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MTODOS GEOESTADSTICOS BSICOSPARA LA EVALUACIN DE RECURSOS
MINERALES
Capacitacin-Cerro Corona
Agosto 2006
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CONTENIDO
Introduccin
Motivacin
Antecedentes histricos y tendencias actuales
Cambio de Soporte y Post-Procesamiento
Alcance
Estudios de Caso
Discusiones
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ANTECEDENTES HISTRICOS
Resumen del nacimiento de la Geoestadstica,
fortalezas y limitaciones, xitos y fracasos, y
razones de los mismos
La Geoestadstica Minera en los ltimosCincuenta Aos
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ANTECEDENTES HISTRICOS
Distribucin Log-normal de Valores de Muestrastomadas en Minas de Oro SudafricanasSichel,
finales de la dcada de los 40 La observacin realizada por Danie Krige en lasMinas de Oro Sudafricanas en 1951 constituye elfundamento de la geoestadstica:
Se puede prever que los valores de oro a nivel de toda unamina estarn sujetos a una mayor variacin relativa que losvalores de oro a nivel de slo una parte de la mina[enotras palabras, es ms probable que las muestras tenganvalores similares si son tomadas en puntos cercanos que sison tomadas en puntos ms distantes]
La Geoestadstica Minera en los ltimosCincuenta Aos
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ANTECEDENTES HISTRICOS
Contribucin al Marco TericoMatheron, dcada de los
60
Matheron acu el trmino Kriging en reconocimiento al
trabajo pionero de Krige Avances significativos a nivel terico, dcada de los 70
DisminucinGeneral en el Ritmo de Avanceproceso de
maduracin, dcada de los 80, y una vez ms se reconoce
a la geologa como elemento vital en el modelamiento de
depsitos Se cometieron errores desastrosos tales como: uso de
datos inapropiados (GIGO), desestimacin de la geologa,
escasa comprensin y aplicaciones ineficientes
La Geoestadstica Minera en los ltimosCincuenta Aos
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TENDENCIAS ACTUALES
Mtodos de estimacin actualmente utilizados
Modelos de eficiencia
Modelos de Cambio de Soporte
Tcnicas de Post-Procesamiento
Modelamiento de Incertidumbres y Riesgos:
Estimacin y Simulacin Avance hacia el Futuro
Perspectiva Internacional y Mejores Prcticas
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TENDENCIAS ACTUALES
Kriging simple y ordinario mtodo de regresin
multivariada original empleado por Krige
Kriging Log-normal
Kriging universal
Kriging disyuntivo
Pruebas iterativas de kriging de indicadores
(kriging de probabilidades-PK, kriging de
indicadores mltiples-MIK, etc.)
Mtodos de estimacinDepende de lanaturaleza del depsito y el objetivo del
modelamiento
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TENDENCIAS ACTUALES
Subvaloracin y sobrevaloracin sistemticas de
estimados de bloques en diferentes categoras
de leyes.
SESGOS CONDICIONALES
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EXPLICACIN DE SESGOSCONDICIONALES
3
4
4
5
5
6
6
3 4 4 5 5 6 6
ESTIMADOS DE BLOQUES
VALORESR
EALES.
Y=X
SOBREESTIMACINSUBESTIMACIN
Y sobre X
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TENDENCIAS ACTUALES
Definicin y explicacin de Eficiencia Falta de Eficiencia y decisiones econmicamente
costosas de minado selectivo
Modelos de Eficiencia
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MODELO DE EFICIENCIA
CORRELACIN ENTRE EFICIENCIAS Y PENDIENTES
%E
FICIENCIA
VALORES REALES/ESTIMADOS PENDIENTE DE REGRESIN
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INTRODUCCIN
ESTADSTICA CLSICA Y ESPACIAL
Dos Enfoques Estadsticos Principales de la Evaluacin de Recursos Minerales
Estadstica Clsica y Espacial
Estadstica Clsica: Asume que las muestras son aleatorias o que no estn correlacionadasIgnora las posiciones relativas de las muestras (E.G., WITS y T de Sichel)
Muy pocas situaciones
Estadstica Espacial: Toma en cuenta la correlacinentre las muestras
Es ms probable que las muestras de un tajo sean similares si stas se toman en
puntos cercanos que si se toman en puntos distantes
La Teora de Geoestadstica est basada en la estadstica espacial. Cubre una rama de la estadsticaaplicada orientada a la descripcin matemtica y el anlisis de observaciones espaciales (incluyendoobservaciones geolgicas)
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ESTIMACIN
Se define como la prediccin del valor de una caracterstica en una ubicacin donde dicho valor se
desconoce, en base a los valores de las caractersticas medidas en ubicaciones conocidas.
Error de Estimacin: Discrepancia entre el valor estimado y el Valor Real. Depende de:
La variabilidad de los valores a estimar
La eficiencia del mtodo de estimacin
La cantidad de informacin disponible
Ejemplo de Modelo Geolgico (6)
INTRODUCCIN
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ETAPAS DE ESTIMACIN (8)
CRITERIOS PARA LA EVALUACIN DE MODELOS
En promedio, los modelos, conceptos, supuestos y estimadosdeben ser correctos
Los errores individuales locales deben ser mnimos
INTRODUCCIN
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MUESTREO Y MINADO: Medicin de Variabilidad en diferentes Escalas (10)
El ensayo o medicin realizada a una muestra es un promedio medido sobre el volumen de la muestra,por ej. un testigo de perforacin o una muestra de guijarros.
A medida que el volumen cambia, las caractersticas de los valores medidos cambian tambin (Verejemplos (10))
El Promedio de las leyes es el mismo para las distintas longitudes Sin embargo, la variabilidad de las leyes medidas se reduceste es un concepto general conocido
como relacin Volumen-Varianza.
A medida que el volumen sobre el cual se toma la muestra aumenta, la varianza o variabilidad de losvalores de la muestra se reduce.
