![Page 1: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/1.jpg)
FEH2G3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem Koordinat
Program Studi S1 Teknik Telekomunikasi
Fakultas Teknik Elektro
Universitas Telkom
2014
![Page 2: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/2.jpg)
Tujuan Pembelajaran
1. Mahasiswa memahami berbagai operasi vektor beserta arti
fisisnya
2. Mahasiswa memahami sifat-sifat dari Sistem Koordinat
Kartesius (SKK), Sisterm Koordinat Silinder (SKS) dan Sistem
Koordinat Bola (SKB)
3. Mahasiswa mampu melakukan transformasi representasi
vektor antar sistem koordinat
2FEG2C3 Elektromagnetika I
![Page 3: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/3.jpg)
Organisasi Materi
o Analisis Vektor
o Sistem Koordinat
o Transformasi Koordinat
3FEG2C3 Elektromagnetika I
![Page 4: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/4.jpg)
4FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatAnalisis Vektor
Skalar : Besaran yang hanya memiliki nilai.
Vektor : Besaran yang memiliki nilai dan arah.
Contoh : temperatur, laju, jarak, dll.
Contoh : medan listrik, medan magnet, dll.
![Page 5: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/5.jpg)
5FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatAnalisis Vektor
Notasi vektor
AaAA ˆrr
=dimana:
Ar
menyatakan besar vektor A
Aa menyatakan vektor satuan searah vektor A
Vektor satuan menyatakan arah vektor, besarnya satu.
A
AaA r
r
=ˆ
![Page 6: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/6.jpg)
6FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
o Lebih mudah menuangkan konsep vektor menggunakan sistem
koordinat.
o Tiga macam sistem koordinat yang akan dibahas:
1. Koordinat Cartesius
2. Koordinat Silinder
3. Koordinat Bola
![Page 7: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/7.jpg)
7FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
1. Koordinat Cartesius
Dalam koordinat Cartesius, sembarang
vektor A ditulis:
Ax , Ay , dan Az adalah komponen vektor A
dalam arah , dan
zzyyxx aAaAaAA ˆˆˆ ++=r
yA y
x
z
Ar
xA
zA
dimana:
xa yaza
![Page 8: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/8.jpg)
8FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
1. Koordinat Cartesius
Besar vektor A ditulis:
222
zyx AAAA ++=r
Vektor satuan searah A ditulis:
222
ˆˆˆˆ
zyx
zzyyxx
A
AAA
aAaAaA
A
Aa
++
++== r
r
![Page 9: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/9.jpg)
9FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
1. Koordinat Cartesius
x
y
z
2
4
3
A
B
Gambarkan vektor berikut dalam koordinat Cartesius
A = 2ax+3ay+4az berpangkal di titik (0,0,0)
B = aρ - 2aφ + 4az berpangkal di titik (3,0,0)
![Page 10: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/10.jpg)
10FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
1. Koordinat Cartesius
Elemen luas
yadxdzSd ˆ=r
xadydzSd ˆ=r
zadxdydS ˆ=
dxdydzdv =
Elemen volume
Elemen panjang
zyx adzadyadxld ˆˆˆ ++=r
![Page 11: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/11.jpg)
11FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
2. Koordinat Silinder
ρ
z
φ
za
ρa
φa
Dalam koordinat Silinder sembarang
vektor A ditulis
zzaAaAaAA ˆˆˆ ++= φφρρ
r
dimana:
Aρ , Aφ , Az adalah komponen vektor
A dalam arah , danρaφa
za
![Page 12: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/12.jpg)
12FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
2. Koordinat Silinder
x
y
z
M N
3aρ
2aφ
az
3aρ
2aφaz
B
A
Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang
sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda
karena titik pangkal yang berbeda.
