un autrenœud à distance n !nœud à distance n !
Distance 3 Distance 3
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 151
Les chemins arêtes-disjointsLes chemins arêtes-disjoints----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Il y a n plus courtsIl y a n plus courtschemins arêtes-jointschemins arêtes-joints
pour aller vers un autrepour aller vers un autrenœud à distance n !nœud à distance n !
Distance 3 Distance 3
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 152
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
C O M M E N TC O M M E N T
D I F F U S E RD I F F U S E R
E F F I C A C E M E N E F F I C A C E M E N T ? ?T ? ?
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 153
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La diffusion d’information est une opération La diffusion d’information est une opération fréquente lors de calculs parallèles.fréquente lors de calculs parallèles.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 154
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La diffusion d’information est une opération La diffusion d’information est une opération fréquente lors de calculs parallèles.fréquente lors de calculs parallèles.
• L’hypercube permet de faire des diffusions très L’hypercube permet de faire des diffusions très efficaces. efficaces.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 155
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La diffusion d’information est une opération La diffusion d’information est une opération fréquente lors de calculs parallèles.fréquente lors de calculs parallèles.
• L’hypercube permet de faire des diffusions très L’hypercube permet de faire des diffusions très efficaces. efficaces.
• Nous diffusons le long des différentes dimensions et Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !informés !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 156
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La diffusion d’information est une opération La diffusion d’information est une opération fréquente lors de calculs parallèles.fréquente lors de calculs parallèles.
• L’hypercube permet de faire des diffusions très L’hypercube permet de faire des diffusions très efficaces. efficaces.
• Nous diffusons le long des différentes dimensions et Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !informés !
Au début unAu début unseul nœudseul nœudconnaît laconnaît lavaleur v !valeur v !
vv
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 157
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La diffusion d’information est une opération La diffusion d’information est une opération fréquente lors de calculs parallèles.fréquente lors de calculs parallèles.
• L’hypercube permet de faire des diffusions très L’hypercube permet de faire des diffusions très efficaces. efficaces.
• Nous diffusons le long des différentes dimensions et Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !informés !
Après diffusionAprès diffusionen dimension 1en dimension 1
ils sont 2 àils sont 2 àconnaître v !connaître v !
vv vv
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 158
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La diffusion d’information est une opération La diffusion d’information est une opération fréquente lors de calculs parallèles.fréquente lors de calculs parallèles.
• L’hypercube permet de faire des diffusions très L’hypercube permet de faire des diffusions très efficaces. efficaces.
• Nous diffusons le long des différentes dimensions et Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !informés !
Après diffusionAprès diffusionen dimension 2en dimension 2
ils sont 4 àils sont 4 àconnaître v !connaître v !
vv vv
vv vv
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 159
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La diffusion d’information est une opération La diffusion d’information est une opération fréquente lors de calculs parallèles.fréquente lors de calculs parallèles.
• L’hypercube permet de faire des diffusions très L’hypercube permet de faire des diffusions très efficaces. efficaces.
• Nous diffusons le long des différentes dimensions et Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !informés !
Après diffusionAprès diffusionen dimension 3en dimension 3
tous connaissenttous connaissentla valeur v !la valeur v !
vv vv
vv vv
vv vv
vv vv
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 160
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La diffusion d’information est une opération La diffusion d’information est une opération fréquente lors de calculs parallèles.fréquente lors de calculs parallèles.
• L’hypercube permet de faire des diffusions très L’hypercube permet de faire des diffusions très efficaces. efficaces.
• Nous diffusons le long des différentes dimensions et Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !informés !
Après diffusionAprès diffusionen dimension 3en dimension 3
tous connaissenttous connaissentla valeur v !la valeur v !
vv
Pour nPour nnœuds lenœuds letemps esttemps esten log ( n ) .en log ( n ) .
vv
vv vv
vv vv
vv vv
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 161
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• De la même manière, nous pouvons calculer la De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 162
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• De la même manière, nous pouvons calculer la De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.
• Nous échangeons et sommons en parallèle le long Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions !des différentes dimensions !
55 77
33 66
88 22
11 44
Au début chaqueAu début chaquenœud possèdenœud possède
une valeur !une valeur !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 163
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• De la même manière, nous pouvons calculer la De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.
• Nous échangeons et sommons en parallèle le long Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions !des différentes dimensions !
