![Page 1: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/1.jpg)
ระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต
( Finite Element Method, FEM ]
โดย
ผศ.ดร. มนตศกด พมสาร
![Page 2: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/2.jpg)
Engineering Analysis
Classical Methods Numerical Methods
Closed-form
Approximate
Finite Element
Finite Difference
Boundary Element
วธการแกปญหาทางวศวกรรม
ระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตเปนวธการหนงในการนามาวเคราะหปญหาทางวศวกรรม
![Page 3: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/3.jpg)
บทนาเกยวกบระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต
ระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตเปนวธเชงตวเลขทใชแกปญหา ทางฟสกส หรอทาง
วศวกรรม และอนๆ
รปแบบปญหาคอ การหาฟงกชนการกระจายตวของตวแปรในระบบสามมต ซง
ปญหาแตละอนจะสามารถอธบายดวย
Differential equation/Integral equation
Finite element คอ องคประกอบยอยๆของโดเมนโครงสราง
สาหรบวธการของ FEM โดเมนของโครงสรางถกแบงยอยเปนองคประกอบ
ยอยทมรปรางอยางงายขนาดเลก องคประกอบยอยนจะถกเรยกเปน “element”
โดเมนของโครงสราง: มระดบความเสรแบบอนนต ( infinite number of DOF)
โดเมนของแบบจาลอง : มระดบความเสรจากด (finite number of DOF)
![Page 4: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/4.jpg)
โดเมนของโครงสราง: มระดบความเสรแบบอนนต ( infinite number of DOF)
โดเมนของแบบจาลอง : มระดบความเสรจากด (finite number of DOF)
ดงนนเองนจงเปนทมาของ “Finite element method”
ในแตละ element การกระจายตวของตวแปรทเราสนใจนน จะมคาตางกนตาม
ตาแหนงใดๆ
รปดานซายแสดงตวอยางของรปราง
Mesh, Element และ Node
ตวแปรทเราสนใจคอ u(x,y)(การขจด
ตามแนวแกน x) และ v(x,y) (การขจดตาม
แนวแกน y)
![Page 5: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/5.jpg)
ขนตอนในการทาแบบจาลอง FEM
FEM คอ การสรางสถานการณจาลองขนมา (Simulation)
คาความผดพลาดมาจาก Modeling error, Discretization error, Numerical error
![Page 6: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/6.jpg)
ประวตของ FEM
![Page 7: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/7.jpg)
ประวตของ FEM
มนเปนการยากทจะบอกไดวา FEM ไดเรมเกดขนมาเมอไหร เพราะวาแนวคด
พนฐานของมนไดถกพฒนามากอนหนานเมอ 150 ป หรอมากกวาน
Clough คอ บคคลแรกทไดบญญตเทอม Finite element ในชวงตอนตนทศวรรษท
1960 จากนนวศวกรไดใช FEM แกปญหาทางดานการวเคราะหความเคน การวเคราะห
การไหล การถายเทความรอนและอนๆ
หนงสอเลมแรกทเกยวกบ FEM แตงโดย Zienkiewicz และ Cheung ซงตพมพในป
1967
ในปลายทศวรรษ 1960 และตนทศวรรษ 1970 ไดมการนาเอา FEM มาใชแกปญหา
ในทางวศวกรรมกนอยางแพรหลาย
![Page 8: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/8.jpg)
ประวตของ FEM
ในทศวรรษท 1970 การพฒนา FEM ไดมความกาวหนาอยางมาก โดยไดมการ
พฒนา เอลเมนตใหมๆขนมา และไดมการศกษา Convergent ของวธ FEM
ซอฟแวรสวนใหญ ไดออกวางขายใน ชวงทศวรรษท 1970 เชน ABAQUS,
ADINA, ANSYS, MARC, PAFEC
ซอฟแวรสวนใหญ ไดออกวางขายใน ชวงทศวรรษท 1980 เชน FENRIS,
LARSTRAN’80, SESAM’80
![Page 9: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/9.jpg)
ขอดของ FEM
สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทมรปรางซบซอนได (จดเดนทสด)
สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทซบซอนเชน
Vibration
Transients
Nonlinear
Heat Transfer
Fluids
Buckling
Electromagnetic
Multi-Physics
![Page 10: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/10.jpg)
ขอดของ FEM
สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทรบภาระตางๆเชน ภาระทกระทากบ node เชน point loads
ภาระทกระทากบ element เชน pressure, thermal, inertia forces, gravity
forces
ภาระทเปลยนแปลงตามเวลา หรอภาระทขนอยกบความถ
สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทวตถมคณสมบตแบบ non-isotropic
Orthotropic
Anisotropic
![Page 11: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/11.jpg)
ขอดของ FEM
สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทวตถมคณสมบตพเศษเชน คณสมบตของวตถเปลยนแปลงตามอณหภมPlasticity
Creep
Swelling
สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทมเปนแบบ
Large displacements
Large rotations
Contact (gap) conditions
![Page 12: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/12.jpg)
ขอเสยของ FEM
เปนวธการประเมนเชงตวเลขดงนนจะม error เกดขนเสมอ ผใชตองมประสบการณและความชานาญในการทาแบบจาลอง FEM ถง
จะทาใหไดคาตอบทสอดคลองกบความเปนจรง
ตองใชคอมพวเตอรทมสมรรถนะสงและซอฟแวรทนาเชอถอได(ราคาแพง)
มปญหาเชงตวเลขเกดขนจาก เนองจากคอมพวเตอรสามารถเกบคาเลขนยสาคญไดจากด
Round-off error สะสม
![Page 13: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/13.jpg)
ขอเสยของ FEM
เปนวธการประเมนเชงตวเลขดงนนจะม error เกดขนเสมอ ผใชตองมประสบการณและความชานาญในการทาแบบจาลอง FEM ถงจะทาใหไดคาตอบทสอดคลองกบความเปนจรง
ตองใชคอมพวเตอรทมสมรรถนะสงและซอฟแวรทนาเชอถอได(ราคาแพง)
มขอผดพาดเกดขนจากการทา Modeling เนองจาก
การเลอกใชชนดอลเมนตทไมเหมาะสม
การใช Distorted element ในโมเดล
การทาเมชทไมเหมาะสม
![Page 14: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/14.jpg)
ขอเสยของ FEM
พฤตกรรมบางอยางไมไดรวมใหโดยอตโนมตเชนBuckling
Large displacements และ Large rotations
Materials nonlinearities
Nonlinearities อนๆเชน Contact condition
![Page 15: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/15.jpg)
ขนตอนพนฐานของระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต
1. ขนตอนของการเตรยมแบบจาลอง (Preprocessing phase)
การสรางรปรางของแบบจาลอง (Geometric construction)
การแบงโดเมนของแบบจาลองออกเปนเอลเมนตยอยๆตอกน โดยแตเอล
เมนตจะประกอบไปดวยโนด (Discretization)
การกาหนด shape function ซงแสดงถงพฤตกรรมทางกายภาพของเอลเมนต
หรอผลเฉลยของเอลเมนต(คาประมาณ)
สรางสมการสาหรบเอลเมนต
กาหนดคาเงอนไขเรมตน สภาวะโหลดและสภาวะขอบใหกบปญหา
กาหนดคณสมบตของวสด (Material properties)
![Page 16: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/16.jpg)
2. ขนตอนการหาคาตอบ (Solution phase)
การแกหาคาตอบของสมการซงอยในรปสมการเชงเสนหรอสมการไม
เชงเสน ซงคาตอบคอคาการกระจดทโนดตางๆ หรอคาอณหภมทโนด
ตางๆ(ในกรณเปนปญหาการถายเทความรอน)
3. การวเคราะหผลลพธ (Postprocessing phase)
การวเคราะหหาผลลพธทเราสนใจเพมเตมเชนเราอาจอยากจะทราบคา
ความเคนหลก ฟลกซความรอน เปนตน
![Page 17: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/17.jpg)
ปญหาทางกลศาสตรของแขง(Solid-Mechanics)Analysis of solids
Static Dynamics
Behavior of Solids
Linear Nonlinear
Material
Fracture
GeometricLarge Displacement
Instability
Plasticity
ViscoplasticityGeometric
Classification of solids
Skeletal Systems1D Elements
Plates and Shells2D Elements
Solid Blocks3D Elements
TrussesCablesPipes
Plane StressPlane StrainAxisymmetricPlate BendingShells with flat elementsShells with curved elements
Brick ElementsTetrahedral ElementsGeneral Elements
Elementary Advanced
Stress Stiffening
![Page 18: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/18.jpg)
ชนดของเอลเมนตพนฐาน
![Page 19: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/19.jpg)
Primitive structure elements
![Page 20: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/20.jpg)
Continuum elements
Special elements
![Page 21: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/21.jpg)
การสรางเอลเมนต 1 มต (1D element or Line element)
วธการสรางเอลเมนต 1 มตโดย1. Direct stiffness method (เราจะใชอนน)
2. Weighted residual method
3. Minimum potential energy method (เราจะใชอนน)
4. Variational method
![Page 22: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/22.jpg)
การสรางเอลเมนต 1 มตโดยวธ Direct stiffness
วธการสรางเอลเมนต 1 มต (Spring element or bar element)
รปขางลางแสดงสปรงในพกดสามมต
ˆˆ ˆxyz Global coordinate systemxyz Local coordinate system
−−
![Page 23: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/23.jpg)
ในการพจารณาทสปรงเอลเมนตใดๆนนเราจะกาหนดให ทศทางของแรงทกระทาทโนด(Nodal force) และการกระจดทโนด(Nodal displacement) มทศทางและสญลกษณแสดงดงรป
1 2
1 2
ˆ ˆ, 1 2ˆ ˆ, 1 2
x x
x x
f f Local nodal forces at node and
d d Local nodal displacements at node and
−
−L คอความยาวของสปรงกอนยดหรอหด
k คอคาคงทของสปรง
![Page 24: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/24.jpg)
สงทเราตองการในตอนนคอตองการแสดงความสมพนธของแรงกระทาทโนดและการกระจดทโนดของสปรงเอลเมนต ซงจะเขยนเปนสมการไดดงน
1 111 12
21 222 2
ˆ ˆ(1)
ˆ ˆx x
x x
f dk kk kf d
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
หรอ
ˆ ˆ ˆf k d=
ˆ 2 1ˆ 2 2ˆ 2 1
f Local nodal forces matrix
k Element stiffness matrix
d Local nodal displacements matrix
− − ×
− − ×
− − ×
เมอ
![Page 25: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/25.jpg)
ขนตอนท 1 กาหนดชนดเอลเมนตกาหนดเอลเมนตทจะพฒนาเปนสปรงเอลเมนต สมมตสปรงถกกระทาดวยแรงดง T ทงสองขางและแกน x ของ Local coordinate ชจากโนด 1 ไปยงโนด 2 ดงรป
ˆ 0x = x L=โนด 1 โนด 2
แตละโนดมความอสระในการเคลอนทได 1 แบบ(ตามแนวแกนสปรง) – DOF = 1
![Page 26: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/26.jpg)
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจดเปนขนตอนการกาหนดเลอกฟงกชนทางคณตศาสตรเพอจะนามาอธบายการ
เสยรปของสปรง ซงฟงกชนนจะถอวาเปนคาประมาณ(Approximate solution)
ฟงกชนทเลอกใชสวนใหญเปนฟงกชนโพลโนเมยล ณ.ทนเราใชฟงกชนเชง
เสน (Linear function)
