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가장 먼 두 점
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선정배경 –기하알고리즘을배우자
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점과점사이의거리
(6, 3)
(1, 1)
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점과점사이의거리
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점과점사이의거리
5
2Sqrt(25 + 9)
약 5.830951894845301
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점과점사이의거리
5
넘나 쉬운 것
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점들의집합중가장먼두점
점이 6개다
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점들의집합중가장먼두점𝑂(𝑛2)알고리즘?
점이 6개다
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점들의집합중가장먼두점
점이 100,000,000개면?
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점들의집합중가장먼두점
점이 100,000,000개면?
-넘나어려운것
글쎄요
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점들의집합중가장먼두점
점이 많으면 어려운 문제가 된다.
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점들의집합중가장먼두점
𝑂(𝑛2) 알고리즘보다 더 쎈
𝑂(𝑛𝑙𝑜𝑔𝑛) 알고리즘이 존재
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점들의집합중가장먼두점
𝑂(𝑛2) 알고리즘보다 더 쎈
𝑂(𝑛𝑙𝑜𝑔𝑛) 알고리즘이 존재
- 볼록 껍질 문제로 해결 가능
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볼록껍질문제란?
요놈들을감싸는볼록껍질을구하라
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볼록껍질문제란?
요놈들을감싸는볼록껍질을구하라
-이렇게만들면됨
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볼록껍질문제란?
요놈들을감싸는볼록껍질을구하라
-이렇게만들면됨
어떻게 해야 할까?
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볼록껍질문제풀이
Graham scan method (1972년)
𝑶(𝒏𝒍𝒐𝒈𝒏)
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볼록껍질문제풀이
Graham scan method (1972년)
𝑶(𝒏𝒍𝒐𝒈𝒏)
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볼록껍질문제풀이
무조건외곽이되는점은무엇일까?
Graham scan method
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볼록껍질문제풀이
무조건외곽이되는점은무엇일까?
- 그것은상하좌우최외곽에있는점
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볼록껍질문제풀이
이점은무조건볼록껍질에포함된다.
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볼록껍질문제풀이
선택된점에서모든점사이의각도를구한다.
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볼록껍질문제풀이
각도를기준으로이렇게정렬
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볼록껍질문제풀이
각도를기준으로이렇게정렬
1
23
4
5
6
7
0
![Page 25: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/25.jpg)
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볼록껍질문제풀이
1
23
4
5
6
7
0
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볼록껍질문제풀이
1
23
4
5
6
7
0
1
0
Stack
0, 1을 stack에넣음
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볼록껍질문제풀이
1
23
4
5
6
7
0
1
0
Stack
Stack에서위에있는 2개의점과현재비교해야
하는점을이어보자.
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
1
0
Stack
Stack에서위에있는 2개의점과현재비교해야
하는점을이어보자.
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
1
0
Stack
이진행은반시계방향인가?
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
72
1
0
Stack
반시계방향이니 Stack에현재검사중인번호(2)를
넣음
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
72
1
0
Stack
Stack에서위에있는 2개의점과현재비교해야
하는점을이어보자.
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
72
1
0
Stack
반시계방향인가?
1
0
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33/ 321
볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
반시계방향이니 Stack에현재검사중인번호(3)를
넣음
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
Stack에서위에있는 2개의점과현재비교해야
하는점을이어보자.
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
반시계방향인가?
1
0
![Page 36: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/36.jpg)
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
4
3
2
1
0
Stack
반시계방향이니 Stack에현재검사중인번호(4)를
넣음
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
4
3
2
1
0
Stack
Stack에서위에있는 2개의점과현재비교해야
하는점을이어보자.
1
0
![Page 38: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/38.jpg)
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
4
3
2
1
0
Stack
시계방향인가? -ㅇㅇ
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
4
3
2
1
0
Stack
Stack을 pop
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
Stack을 pop
1
0
![Page 41: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/41.jpg)
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
Stack에서위에있는 2개의점과현재비교해야
하는점을이어보자.
1
0
![Page 42: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/42.jpg)
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
반시계방향인가?
1
0
![Page 43: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/43.jpg)
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
5
3
2
1
0
Stack
반시계방향이니 Stack에현재검사중인번호(5)를
넣음
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
5
3
2
1
0
Stack
Stack에서위에있는 2개의점과현재비교해야
하는점을이어보자.
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
5
3
2
1
0
Stack
시계방향이다 - Stack을 pop
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
시계방향이다 - Stack을 pop
1
0
![Page 47: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/47.jpg)
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
Stack에서위에있는 2개의점과현재비교해야
하는점을이어보자.
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
시계방향이다 - Stack을 pop
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
72
1
0
Stack
시계방향이다 - Stack을 pop
1
0
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볼록껍질문제풀이
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4
5
6
72
1
0
Stack
Stack에서위에있는 2개의점과현재비교해야
하는점을이어보자. –반시계방향
1
0
![Page 51: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/51.jpg)
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
72
1
0
Stack
Stack에서위에있는 2개의점과현재비교해야
하는점을이어보자. –반시계방향
1
0
![Page 52: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/52.jpg)
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볼록껍질문제풀이
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4
5
6
7
6
2
1
0
Stack
Stack에서위에있는 2개의점과현재비교해야
하는점을이어보자. –반시계방향
1
0
![Page 53: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/53.jpg)
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
7
6
2
1
0
Stack
검색종료.
1
0
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
6
2
1
0
Stack
Stack에있는점을이어보면볼록껍질이완성됨.
1
0
7
![Page 55: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/55.jpg)
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볼록껍질문제풀이
23
4
5
6
7
6
2
1
0
Stack
Stack에있는점을이어보면볼록껍질이완성됨.
1
0
7
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56/ 321
점들의집합중가장먼두점
23
4
5
6
점들의집합중가장먼두점은볼록껍질을구성하는
점들의집합에존재한다.
1
0
7
![Page 57: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/57.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
G I F
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점들의집합중가장먼두점
23
4
5
6
볼록껍질다각형에서가장먼두점을어떻게찾을까?
1
0
7
![Page 59: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/59.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
23
4
5
6
볼록껍질다각형에서가장먼두점을어떻게찾을까?
1
0
7
𝑂(𝑛2)알고리즘?
![Page 60: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/60.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
23
4
5
6
𝑂(𝑛2)이 아니라 𝑂(𝑛)알고리즘이 존재
1
0
7
![Page 61: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/61.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
Rotating calipers (1978년)
![Page 62: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/62.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
Rotating calipers (1978년)
rightest
leftest
![Page 63: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/63.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
rightest
leftest
![Page 64: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/64.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
rightest
leftest
![Page 65: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/65.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
수직선
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점들의집합중가장먼두점
![Page 67: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/67.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
각도가 더욱
작은 쪽 직선을 회전
![Page 68: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/68.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
![Page 69: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/69.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
![Page 70: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/70.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
![Page 71: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/71.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
![Page 72: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/72.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
한 바퀴 돌면 그만!
![Page 73: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/73.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
![Page 74: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/74.jpg)
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점들의집합중가장먼두점
총 시간복잡도?
𝑛𝑙𝑜𝑔𝑛 + 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑛 + 𝑛
𝑂(𝑛𝑙𝑜𝑔𝑛)
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응용
othogonal
Bounding box
Bounding box(3D)
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응용
othogonal
Bounding box
Bounding box(3D)
![Page 77: 2차원 평면상에서 가장 먼 두 점 구하기](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042508/58ed3dba1a28ab24588b459b/html5/thumbnails/77.jpg)
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응용
Cluster bound
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Q&A