CINEMATICA
TEMA-1
1- INTRODUCCIÓN
La cinemática, es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos.
Se define el movimiento de un cuerpo, como el cambio de su posición con el tiempo, respecto de un sistema de referencia fijo. (A todo cuerpo en movimiento le llamaremos móvil)
1.1- SISTEMA DE REFERENCIA
Un sistema de referencia está formado, por un conjunto de ejes de coordenadas, X, Y, Z y un punto llamado origen de coordenadas (punto 0)
S. de R. unidimensional: formado por un solo eje, X y un punto origen O. Se utiliza para estudiar movimientos en una sola dimensión: movimientos rectilíneos. Ej: un coche que se mueve por una carretera recta.
v
S. de R. bidimensional: formado por dos ejes perpendiculares X e Y y el punto origen O. Se utiliza para estudiar movimientos en dos dimensiones. Ej: el movimiento de una mosca sobre la superficie de un cristal.
O
Y
X
X0
S. de R. tridimensional: formado por tres ejes perpendiculares entre sí X, Y, Z y el punto origen O. Se utiliza para estudiar movimientos en tres dimensiones. Ej: el vuelo de una mosca
X
Y
Z
O
1.2- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES: Una magnitud es toda propiedad de los cuerpos que se puede medir. Una magnitud es escalar, cuando podemos expresar su valor, mediante un número y sus unidades. Son magnitudes escalares, la masa (5 kg), el volumen (3 m3), la longitud (6,7 m), el tiempo (4 s) etc.
Una magnitud es vectorial, cuando para definirla, necesitamos indicar además de un número (que indica su valor), una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Son magnitudes vectoriales, la velocidad, la aceleración, el peso etc.
Una magnitud vectorial se representa mediante un vector (segmento orientado) y se simboliza con una letra con una flecha encima, v
Un vector presenta las siguientes características:
Módulo o intensidad: viene dado por la longitud del vector y nos indica el valor de la magnitud. Dado el vector , su modulo se representa por , o v
v
v
Punto de aplicación: punto donde se aplica el vector.
Dirección: viene dada por la dirección de la recta que contiene al vector.
Sentido: viene dado por una punta de flecha en uno de los extremos.
Punto de aplicación
V: módulo Sentido
Vector velocidad
Dirección
v
2.1- RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO:
El movimiento es relativo, es decir, dependiendo del sistema que se tome como referencia, las cosas se mueven o no, y las trayectorias adoptan unas formas u otras.
Así, cuando circulamos en un coche y decimos: “Estamos en reposo respecto al coche “, es cierto, y cuando decimos: “nos movemos respecto de la carretera “, también es cierto, ya que desde un punto de vista físico no hay un sistema de referencia que sea mejor que otro. En la práctica se elige el S. de R. que haga los cálculos más sencillos.
2- CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO
2.2- TRAYECTORIA: Es la línea que resulta de unir los sucesivos puntos, por los que pasa el cuerpo en su movimiento.
En función de la trayectoria, los movimientos se clasifican en:
Rectilíneos: la trayectoria es una línea recta (balón rodando por el suelo…).
Curvilíneos: la trayectoria es una línea curva. Pueden ser circulares (vagón de noria…), elípticos ( movimiento de la Tierra alrededor del Sol..), parabólicos (lanzamiento de una jabalina… ) o de curvatura irregular (vuelo de una mosca… ).
2.3- POSICIÓN:
Es el lugar que ocupa el móvil en cada instante de tiempo, respecto del origen del S.de R. Es una magnitud vectorial, y viene dada por el vector que une el origen del S.de R. y un punto sobre la trayectoria.
r
r
r El vector posición se simboliza como .El modulo de es decir ,es la distancia entre el origen del S. de R. y un punto sobre la trayectoria
r
x
y
En los movimientos en una dimensión, viene dado por el vector en el movimiento horizontal y por el vector en el movimiento vertical.
XO
xr
O
yr
En los movimientos en dos dimensiones viene dado por dos coordenadas x e y, es decir
r
yxr
En los movimientos en tres dimensiones viene dado por tres coordenadas x, y, z. Es decir
r
zyxr
X
y(x,y)
r
x
y
x
y
z
(x,y,z)
y
Y
xz
O
O
r
v
v
En este curso estudiaremos los movimientos rectilíneos (es decir en una dimensión), en los que la posición del móvil viene dada por el valor de la coordenada x, en el movimiento horizontal, y por la coordenada y en el movimiento vertical.
También estudiaremos un movimiento en dos dimensiones: el movimiento circular.
Criterio de signos para la posición: en el movimiento horizontal, x es positivo para valores a la derecha del origen y negativo para valores a la izquierda. En el movimiento vertical, y es positivo para valores por encima del origen y negativo para valores por debajo.
2.4- DISTANCIA RECORRIDA Y DESPLAZAMIENTO
Distancia recorrida: es la longitud de la trayectoria descrita por el móvil entre dos puntos de la misma. Se representa con la letra s, y su unidad en el S.I. es el metro. En el movimiento rectilíneo, la distancia recorrida, viene dada por la diferencia entre la posición final (x) y la posición inicial (x0), en valor absoluto.
0xxs
X0 XO
s
X
v
Desplazamiento: es una magnitud vectorial. Es el vector , que une la posición inicial con la posición final . Se cumple que:
r
0r
r
0rrr
En el movimiento rectilíneo sería: 0xxx
O
xsx
0x
X0 x
En los movimientos rectilíneos el módulo del vector desplazamiento , coincide con la distancia recorrida s; es decir .En los movimientos curvilíneos no coincide con s, es decir
X
x
O
r
r
0r
r
ssr
X
Yxxxs 0
X
No, por la propia definición de movimiento.
2- Un ciclista recorre una curva semicircular de 50 m de radio. ¿Cuál es la distancia recorrida? ¿y el modulo del desplazamiento? ¿Valen lo mismo? ¿Por qué? Dibújalo.
00 x mx 100 X
smRsrecorrdist 1575014.3. . mxxxdesplazMod 1000100. . 0
No, pues s es la longitud de la trayectoria (línea verde) y el mod. desplaz. es la distancia mas corta entre las posiciones inicial y final (línea roja)
ACTIVIDADES:
1- ¿Se podría estudiar el movimiento de un cuerpo, sin elegir previamente un S.de R?
