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LUISSCorso di
Metodi matematici per economia e finanza. Prof. F. Gozzi
Lezione del xx/11/2009Calcolo approssimato di integrali - Prof.ssa G. Rotundo
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Testi di riferimento
MATLAB – manuale di riferimento
I. Capuzzo Dolcetta, M. Falcone, L’analisi al calcolatore, Zanichelli, ISBN 88 – 08 – 03904 - 8
J. Stoer, Introduzione all’analisi numerica, Zanichelli ed., 1974
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Il problema di Cauchy
inizialecondizione)(
evoluzione di legge))(,()('
00 Xxtx
ttxtftx T
Sotto opportune ipotesi è possibile dimostrare il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni.
N.B.: il teorema di esistenza ed unicità fornisce un risultato soltanto in merito ad esistenza ed unicità, ma non illustra alcun metodo per trovare la soluzione.
Domanda: come trovare le soluzioni?
Anche quando la soluzione esiste ed è unica può essere molto complesso, se non impossibile, determinare la sua espressione analitica. Diventa quindi estremamente importante conoscere alcuni metodi numerici per approssimare la soluzione.
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Osservazione
Nel caso in cui f(t,x(t)) dipende solo da t il problema di Cauchy corrispondente si riduce al calcolo di una particolare primitiva di f(t).
Xxtx
ttftx
00 )(
)()(' T
0
0
)()( xdftxt
t
5
Obbiettivo: calcolare l’integrale di una funzione reale su [a,b]
Strumenti noti da matematica generale: il teorema fondamentale del calcolo integrale ( teorema di Newton-Leibniz), che risolve il problema nel caso in cui f è continua ed è nota una primitiva di f, cioè una funzione derivabile tale che F’(t)=f(t) per ogni x: a<x<b. In tal caso vale la formula:
b
a
aFbFdttf )()()(
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Perché cambiare metodo?
L’applicabilità pratica di questo metodo analitico è limitata, infatti:
1. Esistono funzioni continue che si incontrano frequentemente nelle applicazioni dell’analisi matematica la cui primitiva non può essere espressa in termini di funzioni elementari ( per esempio sen(t)/t, 1/((1-t2)(1-k2t2))1/2, exp(-t2)
2. Il calcolo può essere complicato ( p.es. nel caso di integrazione di funzioni razionali fratte, che si basano sulla conoscenza di radici di polinomi)
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Obbiettivo: calcolare UN VALORE APPROSSIMATO
dell’integrale
Strumenti: metodi di integrazione numerica facilmente implementabili:
Rettangoli, Trapezi, Simpson [...]
Idea: integrare, invece di f, una sua approssimazione g che si sappia integrare in maniera esatta (a meno, ovviamente, di errori di arrotondamento).
b
a
dttf )(
8
Punto fondamentale
Calcolare a priori l’errore commesso con la specifica procedura adottata. Serve per garantire l’affidabilità del metodo e bisognerà pertanto stimare
b
a
b
a
dttgdttfE )()(
In ciascun metodo la costruzione di g è fatta definendo una partizione dell’intervallo [a,b]. Precisamente, si fissa un intero positivo N e si divide l’intervallo di integrazione [a,b[ in parti uguali con i punti
NkNabkatk ,,1,0,/)(
Il numero h=(b-a)/N è il passo della discretizzazione
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METODO DEI RETTANGOLI
Devo calcolare l’area sottesa dal grafico della funzione.
