Download - 02.Theory of Statistics(Bahasa Version)
26
BAB III
LANDASAN TEORI
3.1 Analisis Statistik
Analisis statistik digunakan untuk melihat kecenderungan pola penyebaran
suatu kumpulan data yang akan diolah secara statistik. Berdasarkan analisis
statistik ini dapat dijelaskan korelasi dan kecenderungan data sehingga dapat
ditentukan metode penaksiran yang sesuai dengan pola penyebaran data yang
dimiliki. Adapun analisis statistik yang umumnya digunakan adalah :
� Statistik Univarian
Merupakan metode statistik yang digunakan untuk menganalisis hubungan
antar masing-masing data dari suatu populasi tanpa memperhatikan lokasi dari
data-data tersebut.
� Statistik Bivarian
Merupakan metode statistik yang digunakan untuk menganalisis hubungan
dari 2 (dua) kumpulan data atau variabel populasi yang berbeda, tetapi terletak
pada lokasi yang sama.
� Statistik Spasial (Geostatistik)
Merupakan metode statistik yang digunakan untuk menganalisis kumpulan
data atau variabel populasi dengan mempertimbangkan faktor ruang (spasial)
dari data-data tersebut. Geostatistik merupakan suatu studi secara statistik
mengenai fenomena alam, dimana diterapkan suatu rumus fungsi acak dengan
tujuan untuk mengetahui dan mengestimasi fenomena alam tersebut.
3.1.1 Statistik Univarian
Statistik univarian digunakan untuk menggambarkan distribusi dari peubah-
peubah tunggal dan dapat dimanfaatkan untuk menganalisis hubungan antar data
dari suatu populasi tanpa memperhatikan lokasi dari data-data tersebut. Hasil dari
statistik ini pada umumnya direpresentasikan dalam bentuk tabel frekuensi atau
histogram. Histogram merupakan suatu gambaran dari distribusi suatu data ke
27
dalam beberapa kelas yang memiliki interval kelas tertentu dan kemudian
menentukan jumlah data dari masing-masing kelas (frekuensi). Interval kelas dari
suatu histogram dapat dihitung dengan persamaan :
(3.1)
dimana range adalah jangkauan data dan k adalah banyaknya data, H.A. Sturgers
(1926) mengemukakan bahwa jika n menyatakan banyaknya jumlah data, maka :
(3.2)
Parameter statistik lainnya yang digunakan untuk analisis statistik univarian
adalah sebagai berikut :
� Mean ( atau rata-rata adalah nilai yang mewakili sekelompok data dan
nilainya mempunyai kecenderungan berada ditengah-tengah populasi (rata-
rata dari populasi data), secara matematis dinyatakan dengan persamaan :
(3.3)
� Median yaitu nilai pertengahan data yang telah disusun dari yang besar ke
yang kecil atau sebaliknya. Nilai tersebut terletak di tengah (jika jumlah
datanya ganjil) atau rata-rata kedua nilai di tengahnya (jika jumlah datanya
genap) dari suatu populasi data yang telah disusun dalam suatu jajaran data.
� Modus yaitu nilai yang memiliki frekuensi terbesar atau nilai yang paling
banyak muncul dalam suatu populasi. Modus mungkin ada dan mungkin juga
tidak ada.
� Range yaitu ukuran variasi sederhana yang menyatakan penyebaran nilai data.
Range dinyatakan dengan persamaan :
range = Xmaximum – Xminimum (3.4)
Akan tetapi range ini kurang cocok dalam suatu analisis statistik univarian
karena sangat sensitif terhadap nilai data yang ekstrim.
