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Meccanica2018-2019
Cinematica del punto materiale
Cinematica del punto materiale
Moto nei pressi della superficie terrestre
x
yy
a gu= −� �
xu�
yu�
O
0v�
0θ
Gx
2
00sin(2 )G
vx
gθ=
Gittata massima:0 Max( ) 45
4
πθ = = °2
0Max( )
G
vx
g=
Gittata:
0 0( ) ( cos )x t v tθ=2
0 0
1( ) ( sin )
2y t v t gtθ= −
Equazione del moto:
2
0 2 2
0 0
( ) tan2 cos
gy x x x
vθ
θ= −
Traiettoria:
Cinematica del punto materiale
Moto nei pressi della superficie terrestre• Altezza massima ?
2
00
1sin(2 )
2M
vx
gθ =
420
02 2 2
0 0
sin (2 )2 cos 4
vg
v gθ
θ4
2 200 02 2 2
0 0
4sin cos2 cos 4
vg
v gθ θ
θ2 2
2 20 00 0
1sin sin
2
v v
g gθ θ= −
220
0
1sin
2
v
gθ=
)( MM xyy =
2
00sin(2 )G
vx
gθ=
2
0 2 2
0 0
( ) (tan )2 cos
gy x x x
vθ
θ= −Traiettoria:
2
0Max( )
2M
vy
g=Per quale si ha massima altezza?0θ
2
00 0tan sin(2 )
2M
vy
gθ θ= −
2
0 00 0
0
sin2sin cos
2 cos
v
g
θ θ θθ
= −
x
y
O Gx
Simmetria della parabola rispetto all’asse
Mx
My V
02
πθ = (verticale)
Cinematica del punto materiale
Moto nei pressi della superficie terrestre• Altezza massima ?
Coordinate del vertice(parabola con asse verticale):
2
0
2 2
0 0
tan
4
2 cos
Myg
v
θ
θ
= − −
2 22 0 0
0
2 costan
4
v
g
θθ=
220
0sin2
M
vy
gθ= Altezza massima
lungo la traiettoria
2
02 2
0 0
( ) (tan )2 cos
gy x x x
vθ
θ= − +Traiettoria:
x
y
O Gx
Mx
My V2
y ax bx c= + +2 4
,2 4
b b acV
a a
−= − −
My=
x
y
Cinematica del punto materiale
Moto nei pressi della superficie terrestre• Tempo di volo ?
=)(tv� 0 0cos
xv v θ=
0 0siny
v v gtθ= −
GG
x
xt
v=
00
2sinG
vt
gθ=
2
00
0 0
1sin(2 )
cosG
vt
g vθ
θ=
• Velocità finale ?
0 0( ) cosx Gv t v θ=
0 0( ) siny G G
v t v gtθ= −
00 0 0
2sin sin
vv g
gθ θ= −
0 0sinv θ= −
0( ) ( )x G x
v t v t=
0( ) ( )y G y
v t v t= −
Moto rettilineouniforme
Rispetto alla velocità iniziale?
Tempo impiegato dalla componentea raggiungere la gittata :
x
Gx
tempo = distanza/velocità
O Gx
Massimo tempo di voloper
0max
2vt
g=
0 / 2θ π=
2
00sin(2 )
G
vx
gθ=
0v�
Moto parabolico
Massima altezza:g
vxM
2
2
2
1=2
200
1sin
2M
vy
gθ=
Tempo totale:g
vttot
22= 00
2sin
G
vt
gθ=
Velocità finale 2)( vtv tot −= 0( ) ( )x G x
v t v t=
0( ) ( )y G yv t v t= −
Moto verticale
x
x
yM
x
My
Gx
0v�
0θ2v
ya g gu= = −� � �
Moto nei pressi della superficie terrestrePunto materiale lanciato in direzione orizzontale da altezza h
Stesso problema, condizioni iniziali diverse: 0)0( =x hy =)0(
0)0( vvx = 0)0( =yv
Traiettoria: ( )y x
0v
xt = 2
2
0
1( )
2
gy x h x
v= −
Tempo di caduta: ( ) 0y t =
02
1 2 =− gthg
htc
2=
cG tvx 0=
Velocità finale (modulo):
( ) 2y c
v t gh= −0)( vtv cx =ghvvc 22
0 +=
Gittata: ( )c
x t
g
hv
20=
parabola
x
y
xu�
yu�
O
0v�
h
ygu− �
0( )y
v t v gtu= −� � �
Velocità:0)( vtvx =
gttvy −=)(
0( )x t v t=Equazioni del moto:
2
2
1)( gthty −=( )r t
�
(rettilineo uniforme)
(uniformementeaccelerato)
2
1 2c
v v gh= +Velocitàfinale(modulo) ghvc 2=
g
htc
2=
Lancio orizzontale
Caduta libera
ghvvc 22
0 +=
y
x
yy
g
htc
2=g
h
g
v
g
vtc
22
2
11 ++−=Tempo di caduta