a b
10
METODO DEI RETTANGOLI
Idea: costruisco la partizione di [a,b]
NkNabkatk ,,1,0,/)(
a=t0 t1 t2 b=tN
Obbiettivo: approssimare l’area con rettangoli di base (tk+1-tk) ed altezza uguale all’altezza della funzione nel punto intermedio di ciascun intervallo (tk+tk+1)/2
Preparo gli elementi che servono per questa approssimazione
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a=t0 t1 t2 b=tN
Considero i punti intermedi in ciascun intervallo
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a=t0 t1 t2 b=tN
Considero il valore della funzione in ciascun punto intermedio in ciascun intervallo
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a=t0 t1 t2 b=tN
Considero la funzione costante a tratti, avente, su ciascun intervallo, il valore costante uguale all’altezza della funzione calcolata nel punto intermedio dell’intervallo
Nkttttt
ftg kkkk ,,2,1),,[,
2)( 1
1
14
Considero la funzione costante a tratti, avente, su ciascun intervallo, il valore costante uguale all’altezza della funzione calcolata nel punto intermedio dell’intervallo
a=t0 t1 t2 b=tN
Nkttttt
ftg kkkk ,,2,1),,[,
2)( 1
1
Ovviamente g coincide con f in tutti i punti intermedi di ciascun intervallo.
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a=t0 t1 t3 b=tN
Approssimo l’area da calcolare con la somma delle aree (base x altezza) di questi rettangoli. Questo calcolo è immediato:
•tutte le basi hanno ampiezza costante (b-a)/N
•le altezze sono date dal valore della funzione nel punto intermedio dell’intervallo
N
abxxfI
N
k
kk
1
0
1
2
16
Osservazioni
• Il metodo dei rettangoli è ispirato dalla definizione di integrale definito.
• I è una particolare somma integrale.
• Il numero I dipende dalla partizione scelta e quindi dal passo h(=(b-a)/N).
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Stima dell’errore
b
a
b
a
dttgdttfE )()(
18
MEMO: da matematica generale Proprietà dell’integrale definito
a b
f(x)
x
y
0
L’area si può calcolare dividendola in due parti: (a, c) e (c, b)
( ) ( ) ( )b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
c
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Applico la proprietà dell’integrale ripetutamente:
1
0
1
1
2
1
1
)(
)()()()(
N
k
t
t
b
t
t
t
t
a
b
a
k
k
N
dttf
dttfdttfdttfdttf
Posso ripetere il procedimento per g e quindi
1
0
1
)()()()(N
k
t
t
b
a
b
a
k
k
dttgtfdttgdttfE
20
MEMO
baba In generale
dcbadcba
Il valore assoluto di una somma è minore od uguale alla somma dei valori assoluti
21
1
0
11
0
1
0
11
1
2)()()(
)()()()(
N
k
t
t
kkN
k
t
t
N
k
t
t
b
a
b
a
k
k
k
k
k
k
dttt
ftfdttgtf
dttgtfdttgdttfE
MEMO:
teorema di Lagrange: sotto opportune ipotesi f(b)-f(a)=f ‘ (c ) (b-a), a<c<b
Applico il teorema considerando b=t e a= (tk+tk+1)/2, c=k , t< k < (tk+tk+1)/2
1
0
11
2)('
N
k
t
t
kkk
k
k
dttt
tf
Ho applicato la proprietà del valore assoluto
Scrivo l’espressione di g
22
Osservazione
),[,22 1
1
kkkk ttt
httt
tk tk+1(tk+tk+1)/2
t
Un punto t dista dal centro dell’intervallo meno di metà della lunghezza dell’intervallo.
23)(
2)('sup)(
2)('sup
)(2
)('sup)(2
)('sup
12
)('sup2
)('sup
2)('
2)('
1
01
1
0
1
0
1
0
1
0
1
11
11
abh
fNhh
f
Nhh
ftth
f
dth
fdth
f
dth
fdttt
tf
kba
kba
kba
N
kkkk
ba
N
k
t
t
kba
N
k
t
t
kba
N
k
t
t
k
N
k
t
t
kkk
k
k
k
k
k
k
k
k
),[,22 1
1
kkkk ttt
httt
Utilizzo questa proprietà
per svolgere il passaggio
24
2)()('sup)(
habfhE k
ba
Conclusione: ho dimostrato che
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METODO DEI TRAPEZI
Nel metodo dei rettangoli si approssima f con g costante a tratti
a=t0 t1 t2 b=tN
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METODO DEI TRAPEZI
Nel metodo dei trapezi si approssima f con g costruita partendo dalle rette secanti in ciascun intervallo
a=t0 t1 t2 b=tN
Quindi la funzione g è lineare in ogni intervallo e coincide con f negli estremi di ciascun intervallo.
