Download - 2-simplesso
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Il Metodo del Simplesso
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2
PL in forma standard
PL in forma standard Min cx Ax = b x ≥ 0
⎧⎨⎪
⎩⎪
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3
PL in forma standard
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥=0xbAx
cx
- Min2PP1
Max cx Ax = b x ≥ 0
⎧⎨⎪
⎩⎪
cxcx - Min Max ≡
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Trasformazione di disequazioni lineari in equazioni lineari
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5
Variabili di slack
p xsi = variabile slack p Esempio :
3x1 - x2 + 2x3 ≤ 8 è 3x1 - x2 + 2x3 + xs = 8 se x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1 è xs = 1 se x1 = 3, x2 = 4, x3 = 0.5 è xs = 2
ij
n
1jij bxa ≤∑
=isij
n
1jij bxxa =+∑
=
j
n
1jiji xab ∑
=
−
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6
Se una varibile di slack, nella soluzione corrente, è n uguale a zero, allora questa soluzione si trova sulla
frontiera n maggiore di zero, la soluzione si trova nella regione
ammissibile n minore di zero indica che la soluzione è fuori dalla
regione ammissibile
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7
Variabile di surplus
p xsi = variabile di surplus
p Esempio : 3x1 - x2 + 2x3 ≥ 8 è 3x1 - x2 + 2x3 - xs = 8 se x1 = 3, x2 = 1, x3 = 1 è xs = 2
ij
n
1jij bxa ≥∑
=
0≥∑=
ij
n
1jij b-xa
isij
n
1jij bxxa =−∑
=
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8
Slack e Surplus
p Variabili di Slack/Surplus sono associate ad ogni vincolo
n Slack: quantità di risorsa non utilizzata vincolo: 1x + 2y ≤ 40, soluzione: x=10,y=5 slack: 40-10-2(5)=20
n Surplus: quantità di richiesta in eccesso vincolo: 1x + 2y ≥ 40, soluzione: x=10,y=20 surplus: 10+2(20)-40=10
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9
Idee risolutive (metodo del simplesso)
p Focalizzare l’attenzione esclusivamente sui vertici p Sviluppare una procedura iterativa:
1. Determinare un vertice iniziale 2. Verificare se il vertice è ottimo (Test di ottimalità) 3. Determinare un nuovo vertice
p Iniziare, quando possibile dal vertice (0,0) p Cercare vertici migliori a quello corrente tra i vertici
adiacenti (ricerca locale) identificando il tasso di miglioramento della funzione obiettivo muovendosi lungo uno spigolo
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10
Idee risolutive (ct.) p Quindi ... il test di ottimalità consiste nel verificare se
esiste uno spigolo per il quale, spostandosi lungo di esso, si produce un miglioramento della funzione obiettivo
p Tradurre la procedura in “linguaggio algebrico” , basata sulla risoluzione di sistemi di equazioni
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11
Soluzioni di Base (Vertici)
Soluzioni Adiacenti
(0,0) (0,6) ; (4,0) (0,6) (2,6) ; (0,0) (2,6) (4,3) ; (0,6) (4,3) (4,0) ; (2,6) (4,0) (0,0) ; (4,3)
Vertici adiacenti
(0,6) (2,6)
(4,3)
(4,0) (0,0)
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12
Algoritmo del Simplesso p Inizializzazione
p Scegliere (0,0) come Soluzione di Base (SB) iniziale
p Test di ottimalità p (0,0) non è la soluzione ottimale. Esistono
soluzioni adiacenti migliori
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13
Algoritmo del Simplesso
p Iterazione 1: spostarsi su (0,6) eseguendo i tre passi seguenti
n spostarsi lungo x1=0 poiché la funzione obiettivo cresce più velocemente che lungo asse x2=0
n Fermarsi nel punto di intersezione tra x1=0 e 2x2=12, (andando oltre si uscirebbe dalla regione ammissibile
n Calcolare il punto di intersezione tra x1=0 e 2x2=12 : (0,6)
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14
Algoritmo del Simplesso
(0,6) (2,6)
(4,3)
(4,0) (0,0)
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15
Algoritmo del Simplesso p Test di ottimalità
