Download - 1.1.1 Kinematika (Fizika.KTU.2009)
Kinematika – Mechanikos šaka.
Mechanika – fizikos šaka, tirianti materialiųjų kūnų mechaninį judėjimą irjų tarpusavio sąveiką.
Mechanika skirstoma į Kinematiką ir Dinamiką.
Kinematika nagrinėja judėjimą be jį sukėlusių priežasčių.
Dinamika tiria kūno judėjimo pobūdį priklausomai nuo jį sukėlusiųpriežasčių ir, atvirkščiai, pagal judėjimo pobūdį nustato tas priežastis.
Slenkamojo ir sukamojo judėjimo kinematika
Kinematika – [gr. Kinematos – judėjimas] - fizikos šaka, nagrinėjantiįvairaus pobūdžio mechaninį judėjimą, neįvertindama jį sukeliančiųpriežasčių.
Judėjimas – kūnų ar jų dalių tarpusavio padėties kitimas erdvėje ir laike.
Judėjimo tipai: – 1. Pagal judėjimo kitimą laike.
1.1 Tolygus,1.2 Tolygiai kintantis,1.3 Netolygiai kintantis.
2. Pagal krypties kitimą erdvėje.
2.1 Slenkamasis,2.2 Sukamasis,2.3 Kreivaeigis.
Atskaitos sistema
Judėjimas visada turi kryptį (juda kažkurio kito kūno atžvilgiu).
Kūnas, kurio atžvilgiu nagrinėjamas kito kūno judėjimo, vadinamas atskaitos kūnu.
Koordinačių sistema, susieta su atskaitos kūnu, vadinama atskaitos sistema.
Paprasčiausias objektas, kurio judėjimą nagrinėja klasikinė mechanika yramaterialusis taškas.
Materialiuoju tašku vadinamas m masės makroskopinis kūnas, į kuriomatmenis ir formą konkrečiomis sąlygomis galima nekreipti dėmesio.
Padėties vektorius konkrečiu laiko momentu:
Vektoriaus projekcijos:
Vektoriaus modulis:
Padėtis
Padėties charakteristika erdvėje nusakoma padėties vektoriumi
Dydžiai, kurie nusakomi moduliu ir kryptimi erdvėje, vadinami vektoriais.
Dydžiai, kuriuos apibūdina tik jų skaitinė vertė, vadinami skaliarais.
Materialiojo taško padėtį erdvėje galima nusakyti padėties vektoriumistačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje.
;)()()()( ktzjtyitxtr
++=
;222 zyxr ++=
αcosrx = βcosry = γcosrz =
Trajektorija ir Poslinkis
Materialiojo taško padėties kitimas erdvėje (judėjimas) nusakomasšiomis charakteristikomis:
1. Trajektorija – tai linija, kurią brėžia vektoriaus galas.
Pagal trajektorijos formą judėjimas yra tiesiaeigis arba kreivaeigis. Kelias S lygus trajektorijos ilgiui.
2. Poslinkis – tai kryptinė atkarpa jungianti pradinę padėtį su momentine padėtimi:
Jo modulis:
Padėties kitimo sparta – Greitis – Tolygus judėjimas
Tolygaus judėjimo atveju materialiojo taško padėties kitimo sparta,arba greitis išreiškiamas poslinkio vektoriaus ir laiko pokyčio santykiu.
consttxv =∆∆
=
t
v
t
x
t∆
x∆
Greičio kitimo sparta–Pagreitis–Tolygiai kintamas judėjimas
Tolygiai kintamo judėjimo atveju materialiojo taško greitis, bėgant laikuikinta tolygiai, o greičio kitimo sparta, arba pagreitis išreiškiamasgreičio pokyčio per atitinkamą laiko intervalą ir to laiko intervalo santykiu.
t
a
consttva =∆∆
=
t
v
v∆
t∆
Netolygiai kintamas judėjimas - Greitis
Netolygiai kintamo judėjimo atveju materialiojo taško greitis, bėgant laikuikinta netolygiai, todėl jis išreiškiamas per poslinkio išvestinę laiko atžvilgiu.
Todėl, greitis apibūdinamas kaip objekto padėties erdvėje kitimo sparta.
Pvz.:
išskaidymas į projekcijas:
modulis:
t
v
t∆ t∆
v∆
v∆
Netolygiai kintamas judėjimas - Pagreitis
Netolygiai kintamo judėjimo atveju materialiojo taško pagreitis, bėgant laikui gali kisti tolygiai arba netolygiai, todėl jis išreiškiamas per greičio išvestinę laiko atžvilgiu:
Todėl, pagreitis apibūdinamas kaip objekto judėjimo greičio kitimo sparta.