3- La pizarra está en reposo respecto a la pared, pero se mueve respecto a la Luna. ¿Realmente se mueve o no?
Para un observador en la Tierra no se mueve, pero para un observador en la Luna si se movería
4- Un móvil pasa de la posición inicial de - 400 m, hasta la posición final de 13 km, siguiendo una trayectoria rectilínea. ¿Cuál es el espacio recorrido? Dibuja el vector desplazamiento.
0
x
0x
x
mx 4000 mx 000.13
mxxs 400.13400.13400000.130
X
s
Vamos a distinguir entre y rapidez o celeridad y velocidad La rapidez o celeridad de un móvil se define como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado. Es una magnitud escalar.
t
xx
tt
xx
t
sRapidez m
0
0
0
)(
, pues tomamos el origen de tiempos en x0
Para intervalos de tiempo grandes tenemos la rapidez media. Si el intervalo de tiempo se hace muy pequeño (tiende a cero), tenemos la rapidez instantánea, en cada punto de la trayectoria.
3-LA VELOCIDAD
00 t
s
mSIelenUnidad :
La velocidad ( ) se define como el cociente entre el vector desplazamiento , y el tiempo transcurrido . Es por tanto una magnitud vectorial.
tx
v
0
0
tt
xx
t
xv
Su módulo es: t
xx
tt
xx
t
xv 0
0
0
Para intervalos de tiempo grandes se trata de una velocidad media. Cuando el intervalo de tiempo se hace muy pequeño (tiende a cero) tenemos la velocidad instantánea, en cada punto de la trayectoria.
En el movimiento rectilíneo la dirección de tiene la dirección de la recta.
v
En el movimiento curvilíneo la velocidad tiene la dirección de la tangente a la curva en cada punto.
0
v
x
0
Y
x
v
v
En el movimiento rectilíneo el módulo de la velocidad (media o instantánea) coincide con la rapidez (media o instantánea). En el movimiento curvilíneo solo coinciden el módulo de la velocidad instantánea y la rapidez instantánea, pero no la velocidad media y la rapidez media.
Criterio de signos para la velocidad: si el vector velocidad apunta hacia la derecha o hacia arriba la velocidad es positiva y si apunta hacia la izquierda o hacia abajo velocidad negativa.
V (+)
V (-)X0 0V (+) V (-)
Y
Unidades de velocidad: la unidad de velocidad en el S.I. es el m/s. Otra unidad muy utilizada es el km/h.
ACTIVIDADES
1- Realiza las siguientes transformaciones:
h
km
s
m
s
m
h
km 15;80
s
m
s
h
mk
m
h
mk2,22
3600
1
1
100080
h
km
h
s
m
km
s
m54
1
600.3
1000
115
2- Una bicicleta recorre 20 km en media hora. ¿Cuál es su rapidez media en unidades del S.I.?
s
m
t
sRapidezm 1,11
800.1
000.20
3- Juan, que está sentado en el vagón de una noria, describe la circunferencia con una rapidez media de 1 m/s en 2 minutos. ¿Cuánto vale dicha circunferencia? ¿Qué altura tiene la noria?
nciacircunferelongitudmss
t
sRapidezm 120
1201
mRhmRRs 22,38211,1914,32
1202
4- Sobre una cuadricula formada por cuadrados de 3 metros de lado un móvil describe la siguiente trayectoria. Si se tardan 1,2 segundos en recorrer cada uno de los lados. ¿Cuánto tarda en recorrer la trayectoria? Calcula, la rapidez media y la velocidad media
st 2,132,111
s
m
t
sRapidezm 5,2
2,13
311
s
m
t
rvm 14,1
2,13
912 22
4- CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS SEGÚN LA VELOCIDAD
Según la velocidad, los movimientos se clasifican en: Movimientos uniformes: Son aquellos cuya velocidad permanece constante. Como la velocidad es un vector, ha de permanecer constante:
Su módulo: es decir no varía su rapidez.
Su dirección: por tanto, la trayectoria ha de ser una línea recta.
Su sentido: el móvil no puede darse la vuelta.
Movimientos variados (o acelerados):
Son aquellos cuya velocidad es variable. De la velocidad puede variar:
Su módulo: es el caso de móviles que se mueven aumentando o disminuyendo su rapidez. Ej: el movimiento de caída libre.
Su dirección: es el caso de los movimientos circulares y en los curvilíneos en general.
Su sentido: es el caso de los movimientos vibratorios de los cuerpos elásticos.
En este movimiento la velocidad se mantiene constante, por lo que no puede variar ni el módulo (rapidez), ni la dirección, ni el sentido del movimiento. La trayectoria por tanto es una línea recta.
El módulo de la velocidad viene dado por:
000
0 ttvxxtt
xxv
00 ttvxx
Ecuación de la posición del M.R.U.: nos permite calcular la posición del móvil x, en cualquier instante, t conocidas la posición inicial xo y la velocidad v.
5- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)
5.1- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL M.R.U.:
Gráfica velocidad- tiempo (v-t):
ctev
ctev Al ser la velocidad constante, la gráfica v-t será una recta paralela al eje de los tiempos.
smv /
st
Gráfica posición-tiempo (x-t): Al representar se
obtiene una recta que corta al eje de X en x0 . La pendiente de la recta nos da la v.
00 ttvxx
0
0x
x mx
t st 0
0
tt
xxvPendiente
0
ACTIVIDADES
1- Representa la gráfica v-t que corresponde a un movimiento con velocidad constante de 15 m/s
sm /15
smv /
st
2- Representa la gráfica x-t que corresponde a la ecuación de movimiento
tx 1510
t x
0 10
1 25
2 40
3 55
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
102030405060
st
mx
3- Un ciclista describe un M.R.U. con v = 5 m/s. a) Si el cronómetro se pone en marcha, cuando pasa por la posición 200m, escribe la ecuación del movimiento del ciclista. b) ¿Cuál es su posición cuando han transcurrido 25 segundos desde que se empezó a medir el tiempo? c) Grafica x-t
txttvxxa 5200 ) 00
mxb 325255200 )
0 5 10 15 20 25 300
50100150200250300350
t(s) x(m)
0 200
5 225
10 250
15 275
20 300
25 325
st
mx
4- La ecuación de movimiento de un esquiador es a) ¿Cuáles son su posición inicial y su velocidad. b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la meta, que está en x = 1000 m?
