IMPULSNI I ODSKO^NI ODZIVI
LINEARNIH SISTEMA
М.Божић, САУ, октобар 2013.
СадржајParametri odsko~nog odziva
Polovi, nule i vremenski odzivi:
Утицај реалних полова;
Утицај коњуговано комплексних полова;
Zakqu~ci o uticaju polov;
Утицај нула функције преноса;
Прескок/подбачај у одскочном одзиву.
Трансмисионе нуле
IMPULSNI ODZIV• Odziv na ulaz oblika Dirakove (delta)
funkcije vremena. • Laplasova transformacija Dirakovog
impulsa je jednaka jedinici, pa je otuda odzivelementa/sistema sa funkcijom prenosa G(s) i pri nultim po~etnim uslovima jednostavno
• Dakle, funkcija prenosa kontinualnogelementa/sistema je jednaka Laplasovojtransformaciji wegovog impulsnog odzivapri nultim po~etnim uslovima.
)()()()( sGsUsGsY ==
ODSKO^NI ODZIV
• ^e{}e se posmatra odziv za odsko~nufunkcije vremena na ulazu. Laplasovatransformacija jedini~ne odsko~nefunkcije vremena je U(s)=1/s.
• Otuda je kompleksni lik odsko~nogodziva dat sa
ssGsY 1)()( =
Tipi~an oblik odsko~nog odziva
y∞ Mp
Mu ts
tr 2δ
Parametri odsko~nog odziva
o Vrijednost odsko~nog odziva u stacionarnom stawu (steady-state value) (ako postoji) pri jedini~nom odsko~nom ulazudobijamo kao
o Vrijeme porasta (rise time) tr je ono vrijemekoje protekne dok odsko~ni odziv prvi put dostigne vrijednost
gdje kr varira izme|u 0 i 1.
)0(1)(lim)(lim0
Gs
ssGytyst
===→∞∞→
∞ykr
Parametri odsko~nog odziva(1)o Preskok (overshoot) Mp je maksimalna
trenutna vrijedost za koju odsko~ni odzivprelazi svoju kona~nu vrijednost.
o Podba~aj (undershoot) Mu je maksimalna (apsolutna) vrijednost za koju odsko~ni odziv ide u suprotnu stranu od kona~ne vrijednosti.
o Vrijeme smirewa (settling time) ts je vrijeme potrebno da odsko~ni odziv u|e i ostane u granicama oko svoje kona~ne vrijednosti. Ova devijacija se ~esto izra`ava u postotcima od kona~ne vrijednosti (naprimjer, 2% do 5%).
δ±
Polovi, nule i vremenski odzivi
• Efekat jednostrukog realnog pola
• gdje su K, T realne i pozitivnekonstante.
Odziv na ulaz oblika jedini~neodsko~ne funkcije vremena je
1)(1 +=
TsKsG
0),1(1)1(
)( 11 ≥−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+=
−−− teKTsKT
sK
TssKty T
t
ll
Polovi, nule i vremenski odzivi(1)
• Odскочни оdziv за G1(s) je aperiodi~ani prikazan je na slici.
0 T t
y K
0.632K
Polovi, nule i vremenski odzivi(2)
• Vrijednost odsko~nog odziva u stacionarnom stawu je
• K - odnos ulaza i izlaza u stacionarnom stawu.
• T- vremenska konstanta elementa
• Svi elementi prvog reda imaju jedan realan pol i aperiodski odsko~ni odziv, pa se obi~no nazivajuaperiodskim. Elementi sa ve}om vremenskomkonstantom T imaju sporiju reakciju, {to odgovarapomjerawu realnog pola (s=-1/T) prema imaginarnoj
osi.
KTs
KGys
=+
==→∞ 1
lim)0(0
Uticaj kowugovano kompleksnih polova
• Нека је систем дат функцијом преноса
• gdje se naziva faktorom prigu{ewa, a prirodnom neprigu{enom kru`nom frekvencijom.
Tako|e,
• se naziva prigu{enom kru`nom frekvencijom.