La velocità iniziale si somma in quadratura con la velocità prodotta da g
0v�
1v−
Il moto proiettato sull’asse verticale coincide con una caduta libera
Stesso tempo di caduta:
1inizialev v= − 0inizialev = 0inizialev v=
« Un proietto, mentre si muove di moto compostodi un moto orizzontale equabile e di un moto […] naturalmente accelerato, descrive nel suo movimento una linea semiparabolica »
Galileo Galilei, 1608
Cinematica del punto materiale
Moto relativo nel pianoConsideriamo due punti P1 e P2 in moto lungo due traiettorie nel piano
x
y1P
2P2r�
yx utyutxtr���
)()()( 222 +=1r� yx utyutxtr
���
)()()( 111 +=
Posizione di P1 e P2 in ogni istante rispetto al sistema di riferimento O:
yx uyyuxx��
)()( 1212 −+−=
)()( 12 tvtv�� −=
Velocità relativa di P2 rispetto a P1
dt
trdtv
)()(
2,1
2,1
�
� =dt
trd
dt
trd )()( 12
��
−=
)()( 12 tata�� −=
Accelerazione relativa di P2 rispetto a P1
dt
tvdta
)()(
2,1
2,1
�
� =dt
tvd
dt
tvd )()( 12
��
−=
xu�
yu�
O
Posizione relativa di P2 rispetto a P1
)()()( 122,1 trtrtr��� −=
1,2r�
1,2 2 1v v v= −� � �
Velocità relativa di P2 rispetto a P1
2v�
1v�
y
Combinazione di due moti rettilinei uniformi
x
2v�
1v�
x
y1v−�
1,2v�
P1
P2
Cinematica del punto materiale
Moto nello spazioIl moto lungo una traiettoria tridimensionale si può rappresentare con le sue componenti lungo x(t), y(t), z(t)
zyx udt
dzu
dt
dyu
dt
dx ��� ++=
zzyyxx uvuvuv��� ++=
zz
y
y
xx u
dt
dvu
dt
dvu
dt
dv ��� ++=
zzyyxx uauaua��� ++=
+=t
tdttvrtr
0
)( )( 0
���
x
y
z
O
)( ta�
+=t
tdttavtv
0
)()( 0
���
Inversamente, integrando sulle 3 componenti x, y, z:
dt
vdta
�
� =)(
Accelerazione
a�
dt
rdtv
�
� =)(
Velocità
v�
moto rettilineo( ), ( ), ( )x t y t z t
zyx utzutyutxtr����
)()()()( ++=Posizione
r�
xu�
yu�
zu�
Dinamica del punto materiale
• Quali sono le cause del movimento?• Che cosa fa sì che il moto sia di un determinato tipo?
dinamica del punto A quali condizioni, in un dato sistema di riferimento,
il punto resta in quiete? (eqiulibrio statico)
Moto Interazione del punto materiale con l’ambiente circostante
Un corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme a meno che non intervenga una forza esterna a modificare il suo stato
Principio d’inerzia
PRESENZA DI “FORZE ESTERNE”
VARIAZIONE DELLA VELOCITA’
accelerazione forza
Dinamica del punto materiale
Principio d’inerzia
« E da quell'impeto è mosso il sasso dopo che il motore ha cessato di muovere. Ma a causa della resistenza dell' aria e della gravità del sasso, che inclina in una direzione contraria a quella verso cui l'impeto muove, quell'impeto si indebolisce continuamente. » Marshall Clagett, La scienza della meccanica nel medioevo
Feltrinelli 1972, pp. 595-596
Giovanni Buridano (1290 – 1358)
Teoria dell'impeto: un corpo in movimento possiede un impetoche lo porta a proseguire il suo moto in assenza di forze esterne
• Qualsiasi oggetto in movimento tende a rallentare fino a fermarsi, a meno che non venga spinto a continuare il suo movimento.