tx 4250
s
mvymxttvxxComoa 4 250 : ) 000
sttb 1505
250100052501000 )
5- Un autobús se mueve en línea recta a 90 km/h. En el instante inicial se encuentra en el kilómetro 70: a) Escribe la ecuación de su movimiento. b) ¿En qué posición se encontrará al cabo de media hora?
txa 9070 ) kmxb 1155,09070 )
6- Se han medido las distintas posiciones de un atleta en distintos instantes de tiempo. Los valores obtenidos se indican en la tabla. Representa gráficamente la posición frente al tiempo y determina gráficamente la velocidad del corredor.
t(s) x(m)
0 10
2 30
4 50
6 70
8 90
10 110
12 130
14 150
0 2 4 6 8 10 12 14 160
20406080
100120140160
st
mx
s
m
tt
xxv 10
014
10150
0
0
7- Un galgo se desplaza en línea recta con una velocidad de 90 km/h. Si en el instante inicial su posición es 100 m y la carrera dura 20 s: a) Escribe la ecuación del movimiento en unidades S.I. b) Calcula las posiciones sucesivas que ocupa el galgo cada 4 segundos y rellena la tabla siguiente con los valores obtenidos. b) Haz la grafica posición-tiempo.
s
m
h
km2590 tx 25100
t(s) x(m)
0 100
4 200
8 300
12 400
16 500
20 6000 5 10 15 20 25
0
100
200
300
400
500
600
700
st
mx
8- ¿En qué lugar se encontrará un móvil a los 25 minutos si su posición inicial es de 3 km y su velocidad de 90 km/h? ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?
s
ms 25
h
km90 ; 3.000m3km ; 500.1min25
kmmttvxx 5,40500.40500.125000.300
kmmtvxxs 5,37500.37500.1250 9- Indica las diferencias y semejanzas entre estos dos movimientos. ¿Podrías determinar la ecuación de cada uno?
00 ttvxx tx
3
4
tx 3
45
0 1 2 3 4 5 6 70
5
10
15
st
mx
10- Sale un coche a 72 Km/h. Cinco minutos después sale en su persecución una moto a 108 Km/h. ¿Dónde y cuándo lo alcanzará? Dibuja las graficas posición-tiempo.
smvm /30 smvc /20
mmmmcc tvxtvx 00 300
mmmm tvxx 0
00 ttvxx
kmtvx eme 18000.1860030
0
Coche y moto se mueven con M.R.U.
X
? ?; ee tx
En el encuentro:
ememc ttxxx ;
00 mx
300: mc ttcumpleSecccc tvxx 0
min1060010
000.6300300200 sttt eee
0 100 200 300 400 500 600 7000
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000Grafica - coche
txc 20000.6
t(s) x(m)
0 6.000
300 12.000
600 18.000
Grafica - moto
txm 30
t(s) x(m)
0 0
300 9.000
600 18.000
st
mx
Coche
Moto
11- Dos coches salen a su encuentro, uno de Bilbao y otro de Madrid. Sabiendo que la distancia entre ambas capitales es de 443 Km. y que sus velocidades respectivas son 78 Km/h y 62 Km/h y que ambos coches salen al mismo tiempo, calcular: tiempo que tardan en encontrarse, ¿a qué distancia de Bilbao lo hacen? Dibuja las graficas posición-tiempo.
0
MadridBilbao
XA B
hkmvA /78 hkmvB /62
00 A
x kmxB
4430 ? ?; ee tx
Los dos coches se mueven con M.R.U.
00 ttvxx
ttvxx AA A 780
ttvxx BB B 624430 ee tt 6244378
hte 16,3140
443 kmtx ee 48,24616,37878
En el cruce: eeBA ttyxxx
Grafica–coche A
txA 78
t(h) x(km)
0 0
1 78
2 156
3 234
4 312
Grafica–coche B
txB 62443
t(h) x(km)
0 443
1 381
2 319
3 257
4 195 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
ht
kmx
CocheA
CocheB
6- LA ACELERACIÓN Los movimientos acelerados son aquellos, en los que varía la velocidadEj: el movimiento de caída libre de los cuerpos, el de un balón al golpearlo, el movimiento de la Luna etc.
La aceleración es por tanto, la magnitud responsable de que se produzcan cambios en la velocidad de los cuerpos. Se trata de una magnitud vectorial, y se simboliza por a
Si el cambio se produce en el módulo de la velocidad, la aceleración que provoca este cambio, se llama aceleración tangencial . Si el cambio se produce en la dirección de la velocidad, la aceleración responsable es la aceleración normal,na
ta
Aceleración tangencial ( ): su módulo , es la variación que experimenta el módulo de la velocidad con el tiempo.
ta
ta
0
0
tt
vvat
La aceleración tangencial tiene la dirección del vector velocidad.
Al igual que con la velocidad, podemos definir una aceleración tangencial media y una instantánea. Cuando el incremento de tiempo es infinitamente pequeño tenemos la aceleración instantánea. Aceleración normal (o centrípeta) ( ) :se define como el cambio que experimenta la dirección de la velocidad con el tiempo. Este tipo de aceleración aparece en los movimientos curvilíneos, pues cambia la dirección de la v
na
Se denomina normal, porque es un vector perpendicular (normal) a la trayectoria, dirigido hacia el centro de curvatura. Su módulo viene dado por la ecuación:
r
van
2
v: módulo de la velocidad; r: radio de giro de la trayectoria
En el movimiento curvilíneo, pueden existir los dos tipos de aceleraciones, tangencial y normal. La suma de las dos es la aceleracion total,
na
ta
na
ta
na
ta
nt aaa
a
a
a
Un ejemplo de movimiento en el que se dan los dos tipos de aceleración, sería el vuelo de una mosca. Ésta, en su vuelo, va variando tanto el módulo, como la dirección de la velocidad.
Criterio de signos para la aceleración: en los movimientos rectilíneos: si el vector aceleración apunta hacia la derecha o hacia arriba, es positiva. Si apunta hacia la izquierda o hacia abajo, negativa.
X
Y
00
a
a
a
a
Actividades
1- Un móvil aumenta de 20 a 25 m/s su velocidad en 2,5 s, y otro de 42 a 57 m/s en 7,5 s. ¿Cuál ha acelerado más?