p (0,6) non è la soluzione ottimale. Esistono soluzioni adiacenti migliori
p Iterazione 2: spostarsi su (2,6) eseguendo i tre passi seguenti n spostarsi lungo 2x2=12, poiché la funzione obiettivo cresce
(è l’unica direzione di crescita)
n Fermarsi nel punto di intersezione tra 2x2=12 e 3x1+2x2=12 (andando oltre si uscirebbe dalla regione ammissibile
n Calcolare il punto di intersezione tra 2x2=12 e 3x1+2x2=12: (2,6)
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16
Algoritmo del Simplesso
(0,6) (2,6)
(4,3)
(4,0) (0,0)
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17
Algoritmo del Simplesso p Test di ottimalità
(2,6) è la soluzione ottimale. Non esistono soluzioni adiacenti migliori
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18
Procedura Algebrica
0,18231224
21212
1
≥≤+≤≤
+
xxxxx
x21 5x3xmax
Forma aumentata
3 equazioni 5 incognite
max 3x1 + 5x2x1 + x3 = 4
2x2 + x4 =123x1 + 2x2 + x5 =18x1, x2 ≥ 0
P1
P2
Una soluz ione d i P1 d iventa soluzione di P2 introducendo il valori delle variabili slack.
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19
Procedura Algebrica
Una SOLUZIONE DI BASE è una soluzione di P2 che giace su di un vertice.
Es: La soluzione non ammissibile (4,6) di P1 ha come soluzione di base corrispondente (4,6,0,0,-6). Le soluzioni di base possono essere ammissibili o non ammissibili. Una SOLUZIONE DI BASE AMMISSIBILE è una soluzione di base che giace su un vertice all’interno della regione ammissibile Es: La soluzione (0,6) di P1 ha come soluzione ammissibile di base per P2 (0,6,4,0,6).
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20
Procedura Algebrica
Si noti che P2 ha 5 variabili e 3 vincoli, lasciando 2 gradi di libertà nella risoluzione del sistema. Quindi posso fissare il valore di 2 variabili e risolvere il sistema di tre variabili e 3 equazioni. L’algoritmo del simplesso fissa a 0 il valore di queste due variabili (VARIABILI NON DI BASE) e trova il valore delle restanti 3 variabili (VARIABILI DI BASE).
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21
Soluzione di BASE: Proprietà p Ogni variabile è designata come variabile di base o
non di base p Il numero delle variabili di base è uguale al numero
dei vincoli funzionali (senza considerare i vincoli di non negatività)
p Le variabili NON di base sono poste uguali a zero p Il valore delle variabili di base è ottenuto risolvendo
il sistema di equazioni p Se le variabili di base soddisfano i vincoli di non
negatività allora la soluzione di base è una soluzione ammissibile di base
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22
Esempio
0,41832122
21
51
421
32
21
≥=+=++=+
+
xxxx
xxxxx
xx 53max
p Posso fissare il valore di 2 variabili (anche a 0) e risolvere il sistema di tre variabili e 3 equazioni. vertice (0,0) → (0, 0,12,18,4) soluzione aumentata vertice (0,6) → (0, 6, 4, 0, 6) soluzione aumentata
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23
Soluzioni di BASE adiacenti
p Due soluzioni ammissibili di base sono ADIACENTI se hanno le stesse variabili di base ad eccezione di una (anche se con valori numerici diversi).
p Per muoversi da una soluzione di base ad una sua adiacente è sufficiente scambiare una variabile di base con una non di base e risolvere il sistema di equazioni.
p Esempio: Si considerino le soluzioni di P1 (0,0) e (0,6). Le corrispondenti soluzioni di P2 sono (0,0,4,12,18) e (0,6,4,0,6). Le variabili non di base sono (x1, x2) e (x1, x4) rispettivamente.
![Page 24: 2-simplesso](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020111/563db913550346aa9a99c5ca/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Procedura di risoluzione PL? p Procedura che genera tutte le soluzioni di base,
escludendo quelle non ammissibili. p Valutazione del costo di ciascuna soluzione
ammissibile p Scelta della migliore Può essere adottata questa procedura?
