Download - 05 Tema05 MS Elasticidad Lineal v5
Mecánica de Sólidos
Francisco Javier Montáns
5. Elasticidad lineal(la mayor parte, repaso)
“At the end of the year 1820 the fruit of all theingenuity expended on elastic problems might besummed up as – an inadequate theory of flexure, an erroneous theory of torsion, an unprovedtheory of the vibrations of bars and plates, and the definition of Young’s modulus” Augustus Edward Hough Love (1863-1940) en 1927
Augustin Louis Cauchy 1789‐1857
Mecánica de Sólidos
INDICE
1. El problema de contorno: ecuación de comportamiento2. Ecuación de comportamiento de la elasticidad lineal3. Ecuación de comportamiento de la termo‐elasticidad lineal4. Analogía de Duhamel‐Neumann5. El problema de contorno: métodos de resolución6. Planteamiento del problema de contorno por potenciales7. Principios de superposición y de unicidad de la solución elástico‐
lineal8. Elasticidad bidimensional: deformación y tensión plana9. Elasticidad bidimensional: ecuaciones unificadas10. Elasticidad bidimensional: ecuaciones en coordenadas polares11. Resolución del problema por potenciales12. Ecuaciones de comportamiento en elasticidad lineal anisótropa:
Módulos de elasticidad aparentes. Coeficientes de Lekhnitskii y de Chentov
Elasticidad lineal 2
Mecánica de Sólidos
EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA
• El problema de contorno
Elasticidad lineal 3
Mecánica de Sólidos
EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA
Elasticidad lineal 4
• El problema de contorno: planteamiento
Caso estático:
Mecánica de Sólidos
EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA
• Motivaciones 1D– El comportamiento real es general y difícil de interpretar al incluir multitud de
variables de carácter tensorial. Con frecuencia no existen ni siquiera suficientes ensayos experimentales que caractericen adecuadamente el material. Por ello:
• Se crean “modelos” basados en observaciones experimentales, generalmente unidimensionales, generalizándolos a 3D (generalizaciones no obvias) de forma que, al menos, se reproduzcan los ensayos existentes de manera satisfactoria (es decir, como mejor se pueda)
• Se desprecian aquellas variables que en un problema o material determinado no influyen (o se cree que no influyen) de manera relevante en el comportamiento observado (¡hace falta experiencia y entendimiento físico!)
Ecuación constitutiva general
Forma alternativa de ecuación constitutiva general
Elasticidad lineal 5
Mecánica de Sólidos
EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA
• Modelos de ecuación de comportamiento o constitutiva (“constitutive equation”)
Ecuación constitutiva general
Ecuación constitutiva de un fluido
Ecuación constitutiva de un sólido elástico
Ecuación constitutiva de un sólido termoelástico
Ecuación constitutiva de un sólido viscoelástico
Ecuación constitutiva de un sólido elastoplástico
Ecuación constitutiva de un sólido termo‐elastoplástico
Ecuación constitutiva de un sólido viscoplástico
Structural engineering is the art of modelling materials we do not wholly understand into shapes we cannot precisely analyse so as to withstand forces we cannot properly assess in such a way that the public at large has no reason to suspect the extent of our ignorance.A. R. Dykes in the 1946 Chairman’s Address to the Scottish Branch of the IStructE
Elasticidad lineal 6
Mecánica de Sólidos
EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA
• Ejemplos
(Hiper‐)Elasticidad Viscoelasticidad Plasticidad
Daño Viscoplasticidad
Elasticidad
Lineal
Elasticidad lineal 7
Mecánica de Sólidos
ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL
• Comportamiento en elasticidad lineal (repaso)– Ley de Hooke uniaxial
– Ley de Hooke tridimensional
Elasticidad lineal 8
S S
E= módulo de Young, = coef. Poisson
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ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL
• Ejercicio:– Escribir la representación matricial de los tensores ,
donde
Comportamiento en elasticidad lineal isótropa (repaso)
Deberes: hacerlo en pseudovectorial
Solución (Voigt):
Elasticidad lineal 9
Mecánica de Sólidos
ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL
• Formas alternativas (descomposición en parte volumétrica y desviadora)
Tensor de flexibilidades elásticas isótropo
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Mecánica de Sólidos
ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL
• Ecuaciones en notación de Voigt
36 ‐> 21 const.Hiperelasticidad (sólidos de Green)Tensor de constantes elásticas o de rigidez
Simetrías mayores y menores
Elasticidad lineal 11
Mecánica de Sólidos
ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL
• Ecuaciones en notación pseudovectorial
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Mecánica de Sólidos
ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL
• Relación entre las constantes elásticas isótropo‐lineales más habituales
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Mecánica de Sólidos
ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN TERMO‐ELASTICIDAD LINEAL
• Ecuaciones de termoelasticidad lineal– Descomposición aditiva de deformaciones
– Descomposición de tensiones (desarrollo en serie)
Isotropía elástica:
(Conocidas las tensiones)
(Conocidas las deformaciones)
Pueden interpretarse como tensiones iniciales debidas a la temperatura
Pueden interpretarse como deformaciones iniciales
Elasticidad lineal 14
Mecánica de Sólidos
ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN TERMO‐ELASTICIDAD LINEAL
– Identificación de constantes (ensayo uniaxial en eje x)
Por comparación
Elasticidad lineal 15
Mecánica de Sólidos
ANALOGÍA DE DUHAMEL‐NEUMANN
• Descomposición del problema termomecánico
– Tensiones “mecánicas”– Superposición térmica (ver diapositivas anteriores)– Ecuación de equilibrio
– Fuerzas de volumen equivalentes:
– Fuerzas de contorno equivalentes:
– Problema de contorno resultante: ver siguiente diapositiva
Elasticidad lineal 16
con
deberes
con
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EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
• El problema de contorno elástico‐lineal isótropo
• El problema de contorno termoelástico‐lineal isótropo
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Igual Sistema de EDPs
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EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
• Métodos de resolución
– Métodos analíticos: resuelven problemas fundamentales, importantes, de forma exacta, pero para geometrías y cargas sencillas. Normalmente problemas lineales. Poco habitual actualmente en la práctica ingenieril. Las soluciones más importantes están en los manuales. El más usado es el de funciones de Airy.
– Métodos numéricos: muy generales, se resuelve cualquier geometría y cargas, cualquier comportamiento (lineal o no‐lineal), aproximados pero con errores numéricos despreciables. El mas usado es el Método de los Elementos Finitos. Extensivamente usado en las ingenierías.
Elasticidad lineal 18
El adecuado depende de las condiciones de contorno
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EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
• Ejemplo por integración directa– Calcular las tensiones y deformaciones de un depósito esférico de pared gruesa y
comparar la solución con la obtenida por la teoría de Resistencia de Materiales (pared delgada)
Elasticidad lineal 19
Solución:
Resistencia de Materiales:
Teoría de la elasticidad:
• Fuerzas de volumen: se desprecian frente a las demás
Mecánica de Sólidos
EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Elasticidad lineal 20
• Ejemplo por integración directa (cont)
• Hipótesis sobre la forma de la solución (i.e. método semi‐inverso)
• Fuerzas de volumen: se desprecian frente a las demás• Condiciones de contorno: Sólo condiciones cont. de Neumann
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EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Elasticidad lineal 21
• Ejemplo por integración directa (cont)
• Ecuaciones de compatibilidad sobre deformaciones no nulas (en coordenadas cilíndricas por geometría del problema):
Deformaciones nula por geometría del problema
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EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Elasticidad lineal 22
• Ejemplo por integración directa (cont)
• Ecuaciones de comportamiento
• Ecuaciones de equilibrio (en coordenadas cilíndricas por geometría del problema). La única que no se cumple idénticamente es la radial:
• Ecuación de campo Sustituyendo las tensiones en la ecuación de equilibrio se obtiene la ecuación de campo (en este caso también recibe el nombre de ecuación de Navier)
E.D. ordinaria tipo Euler
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EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Elasticidad lineal 23
• Ejemplo por integración directa (cont)
• Resolución de la EDO
E.D. coef. ctes
Condiciones de contorno
Ecuación de comportamiento
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EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
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• Ejemplo por integración directa (cont)
• Imposición de las c.c. en la solución
Deberes: verificar que converge a la solución de R.M. cuando conDeberes: Calcular los valores extremos de la tensión circunferencial
(*)
(*)