[ ] 11 2
2
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 1 (2)a
u x a a x xa
⎧ ⎫= + = ⎨ ⎬
⎩ ⎭
โดย a1 และ a2 คอคาคงทและจะหาไดจากเงอนไขดงน
1
2
ˆˆ ˆ( 0)ˆˆ ˆ( )
x
x
u x d
u x L d
= =
= =
![Page 27: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/27.jpg)
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
จากนนทาการแทนคาเงอนไขดงกลาวลงในสมการท (2) จะได
1 1
2 2 1
ˆˆ ˆ( 0) (3)ˆ ˆˆ ˆ( ) (4)
x
x x
u x d a
u x L d a L d
= = =
= = = +
หรอได a2 ดงน2 1
2
ˆ ˆ(5)x xd da
L−
=
นากลบไปแทนในสมการท (2) ได
[ ]
2 11
1 11 2
2 2
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( )
ˆ ˆˆ ˆ1 (6)ˆ ˆ
x xx
x x
x x
d du x x dL
d dx x N NL d d
⎛ ⎞−= +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤= − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
![Page 28: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/28.jpg)
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
โดย N1 และ N2 คอ shape function
และมคณสมบตดงรปดานขวามอ
![Page 29: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/29.jpg)
ขนตอนท 3 การกาหนดความสมพนธของระยะยดของสปรงกบแรงรปขางลางแสดงสปรงทมการยดตวและระยะยดของสปรงคอ
2 1ˆ ˆ (7)x xd dδ = −
จากความสมพนธของแรงในสปรงกบระยะยดตว
2 1ˆ ˆ( ) (8)x xT k k d d= δ = −
![Page 30: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/30.jpg)
ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix
จากรปแรงทโนด 1 และ 2
1 2ˆ ˆ (9)x xf T f T= − =
จากสมการท (8) และ (9) เราสรปได
1 2 1
2 2 1
ˆ ˆ ˆ( ) (10)ˆ ˆ ˆ( ) (11)
x x x
x x x
T f k d d
T f k d d
= − = −
= = −
เราสามารถเขยนสมการ (10) และ (11) ในรปเมตรกดงน
1 1
2 2
ˆ ˆ(12)
ˆ ˆx x
x x
f dk kk kf d
⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Local stiffness matrix หรอ Element stiffness matrix
![Page 31: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/31.jpg)
ขนตอนท 5 การประกอบเอลเมนตเขาดวยกนขนตอนนจะทาการประกอบเอลเมนตทกอนเขาดวยกนจะทาใหเราได Global equation
ซง สมการนจะแสดงถงความสมพนธของ Nodal forces และ Nodal displacements ซง
ม Global matrix เปนตวแสดงความสมพนธหรอเขยนสมการไดดงน
{ } [ ]{ } (13)F K d or F K d= =โดย
[ ] { }( ) ( )
1 1
N Ne e
e e
K K k F F f= =
= = = =∑ ∑
![Page 32: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/32.jpg)
ขนตอนท 6 ทาการแกสมการหาคา Nodal displacements
จากนนทาการกาหนดคาสภาวะขอบลงไปในสมการท (13) จากนนทาการแกสมการหา
คา การกระจดทโนด (Nodal displacements)
ขนตอนท 7 ทาการแกหาคาแรงทกระทาทโนดตางๆ ภายใน
เอลเมนต
นาเอาคาการกระจดทคานวณไดแทนลงในสมการท (12) เพอหาคาแรงทกระทา
ทโนดภายในเอลเมนต
![Page 33: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/33.jpg)
ตวอยาง
(1)1 1 1 1
(1)1 1 33
ˆ( )
ˆx x
xx
f k k da
k k df
⎧ ⎫ − ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
(2)3 2 2 3
(2)2 2 22
ˆ( )
ˆx x
xx
f k k db
k k df
⎧ ⎫ − ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
เอลเมนต 1
เอลเมนต 2
Compatibility conditions
(1) (2)3 3 3 ( )x x xd d d c= =
![Page 34: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/34.jpg)
(1) (2)3 3 3
(2)2 2
(1)1 1
( )
( )
( )
x x x
x x
x x
F f f d
F f e
F f f
= +
=
=
Free body diagram แสดง Nodal forces
นาคาสมการ (a) และ (b) ลงในสมการ (d), (e) และ (f) จะได
3 1 1 1 3 2 3 2 2
2 2 3 2 2
1 1 1 1 3
( ) ( )( )
x x x x x
x x x
x x x
F k d k d k d k dF k d k d gF k d k d
= − + + −= − += −
![Page 35: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/35.jpg)
นาสมการ (g) มาเขยนเปนเมตรก
3 1 2 2 1 3
2 2 2 2
1 1 1 1
0 ( )0
x x
x x
x x
F k k k k dF k k d hF k k d
+ − −⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
1 1 1 1
2 2 2 2
3 1 2 1 2 3
00 ( )
x x
x x
x x
F k k dF k k d iF k k k k d
−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − +⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
(13)F K d=
นาสมการ (h) มาเขยนใหมเปน
หรอ
F Global nodal force matrixd Global nodal displacement matrixK Total or global system stiffness matrix
===
![Page 36: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/36.jpg)
การหา Global equations โดย Superpositionเราสามารถหาไดโดยใชหลกการของ Superposition ดงน
(1) (1)1 1 1(1) (1)
1 2 2 2(1) (1)3 3 3
1 0 10 0 0 ( )1 0 1
x x x
x x x
x x x
d d fk d d f j
d d f
⎧ ⎫ ⎧ ⎫− =⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− =⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
เอลเมนต 1 จากสมการ (a) ในตวอยางทแลวสามารถเขยนใหมได
เอลเมนต 2 จากสมการ (b) ในตวอยางทแลวสามารถเขยนใหมได
(2) (2)1 1 1(2) (2)
2 2 2 2(2) (2)3 3 3
0 0 00 1 1 ( )0 1 1
x x x
x x x
x x x
d d fk d d f k
d d f
⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− =⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
0
0
![Page 37: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/37.jpg)
จบสมการ (j) และ (k) บวกกน และจากสมดลแรงทแตละโนด จากสมการ (d), (e)
และ (f) ในตวอยางทแลว เราจะได
(1)1 1 1 1
(2)1 2 2 2 2 2
(1) (2)3 3 3 3 3
1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 1 0 ( )1 0 1 0 1 1
x x x x
x x x x
x x x x x
d d f Fk d k d f F l
d d f f F
⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − = + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭
หรอเขยนไดเหมอนสมการ (i)
1 1 1 1
2 2 2 2
3 1 2 1 2 3
00 ( )
x x
x x
x x
F k k dF k k d iF k k k k d
−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − +⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
(13)F K d=หรอ
![Page 38: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/38.jpg)
ตวอยางเชงตวเลขกาหนดระบบสปรงดงรป,มแรงภายนอกกระทาทโนด 4 เทากบ 5000 lb และหมายเลข
โนดกาหนดใหดงรป
จงหา (1) Global stiffness matrix
(2) การกระจดทโนด 3 และ 4
(3) แรงปฎกรยาทโนด 1 และ 2
![Page 39: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/39.jpg)
เอลเมนต 1 ประกอบดวยโนด 1 และ 3 Element stiffness matrix คอ
(1)
1 31000 1000 11000 1000 3
k−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
เอลเมนต 2 ประกอบดวยโนด 3 และ 4 Element stiffness matrix คอ
(3)
4 23000 3000 43000 3000 2
k−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
เอลเมนต 3 ประกอบดวยโนด 4 และ 2 Element stiffness matrix คอ
(2)
3 42000 2000 32000 2000 4
k−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
![Page 40: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/40.jpg)
Element stiffness matrix ทงหมดเขยนใหมไดดงน
(1)
1 2 3 41000 0 1000 0 1
0 0 0 0 21000 0 1000 0 30 0 0 0 4
k
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
(2)
1 2 3 40 0 0 0 10 0 0 0 20 0 2000 2000 30 0 2000 2000 4
k
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦
(3)
1 2 3 40 0 0 0 10 3000 0 3000 20 0 0 0 30 3000 0 3000 4
k
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
![Page 41: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/41.jpg)
จากนนจบ Element stiffness matrix บวกกน(1) (2) (3)
1000 0 1000 00 3000 0 3000
1000 0 1000 2000 20000 3000 2000 2000 3000
1000 0 1000 00 3000 0 3000
1000 0 3000 20000 3000 2000 5000
K k k k= + +
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥− + −⎢ ⎥− − +⎣ ⎦
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Global stiffness matrix
1 1
2 2
3 3
4 4
1000 0 1000 00 3000 0 3000
1000 0 3000 20000 3000 2000 5000
x x
x x
x x
x x
F dF dF dF d
−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
![Page 42: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/42.jpg)
กาหนดสภาวะขอบและภาระทกระทาทโนด 3 และ 4 จะไดสมการ
1 1
2 2
3 3
4 4
01000 0 1000 000 3000 0 3000
0 1000 0 3000 20005000 0 3000 2000 5000
x x
x x
x x
x x
F dF d
F dF d
=−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥= − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − −⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
หรอ3
4
0 3000 20005000 2000 5000
x
x
dd
− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
แกสมการได
3 410 1511 11x xd in d in= =
นาคาทไดไปแทนในสมการเมตรกขางบนได
1 210,000 45,000
11 11x xF lb F lb= − = −
![Page 43: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/43.jpg)
การสรางเอลเมนตเมตรกสาหรบบาร(Bar or rod) เราสามารถลอกเลยนแบบการสรางเอลเมนตเมตรกสาหรบบารทอยภายใตแรงตามแนวแกนไดเชนเดยวกบกรณสปรง โดยคาคงทสปรงของบารคอ
(14)AEkL
=
โดย A = พนทหนาตดของบาร L = ความยาวเดมของบาร
E = Young’s modulus ของบาร
![Page 44: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/44.jpg)
ดงนนเราจะสามารถสรปไดวาสาหรบบารเอลเมนต เอลเมนตเมตรกของบารคอ
1 1ˆ (15)1 1
AEkL
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
ความเคนภายในเอลเมนตหาไดจากสมการความสมพนธ
[ ]
2 1
1
2
ˆ ˆ( )
ˆ1 1 (16)
ˆ
x x
x
x
EE E d dL L
dEL d
δσ = ε = = −
⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
Note: ดงนนจะเหนวาความเคนตามแนวแกนภายในเอลเมนตนนๆหรอภายในแทงบารจะมคาคงทตลอดทวทงเอลเมนต
![Page 45: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/45.jpg)
ตวอยางปญหาของบารเอลเมนตระบบโครงสรางบารดงรป
จงหา (1) Global stiffness matrix
(2) การกระจดทโนด 2 และ 3
(3) แรงปฎกรยาทโนด 1 และ 4
(4) ความเคนภายในแตละเอลเมนต