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Ricerca Operativa A.A. 2006/07 25
Un tale algoritmo può essere adoperato solo per istanze di dimensioni molto piccole !
Si consideri, ad esempio, una istanza con n= 30 variabili ed m = 15 vincoli
Si osservi anche che ogni soluzione di base va costruita operando un’inversione di matrice B-1 !!
soluzioni 0155.117.521530
mn
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
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Ricerca Operativa A.A. 2006/07 26
Algoritmo del Simplesso p Individua la soluzione ottima muovendosi da una
soluzione ammissibile di base ad una adiacente che sia migliorante per la funzione obiettivo
![Page 27: 2-simplesso](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020111/563db913550346aa9a99c5ca/html5/thumbnails/27.jpg)
Ricerca Operativa A.A. 2006/07 27
Algoritmo del Simplesso
0,41823122053max
2151
42132
21
≥=+=++=+=−−
xxxx
xxxxx
xxZ
p Per individuare una soluzione di base ammissibile (bfs) posso fissare il valore di 2 variabili a zero e risolvere il sistema di tre variabili e 3 equazioni, e.g. x1=0 x2=0 soluzione ammissibile di base iniziale (0,0,12,18,4)
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28
Test ottimalità
Funzione Obiettivo Z = 3 x1 + 5 x2 → Z=0 Le variabili x1 e x2 non sono di base, introducendo una di
queste variabili in base la funzione obiettivo migliora. Tasso di miglioramento di x1 : 3 Tasso di miglioramento di x2 : 5 I tassi di miglioramento sono positivi quindi la soluzione
individuata non è ottimale.
Siccome 5 > 3 la variabile x2 è candidata ad entrare in base
![Page 29: 2-simplesso](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020111/563db913550346aa9a99c5ca/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Test del minimo rapporto
p Aumentando x2 (nuova variabile di base) aumenta Z ma determina cambiamenti nelle variabili di base
Z − 3x1 − 5x2 = 02x2 + x3 =12
3x1 + 2x2 +x4 =18x1 + x5 = 4x1, x2 ≥ 0
4218212
5
24
23
=−=−=
xxxxx
(x1 = 0)
x2 può essere aumentata fino a 6 (e x3 scende a 0)
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Nuova soluzione di base
p Per aggiornare l’equazione relativa a Z (funzione obiettivo) elimino la variabile x2. Come?
p Le equazioni vengono aggiornate mediante procedure di eliminazione di Gauss in modo tale che le variabili di base siano presenti in un solo vincolo.
0,41823122053
21
51
421
32
21
≥=+=++=+=−−
xxxx
xxxxx
xxZ 6;0;0 231 === xxx
;4;6 54 == xx
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31
Nuova soluzione di base (aggiornamento del tableau)
Z −3x1 − 5x2 = 02x2 + x3 =12
3x1 + 2x2 + x4 =18x1 + x5 = 4 4
636)2/1(30)2/5(3
51
431
32
31
=+=+−+=+=+−
xxxxx
xxxxZ
Sommo la seconda equazione, moltiplicata per 5/2, all’equazione relativa alla funzione obiettivo
Dopo questa trasformazione nella f.o. sono presenti soltanto le variabili non in base
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32
Test di ottimalità Funzione Obiettivo e x3 non sono di base. Tasso di miglioramento di x1 : 3 Tasso di miglioramento di x3 : -5/2 Il tasso di miglioramento di x1 è positivo quindi la
soluzione individuata non è ottimale
31 )2/5(330 xxZ −+=
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33
Individuazione della variabile di base uscente
4636)2/1(30)2/5(3
51
431
32
31
=+=+−+=+=+−
xxxxx
xxxxZ
x2 =− (1 / 2)x3 + 6x4 = 6− 3x1x5 = 4−x1
(x3 = 0)
x1 = 2; x2 = 6;x3 =0;x4 = 0; x5 =2;
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Aggiornamento del tableau
4636)2/1(30)2/5(3
51
431
32
31
=+=+−+=+=+−
xxxxx
xxxxZ
La soluzione di base ottenuta è ottima!!