El minado (seleccin) se realiz en base a un volumen de bloque especfico o paneles y no a volmenesde testigos de perforacin.
Los Tonelajes y Leyes pronosticadas en base a testigos de perforacin no se pueden lograr en base abloques de minado.
Se aplica a bloques de minado o Unidades de Minado Selectivo inapropiados
INTRODUCCIN
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CONSECUENCIAS PRCTICAS DEL EFECTO DE ESCALA
Ejemplos para Trabajar (En Clase)
INTRODUCCIN
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CORTES Y CAMBIO DE SOPORTE
0.90 0.95 1.00 0.90
0.90 1.00 1.05 1.10
1.05 1.35 1.25 1.20
1.15 1.20 1.30 1.30
Bloque Grande dividido en bloques SMU (Unidad deMinado Selectivo) de 16 5m x 5m
Ley media sobre ley decorte- Proporcin sobre ley de corte-
Ley-de corte Bloques pequeos Bloque grande Bloques pequeos Bloque grande0.90 1.10 1.10 100% 100%1.00 1.16 1.10 75% 100%1.15 1.25 0.00 44% 0%
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
DEFINICIONES
POBLACIN: Grupo de objetos con caractersticas especficas
MUESTRA: Nmero de objetos seleccionados de la poblacin deacuerdo con ciertas reglas especficas. Las caractersticas de lamuestra se miden y estudian para hacer una inferencia.
SOPORTE: En geoestadstica, una muestra es asociada a su soporte;se refiere al tamao, volumen, forma y orientacin de la muestra.
INTRODUCCIN
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
ZONAS HOMOGENEAS GEOLGICAS
Todo anlisis geoestadstico requiere que las poblaciones en estudio seanrazonablemente homogneas, es decir, que los datos no cubran a unamezcla de poblaciones con caractersticas significativamente distintas
Los tipos de mineralizacin/minerales (por ej. supergnicos, hipognicos,etc., y tambin sub-dominios) proporcionan una base til y fundamental en
este aspecto.Siempre recordar el prefijo GEO en GEOestadstica.
NOTACIN (13)
INTRODUCCIN
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA (16)
DISTRIBUCIN DE DATOS MEDIANTE HISTOGRAMAS O FREQUENCIAS
Una distribucin de frecuencias describe cmo las unidades de unapoblacin estn distribuidas en el rango de sus posibles valores
Ejemplos Trabajados en base a Datos
Frecuencia Relativa
Frecuencias Acumuladas y Acumuladas Inversas
INTRODUCCIN
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA (18,19)
HISTOGRAMA DE LEYES DE DIFERENTES TAMAOS DEMUESTRA
Ntese la pequea proporcin de ensayos con resultados de altaley y una proporcin ms pequea de ensayos con resultados debaja ley para longitudes de testigos de 2m
INTRODUCCIN
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA (20)MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O POSICIN
Distribuciones Simtricas y Asimtricas o Histogramas MEDIA: la medida comnmente utilizada es la media aritmtica
MODA: La moda de un conjunto de nmeros es el valor que aparece con mayorfrecuencia, es decir, es el valor que ms se repite; picos de his togramas
Ejemplo 1. La moda del conjunto 2,5,7,9,9,9 10 es 9
Ejemplo 2. El conjunto 3,5,8,10 no tiene moda
Ejemplo 3. El conjunto 3, 4,4, 5, 5 ,7 tiene dos modas, 4 y 5-bimodal
As, pueden existir varias modas. Esto podra representar una mezcla de poblaciones(zonas no homogneas) (Ver Fig.13). A la distribucin que slo tiene una moda se ledenomina unimodal .
INTRODUCCIN
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA (23)
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O POSICIN
MEDIANA: Es el valor central o la media aritmtica de los dos valores centrales.Divide los datos en dos mitades iguales.
Ejemplo 1
La mediana de 3,4,4,6,7,8,8,8,10 es 7
Ejemplo 2
La mediana de 5,5,7,9,11,12,15,18 es (9+11) = 10
RELACIN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA (FIG 14)
INTRODUCCIN
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA (23,24)
RELACIN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA PARA SOPORTESO LONGITUDES DIFERENTES (Tabla 4)
La Media ser siempre la misma, cualquiera sea la longitud ovolumen de la muestra
La moda y la mediana cambian.
INTRODUCCIN
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA (25)
MEDIDAS DE DISPERSIN O VARIACIN
El grado en el cual los datos numricos estn dispersos con respecto a un valor promedio.
-Los histogramas ubicados o centrados en los mismos valores medios pueden diferir (Fig. 18).La variacin, magnitud o dispersin proporcionan su identidad.
-La dispersin o variacin puede darse con respecto a la media, mediana o moda.
-La medida de dispersin ms comn: Rango, desviacin media, rango intercuartlico, varianza ydesviacin estndar
-Rango = mximo - mnimo
Ejemplo: 2,3,5,12 : (12-2=10)
-Desviacin Media o Desviacin Absoluta Media (28)
-Rango Intercuartlico = el 75vo valor ms grandeel 25vo valor ms grande
-Rango Semi-intercuartlico e= del rango intercuartlico
INTRODUCCIN
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA (28 & 29)
MEDIDAS DE DISPERSIN O VARIACIN
VARIANZA
= La desviacin promedio elevada al cuadrado con respecto a lamedia.
= suma de (valor muestral - media)**2nmero de muestras1
Es la medida de dispersin o magnitud de valores ms usada
Ejemplo (28)
DESVIACIN ESTNDAR = Raz cuadrada de la varianza.
