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1
Coupes efficaces pour la relaxation lagrangienne
Cours d’optimisation combinatoire
Mr Gérard Plateau
Jean-Michel Dubois 2002
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2
Coupes efficaces
• Notations
• Condition nécéssaire
• Un exemple de coupe
• Conclusion
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3
Coupes efficaces : notations
Problème (P)
valeur optimale V(P)
solution optimale OS(P)
domaine : FS(P)
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4
Coupes efficaces : notations
Définitions :
_ une coupe est valide pour la relaxation (R) du problème (P) si le problème (R’) est encore une relaxation du problème (P). R’ est le problème R avec la nouvelle coupe.
_ on dit qu’une coupe est fortement valide si de plus
)()'( RFSRFS
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5
bAxRxA n /
Coupes efficaces : notations
XxdCxbAxfxP ,,/max:
dCxRxC n /
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6
Coupes efficaces : notations
Dualisation de la contrainte :dCx
XxbAxCxdufxLRu ,/)(max:)(
)()( aOn uLRVPV
(Geoffrion, 1974)
Avec u 0
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7
Coupes efficaces : notations
Dual lagrangien :
0/)(min uLRV u
)(0/)(min LRVuLRV u
CAxfx )(/max
Enveloppe convexe de A
(Geoffrion, 1974)
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Coupes efficaces
• Notations
• Condition nécéssaire
• Un exemple de coupe
• Conclusion
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9
Coupes efficaces : condition nécéssaire
Objectif : obtenir une meilleure valeur (i.e. une meilleure borne supérieure) de la relaxation
Moyen : ajouter des coupes de la forme
x
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10
Coupes efficaces : condition nécéssaire
xRxL n /
CLC 'Définition :
Ceci est équivalent à dualiser la coupe !
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Coupes efficaces : condition nécéssaire
On trouve une meilleure borne supérieure pour la relaxation si :
CACA )(')(
CAxfxCAxfx )(/max')(/max
et
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Coupes efficaces : condition nécéssaire
)(A
OS(LR’) OS(LR) OS(LP)
C
C’A
L
f
OS(P)
x
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Coupes efficaces : condition nécéssaire
• Pour qu’une coupe soit fortement valide tout en améliorant la borne de la relaxation lagrangienne, il faut que :
- Soit la coupe est fortement valide pour
- Soit la coupe est fortement valide pour (P)
)(C
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Coupes efficaces
• Notations
• Condition nécéssaire
• Un exemple de coupe
• Conclusion
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Un exemple de coupe
• Exemple préliminaire : TSP asymétrique
• Définition du tour :– C’est un graphe partiel à une composante
connexe– Chaque nœud à un degré intérieur égal à 1– Chaque nœud a un degré extérieur égal à 1
Le tour obtenu doit être de poids minimal !
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Un exemple de coupe
• La troisième contrainte peut s’écrire :
Vi ,1
Eji,ij
x V ensemble des sommets
• Considérons la relaxation lagrangienne où on dualise ces contraintes : une solution de cette relaxation peut violer une des contraintes (*).
(*)E ensemble des arcs
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Un exemple de coupe
• Notons l’ensemble de nœuds qui ont différents degré intérieurs/extérieurs. Considérons maintenant les coupes :
VW
Wi ,
Eik,ki
Eji,ij
xx
Ces coupes n’améliorent pas la borne supérieure de la relaxation lagrangienne !
Ce sont des coupes valides mais pas fortement valides
V ensemble des noeudsE ensemble des arcs
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Coupes efficaces : un exemple de coupe
• Sac à dos à choix multiples
jix
bxa
xsc
x
ij
ijij
, 1,0
i 1
cMax
Ii Jj
Jjij
Ii Jjijij
i
i
i
« on doit choisir un objet par classe »
« contrainte de type sac à dos »
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Coupes efficaces : un exemple de coupe
• Deux relaxations lagrangiennes possibles
• La deuxième est plus simple pour la résolution : un seul multiplicateur lagrangien. Mais ceci équivaut à la relaxation en continu
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Coupes efficaces : un exemple de coupe
• Problème : la solution de la relaxation lagrangienne risque de ‘violer’ la contrainte de type sac à dos
• Solution : ajouter une coupe qui dit : de toutes les variables qui sont actuellement à 1 dans la solution courante, au moins une doit valoir zéro.
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Coupes efficaces : un exemple de coupe
• Exemple avec 4 classes
• Supposons que valent 1 dans la solution courante
• On peut choisir la coupe
• Cette coupe va améliorer la borne !!
• Mais en la dualisant on a un autre multiplicateur de Lagrange…
41342212 , , xetxxx
341342212 xxxx
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Coupes efficaces
• Notations
• Condition nécéssaire
• Un exemple de coupe
• Conclusion
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Conclusion
• Les coupes sont aussi utilisées pour les résolutions exactes, comme dans l’algorithme du simplexe (en nombres entiers) : on ajoute des coupes de Gomory « à la volée »
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Conclusion
• L’ajout de coupes lors de relaxations lagrangiennes contribuent à l’amélioration de la borne supérieure
• La « taille » du problème augmente à chaque ajout de coupe
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Conclusion
• Pour des problèmes données, il arrive que les coupes n’améliorent pas la borne supérieure de la relaxation lagrangienne : exemple du problème du voyageur de commerce