� Varians ( ) yaitu ukuran variansi yang menyatakan penyebaran data
disekitar rataan. Varians dinyatakan dengan persamaan :
(3.5)
28
� Simpangan baku ( adalah akar kuadrat dari varians, merupakan nilai yang
mengukur rata-rata selisih jarak masing-masing nilai individu dari suatu
kelompok nilai terhadap rata-ratanya. Simpangan baku dinyatakan dengan
persamaan :
(3.6)
� Koefisian variansi adalah suatu parameter yang menunjukan keheterogenan
suatu kelompok data. Semakin besar nilai koefisien variansi, maka sifat data
tersebut semakin heterogen. Koefisien variansi dapat juga digunakan untuk
membandingkan 2 (dua) kelompok data. Koefisien variansi dinyatakan dengan
persamaan sebagai berikut :
Koefisien variansi (3.7)
� Skewness atau ukuran kemiringan kurva adalah kecenderungan distribusi data
dilihat dari ukuran simetris atau tidaknya suatu kurva histogram. Skewness
positif menyatakan distribusi data lebih banyak berada pada nilai yang lebih
rendah sedangkan skewness negatif menyatakan data terdistribusi lebih banyak
pada nilai yang lebih tinggi. Skewness ini sangat penting karena pada
umumnya data geoscience (misalnya data distribusi kadar mineral) memiliki
distribusi data yang menunjukkan skewness positif atau skewness negatif dan
jarang dijumpai data yang memiliki distribusi normal. Skewness dinyatakan
dengan persamaan :
Skewness (3.8)
� Kurtosis merupakan suatu ukuran yang menunjukkan kecenderungan
keruncingan puncak data. Kurtosis dinyatakan dengan persamaan :
Kurtosis (3.9)
Skewness maupun kurtosis pada umumnya digunakan untuk menunjukkan
apakah data terdistribusi normal atau tidak.
29
Gambar 3.1 Skewness dari beberapa kurva histogram. a) kurva simetris;
b) negative skewness; dan c) positif skewness.
3.1.2 Statistik Bivarian
Metode statistik dapat juga digunakan untuk menganalisis distribusi dua
buah kumpulan peubah yang berbeda tetapi terletak pada lokasi yang sama.
Metode statistik bivarian yang biasa digunakan adalah diagram pencar (scatter
plot), yaitu penggambaran dua peubah dalam satu grafik X – Y. Kedua peubah
mempunyai hubungan positif jika kedua peubah tersebut cenderung memiliki nilai
berbanding lurus. Jika kedua peubah tersebut cenderung menunjukan nilai yang
berbanding terbalik, maka kedua peubah tersebut mempunyai hubungan negatif.
Apabila penyebaran data kedua peubah cenderung acak, maka kedua peubah
tersebut dikatakan tidak mempunyai hubungan.
Gambar 3.2 Diagram pencar beberapa pasangan data yang menunjukan hubungan
korelasi antar pasangannya.
30
Hubungan yang terjadi antara dua peubah pada analisis statistik bivarian
dinyatakan dengan koefisien korelasi ( ) yang didefinisikan sebagai :
(3.10)
Keterangan : n = jumlah data
Xi,…,Xn = nilai data peubah X
Yi,…,Yn = nilai data peubah Y
µx = nilai rata-rata peubah X
µy = nilai rata-rata peubah Y
σx = simpangan baku peubah X
σy = simpangan baku peubah Y
Selain itu, untuk menggambarkan hasil diagram pencar dapat juga dilihat melalui
nilai kovarians ( yang didefinisikan sebagai berikut :
(3.11)
Sedangkan untuk memperkirakan hubungan antara dua peubah dan untuk
mengestimasi nilai dari suatu data (populasi) yang saling berhubungan yang sulit
dinyatakan dengan metode matematis lainnya dapat digunakan regresi linier yang
didefinisikan secara matematis sebaga berikut :
(3.12)
Keterangan : = kemiringan garis regresi (slope)
= perpotongan garis regresi (Y-intercept)
31
= simpangan baku
3.1.3 Statistik Spasial (Geostatistik)
Geostatistik merupakan suatu studi probabilistik mengenai fenomena alam,
dimana di dalamnya diaplikasikan rumus fungsi acak dengan tujuan untuk
mengetahui dan mengestimasi fenomena alam tersebut.
Suatu peubah yang terdistribusi dalam ruang disebut sebagai variabel
terregional (regionalized variable). Variabel ini umumnya mencirikan suatu
fenomena tertentu, misalnya kadar bijih yang merupakan karakteristik suatu
mineral.
Matheron (1963) menjelaskan bahwa gejala geologi mempunyai peubah
teregional yaitu nilai conto selalu mempunyai hubungan letak ruang dengan conto
lainnya. Semakin dekat nilai dua titik conto, semakin besar hubungan letak
ruangnya. Fenomena alam yang menyajikan variabel teregional disebut
regionalisasi. Secara matematis peubah teregional merupakan penyajian fungsi
f(x) yang menenpati setiap titik pada ruang.