INTRODUCCIN
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EJEMPLOS TRABAJADOS
1. Calcule la media, moda, mediana, varianza y desviacin
estndar del conjunto: 2 2 5 7 9
INTRODUCCIN
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PROPIEDADES DE LA DESVIACIN ESTNDAR Y LA DISTRIBUCIN NORMAL
HISTOGRAMAS MODELO
Curva de frecuencia suave para histogramas (Fig. 19, pg. 32)
Distribucin Normal (33): mayormente as denominada (Usada para la transformacin Normalo Gausiana)
En la Distribucin Normal (34):
El 68.45% de todos los valores estn comprendidos entre (media-s) y (media + s)
(es decir, una desviacin estndar en cualquier lado de la media)
El 95% de todos los valores estn comprendidos entre (media-2s) y (media+2s)
(es decir, dos desviaciones estndar en cualquier lado de la media)
El 99% de todos los valores estn comprendidos entre (media-3s) y (media+3s)
(es decir, tres desviaciones estndar en cualquier lado de la media)
Las distribuciones geolgicas son desviadas y no son directamente normales, aunqueaquellas que han sido transformadas logartmicamente pueden ser normales; a talesdistribuciones se les denomina log-normales. Para las distribuciones log-normales, ladesviacin log-estndar tiene propiedades similares a las antes mencionadas (68%, 95%99%)
INTRODUCCIN
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EJEMPLOS TRABAJADOS (David : Clase)
Tablas de Distribucin Normal (Determinadas por la media y la varianza/DesviacinEstndar)
- Distribucin Normal Estndar
Todas las distribuciones normales se pueden transformar a distribuciones estndar:
Valor Normal Estndar = (valor muestralmedia de la muestra)
desviacin estndar
Se puede usar la funcin NORMDIST de Excel para hacer el clculo
Se proporcionan Tablas Compiladas en la forma estndar
INTRODUCCIN
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EJEMPLOS TRABAJADOS (David : Clase)
Pregunta: Supongamos que descubrimos un importante yacimiento de oro de 100mt, con un promedio de 5.4 gramos/tonelada (g/t) y una distribucin normal deleyes. La desviacin estndar de muestras de testigos de perforacin es 0.7. Elmineral debe ser extrado en tres categoras: por debajo de 4.6 g/t, debe serapilado para el descanso navideo; por encima de 4.6 g/t y por debajo de 6 g/t, vaa la Planta I; por encima de 6 g/t es transportado a una planta diferente (Planta II).Estime el tonelaje de cada categora (Usando la Tabla de Distribucin NormalEstndar).
- Ahora la seleccin de bloques de minado se realizar en bloques o paneles deUnidades de Minado Selectivo (SMU) mucho ms grandes, teniendo unadesviacin estndar ms pequea de 0.4. Estime los nuevos tonelajes extrados en
esta Grande Unidad de Minado Selectivo (Definir SMU). Comparar el impacto delcambio de SMU con el primer ejemplo.
INTRODUCCIN
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DISTRIBUCIN LOGNORMAL
El histograma logartmico (leyes) es normal.
Ventaja: Mejor manejo de datos sesgados y uso de las propiedadesde la distribucin normal.
T de Sichel.
CLD y LNGIG.
Detalles y Ejemplos (fotocopia-WITS).
(CORTE NATURAL DE INFORMACIN 1).
INTRODUCCIN
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AGRUPACIN DE DATOS
Muestreo por conglomerados o agrupacin de
taladros - representan sesgohumano(por ej., sehacen ms perforaciones para confirmar lasreas con mineral de alta ley).
Crea sesgo en estadstica e histogramas.
INTRODUCCIN
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DESAGRUPACIN DE DATOS
Geozonas separadas para poblaciones mixtas
Pob lacin nic a
Uso de mallas sobre los datos
OPCIONES
Seleccionar slo un dato por celda
Ponderar inversamente las muestras en los bloquesrespectivos
Promediar los datos dentro de las celdas
Probar varias celdas y orgenes
Ejemplo y Discusin
INTRODUCCIN
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DOS VARIABLES (35)
Media condicional y varianza condicionalCovarianza y correlacin (38-42)
INTRODUCCIN
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REGRESIN (43)
Anlisis de Regresin (Lineal, multi-lineal, etc.)
Coeficiente de covarianza y correlacin
(CORTE NATURAL DE INFORMACIN)
INTRODUCCIN
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FUENTES DE ERROR (48-53)
Errores de estimacin debido a la variabilidad delas leyes
Las fuentes de error debido a variabilidad son:
Continuidad
Zona de influenciaVariacin estructural y a pequea escala
Grado de homogeneidad
Modo de Formacin
CRITERIOS DE ESTIMACIN
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EJEMPLO SIMPLE DE VARIOGRAMA-ESTRUCTURA ESPACIAL (63)
Valores de ley en un tajo (g/t)
1) 1 7 3 6 2 9 4 8 52) 1 3 5 7 9 8 6 4 2
Para ambos: Media = 5g/tVarianza = 6.7Pero la naturaleza de la variabilidad es muy diferente
1) Es muy errtica2) Cambia; es gradual y sistemtica
Promedio de (diferencia)**2 entre pares sucesivos
1) 22.0 baja correlacin2) 3.6 alta correlacin
= Valores de Variograma
VARIOGRAMA
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DEFINICIN (64)
El variograma para un espaciamiento de muestra d es lamitad de la diferencia promedio al cuadrado entre
todos los pares de muestras separados por unadistancia d
Ejemplo-1-D Manual (65)
Tambin 2-D y 3-D (67, 69)
NOTA: Variograma y Semivariograma se utilizanindistintamente
VARIOGRAMA
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PROPIEDADES DEL VARIOGRAMA (70)
Zona de Influencia
- En general, el variograma aumenta con la distancia
- En promedio, la diferencia entre los valores aumenta con la distancia
- La tasa de aumento del variograma refleja la tasa a la cual la influencia ocorrelacin de valores disminuye con la distancia
- La tasa de aumento puede variar (anisotropa) o no (isotropa) Ver Fig. 46
Continuidad (71)
Es reflejada por la tasa de crecimiento del variograma sobre distancias pequeas.Cuando el grado de continuidad es alto, existe muy poca diferencia entre las
muestras tomadas en puntos cercanos, y los valores del variograma para distanciaspequeas sern bajos.
