1
La théorie des fractales
• I. Les courbes fractales– 1. Notion de courbe rectifiable– 2. Les résultats de Richardson– 3. La formule de Mandelbrot– 4. Pavage d’une ligne, d’une surface, d’un volume– 5. Généralisation : non entier
2
3
La théorie des fractales
• I. Les courbes fractales– 1. Notion de courbe rectifiable– 2. Les résultats de Richardson– 3. La formule de Mandelbrot– 4. Pavage d’une ligne, d’une surface, d’un volume– 5. Généralisation : non entier
4
5
6
La théorie des fractales
• I. Les courbes fractales– 1. Notion de courbe rectifiable– 2. Les résultats de Richardson– 3. La formule de Mandelbrot– 4. Pavage d’une ligne, d’une surface, d’un volume– 5. Généralisation : non entier
7
8
L()= N().
9
10
L()= N().
L()= k.1-D
11
)()( 0
N
0)( N
12
La théorie des fractales
• I. Les courbes fractales– 1. Notion de courbe rectifiable– 2. Les résultats de Richardson– 3. La formule de Mandelbrot– 4. Pavage d’une ligne, d’une surface, d’un volume– 5. Généralisation : non entier
13
14
La théorie des fractales
• I. Les courbes fractales– 1. Notion de courbe rectifiable– 2. Les résultats de Richardson– 3. La formule de Mandelbrot– 4. Pavage d’une ligne, d’une surface, d’un volume– 5. Généralisation : non entier
15
16
17
18
N(
Pour deux itérations successives :
ii-1 correspond au facteur de réduction r
Ni / Ni-1 est le facteur du nombre d’éléments
19
La théorie des fractales
• I. Les courbes fractales
• II. Les surfaces fractalesExemple du tapis de Sierpinski
20
21
22
23
24
La théorie des fractales
• I. Les courbes fractales
• II. Les surfaces fractales– Le tapis de Sierpinski– Le chou-fleur (volume fractal)
25
26
La théorie des fractales
• I. Les courbes fractales
• II. Les surfaces fractales
• III. Les fractales aléatoires– 1. Deux exemples simples
• La répartition des galaxies dans l’univers
27
28
La théorie des fractales
• I. Les courbes fractales
• II. Les surfaces fractales
• III. Les fractales aléatoires– 1. Deux exemples simples
• La répartition des galaxies dans l’univers
• La répartition temporelle des pluies
29
30
La théorie des fractales
• I. Les courbes fractales
• II. Les surfaces fractales
• III. Les fractales aléatoires– 1. Deux exemples simples– 2. La mesure de la dimension fractale
• La résolution variable
31
32
33
La théorie des fractales
• I. Les courbes fractales
• II. Les surfaces fractales
• III. Les fractales aléatoires– 1. Deux exemples simples– 2. La mesure de la dimension fractale
• la résolution variable
• la dimension radiale
34
La théorie des fractales
• I. Les courbes fractales
• II. Les surfaces fractales
• III. Les fractales aléatoires– 1. Deux exemples simples– 2. La mesure de la dimension fractale
• la résolution variable
• la dimension radiale
• la dimension du quadrillage
35
36
37
38
39
IV. Les applications
• 1. Application à la répartition aléatoire d’arbres (en 2-D ou en 1-D)
• 2. Renaturation de tracés antérieurement rectifiés
• 3. Modélisation du développement urbain
• 4. Utilisation en modélisation hydrologique
40
41
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 50 100 150 200 250 300
Série1
42
D. Les applications
• 1. Application à la répartition aléatoire d’arbres (en 2-D ou en 1-D)
• 2. Renaturation de tracés antérieurement rectifiés
• 3. Modélisation du développement urbain
• 4. Utilisation en modélisation hydrologique
43
44
D. Les applications
• 1. Application à la répartition aléatoire d’arbres (en 2-D ou en 1-D)
• 2. Renaturation de tracés antérieurement rectifiés
• 3. Modélisation du développement urbain
• 4. Utilisation en modélisation hydrologique
45
D. Les applications
• 1. Application à la répartition aléatoire d’arbres (en 2-D ou en 1-D)
• 2. Renaturation de tracés antérieurement rectifiés
• 3. Modélisation du développement urbain
• 4. Utilisation en modélisation hydrologique