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METODO DEI TRAPEZI
Il metodo si chiama ‘dei trapezi’ perché approssimo l’area tramite trapezi (eventualmente degeneri) invece che tramite rettangoli.
a=t0 t1 t2 b=tN
Quindi la funzione g è lineare in ogni intervallo e coincide con f negli estremi di ciascun intervallo.
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METODO DEI TRAPEZIL’approssimazione corrisponde al calcolo dell’area evidenziata in
rosso.
Obbiettivi:
•calcolo dell’area
•stima dell’errore
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Osservazione: rispetto alla normale visualizzazione, i
trapezi sono ruotati di 90 gradi:
MEMO: area di un trapezio
(base minore + base maggiore)*altezza /2
Base maggiore
Base minore
altezza
30
Equazione di una retta che passa per i punti
(x1,y1) e (x2,y2)
2 1
2 1
y ym
x x
2 1 1
2 1 1
y y y ym
x x x x
x1 x x2
y2
y
y1
x
y
da cui
1 2 1
1 2 1
y y y y
x x x x
da cui
2 11 1
2 1
( )y y
y y x xx x
da cui
2 11 1
2 1
( )y y
y x x yx x
MEMO: da matematica generale
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Calcolo della retta secante nel singolo intervallo
2 11 1
2 1
( )y y
y x x yx x
ttk t tk+1
f(tk+1)
f(t)
f(tk)
……
Applico la formula
Considerando le particolari coordinate dei punti:
1,...,1,0),,[
)()()()(
)(
1
1
1
Nkttt
tftttt
tftftg
kk
kkkk
kk
Osservo che la funzione g coincide con la funzione f negli estremi dei singoli intervalli ed è lineare in ogni intervallo.
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Area approssimata = somma delle aree dei singoli trapezi
2/)()(
2/)()()()(
1
01
1
011
N
kkk
k
N
kkkk
b
a
N
abtftf
tttftfdttf
Base minore+base maggiore altezza
Perché gli intervalli hanno tutti la stessa ampiezza
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Stima dell’erroreIpotesi in più: f derivabile due volte in (a,b) con derivata f’’ limitata.
Calcolo l’errore nel singolo intervallo, poi sommo per ottenere l’errore totale.
Inizio il calcolo partendo dall’espressione di g
1,...,1,0),,[
)()()()(
)(
1
1
1
Nkttt
tftttt
tftftg
kk
kkkk
kk
Mfba
)(''sup),(
34
Inoltre g ed f coincidono sui punti della partizione
)()()(
)()()()(1
1k
kk
kkkk tt
tt
tftftftgtgtg
))((')()( kkk ttftftf
)()()(
)('))()(())()((1
1k
kk
kkkkk tt
tt
tftfftgtgtftf
Per il teorema di Lagrange
Sottraggo
Da cui
)()()(
)('))()(())()(()()(1
1k
kk
kkkkk tt
tt
tftfftgtgtftftgtf
Ora cerco di semplificare questa quantità
35
kk
kkk tt
tftff
1
1 )()()('
)()( 1 kk tftf
kkkkk ttftftf 11 )(')()(
kkkkkk
kkk ttff
tt
tftff
1
1
1 )(')(')()(
)('
Considero quindi
Lavoro dapprima su
Applico la formula di Lagrange ed ottengo
Sostituisco ed ottengo:
36
kkkkkk
kkk ttff
tt
tftff
1
1
1 )(')(')()(
)('
kkkk
kkkk
ttfttf
fff
11 )('')(''
))(('')(')('
Applico il teorema di Lagrange alla funzione derivata prima:
Sostituisco ed ottengo che in ciascun intervallo
2
),(
221
11
1
)(''sup)('')(''
)()()(')()(
hfhfttf
tttt
tftfftgtf
bakk
kkkk
kkk
37
Errore totale: sommo sugli N intervalli
31
0
31
01
2
1
0
21
0
21
0
)(
)()(
)()()()(
111
NMhMhttMh
dtMhdtMhdttgtf
dttgtfdttgdttfE
N
k
N
kkk
N
k
t
t
N
k
t
t
N
k
t
t
b
a
b
a
b
a
k
k
k
k
k
k
3)( NMhhEE Quindi la stima cercata è:
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METODO DI SIMPSON
I passi effettuati finora per il calcolo approssimato dell’integrale hanno portato da una prima approssimazione mediante una funzione costante a tratti ad una approssimazione tramite una funzione rettilinea a tratti, in cui l’errore va a zero più velocemente quando h0.