- Mientras ms bruscos sean los cambios en los valores muestrales, ms altossern los valores del variograma.
Ver Fig. 47 (desde a hasta d)
VARIOGRAMA
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PROPIEDADES DEL VARIOGRAMA (70)
Estructuras de Transicin (72, Fig. 48)
- Rango : Coloca un valor mximo en la zona de influencia
- Meseta : El variograma flucta alrededor de un valorconstante=meseta (varianza)
Anisotropas (73)
- El grado de continuidad cambia con la direccin (Fig. 49)
- Anisotropas geomtricas y zonales
- Homogeneidad geolgica y variogramas (Fig. 53)
VARIOGRAMA
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TIPOS DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES
Tradicional: Uso de leyes brutas en la frmula del variograma
Variogramas logartmicos: transformacin logartmica (logaritmo(leyes)) antes delclculo del variograma.
De Indicadores: Transformacin de indicadores antes del clculo.
Relativo: Divide el variograma para las distancias respectivas entre el cuadrado dela media de los datos usados para calcular el variograma.
Relativo de parejas
por cada par de muestras
dividir entre (la mitad de (muestras de cabeza + muestras de relave)**2
Variograma de puntajes normales: Transforme los datos a distribucinnormal estndar antes del clculo del variograma
Covarianza: Mapea la parte de correlacin del variograma (la correlacin disminuyecon la distancia)
Correlograma: Divida entre (desviacin estndar de muestras de cabeza)*desviacinestndar de muestras de relave)
VARIOGRAMA
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MODELADO DE VARIOGRAMASEXPERIMENTALES
Tpicos: Modelo de Variograma Esfrico (Fig.54, pp82 : Fig. 57, pp84)
Lineal, gausiano
Estructuras Anidadas
VARIOGRAMA
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INTERPRETACIN Y MODELADO DE VARIOGRAMAS: PROBLEMASY SUGERENCIAS
INGREDIENTE MS IMPORTANTE
Conocimiento geolgico; Controles sobre mineralizacin
- Estructuralestructuras transversales, etc.
- Direccin, buzamiento
Variogramas a lo largo del taladro: informacin densa, asistencia para estimados de pepita
Espaciamiento de Paso - Distancia incremental para el clculo de variogramas
Por lo menos distancia de paso (lag)=espaciamiento de muestreo
Espaciamiento desigual de muestrasUso de compsitos relativos a la escala de minado o mltiplos(87)--- tambin los datos disponibles despus de compositar o regularizar
Datos no alineados: uso de ngulo de Tolerancia (Fig. 59-pp88)
Alta anisotropa esperada (uso de ngulo de menor tolerancia, datos limitados-mayor tolerancia Visualizacin del nmero de parejas usadas por paso, modelo para meseta=varianza de datos
Variogramas errticos: Cortes Superiores, transformacin logartmica, transformacin Gausiana, etc.
Variograma cruzado (91)
EJEMPLOS ( en Datamine - Prcticas)
VARIOGRAMA
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VARIOGRAMAS: DIFERENTES TAMAOS DE SOPORTE O BLOQUE (85)
El variograma representa caractersticas espaciales medidas para unsopor teo volumenespecfic o.
Cada tamao de sopo rte, po r ej. mues tras de gu ijarros ind ivid uales enun a seccin de m inado , es decir, par tcu las de cm s d e tamao,ypromedios de 50x50m en la misma seccin, producir variog ramasdist intos.
Por lo general:
- El efecto de pepita disminuye con el aumento del TAMAO DESOPORTE O BLOQUE
- La varianza de los valores se reduce a medida que su volumen otamao aumenta
- El rango de influencia tiende a aumentar el tamao de soporte
(CORTE NATURAL DE INFORMACIN)
VARIOGRAMA
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CLCULOS NUMRICOS DE VARIOGRAMAS DENTRO DEVOLMENES (DISCRETIZACIN):
Ejemplos
Relacin de Krige (94)
(CORTE NATURAL DE INFORMACIN)
VARIOGRAMA
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GENERALIDADES
Principios de estimacin
Varios mtodos de estimacin
Fortalezas y debilidades de las diferentes tcnicas
TCNICAS DE ESTIMACIN
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PRINCIPIOS DE ESTIMACIN
Controles e ingresos geolgicos fundamentales (GEOen GEOestadstica)
Proporcionar estimados precisos e insesgados: globalesy locales. Estimados para estudios de factibilidadconfiables y para diversos requerimientos deplanificacin minera (a corto, mediano y largo plazo)
Impacto directo sobre $$$$
TCNICAS DE ESTIMACIN
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CALIDAD DE LA ESTIMACIN
Ejemplos de elipse de error (Estimacin buena ydeficiente: sesgos condicionales)
IMPACTO DE ESTIMACIONES IMPRECISAS
Decisiones erradas sobre factibilidad de uso intensivo de
capitalAsignacin errnea de material mineral y de desecho
Prdidas operativas
Posibilidad de reconciliacin deficiente
TCNICAS DE ESTIMACIN
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EJEMPLOS
Vecino ms prximo
Poligonales
Inverso de la distancia (variaspotencias)
Kriging (varias pruebas iterativas)
TCNICAS DE ESTIMACIN
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VECINO MS PRXIMO (NN)
Valor muestral asignado al punto de estimacin
Ejemplo
+ 4g/t + ? + 10g/t
A B C
A a B = 5m, B a C =15m
Estimado del vecino ms prximo para el punto B = 4g/t
Ventaja: rpido, no requiere ponderacin matemtica
Desventaja: imperfecto, ignora la variabilidad espacial de las leyes y elefecto de escala (volumen-varianza)
TCNICAS DE ESTIMACIN
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MTODOS POLIGONALES
Valor de la muestra dentro de los respectivos polgonos asignados comoestimados
Los polgonos pueden tener cualquier forma: cuadrangular, triangular,
seccional, etc.