0
0
tt
vvat
22
5,2
5
5,2
2025
s
ma
22
5,7
15
5,7
4257
s
ma
2- Un vehículo toma una curva de 25 m de radio con una velocidad de 80 km/h. ¿Cuál ha sido la aceleración normal?
2
22
75,1925
2,22
s
m
r
van
smhkm /2.22/80
7- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
En este movimiento, varía de forma constante el módulo de la velocidad, pero no varían ni la dirección ni el sentido (movimiento rectilíneo); por tanto la aceleración es constante. Ecuación de la velocidad:
tavvtSittavvtt
vva
00000
0 0 ;
tavv 0
Esta ecuación, me permite calcular la velocidad en cada instante de tiempo, conocidas la velocidad inicial, y la aceleración
Ecuación de la posición:Deducción:
tvxxt
xxv mm 0
0
20vv
vm
ttavxx
2
100
tavtavv
vm
2
1
2 000
tavv 0
200 2
1tatvxx
Esta ecuación, nos permite calcular la posición del móvil, en un instante t, conocida su posición inicial, su velocidad inicial, y la aceleración.
Combinando matemáticamente las ecuaciones de velocidad y de la posición, obtenemos una tercera ecuación del movimiento:
)(2 02
02 xxavv
7.1-REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL M.R.U.A
Gráfica aceleración-tiempo (a-t): como la aceleración es constante, se obtiene una recta horizontal.
ctea
ctea
2/ sma
st
Gráfica velocidad-tiempo (v-t): es una recta con cierta pendiente, que puede pasar o no por el origen. El valor de la pendiente de la recta es igual a la aceleración.
st
t
vvaPendiente 0
smv /
Gráfica posición-tiempo (x-t): es un tramo de parábola. Resulta de representar la ecuación de posición
st
mx
7.2- TIPOS ESPECIALES DE M.R.U.A.: LA CAIDA LIBRE Y EL LANZAMIENTO VERTICAL
La caída libre: es el movimiento de un cuerpo que deja caer a cierta altura, sobre la superficie de la Tierra. Su velocidad inicial es nula. La aceleración es la aceleración de la gravedad , que es siempre un vector dirigido hacia el centro de la tierra de módulo 9,8 m/s2.
g
0y
0 ; 00 vhy
v
28,9
s
mg
h hgv
tgh
tgv
02
2
10
2
2
0
El lanzamiento vertical: cuando se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba, su velocidad inicial elevada, irá disminuyendo hasta detenerse (v = 0), para empezar a caer. La aceleración es la de la gravedad g = - 9,8 m/s2
0; )( 00 yv
28,9
s
mg
hyv ;0
0
h
hgv
tgtvh
tgv
20
2
1
0
20
20
0
1- Un coche arranca con una aceleración de 2 m/s2. ¿Qué velocidad habrá alcanzado transcurridos 15 s? Calcula la distancia que habrá recorrido en ese tiempo. Gráficas.
X0
2/2 sma MRUA
00 x00 t
00 v?v
?xst 15
s
mvttavv 30152000
mattve 2251522
1
2
1 220
tv 2t(s) v(m/
s)
0 0
5 10
15 30 0 4 8 12 160
10
20
30
40t(s) x(m
)
0 0
5 25
10 100
15 225
2tx
0 6 120
50100150200250
st st
)/( smv
)(mx
Actividades
2- Determina e interpreta la aceleración del movimiento de la figura y determina el espacio recorrido en los 6 primeros segundos. Dibuja la grafica posición-tiempo.
0 1 2 3 4 5 6 70
2
4
6
8
10
st
)/( smv
20
0 5,16
9
06
90
s
m
tt
vva
mattve 2765,12
169
2
1 220
275,09 ttx
t(s) x(m)
0 0
2 15
4 24
6 270 1 2 3 4 5 6 7
0
10
20
30
st
)(mx
3- La ecuación de velocidad de un objeto que se mueve con M.R.U.A.es, (en unidades del S.I.). Calcula: a) la velocidad inicial. b) la aceleración. c) la velocidad al cabo de 8 s. d) ¿en que instante la velocidad es de 27 m/s? e) haz las gráfica v-t y x-t
tv 312
atvv 0 s
ma 12 v) 0
23 )
s
mab
s
mvc 368312 ) sttd 5
3
122731227 )
)et(s) v(m/
s)
0 12
2 18
4 24
6 30
8 36 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
10
20
30
40
25,112 ttx
t(s) x(m)
0 0
2 28
4 72
6 126
8 1920 1 2 3 4 5 6 7 8 9
050
100150200250
tv 312)/( smv )(mx
st st
4- Dada la ecuación del movimiento, .Calcula la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración. Dibuja las gráficas v-t y x-t.
2325 ttx
200 2
1attvxx
200 6 ;2 ;5s
ma
s
mvmx
tv 62
t(s) v(m/s)
0 2
1 8
2 14
3 20
4 26
t(s) x(m)
0 5
1 10
2 21
3 38
4 61
0 1 2 3 4 50
10203040506070
0 2 4 605
1015202530
)/( smv
st st
)(mx
5- Un coche que circula por una carretera recta a 50 km/h acelera hasta 80 km/h en 5 s, velocidad que mantiene 10 s. A continuación frena y para en 20 s. Dibuja la gráfica v-t, calcula las dos aceleraciones, y determina el espacio total recorrido.
2
01
010101 6,1
05
8,132,22
s
m
tt
vvattavvMRUA
X0
MRUA MRURMRU
00 t st 51 st 152 st 353
00 x ?1 x ?2 x ?3 x
smv /8,130
smv /2,221
smv /2,222
03 v
2
23
232323 1,1
1535
2,220
s
m
tt
vvattavvMRUR
?a ?a
tv 6,18,13
MRUA
t(s) x(m)
0
2
5
8,13
2,17
2,22
MRU
smv /2,22
t(s) x(m)
5
10
15
2,22
2,22
2,22
MRUR
151,12,22 tv
t(s) x(m)
15
25
35
2,22
1,11
0
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
20
25
st
)/( smvA
B
C
CBAT eeee
mttattvxxeA 27,9056,12
158,13
2
1 220101001
mttvxxeB 2,2225152,2212112
222323223 15351,1
2
115352,22
2
1
ttattvxxeC
meC 2,2222,2224,444
meT 71,5342,2222,22227,90
6- Se deja caer un objeto de 2 kg desde cierta altura. Calcula la velocidad y el espacio que habrá recorrido cuando hayan pasado 1, 2 y 3 segundos. Dibuja las gráficas a-t, v-t e y-t.