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EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
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• Solución de un problema usando la de otro similarOclusión en un medio infinito bajo presión
Efecto concentrador de tensiones de una oclusión:
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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES
• Ecuaciones de Navier: planteamiento del problema en desplazamientos
Elasticidad lineal 26
como
Forma alternativa:
Problema de contorno:
Equilibrio
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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES
• Ejercicio: Obtener las ecuaciones de Navier para el caso incompresible
Elasticidad lineal 27
Solución:
Para el caso incompresible la presión no viene determinada por la ecuación de comportamiento, sino directamente por equilibrio (ojo criterio de signos de la presión)
Forma alternativa (deberes)
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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES
• Ecuaciones de Beltrami‐Michell: planteamiento del problema en tensiones
Elasticidad lineal 28
Tomando el gradiente de la ecuación de Navier
Traspuesta
Sumándolas
Usando compatibilidad cinemática y
Ecuaciones de compatibilidad en deformaciones
Ec. comportamiento
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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES
• Ecuaciones de Beltrami‐Michell (cont)
Elasticidad lineal 29
Usando
Extrayendo la traza
Ecuaciones de compatibilidad en tensiones (Ec. Michell)
Caso habitual:
Ecuaciones de Beltrami
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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES
• Ecuaciones de Beltrami‐Michell (cont)
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Compatibilidad en tensiones
Equilibrio en tensiones
Fáciles de cumplir
Difíciles de cumplir
Problema de contorno en tensiones
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SUPERPOSICIÓN Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN ELÁSTICA LINEAL
• Principio de superposición
Elasticidad lineal 31
Linealidad:Deberes: demostrar que
lineallineallineal
Solución lineal
Mecánica de Sólidos
SUPERPOSICIÓN Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN ELÁSTICA LINEAL
• Principio de superposición: demostración usando la ec. De Navier
Elasticidad lineal 32
+
=
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SUPERPOSICIÓN Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN ELÁSTICA LINEAL
• Principio de unicidad
Elasticidad lineal 33
Demostración: por superposición, tomando como estado de referencia todo nulo (cargas y desplazamientos)
+
Si u y u’ son distintas, el estado de referencia no es único
Estado de referencia, no necesariamente nulo. Se calcula todo relativo a dicho estado de referencia
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ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL
• Elasticidad bidimensional: Una gran parte de problemas se pueden resolver, al menos de forma aproximada en el plano. En estos casos, si se resuelve el problema analíticamente, el número de ecuaciones a resolver se reduce considerablemente (así como su dificultad), y si se va a resolver numéricamente, el coste computacional se reduce en un orden de magnitud. Existen dos casos:
Deformación plana (y axisimétrico) y Tensión plana.
Elasticidad lineal 34
Se desacoplan los análisis en el plano XY y en la dirección Z, despreciándose él cambio en Z
Mecánica de Sólidos
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: DEFORMACIÓN PLANA
• Deformación plana:
– Hipótesis, deformaciones
– Ecuaciones de comportamiento, tensiones
– Equilibrio
Elasticidad lineal 35
Mecánica de Sólidos
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: DEFORMACIÓN PLANA
• Deformación plana (cont)– Reducción de las ecuaciones de comportamiento al plano de interés
Elasticidad lineal 36
(las tensiones en z no son nulas y se deben calcular)
Mecánica de Sólidos
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: DEFORMACIÓN PLANA
• Deformación plana (cont)– Ecuaciones de Navier en el plano de interés: No cambian
– Ecuaciones de Beltrami (compatibilidad en tensiones) en el plano de interés
Elasticidad lineal 37
Ecuación de compatibilidad no nula
± ± (sumando y restando y agrupando términos)
(Deberes)
Mecánica de Sólidos
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: DEFORMACIÓN PLANA
• Deformación plana (cont)– Reducción de las ecuaciones de comportamiento al plano de interés
Elasticidad lineal 38
Mecánica de Sólidos
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: TENSIÓN PLANA
• Tensión plana:– Hipótesis
Elasticidad lineal 39
Aprox.
