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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
2016年度秋学期 画像情報処理
浅野 晃 関西大学総合情報学部
Radon変換と投影定理第13回
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
CTスキャナとは
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2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
CTスキャナとは
CT(computed tomography) = 計算断層撮影法
http://www.toshiba-medical.co.jp/tmd/products/ct/aquilion_oneVision/
体の周囲からX線撮影を行い,そのデータから断面像を計算で求める
CTスキャナの例(略)
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2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
CTを実現するには
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
ある方向からX線を照射し,その方向での吸収率(投影)を調べる
すべての方向からの投影がわかれば,元の物体における吸収率分布がわかる
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2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影とは
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
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2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影とは
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
X線が入射
![Page 8: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/8.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影とは
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
X線がある直線に沿って物体を通過するとき,直線上の各点で吸収される
X線が入射
![Page 9: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/9.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影とは
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
X線がある直線に沿って物体を通過するとき,直線上の各点で吸収される
通過したX線の量は,入射した量に吸収率の積分(線積分)をかけたものになっている
X線が入射
![Page 10: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/10.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影とは
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
X線がある直線に沿って物体を通過するとき,直線上の各点で吸収される
通過したX線の量は,入射した量に吸収率の積分(線積分)をかけたものになっている
X線が入射
![Page 11: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/11.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影とは
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
X線がある直線に沿って物体を通過するとき,直線上の各点で吸収される
通過したX線の量は,入射した量に吸収率の積分(線積分)をかけたものになっている
X線が入射
![Page 12: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/12.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影とは
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
X線がある直線に沿って物体を通過するとき,直線上の各点で吸収される
通過したX線の量は,入射した量に吸収率の積分(線積分)をかけたものになっている
X線が入射
投影=吸収率の線積分直線上の吸収率の合計であって,どの点で吸収されたかはわからない
![Page 13: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/13.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radonの示した定理
2次元関数の任意の点での値は
x
y
f(x, y)
![Page 14: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/14.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radonの示した定理
2次元関数の任意の点での値は
その点を通るすべての投影(線積分)がわかれば求められる
x
y
f(x, y)
![Page 15: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/15.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radonの示した定理
2次元関数の任意の点での値は
その点を通るすべての投影(線積分)がわかれば求められる
x
y
f(x, y)
![Page 16: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/16.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radonの示した定理
2次元関数の任意の点での値は
その点を通るすべての投影(線積分)がわかれば求められる
x
y
f(x, y)
![Page 17: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/17.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radonの示した定理
2次元関数の任意の点での値は
その点を通るすべての投影(線積分)がわかれば求められる
x
y
f(x, y)
![Page 18: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/18.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radonの示した定理
2次元関数の任意の点での値は
その点を通るすべての投影(線積分)がわかれば求められる
x
y
f(x, y)
![Page 19: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/19.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radonの示した定理
2次元関数の任意の点での値は
その点を通るすべての投影(線積分)がわかれば求められる
x
y
f(x, y)
どうやって求めるかは,あとで説明します。
![Page 20: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/20.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
各方向からの投影のしかた
![Page 21: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/21.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
各方向からの投影のしかた理論上はこんなふうに考える
X線源
検出器
回転
回転
物体
![Page 22: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/22.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
各方向からの投影のしかた理論上はこんなふうに考える
X線源
検出器
回転
回転
物体
X線源
検出器
回転
回転
物体
実際はこのようにX線を当てる
![Page 23: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/23.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
各方向からの投影のしかた理論上はこんなふうに考える
X線源
検出器
回転
回転
物体
X線源
検出器
回転
回転
物体
実際はこのようにX線を当てる
物体の1点について考えれば,投影する順番が異なるだけで,各方向の投影が得られるのは同じ
![Page 24: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/24.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
![Page 25: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/25.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
![Page 26: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/26.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上では
![Page 27: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/27.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上ではy
x= tan(θ +
π
2) =
− cos θ
sin θ
![Page 28: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/28.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上ではy
x= tan(θ +
π
2) =
− cos θ
sin θ
つまり
![Page 29: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/29.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上ではy
x= tan(θ +
π
2) =
− cos θ
sin θ
x cos θ + y sin θ = 0
つまり
![Page 30: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/30.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上ではy
x= tan(θ +
π
2) =
− cos θ
sin θ
x cos θ + y sin θ = 0
つまり
この線上だけを積分する
![Page 31: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/31.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上ではy
x= tan(θ +
π
2) =
− cos θ
sin θ
x cos θ + y sin θ = 0
つまり
この線上だけを積分する
→この式を満たす点だけを 積分する
![Page 32: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/32.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上ではy
x= tan(θ +
π
2) =
− cos θ
sin θ
x cos θ + y sin θ = 0
つまり
この線上だけを積分する
→この式を満たす点だけを 積分する
( )
g(0, θ) =
∫∫ ∞
−∞f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy
![Page 33: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/33.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上ではy
x= tan(θ +
π
2) =
− cos θ
sin θ
x cos θ + y sin θ = 0
つまり
この線上だけを積分する
→この式を満たす点だけを 積分する
( )
g(0, θ) =
∫∫ ∞
−∞f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy
デルタ関数で表せる
![Page 34: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/34.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディラックのデルタ関数δ(x)
x = 0 の1点以外 すべてゼロ
δ(x) = 0 (x ̸= 0),
∫ ∞
−∞δ(x)dx = 1
x = 0 をはさんで積分すると1
0 x
こんなふうに 表さざるを得ない
高さは,何だともいえない ∫ ∞
−∞kδ(x)dx = k
(「無限」でもない。なぜなら→
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2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上ではy
x= tan(θ +
π
2) =
− cos θ
sin θ
x cos θ + y sin θ = 0
つまり
この線上だけを積分する
→この式を満たす点だけを 積分する
( )
g(0, θ) =
∫∫ ∞
−∞f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy
デルタ関数で表せる
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2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
![Page 37: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/37.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換g(s,θ)は?