0 0?;;0 000 vyt
?;?;;1 111 vyst
??;;2 222 vyst
??;;3 333 vyst
s
mvttgvv 100110010101
s
mvttgvv 2021020202
s
mvttgvv 3031030303
m
ttgttvyye s
51510
2
1
2
201010011
Y
mttgttvyye s 2025202
1 2202020022
mttgttvyye s 4535302
1 2203030033
tv 10t(s) v(m/
s)
0 0
1 -10
2 -20
3 -30
0 1 2 3 4
-40
-30
-20
-10
0t(s) x(m)
0 0
1 -5
2 -20
3 -45
25tx
0 1 2 3 4
-50-40-30-20-10
0
10ga 0 1 2 3 4
-15
-10
-5
0
)/( smv
st
st st
)(mx
2/ sma
7- Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 60 m/s. Calcula su velocidad a los 5 s, el tiempo que tardará en llegar a su altura máxima y la altura maxima. Graficas v-t y y-t
0
smvyt /60 0 0 000
st 51
02 v s
mvttgvv 105106010101
st
tttgvv
610
60
10600
2
20202
myttgttvyy 1806566002
1 22
20202002
?2 t ?2 y
?1 y ?1 v
tv 1060
t(s) v(m/s)
0 60
2 40
4 20
6 00 1 2 3 4 5 6 7
0
20
40
60
80
)/( smv
st
2560 tty
t(s) y(m)
0 0
2 100
4 160
6 1800 1 2 3 4 5 6 7
0
50
100
150
200
st
)(my
8- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)
El M.C.U. es el movimiento de un móvil, que recorre una trayectoria circular con velocidad constante en modulo; sin embargo varía la dirección y el sentido del vector velocidad
A B
As Bs
En la figura, tenemos un disco que hacemos girar con rapidez constante, en el que hemos marcado dos puntos A y B.
v
v
v
v
Cuando el disco efectúa un cuarto de giro, el punto A recorre el arco SA y el punto B el arco mayor SB. Como el tiempo transcurrido para cada punto en recorrer su arco es el mismo, la velocidad lineal del punto B es mayor que la del punto A.
ABABB
BA
A vvSScomot
Sv
t
Sv ,;;
Por tanto para un cuerpo que gira la velocidad lineal de sus puntos varía según la distancia al centro de giro. A mayor distancia del centro de giro mayor velocidad lineal y viceversa.
¿Cómo expresar entonces la velocidad de giro del disco?:Para ello se introduce la velocidad angular ω, que se define como el ángulo barrido en la unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. es el rad/s. También se suele utilizar como unidad, revoluciones/minuto ó r.p.m.
tttt
0
0
0 t 0
Ángulo barrido: su unidad en el S.I. es el radián (rad). Definimos el radián como el ángulo cuyo arco es igual al radio. El ángulo también se mide en grados sexagesimales.
Equivalencia entre grados y radianes:
La relación entre el ángulo barrido, el arco y el radio es:
R
S Si el arco es la circunferencia completa
y el ángulo 3600
4471572
360rad 1 0
0
radR
R 2
2
RS 2
Por tanto 360º son
rad 2
Relación entre la velocidad lineal (v) y la velocidad angular (w):
RSR
S
Radio
ArcoAngulo
t
Rv
t
SvComo
, wRv
Periodo y frecuencia en el MCU Periodo (T): es el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta completa. Su unidad S.I. es el segundo.
Frecuencia (f): es el número de vueltas que da el móvil en un segundo. Su unidad S.I. es el hercio (Hz)
Hz
s
ciclo
s
vueltas
Periodo y frecuencia se relacionan por la fórmula:
Tf
1
wT
2
2
wf
Aceleración centrípeta (o normal)
En el M.C. varía la dirección de la velocidad. El responsable de esta variación, es la aceleración centrípeta (o normal). Se trata de un vector perpendicular a la trayectoria, dirigido hacia el centro de la circunferencia. Su módulo viene dado por:
RaR
Ra
R
va ccc
2
222
ca
ca
ca
R
v
v
v
2- Una rueda gira con w=0,5 rad/s ¿Qué ángulo habrá girado en 1 min? Expresa el valor de w en r.p.m.
1- Realiza las transformaciones:
...s
rad28 ; ...45 mpr
s
radmpr
Actividades
s
rad
s
rad
srev
radrevrevmpr
5,160
245
60
min1
1
2
min45
min45...45
...840min
840min2
6028
2
1
min1
6028 mpr
revrev
rad
revs
s
rad
rpmrevs
dra
rev
s
draw
15
min
15
min1
60
2
15,0
wt 0 rad30605,00
3- Una rueda gira a razón de 50 r.p.m. ¿Cuál será su w en rad/s? ¿Cuál será la velocidad lineal de un punto de su periferia situado a 20 cm del eje de giro?
s
rad
svre
radvrerpmw
6,160
nmi1
1
2
nmi5050
s
mwRv 05,12,06,1
4- Calcula la velocidad angular de la Tierra en su rotación y la velocidad lineal de un punto del ecuador. (Dato: la Tierra da una vuelta completa en 24 horas. Radio de la Tierra = 6.500km
s
rad
s
rad
t5103,2
600.324
2
s
mwRv 3.051.3105,6103,2 65
5- El radio de las ruedas de un coche que circula a 108 km/h es 15,9 cm. ¿Cuántas vueltas dará una rueda en 1 km? Calcula la w de las ruedas en r.p.m. y en rad/s
s
rad
R
vwwRv 7,188
159,0
30
vueltasm
vueltas
mk
mmkvueltaskm 5,001.1
159,014,32
1
1
10001 ;1
rpmdra
revs
s
draw 661.5
2
1
min1
607,188
6- Las aspas de un ventilador, de radio 25cm giran con w =600 r.p.m. Calcula: a) la distancia angular que habrán recorrido en 1 min, y los metros que habrá recorrido un punto del extremo de una pala. b) la velocidad lineal de un punto a 5 cm del eje de giro. c) el periodo y la frecuencia del movimiento de las aspas.