Il passo successivo riguarda l’approssimazione mediante una funzione quadratica.
Passi ulteriori possibili riguardano l’approssimazione della funzione assegnata mediante polinomi di ordine maggiore.
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Interpolata quadratricaConsidero una funzione in [-1,1] e la sua interpolata
quadratica definita da:
]1,1[,)( 2 tCBtAttgDove le tre costanti sono determinate dalle tre condizioni
)1()1(
)0()0(
)1()1(
fCBAg
fCg
fCBAg
che chiedono che le funzioni coincidano su quei tre punti.
Osservo che l’unica soluzione del sistema lineare è:
)0(,2
)1()1(),0(
2
)1()1(fC
ffBf
ffA
40
Interpolata quadratricaQuindi
3
)1()0(4)1(
23
2]
23[
23
23)(
1
1
231
1
21
1
fff
CACBA
CBA
Ctt
Bt
AdtCBtAtdttg
Questo calcolo si generalizza facilmente ad un arbitrario intervallo [c,d] tramite un cambio di variabile
tcddc
t22
Che trasforma l’intervallo [-1,1] in [c,d]. L’integrale diventa quindi
d
c
dfdcfcfcdCAdttgdfdcfcf 6/)()2/)((49(23
2)()(2/)(4)(
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Su un intervallo qualsiasi [c,d]
con semiampiezza dell’intervallo h h=(m-c)=(d-m)
)()(4)(3
)( dfmfcfh
dttgd
c
Il nome con cui il metodo è più conosciuto è “Simpson 1/3”, per distinguerlo da un altro metodo di Simpson in cui la costante è diversa (“Simpson 3/8”)
g(x)f(x)
h hc dm
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Su più intervalli consecutiviApplico la formula considerando i punti della partizione a gruppi di tre: iniziale
( c ), finale (d) ed intermedio (m) e sommando tutti i risultati
t0 t1 t2 b=tN
Quindi la funzione g è lineare in ogni intervallo e coincide con f negli estremi di ciascun intervallo.
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Su più intervalli consecutiviApplico la formula considerando i punti della partizione a gruppi di tre: iniziale ( c ),
finale (d) ed intermedio (m) e sommando tutti i risultati.
t0 t1 t2 b=tN
h h h h h h
2
021 )()(4)(
3
1)(
N
parikk
kkk
b
a
tftftfN
abdttf
(h=(b-a)/N)
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Osservazione
Nel caso in cui f(t,x(t)) dipende solo da t il problema di Cauchy corrispondente si riduce al calcolo di una particolare primitiva di f(t).
In questo caso si può dimostrare che il metodo di Heun si riduce al metodo dei trapezi per il calcolo di
Si può anche dimostrare che il metodo di Eulero modificato si riduce a quello dei rettangoli, il metodo di Runge-Kutta a quello di Simpson.
0
)( dttf