Download - 2 Interpolasi Qu
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
1/34
INTERPOLASI
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
2/34
• Pada bidang rekayasa (engineering), sering kitamemerlukan/memperkirakan suatu nilai yang terletak di antara nilai nilailain yang suda diketaui (data)!
• "ara untuk memperkirakan nilai diantara nilai nilai yang suda diketaui(data) ini disebut sebagai Interp#lasi!
• "ara Interp#lasi yang paling sering dipakai adala Interp#lasi Linier,dimana diasumsikan ba$a %ungsi yang mengubungkan antara nilainilai yang diketaui berbentuk %ungsi linier!
• "#nt#&'#nt# p#lin#m interp#lasi
• (a) #rde pertama (linear) mengubungkan dua titik
•
(b) #rde&kedua (kuadrat atau parab#la) mengubungkan tiga titik• (') #rde&ketiga (kubik) mengubungkn empat titik!
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
3/34
Interp#lasi Linier• *entuk inerp#lasi yang paling sederana adala mengubungkan dua titik
data dengan garis lurus! Teknik ini, yang dinamakan INTERPOLASI LINIER,dilukiskan se'ara gra+s dalam ambar berikut!
• "ara menulisan menun-ukan ba$a ini adala p#lin#m interp#lasi#rde&pertama!
• Peratikan ba$a disamping menyatakan kemiringan garis yangmengubungkan titik&titik, bentukadala perkiraan (apr#ksimasi) beda&ingga&terbagi dari turunan pertama!
• .mumnya, semakin ke'il selang diantara titik&titik data, semakin baikperkiraannya
( ) ( ) ( ) ( )
01
01
0
01
x x
x f x f
x x
x f x f
−
−=
−
−
x 0 x x 1
f(x 1 )
f(x)
f(x 0 )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
01
01
01 x x
x x
x f x f x f x f −
−
−+=
( ) x f 1
( ) ( )[ ] ( )0101
/ x x x f x f −−
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
4/34
Suatu '#nt# ika diketaui data sebagai 0123 %(0123) 2 1 dan 0324%(0324)2 3,5635767! *erapaka nilai perkiraan %(028)29
:ungsi di atas adala %ungsi Ln(0)! .ntuk nilai se-ati
Adala Ln(8) 2 1,46;3esalaan (err#r) sebesar
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
5/34
Interp#lasi >uadrat (#rden28)
• Err#r (>esalaan) dari '#nt# di atas 'ukup besar disebabkan #le
kenyataan ba$a kur@a didekati (appr#0imated) dengan garis lurus! Strategiuntuk memperbaiki perkiraan adala memperkenalkan suatu kelengkunganke garis yang mengubungkan titik&titik tersebut! ika tersedia TIGA titikdata, ini dapat dilaksanakan dengan POLINOM ORDE DUA (-uga disebutP#lin#m >uadrat atau Parab#la)! *entuk persamaan interp#lasi kuadrat iniadala
• Persamaan interp#lasi ini selalu melalui titik titik data (dalam al inipersamaan interp#lasi ini selalu melalui tiga titik data yang diketaui)!engan melakukan subtitusi ba$a persamaan interp#lasi tersebut melaluititik titik data
• Belalui titik C01, %(01)D akan mengasilkan
• Belalui titik C03, %(03)D akan mengasilkan
•Belalui titik C08, %(08)D akan mengasilkan
( ) ( ) ( ) ( )1020102 x x x xb x xbb x f −−+−+=
( )00 x f b =
( ) ( )
01
01
1 x x
x f x f b
−
−=
( ) ( ) ( ) ( )
02
01
01
12
12
2 x x
x x
x f x f
x x
x f x f
b −
−
−−
−
−
=
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
6/34
"#nt#
PERSAMAAN INTERPOLASINYA adala
.ntuk nilai 0 2 8, maka HASIL INTERPOLASINYA adala (Berlaku untuk1
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
7/34
"#nt#
PERSAMAAN INTERPOLASINYA adala
.ntuk nilai 0 2 =, maka HASIL INTERPOLASINYA adala (Berlaku untuk%
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
8/34
Interp#lasi P#lin#mialPersamaan Interp#lasi ORDE n adala
.ntuk P'ln'( 'r)e ke*n, diperlukan n+1 ttk*ttk )ata
.ntuk POLINOM ORDE ,, maka persamaan interp#lasinya adala
Nla -ara(eter .&/ .1/ )an .0 a)ala 2a(a )en3an -ara(eter
untuk P'ln'( 4ua)rat! .ntuk nilai parameter b; adala
( ) ( ) ( )( ) ( )110010 ...... −−−−++−+= nnn x x x x x xb x xbb x f
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )21031020103
x x x x x xb x x x xb x xbb x f −−−+−−+−+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
03
02
01
01
12
12
13
12
12
23
23
3 x x
x x
x x x f x f
x x x f x f
x x
x x x f x f
x x x f x f
b−
−
−−−
−−
−−
−−−
−−
=
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
9/34
• ari parameter b1, b3, b8 dan b; dapat diliat ba$a nilai b3 adala
beda ingga dari turunan pertama, b8 adala beda ingga dari
turunan ke dua, dan b; adala beda ingga dari turunan ke tiga!