ถากาหนดใหแรงกระทาทโนด 2 ในทศทางแกน x เทากบ 3000 lb ความยาวของแตละเอลเมนตเทากบ 30 in
E = 30 x 106 psi และ A = 1 in2 สาหรบเอลเมนต 1 และ 2
E = 15 x 106 psi และ A = 2 in2 สาหรบเอลเมนต 3
![Page 46: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/46.jpg)
เอลเมนต 1 ประกอบดวยโนด 1 และ 2 Element stiffness matrix คอ
6(1) 6
1 21 1 1 1(1)(30 10 ) 101 1 1 130
lbkin
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤×= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
เอลเมนต 2 ประกอบดวยโนด 2 และ 3 Element stiffness matrix คอ
เอลเมนต 3 ประกอบดวยโนด 3 และ 4 Element stiffness matrix คอ
6(2) 6
2 31 1 1 1(1)(30 10 ) 101 1 1 130
lbkin
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤×= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
6(3) 6
3 41 1 1 1(2)(15 10 ) 101 1 1 130
lbkin
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤×= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
![Page 47: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/47.jpg)
Element stiffness matrix ทงหมดเขยนใหมไดดงน
(1) 6
1 2 3 41 1 0 0 11 1 0 0 2
100 0 0 0 30 0 0 0 4
lbkin
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(2) 6
1 2 3 40 0 0 0 10 1 1 0 2
100 1 1 0 30 0 0 0 4
lbkin
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
(3) 6
1 2 3 40 0 0 0 10 0 0 0 2
100 0 1 1 30 0 1 1 4
lbkin
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦
![Page 48: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/48.jpg)
จากนนจบ Element stiffness matrix บวกกน(1) (2) (3)
6
6
1 1 0 01 1 1 1 0
100 1 1 1 10 0 1 1
1 1 0 01 2 1 0
100 1 2 10 0 1 1
K k k k
lbin
lbin
= + +
−⎡ ⎤⎢ ⎥− + −⎢ ⎥=⎢ ⎥− + −⎢ ⎥−⎣ ⎦
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥−⎣ ⎦Global stiffness matrix
1 1
2 26
3 3
4 4
1 1 0 01 2 1 0
100 1 2 10 0 1 1
x x
x x
x x
x x
F dF dF dF d
−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
![Page 49: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/49.jpg)
กาหนดสภาวะขอบและภาระทกระทาทโนด 2 และ 3 จะไดสมการ
1 1
2 26
3 3
4 4
01 1 0 03000 1 2 1 0
100 0 1 2 1
00 0 1 1
x x
x x
x x
x x
F dF d
F dF d
=−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥= − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
หรอ26
3
3000 2 110
0 1 2x
x
dd
− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
แกสมการได
2 30.002 0.001x xd in d in= =
นาคาทไดไปแทนในสมการเมตรกขางบนได
6 61 410 (0 0.002) 2000 10 ( 0.001 0) 1000x xF lb F lb= − = − = − + = −
![Page 50: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/50.jpg)
ความเคนภายในเอลเมนต 1
(1) 6(1) 3
2 1(1)
30 10ˆ ˆ( ) (0.002 0) 2 1030x x
E lbd dL in
×σ = − = − = ×
ความเคนภายในเอลเมนต 2
(2) 6(2) 3
3 2(2)
30 10ˆ ˆ( ) (0.001 0.002) 1 1030x x
E lbd dL in
×σ = − = − = − ×
(3) 6(3) 2
4 3(3)
15 10ˆ ˆ( ) (0 0.001) 5 1030x x
E lbd dL in
×σ = − = − = − ×
ความเคนภายในเอลเมนต 3
(ความเคนดง)
(ความเคนอด)
(ความเคนอด)
ขอสงเกต เกดความไมตอเนองของคาความเคนทบรเวณรอยตอของเอลเมนต
![Page 51: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/51.jpg)
Practical example 1 (Bar element)
![Page 52: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/52.jpg)
Practical example 2 (Bar element)
![Page 53: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/53.jpg)
Plane truss element (2 มต)
เราสามารถพฒนา Truss element แบบ 2 มตไดโดยเอาผลจากการพฒนา Bar
element เพยงแตแรงและการกระจดของแตละโนดใน Truss element จะมคาตาม
แนวแกน x และ y ดวยดงนน รปขางลางคอตวอยางของ Plane truss system
![Page 54: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/54.jpg)
2 Node truss element
เราสามารถแสดงความสมพนธของ Nodal forces กบ Nodal displacements ท
อางองกบ Global coordinate system ไดดงสมการ
x
y 2 2,x xf d
θ
1 1,y yf d
1 1,x xf d
2 2,y yf d
f k d=
1
2
![Page 55: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/55.jpg)
In global coordinate system, the vector of nodal displacements and loads
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
2y
2x
1y
1x
2y
2x
1y
1x
ffff
f;
dddd
d
Our objective is to obtain a relation of the form
144414dkf×××
=
Where k is the 4x4 element stiffness matrix in global coordinatesystem
![Page 56: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/56.jpg)
The key is to look at the local coordinates
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
2x
1x
2x
1x
dd
kk-k-k
ff
LEAk =
Rewrite as
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
2y
2x
1y
1x
2y
2x
1y
1x
d
dd
d
00000k0k-00000k-0k
f
ff
f
xy
θ
1x1x f,d
2x2x f,d
x
y
1y 1yˆ ˆd , f 0=
2y 2yˆ ˆd , f 0=
dkf =
![Page 57: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/57.jpg)
NOTES
1. Assume that there is no stiffness in the local y direction.
2. If you consider the displacement at a point along the local xdirection as a vector, then the components of that vector along the global x and y directions are the global x and y displacements.
3. The expanded stiffness matrix in the local coordinates is symmetric and singular.
^
![Page 58: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/58.jpg)
NOTES5. In local coordinates we have
But or goal is to obtain the following relationship
Hence, need a relationship between and and between and
144414dkf×××
=
144414dkf×××
=
d df f
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
2y
2x
1y
1x
2y
2x
1y
1x
d
dd
d
d
dddd
d
Need to understand how the components of a vector change with coordinate transformation
1xd
1yd1xdθ
1yd
2xd
2yd2xdθ
2yd
![Page 59: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/59.jpg)
Transformation of a vector in two dimensions
θ
xyyv
xv cos θx
y
v
xvxv
yv
yv sin θ
θ
yv cos θ
xv sin θ
x x y
y x y
v v cos θ v sin θ
v v sin θ v cos θ
= +
= − +
The vector v has components (vx, vy) in the global coordinate system and (vx, vy) in the local coordinate system. From geometry^ ^
Angle θ is measured positive in the counter clockwise direction from the +x axis)
![Page 60: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/60.jpg)
x x
y y
v vcos θ sin θv vsin θ cos θ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
In matrix form
Orx x
y y
v vv v
C SS C
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
wherecossin
CS
θθ
==
Transformation matrix for a single vector in 2D
*TC SS C
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
*v T v=
x x
y y
v vv and v
v v⎧ ⎫ ⎧ ⎫
= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭
relates
where are components of the same vector in local and global coordinates, respectively.
Direction cosines
![Page 61: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/61.jpg)
Relationship between and for the truss elementd d
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
1y
1x*
1y
1x
dd
TddAt node 1
At node 2
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
2y
2x*
2y
2x
dd
Tdd
Putting these together
{ {
1x 1x
1y 1y
2x2x
2y2y
T dd
d d0 0d d0 0ˆ 0 0 dd
0 0 dd
C SS C
C SS C
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭ 144424443
dTd =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
×*
*
44 T00TT
1xd
1yd1xdθ
1yd
2xd
2yd2xdθ
2yd
![Page 62: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/62.jpg)
Relationship between and for the truss elementf f
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
1y
1x*
1y
1x
ff
TffAt node 1
At node 2
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
2y
2x*
2y
2x
ff
Tff
Putting these together
{ {
1x 1x
1y 1y
2x2x
2y2y
T ff
f f0 0f f0 0ˆ 0 0 ff
0 0 ff
C SS C
C SS C
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭ 144424443
fTf =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
×*
*
44 T00TT
1xf
1yf1xfθ
1yf
2xf
2yf2xfθ
2yf
![Page 63: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/63.jpg)
Important property of the transformation matrix T
The transformation matrix is orthogonal, i.e. its inverse is its transpose
TTT 1 =−
Use the property that C2+S2=1
![Page 64: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/64.jpg)
Putting all the pieces together
( )dTkTf
dTkfT
dkf
k
1
43421−=⇒
=⇒
=
xy
θ
1x1x f,d
2x2x f,d
x
y
1y1y f,d
2y2y f,d
fTf =
dTd =
The desired relationship is144414
dkf×××
=
Where 44444444
TkTk××××
= T is the element stiffness matrix in the global coordinate system
![Page 65: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/65.jpg)
0 00 0
T0 00 0
C SS C
C SS C
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
00000k0k-00000k-0k
k
2 2
2 2
2 2
2 2
EAˆk T kTL
T
C CS C CSCS S CS SC CS C CSCS S CS S
⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥= =⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
![Page 66: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/66.jpg)
Computation of the direction cosines
L
1
2
θ
(x1,y1)
(x2,y2)2 1
2 1
cos
sin
x xCL
y ySL
θ
θ
−= =
−= =
What happens if I reverse the node numbers?