Ejemplo
Ventajas y desventajas: Ver Vecino ms Prximo (Consecuencias de aplicarcortes a las muestras en lugar de SMUs)
TCNICAS DE ESTIMACIN
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MTODOS DE PONDERACIN
Suma de las leyes de las muestras ponderadas
Estimado= ( peso1* valor muestral1 + peso2*valor muestral2 + peson* valor muestraln)
Ejemplos
Media aritmtica: Asigna el mismo peso a todas las muestras
TCNICAS DE ESTIMACIN
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MTODOS DE PONDERACIN DE LA DISTANCIA
MTODOS DE INVERSO DE LA DISTANCIA (ID)
Intuitivamente, las muestras ms cercanas estn ms correlacionadas alpunto de estimacin
Asigna altos pesos a las muestras cercanas
Estimado de ID= Suma de leyes de las muestras ponderadas
Ejemplos: Estimado del Inverso de la Distancia al Cuadrado (IDS): ponderacada muestra en funcin inversa a la distancia2 y divide el resultado entre lasuma de las distancias inversas2
+ 1.1
+ 0.5 B
A +? +1.5
C D
AC= 8m, BC= 7m, CD= 12m
IDS = 0.5/(82) + 1.1/(72) + 1.5/(122)
((1/82) + (1/72) + 1/122))
TCNICAS DE ESTIMACIN
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MTODOS DE PONDERACIN DE LA DISTANCIA
MTODOS DE INVERSO DE LA DISTANCIA (ID)
Ventaja
Rpido
Fcil de usar
Desventaja
Los supuestos no son siempre verificados. Por qu ID al cuadrado y no alcubo, etc.
No se toma en cuenta el agrupamiento, los parmetros de variograma y laescala
Puede hacer una sobreprediccin para cuerpos mineralizados con altoefecto de pepita/sesgados positivamente.
TCNICAS DE ESTIMACIN
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PONDERACIN DE LA DISTANCIA-ESTIMACINPTIMA (184)
KRIGING
Estimado= ( peso1* valor muestral1 + peso2*valor muestral2 + peson* valor muestraln)
Los pesos (basados en el variograma) se computan para
proporcionar
un estimado insesgado
produciendo una varianza de estimacin mnima (error)
( CORTE ANTES DE LA DERIVACIN)
TCNICAS DE ESTIMACIN
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PONDERACIN DE LA DISTANCIA-ESTIMACINPTIMA (184)
GENERALIDADES SOBRE LA DERIVACIN DE KRIGING (184-194)
EJEMPLOS
DISCRETIZACIN
IMPACTO DE LOS CAMBIOS SOBRE LOS PARMETROS DELVARIOGRAMA (Pepita, etc.)
DIFERENTES PRUEBAS ITERATIVAS (OK,SK,Lognormal, IK,MIK,etc.)
ESTIMACIN Vs SIMULACIN
(CORTE)
TCNICAS DE ESTIMACIN
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SESGOS CONDICIONALES
EFICIENCIA DEL KRIGING
PESOS DEL KRIGING
CORRELACIN ENTRE VALORES REALES VS
VALORES ESTIMADOS
PESO DE LA MEDIA
PRUEBAS DE CALIDAD DEL KRIGING
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SESGOS CONDICIONALES
PRUEBAS DE CALIDAD DEL KRIGING
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La eliminacin de estos sesgos es fundamental para la valoracindel mineral y todos los procedimientos geoestadsticos.
David: Estimacin Geoestadstica de Reservas de Minerales (1977):
La insesgadez condicional es el
- tema clave del trabajo preparado por Krige en 1951,
- uno de los temas clave del trabajo que prepar en1976,
Y luego apareci como una revelacin para mucha gente.
Posteriormente, recalc adems que existe un efecto de suavizacininevitableen el proceso de kriging por bloques.
SESGOS CONDICIONALES
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POR QU SON IMPORTANTES?
La figura que aparece abajo muestra cmo estos sesgos dan lugar a una mala clasificacin de losbloques de mineral, lo que conlleva a un nivel de utilidad muy inferior al que se podra lograr.Lnea de tendencia = lnea de regresin, y pendiente (es decir, desvo con respecto a la pendientede 45 grados) = medida de sesgo.
SESGOS CONDICIONALES (continuacin)
ESTIMADOS DE BSQUEDA LIMITADA vs. VALORES REALES
SECTORES: ESTIMADOS Y VALORES REALES, AMBOS NO ENTREGABLES=A; AMBOSENTREGABLES=C
ESTIMADOS NO ENTREGABLES, VALORES REALES ENTREGABLES=B; ESTIMADOSENTREGABLES, VALORES REALES NO ENTREGABLES=D
ESTIMADOS CATEGORIZADOS INCORRECTAMENTE=B Y D (XHATCHED)
Valoresrealescorrespondientes
Estimados de bsqueda con 1 a 8 puntos
Tendencia promedio
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SESGOS CONDICIONALES (cotd)ESTIMADOS KRIGEADOS ADECUADOS VS VALORES REALES
SEGMENTOS: ESTIMADOS Y VALORES REALES: AMBOS NO ENTREGABLES =A, AMBOS
ENTREGABLES =C
ESTIMADOS NO ENTREGABLES, VALORES REALES ENTREGABLES=C
ESTIMADOS ENTREGABLES, VALORES REALES NO ENTREGABLES=D
ESTIMADOS CATEGORIZADOS INCORRECTAMENTE: SEGMENTOS B&D (XHATCHED)
Valoresrea
lescorrespondientes
Estimados krigeados con bsqueda adecuada
Tendencia promedio
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1. Datos insuficientes. En 1950, slo se usaban datos perifricospara cada bloque. Hoy en da, con la geoestadstica, la rutinade bsqueda de datos a menudo sigue siendo inadecuada,an cuando la base de datos completa est instalada en lacomputadora.