Dua buah nilai data dengan letak berdekatan mempunyai kemungkinan
lebih besar untuk bernilai seragam dibandingkan dengan dua nilai data yang saling
berjauhan. Untuk menaksir kadar bijih guna mengkuantifikasi korelasi ruang antar
conto digunakan suatu perangkat statistik yang disebut variogram. Variogram
adalah suatu fungsi vektor yang dapat digunakan untuk mengkuantifikasi tingkat
kemiripan atau variabilitas antara dua conto yang terpisah oleh jarak tertentu.
Sifat-sifat yang merupakan ciri khas dari variabel teregional antara lain :
� Suatu variabel terregional terlokalisir (menempati lokasi tertentu), variasi
terjadinya deposit, ukuran, dan orientasi tertentu.
� Variabel terregional dapat mencerminkan variasi kontinuitas yang relatif tinggi
ataupun rendah.
� Variabel terregional kemungkinan mencerminkan anisotropi, artinya tingkat
distribusi varians dari variabel berbeda pada masing-masing arah.
32
3.2 Variogram
Variogram merupakan suatu metode analisis secara geostatistik yang
berfungsi untuk mengkuantifikasi tingkat kemiripan atau variabilitas antara dua
conto yang terpisah pada jarak tertentu. Data yang dekat dengan titik yang ditaksir
memiliki kecenderungan nilai yang lebih mirip dibandingkan data yang lebih jauh.
Variogram dihitung dengan suatu algoritma yang sederhana yaitu perbedaan rata-
rata antara dua titk conto dengan jarak tertentu. Sehingga, perbedaan tersebut
kemungkinan lebih kecil atau lebih besar dari 0 (nol), agar perbedaan tersebut
selalu lebih besar dari 0 (nol) maka perlu diaplikasikan perhitungan statistik yang
berdasarkan pada perbedaan kuadrat.
Delfiner mendefinisikan bahwa perbedaan kuadrat tersebut diasumsikan
sebagai ekspektasi , sehingga definisi variogram menjadi :
(3.13)
Berdasarkan fungsi tersebut maka suatu semivariogram didefinisikan dengan
persamaan sebagai berikut :
(3.14)
Keterangan : N (h) = jumlah pasangan data berjarak h.
= semivariogram untuk arah tertentu dari jarak h.
= nilai data pada titik
= Nilai data pada titik yang berjarak h dari
Persamaan diatas hanya berlaku bagi data dengan jarak antar pasangan
(lag) yang sama sebesar h dan berarah 0°. Sedangkan untuk data yang memiliki
jarak antar conto tidak teratur diperlukan suatu toleransi untuk kedua variabel
tersebut.
David (1977) menjelaskan istilah angle classes (θ±α/2) dan distance
classes (h±∆h) sebagai toleransi untuk menghitung pasangan data dengan jarak
33
h
2h
antar data yang tidak teratur. Semua titik conto atau data yang berada pada search
area yang didefinisikan dengan angle classes dan distance classes akan dianggap
sebagai titik-titik conto yang berjarak h dari titik x0 (titik origin) pada arah yang
dimaksud.
Search Area
h
θ
∆h α/2
α/2
x0
Gambar 3.3 Searching area untuk variogram dengan angle classes (θ±α/2) dan
distance classes (h±∆h) (David, 1977).
3.2.1 Variogram Eksperimental
Variogram eksperimental dibuat berdasarkan pengukuran korelasi spasial antara 2
(dua) conto/data yang dipisahkan dengan jarak tertentu sebesar h. Data tersebut
merupakan data yang diperoleh dari pengukuran di lapangan, dapat berupa data
kadar, ketebalan, ketinggian topografi, porositas, dan permeabilitas. Pencarian
pasangan data dalam variogram dapat diilustrasikan sebagai berikut (gambar 3.4) :
x1 x2 x3 x4 x5
Gambar 3.4 Pencarian pasangan data dalam perhitungan variogram
34
Pada arah atau baris tertentu terdapat n buah data dengan jarak tertentu sebesar h,
dimana dalam tiap baris terdapat (n – 1) pasangan data untuk menghitung
variogram γ(h) dan (n – 2) pasangan data untuk menghitung variogram γ(2h) dan
seterusnya hingga mencapai lag tertentu yang tergantung dari jumlah n data.
Kemudian hasil perhitungan variogram di plot pada suatu koordinat kartesian
antar jarak antar pasangan data (h) dan variogram γ(h) (Gambar 3.5).