2)3/1()3/1(23/13/16)2/1(36)2/3(
543
431
32
43
=+−−=+−=+=++
xxxxxx
xxxxZ
La variabile di base uscente è x4 (scende a 0)
La nuova soluzione di base è
(2,6,0,0,2)
Z = 36 − (3 / 2)x3 − x4
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35
Casi particolari: soluzioni degeneri
Una delle componenti in base ha valore 0
p Regola di Bland (non è sul libro) per evitare il cycling. Per determinare la variabile uscente, nel caso in cui ci siano più variabili candidate ad uscire, viene selezionata quella con l’indice più piccolo
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36
Casi particolari p Problemi illimitati
p Soluzioni ottime multiple Ogni qual volta un problema ha più di una base
ottima, almeno una delle variabili non di base ha un coefficiente = 0 nella riga zero finale (riga della funzione obiettivo)
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37
Metodo del simplesso in forma tabellare
x1 x2 x3 x4 x5
0 -3 -5 0 0 0
4 1 0 1 0 0
12 0 2 0 1 0
18 3 2 0 0 1
2°/2
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Metodo del simplesso in forma tabellare
x1 x2 x3 x4 x5
0 -3 -5 0 0 0
4 1 0 1 0 0
6 0 1 0 1/2 0
18 3 2 0 0 1 3°- 2 *2°
0°+ 5 *2°
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39
Metodo del simplesso in forma tabellare
x1 x2 x3 x4 x5
0 -3 0 0 5/2 0
4 1 0 1 0 0
6 0 1 0 1/2 0
6 3 0 0 -1 1 3°- 2 *2°
0°+ 5 *2°
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40
Metodo del simplesso in forma tabellare
x1 x2 x3 x4 x5
30 -3 0 0 5/2 0
4 1 0 1 0 0
6 0 1 0 1/2 0
6 3 0 0 -1 1 3°/3
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41
Metodo del simplesso in forma tabellare
x1 x2 x3 x4 x5
30 -3 0 0 5/2 0
4 1 0 1 0 0
6 0 1 0 1/2 0
2 1 0 0 -1/3 1/3 3°/3
1° -3°
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42
Metodo del simplesso in forma tabellare
x1 x2 x3 x4 x5
30 -3 0 0 5/2 0
2 0 0 1 1/3 -1/3
6 0 1 0 1/2 0
2 1 0 0 -1/3 1/3
1° -3°
0° +3*3°
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43
Metodo del simplesso in forma tabellare
x1 x2 x3 x4 x5
36 0 0 0 3/2 1
2 0 0 1 1/3 -1/3
6 0 1 0 1/2 0
2 1 0 0 -1/3 1/3
0° +3*3°
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Metodo del simplesso in forma tabellare
x1 x2 x3 x4 x5
36 0 0 0 3/2 1
2 0 0 1 1/3 -1/3
6 0 1 0 1/2 0
2 1 0 0 -1/3 1/3
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Soluzione di base iniziale p Problema di massimo
p Tutti i vincoli ≤
p Vettore delle risorse b≥0
L’origine è un vertice ammissibile quindi può essere selezionato come sba iniziale
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46
Calcolo di una base iniziale
18231224053
521
42
31
521
=++=+=+=−−−
xxxxx
xxxMxxZ
0,18231224
21
21
2
1
≥=+≤≤
+
xxxxx
x21 5x3xmax
Vincoli di ugualianza: equivalente a una coppia di vincoli di disugualianza, oppure:
METODO DEL BIG-M
1823122418)52()33(
521
42
31
21
=++=+=+−=+−+−
xxxxx
xxMxMxMZ
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p Problema di massimo (irrilevante) p Vincoli ≥ p Componenti del vettore delle risorse
bi ≥ 0 p Variabili non vincolate
xi libera xi = xi + - xi -
xi + ≥ 0 xi - ≥ 0
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48
Metodo delle due fasi
Introduco slack e surplus
Per trovare una base ammissibile introduco una variabile artificiale xa
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49
Metodo delle due fasi
Nella prima fase dobbiamo minimizzare xa
Rendo il costo ridotto di xa uguale a zero: • sottraggo la riga 4 alla riga zero
0
Pivot
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50
Metodo delle due fasi
Operiamo le opportune eliminazioni sulle righe 1 e 2
La soluzione ammissibile di base è: ( 0, 5, 5, 21, 4, 0 ) Con xa = 0
Ripristiniamo i valori originali della funzione obiettivo
-1
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51
Metodo delle due fasi
Sommo la riga 4 alla riga obiettivo per avere il tableau di partenza.
