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函 数y=Asin(x+) 的图象
江苏省江阴市第一中学 高一数学组
物理背景 在物理中 , 简谐振动中如单摆对平衡位置的位移 y 与时间 x 的关系、交流电的电流 y 与时间 x 的关系等都是形如 y=Asin(x+) 的函数(其中 A, , 都是常数) .
函数 y = Asin(ωx + ) ,其中 (A>0, ω >
0) 表示一个振动量时,
A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常称为这个振动的振幅;
往复一次所需的时间 ,称为这个振动的周期;
2T
单位时间内往复振动的次数 ,称为振动的频率;
1
2f
T
x+ 称为相位; x=0 时的相位 称为初相 .
归纳
2.“ 五点法” 作图是正余弦函数作图中一种非常重要的方法,通常在正弦函数 y=sinx,x∈ [0,2π]
的 图 象 上 , 起 关 键 作 用 的 “ 五 点 ” 为_____________________________________;
在余弦函数 y=cosx,x∈ [0,2π]的图象上,起关键作用的“ 五点” 为,
__________________________________________.
(0,0),(π2,1),(π,0),(
3π2,-1),(2π,0)
(0,1),(π2,0),(π,-1),(
3π2,0),(2π,1)
2o x
y
-
--1
1
-
-1 3
2
32
65 6
73
42
33
56
11 26
sin [0,2 ] y x x
例 1 作函数 及 的图象 . )4
sin(
xy)3
sin(
xy
23
0 226
56
113
3
73
4x
3
x
)3
sin(
x 0 1 0 -1 0
y
xO
21
1 3
4
sin( )3
y x
)4
sin(
xy
新课讲解 :
xO
21
1 3
4
一、函数 y=sin(x+) 图象
( ( )y f x y f x b 函数 )与 的图象有思考: 何关系?
)3
sin(
xy
)4
sin(
xy
函数 y=sin(x+) 的图象可以看作是把 y=sinx
的图象上所有的点向左 ( 当 >0 时 ) 或向右 ( 当 <0 时 ) 平移 | | 个单位而得到的 .左加右减
上加下减
0 23 2
2x
xsin2
xsin21
xsin 1
000
10
0
2
21 0 0
0
2
21
0
例 2 作函数 及 的图象。 xy sin2
1xy sin2
解: 1. 列表
y=2sinx
y=sinx
y= sinx1
2
x
y
O 2
1
2
2
1
2. 描点、作图:
周期相同
x
y
O 2
1
2
2
1
x
y
O 2
1
2
2
1
y=2sinx
y=sinx
y= sinx1
2
x
y
O 2
1
2
2
1 y= sinx2
1
y=2sinx
二、函数 y=Asinx(A>0) 的图象
函数 y=Asinx (A >0 且 A≠1) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 ( 当 A>
1 时 ) 或缩短 ( 当 0<A<1 时 ) 到原来的 A 倍 ( 横坐标不变 ) 而得到的 . y=Asinx , x R∈ 的值域为 [-A,A] ,最大值 为 A ,最小值为 -A.
( ) ( )y f x y Af x 思考:函数 与函数 的图象有何关系?
1. 列表:x
x2
x2sin
4
2
43 0
2
3 22
1 000 1
0
例 3 作函数 及 的图象。 xy21sinxy 2sin
xO
y
2
1
2
2
1
3
2. 描点:
y=sin2x
y=sinx连线 :
1sin
2y x对于函数
1. 列表:
x
y
O 2
1
1
3 4
2. 描点 作图:y=sin x
1
2
y=sinx
x
y
O 2
1
1
3 4
y=sin x1
2
y=sin2x
y=sinx
振幅相同
x
y
O 2
1
1
3 4
y=sin x 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)。 y=sin 2x 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)。2
1
21
三、函数 y=sinx(>0) 的图象
y=sin x2
1
y=sin2x y=sinx
函数 y=sinx ( >0 且≠ 1) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 ( 当 >1 时 ) 或伸长 ( 当 0<<1 时 ) 到原来的 倍( 纵坐标不变 ) 而得到的。
1
( ( )y f x y f k x 函数 )与函数 的图象有思考: 何关系?
知新益能
2.A、ω、φ对函数 y=Asin(ωx+φ)图象的影响
(1)A对函数 y=Asin(ωx+φ)图象的影响
y=sinωx+φ图象上所有点的纵坐标 → A>1时伸长
→ 0<A<1时缩短
原来的A倍⇒ y=Asinωx+φ的图象
(3)对函数 y= sin(ωx+ )图象的影响
例 4 作函数 及 的图象。 )4
2sin(
xy)3
2sin(
xy
23
0 22
12
512
116
6
73
2x
32
x
)3
2sin(
x 0 1 0 -1 0
y
xO
1
1
2
6
sin(2 )3
y x
y=sin2x
四、函数 y=sin(ωx+φ) 与 y=sinωx 图象的关系
)4
2sin(
xy
四、函数 y=sin(ωx+φ) 与 y=sinωx 图象的关系y
xO
1
1
2
6
sin(2 )3
y x
y=sin2x)
42sin(
xy
思考:函数 与 的图像有何关系?