Gambar 3.5 Variogram eksperimental
3.2.2 Variogram Model Teoritis
Pada umumnya, variogram eksperimental sangat berguna untuk
menganalisis karakteristik struktur suatu endapan bahan galian, tetapi tidak dapat
secara langsung digunakan dalam perhitungan cadangan. Oleh karena itu
diperlukan suatu model variogram teoritis untuk kemudian dilakukan proses
fitting terhadap variogram eksperimental. Model teoritis variogram ini
diekspresikan dengan suatu model matematis.
Model variogram berfungsi untuk mengestimasi fenomena variabel
terregional dalam suatu endapan bahan galian dengan cara menentukan parameter-
parameter variogram, yaitu range , sill , dan nugget effect . Nilai range
dapat digunakan untuk menentukan search distance penaksiran cadangan.
Terdapat beberapa jenis model variogram antara lain model sferis (Matheron),
model eksponensial, model parabolik (Gaussian).
γγγγ(h)
1h h 2h 3h 4h 5h 6h 7h
35
γγγγ(h)
h
γγγγ(∞∞∞∞)=C
2/3a a
Model variogram yang banyak digunakan dan umumnya terjadi pada
endapan mineral adalah model variogram sferis (David,1977 , Barnes,1979).
Fungsi matematisnya berbentuk polinomial sederhana, dimana variogram akan
mencapai suatu nilai yang tetap (finite) untuk h yang tidak terbatas. Nilai finite ini
dinamakan sebagai sill (Gambar 3.6).
Persamaan matematis untuk model variogram sferis ini adalah :
untuk h ≤ a
untuk h > a (3.15)
untuk h = 0
Gambar 3.6 Variogram model sferis (model Matheron).
Model variogram ini akan berperilaku linier di dekat titik awal yaitu pada
nilai h yang kecil hingga mencapai batas sill, dimana menyatakan adanya suatu
variabel dengan kontinuitas sedang. Model variogram sferis adalah model
variogram yang pada umumnya berlaku pada data kadar bijih. Selain itu, model
ini akan memberikan galat terkecil sehingga cocok untuk menaksir besarnya
kandungan cadangan mineral dibandingkan dengan model lainnya. Jika ditarik
garis tangensial dari titik origin γ(0), maka garis tersebut akan memotong garis sill
pada posisi 2/3 a dan ini dapat digunakan untuk menghitung besarnya nilai a
(range of influence).
36
Nugget effect merupakan petunjuk bahwa data mempunyai ketidakteraturan
yang tinggi. Nugget effect dapat dihindari dengan memperkecil jarak (Darijanto,
1999). Apabila nugget pada suatu model variogram tinggi, maka akan dihasilkan
nilai bobot conto yang hampir sama untuk semua conto, akibatnya penaksiran
kriging akan mirip dengan nilai rata-rata biasa.
3.2.3 Fitting Variogram
Metode yang umum digunakan dalam melakukan fitting variogram ada 2
(dua), yaitu : metode visual dan metode least square. Para ahli geostatistik lebih
banyak menggunakan metode visual (manual) untuk fitting variogram karena
hasilnya sudah cukup memuaskan (David, 1979). Namun, pekerjaan ini sangat
tergantung dari pengalaman dan sense seseorang. Tujuan dari fitting ini adalah
untuk menentukan parameter geostatistik seperti , C, dan C0.
Berikut ini adalah beberapa pedoman penting dalam melakukan fitting variogram
(Darijanto, 1999) :
� Variogram yang mempunyai pasangan conto yang sangat sedikit agar
diabaikan.
� Nugget variance (C0) didapat dari perpotongan garis tangensial dari beberapa
titik pertama variogram dengan sumbu Y.
� Sill (C0+C) kira-kira sama dengan atau mendekati varians populasi. Garis
tangensial di atas akan memotong garis sill pada jarak 2/3 range ( ),
sehingga selanjutnya dapat dihitung harga (David, 1977 , Clark, 1979 ,
Leigh and Readdy, 1982).
� Interpretasi nugget variance untuk variogram dengan sudut toleransi 180°
(variogram rata-rata) akan sangat membantu untuk memperkirakan besarnya
nugget variance (David, 1979).
� Nugget variance diambil dari multiple variogram (dalam berbagai arah).
Dalam multiple variogram, best spherical line sebaiknya lebih mendekati
variogram yang mempunyai pasangan conto yang cukup.