• Ako vrijedi , tada funkcija ima dva kowugovano
kompleksna pola, koji su dati sa
22
2
2 2)(
nn
n
sssG
ωςωω
++=
ς nω
21 ςωω −= nd
10 << ς
dn js ωςω ±−=2,1
Uticaj kowugovano kompleksnih polova (1)
• Primjewuju}i inverznu Laplasovu transformacijukona~no dobijamo
• gdje je
ssssssY
dn
n
nn
n
))(()2()( 22
2
22
2
ωςωω
ωςωω
++=
++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
+++
+−
−−=
++−
+++
−=
22222
2
2222
)()(1
111
)()(1)(
dn
d
dn
n
dn
n
dn
n
sss
s
sss
ssY
ωςωως
ωςωςως
ς
ωςωςω
ωςωςω
)sin(1
1)(2
βως
ςω
+−
−=−
tety d
tn
ςβ =cos
Oblici odsko~nog odziva za razli~itevrijednosti faktora prigu{ewa ( )dpTy ωπ2,1 ==∞
ζ= 0
S l .3 .8
ζ=0.1
Sl.3.9
ζ=0.3
ζ=1
Parametri odsko~nog odziva• Eksponencijalno prigu{ewe amplitude oscilacija je prema ,
pa je prirodno usvojiti dominantnu vremensku konstantu
• Parametri odziva za G2(s) se mogu odrediti prema
o Vrijeme porasta za kr=1, se dobija na osnovu
o Preskok u odsko~nom odzivu Mp i trenutak wegovog nastupawa tpse dobija iz uslova
tne ςω−
ndT
ςω1
=
0)sin(1 2
=+−
−
βως
ςω
rd
t
te rn
drt ω
βπ −=
−=dt
tdy )(0))cos()sin((
1 2=+++−
−
−
βωωβωςως
ςω
ttedddn
tn
dpt
ωπ
= 211)( ς
πς
−
−
=−= etyM pp
Parametri odsko~nog odziva(1)o Za male vrijednosti imamo
o Vrijeme smirewa: (za 2% odstupawa
od vrijednosti stacionarnog stawa)
(za 1% odstupawe od vrijednosti
stacionarnog stawa)
ς 601
.ς
−≅pM
dn
s Tt 44==
ςω
dn
s Tt 6464 ..==
ςω
Zakqu~ci o uticaju polovao Svaki pol u odzivu na impuls generi{e prelaznu
komponentu koja se naziva prirodnim modom(komponenta odziva). Modovi }e imati aperiodskikarakter ako su generisani realnim polovima, a modovi koji odgovaraju kompleksnim polovima }e imati oscilatoran karakter.
o Polovi koji su mnogo bli`e imaginarnoj osi s- ravninego ostali se nazivaju dominantnim ili sporimpolovima, zato {to prelazne komponente kojeodgovaraju ovim polovima iz~ezavaju mnogo sporijenego za ostale.
o Polovi odre|uju pojedine modove nezavisno jednih od
drugih.
Nule• Nule predstavqaju neku interakciju vi{e polova
(wihov kombinovani uticaj) na odziv sistema.
• Dakle, polovi odre|uju modove sistema, a lokacijanula odre|uje proporciju s kojom se taj mod kombinuje
u formirawu izlaza. • Sli~no kao i za polove razlikova}emo “”brze””” i
”spore”” nule. Termin spore se odnosi na sve nulekoje su bli`e imaginarnoj osi s- ravni od
dominantnih polova.
• Primjer 1
• Сistem drugog reda sa jednom kona~nom nulom u s=ci polovima u -1 i -2, tj.
)2)(1()(2)(++
+−=
ssccssG
Nule(1)• Kada je nula bliska nekom od polova oni ~ine dipol i
wihov uticaj na dinamiku elementa se mo`e
zanemariti. Preciznije, ako se radi o “brzoj” nuli
|c|>>1 tada je uticaj ove nule na odsko~ni odzivzanemarqiv. Kada se radi o “sporoj” nuli u lijevojpolovini s- ravni dobija se preskok u odsko~nomodzivu.