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
![Page 38: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/38.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換g(s,θ)は?
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上では
![Page 39: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/39.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換g(s,θ)は?
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上ではx cos θ + y sin θ − s = 0
![Page 40: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/40.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換g(s,θ)は?
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上ではx cos θ + y sin θ − s = 0
![Page 41: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/41.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換g(s,θ)は?
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上ではx cos θ + y sin θ − s = 0
g(s, θ) =
∫∫ ∞
−∞f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
![Page 42: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/42.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
Radon変換g(s,θ)は?
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上では
Radon変換
x cos θ + y sin θ − s = 0
g(s, θ) =
∫∫ ∞
−∞f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
![Page 43: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/43.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ray-sum投影を1次元の線積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
![Page 44: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/44.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ray-sum投影を1次元の線積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
(x, y)と(s, u)の関係は θ の回転
![Page 45: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/45.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ray-sum投影を1次元の線積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
(x, y)と(s, u)の関係は θ の回転
(s
u
)=
(cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(x
y
)
(x
y
)=
(cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)(s
u
)
![Page 46: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/46.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ray-sum投影を1次元の線積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
(x, y)と(s, u)の関係は θ の回転
(s
u
)=
(cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(x
y
)
(x
y
)=
(cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)(s
u
)
(x, y)を(s, u)で表す
![Page 47: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/47.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ray-sum投影を1次元の線積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
(x, y)と(s, u)の関係は θ の回転
(s
u
)=
(cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(x
y
)
(x
y
)=
(cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)(s
u
)
g(s, θ) =
∫ ∞
−∞f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du
(x, y)を(s, u)で表す
![Page 48: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/48.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ray-sum投影を1次元の線積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上ではsが一定で uが変化
(x, y)と(s, u)の関係は θ の回転
(s
u
)=
(cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(x
y
)
(x
y
)=
(cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)(s
u
)
g(s, θ) =
∫ ∞
−∞f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du
(x, y)を(s, u)で表す
![Page 49: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/49.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ray-sum投影を1次元の線積分で表す
x
y
θ
s
軸s
g(s, θ)
u
物体
投影
0
g(0,
θ)
s
この線上ではsが一定で uが変化
ray-sum
(x, y)と(s, u)の関係は θ の回転
(s
u
)=
(cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(x
y
)
(x
y
)=
(cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)(s
u
)
g(s, θ) =
∫ ∞
−∞f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du
(x, y)を(s, u)で表す
![Page 50: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/50.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理投影群から2次元関数を再構成する
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
![Page 51: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/51.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理投影群から2次元関数を再構成する
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
![Page 52: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/52.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理投影群から2次元関数を再構成する
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
![Page 53: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/53.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理投影群から2次元関数を再構成する
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
![Page 54: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/54.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理投影群から2次元関数を再構成する
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
![Page 55: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/55.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理投影群から2次元関数を再構成する
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
「断面」がすべてそろえば,2次元逆フーリエ変換で2次元関数が再構成できる
![Page 56: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/56.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理の証明
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
Gθ(ξ) =
∫ ∞
−∞g(s, θ) exp(−i2πξs)ds
![Page 57: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/57.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理の証明
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
Gθ(ξ) =
∫ ∞
−∞g(s, θ) exp(−i2πξs)ds
![Page 58: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/58.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理の証明
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
Gθ(ξ) =
∫ ∞
−∞g(s, θ) exp(−i2πξs)ds
ray-sum
![Page 59: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/59.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理の証明
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
Gθ(ξ) =
∫ ∞
−∞g(s, θ) exp(−i2πξs)ds
g(s, θ) =
∫ ∞
−∞f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du
ray-sum
![Page 60: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/60.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理の証明Gθ(ξ) =
∫∫ ∞
−∞f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu
![Page 61: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/61.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理の証明Gθ(ξ) =
∫∫ ∞
−∞f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu
(x, y)と(s, u)の関係
(s
u
)=
(cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(x
y
)
(x
y
)=
(cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)(s
u
)
![Page 62: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/62.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理の証明Gθ(ξ) =
∫∫ ∞
−∞f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu
(x, y)と(s, u)の関係
(s
u
)=
(cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(x
y
)
(x
y
)=
(cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)(s
u
)
![Page 63: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/63.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理の証明Gθ(ξ) =
∫∫ ∞
−∞f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu
(x, y)と(s, u)の関係
(s
u
)=
(cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(x
y
)
(x
y
)=
(cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)(s
u
)
dxdy = dsdu
![Page 64: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/64.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理の証明Gθ(ξ) =
∫∫ ∞
−∞f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu
(x, y)と(s, u)の関係
(s
u
)=
(cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(x
y
)
(x
y
)=
(cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)(s
u
)
dxdy = dsdu
Gθ(ξ) =
∫∫ ∞
−∞f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∫∫ ∞
−∞f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x+ (ξ sin θ)y))dxdy
= F (ξ cos θ, ξ sin θ)
![Page 65: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/65.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理の証明Gθ(ξ) =
∫∫ ∞
−∞f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu
(x, y)と(s, u)の関係
(s
u
)=
(cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(x
y
)
(x
y
)=
(cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)(s
u
)
dxdy = dsdu
Gθ(ξ) =
∫∫ ∞
−∞f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∫∫ ∞
−∞f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x+ (ξ sin θ)y))dxdy
= F (ξ cos θ, ξ sin θ)
![Page 66: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/66.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
投影定理の証明Gθ(ξ) =
∫∫ ∞
−∞f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu
(x, y)と(s, u)の関係
(s
u
)=
(cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(x
y
)
(x
y
)=
(cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)(s
u
)
dxdy = dsdu
Gθ(ξ) =
∫∫ ∞
−∞f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∫∫ ∞
−∞f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x+ (ξ sin θ)y))dxdy
= F (ξ cos θ, ξ sin θ)
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2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
2次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
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2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
2次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
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2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
2次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
ひとつの投影=ひとつの断面
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2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
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, Kan
sai U
niv.
フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
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s
sg(s, θ)
u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
2次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
ひとつの投影=ひとつの断面
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2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
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, Kan
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
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s
sg(s, θ)
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物体
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物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
2次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
ひとつの投影=ひとつの断面
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2016年度秋学期 画像情報処理
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
fy
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断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
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s
sg(s, θ)
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物体
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物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
2次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
ひとつの投影=ひとつの断面
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2016年度秋学期 画像情報処理
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
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sg(s, θ)
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物体
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物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
2次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
fx
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ひとつの投影=ひとつの断面
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
fy
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断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
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sg(s, θ)
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物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
2次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
fx
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ひとつの投影=ひとつの断面
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A. A
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
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断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
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sg(s, θ)
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物体
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物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
2次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
fx
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ひとつの投影=ひとつの断面
有限個の投影では,2次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
fy
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断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
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sg(s, θ)
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物体
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物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
2次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
ひとつの投影=ひとつの断面
有限個の投影では,2次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない
→補間を行う
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A. A
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
fy
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断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
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u
物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
![Page 78: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/78.jpg)
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
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断面F(ξcosθ, ξsinθ)
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Gθ(ξ)
等しい
x
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物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
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2016年度秋学期 画像情報処理
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, Kan
sai U
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
fy
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断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
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物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
fx
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補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
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2016年度秋学期 画像情報処理
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, Kan
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
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断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
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物体
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物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
fx
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断面は極座標
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
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2016年度秋学期 画像情報処理
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
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断面F(ξcosθ, ξsinθ)
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等しい
x
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物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
fx
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断面は極座標
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
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2016年度秋学期 画像情報処理
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
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断面F(ξcosθ, ξsinθ)
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Gθ(ξ)
等しい
x
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物体
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物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
fx
fy
断面は極座標
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
2次元フーリエ変換は正方座標
![Page 83: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/83.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
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断面F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
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等しい
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物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
fx
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断面は極座標
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
2次元フーリエ変換は正方座標
![Page 84: 2016年度秋学期 画像情報処理 第13回 Radon変換と投影定理 (2017. 1. 12))](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013109/5870949b1a28ab412b8b63b1/html5/thumbnails/84.jpg)
2016年度秋学期 画像情報処理
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, Kan
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フーリエ変換法による再構成の問題
fxF(fx, fy)
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断面F(ξcosθ, ξsinθ)
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Gθ(ξ)
等しい
x
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物体
投影
物体の2次元フーリエ変換
投影の1次元フーリエ変換
fx
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断面は極座標
周波数空間の誤差は,画像全体にひろがるアーティファクトを生む
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
2次元フーリエ変換は正方座標