1212 1212
99 99
1010 1010
55 55
Après échangeAprès échangeet sommationet sommation
en dimension 1 !en dimension 1 !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 164
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• De la même manière, nous pouvons calculer la De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.
• Nous échangeons et sommons en parallèle le long Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions !des différentes dimensions !
2121 2121
2121 2121
1515 1515
1515 1515
Après échangeAprès échangeet sommationet sommation
en dimension 2 !en dimension 2 !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 165
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• De la même manière, nous pouvons calculer la De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.
• Nous échangeons et sommons en parallèle le long Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions !des différentes dimensions !
3636 3636
3636 3636
3636 3636
3636 3636
Après échangeAprès échangeet sommationet sommation
en dimension 3 !en dimension 3 !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 166
La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 167
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L EL E
G R A P H E D EG R A P H E D E
D E B R U I J ND E B R U I J N
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 168
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 169
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.
• Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b .en base b .
( x , . . . , x ) avec x ( x , . . . , x ) avec x { 0 , . . . , { 0 , . . . , b–1 } b–1 }
11 dd ii
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 170
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.
• Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b .en base b .
( x , . . . , x ) avec x ( x , . . . , x ) avec x { 0 , . . . , { 0 , . . . , b–1 } b–1 }
• Le graphe DB ( b , d ) a les caractéristiques Le graphe DB ( b , d ) a les caractéristiques suivantes :suivantes :
– Il possède b nœuds.Il possède b nœuds.
11 dd ii
dd
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 171
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.
• Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b .en base b .
( x , . . . , x ) avec x ( x , . . . , x ) avec x { 0 , . . . , { 0 , . . . , b–1 } b–1 }
• Le graphe DB ( b , d ) a les caractéristiques suivantes Le graphe DB ( b , d ) a les caractéristiques suivantes ::
– Il possède b nœuds.Il possède b nœuds.
– Son diamètre vaut d .Son diamètre vaut d .
11 dd ii
dd
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 172
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.
• Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b . b .
( x , . . . , x ) avec x ( x , . . . , x ) avec x { 0 , . . . , b–1 } { 0 , . . . , b–1 }
• Le graphe DB ( b , d ) a les caractéristiques suivantes :Le graphe DB ( b , d ) a les caractéristiques suivantes :
– Il possède b nœuds.Il possède b nœuds.
– Son diamètre vaut d .Son diamètre vaut d .
– Chaque sommet est de degré 2 * b avec b arcs Chaque sommet est de degré 2 * b avec b arcs entrants et b arcs sortants.entrants et b arcs sortants.
11 dd ii
dd
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 173
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables.conservant des degrés et diamètres raisonnables.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 174
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables.conservant des degrés et diamètres raisonnables.
• Soit l’hypercube de dimension 12 qui possède 4096 Soit l’hypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 ! nœuds de degré 12 !
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 175
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables.conservant des degrés et diamètres raisonnables.
• Soit l’hypercube de dimension 12 qui possède 4096 Soit l’hypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 ! nœuds de degré 12 !
• Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le même diamètre est :même diamètre est : DB ( 6 , 12 )DB ( 6 , 12 )
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 176
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables.conservant des degrés et diamètres raisonnables.
• Soit l’hypercube de dimension 12 qui possède 4096 Soit l’hypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 ! nœuds de degré 12 !
• Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le même diamètre est :même diamètre est : DB ( 6 , 12 )DB ( 6 , 12 )
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 177
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables.conservant des degrés et diamètres raisonnables.
• Soit l’hypercube de dimension 12 qui possède 4096 Soit l’hypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 ! nœuds de degré 12 !
• Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le même diamètre est :même diamètre est : DB ( 6 , 12 )DB ( 6 , 12 )
DB ( 4 , 10 ) est unDB ( 4 , 10 ) est ungraphe de degré 8graphe de degré 8et de diamètre 10 !et de diamètre 10 !