s
rad
svre
radvrerpmwa
2060
nmi1
1
2
nmi600600 )
wt 0 rad 200.160200
RArco mArco 94214,330030025,0200.1
wRv
Hzs
rev
Tf 1010
1,0
11
s
mv 7,15525,020
rev
sT 1,0
20
2
)c
wT
2
Tf
1
)b
PROBLEMAS – CINEMÁTICA
A- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)
1. Realizar las siguientes transformaciones: a) 36 km/h a m/s. b) 10 m/s a km/h. c) 30 km/min a cm/s. d) 50 m/min a km/h.
s
m
s
h
mk
m
h
mka 10
600.3
1
1
100036 ) h
km
h
s
m
km
s
mb 36
1
600.3
1000
110 )
s
cm
smk
cmmkc 000.50
60
nmi1
1
000.100
nmi30 )
h
km
hm
kmmd 3
1
nmi60
000.1
1
nmi50 )
2- Un coche inicia un viaje de 495 Km. a las ocho y media de la mañana con una velocidad media de 90 Km/h. ¿A qué hora llegará a su destino?
hv
stvtsMRU 5.5
90
495: A las dos de la tarde
3- Un móvil recorre 98 km en 2 h, calcular: a) Su velocidad. b) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 h con la misma velocidad?
h
km
t
sva 49
2
98 ) kmsvtsb 147349 )
4- ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 km/h para recorrer una distancia de 25.000 m?
min20200.138,20
000.25 s
v
st
5- En una prueba de 3000 metros obstáculos, el vencedor invirtió en el recorrido 6 minutos y 40 segundos. El último clasificado cruzó la meta 23 segundos después. Calcula la velocidad media del primer y último clasificado.
s
m
t
svVencedor m 5,7
400
000.3 :
s
m
t
svUltimo m 1,7
423
000.3 :
6- Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policía, ¿cuánto tarda el policía en oírlo si la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s?
sv
st 18,6
330
040.2
7- ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 300.000 km/s y el Sol se encuentra a 150.000.000 km de distancia.
min3,8500000.300
000.000.150 s
v
st
8- La velocidad de sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300.000 km/s. Se produce un relámpago a 50 km de un observador. a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido? b) ¿con qué diferencia de tiempo los registra?
luzLaa ) sv
stb luz 61,0
000.300
000.50 )
sv
st sonido 51,151
330
000.50 sDiferencia 35,15116,051,151
9- Un observador se halla a 510 m. de una pared. Desde igual distancia del observador y de la pared, se hace un disparo; ¿al cabo de cuántos segundos percibirá el observador: a) el sonido directo; b) el eco? Velocidad del sonido 340 m/s.
sv
st dirson 75,0
340
255.. s
v
steco 25,2
340
765
10- Un movil recorre la recta, con velocidad constante. En el tiempo t1 = 0,5 s y t2 = 1,5 s, sus posiciones en la recta son x1 = 3,5 m y x2 = 43,5 m. Calcular: a) ¿a qué v se desplaza el auto? b) ¿en qué punto de la recta se encontraría a los 3 s?
s
m
tt
xxva 40
5,05,1
5,35,43 )
12
12
mxttvxxb 5,1035,03405,3 ) 31313
X0
st
mx
5,0
5,3
1
1
st
mx
5,1
5,43
2
2
st
x
3
?
3
3
smv /40
11- Dos ciudades distan entre sí 5 km. y las une una carretera totalmente recta. Si de la primera ciudad parte un ciclista con una velocidad de 36 km/h y de la otra ciudad y al encuentro del primer ciclista parte otro ciclista con una velocidad de 900 m/min. Calcular: a) El tiempo que tardan en encontrarse los ciclistas. b) La distancia entre el punto de encuentro y la primera ciudad. c) Grafica x-t
X0
MRUMRUsmvA /10 smvB /15
0 x0 00 AAt mxt BB 000.5 0 00
? ? ee xt
sttttvxtvx eeeeBBeAA 20025
000.515000.510000
AAAAA ttvxx 00
xx y xtt
encuentrodepuntoelenttt
eBAe
BA
;
BBBBB ttvxx 00
mxtx eee 000.22001010
A CiclistatxA 10
t(s) x(m)
0 0
50 500
100 1.000
150 1.500
200 2.000BCiclista
txB 15000.5
t(s) x(m)
0 5.000
50 4.250
100 3.500
150 2.750
200 2.000
0 50 100 150 200 2500
1000
2000
3000
4000
5000
6000)(mx
st
A Ciclista
BCiclista
12- Un ladrón roba una bicicleta y huye con ella a 20 km/h. Un ciclista que lo ve, sale detrás de él tres minutos más tarde a 22 Km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo y donde lo alcanzará? Graficas.
X0
MRUMRUsmvL /5,5
smvC /1,6
LLLL tvxx 0
CCCC tvxx 0 eCeCL ttxxxencuentrodepuntoelEn y :
kmmtxe 11000.11800.11,61,6
00 Cx ? ? ee tx
180: CL ttquecumpleSe
min30800.15,0
000.15,51,61805,5
1,601805,50180 00
sttt
tttvxtvx
eee
eeCCCCLL
Ladron
txL 5,5000.1
t(s) x(m)
0 1.000
900 6.000
1.800 11.000
2.0001,111.12
Ciclista
txC 1,6
t(s) x(m)
0 0
900 5.500
1.800 11.000
2.0002,222.12
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Ladron
Ciclista
)(mx
st
13- Dos coches salen a su encuentro, uno de Bilbao y otro de Madrid. Sabiendo que la distancia entre ambas capitales es de 443 Km. y que sus velocidades respectivas son 78 Km/h y 62 Km/h y que el coche de Bilbao salió hora y media más tarde, calcular: a) Tiempo que tardan en encontrarse b) ¿A qué distancia de Bilbao lo hacen? Grafica x-t.
X0
hkmvM /62hkmvB /78Bilbao Madrid
? ? ee txMRUVMRUV
MMMM
BBBB
tvxx
tvxx
0
0
00 Bx kmx M 4430
5,1 : BM ttquecumpleSe
eBeMB ttxxxencuentrodepuntoelEn y
httt
tttvxtvx
eee
eeBMMBBB
5,2140
350934436278
5,162443785,100
kmtx ee 1955,27878
Bilbao
BB tx 78t(h) x(km
)
0 0
1 78
1,5 117
2,5 195
Madrid 5,162443 BM tx
BM tx 62350
T(s) X(km)
0 350
1 288
1,5 257
2,5 1950 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
50
100
150
200
250
300
350
400)(mx
st
Bilbao
Madrid
B- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTEACELERADO (M.R.U.A.)
14- Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular: a) Aceleración. b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s? graficas aceleracion-tiempo, velocidad-tiempo y posicion-tiempo
0
Y
?a
0 0 0 000 vyt
30st ?ysmv /588
20 6,1930
0588 )
s
maatvva
mattvb 820.82
306,19300
2
1y-ys )
22
00
2/6,19
sma
taGrafica
0 10 20 30 40 50 600
10
20
30 2/ sma
st
tyGrafica
tv 6,19
t(s) v(m/s)
0 0
10 196
20 392
30 588
tyGrafica 28,9 ty
t(s) y(m)
0 0
10 980
20 3.920
30 8.820
0 5 10 15 20 25 30 350
100200300400500600700
0 5 10 15 20 25 30 350
2000
4000
6000
8000
10000
)(my
st
st
)/( smv
15- Un ciclista inicia el movimiento por una calle con aceleración constante hasta alcanzar una v de 36 km/h en 10 s. a) ¿Cuánto vale la aceleración?; b) ¿Qué distancia ha recorrido en 10 s?
X0
MRUA
0 0 0 000 vxt st 10 ?x smv /10
20
0 1010
010
s
m
tt
vva
mttatvxxs 501012
1
2
1 22000
tv t(s)
v(m/s)
0 0
5 5
10 100 4 8 12
0
5
10
15t(s)
x(m)
0 0
5 125
10 500
25tx
0 2 4 6 8 10 120
100200300400500600
?a
)(mx
st st
)/( smv
16- Un coche está parado en un semáforo, cuando se pone el semáforo en verde inicia el movimiento con una aceleración de 1 m/s2 durante 6s.Calcular: a) El espacio recorrido. b) La velocidad que adquiere el coche después de ese tiempo.
X0 0 0 0 000 vxt
2/1 sma MRUA
st 6 ?x ?v
mttatvxxsa 18612
1
2
1 ) 22
000
smvvttavvb /60610 ) 00
tv t(s) v(m/s)
0 0
3 3
6 6 0 1 2 3 4 5 6 70
2
4
6
8 25tx t(s) x(m)
0 0
3 45
6 180 0 1 2 3 4 5 6 70
50
100
150
200)/( smv
st st
)(mx
17- Un móvil con velocidad inicial de 10 m/s acelera con aceleración de 2 m/s2 a) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 100m? b) ¿Qué velocidad alcanza cuando ha recorrido 150m?
X0 smvxt /10 0 0 000
2/2 sma
?t mx 100 mx 150 ?v
0100101001002
1 ) 222
00 ttttattvxxa
st 2,6
2
3,2210
12
100141010 2
700015022102 ) 20
20
2 xxavvb
s
mv 5,26700
18- Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. Calcular: a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos? b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos? c) Graficas.
X0
MRUR
0 0 00 xt
?0 v
0 400 25 vmxst
?a
avatvvb 250 ) 00
avattvxx 5,312254002
10
200
av 250
aa 5,3122525400
228.1
5,312
4005,3124005,312625400
s
maaaa
s
mvvatvva 322528,10 ) 000
tvGrafica
tv 28,132 t(s) v(m/s)
0 32
5 25,6
10 19,2
18 8,96
25 0
txGrafica
t(s) x(m)
0 0
5 144
10 256
18 368,6
25 400
264,032 ttx
0 5 10 15 20 25 3005
101520253035
0 5 10 15 20 25 300
100
200
300
400
500
)/( smv
st
st
)(mx
19- Un ingeniero quiere diseñar una pista para aviones de manera que puedan despegar con una velocidad de 72 m/s. Estos aviones pueden acelerar uniformemente a razón de 4 m/s2. a) ¿Cuánto tiempo tardarán los aviones en adquirir la velocidad de despegue? b) ¿Cuál debe ser la longitud mínima de la pista de despegue?
X0 0 0 0 000 vxt
2/4 sma MRUA
?t ?x
smv /72
sttatvva 184
724072 ) 0
mxxattvxxb 6481842
1
2
1 ) 22
00
20- La aceleración de un móvil es constante y tiene como valor 40 cm/s2. Si en un cierto instante el valor de la velocidad es de 6 m/s, ¿cuál es su valor 2 minutos después?
22224,0
100
140 ;40
s
m
mc
m
s
mc
s
m
s
cm
smvvttavv /5401204,0600
21- La velocidad de un móvil viene dada en m/s por la ecuación v=225-5t con el tiempo t en segundos. Determinar: a) la velocidad cuando empieza a contar el tiempo. b) la velocidad que lleva en t=5 s. c) el momento en que la velocidad es nula.
smvatvvComoa /225: ) 00
smvb /20055225 )
stttc 455
2255-2250 )
22- Un avión recorre 1200 m a lo largo de la pista antes de detenerse al aterrizar. Calcular: a) la deceleración de la pista si aterriza a 100 km/h; b) el tiempo que tarda en pararse desde que aterrizó; c) el espacio que recorre en los 10 primeros segundos.
2
220
20
2 32,00200.1207,272 )s
maaxxavva
sttatvvb 8,8632,007,27 ) 0
msattvxxsc 7,431032,02
1107,27
2
1 ) 22
00
X0
MRURsmv /7,270
0 0 00 xt
?a
?t mx 200.1
0v
23- Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con velocidad inicial de 50 m/s. Calcular: a) La altura máxima alcanzada y el tiempo empleado en alcanzarla. b) La velocidad que tiene al llegar al suelo y el tiempo que tarda en caer. c) Graficas.
sttgtvva 510
5010500 ) 0
mygttvyy 1255102
1550
2
1 2200
stttt
ttgttvyyb
105
5005500550
550002
1 ) 22
00
smvgtvv /50100501010500 0
Y
2/10 smg
smv /500
0v
?y
?t
0 0 00 yt
t- vGrafica
tv 1050
t(s) v(m/s)
0 50
2 30
4 10
6 -10
8 -30
10 -50
t-y Grafica
2550 tty
t(s) y(m)
0 0
2 80
4 120
6 120
8 80
10 0
0 2 4 6 8 10 12
-60
-40
-20
0
20
40
60
0 2 4 6 8 10 120
20406080
100120140
)/( smv
st
st
)(my
24- Desde la azotea de un edificio de 42 metros de altura, dejamos caer un objeto. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad con la que lo hace. Graficas.
smvyygvv /2984042010202 20
20
2
sttgtvv 9,210
29100290
0
Y
2/10 smg
00 tmy 420
00 v
?t0y
?v
t- vGrafica
tv 10
0 1 2 3 4
-35-30-25-20-15-10-50
t-y Grafica2542 ty
0 1 2 3 40
1020304050
)/( smv
st
st
)(my
v
25- Una piedra cae libremente en el vacío. Calcula: a) La distancia recorrida por la piedra durante los primeros 5 segundos de caída. b) La distancia recorrida por la piedra durante los 5 segundos siguientes.
