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Cours de Mcanique - Rappels Mathmatiques
L'objectif de ce chapitre est de rappeler succintement les notions
mathmatiques ncessaires la comprhension de la suite de ce cours.
Chap.1: RAPPELS DE CALCULS
1- VECTEURS
2- OPERATIONS SUR LES VECTEURS
21- Produit Scalaire
22- Produit Vectoriel
23- Produit Mixte
3- NOTIONS SUR LES TORSEURS
31- Dfinition
32- Application des torseurs la reprsentation d'un champ de force
4- CHANGEMENTS DE BASES
41- Projection des vecteurs de bases
42- Changements de bases d'un vecteur quelconque
5- RELATIONS DE TRIGONOMETRIE
1- VECTEURS
On associe l'espace ponctuel euclidien trois
dimensions E, l'espace vectoriel trois dimensions E
sur le corps des rels R:
E3E3
(A,B,C)
On associe au couple ordonne de points (A,B) de E2
un lment dfinissant un vecteur libre
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2- OPERATIONS SUR LES VECTEURS
1- Produit Scalaire
ER
Dans une base , si et , alors on aura
Remarque:
Le rsultat du produit scalaire de deux vecteurs est un SCALAIRE.
Proprits:
Commutativit:
Distributivit droite et gauche: et
Multiplication par un rel:
Normes:
Calcul pratique d'un produit scalaire:
si on dfinit l'angle , alors
Calculs sur les vecteurs d'une base orthonorme directe:
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2- Produit Vectoriel
EE
Dans une base , si et , alors on aura
Mthode de calcul:
Calcul effectuer:
Premire composante: On barre la premire ligne et on calcule le dterminant 2*2 restant:
Deuxime composante: On barre la deuxime ligne et on calcule l'oppos du dterminant 2*2
estant:
Troisime composante: On barre la troisime ligne et on calcule le dterminant 2*2 restant:
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Remarque:
Le rsultat du produit vectoriel de deux vecteurs est un VECTEUR perpendiculaire aux deux
vecteurs .
Proprits:
Anticommutativit:
Distributivit droite et gauche: et
Multiplication par un rel:
Calcul pratique du produit vectoriel:
si on dfinit l'angle , alors
, et forme un tridre
direct, quelque soit le point O.
Calculs sur les vecteurs d'une base orthonorme directe:
, ,
3- Produit Mixte
E3R
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Remarque:
Le rsultat du produit mixte de trois vecteurs est un SCALAIRE.
Proprits:
si l'un des vecteurs est une combinaison linaire des deux autres.
3- NOTIONS SUR LES TORSEURS
1- Dfinition
Un torseur est un champ de vecteurs, antisymtrique de E. Un torseur en un point estfini par:
Un vecteur libre appelRsultante du torseur
Un vecteur libre appel Momentdu torseur en A et vrifiant:
Remarque:
La rsultante du torseur est indpendante du point o est dfini untorseur.
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2- Application des torseurs la reprsentation d'un champ de force
Soit un champ de force dfini dans l'espace trois
imensions de base orthonorme directe par la
onne de la force applique en un point :
ou
e moment de la force en son point d'application est
ul d'o: .Si on veut calculer le moment de la
orce au point , on obtient
(intensit de la force multipli
ar le bras de levier , sens ngatif).
En appliquant la notion de torseur, on peut dfinir le torseur force au point A, associ par:
la rsultante du torseur force gale la force
le moment en du torseur force gal
e moment au point est dfini par la formule de transport donne plus haut soit:
u:
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Remarques:
La notion de torseur de force permet donc de parler globalement d'une force et de son moment
en tout point de l'espace.
Les deux vecteurs dfinis dans un torseur sont de natures diffrentes. Pour un torseur de force,
le vecteur rsultant est une force ayant des composantes dont les units sont des (N), alors que
le moment en un point est un moment dont les composantes ont des units en (N.m).
Attention quand l'on demande de dfinir un torseur, il est ncessaire de donner une rponse
pour la rsultante et une rponse pour le moment.
4- CHANGEMENTS DE BASES
Soient deux bases orthonormes directes et
et telles que
41- Projection des vecteurs de bases
Si on exprime les vecteurs de la base dans , on obtient:
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nversement, si on exprime les vecteurs de la base dans , on obtient:
42- Changements de bases d'un vecteur quelconque
Soit un vecteur exprim dans la base . L'expression de dans la base
sera:
'o:
5- RELATIONS DE TRIGONOMETRIE
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Philippe MARON
.S.A. B.T.P.
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Mis jour le: 11/02/04
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