37
Menurut Ishak dan Srivasta (1989) perbedaan skala dan range tidak akan
mempengaruhi hasil pembobotan, namun berpengaruh pada hasil variansi. Model
variogram yang mempunyai nilai nugget tinggi memiliki kecenderungan untuk
mirip dengan model variogram bernilai range yang sangat kecil.
3.2.4 Daerah Pengaruh ( Range )
Secara umum γ(h) akan naik dengan bertambahnya harga h, artinya
besarnya perbedaan harga pada dua titik conto akan sangat tergantung dengan
jarak antara kedua titik tersebut.
Kenaikan harga γ(h) tersebut akan berlangsung selama masih terdapat
pengaruh harga antar titik conto tersebut, daerah ini dikenal dengan nama daerah
pengaruh suatu conto, sampai akhirnya konstan di suatu harga γ(∞) = C (sill)
yang merupakan varians populasi (variance a priori).
Daerah pengaruh suatu conto ini mempunyai suatu jarak dengan notasi a
yang dikenal dengan nama daerah pengaruh (range). Di luar jarak ini maka rata-
rata variasi harga Z(x) dan Z(x+h) tidak lagi tergantung dengan jarak, dengan kata
lain Z(x) dan Z(x+h) tidak berkolerasi satu dengan yang lainnya. Range (a) adalah
suatu ukuran untuk daerah pengaruh (Gambar 3.7).
Gambar 3.7 Daerah pengaruh (range) suatu variogram eksperimental
γγγγ (h)
γγγγ (∞∞∞∞)
C = sill
a (range) h
38
3.2.5 Isotropi dan Anisotropi
Perilaku suatu variabel terregional (regionalized variable) dalam ruang 3
(tiga) dimensi dapat diselidiki dengan cara membuat variogram dalam berbagai
arah. Pada umumnya variogram dibuat dalam beberapa arah yang berbeda-beda
karena jarak (h) merupakan suatu vektor. Suatu penyelidikan perubahan γ(h)
sesuai dengan arah orientasinya memungkinkan munculnya suatu anisotropi.
Apabila variogram-variogram yang dibuat dalam berbagai arah sama, maka
dapat diartikan bahwa γ(h) merupakan suatu fungsi dari harga-harga absolut
vektor rh . , jika h1, h2, dan h3 adalah komponen
vektor rh , sehingga dikatakan bahwa endapan tersebut adalah isotropi (homogen).
Model anisotropi adalah model variogram-variogram yang mempunyai
bentuk yang berbeda pada arah yang berbeda. Untuk membuat suatu variogram
anisotropi perlu dibuat variogram secara incremental, pada umumnya dilakukan
dengan cara trial and error. Pada proses pencarian data perlu dilakukan penentuan
toleransi jarak dan toleransi sudut (angle of classes dan dictance classes).
Secara umum dikenal dua macam anisotropi, yaitu anisotropi geometris dan
anisotropi zonal. Kondisi anisotropi geometri akan menyebabkan range berubah
pada berbagai arah, namun nilai sill akan tetap. Jika digambarkan pada bidang,
range anisotropi geometri akan membentuk ellips. Sedangkan, anisotropi zonal
terjadi jika variogram pada arah tertentu sangat berbeda sekali.
39
γ(h)
C
aUS aTL aTG aBT h
γ(h)
C1
C2
h
γ2
γ1
Gambar 3.8 Model variogram anisotropi geometri (A) dan anisotropi zonal.(B).
3.3 Metode Kriging
Hubungan antara kadar suatu conto pemboran dengan kadar blok akan
memperlihatkan suatu pencaran sistematis. Conto bor tersebut bukan merupakan
suatu harga estimasi yang paling baik untuk menaksir kadar blok, sehingga
diperlukan suatu koreksi. Penentuan koreksi ini diberikan oleh Matheron melalui
pembobotan conto dengan bantuan fungsi variogram. Cara atau metode ini
dinamakan metode kriging yang diambil dari pakar geostatistik di Afrika Selatan
yaitu D.G. Krige yang telah memikirkan metode penaksiran cadangan ini untuk
pertama kalinya pada awal tahun limapuluhan.