2. No se realiza ningn anlisis previo para determinar larutina de bsqueda mnima requerida para eliminar lossesgos.
3. No se llevan a cabo estudios de seguimiento para registrar lapresencia de estos sesgos y la necesidad de eliminarlos.
QU CONTRIBUYE A LOS SESGOS CONDICIONALES?
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Sesgado Positivamente: Estimados de Bloques versus Promedios de Taladros
EJEMPLOS PRCTICOS DE SESGO CONDICIONAL
PROME
DIOSDETALADROSAI%
Estimados de Bloque a Largo PlazoAI%
TENDENCIA DE REGRESIN
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EFICIENCIA DE BLOQUE YPENDIENTE DE REGRESIN
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1. Definicin de Eficiencia:
La eficiencia se puede medir de la siguiente manera:Eficiencia = (BV-KV)/BV expresada como un porcentaje.
Donde: BV = Varianza de Bloques (es decir, la varianza de los valores reales delbloque(Calculada a partir de la discretizacin del variograma)
y KV = Varianza de Kriging (es decir, la varianza de error de los estimados de
bloque respectivos)
Para valoraciones perfectas: KV = 0, la varianza de dispersin (DV) de losestimados (calculada a partir del modelo krigeado observado) = BV; entonces:
Eficiencia = (BV-0)/BV = 100%.
Cuando slo un estimado global de todos los bloques es posible, todos los bloquesse valorarn en base a la media global, es decir:
DV = 0, KV = BV, y Eficiencia = (BV-BV)/BV = 0%.
Usualmente, los bloques se valoran de manera imperfecta. Sin sesgoscondicionales:
DV = BVKV, y Eficiencia = (BV-KV)/BV = DV/BV.
EFICIENCIA DE ESTIMADO DE BLOQUE Y PENDIENTE DE REGRESIN
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Sin embargo, cuando hay presencia de sesgos condicionales, estarelacin no se cumple y entonces:
DV > (BV-KV) debido a la insuficiente suavizacin, y
Eficiencia < DV/BV = (BV-KV)/BV
La eficiencia puede incluso ser negativa si KV>BV. Dicha situacines absurda y las valoraciones de los bloques no tendrn utilidad;sin embargo, el autor ha encontrado en la prctica varios casos en
que la informacin a la que se tuvo acceso por bloque fueinsuficiente.
EFICIENCIA DE ESTIMADO DE BLOQUES Y PENDIENTE DE REGRESIN
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EFICIENCIA VERSUS PENDIENTE DE REGRESIN
CORRELACIN ENTRE EFICIENCIAS Y PENDIENTES
%E
FICIENCIA
VALORES REALES/ESTIMADOS PENDIENTE DE REGRESIN
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Razn Principal = Rutina de bsqueda de datos limitadaesdecir, nmero de datos empleados.
El nivel requerido de datos depende de:
El tamao y forma de los bloques de mineral
Patrn de datos y posicin relativos al bloque.Patrn espacial de datos (variograma).
Variabilidad local (Pepita)
Rango
Forma
Anisotropas (Direccin para variaciones en la intensidadde las continuidades). {Ntese que el ID al cuadrado nopuede incorporar todos estos elementos}
POR QU OCURREN SESGOS CONDICIONALES
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Por qu los estimados krigeados son suavizados?
SUAVIZACIN
EFECTO DE SUAVIZACIN DE KRIGING
Valor
esrealesdebloque
ESTIMADOS DE BLOQUE
ESTIMADOS
Estimados sujetosa regresin
VALORES
REALES
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IMPLICANCIAS:Los recursos indicados e inferidos deben ser valorizados en bloquesgrandes para asegurar que no se produzcan sesgos condicionales.Son muy suaves y conllevan a la sobrevaloracin o subvaloracinde los tonelajes y leyes de corte, respectivamente, y deben ser post-
procesadas.El efecto de suavizacin tambin se puede reducir y la calidad delas estimaciones de los bloques de recursos indicados adyacentes ocercanos a las reas minadas se pueden mejorar mediante:
La regularizacin de los datos del rea minada en bloques de datosy el uso de sus leyes medias junto con cualquier dato limitado delrea donde se encuentra el recurso, mediante co-kriging, paravalorar estos bloques de recursos.
SUAVIZACIN(continuacin)
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EN EL KRIGING ORDINARIO
- LA SUMA DE LOS PESOS ES 1.0 (INSESGADEZGLOBAL)
- UNA ALTA PROPORCIN DE PESO CERO O NEGATIVOPUEDE INDICAR LA NECESIDAD DE REDUCIR LABSQUEDA
- LOS PESOS PERIFRICOS ALTOS RELATIVOS ALPESO TOTAL PODRAN INDICAR LA NECESIDAD DE
INCREMENTAR LA BSQUEDA- CON MUESTRAS DE BAJO EFECTO DE PEPITA
DENTRO DE LOS BLOQUES, OBTIENE UN MAYORPESO Y SUCEDE LO CONTRARIO CON MUESTRAS DEALTO EFECTO DE PEPITA.
