Download - 20 連続的な電荷分布 と電場okamoto/lectures/pub/6...20-2 直線上の電 荷分布による電場 •長さ L の棒に電荷 Q を与える. 棒の 中心から垂直に
20 連続的な電荷分布と電場
20-1 連続的な電荷分布による電場
•連続的に分布 → 密度を考える •長さ L の棒に電荷 Q を与えた場合 (一様に帯電)線電荷密度:
•面積 A の平面に電荷 Q を与えた場合 (一様に帯電)面電荷密度:
•電場は電荷を微小部分 ΔQ に分割し (19.16) から電場を計算し, 重ねあわせの原理から全電荷に渡って足し合わせ (積分) て求める
� =Q
L(20.1)
⇢ =Q
A(20.2)
20-2 直線上の電荷分布による電場•長さ L の棒に電荷 Q を与える. 棒の中心から垂直に x の距離での電場
•対称性から y 成分は 0
• x 成分�Ex
= �E cos ✓ =
1
4⇡✏0
�Q
r2cos ✓
r =
px
2+ y
2
cos ✓ =
x
r
(20.3)
�Q = ��y =Q
L
�y
�E
x
=1
4⇡✏0
x�y
(x2 + y
2)3/2Q
L
E
x
=X
�E
x
=1
4⇡✏0
Q
L
Xx�y
(x2 + y
2)3/2=
Q/L
4⇡✏0
ZL/2
�L/2
xdy
(x2 + y
2)3/2
Zdy
(y2 + a2)3/2=
1
a2y
(y2 + a2)1/2(20.4) を使って
電荷密度λが一定で棒が非常に長い場合: L → ∞
電場は棒からの距離 x に反比例
limL!1
E
x
=1
4⇡✏0lim
L!1
Q
x
px
2 + (L/2)2=
1
4⇡✏0lim
L!1
Q
xL
p(x/L)2 + 1/4
=1
4⇡✏0
�
x
limL!1
1p(x/L)2 + 1/4
=1
2⇡✏0
�
x
(20.6)
E
x
=1
4⇡✏0
Q
L
y
x(y2 + x
2)1/2
�L/2
�L/2
=1
4⇡✏0
Q
x
px
2 + (L/2)2(20.5)
20-3 平面上の電荷分布による電場•リング状の電荷分布による電場半径 r の輪が一様に帯電 (全電荷Q)
• (x, 0, 0) 上の電場: 対称性から y, z 成分は 0
�E
x
=
1
4⇡✏0
�Q
r
2+ x
2cos ✓ =
1
4⇡✏0
�Q
r
2+ x
2
x
(r
2+ x
2)
1/2
E
x
=
X�E
x
=
1
4⇡✏0
x
(r
2+ x
2)
3/2
X�Q =
Q
4⇡✏0
x
(r
2+ x
2)
3/2(20.7)
� =Q
2⇡r
E
x
=Q
4⇡✏0
x
(r2 + x
2)3/2=
�
2✏0
xr
(r2 + x
2)3/2
線電荷密度λを導入
円盤上の電荷分布•半径 R, 一様電荷密度 ρ の円盤が
(x, 0, 0) 上に作る電場
•半径 r, 幅 Δr のリングの作る電場 •円盤の作る電場 → この式を半径 0 から R まで積分
E
x
=⇢�r
2✏0
xr
(r2 + x
2)3/2
E
x
=
ZR
0dE
x
=⇢
2✏0
ZR
0
xr dr
(r2 + x
2)3/2
=⇢x
2✏0
h�(r2 + x
2)�1/2iR
0=
⇢x
2✏0
�(R2 + x
2)�1/2 +1
x
�
=⇢
2✏0
1� xp
R
2 + x
2
�(20.8)
for x ⌧ R, E
x
' ⇢
2✏0(20.9)
無限に広い平面による電場
•半径無限大の円盤を考える • • x に依存しない
• x < 0 の領域も含めると
R ! 1 ) Ex
=⇢
2✏0(20.10)
E
x
=
(⇢
2✏0(x > 0)
� ⇢
2✏0(x < 0)
(20.11)
20-4 球面上の電荷分布による電場
•球面に電荷が一様分布しているときの電場(全電荷 Q)
•球面より外側では球の中心に点電荷 Q がある場合と同じ(重力のときと一緒)
~E =1
4⇡✏0
Q