•
engan prinsip ba$a -er2a(aan nter-'la2 2elalu (elaluttk ttk )ata 5an3 )3unakan untuk (eru(u2kan-er2a(aan nter-'la2n5a, maka nilai parameter b1, b3, b8 dan b;
dapat di ketaui sebagai berikut
• di mana peritungan %ungsi dalam kurung siku adala beda&terbagiingga! Bisalnya, beda terbagi hingga pertama (frst fnitedevided dierence) dinyatakan se'ara umum sebagai
( )00 x f b =
( )011 , x x f b =( )0122 ,, x x x f b =
[ ]011
,,...,, x x x x f b nnn −=
[ ] ( ) ( )
ji
ji
ji
x x
x f x f x x f
−
−=,
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
10/34
• Beda terbagi hingga kedua, yang menggambarkan perbedaan daridua beda terbagi pertama, diungkapkan se'ara umum sebagai
• emikian pula, beda terbagi hingga ke-n adala
[ ]
( ) ( )
k i
k j ji
k ji x x
x x f x x f x x x f
−
−
=
,,,,
[ ] ( ) ( )
0
0211011
,...,,,...,,,,...,,
x x
x x x f x x x f x x x x f
n
nnnnnn
−
−=
−−
−
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
11/34
• engan menggunakan k#e+sien asil peritungan beda inggatersebut, maka persamaan interp#lasinya adala
• "#nt#
• *eda Ginga >edua adala
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]012100100
,,, x x x f x x x x x x f x x x f x f n −−+−+=
( )( ) ( ) [ ]01110 ,....,,...... x x x f x x x x x x nnn −−−−−++
# ,"#$
F123 1
F32< 3,;=486
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
12/34
• *eda Gingga ketiga adala
( ) ( )
0078655415,015
051873116,0020410950,0,,,
0123 =
−
−−−= x x x x f
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
13/34
Tingkat >esalaan Interp#lasiP#lin#m
• Peratikan ba$a struktur Persamaan Interp#lasi P#lin#m serupadengan uraian deret Tayl#r dalam arti ba$a suku&sukunyaditambakan se'ara sekuensial supaya menangkap perilaku #rdeyang lebi tinggi dari %ungsi yang mendasarinya!
• Suku&suku ini adala beda ingga dan karena itu menyatakanampiran dari turunan&turunan dari #rde yang lebi tinggi!Akibatnya, serupa dengan deret Tayl#r, ika %ungsi se-ati yang
dimaksudkan adala p#lin#m #rde ke&n, maka p#lin#m interp#lasi#rde ke&n yang didasarkan pada n H 3 titik&titik data akanmenun-ukan asil yang eksak!