Gambarkan vektor berikut dalam koordinat Silinder
A = 3aρ + 2aφ + az berpangkal di M(2,0,0)
B = 3aρ + 2aφ + az berpangkal di N(2,π/2,0)
![Page 13: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/13.jpg)
13FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
2. Koordinat Silinder
Elemen panjang
zadzadadld ˆˆˆ ++= φρ φρρr
ρφρ adzdSd ˆ=r
φρ adzdSd ˆ=r
zaddSd ˆφρρ=r
Elemen luas
Elemen volume
dzdddv φρρ=
![Page 14: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/14.jpg)
14FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
3. Koordinat Bola
x
y
z
θ
ϕ
ϕar
rar
θar
rr
Dalam koordinat Bola, sembarang
Vektor A ditulis :
φφθθ aAaAaAA rrˆˆˆ ++=
r
Ar , Aφ , Aθ adalah komponen vektor
A dalam arah , danra
θa φa
dimana:
![Page 15: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/15.jpg)
15FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
3. Koordinat Bola
Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama,
namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik
pangkal yang berbeda.
Gambarkan vektor berikut dalam koordinat bola
A = 3ar + aθ + 2aφ berpangkal di M(2,π/2,0)
B = 3ar + aθ + 2aφ berpangkal di N(2,π/2,π/2)
y
z
MN
B
3ar
aθ
2aφ
2aφ
3ar
aθ
A
x
![Page 16: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/16.jpg)
16FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
3. Koordinat Bola
Elemen panjang
raddrSd ˆsin2 φθθ=
rElemen luas
Elemen volume
φθ θθ adrardadrld rˆsinˆˆ ++=
r
φθθ dddrrdv sin2=
θφθ adrdrSd ˆsin=r
φθ ardrdSd ˆ=r
![Page 17: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/17.jpg)
17FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatTransformasi Koordinat
1. Koordinat Cartesius ⇒ Koordinat Silinder
zz
zzyyxx
aAaAaAA
aAaAaAA
ˆˆˆ
ˆˆˆ
++=
⇓
++=
φφρρ
r
r
zz
x
y
yx
=
=
+=
−1
22
tanφ
ρ
zz
yx
yx
AA
AAA
AAA
=
+−=
+=
φφ
φφ
φ
ρ
cossin
sincos
( ) ( )zzyx ,,,, φρ⇒
![Page 18: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/18.jpg)
18FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatTransformasi Koordinat
2. Koordinat Silinder ⇒ Koordinat Cartesius
zzyyxx
zz
aAaAaAA
aAaAaAA
ˆˆˆ
ˆˆˆ
++=
⇓
++=
r
r
φφρρ
zz
y
x
=
=
=
φρ
φρ
sin
cos
zz
y
x
AA
AAA
AAA
=
+=
−−=
φφ
φφ
φρ
φρ
cossin
sincos
( ) ( )zyxz ,,,, ⇒φρ
![Page 19: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/19.jpg)
19FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatTransformasi Koordinat
3. Koordinat Cartesius ⇒ Koordinat Bola
φφθθ aAaAaAA
aAaAaAA
rr
zzyyxx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
++=
⇓
++=
r
r
=
+=
++=
−
−
x
y
z
yx
zyxr
1
22
1
222
tan
tan
φ
θ
( ) ( )φθ ,,,, rzyx ⇒
φφ
θθφθφ
θθφθφ
ϕ
θ
cossin
sincossincoscos
cossinsinsincos
yx
zyx
zyxr
AAA
AAAA
AAAA
+−=
−+=
++=
![Page 20: 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat_standar Author Trasma Created Date 1/13/2019 7:43:44 PM](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052303/5f108ce87e708231d449a96f/html5/thumbnails/20.jpg)
20FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatTransformasi Koordinat
4. Koordinat Bola ⇒ Koordinat Cartesius
zzyyxx
rr
aAaAaAA
aAaAaAA
ˆˆˆ
ˆˆˆ
++=
⇓
++=
r
r
φφθθ( ) ( )zyxr ,,,, ⇒φθ
θ
φθ
φθ
cos
sinsin
cossin
rz
ry
rx
=
=
=
θθ
φφθφθ
φφθφθ
θ
φθ
φθ
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
AAA
AAAA
AAAA
rz
ry
rx
−=
++=
−+=