PESOS DE KRIGING
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COEFICIENTE DE CORRELACIN DE VALORESREALES VERSUS VALORES ESTIMADOS (R)
- ESTO SE PUEDE CALCULAR EN BASE ALVARIOGRAMA
- PARA ESTIMADOS DE KRIGING DIFERENTES,MIENTRAS MAYOR SEA LA CORRELACIN, MEJOR
PRUEBAS DE CALIDAD DEL KRIGING
S C G G
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PESO DE LA MEDIA
- COMO UNA PRUEBA PARA LA BSQUEDAADECUADA CON LA TCNICA DE KRIGING, SE
PUEDE CALCULAR EL KRIGING SIMPLECORRESPONDIENTE (KRIGING CON MEDIACONOCIDA). EL PESO ASIGNADO A LA MEDIA SEPUEDE ANALIZAR. POR LO GENERAL, CUANDO SEASIGNA A LA MEDIA UN PESO MAYOR AL 10-15%,UNA MAYOR VECINDAD DE BSQUEDAREDUCIR EL SESGO CONDICIONAL PARA ELESTIMADO DE KRIGING ORDINARIO.
PRUEBAS DE CALIDAD DEL KRIGING
CONSEJOS BSICOS
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1. Use las unidades de datos y tamao de bloques correctos.
2. Establezca todos los modelos y parmetros geoestadsticos necesarios.Verifique si existen tendencias obvias en la ley, ancho, gravedadespecfica (SG), ingresos geolgicos, etc. y subdivida los datos en sub-reas/Dominios lgicos, o tome en cuenta la tendencia de maneraadecuada.
3. Tenga cuidado con los cortessuperiores.4. Determine la rutina de bsqueda requerida para eliminar los Sesgos
Condicionales. Use los bloques de datos regularizados cuando seaapropiado.
5. Cuando sea posible, verifique para cada sub-rea los promedios
generales de las leyes de los bloques versus los promedios de los datosusados despus de que estos ltimos hayan sido desagrupados. Ellopermitir determinar si existe algn sesgo global obvio (esto no siemprees posible cuando hay extrapolacin directa); Revise el modelo deBloque versus los datos (secciones, etc.)
6. A medida que los bloques sean extrados, realice estudios de seguimientoara validar sus estimados.
CONSEJOS BSICOS
TAMAO DE BLOQUE ESCALA
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RELACIN VOLUMEN-VARIANZA-Relacin de Krige (94):
: TRABAJO DE APCOM
Sea:
s2(v/D) = varianza de leyes de bloques pequeos v (por ej. SMU =5x5x2.5m) dentro de un Depsito (D)
s2(v/V) = varianza de leyes de bloques v dentro de un bloque grande V(por ej. 20x20x2.5m)
s2(V/D) = varianza de leyes de bloque grande V dentro de un Depsito (D)
La relacin entre estas tres varianzas es:
s2(v/D) = s2(v/V) + s2(V/D)
A esto se le denomina la relacin de Krige.
Las varianzas geoestadsticas se pueden calcular por medio devariogramas y la relacin de Krige. Se requieren para pasar de unaescala a otra (Detalles del ejemplo de APCOM contenido en el Estudiode Caso).
TAMAO DE BLOQUE-ESCALA
LEYES ESTIMADAS Y VERDADERAS
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CARACTERSTICAS DE TAMAO DE BLOQUE Y LEY (198):
TRABAJO DE APCOM
Curvas de ley/tonelaje para diferentes tamaos de bloque(8.1.1)
Las caractersticas de las leyes estimadas y verdaderas
(8.1.2)
LEYES ESTIMADAS Y VERDADERAS
TAMAO DE BLOQUE ESCALA
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LA VARIANZA DE LEYES VERDADERAS DE BLOQUES (200-210)
TRABAJO DE APCOM
Sea:
s2(v/V) = varianza de las leyes verdaderasde los bloques v (por ej.5x5x3) dentro de un bloque o banco grande (V)
S*2
(v/V) = varianza de las leyes estimadasdel bloque v(5x5x3) dentrodel bloque o banco grande V
s2k= varianza de kriging promedio de los bloques v
Se cumple la siguiente relacin:
s2(v/V) = S*2(v/V) + s2k
Esto sirve de base para el post-procesamiento a fin de obtener curvasde ley/tonelaje realistas (no suavizadas), especialmente paraestimaciones de recursos basadas en datos limitados derivados deperforacin diamantina (DD)/circulacin de reservas (RC).
(CORTE NATURAL DE INFORMACIN)
TAMAO DE BLOQUE-ESCALA
ESTUDIO DE CASO
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DATOS DE CONTROL DE RECURSOS/LEYES DERIVADOS DE
DD/RC/BHCONTROL DE LEYES/ESTIMADOS GEOESTADSTICOSA LARGO PLAZO
INGRESOS GEOLGICOS
Individuales estratigrafas/mineral Tipo de zona permetros/mallasde alambre
Zonas/dominios homogneos
Estructura, etc.
Geologa: Impacto significativo sobre cualquier tcnica deestimacin
ESTUDIO DE CASO
ESTUDIO DE CASO
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ESTIMADOS GEOESTADSTICOS
VERIFICACIN DE DATOS (GIGO)Muestreo/Ensayos de Aseguramientode la Calidad/Control de Calidad (QA/QC)
TAMBIN RECUPERACIN DE TESTIGOS Y GRAVEDAD ESPECFICA
ANLISIS ESTADSTICOS PARA LOS DOMINIOS DE ROCASRESPECTIVOS
Alternativa de compsitos para el tamao a compositar TAMBINDEBE ESTAR RELACIONADO CON LAS ALTURAS DE LOS BANCOS
Verificaciones para asegurar la confiabilidad de los resultados de loscompsitosmedia y varianza de datos pre/post-compsitos
Comparacin RC/DD/BH (principalmente en el ancho total o compositadospor la geologa)
Verificacin del grosor promedio de las lneas o alambres versus losresultados reales de la perforacin de taladros.