(Riga 0) – (Riga 1)/2 (Riga 2)-2(Riga 1) (Riga 3) – (Riga 1)/2
2/3
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52
Metodo delle due fasi
Tutti i coefficienti di costo ridotto sono <0 quindi la soluzione corrente:
( 5/2, 5, 0, 11, 3/2, 0 )
È ottima !
2/3
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53
Soluzioni non ammissibili
Se il problema originale non ha soluzioni ammissibili allora sia il metodo del big M che la Fase 1 delle metodo delle due fasi forniscono una soluzione finale che ha almeno una variabile artificiale >0. Altrimenti le variabile artificiali saranno tutte = 0
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54
Simplesso Rivisitato
[ ] bxx
IAs
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
),...,,( 21 nT xxxx = ),...,,( ncccc 21=
�
bT = (b1,b2,...,bm )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
...
...
...
21
22221
11211
),...,,( 21 mnnn
Ts xxxx +++=
0≥⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
sxx
Dove I è la matrice identità mxm e il vettore nullo 0 ha n+m elementi
I VINCOLI diventano:
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55
Simplesso Rivisitato
[ ] bxx
IAs
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
sxx
bBxB =
Date m variabili di base e n non di base, la soluzione di base corrispondente è data dalla soluzione del sistema in m equazioni:
Dove n delle variabili sono =0 (var. non di base)
Dove è il vettore delle variabili di base Bx
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Ricerca Operativa A.A. 2006/07 56
Simplesso Rivisitato
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mmmm
m
BBB
BBBBBB
B m
...
...
...
21
2221
11211
),...,,( 21 nT xxxxB =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
sxx
Ottenuto eliminando le variabili non di base da
Ottenuto eliminando le colonne corrispondenti alle variabili non di base da [ ]IA
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57
Simplesso Rivisitato
Il metodo del simplesso introduce soltanto variabili di base per cui B è non singolare per cui
bBxB1−=
bBcxcZ BB B1−==
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Ricerca Operativa A.A. 2006/07 58
Simplesso Rivisitato
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
B
),( 21 xxxT =
[ ]5,3=c
)18,12,4(=Tb[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100230102000101
IA
),,( 543 xxxxTs =
Iterazione 0: ),,( 543 xxxxTB =
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59
Simplesso Rivisitato
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
320020101
BIterazione 2: ),,( 123 xxxxTB =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=−
3/13/1002/103/13/11
1B
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
120020001
BIterazione 1: ),,( 523 xxxxTB =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=−
11002/10001
1B
![Page 60: 2-simplesso](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020111/563db913550346aa9a99c5ca/html5/thumbnails/60.jpg)
60
Forma Matriciale
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
−
−
bBbBc
bBBc
xZ BBB 1
1
1
1 0
01
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −b
xxZ
IAc
s
00
01
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
bBbBc
xZ BB 1
1
![Page 61: 2-simplesso](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020111/563db913550346aa9a99c5ca/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Forma Matriciale
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−
−−
−
−
11
11
1
1
01
001
01
BABBccBc
IAc
BBc BBB
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
−
−−
−−
bBbBc
xxZ
BABBccBc B
s
BB1
1
11
11
01
![Page 62: 2-simplesso](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020111/563db913550346aa9a99c5ca/html5/thumbnails/62.jpg)
Forma Matriciale
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−
−−
−
−
11
11
1
1
01
001
01
BABBccABc
IAc
BBc BBB
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
−
−−
−−
bBbBc
xxZ
BABBccABc B
s
BB1
1
11
11
01