• Corpo lanciato? Un «vortice dell’aria» mantiene il suo movimento
“Fisica”
Aristotele (384-322 a.C.)
Lo stato naturale dei corpi è la quiete
(in senso “assoluto”: rispetto alla Terra)
« Possiamo dunque e dobbiamo dire che al sasso o a un altro proietto viene impressa una tale cosa, la quale è la virtù motrice di quel proietto, e ciò pare meglio che ricorrere all‘azione dell‘aria per far muovere il proietto. Pare infatti piuttosto che l' aria resista al moto. […] »
“Principio di inerzia”
Questo « deve intendersi in assenza di tutti gli impedimenti esterni e accidentari » … e che gli oggetti in movimento siano:« immuni da ogni resistenza esterna: il che essendo forse impossibile trovare nella materia, non si meravigli taluno, che faccia prove del genere, se rimanga deluso dall'esperienza. »
Galileo Galilei
“Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove
scienze attenenti alla mecanica et i movimenti locali” (1638)
“ Il Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo” (1632)
Dinamica del punto materiale
Principio d’inerzia
Enunciazione formale:
« Lex Prima: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. »
Isaac Newton
“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687)
« Il mobile durasse a muoversi tanto quanto durasse la lunghezza di quella superficie, né erta né china. Se tale spazio fusse interminato, il moto in esso sarebbe parimenti senza termine, cioè perpetuo. »
PRESENZA DI “FORZE ESTERNE”
VARIAZIONE DELLA VELOCITA’
accelerazione forza
Dinamica del punto materiale
Principio d’inerzia
segnala la presenza di una forza che agisce sul punto materialeMoto accelerato: variazione di velocità in modulo e/o direzione
P
)(tθ
R
v
O
Esempio: Moto circolare uniforme
E’ necessaria una forza diretta verso il centro per mantenere il punto materiale nella traiettoria circolare
a�
RR
vaN
22
ω==
Accelerazione:
0=Ta
Un corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme a meno che non intervenga una forza esterna a modificare il suo stato (I Legge di Newton)
Dinamica del punto materiale
II Legge di NewtonLegame fra forza e accelerazione: formulazione quantitativa
amF�
�
=
Punto “materiale”: La massa m è essenziale per descrivere la dinamica del moto
m
Fa
�
� = Note forza e massa, possiamo trovare l’accelerazione
amF�
�
=dt
vdm
�
=2
2
dt
rdm
�
= Legge fondamentale delladinamica del punto
a
F
a
Fm ==�
�
Note forza e accelerazione possiamo trovare m
Forza e massa Accelerazione Leggi del moto
Definizione di forza e massa inerziale
AccelerazioneForza Quantità vettoriale diretta come
l’accelerazione (resistenza alla variazione del moto)Massa inerziale
kg][ →massa 2s m kg][ −→forza N≡ NewtonUnità di misura (SI):
Dinamica del punto materiale
III Legge di Newton
Il corpo A esercita una forza sul corpo B
Consideriamo DUE corpi A e B
Il corpo B “reagisce” esercitando una forza uguale e
contraria sul corpo A
ABBA FF ,,
��
−=Quantitativamente:
• Le forze non agiscono mai isolatamente, ma a coppie• L’interazione a due corpi è sempre “reciproca”
“Principio di azione e reazione”
Forza attrattiva
,A BF�
,B AF�
A
B
Forza repulsiva
,A BF�
,B AF�
A
B
Legge fondamentale della dinamica (II legge di Newton)
amF�
�
=2
2
dt
rdm
�
=
Nota la forza possiamo determinare l’equazione del moto
Dal movimento (accelerazione) risaliamo alla forza che lo produce
Dinamica del punto materiale
Quantità di moto, impulsoDefiniamo la grandezza fisica
p mv≡� �
quantità di moto
Possiamo riscrivere la legge della dinamica come:
dt
vdmF
�
�
=dt
vmd )(�
=dt
pd�
=
Forma più generale (valida anche nel caso relativistico)
L’applicazione di una forza determina una variazione della quantità di moto
0p p= −� �
p�∆=
0 0
( )t p
t pF t dt dp=
�
�
�
�
Integriamo in un intervallo finito di tempo:
≡J�
Impulso della forza )( 0vvm�� −=
J p= ∆�
�
“Teorema dell’impulso”
( )F t dt dp=�
�
Azione della forza in un intervallo infinitesimo di tempo
In generale la forza varia nel tempo: ( )F F t=� �
(Per una forza costante )J = F t∆� �