L
2
1
θ
(x1,y1)
(x2,y2)
1 2
1 2
' cos
' sin
x xC CL
y yS SL
θ
θ
−= = = −
−= = = −
Question: Does the stiffness matrix change?
![Page 67: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/67.jpg)
© 2002 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
Example Bar element for stiffness matrix evaluation
o30602
10302
6
=
==
×=
θ
inLinA
psiE
3cos 302
1sin302
C
S
= =
= =
( )( )inlb
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
×=
41
43
41
43
43
43
43
43
41
43
41
43
43
43
43
43
6021030k
6
![Page 68: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/68.jpg)
© 2002 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
Computation of element strains
[ ]
[ ]
[ ] dT0101L1
d0101L1
d
dd
d
0101L1
Lddε
2y
2x
1y
1x
1x2x
−=
−=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=−
=
Recall that the element strain is
![Page 69: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/69.jpg)
[ ]
[ ]
[ ]
1x
1y
2x
2y
0 00 01ε 1 0 1 0 d
0 0L0 0
1 dL
dd1dLd
C SS C
C SS C
C S C S
C S C S
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
= − −
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= − − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
![Page 70: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/70.jpg)
Computation of element stresses stress and tension
( ) [ ]2x 1xE Eˆ ˆEε d d dL L
C S C Sσ = = − = − −
[ ]EAT EAε dL
C S C S= = − −
Recall that the element stress is
Recall that the element tension is
![Page 71: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/71.jpg)
Steps in solving a problemStep 1: Write down the node-element connectivity table
linking local and global nodes; also form the table of direction cosines (C, S)
Step 2: Write down the stiffness matrix of each element in global coordinate system with global numbering
Step 3: Assemble the element stiffness matrices to form the global stiffness matrix for the entire structure using the node element connectivity table
Step 4: Incorporate appropriate boundary conditions
Step 5: Solve resulting set of reduced equations for the unknowndisplacements
Step 6: Compute the unknown nodal forces
![Page 72: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/72.jpg)
การโกง(Buckling)ใน Bar หรอ Truss
ถงแมความเคนในบารหรอTruss มคาตากวาความเคนคราก ชนสวนของ
โครงสรางแบบนสามารถเสยหายไดจากการโกงซงเราสามารถหาคาความเคนททา
ใหเกดการโกงได จากสตร
2
2
ALEI
APcrb
crbπσ ==
comcrb
PwhereA
σ σ σ> =การโกงเกดขนเมอ
ความเคนอดในเอลเมนต
![Page 73: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/73.jpg)
Example 1
P1
P2
1
2
3
x
y
El#1
El#2
The length of bars 12 and 23 are equal (L)E: Young’s modulusA: Cross sectional area of each barSolve for (1) d2x and d2y(2) Stresses in each bar
Solution
Step 1: Node element connectivity table
322
2Node 2
11Node 1ELEMENT
45o
![Page 74: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/74.jpg)
Table of nodal coordinates
Lsin45Lcos452
2Lsin45
0
y
03
01
xNode
Table of direction cosines
-cos45
cos45
sin45L2
sin45L1
LengthELEMENT 2 1x xClength
−= 2 1y yS
length−
=
![Page 75: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/75.jpg)
Step 2: Stiffness matrix of each element in global coordinates with global numbering
2 2
2 2(1)
2 2
2 2
EAkL
C CS C CSCS S CS SC CS C CSCS S CS S
⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
Stiffness matrix of element 1
d1x
d2x
d2xd1x d1y d2y
d1y
d2y
1 1 1 11 1 1 1EA1 1 1 12L1 1 1 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
![Page 76: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/76.jpg)
Stiffness matrix of element 2
d2x
d3x
d3x d3y
d2y
d3y
d2x d2y
(2)
1 1 1 11 1 1 1EAk1 1 1 12L
1 1 1 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
![Page 77: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/77.jpg)
1 1 1 1 0 01 1 1 1 0 01 1 2 0 1 1EAK1 1 0 2 1 12L
0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −
= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥
− −⎣ ⎦
Step 3: Assemble the global stiffness matrix
The final set of equations is K d F=
![Page 78: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/78.jpg)
Step 4: Incorporate boundary conditions
2
2
00
00
x
y
dd
d
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Hence reduced set of equations to solve for unknown displacements at node 2
2 1
2 2
2 00 22
x
y
d PE Ad PL
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
![Page 79: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/79.jpg)
Step 5: Solve for unknown displacements1
2
2 2
x
y
P Ld E Ad P L
E A
⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Step 6: Obtain stresses in the elements
For element #1: 1
1(1)
2
2
1 22 2
E 1 1 1 1L 2 2 2 2
E ( )2L 2
x
y
x
y
x y
dddd
P Pd dA
σ
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎡ ⎤ ⎪ ⎪= − − ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
+= + =
0
0
![Page 80: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/80.jpg)
For element #2: 2
2(2)
3
3
1 22 2
E 1 1 1 1L 2 2 2 2
E ( )2L 2
x
y
x
y
x y
dddd
P Pd dA
σ
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎡ ⎤ ⎪ ⎪= − − ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
−= − =
00
![Page 81: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/81.jpg)
ตวอยาง Plane truss
F = 1000 N F = 1000 N
1 2
34
1
2
3
4 5
1 2
34
1
2
3
4 5
(1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) (4)
(5) (5)
(1) (2) (3) (4) (5)
200 2
10 2
10, 10 2
E A E A E A E A
E A
L L L L L
= = = =
=
= = = = =
กาหนด
![Page 82: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/82.jpg)
© 2002 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
Figure 3-22 Plane truss with inclined boundary conditions at node 3 (see problem worked out in class)
Multi-point constraints
![Page 83: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/83.jpg)
Problem 3: For the plane truss
P
1
2
3
x
y
El#1
El#2
45o
El#3
P=1000 kN, L=length of elements 1 and 2 = 1mE=210 GPaA = 6×10-4m2 for elements 1 and 2
= 6 ×10-4 m2 for element 32
Determine the unknown displacements and reaction forces.
SolutionStep 1: Node element connectivity table
322313
2Node 2
11Node 1ELEMENT
![Page 84: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/84.jpg)
Table of nodal coordinates
L02
L
0
y
L3
01
xNode
Table of direction cosines
01L2
0
L3
1L1
LengthELEMENT 2 1x xClength
−= 2 1y yS
length−
=
2 1/ 2 1/ 2
![Page 85: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/85.jpg)
Step 2: Stiffness matrix of each element in global coordinates with global numbering
2 2
2 2(1)
2 2
2 2
EAkL
C CS C CSCS S CS SC CS C CSCS S CS S
⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
Stiffness matrix of element 1
d1x
d2x
d2xd1x d1y d2y
d1y
d2y
9 -4
0 0 0 00 1 0 1(210 10 )(6 10 )0 0 0 010 1 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥−× × ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
![Page 86: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/86.jpg)
Stiffness matrix of element 2d2x
d3x
d3x d3y
d2y
d3y
d2x d2y
9 -4(2)
1 0 1 00 0 0 0(210 10 )(6 10 )k1 0 1 01
0 0 0 0
−⎡ ⎤⎢ ⎥× × ⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
Stiffness matrix of element 3
9 -4(3)
0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 0.5 0.5(210 10 )(6 2 10 )k0.5 0.5 0.5 0.520.5 0.5 0.5 0.5
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −× × ⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
d1x
d3x
d3x d3y
d1y
d3y
d1x d1y
![Page 87: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/87.jpg)
5
0.5 0.5 0 0 0.5 0.50.5 1.5 0 1 0.5 0.50 0 1 0 1 0
K 1260 100 1 0 1 0 00.5 0.5 1 0 1.5 0.50.5 0.5 0 0 0.5 0.5
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−
= × ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Step 3: Assemble the global stiffness matrix
The final set of equations is K d F=
N/m
Eq(1)
![Page 88: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/88.jpg)
Step 4: Incorporate boundary conditions
2
3
3
00
0x
x
y
dd
dd
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
P
1
2
3
x
y
El#1
El#2
45o
El#3
$x$y
Also, $3 0yd =
How do I convert this to a boundary condition in the global (x,y) coordinates?
in the local coordinate system of element 3
![Page 89: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/89.jpg)
1
1
2
3
3
x
y
y
x
y
FFP
FFFF
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
P
1
2
3
x
y
El#1
El#2
45o
El#3
$x$y
Also, 3 0xF =How do I convert this to a boundary condition in the global (x,y) coordinates?