En el contorno, por tanto
Mecánica de Sólidos
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: TENSIÓN PLANA
• Tensión plana (cont)– Reducción de las ecuaciones de comportamiento al plano de interés
Elasticidad lineal 40
sumando
sumando
sustituyendo
Comportamiento 3D:
(inmediato porque )
Mecánica de Sólidos
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: TENSIÓN PLANA
• Tensión plana (cont)– Ecuaciones de Navier en el plano de interés: deberes
– Ecuaciones de Beltrami (compatibilidad en tensiones) en el plano de interés
Elasticidad lineal 41
Ecuación de compatibilidad en el plano
Ecuaciones de compatibilidad fuera del plano, sólo se cumplen si
Normalmente no se cumplirán (salvo en distribuciones lineales de tensiones), pero se despreciará su incumplimiento (espesores pequeños), por lo que la tensión plana es una hipótesis aproximada (a diferencia de la def. plana)
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ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: TENSIÓN PLANA
• Tensión plana (cont)– Ecuaciones de Beltrami (cont)
Elasticidad lineal 42
En tensión plana (deberes):
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ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: ECUACIONES UNIFICADAS
• Ecuaciones unificadas: La tensión y la deformación plana se pueden unificar en un único juego de ecuaciones en las que las constantes del material adoptan valores ficticios o equivalentes. Ello permite que, conocida la solución de un problema en tensión plana, se conozca el de uno de deformación plana equivalente y vice‐versa. La conversión es (deberes: verificarla con las ecuaciones anteriores)
– Parámetro elástico de equivalencia:
Elasticidad lineal 43
Mecánica de Sólidos
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: ECUACIONES EN POLARES
• Ecuaciones en polares: Las ecuaciones pueden ser expresadas en coordenadas polares. La demostración se puede encontrar en cualquier libro de Elasticidad o realizar mediante la transformación de operadores diferenciales.
– Equilibrio
– Cinemáticas
– Compatibilidad
– Comportamiento
– Compatibilidad en tensiones (Beltrami)
Elasticidad lineal 44
Caso habitual:
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Resolución del problema de contorno usando potenciales de tensiones: Funciones de Airy.
– Potencial de Airy
– Equilibrio
– Compatibilidad en tensiones (Beltrami)
Elasticidad lineal 45
¡Se cumple automáticamente!
Caso habitual =0
Compatibilidad en tensiones: Condición de biarmonicidad
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejemplos de funciones de Airy.– Problemas en cartesianas con condiciones de contorno polinómicas o asimilables
– Problemas en cartesianas con c. de c. armónicas y arbitrarias
Elasticidad lineal 46
No dan lugar a tensiones (se obvian)
Siempre cumplen
La ecuación proporciona relaciones que deben cumplir las constantes para que la solución sea compatible
Deberes
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejemplos de funciones de Airy (cont)– Problemas en coordenadas polares
• Caso 1 – Problemas con simetría radial:
• Caso 2 – Problemas axisimétricos:
Elasticidad lineal 47
Deberes: demostrar que cumplen equilibrio‐>
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejemplos de funciones de Airy (cont)• Caso 2 (cont)
• Caso 3:
Elasticidad lineal 48
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicio: Viga biapoyada bajo su propio peso– Calcular el campo de tensiones, de deformaciones
y de desplazamientos. Comparar con la teoría deResistencia de Materiales
Elasticidad lineal 49
Solución:
Compatibilidad:
Cond. contorno:
Función de Airy:
(simetría)
(antisimetría)
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicio: Viga biapoyada bajo su propio peso (cont)
Elasticidad lineal 50
(simetría)
Condición de biarmonicidad (compatibilidad)
Tensiones
Cond.contorno
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicio: Viga biapoyada bajo su propio peso (cont)
Elasticidad lineal 51
Cond.contorno (cont)
Momento de inercia geométrico
Tensiones
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicio: Viga biapoyada bajo su propio peso (cont)
Elasticidad lineal 52
Deformaciones
Desplazamientos
=
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicio: Viga biapoyada bajo su propio peso (cont)
Elasticidad lineal 53
Condiciones de contorno:
Linea neutra:
Deberes: Mediante la teoría de Reistencia de Materiales verificar que sale la parte correspondiente
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicio: Tensiones en una tubería de pared gruesa‐ por integración directa– Solución de Resistencia de Materiales
– Condiciones de contorno en polares
– Hipótesis sobre la forma de la solución:
– Compatibilidad:
– Comportamiento
Elasticidad lineal 54
(
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicio (cont)– Equilibrio:
– Desplazamientos:
– Tensiones:
– Condiciones de contorno impuestas sobre las tensiones:
Elasticidad lineal 55
(
Usando:
Cambio de variable (deberes)
(*)
(*)
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicio (cont)– Desplazamientos (solución):
– Deformaciones (solución):
– Tensiones (solución, deformación plana):
Elasticidad lineal 56
2
2
asíntota
Deberes: verificar que cuando → se obtiene la solución de R.M.