Gambar 3.9 Hubungan kadar suatu conto pemboran dengan kadar blok, (a) tanpa
koreksi dan (b) dengan koreksi berupa metode kriging
Dalam hal semua hasil analisa conto pemboran merupakan estimasi yang
benar atau sesuai terhadap kadar setiap blok yang diwakili conto tersebut, maka
pencaran pasangan data antara kadar conto dengan kadar blok tersebut akan
A B
z
_
Z
_
kadar blok
kadar conto
A
A' (a)
z
_
Z
_
Z1'
Kadar blok
Z2
Z2'
Z1
B
Kadar conto
z2 z1 A
A'
B'
z1 > Z1
z2 < Z2
(b)
40
membentuk garis regresi A-A’ yang melalui titik 0 (nol). Penelitian D.G. Krige
pada perilaku kadar conto emas menunjukan bahwa garis regresi tersebut pada
kenyataannya lebih mendatar, seperti yang ditunjukan garis B-B’ (Gambar 3.9 b).
Hal tersebut menyatakan bahwa simpangan terbentuk secara sistematik dan nilai
kadar conto bor bukan merupakan suatu estimasi yang baik terhadap kadar blok
yang diwakili oleh conto bor tersebut.
Koreksi matheron yang memperhatikan variogram dari analisa data
regional memperlihatkan bahwa estimasi kadar blok tidak hanya dipengaruhi oleh
conto yang terletak di dalam blok saja, tetapi juga dipengaruhi oleh conto-conto di
sekitarnya yang berdekatan. Koreksi ini akan memberikan suatu harga estimasi
yang lebih baik dan suatu varians dari estimasi tersebut.
Dengan bantuan metode kriging ini tidak akan ditentukan garis regresi baru yang
lebih baik, tetapi metode ini akan mengoreksi kadar-kadar conto pemboran,
dimana nilainya akan dinaikan atau diturunkan, sehingga mempersempit ellips
pencaran data.
Royle & Newton (1972) telah menyelidiki bermacam-macam model
koreksi dan menghasilkan solusi bahwa proses kriging ini memberikan harga-
harga penaksiran kadar-kadar blok yang terbaik berdasarkan kadar-kadar conto
yang telah dikoreksi.
3.3.1 Sistem Persamaan Kriging
Misalkan terdapat suatu kumpulan S1 dari n conto dengan volume yang
sama pada suatu tempat xi. Z* merupakan hasil taksiran harga terhadap suatu
kadar Z dari volume V. Harga estimasi kadar ini dapat dihitung melalui
pembobotan rata-rata tertimbang (weighted average) kadar-kadar conto z(xi).
(3.16)
Jumlah faktor pembobotan λi dibuat sedemikian rupa sehingga sama dengan satu.
(3.17)
41
Dengan demikian taksiran ini tidak bias, artinya harga yang diharapkan untuk
perbedaan Z dan Z* adalah nol.
E[Z – Z*] = 0 (3.18)
Varians estimasi dengan memperhatikan faktor pembobotan tersebut adalah :
(3.19)
Varians estimasi merupakan suatu fungsi dari faktor-faktor pembobotan λi.
Faktor-faktor pembobotan yang optimal diperoleh dengan cara meminimumkan
varians estimasi tersebut. Untuk meminimumkan varians estimasi tersebut
didekati dengan suatu multiplikator Lagrange dengan persamaan sebagai berikut :
min )1( 22 ⇒−− ∑= iEQ λµσ (3.20)
Selanjutnya didapat sistem persamaan linier (kriging system) sebagai berikut:
dxxxV
xxV
iji
n
j
j )(1
)(1
∫∑ −=+−=
γµγλ (3.21)
atau ),(),(1
VSSS iji
n
j
j γµγλ =+∑=
(3.22)
dan
Sistem persamaan ini cukup untuk menentukan harga-harga λj dan µ yang akan
menghasilkan suatu varians minimum.
Varians penaksiran (kriging variance) akan diekspresikan melalui
persamaan berikut ini :
∫ ∫ ∫∑ −−−−==V V V
j
n
j
jK dxxxV
dyyxdxVV
)(1
)(1
1
2 γλγσ (3.23)
*][ 2 ZZVarE −=σ
)( )(1
)(2
1 11
jij
V V
n
i
n
j
ii
V
n
i
i xxdydxyxVV
dyyxV
−−−−−= ∫ ∫ ∑∑∫∑= ==
γλλγγλ
),( ),(),( 21 11
jj
n
i
n
j
ii
n
i
i SSVVVS γλλγγλ ∑∑∑= ==
−−=
42
atau ),( ),(1
2 VSVV j
n
j
jK γλµγσ ∑=
++−= (3.24)
Berikut ini diuraikan persamaan untuk menghitung λ dan µ yang
merupakan konstanta-konstanta yang tidak dikenal :
)( )(. ... )(. ... )(.)(. 111212111 VSSSSSSSSS nnjj γµγλγλγλγλ =++++++
)()(. ... )(. ... )(.)(. 222222121
MMMMMM
VSSSSSSSSS nnjj γµγλγλγλγλ =++++++
)()(. ... )(. ... )(.)(. 2211
MMMMMM
VSSSSSSSSS jnjnjjjjj γµγλγλγλγλ =++++++
1 = ... ...