in the local coordinate system of element 3
![Page 90: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/90.jpg)
3 3
33
ˆ 1,ˆ 2x x
yy
d dC SC S
dS Cd
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
Using coordinate transformations
$
$
( )
( )
3 33 3
333 3
1 1 12 2 21 1 12 2 2
x yx x
yyy x
d ddddd d d
⎡ ⎤ ⎧ ⎫+⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ − −⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
$3 0yd =
$ ( )3 3 3
3 3
1 02
0
y y x
y x
d d d
d d
⇒ = − =
⇒ − = Eq (2)
(Multi-point constraint)
![Page 91: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/91.jpg)
3 3
33
ˆ 1,ˆ 2x x
yy
F FC SC S
FS CF
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
Similarly for the forces at node 3
( )
( )
3 33 3
333 3
1 1 1ˆ 2 2 2ˆ 1 1 1
2 2 2
x yx x
yyy x
F FF FFF F F
⎡ ⎤ ⎧ ⎫+⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ − −⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
( )3 3 3
3 3
1ˆ 02
0
x y x
y x
F F F
F F
⇒ = + =
⇒ + = Eq (3)
3 0xF =
![Page 92: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/92.jpg)
Therefore we need to solve the following equations simultaneouslyK d F= Eq(1)
3 3 0y xd d− = Eq(2)
3 3 0y xF F+ = Eq(3)
Incorporate boundary conditions and reduce Eq(1) to
25
3 3
3 3
1 1 01 2 6 0 1 0 1 1 .5 0 .5
0 0 .5 0 .5
x
x x
y y
d Pd Fd F
⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥× − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
![Page 93: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/93.jpg)
Write these equations out explicitly5
2 35
2 3 3 35
3 3 3
1 2 6 0 1 0 ( )1 2 6 0 1 0 ( 1 .5 0 .5 )
1 2 6 0 1 0 ( 0 .5 0 .5 )
x x
x x y x
x y y
d d Pd d d F
d d F
× − =× − + + =
× + =
Eq(4)
Eq(5)Eq(6)
Add Eq (5) and (6)5
2 3 3 3 31 2 6 0 1 0 ( 2 ) 0x x y x yd d d F F× − + + = + = using Eq(3)
52 31 2 6 0 1 0 ( 3 ) 0x xd d⇒ × − + = using Eq(2)
2 33x xd d⇒ = Eq(7)
Plug this into Eq(4)5
3 3
5 63
1 2 6 0 1 0 (3 )
2 5 2 0 1 0 1 0x x
x
d d P
d
⇒ × − =
⇒ × =
![Page 94: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/94.jpg)
3
2 3
0 .0 0 3 9 6 83 0 .0 1 1 9
x
x x
d md d m⇒ =
= =
Compute the reaction forces1
1 25
2 3
3 3
3
0 0 .5 0 .50 0 .5 0 .5
1 2 6 0 1 0 0 0 01 1 .5 0 .5
0 0 .5 0 .5
5 0 05 0 00
5 0 05 0 0
x
y x
y x
x y
y
FF dF dF dF
k N
− −⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥= ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎩ ⎭
−⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
![Page 95: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/95.jpg)
เอลเมนตแบบ 1 มตพนฐานทนาสนใจSimple beam element
Beam หรอคานคอโครงสรางทออกแบบไวสาหรบรบภาระตามแนวดง ซงในกรณของ
คานอยางงาย(Simple beam) คอคานทมความยาวมาก หรอขนาดของความยาวคานมคา
มากกวามตของหนาตดของคานมาก และแรงกระทาตามแนวดง ไมกอใหเกดการบดตว
รอบแนวแกนคาน(No torsion/twist) ความเคนทสาคญประกอบไปดวยความเคนตาม
แนวแกน(จาก Bending moment) และความเคนเฉอนจากแรงเฉอน
![Page 96: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/96.jpg)
Beam terminology
Common supports
![Page 97: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/97.jpg)
Simple beam element
{ }1
1
2
2
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
y
y
fm
ffm
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Simple beam element แบบ 2 โนด โดยแตละโนดจะม DOF เทากบ 2 ซง
ประกอบไปดวยการหมนและการกระจดตามแนวดง
Local nodal force และ
moment { }1
1
2
2
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
y
y
d
dd
φ
φ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Local nodal transverse
displacement และ
rotation
สรางความสมพนธ
![Page 98: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/98.jpg)
Simple beam element (ตอ) ขอกาหนดเกยวกบทศทางของการกระจด แรง มม และโมเมนต ทโนด
1. โมเมนตมทศเปนบวก เมอทศทวนเขมนาฬกา
2. มม(Rotation)มทศเปนบวก เมอทศทวนเขมนาฬกา
3. แรงมทศเปนบวกเมอมทศชในทศทางแกน y
4. การกระจด dy มทศเปนบวกเมอมทศชในทศทางแกน y
![Page 99: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/99.jpg)
Beam Theory ขอกาหนดเกยวกบทศทางของแรง และโมเมนต ทหนาตดดานซายและขวา
ขอสงเกต
1. โมเมนตทางดานซาย ตามเขมนาฬกาเปนบวก
2. แรงเฉอนดานขวาชลงเปนบวก
![Page 100: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/100.jpg)
Beam Theory (ตอ)พจารณาคานภายใตภาระใดๆ
พจารณาสมดลตามแนวดง
ˆ0; ( ) ( ) 0 or
ˆ- 0 or (1)ˆ
yF V V dV w x dx
dVwdx dV wdx
∑ = − + − =
− = = −
![Page 101: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/101.jpg)
Beam Theory (ตอ)
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
ˆ ˆ1 ˆ,ˆ ˆ
Substitute into (2) then (1)
ˆ ˆ( ) (3)ˆ ˆ
ˆNodal force only 0 (4)ˆ ˆ
M d v dvEI dx dx
M
d d vEI w xdx dx
d d vEIdx dx
κ φρ
= = = =
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎝ ⎠
พจารณาสมดลโมเมนตรอบจด 2
2ˆˆ ˆ ˆ0; ( ) 0 or
2
(2)ˆ
dxM Vdx dM w x dx
dMVdx
⎛ ⎞∑ = − + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Beam curvature
![Page 102: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/102.jpg)
Simple beam element (ตอ)
{ } { }ˆ ˆ ˆf k d⎡ ⎤= ⎣ ⎦
หาความสมพนธของ Local nodal matrix และ Local nodal displacement matrix
หรอ
112 2
1 13
2 22 2
2 2
ˆˆ 12 6 12 6ˆˆ 6 4 6 2
ˆ ˆ12 6 12 66 2 6 4 ˆˆ
yy
y y
df L Lm L L L LEI
L LLf dL L L Lm
φ
φ
⎧ ⎫⎧ ⎫ −⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Local element stiffness matrix
Local element equation
![Page 103: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/103.jpg)
ขนตอนท 1 กาหนดชนดเอลเมนตกาหนดเอลเมนตทจะพฒนาเปนคานเอลเมนต (Beam element)
ˆ 0x = x L=โนด 1 โนด 2
แตละโนดมความอสระในการเคลอนทได 2 แบบ – DOF = 2
![Page 104: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/104.jpg)
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจดเปนขนตอนการกาหนดเลอกฟงกชนทางคณตศาสตรเพอจะนามาอธบายการเสยรป
ของคาน ซงฟงกชนนจะถอวาเปนคาประมาณ(Approximate solution) ฟงกชนท
เลอกใชสวนใหญเปนฟงกชนโพลโนเมยล
3 21 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) (1)v x a x a x a x a= + + +
โดย a1 a2 a3 และ a4 คอคาคงทและจะหาไดจากเงอนไขดงน
1 4
1 3
3 22 1 2 3 4
22 1 2 3
ˆˆ ˆ( 0) (2.1)ˆ ˆ( 0) ˆ (2.2)
ˆˆˆ ˆ( ) (2.3)
ˆ ˆ( ) ˆ 3 2 (2.4)ˆ
y
y
v x d adv x a
dxv x L d a L a L a L adv x L a L a L a
dx
= = =
== φ =
= = = + + +
== φ = + +
![Page 105: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/105.jpg)
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
จากนนทาการแกสมการดงกลาว (2.1-2.4) จะได a1 a2 a3 และ a4 จากนนนาไปแทนในสมการท 1 ได
( ) ( )
( ) ( )
31 2 1 23 2
21 2 1 2 1 13 2
2 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( )
3 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ2 (3)
y y
y y y
v x d d xL L
d d x x dL L
⎡ ⎤= − + φ + φ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− − − φ + φ + φ +⎢ ⎥⎣ ⎦
หรอเขยนเปนเมตรกได
{ }1
11 2 3 4
2
2
ˆ
ˆˆˆ ˆ( ) [ ] [ ] (4)
ˆ
ˆ
y
y
d
v x N d N N N Nd
⎧ ⎫⎪ ⎪
φ⎪ ⎪= = ⎨ ⎬
⎪ ⎪⎪ ⎪φ⎩ ⎭
![Page 106: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/106.jpg)
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
โดย N1 N2 N3 และ N4 คอ shape function และมคาดงน
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 3 2 2 31 23 3
3 2 3 2 23 43 3
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 2
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ2 3
N x x L L N x L x L xLL L
N x x L N x L x LL L
= − + = − +
= − + = −
![Page 107: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/107.jpg)
ขนตอนท 3 การกาหนดความสมพนธของความเครยดกบการกระจด ความเครยดตามแนวแกนของคาน
2
2
ˆˆ ˆ( , ) (5)ˆ
ˆˆ ˆ (6)ˆ
ˆˆ ˆ ˆ( , ) (7)ˆ
x
x
dux ydx
dvu ydx
d vx y ydx
ε =
= −
∴ ε = −
![Page 108: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/108.jpg)
ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix
จากรปทโนด 1 และ 2 และจากสมการ2 3
2 3
ˆ ˆˆˆ ˆ( ) (8)ˆ ˆ
d v d vm x EI V EIdx dx
= =
จะเขยนเปนสมการไดดงน
( )
( )
( )
3
1 1 1 2 23 3
22 2
1 1 1 2 22 3
3
2 1 1 2 23 3
2
2 12 3
ˆ(0)ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 12 6 12 6 ( )ˆˆ(0) ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ 6 4 6 2 ( )ˆ
ˆ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 12 6 12 6 ( )ˆ
ˆ( ) ˆˆ ˆ 6 2ˆ
y y y
y y
y y y
y
d v EIf V EI d L d L adx Ld v EIm m EI Ld L Ld L b
dx Ld v L EIf V EI d L d L c
dx Ld v L EIm m EI Ld
dx L