Y
0
00 t ?0 y 00 v
v
2/10 smg
? 5 11 yst
? 10 22 yst
2
010100110 2
1 ) ttgttvyysa
m12512505102
1050 2
msss 375125500102021
m500500010102
10100 2
2
020200220 2
1 ) ttgttvyysb
26-Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una v inicial de 7 m/s. a) ¿Cuál será su v después de haber descendido 3 s? b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 s? c) ¿Cuál será su v después de haber descendido 14m? d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200m, ¿en cuánto tiempo y con que v llega al suelo?
smvgtvva /373073107 ) 0
mgttvyysb 66663102
137
2
1 ) 22
00
smvyygvvc /14,181410272 ) 20
20
2
smvyygvvd /63,63200010272 ) 20
20
2
s
g
vvtgtvv 09,5
10
2,186,6200
Y
0
00 tmy 2000
smv /70 st 30
?y
?v
?tmy 186
?v
?t0y?v
g
27-Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 90 km/h, ¿cuánto tardará en llegar a la altura máxima? Graficas.
stg
vvtgtvv 5,2
106,3
900
00
0
00 t00 y
smv /250
?t
?y
0v
t(s)
v(m/s)
0 25
1 15
2 5
2,5 0
tv 1025
0 1 2 30
10
20
30 t(s) y(m)
0 0
1 20
2 30
2,5 31,25
2525 tty
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
10
20
30
40)/( smv
st st
)(my
28- Se lanza una pelota hacia arriba y se recoge a los 2 s, calcula: a) ¿Con qué velocidad fue lanzada? b) ¿Qué altura alcanzó? c) ¿Con qué velocidad llega abajo?
s
mvvgttvyya 10
2
2025200
2
1 ) 0
20
200
s
mtgtvvb 1
10
100 ) 0
s
mvgtvvc 1021010 ) 0
mgttvyy 51511002
1 2200
Y
000 t00 y?0 v
?t?y
0v
st 20y
?v
29- Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad de 5 m/s. a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota al cabo de 7 s? b) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?
s
mgtvva 757105 ) 0
mgttvyyb 2802453575752
1s ) 22
00
30- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 25 m/s, ¿qué altura alcanzará?
stgtvv 5,210
2500
mgttvyy 25,325,255,22502
1 2200
31- Desde la terraza de un edificio de 100 m de altura se tira un objeto hacia abajo con una velocidad de 10 m/s. Despreciando la resistencia del aire. Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar al suelo. b) La velocidad al llegar al suelo.c) Graficas
smvyygvvb /7,44100.21000102102 ) 20
20
2
ss
g
vvtgtvva 5,347,3
10
107,44 ) 0
0
t(s) v(m/s)
0 -10
1 -20
2 -30
3 -40
3,5 -44,7
tv 1010
0 1 2 3 4
-50
-40
-30
-20
-10
0t(s) y(m)
0 0
1 85
2 60
3 25
3,5 00 1 2 3 4
0
50
100
150
2510100 tty
)/( smv
st
st
)(my
32- Un alumno esta en una ventana de la 2ª planta del colegio situada a 8 m sobre el patio. Un alumno lanza una pelota desde el patio y hacia arriba con una v de 20 m/s. Calcular: a) La altura máxima que alcanza la pelota, medida desde el patio. b) El tiempo que tarda, el alumno, en ver pasar la pelota, por delante de la ventana, contado desde el momento del lanzamiento y la velocidad.
; 210
200 ) 0 stgtvva
mgttvyy 202522002
1 2200
08205520082
1 ) 222
00 ttttgttvyyb
52
8542020
2
422
a
acbbt
s55,310
5,1520
s45,010
5,1520
s
mgtvv 5,1545,010200
C- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U)
33-Calcula la veloc. angular de una rueda que gira describiendo un ángulo de 2 rad en 10 s. ¿Cuál será la velocidad lineal de un punto de la rueda situado a 30 cm de su eje de giro?
s
rad
tw 2,0
10
020
s
mwRv 06,03,02,0 ;
34- Una rueda gira describiendo un ángulo de 900 en 1 min. Calcula su velocidad angular. Si el radio de la rueda es de 15 cm calcula la velocidad lineal de un punto de su periferia.
s
rad
tw
12060
05,00
s
mwRv 004,0
120
15,0 ;
35- Calcula el tiempo que tarda en completar una vuelta un móvil que se mueve con M.C.U. con w = 10 rad/s. ¿Cuántas vueltas completas habrá dado en 35 s?
sw
twt 628,010
0200
vueltasvueltas
vuelta
ss
5573,55628,0
35
36- Un cochecito da vueltas en una pista circular y recorre 1m en 10s. El radio de la pista es de 50cm.a) ¿Cuál es su v. lineal?, b) ¿Cuál es la v. angular?, c) ¿Cuántas vueltas da en 1 min?
s
m
t
sva 1,0
10
1 )
s
rad
R
vwwRvb 2,0
5,0
1,0 )
radwtc 12602,00 ) 0 vuelvueltasn 91,128,6
12
2º
37- Calcula el período y la frecuencia de un objeto que describe un M.C.U. con una w = 500 r.p.m
sw
T 26,16
28,62
radsvre
radvrew
6,1660
nmi1
1
2
nmi500
HzT
f 5,02
11
38- Una rueda de un coche, de 35 cm de radio, gira con una frecuencia de 15Hz. Calcula: a) la velocidad angular de la rueda, b) ¿Cuánto tiempo tarda la rueda en dar una vuelta completa?, c) ¿A qué velocidad lineal se desplaza el coche?
s
radfw
wfa 2,9414,32152
2 )
sf
Tb 60,015
11 )
s
mwRvc 3335,02,94 )