r2r, (20.12)
where r =~r
r
20-5 球面上の電荷分布による電場の導出
•図20-9のピンク色のリング状の電荷ΔQが作る電場を考える
•リング上の点の位置ベクトルを 電場を考える場所の位置ベクトルを
~R
~r
|~r � ~R| =q
(~r � ~R)
2=
q~r2 � 2~r · ~R+
~R2
=
pr2 � 2rR cos ✓ +R2
�Ex
=
1
4⇡✏0
�Q
r2 � rR cos ✓ +R2cos ✓0
cos ✓0 =r �R cos ✓p
r2 � 2rR cos ✓ +R2
全電荷を Q とすると
�Q =2⇡R sin ✓ R�✓
4⇡R2Q =
Q
2sin ✓�✓
�Ex
=
Q
8⇡✏0
(r �R cos ✓) sin ✓�✓
(r2 � 2rR cos ✓ +R2)
3/2
= � Q
8⇡✏0
d
dr
sin ✓�✓
(r2 � 2rR cos ✓ +R2)
1/2
Ex
= � Q
8⇡✏0
d
dr
Z⇡
0
sin ✓d✓
(r2 � 2rR cos ✓ +R2)
1/2
= � Q
8⇡✏0
d
dr
1
rR
pr2 � 2rR cos ✓ +R2
�⇡
0
= � Q
8⇡✏0
1
R
d
dr
"pr2 + 2rR+R2 �
pr2 � 2rR+R2
r
#
= � Q
8⇡✏0
1
R
d
dr
p(r +R)
2 �p
(r �R)
2
r
= � Q
8⇡✏0
1
R
d
dr
|r +R|� |r �R|r
(20.13)
全電荷を Q とすると
�Q =2⇡R sin ✓ R�✓
4⇡R2Q =
Q
2sin ✓�✓
�Ex
=
Q
8⇡✏0
(r �R cos ✓) sin ✓�✓
(r2 � 2rR cos ✓ +R2)
3/2
= � Q
8⇡✏0
d
dr
sin ✓�✓
(r2 � 2rR cos ✓ +R2)
1/2
Ex
= � Q
8⇡✏0
d
dr
Z⇡
0
sin ✓d✓
(r2 � 2rR cos ✓ +R2)
1/2
= � Q
8⇡✏0
d
dr
1
rR
pr2 � 2rR cos ✓ +R2
�⇡
0
= � Q
8⇡✏0
1
R
d
dr
"pr2 + 2rR+R2 �
pr2 � 2rR+R2
r
#
= � Q
8⇡✏0
1
R
d
dr
p(r +R)
2 �p
(r �R)
2
r
= � Q
8⇡✏0
1
R
d
dr
|r +R|� |r �R|r
(20.13)
Er =
(1
4⇡✏0Qr2 r > R (20.14)
0 r < R (20.15)
帯電した球による電場
•球面上だけではなく球内部に半径にしかよらない (球対称な) 電荷分布がある場合
•球を半径方向に Δr の球殻に分割
•中心に の電荷がある場合と同じ
Er =X 1
4⇡✏0
�Q
r2=
1
4⇡✏0r2
Z r
0⇢(R)dV
Q =
Z r
0⇢(R)dV = 4⇡
Z r
0R2⇢(R)dR (20.16)
20-6 一般的な電荷分布による電場
•電荷密度 ρ(x, y, z) の分布が与えられたとき, 体積素片 dV’=dx’dy’dz’ の電荷 dQ’ = ρ(x’, y’, z’) dV’ が (x, y, z) に作る電場
•解析的に積分可能な場合は限られる ⇒ 数値計算
d ~E(x, y, z) =1
4⇡✏0
dQ
|~r � ~r
0|2~r � ~r
0
|~r � ~r
0| (20.17)
~
E(x, y, z) =1
4⇡✏0
Z⇢(x0
, y
0, z
0)
|~r � ~r
0|2~r � ~r
0
|~r � ~r
0|dx0dy0dz0 (20.18)
20-7 平行板コンデンサ
•コンデンサ: 電荷を蓄積する電子部品 •面積 A の2つの電極に電荷密度 ρ と -ρ を与えた場合
•A が十分大きいとして (20.9)より~E =
⇢
✏0e (20.19)
e : 正の電極から負の電極に向かう 単位ベクトル
電極外では ~E = 0