)()(. ... )(. ... )(.)(.
21
2211
nj
nnnnjnjnn VSSSSSSSSS
λλλλ
γµγλγλγλγλ
+++
=++++++
Dengan memprhatikan bahwa )()( ijji SSSS γγ = , maka akan memberikan suatu
matriks sebagai berikut :
•
1
)(
)(
)(
)(
=
0 1 ... 1 ... 1 1
1)(...)(...)()(
1)(... )(... )()(
1)(...)(...)()(
1)(...)(... )()(
1
1
3
2
1
21
21
222212
112111
VS
VS
VS
VS
SSSSSSSS
SSSSSSSS
SSSSSSSS
SSSSSSSS
n
j
nnnjnnn
nijiii
nj
nj
γ
γ
γ
γ
µ
λ
λ
λ
λ
γγγγ
γγγγ
γγγγ
γγγγ
M
M
M
M
MMMM
MMMM
Matriks )( jiSSγ merupakan suatu matriks yang simetris. Sistem persamaan tersebut di
atas dapat dituliskan sebagai berikut :
[ ] [ ] [ ]MLK =⋅ (3.25)
Persamaan ini akan diselesaikan terhadap L untuk mendapatkan λi dan µ sehingga
diperoleh persamaan :
[ ] [ ] [ ]MKL .1−= (3.26)
43
Varians kriging dapat dituliskan dengan persamaan berikut :
[ ] [ ]MLVVt
K ⋅+−= ),(2 γσ (3.27)
3.4 Model Blok Cebakan Mineral
Model blok telah umum digunakan untuk pemodelan cadangan berupa
suatu cebakan mineral. Hal ini dimulai pada akhir tahun enampuluhan, ketika
komputer mulai digunakan proses pekerjaan perhitungan cadangan dan
perencanaan tambang. Volume 3 (tiga) dimensi cebakan mineral yang akan
ditambang kita bagi ke dalam unit-unit yang lebih kecil (blok/unit penambangan
terkecil). Dalam kerangka model blok inilah semua tahap pekerjaan akan
dilakukan, mulai dari penaksiran kadar, perancangan batas penambangan hingga
ke perencanaan tambang jangka panjang dan jangka pendek. Dimensi unit-unit
blok tergantung pada jenis cebakan mineral, tujuan pembuatan model, dan metode
penambangan. Tiap-tiap blok akan memiliki atribut (variabel model) misalnya
topografi, jenis batuan, berat jenis, taksiran kadar, klasifikasi hasil taksiran, aspek
pengolahan atau metalurgi.
44
Gambar 3.10 Skema tiga dimensi model blok cebakan mineral (Darijanto, 1999)
3.5 Pemodelan dan Estimasi Cadangan
Pemodelan dan estimasi cadangan adalah suatu kegiatan yang menjadi
dasar perencanaan tambang. Pemodelan dan estimasi cadangan harus dilakukan
sebelum kegiatan penambangan dimulai. Berikut ini adalah beberapa alasan
dilakukannya pemodelan dan estimasi cadangan (Mulyono, 2004) :
1. Memberikan estimasi kuantitas (tonase) dan kualitas (kadar) cadangan bijih.
2. Memberikan perkiraan bentuk tiga dimensi (3D) cadangan bijih dan distribusi
spasial dari kadarnya. Hal ini sangat membantu dalam penentuan cara
penambangan, metode penambangan, rancangan push back, serta
perencanaan peralatan dan tenaga kerja.
3. Jumlah cadangan akan menentukan umur tambang.
4. Batas-batas kegiatan penambangan dibuat berdasarkan taksiran cadangan.
Penentuan lokasi pabrik pengolahan, bengkel, dan fasilitas pendukung
45
lainnya harus dipilih secara tepat sehingga kegiatan penambangan dapat
berjalan secara efektif dan efisien.