= = = + φ − + φ
= − = = + φ − + φ
= − = − = − − φ + − φ
= = = +( )2 21 2 2
ˆˆ ˆ6 4 ( )yL Ld L dφ − + φ
![Page 109: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/109.jpg)
ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix (ตอ)
จดรปสมการ (a), (b), (c) และ (d) ใหมเขยนเปนสมการได
112 2
1 13
2 22 2
2 2
ˆˆ 12 6 12 6ˆˆ 6 4 6 2
(9)ˆ ˆ12 6 12 6
6 2 6 4 ˆˆ
yy
y y
df L Lm L L L LEI
L LLf dL L L Lm
φ
φ
⎧ ⎫⎧ ⎫ −⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
![Page 110: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/110.jpg)
ขนตอนท 5 การประกอบเอลเมนตเขาดวยกนขนตอนนจะทาการประกอบเอลเมนตทกอนเขาดวยกนจะทาใหเราได Global equation
ซง สมการนจะแสดงถงความสมพนธของ Nodal forces และ Nodal displacements ซง
ม Global matrix เปนตวแสดงความสมพนธหรอเขยนสมการไดดงน
{ } [ ]{ } (13)F K d or F K d= =โดย
[ ] { }( ) ( )
1 1
N Ne e
e e
K K k F F f= =
= = = =∑ ∑
![Page 111: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/111.jpg)
ขนตอนท 6 ทาการแกสมการหาคา Nodal displacements
จากนนทาการกาหนดคาสภาวะขอบลงไปในสมการท (13) จากนนทาการแกสมการหา
คา การกระจดทโนด (Nodal displacements)
ขนตอนท 7 ทาการแกหาคาแรงทกระทาทโนดตางๆ ภายใน
เอลเมนต
นาเอาคาการกระจดทคานวณไดแทนลงในสมการท (12) เพอหาคาแรงทกระทา
ทโนดภายในเอลเมนต
![Page 112: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/112.jpg)
ตวอยาง จากระบบคานดงรป จงหาการกระจดในแนวดงและการหมน ทจดกงกลางคาน และเขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนต กาหนดใหวสดของคานมคา E = 210 GPa และ I = 4 x 10-4 m4
วธทา หา Element stiffness matrix ของแตละเอลเมนต
![Page 113: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/113.jpg)
แทนคาลงไปได
2 29 4(1) (2)
3
2 2
5
12 6 3 12 6 36 3 4 3 6 3 2 3210 10 4 10ˆ ˆ
12 6 3 12 6 336 3 2 3 6 3 4 3
12 18 12 1818 36 18 18840 1012 18 12 189
18 18 18 36
k k−
× − ×⎡ ⎤⎢ ⎥× × − × ×× × × ⎢ ⎥= =⎢ ⎥− − × − ×⎢ ⎥× × − × ×⎣ ⎦
−⎡ ⎤⎢ ⎥−× ⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎣ ⎦
![Page 114: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/114.jpg)
จากนนขยายเมตรกใหเทากบเมตรก K(6 x 6)
5(1)
12 18 12 18 0 018 36 18 18 0 012 18 12 18 0 0840 10ˆ
18 18 18 36 0 090 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
k
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −×
= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
5(2)
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 12 18 12 18840 10ˆ0 0 18 36 18 1890 0 12 18 12 180 0 18 18 18 36
k
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−×
= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
![Page 115: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/115.jpg)
จากนนประกอบเมตรกเขาดวยกนได
1 1
1 15
2 2
2 2
3 3
3 3
12 18 12 18 0 018 36 18 18 0 012 18 12 12 18 18 12 18840 10
18 18 18 18 36 36 18 1890 0 12 18 12 180 0 18 18 18 36
y y
y y
y y
F dMF dMF dM
φ
φ
φ
−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − + − + −×⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− + + −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
1 1 3 3 2 20, 10,000, 20,000y yd d F Mφ φ= = = = = − =
จากนนกาหนดคาสภาวะขอบและภาระทกาหนดให
K d F=
![Page 116: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/116.jpg)
ไดสมการ
1
15
2
2
3
3
12 18 12 18 0 0 018 36 18 18 0 0 0
10,000 12 18 24 0 12 18840 1020,000 18 18 0 72 18 189
0 0 12 18 12 18 00 0 18 18 18 36 0
y
y
y
FM
d
FM
φ
−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪− − − −×⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
52
2
10,000 24 0840 1020,000 0 729
ydφ
− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤×=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
จากนนทาการแบงสวนเมตรก
แกสมการได4 5
2 21.339 10 , 8.928 10yd m radφ− −= − × = ×
![Page 117: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/117.jpg)
จากนนคานวณแรงภายในของแตละเอลเมนต
เอลเมนต 1(1)
1(1) 51
4(1)2
5(1)2
12 18 12 18 018 36 18 18 0840 1012 18 12 18 1.339 109
18 18 18 36 8.929 10
y
y
fmfm
−
−
−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪−×⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − − − ×⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ×⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
แกสมการไดแรงภายใน(1) (1) (1)
1 1 2
(1)2
10,000 , 12,500 , 10,000 ,
17,500y yf N m N m f N
m N m
= = − = −
= −
เขยนเปน FBD
![Page 118: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/118.jpg)
เอลเมนต 2(2) 4
2(2) 552(2)
3(2)3
12 18 12 18 1.339 1018 36 18 18 8.929 10840 1012 18 12 189 0
18 18 18 36 0
y
y
fmfm
−
−
−⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ×⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ××⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
แกสมการไดแรงภายใน
(2) (2) (2) (1)2 2 3 20 , 2,500 , 0 , 2,500y yf N m N m f N m N m= = − = = − −
เขยนเปน FBD
![Page 119: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/119.jpg)
นาขอมลมาเขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนต ของแตละเอลเมนตได
V, N10,000
M, N-m
-12,500
17,500
V, N
M, N-m
-2,500
0
เอลเมนต 1 เอลเมนต 2
![Page 120: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/120.jpg)
ภาระแบบกระจายตลอดความยาวของเอลเมนต
(Distributed loading)
• เมอมภาระกระจายตลอดความยาวเอลเมนต ตองทาการเปลยนรปใหเปนภาระ
กระทาทโนดทงสอง ดงตวอยางจากรปขางลาง เหตผลเพราะภาระ(โหลด)ไม
สามารถใสคาลงไปทโนดใดโนดนงได ตองทาการเปลยนรปกอน
![Page 121: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/121.jpg)
• วธการเปลยนภาระกระจายตลอดความยาวเอลเมนต ไปเปนภาระกระทาท
โนดทงสอง จะใชหลกการของ Work-Equivalent method ซงมหลกการคอ
งานทไดจากการกระทาของแรงกระจาย = งานของแรงและโมเมนตทกระทา
ทโนดทงสองรวมกน
เปลยนเปนภาระกระทาทโนดทงสอง
![Page 122: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/122.jpg)
ตวอยาง เอลเมนตมการรบภาระกระจายแบบสมาเสมอ ตองการเปลยนรปใหเปนภาระกระทาทโนดทงสองขาง
งานทไดจากภาระจากทงสองระบบเทากน (Work equivalent system)
![Page 123: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/123.jpg)
งานทไดจากภาระทงสองเขยนเปนสมการได
0
1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ( )
L
distributed
discrete y y y y
W w x v x dx a
W m m f d f d bφ φ
=
= + + +
∫
หรอสมการ (a) = (b)
1 1 2 2 1 1 2 20
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )L
y y y yw x v x dx m m f d f d cφ φ= + + +∫
![Page 124: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/124.jpg)
แทนคา
( ) ( )
( ) ( )
31 2 1 23 2
21 2 1 2 1 13 2
ˆ( )2 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( )
3 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ2
y y
y y y
w x w
v x d d xL L
d d x x dL L
φ φ
φ φ φ
= −
⎡ ⎤= − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− − − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
ลงไปในสมการ (c) และทาการอนทเกรทได
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
1 2 1 2 2 1 1 2
2
1 1 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ22 4 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ( )2
y y y y
y y y y y
Lw L w L wd d Lw d d
L w d wL m m f d f d d
φ φ φ φ
φ φ φ
− − − + − − + +
⎛ ⎞− − = + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
![Page 125: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/125.jpg)
เมอตองหาคา
2 2 22
12ˆ
4 3 2 12L w L wLm L w w
⎛ ⎞= − − + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
1ˆ (1)m
1 2ˆ ˆˆ ˆ1, 0, 0, 01 2 y yd d= = = =φ φ
แทนลงไปในสมการ (d) ได
กาหนดคา
เชนเดยวกนถาตองหาคา
กาหนดคา
แทนลงไปในสมการ (d) ได
2ˆ (1)m
2 2 2
2ˆ4 2 12
L w L w wLm⎛ ⎞
= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2ˆ ˆˆ ˆ0, 1, 0, 01 2 y yd dφ φ= = = =
![Page 126: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/126.jpg)
ดงนนถาใชวธการเดยวกน จะสามารถหาไดวา
1 1 2 2 1
2 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆˆ ˆ( 0, 1)2 2
ˆ ˆ ˆˆ ˆ( 0, 1)2 2
y y y
y y y
Lw Lwf Lw Lw d d
Lw Lwf Lw d d
φ φ
φ φ
= − + − = − = = = =
= − = = = = =
ดงนนสรปไดวา
2wL
− 2wL
2
12wL
−2
12wL
![Page 127: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/127.jpg)
ขอมลจากหนงสอ Appendix D
![Page 128: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/128.jpg)
หมายเหต ถาภาระกระจายมรปแบบนอกเหนอจากน ตองทาการอนทเกรท
หาใหม
![Page 129: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/129.jpg)