)(xfy )( baxfy
?
)63
1sin(2sin:
的图象
的图象得到怎样由思考 xyxy
xy sin函数 的图象)6
sin( xy
的图象)63
1sin(
xy
的图象)63
1sin(2
xy
6)1(
向右平移
倍横坐标伸长到原来的3)2(
纵坐标不变
倍纵坐标伸长到原来的2)3(
横坐标不变
1
- 1
2
-2
x
o
y
3
-3
2
2
6
27
213
y=sinx
y=sin(x- )① 6
)
631
sin( xy ②
)63
1sin(2
xy ③
.)6
31
2(
)63
1sin(2"")(
内的图象一个周期
在画函数五点法利用画法二
T
xy
).6
(3,63
1 XxxX 则令
. . , " " , , 2,23, ,
2, 0然后将简图再描点作图五点 得到 的值和 可求得相对应的时 取当 y x X
.,"",
,2,2
3,,
2,0
再描点作图五点得到的值
和可求得相对应的时取当 yxX
2
27
2132 5
Xx
y
2
23 20
00 02 2
例例 11 作出函数 y=3sin(2x+π3),x∈R 的简图,
并说明它与 y=sinx的图象之间的关系.
【思路点拨】 列表、描点、连线成图是“ 五点
法” 作图的三个基本步骤,令 2x+π3取 0,
π2,π,
3π2,2π即可找到五点.
【解】 列表:
描点画图,如图.
利用函数的周期性,可以把上述简图向左、右扩展,
就得到 y=3sin(2x+π3),x∈R的简图.
从图可以看出,y=3sin(2x+π3)的图象是用下面方法
得到的.
运用图象变换作函数图象
由函数 y = sinx 的图象得到 y = Asin(ωx + φ)(其中 A> 0, ω> 0)的图象是三种变换交替进行的,一般常用这样两种顺序:①先平移变换,再周期变换,后振幅变换;②先周期变换,再平移变换,后振幅变换.
小结
【名师点评】 (1)用五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与 x轴相交的点. (2)图象变换法一是先平移,后伸缩;法二是先伸缩,后平移,表面上看,两种变换方法中的平移
|φ|和|φω
|是不同的,但由于平移时的对象已有变化,
所以得到的结果都是一致的.
例例 22 右图是函数 y= Asin(ωx+ φ),其中 A> 0, ω> 0的图象,试确定 A、 ω、 φ的值,并写出其一个函数解析式.【思路点拨】 由最高点确定 A,由周期确定 ω,
由(π3,0)确定 φ.
【解】 法一:(逐一定参法)由图象知振幅 A=
3,
又 T=5π6-(-
π6)=π,∴ ω=
2πT=2.由点(-
π6,
0),令-π6·2+φ=0,得 φ=
π3,∴ y=3sin(2x+
π3).
法二:(待定系数法)由图象知 A=3,又图象过点
(π3,0)和(
5π6,0),根据五点作图法原理(以上两点
可判断为“ 五点法” 中的第三点和第五点),有
π3·ω+φ=π,
5π6 ·ω+φ=2π,
解得
ω=2,
φ=π3,
∴ y=3sin(2x+π3).
法三:(图象变换法)因为 T=π,A=3,过点(-π6,
0),故可知图象由 y=3sin2x 向左平移π6而得到,
所以有 y=3sin2(x+π6),即 y=3sin(2x+
π3).
【名师点评】 如果从图象可确定振幅和周期,则可直接确定函数式 y= Asin(ωx+ )中的参数 A和 ω,再选取“第一零点” (即五点作图法中的第一个点 )的数据代入“ ωx+= 0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点” )求得 .通过将若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数 A、 ω、 .这里需要注意的是:要清楚所选择的点属“五点法”中的哪一位置点,并能正确代入列式.依据五点列表法原理,点的序号与式子关系如下:
“ 第一点” (即图象上升时与 x轴的交点)为 ωx+
φ=0;“ 第二点” (即图象曲线的“ 峰点” )为 ωx
+φ=π2;“ 第三点” (即图象下降时与 x轴的交点)
为 ωx+φ=π;“ 第四点” (即图象曲线的“ 谷
点” )为 ωx+φ=3π2;“ 第五点” 为 ωx+φ=2π.
求三角函数的解析式
解决这类问题的关键在于确定参数 A,ω,φ 的值.其方法是在观察图象的基础上,利用待定系数法求解,具体地:① A:一般可由图象的最大与
最小值来确定;② ω:一般由 T=2πω来确定;③ φ:
取特殊点代入所求式子求 φ值.
小结
方法感悟
1.三角函数图象的变换,重点在于平移:沿 x
轴平移,按“左加右减”法则;沿 y轴平移,按
“上加下减”法则.
无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母 x
而言的,即图象变换要看“变量”起多大变化,而
不是角变化多少.
2.对于 φ的求法,A,ω,φ三个量中初相 φ的确
定是一个难点,除使用初始点(-φω,0)外,还可利
用五点法中其他点确定初相 φ,即在五点中找两个
特殊点列方程组解出 φ,如:
ωx1+φ=π2
ωx2+φ=π解出 ω,
φ等.