Model cadangan yang dibuat merupakan pendekatan dari kenyataan dan
dibuat berdasarkan informasi dan data-data yang dimiliki. Model cadangan dan
hasil estimasi cadangan selalu mengandung unsur ketidakpastian. Namun suatu
model cadangan dan taksiran cadangan yang baik harus memenuhi persyaratan
sebagai berikut (Mulyono, 2004) :
1. Suatu penaksiran cadangan harus mencerminkan secara tepat kondisi geologi
dan karakter mineralisasinya.
2. Suatu model cadangan bijih yang akan digunakan untuk perancangan tambang
harus konsisten dengan metode penambangan dan teknik perencanaan
tambang yang akan diterapkan.
3. Model cadangan harus dibuat dari data-data faktual dan diolah secara objektif.
Data yang digunakan harus didapat dari kegiatan eksplorasi yang terpercaya
dan pembobotan data yang berbeda dilakukan dengan alasan yang jelas.
4. Model yang dibuat harus dapat dilakukan verifikasi. Verifikasi perlu
dilakukan karena kesalahan kecil pada suatu nilai individu dapat memberikan
efek terhadap penghalusan korelasi, analisis statistik parameter, ataupun
geostatistik. Sumber kesalahan ini dapat berupa human error (proses
pemasukan data) ataupun kesalahan saat menentukan asumsi, batasan maupun
saat korelasi.
Verifikasi dilakukan sebelum dan sesudah model dibuat, hal ini dilakukan
untuk melihat apakah terjadi kesalahan dalam proses pemodelan. Dengan
melakukan verifikasi dapat diketahui kecenderungan distribusi kadar dan tonase
dalam model grid atau blok dibanding hasil sebenarnya dari penambangan.
Beberapa cara dan langkah verifikasi yang dapat dilakukan adalah sebagai
berikut (Mulyono, 2004) :
1. Melakukan analisis statistik data.
Kadar blok hasil pemodelan dibandingkan dengan kadar conto yang
digunakan (assay atau komposit). Analisis silakukan berdasarkan statistik
dasar meliputi nilai rata-rata (mean), nilai tengah, kuartil atas, kuartil bawah,
46
dan lain-lain. Selain itu, dilihat juga kecenderungan distribusi data meliputi
angka ketaksimetrisan (skewness), kurtosis, dan koefisien varians.
2. Melakukan perhitungan secara terpisah.
Dilihat apakah taksiran yang diperoleh sensitif terhadap perubahan parameter
penaksiran. Dicoba untuk melakukan perhitungan dengan mengganti secara
coba-coba terhadap parameter range (daerah pengaruh).
3. Melakukan evaluasi terhadap basis data assay.
Pemeriksaan dilakukan dengan melakukan analisis assay cutting hasil
pemboran pada saat kegiatan produksi dengan data dari bor inti.
4. Melakukan pengamatan secara manual dan visual.
Cara ini dilakukan dengan cara membandingkan koordinat titik data hasil
survey (peta pemboran) dengan penampang blok hasil pemodelan. Dari sini
dapat dilihat apakah kadar blok diekstrapolasikan terlalu jauh ke daerah yang
tidak ada data pemboran. Kemudian dibandingkan dengan peta kerja dari
kegiatan penambangan, apakah model yang kita buat sesuai atau tidak.
Hasil penaksiran dan perhitungan cadangan akan mempunyai tingkat
kepercayaan yang berbeda-beda. Tingkat kepercayaan suatu hasil perhitungan dan
penaksiran cadangan sangat tergantung kepada (Mulyono, 2004) :
1. Kebenaran dan kelengkapan pengetahuan dalam memahami dan mempelajari
data badan bijih. Hasil penaksiran seseorang yang telah paham tentang kaidah
penaksiran dan genesa mineral bijih akan lebih meyakinkan dibandingkan
hasil penaksiran seseorang yang hanya bertindak sebagai operator.
2. Kerapatan data (grid density) dapat dipercaya sebagai data dasar. Data dengan
pengambilan sampel dengan jarak yang dekat lebih meyakinkan daripada data
dengan jarak yang jauh.
3. Dalam menentukan asumsi dan pendekatan variabel interpresi dilakukan
secara bertanggung jawab baik dari aspek ilmiah maupun aspek teknis.
4. Perhitungan penaksiran cadangan menggunakan rumus dan pemodelan yang
tidak melanggar kaidah matematika yang ada.