วธการแกปญหา ของปญหาทมแรงกระจาย ทาไดโดยเปลยนแรงกระจายให
เปนแรงกระทาทโนด ดงนนจะถอวาแรงทเปลยนรปแลวกคอภาระกระทาท
โนดนนๆ นนเอง หรอเขยนเปนสมการได
0F Kd F= −
แรงกระจายทเปลยนรปเปนแรงกระทาทโนดแลวหรอ Equivalent nodal forces
Global equation
0ˆ ˆ ˆ ˆf k d f= − Element equation
แรงกระจายทเปลยนรปเปนแรงกระทาทโนดแลว บนเอลเมนตใดๆ
![Page 130: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/130.jpg)
ตวอยาง คานดงรป ทงสองขางมการยดแบบแคนทลเวอร(Fix)และรบภาระ
แบบกระจาย จงคานวณหาการกระจดและการหมนหรอ slope ทจดกงกลางคาน พรอมทงหาแรงปฎกรยาทจดรองรบทงสองขาง กาหนด คานมคา E และ
พนทหนาตด คงททวทงความยาว การคานวณใหใช 2 เอลเมนต
1 2 3
![Page 131: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/131.jpg)
วธทา ทาการแบงเอลเมนตออกเปนสองเอลเมนต จากนนหาเอลเมนตเมตรกและประกอบเขาดวยกน เพอใหไดสมการของโครงสรางรวมหรอ Global
equation โดยแรงกระทาทโนดของประกอบไปดวยแรงและโมเมนตภายนอกทใหมารวมกบแรงและโมเมนตทไดจากการเปลยนแรงกระจาย
หาเอลเมนตเมตรกได
2 2(1) (2)
3
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
6 2 6 4
L LL L L LEIk k
L LLL L L L
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= =⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎣ ⎦
![Page 132: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/132.jpg)
2 2
(1) (2)2 2 2 23
2 2
2 2
2 2 23
12 6 12 6 0 06 4 6 2 0 012 6 12 12 6 6 12 6
6 2 6 6 4 4 6 20 0 12 6 12 60 0 6 2 6 4
12 6 12 6 0 06 4 6 2 0 012 6 24 0 12 6
6 2 0 8 6 20 0 12 6 12 6
L LL L L L
L L L LEIK k kL L L L L L L LL
L LL L L L
L LL L L L
L LEIL L L L LL
L L
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − + − + −
= + = ⎢ ⎥− + + −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
−−
− − −=
−− −
2 20 0 6 2 6 4L L L L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
ประกอบเอลเมนตเมตรกเขาดวยกนได
![Page 133: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/133.jpg)
หาแรงและโมเมนตเสมอน(equivalent nodal forces) ของเอลเมนตและโครงสราง
เอลเมนต 1
เอลเมนต 2
+
โครงสราง
2
0 2
2
340
60
2
301740
15
wL
wL
wL
FwL
wL
wL
−⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬
−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
![Page 134: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/134.jpg)
0F Kd F= −จากสมการ Global equation
2
1 12 2
1 1
2 22 2 23 2
2 2
3 32 2
3 3
340
12 6 12 6 0 0 606 4 6 2 0 012 6 24 0 12 6 2
6 2 0 8 6 2300 0 12 6 12 6
0 0 6 2 6 4
y y
y y
y y
wL
wLF dL LM L L L L wLF dL LEIM L L L L LL wLF dL LM L L L L
φ
φ
φ
−
−−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
2
1740
15
wL
wL
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
0
0
0
0
0
0
ทาการแยกสวนเมตรกซได
![Page 135: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/135.jpg)
223 2
2
0 24 0 20 0 8
30
y
wLdEI
LL wLφ
−⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ −⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭แกสมการได 4 3
2 2,48 240y
wL wLdEI EI
φ− −= =
นาคาทงสองไปแทน
ในสมการ Global equation ได21
1
3
32
1240
860
2840315
y
y
wL
F wLMF wLM
wL
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪−⎪ ⎪
⎪ ⎪⎩ ⎭ คาตอบ
![Page 136: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/136.jpg)
กรณศกษา การเปรยบเทยบผลลพธทไดจาก Exact solution กบจากวธไฟ
ไนตเอลเมนต จากปญหาของคานดงรป
จดประสงค ทาการศกษาหากราฟของระยะกระจด(v) โมเมนต(M) และแรง
เฉอน(V) โดยในวธไฟไนตเอลเมนตจะใชจานวนเอลเมนตเทากบ 1 เอลเมนต
![Page 137: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/137.jpg)
Exact solution จากสมการของ Beam Theory และภาระทกาหนดให
สามารถแกหาคาตอบไดดงน (ดหนา 188-189)
( )
4 3 2 2
2 2
1( )24 6 4
( )2 2
( )
wx wLx wL xy xEI
wL wxM x wLx
V x w L x
⎛ ⎞−= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠−
= − +
= −
โดยกาหนดให
5 4210 , 4 10 , 2.5 , 4 /E GPa I m L m w kN m−= = × = =
![Page 138: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/138.jpg)
ผลลพธ
![Page 139: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/139.jpg)
ผลลพธ(ตอ)
ขอสงเกต ผลตางของการกระจดจะนอยทสด และผลตางของแรงเฉอนจะมากทสด วธการทจะทาใหผลตางของแรงเฉอนมคาดขนคอใชจานวนเอลเมนตมากขนหรอใช high order เอลเมนต
![Page 140: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/140.jpg)
เทนเซอรความเคน(Stress tensor)
เทนเซอรความเคนเปนปรมาณทใชอธบายคาความเคนทเกดขนภายใน
เนอวตถ ณ จดใด ซงคานตองมการอางองกบพกดฉาก XYZ ทเราตอง
กาหนดขนมาลวงหนา
เราจะมาดกนวาเทนเซอรความเคนมองคประกอบทงหมดกคา และคาน
หามาไดอยางไร และพกดฉากทตงขนมาไวอางองมความสาคญอยางไร
กบเทนเซอรความเคน
![Page 141: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/141.jpg)
พจารณาวตถทถกแรงภายนอก
กระทาและอยในสภาวะสมดล
ดงรป
จากนนทาการตดวตถดวยระนาบ เราจะ
เหนแรงกระทาบนหนาตด ไดดงรป
![Page 142: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/142.jpg)
ถาพจารณาพนทเลกๆ ΔA (Normal vector ชไปตามแนวแกน z )บนหนาตดซงมแรงกระทา ΔF ดงรปเราสามารถแตกแรงนออกเปนตามแกน x, y และ z ตามลาดบ และนยามคาดงน
0
0
0
lim
lim
lim
zz A
xzx A
yzy A
FAFAFA
Δ →
Δ →
Δ →
Δσ =
ΔΔ
τ =ΔΔ
τ =Δ
ความเคนตงฉาก ตามแนวแกน z
ความเคนเฉอน ตามแนวแกน x
ความเคนเฉอน ตามแนวแกน y
![Page 143: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/143.jpg)
ในทานองเดยวกน ถาพจารณาพนทเลกๆ ΔA (Normal vector ชไปตามแนวแกน y
)บนหนาตดซงมแรงกระทา ΔF ดงรปเราสามารถแตกแรงนออกเปนตามแกน x, y
และ z ตามลาดบ และนยามคาดงน
ความเคนตงฉาก ตามแนวแกน y0
0
0
lim
lim
lim
yy A
xyx A
zyz A
FAFAFA
Δ →
Δ →
Δ →
Δσ =
ΔΔ
τ =ΔΔ
τ =Δ
ความเคนเฉอน ตามแนวแกน x
ความเคนเฉอน ตามแนวแกน z
![Page 144: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/144.jpg)
และในทานองเดยวกน ถาพจารณาพนทเลกๆ ΔA (Normal vector ชไปตามแนวแกน x )บนหนาตดซงมแรงกระทา ΔF ดงรปเราสามารถแตกแรงนออกเปนตามแกน x, y และ z ตามลาดบ และนยามคาดงน
0
0
0
lim
lim
lim
xx A
yxy A
zxz A
FAFAFA
Δ →
Δ →
Δ →
Δσ =
ΔΔ
τ =ΔΔ
τ =Δ
ความเคนตงฉาก ตามแนวแกน x
ความเคนเฉอน ตามแนวแกน y
ความเคนเฉอน ตามแนวแกน z
![Page 145: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/145.jpg)
ดงนนเรานยามเทนเซอรความเคน ณ จดใดๆ โดยคาดงกลาวหรอเขยนเปน
{ }
, ,
x
yx xy xz
zyx y yz
yzzx zy z
zx
xy
xy yx xz zx yz zy
σ⎧ ⎫⎪ ⎪σ⎪ ⎪⎡ ⎤σ τ τ⎪ ⎪σ⎪ ⎪⎢ ⎥σ = τ σ τ = ⎨ ⎬⎢ ⎥ τ⎪ ⎪⎢ ⎥τ τ σ⎣ ⎦ ⎪ ⎪τ⎪ ⎪
τ⎪ ⎪⎩ ⎭τ = τ τ = τ τ = τ
ดงนนเทนเซอรความเคนคอสถานะของความเคน(State of stress) ณ จดใดๆ
ในวตถ ซงเปนคาทตองอางองกบพกด xyz
Stress tensor
เมอ
![Page 146: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/146.jpg)
ในทานองเดยวกนเราสามารถนยามเทนเซอรความเครยด ณ จดใดๆ โดย
{ }
, ,
x
yx xy xz
zyx y yz
zyzx zy z
zx
xy
xy yx xz zx yz zy
ε⎧ ⎫⎪ ⎪ε⎪ ⎪⎡ ⎤ε ε ε⎪ ⎪ε⎪ ⎪⎢ ⎥ε = ε ε ε = ⎨ ⎬⎢ ⎥ ε⎪ ⎪⎢ ⎥ε ε ε⎣ ⎦ ⎪ ⎪ε⎪ ⎪
ε⎪ ⎪⎩ ⎭ε = ε ε = ε ε = ε
ดงนนเทนเซอรความเครยดคอสถานะของความเครยด(State of strain) ณ จด
ใดๆในวตถ ซงเปนคาทตองอางองกบพกด xyz
Strain tensor
เมอ
![Page 147: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/147.jpg)
x
y
A B
CA’
B’
C’
vudy
dx
dxxv
∂∂
xdxuu
∂∂
+
dyyu
∂∂
dyyvv
∂∂
+
1 2 1 2
ud x u d x u d xA 'B ' A B ux
A B d x xvd y v d y v d yyA 'C ' A C v
A C d y yπ a n g le (C 'A 'B ') β β t a n β t a n β2
v ux
x
y
x y
y
ε
ε
ε
∂⎛ ⎞⎛ ⎞+ + − −⎜ ⎟⎜ ⎟− ∂∂⎝ ⎠⎝ ⎠= = =∂
⎛ ⎞⎛ ⎞∂+ + − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂− ∂⎝ ⎠⎝ ⎠= = =∂
= − = + ≈ +
∂ ∂≈ +
∂ ∂
1β
2β
ตวอยาง 2D
![Page 148: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/148.jpg)
คาของเทนเซอรความเคนและเทนเซอรความเครยดมความสมพนธซงอธบายไดดวย Constitutive matrix หรอ Stress/Strain matrix
{ } { }[ ]6 1 6 1
Dσ = ε
× ×
คาคงททจะนามาใชในเมตรก [D] ขนอยวาวตถทพจารณามคณสมเปนแบบไหนเชน Isotropic material หรอ orthotropic material หรอ Anisotropic
material
ขนาด 6 x 6 หรอ มองคประกอบ 36 ตว
ซงไดจากคาคงทของวสด
Generalized Hooke’s Law
![Page 149: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/149.jpg)
Constitutive matrix หรอ Stress/Strain matrix ของ Linear isotropic material
1 0 0 01 0 0 0
1 0 0 0[ ]
0 0 0 1 2 0 0(1 )(1 2 )0 0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 1 2
ED
− ν ν ν⎡ ⎤⎢ ⎥ν − ν ν⎢ ⎥⎢ ⎥ν ν − ν
= ⎢ ⎥− ν+ ν − ν ⎢ ⎥⎢ ⎥− ν⎢ ⎥
− ν⎢ ⎥⎣ ⎦
จะเหนวามคาคงทสองตวทตองหามาจากการทดลอง E และ ν , poisson’s ratio,
(คาหลงนหายาก) แตเราจะหาคาหลงจากความสมพนธน
( mod )2(1 )
EG shear ulus =+ ν
Torsion test Tensile test
![Page 150: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/150.jpg)
orthotropic material ต.ย. เชน ไม ลามเนตพลาสตก Rolled steel เปนตน มคาคณสมบต 9 ตวทตองหามา โดยสวนใหญจะเขยนดงนแทน
, ,yz zy xy yxzx xz