• emikian pula, seperti alnya dengan deret Tayl#r, dapat diper#lerumus untuk kesalaan perp#t#ngan (truncation error )! Ingatkembali Persamaan interp#lasinya ba$a err#r perp#t#ngan untuk
deret Tayl#r se'ara umum dapat diungkapkan sebagai ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )nn
n x x x x x xn
f R −−−+
=
+
...!1
10
1 ξ
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
14/34
• Rumus alternati% untuk tingkat kesalaan (err#r) yang tidakmensyaratkan pengetauan sebelumnya mengenai %ungsi! Rumustersebut memakai beda terbagi ingga untuk mengampiriturunan yang ke (n H 3)
• di mana adala beda terbagi ingga
yang ke (n H 3)! >arena Persamaan di atas mengandung
yang tidak diketaui, ia tidak dapat dipe'aan peritungan err#r
nya! Namun, -ika ada titik data tambaan , Persamaan di atas
dapat digunakan untuk menaksir galat, seperti dalam
[ ]( ) ( ) ( )nnnn x x x x x x x x x x f R −−−= − ...,....,,, 1001
[ ]( )( ) ( )nnnnn x x x x x x x x x x f R −−−≅ −+ ...,....,,, 10011
[ ]01 ,,, x x x x f nn −( ) x f
( )1+n x f
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
15/34
Interp#lasi Lagrange• P#lin#m Interp#lasi Lagrange anyala perumusan ulang dari
p#lin#m Ne$t#n yang mengindari k#mputasi beda&beda terbagi!Se'ara singkat ia dapat dinyatakan sebagai
• engan
• imana #perat#r menun-ukan JasilkaliK (-r')ut '! )! DanLi (x) a)ala O-erat'r La3ran3e!
•
.ntuk interp#lasi #rde ; (n2;), maka Operat#r Lagrange adala (Idan - adala dari 1 sampai ;)
• i21 L0(x) 2
( ) ( ) ( )∑=
=n
i
iin x f x L x f 0
( ) ∏≠
= −−=
n
i j
j ji
ji
x x x x x L
0
( )
−−
−−
−−
−−
=30
3
20
2
10
1
00
0
0 ...
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x L
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
16/34
• i21 L0(x) 2
• i23 L1(x) 2
• i28 L2(x) 2
• i2; L3(x) 2
( )
−
−
−
−
−
−
−
−=
31
3
21
2
11
1
01
0
1 ...
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x L
( )
−−
−−
−−
−−
=32
3
22
2
12
1
02
0
2 ...
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x L
( )
−−
−−
−−
−−
=33
3
23
2
13
1
03
0
3 ...
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x L
( )
−
−
−
−
−
−
−
−
= 303
20
2
10
1
00
0
0 ...
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x L
( ) ∏≠
= −
−=
n
i j
j ji
j
i x x
x x x L
0
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
17/34
• .ntuk Inter-'la2 Or)e 1 "Lner$/ maka persamaan interp#lasinya adala
• .ntuk Inter-'la2 Or)e 0 "4ua)rat$, maka persamaaninterp#lasinya adala
• .ntuk Inter-'la2 Or)e , "4u.$, maka persamaaninterp#lasinya adala
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )2
1202
101
2101
200
2010
212 x f
x x x x
x x x x x f
x x x x
x x x x x f
x x x x
x x x x x f
−−
−−+
−−
−−+
−−
−−=
( ) ( ) ( )101
0
0
10
11 x f
x x
x x x f
x x
x x x f
−
−+
−
−=
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) +
−−−
−−−+
−−−
−−−= 1
312101
3200
302010
3213 x f
x x x x x x
x x x x x x x f
x x x x x x
x x x x x x x f
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( ) ( )3
231303
210
2
321202
310
x f x x x x x x
x x x x x x
x f x x x x x x
x x x x x x
−−−
−−−
+−−−
−−−
+
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
18/34
"#nt# Perkirakan %;(0237) dengan menggunakanLagrange Interp#lati#n!
a$ab .ntuk persamaan interp#lasi #rde n2;diperlukan < titik data! Seingga untuk nilai0237 bisa digunakan nilai data dari 027 s/d0281 atau untuk data dari 025 s/d 0287!
Bisal digunakan data dari 027 s/d 0281 , maka
X 7"X$
3 1,;
F127 1,4
F325 1,=
F823
1
3,8
F;28
1
3,5
87 8,8( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) +
−−−
−−−+
−−−
−−−== 8,0
20710757
201510155156,0
20510575
20151015715153 x f
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) 784,17,11020720520
1015715515
2,12010710510
2015715515=
−−−
−−−+
−−−
−−−+
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
19/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
20/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
21/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
22/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
23/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
24/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
25/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
26/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
27/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
28/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
29/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
30/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
31/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
32/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
33/34
-
8/16/2019 2 Interpolasi Qu
34/34