ESTUDIO DE CASO
ESTUDIO DE CASO
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ESTIMADOS DE GEOESTADSTICA ANLISIS ESTADSTICOS PARA LOS DOMINIOS DE ROCAS RESPECTIVOS
Histograma y grficos de frecuencia acumulada (verificaciones de
distribucin, por ej. verificaciones de log-normalidad tambin ayudan aelegir la metodologa de post-procesamiento)
Verificacin de posibles valores atpicos (out l iers) (COMPUTA LAPROPORCIN DE METAL PERDIDO Y HACE UN ANLISIS)
Desagrupacin (tambin requerida como una de las herramientas paraverificar los resultados krigeados)
Anlisis de Tendencias y verificacin en dominios geolgicos (se puedenrequerir sub-dominios si se presentan tendencias significativas)
ESTUDIO DE CASO
ESTUDIO DE CASO
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ESTIMADOS GEOESTADSTICOS DERIVADOS DE DD
VARIOGRAMA para Dominios/Zonas de Mineralizacin
Uso de datos de compsitos de BH, RC y DD.
Computacin: parmetros de variograma experimental 3-D,tolerancia en la distancia de paso (lag)
Expectativas/comprensin geolgica y direcciones de
variogramas 3-D
Interpretacin y modelamiento de variogramas experimentalesdireccionales 3-D para su uso en el kriging.
ESTUDIO DE CASO
ESTUDIO DE CASO
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ESTIMADOS GEOESTADSTICOS DERIVADOS DE DD/RC
ELECCIN DE LA METODOLOGA DE ESTIMACIN
CONSIDERACIONES:
Disponibilidad de datos
Tamao de bloque (Padre y SMUs)
Varianza de kriging, eficiencia de kriging, empleo de datos decompsitos de RC y DD
Suavizacin de bloques padres y post-procesamiento Kriging simple (requiere medias locales, eficiente con informacin
limitada) o kriging ordinario
El kriging ordinario y el kriging simple dan resultados similarescuando se dispone de suficiente informacin (por ej., con control deleyes de RC)
ESTUDIO DE CASO
ESTUDIO DE CASO
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ESTIMADOS GEOESTADSTICOS DERIVADOS DE DD/RC
MODELO DE BLOQUE VACO
Proporcional y Centroide
Ventajas y Desventajas
ESTUDIO DE CASO
ESTUDIO DE CASO
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ESTIMADOS GEOESTADSTICOS DERIVADOS DE DD/RC
BLOQUE ORIGINALSE RELACIONA CON LA MALLA DEPERFORACIN
- Depende del variograma, etc., pero, en el caso de mtodos indirectos,la regla general es: el tamao de bloque no debe ser menor a la mitaddel espaciamiento de datos (se debe probar)
Estrategias de bsqueda: uso de parmetros y criterios de eficienciade variogramas
Nmero mnimo de muestras usado para el kriging ordinario y elkriging simple: Contribuye significativamente a la calidad de lasestimaciones de kriging ordinario (produce sesgos condicionales delos estimados de kriging ordinario A MENUDO IGNORADO !!!!!
ESTUDIO DE CASO
ESTUDIO DE CASO
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RECURSOSESTIMADOS GEOESTADSTICOS A LARGO PLAZO
DERIVADOS DE DD/RC
ESTIMADOS KRIGEADOS DE BLOQUES ORIGINALES
Validacin
Verificaciones globales con medias desagrupadas
Planes y secciones de datos krigeados y datos de DD o RC
Sesgos condicionales
Curvas de Suavizacin y Ley / Tonelaje: no en kriging con
eficiencia, sino suavizando estimaciones padre krigeadas. Consecuencias de usar curvas de tonelaje/ley krigeados y
suavizados originales (ver tambin Ejemplo de Dowd)
ESTUDIO DE CASO
ESTUDIO DE CASOS
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RECURSOSESTIMADOS GEOESTADSTICOS A LARGO PLAZO
DERIVADOS DE DD / RC
ESTIMACIN DE TONELAJE/LEYPOST-PROCESAMIENTO PARAELIMINAR LA SUAVIZACIN INDEBIDA
Computa parmetros para correccin de informacin
Relevancia del tamao de SMU (por ej. 10x10x10m?) para el minado
Computar las curvas de tonelaje/ley para SMUs en base a bloqueskrigeados del panel original, por ej. 20x20x2.5 (Ver relaciones previas yel trabajo de APCOM)
Enviables de salida para Whittle: Conceptos de enviable
Parmetros de gravedad especfica, arcilla/azufre y disolucin
Modelos de roca combinados para corridas de Whittle
ESTUDIO DE CASOS
ESTUDIO DE CASO
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ESTIMADOS GEOESTADSTICOS DERIVADOS DE DD/RC
Cuestiones de estimacin y planificacin a mediano/cortoplazo.
Consideraciones importantes para un eficiente modelokrigeado de control de leyes RC/BH
Relevancia para Reconciliacin de Produccin de RC/BH
ESTUDIO DE CASO
ESTUDIO DE CASO
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ESTIMADOS GEOESTADSTICOS DERIVADOS DE DD/RC
DISCUSIN GENERAL
SOFTWARE DESARROLLADO
Datamine
Statistica
Isatis
ESTUDIO DE CASO
GEOESTADSTICA NO LINEAL
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GENERALIDADES
Kriging Disyuntivo
Condicionamiento Uniforme
Tcnicas de Indicadores (IK, MIK etc.)
Pueden manejar mineralizaciones mixtas de alta y baja ley,especialmente con controles geolgicos difciles, Correccin de
Probabilidades (correccin de orden) problemas, y numerosasdemandas de clculo de variogramas.
Otra transformacin (por ejemplo, transformada logartmicamente)
Puede manejar distribuciones desviadas, pero presenta problemas detransformacin inversa (back-transformation)
Simulaciones: Secuencial Gausiana, Bandas Rotantes (Turning Bands),
Secuencial Indicadora, Recocido, etc.: No son herramientas deevaluacin, sino que han de usarse para realizar un anlisis deincertidumbres/riesgos del cuerpo mineralizado.
Cundo?
Ventajas
Desventajas
GEOESTADSTICA NO LINEAL
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FIN