• c=-1 c=-0.5
Nule(2)o Za slu~aj kada je nula male pozitivne vrijednosti
dobija se podba~aj u odsko~nom odziv koji mo`e postati dramati~no velik kada se lokacija nule pribli`ava imaginarnoj osi. Ovo se mo`e boqe sagledati koriste}i osobine Laplasove transformacije.
o Lema 1. Neka je H(s) strogo prava funkcija kompleksne promjenqive s sa obla{}u konvergencije Re (s)>- α . Ozna~imo inverznu Laplasovu transformaciju ove funkcije sa h(t). Tada
za neko z0 koje zadovoqava Re (s)> - α , imamo
Dokaz ove tvrdwe proizilazi iz definicije Laplasovetransformacije po{to se z0 nalazi u oblasti konvergencije.
)(lim)(0 0
0 sHdtethzs
tz∫∞
→
− =
Подбачај у одскочном одзиву• Ovaj rezultat se mo`e koristiti za procjenu uticaja nula
funkcije prenosa i parametara odsko~nog odziva. Tako, naprimjer, imamo sqede}u relaciju izme|u neminimalno fazne
nule s=c>0 funkcije prenosa G(s) i vrijednosti podba~aja u
odsko~nom odzivu Mu,
• gdje odre|uje vrijeme smirewa odsko~nog odziva ts
( ). Dokaz za ovu procjenu se mo`e dobiti pomo}u uvo|ewa gre{ke v(t)=1-y(t) pa je tada
Oblast konvergencije za V(s) je data sa Re(s)>0. Dakle nula c jeunutar ove oblasti pa imamo
Poslije rastavqawa podru~ja integracije
11
−−
≥ − sctu eM δ
δsttty ≥∀<<+≤≤− ),1(,1)(1 δδδ
ssGsV 1))(1()( −=
∫∞
−==−
=0
)(1)(1)( dtetvcc
cGcV ct
cdtetvdtetv ct
t
tct
s
s 1)()(0
≥+ −∞
− ∫∫{ } 01)(max max0
>+==> ut
MVtvc
eceVdtedteV
c
SS
S
S ctct
t
ctctt −−∞
−− +−
=+≤ ∫∫ δδ 11max
0max
Подбачај у одскочном одзиву(1)
• Treba tako|e primijetiti da u slu~aju kada je ctS<<1 imamo
• {to ukazuje na potrebu za pravqewe kompromisa u sintezi.
• Odsko~ni odziv sistema 2.reda sa kona~nom nulom, za c=0.1• Sli~ni rezultati se mogu dobiti za slu~aj kada je sistem minimalno fazni ali
su wegove nule bli`e imaginarnoj osi nego {to su dominantni polovi sistema. Tada je vrijednost preskoka u odsko~nom odzivu obrnuto srazmjerna sa
udaqenosti nule od imaginarne ose.
Su ct
M 1>
Подбачај у одскочном одзиву(2)
>> g=zpk([.5],[-2 -4],-8/0.5);>> t=0:0.01:4;>> y1=step(g,t);>> plot(t,y1)>> g1=zpk([1],[-2 -4],-8)
Zero/pole/gain:-8 (s-1)-----------(s+2) (s+4)
>> y2=step(g1,t);>> plot(t,y1,t,y2)>> xlabel('t[s]'),ylabel('y1,y2')>> title('Odskocni odzivi sistema')
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
t[s]
y1,y
2
Odskocni odzivi sistema
Трансмисионе нуле
• Додатни увид у ефекат нула се може добити посматрајућипосебан улаз за систем са функцијом преноса G(s) дат са
Треба примијетити да улаз садржи једини екситујући мод . Излаз система је тада
гдје је компонента слободног одзива система.Ако се сада примијени резултатG(c)=0видимо да се мод блокира и не појављује на излазусистема. Ова особина је повод да се нула у s=c некада назива«трансмисионом».
csvsU
−=
1)(cte
)(1)()( sYcs
vcGsY s+−
=
cte
)(sYs
Трансмисионе нуле(1)
• Примјер 2Нека функција преноса система има коњуговано комплексненуле на имагинарној оси у s1,2 =±i2.
>> gz=tf([1 0 4],[1 5 25])
Transfer function:s^2 + 4
--------------s^2 + 5 s + 25>> t=0:0.01:10;>> U=sin(2*t);>> lsim(gz,U,t)