Desplazamientos deformaciones tensiones
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicio: Tensiones en una tubería de pared gruesa‐ por Airy– Solución de Airy para funciones
• Tensiones
• Deformaciones
Elasticidad lineal 57
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicio (cont)
• Desplazamientos:
• Condiciones de contorno:
Elasticidad lineal 58
con
Deberes: sustituir y verificar que se obtiene la misma solución que por integración directa
Tensiones deformaciones desplazamientos
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicio: Tensiones en una placa con un taladro circular
Elasticidad lineal 59
SS 2a
2b>>2a
Estado I ya resuelto Estado II a resolver
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicio (cont)– Función de Airy para el estado II
– Tensiones estado II
– Cond. de contorno
Elasticidad lineal 60
SS
2b>>2a
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicio (cont)– Solución tras superponer ambos estados
Elasticidad lineal 61
SS
2b>>2a
3S S
(-)S
Mecánica de Sólidos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS
• Ejercicios pizarra: – Laja rectangular con cargas en los bordes– Tubería de pared gruesa sometida a presión– Placa con agujero– Problema de Williams
Elasticidad lineal 62
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
• Ecuaciones generales en notación de Voigt
sym
sym
• Deberes: expresar las ecuaciones en notación pseudovectorial
Elasticidad lineal 63
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
• Cambio de sistema de representación
Nuevo sistema X’ Viejo sistema X
Matriz de cambio de base del X al X’(la representación matricial de la operación no es obvia)
• Deberes: Demostrar que el cambio de sistema de representación se puede expresar como
• Deberes: expresar la matriz de cambio de base en notación pseudovectorial, verificando que en este caso es la misma para tensiones y deformaciones
Elasticidad lineal 64
Mecánica de Sólidos
Anisotropía• Deberes: Demostrar que el cambio de sistema de representación se puede expresar como
En el caso de deformaciones el 2 está en la caja
donde
tal que
• Deberes: Demostrar que en el caso isótropo, el cambio de base no afecta a la representación matricial de la ecuación constitutiva (es invariante)
Elasticidad lineal 65
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
Anisotropía• Significado físico de los coeficientes
Comportamiento uniaxial
Comportamiento a cortante
Acoplamiento a tracción entre direcciones (efecto Poisson)
Acoplamiento entre extensión y cortante
Acoplamiento cortante‐cortante
Sym
Elasticidad lineal 66
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
Anisotropía
• Significado físico de los coeficientes
Elasticidad lineal 67
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
Tipos de anisotropía
• Materiales monoclínicos: tienen un plano de simetría en el comportamiento (p.e. Z)
13 constantes independientes
Deben ser cero para que exista esa simetría, ya que la deformación o tensión no sería simétrica
Elasticidad lineal 68
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
• Materiales ortótropos: tienen dos (es decir, tres) planos de simetría ortogonales en el comportamiento (p.e. X,Y,Z)
9 constantes independientes(materiales compuestos)
Deben ser cero para que exista esa simetría, ya que la deformación o tensión no sería simétrica
Elasticidad lineal 69
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
Interpretación de los coeficientes que producen deformaciones simétricas y no simétricas
Elasticidad lineal 70
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
Tipos de anisotropía
• Materiales transversalmente isótropos: tienen un plano de comportamiento isótropo (p.e. Z), caso particular de ortotropía
5 constantes independientes(materiales compuestos de una fibra)
Deben ser iguales para ser isótropo en el plano
Elasticidad lineal 71
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
• Materiales isótropos: tienen los tres planos de comportamiento isótropo
2 constantes independientes(hipótesis mas habitual)
Deberes: Hacer un cambio a 45º de un ensayo uniaxial y demostar que para obtener comportamiento isótropo el término a cortante debe ser
Elasticidad lineal 72
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
Ortotropía• Determinación de los coeficientes de flexibilidad en ortotropía
Dirección de la carga uniaxial
Por simetría:
Ensayos uniaxiales en direcciones 1 y 2:
Elasticidad lineal 73
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
Ortotropía• Determinación de los coeficientes de rigidez en ortotropía
Restricciones en las constantes:(energía elástica siempre positiva)
Usando las ecuac. anteriores
Elasticidad lineal 74
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
Ortotropía en tensión plana• Tensión plana (chapas de metal, materiales compuestos laminados, etc)
Elasticidad lineal 75
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
Ortotropía en tensión plana
• Cambio de sistema de representación: anisotropía aparente
Elasticidad lineal 76
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
• Cambio de sistema de representación: Constantes aparentes
Coeficientes de acoplamiento de Lekhnitskii(anisotropía aparente /ortotropía “general”)
Constantes aparentes
(más fáciles de medir: ensayo a tracción)
Elasticidad lineal 77
Mecánica de Sólidos
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
• Cambio de sistema de representación: Constantes aparentes
Elasticidad lineal 78