Le nombre de nœudsLe nombre de nœudsest 4^10 = 2^20 =est 4^10 = 2^20 =1 048 5761 048 576
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 178
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Les b arcs sortants du nœudLes b arcs sortants du nœud
( x , x , . . . , x )( x , x , . . . , x )
vont vers les nœudsvont vers les nœuds
( x , . . . , x , y ) avec y ( x , . . . , x , y ) avec y { 0 , . . . , b–1 }{ 0 , . . . , b–1 }
11
22
dd22
dd
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 179
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Les b arcs sortants du nœudLes b arcs sortants du nœud
( x , x , . . . , x )( x , x , . . . , x )
vont vers les nœudsvont vers les nœuds
( x , . . . , x , y ) avec y ( x , . . . , x , y ) avec y { 0 , . . . , b–1 }{ 0 , . . . , b–1 }
11
22
dd22
dd
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 180
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Les b arcs sortants du nœudLes b arcs sortants du nœud
( x , x , . . . , x )( x , x , . . . , x )
vont vers les nœudsvont vers les nœuds
( x , . . . , x , y ) avec y ( x , . . . , x , y ) avec y { 0 , . . . , b–1 } { 0 , . . . , b–1 }
• Et donc, les b arcs entrants du nœudEt donc, les b arcs entrants du nœud
( x , . . . , x , x )( x , . . . , x , x )
proviennent des nœudsproviennent des nœuds
( y , x , . . . , x ) avec y ( y , x , . . . , x ) avec y { 0 , . . . , b–1 } { 0 , . . . , b–1 }
11
22
dd22
dd
11 ddd–1d–1
11 d–1d–1
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 181
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Les b arcs sortants du nœudLes b arcs sortants du nœud
( x , x , . . . , x )( x , x , . . . , x )
vont vers les nœudsvont vers les nœuds
( x , . . . , x , y ) avec y ( x , . . . , x , y ) avec y { 0 , . . . , b–1 } { 0 , . . . , b–1 }
• Et donc, les b arcs entrants du nœudEt donc, les b arcs entrants du nœud
( x , . . . , x , x )( x , . . . , x , x )
proviennent des nœudsproviennent des nœuds
( y , x , . . . , x ) avec y ( y , x , . . . , x ) avec y { 0 , . . . , b–1 } { 0 , . . . , b–1 }
11
22
dd22
dd
11 ddd–1d–1
11 d–1d–1
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 182
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Q U E L Q U E SQ U E L Q U E S
E X E M P L E SE X E M P L E S
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 183
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 11
DB ( 2 , 1 )DB ( 2 , 1 )
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 184
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 11
DB ( 2 , 1 )DB ( 2 , 1 )
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 185
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 11
DB ( 2 , 1 )DB ( 2 , 1 )
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 186
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 11
DB ( 2 , 1 )DB ( 2 , 1 )
0000 1111
0101
1010
DB ( 2 , 2 )DB ( 2 , 2 )
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 187
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 11
DB ( 2 , 1 )DB ( 2 , 1 )
0000 1111
0101
1010
DB ( 2 , 2 )DB ( 2 , 2 )
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 188
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 11
DB ( 2 , 1 )DB ( 2 , 1 )
0000 1111
0101
1010
DB ( 2 , 2 )DB ( 2 , 2 )
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 189
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 11
DB ( 2 , 1 )DB ( 2 , 1 )
0000 1111
0101
1010
DB ( 2 , 2 )DB ( 2 , 2 )
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 190
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 11
DB ( 2 , 1 )DB ( 2 , 1 )
0000 1111
0101
1010
DB ( 2 , 2 )DB ( 2 , 2 )
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 191
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 11
DB ( 2 , 1 )DB ( 2 , 1 )
0000 1111
0101
1010
DB ( 2 , 2 )DB ( 2 , 2 )
DB ( 2 , 3 )DB ( 2 , 3 )
000000
001001
100100
111111
011011
110110
010010 101101
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 192
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 22
DB ( 3 , 1 )DB ( 3 , 1 )
11
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 193
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 22
DB ( 3 , 1 )DB ( 3 , 1 )
11
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 194
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 22
DB ( 3 , 1 )DB ( 3 , 1 )
11
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 195
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 22
DB ( 3 , 1 )DB ( 3 , 1 )
11
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 196
Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
00 22
DB ( 3 , 1 )DB ( 3 , 1 )
11
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 197
SynthèseSynthèse----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Quelques graphes particuliers.Quelques graphes particuliers.
21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 198
m E r C i e Tm E r C i e Tb O n N e J o U r N é b O n N e J o U r N é
E ! ! !E ! ! !
N ‘ o U b L i E z P a S N ‘ o U b L i E z P a S d Ed E
p R é P a R e R v O sp R é P a R e R v O sT D ! ! !T D ! ! !