)(tfa =
t
a
t
a
t∆
Netolygiai kintamas judėjimas – kinematinės lygtys
Netolygiai kintamo judėjimo kinematinės lygtys yra bendrines trijų tipųslenkamajam judėjimui:
).(
,
,2
2
tfrdtrdv
dtrd
dtvda
=
=
==
Tolygiai kintamas judėjimas – lygtys
Kinematines lygtis galima pritaikyti tolygiai kintamo ir tolygaus judėjimo charakteristikoms gauti.
Tolygiai kintamam judėjimui:
Kadangi: ir , tai greičio vektorių gausime integruojant:
, t.y.: ,
o kadangi: ir , tai padėties vektorių gausime integruojant:
, t.y.: ,
).(
,
,2
2
tfrdtrdv
dtrd
dtvda
=
=
==
consta =
dtvda
= dtavd
=
( ) 00
vtaCtadtatvt
+=+== ∫ ( ) 0vtatv
+=
dtrdv
= dtvrd
=
( ) ( ) 00
2
00 2
rtvtadtvtatrt
++=+= ∫ ( ) 00
2
2rtvtatr
++=
Tolygiai kintamas judėjimas – lygtys
Tolygiai kintamo judėjimo kinematinės lygtys užrašomos:
Diferencialine forma: Funkcine forma:
consta =
2
2
dtrd
dtvda
==
( ) 0vtatv
+=dtrdv
=
( )tfr =
( ) 00
2
2rtvtatr
++=
Tolygiai kintamas tiesiaeigis judėjimas – lygtys ir grafikai
Tolygiai kintamajam slenkamajam judėjimui poslinkio vektoriaus modulissutampa su kelio reikšme, todėl vektorines lygtis galime išreikšti skaliarineforma:
consta = ( ) 0vtatv
+= ( ) 00
2
2rtvtatr
++=
( ) 0vattv += ( ) tvatts 0
2
2+=
Tolygus tiesiaeigis judėjimas – lygtys ir grafikai
Tolygiam slenkamajam judėjimui poslinkio vektoriaus modulis sutampa su kelio reikšme, todėl vektorines lygtis galime išreikšti skaliarine forma:
0=a ( ) constvtv == 0
( ) 00 rtvtr
+=
( ) constvtv == 0 ( ) 00 xtvtx +=
Judėjimo nepriklausomumo dėsnis
Judėjimo nepriklausomumo dėsnis teigia: jeigu taškas vienu metudalyvauja keliuose judėjimuose, tai to taško atstojamasis judėjimas yra lygus vektorinei sumai visų poslinkių, kuriuos taškas atlieka per tą patį laiką, dalyvaudamas kiekviename judėjime atskirai.
;)()()()( ktzjtyitxtr
++=
Judėjimo nepriklausomumo dėsnis
Judėjimo nepriklausomumo dėsnis teigia: jeigu taškas vienu metudalyvauja keliuose judėjimuose, tai to taško atstojamasis judėjimas yra lygus vektorinei sumai visų poslinkių, kuriuos taškas atlieka per tą patį laiką, dalyvaudamas kiekviename judėjime atskirai.
Todėl padėties, greičio ir pagreičio projekcijos nepriklauso viena nuo kitos.
Jas galima aprašinėti atskirai viena nuo kitos ir ieškoti sprendinio nepriklausomai viena nuo kitos.
)()()( tztytx ∉∉
)()()( tvtvtv zyx ∉∉
)()()( tatata zyx ∉∉
Kreivaeigis judėjimas ir jo pagreitis
Kreivaeigis judėjimas yra dvimatis.
Jo metu visada yra įcentrinis (normalinis) pagreitis , šis pagreitis apibūdina linijinio greičio krypties kitimo spartą:
Tangentinis (liestinis) pagreitisapibūdina linijinio greičio moduliokitimo spartą:
Taško pilnas pagreitis:
O jo modulis:
Sukamasis judėjimas ir jo kinematinės lygtys
Judėjimas apskritimu apibūdinamas:
spinduliu
spindulio posūkio kampu
kampiniu greičiu
kampiniu pagreičiu
Kampinio greičio modulis lygus padėties vektoriaus apskritimo spindulioposūkio kampo pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu:
Kampinis pagreitis apibūdina kampinio greičio kitimo spartą ir lygus jo pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu:
ϕ∆
Sukamasis judėjimas
Normalinio ir tangentinio pagreičio ryšys su linijiniu greičiu:
Kinematinės charakteristikos:
εω
ω
τ RRdtd
dtdva
RRvan
===
==
)(
22