y z z x x yE E E E E Eν ν ν νν ν
= = =
{ } { } { }1[ ] [ ]
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0[ ]
10 0 0 0 02
10 0 0 0 02
10 0 0 0 02
yx zx
x y z
xy zy
x y z
yzxz
x y z
yz
zx
xy
D S
E E E
E E E
E E ES
G
G
G
−ε = σ = σ
ν⎡ ⎤ν− −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ν ν− −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥νν⎢ ⎥− −⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
เมอ
Compliance matrix
![Page 151: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/151.jpg)
Constitutive matrix หรอ Stress/Strain matrix ของ anisotropic material นนจะมคาคงทของวสดถง 21 คา ซงจะไมกลาวถง ณ ทน
ในทางปฏบตนนเราสามารถทจะหาพกดฉากอางองทเหมาะสมแลวทาใหคาสถานะความเคนทจดนนๆ มคาเฉพาะความเคนในแนวตงฉาก ซงเราจะเรยกความเคนนวาเปน Principal stresses ซงคาของมนจะมคาทสงทสด(Maximum) คากลาง(Intermediate) และคาตาสด (Minimum)
Transform
![Page 152: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/152.jpg)
เมอทาการ Transform คาเทนเซอรความเคนแลวหรอเลอกพกดอางองทเหมาะสมไดแลว ณ ทนคอพกด
{ } { }0 0
0 00 0
x xy xz x x y x z I
yx y yz y x y y z II
zx zy z z x z y z III
I II III
′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′ ′
⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ τ τ σ τ τ σ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′σ = τ σ τ → σ = τ σ τ = σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ τ σ τ τ σ σ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
σ > σ > σPrincipal stresses - ความเคนหลกสงสดหาไดจาก
x y z′ ′ ′
3 21 2 3
1
2 2 22
2 2 23
( )( )( ) 0where
2
I II III
x y z
x y y z x z xy xz yz
x y z xy xz yz x yz y xz z xy
− + − = − − − =
= + +
= + + − − −
= + − − −
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ σ σ σ τ τ τ
σ σ σ τ τ τ σ τ σ τ σ τ
I I I
I
I
I
![Page 153: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/153.jpg)
ความเคนหลกสงสดในระบบ 2 มต
สามารคานวณความเคนหลกจากสมการ
2,2 2
x y x yI II xy
σ σ σ σσ σ τ
+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟
⎝ ⎠
สถานะของความเคน
x xy
yx y
σ ττ σ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
สมการนคอสมการของวงกลม Mohr นนเอง
![Page 154: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/154.jpg)
การเสยหายของวสดวศวกรรม
การเสยหายของวสดสามารถแบงออกไดดงนดงตอไปน
1. Instantaneous fracture (Overload)
2. Yielding (Plastic deformation)
3. Fatigue (Delayed fracture)
4. Corrosion (Environmentally-assisted cracking)
5. Creep (Time dependent plastic deformation)
6. Wear( Surface damage)
![Page 155: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/155.jpg)
Instantaneous Fracture
Tensile test results : (a) Ductile Fracture (b) Brittle Fracture
![Page 156: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/156.jpg)
การคราก(Yielding)
Plastic deformation is induced and the original structure is not returned to its original shape
![Page 157: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/157.jpg)
การลา(Fatigue)
This high tensile steel bolt failed under low stress high cycle conditions with a fatigue crack running from 9 o'clock as shown by the beach marks.
Crack origin
![Page 158: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/158.jpg)
การกดกรอน(Corrosion)
The deep drawn brass cup on the right shows stress corrosion cracking under the influence of the residual manufacturing stresses and a mildly corrosive environment. The cup on the left has been annealed before putting it into service which solves the problem
![Page 159: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/159.jpg)
การคบ(Creep)
Failed toilet float - creep failure due to overtightening.
![Page 160: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/160.jpg)
การสกหรอ(Wear)
Wear may be defined as damage to a solid surface caused by the removal or displacement of material by the mechanical action of a contacting solid, liquid, or gas.
Abrasion of gear tooth surface
![Page 161: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/161.jpg)
ทฤษฎการเสยหาย(Failure theories)
เราสามารถทานายการเสยหาย(เกดการครากแลวหรอแตกหก)ของวสด
ไดดวยทฤษฎดงตอไปน
1. Maximum principal stress theory
2. Maximum shear stress theory
3. Distortion energy theory
หมายเหต : จรงๆแลวมทฤษฎอนๆอกแตทงสามทฤษฎน เปนทนยมใชสาหรบ
โลหะ เซรามค และพลาสตก เปนตน
![Page 162: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/162.jpg)
Maximum Principal Stress Theory
ทฤษฎกลาวไววา “การครากของวสดจะเกดขนเมอคาสมบรณความเคนหลกมคา
เทากบหรอมากกวาคาความเคนแรงดงสงสด(uni-axial tensile yield strength)” ทฤษฎมกจะนาไปใชทานายการเสยหายของวสดเปราะ
( , , )I II III yMAX σ σ σ σ≥
![Page 163: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/163.jpg)
Maximum Shear Stress Theory
มชออกอยางหนงวา “Tresca criterion” ซงมาจากชอของนกวทยาศาสตรชาว
ฝรงเศสทชอวา Henri Tresca ทฤษฎกลาวไววา “การครากของวสดจะเกดขนเมอคา
ความเคนเฉอนสงสดมคาเทากบหรอมากกวาคาความเคนเฉอนคราก (τy = σy/2) ของวสดทอยภายใตแรงกระทาตามแนวแกนอยางเดยวแบะคาความเคนเทากบความเคนแรงดงสงสด ทฤษฎมกจะนาไปใชทานายการเสยหายของวสด
เหนยว
( , , )2 2 2 2
yII III III I I IIyMAX
σσ σ σ σ σ σ τ− − −= =
, ,2 2 2
II III III I I III II III
σ σ σ σ σ στ τ τ− − −= = =
คาความเคนเฉอนหลกหาไดโดย
![Page 164: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/164.jpg)
Distortion Energy Theory
ทฤษฎนสมมตใหพลงงานความเครยดรวมสามารถแบงออกเปนสองสวนคอ
volumetric (hydrostatic) strain energy และ shape (distortion or shear) strain
energy ดงนนพลงงานททาใหเกดการครากจะมาจากสวนหลง ทฤษฎจงกลาวไววา
“การครากจะเกดขนเมอ distortion energy มคามากกวาความเคนแรงดงสงสด”
ทฤษฎนเปนทรจกกนดในนาม Von Mises criterion และสามารถแสดงเปนสมการ
ไดดงน 2 2 2 21 ( ) ( ) ( )
2 I II II III III I yσ σ σ σ σ σ σ⎡ ⎤− + − + − =⎣ ⎦หรอ
2 2 2 2 2 2 21 ( ) ( ) ( ) 6( )2 x y y z z x xy yz zx yσ σ σ σ σ σ τ τ τ σ⎡ ⎤− + − + − + + + =⎣ ⎦
1/ 22 2 2 2 2 21 ( ) ( ) ( ) 6( )2von x y y z z x xy yz zxσ σ σ σ σ σ σ τ τ τ⎡ ⎤= − + − + − + + +⎣ ⎦
Von Mises stress
![Page 165: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/165.jpg)
Examples of Calculation
Example: A three dimensional state of stress is as follows:
100 80 080 60 00 0 40
ij MPaσ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Solution: Substitute in the principal stress equation, we get
12
22
3
100 60 40 80100 ( 60) ( 60) 40 100 40 80 10,800100 ( 60) 40 40 80 496,000
III
= − + =
= × − + − × + × − = −
= × − × − × =
Find the principal stresses?
![Page 166: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/166.jpg)
Examples of Calculation (cont.)
3 2
2
3
1
2
80 10,800 496,000 0or( 40)( 40 12, 400) 0
40 MPa133.1 MPa
93.1 MPa
σ σ σ
σ σ σσσσ
− − + =
− − + =∴ =
== −
![Page 167: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/167.jpg)
Examples of Failure Calculation
Question From previous example, if the material has tensile yield strength equal to 100 MPa, determine that the plastic deformation has already occurred or not. Use the following criterions,
1. Maximum principal stress theory2. Maximum shear stress theory3. Distortion energy theory
Solution : 1) Maximum principal stress theory
1 2 3( 133.1 , 93.1 , 40 ) 133.1 100σ σ σ= = − = = >MAX
Therefore, yielding has occurred.
![Page 168: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/168.jpg)
Examples of Failure Calculation (cont.)
2 31
1 32
1 23
93.1 40 66.52 2
133.1 40 46.552 2
133.1 ( 93.1) 113.12 2
σ στ
σ στ
σ στ
− − −= = =
− −= = =
− − −= = =
Solution : 2) Maximum shear stress theory
Therefore, yielding has occurred.3 max 113.1 100 / 2τ τ= = >
![Page 169: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/169.jpg)
Examples of Failure Calculation (cont.)
Solution : 3) Distortion energy theory
Therefore, yielding has occurred.
22 2 2 21 (133.1 ( 93.1)) (( 93.1) 40) (40 133.1)2
196.91 100
σ
σ
⎡ ⎤− − + − − + − =⎣ ⎦
= >
e
e
![Page 170: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/170.jpg)
Tutorial
Problem The round bar is subjected to a force and torque, as shown below. Determine
1) State of stress at any point within a body2) Principal normal stresses
![Page 171: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/171.jpg)
Tutorial (cont.)
σxx = F/Aτxy = Tr/J, J (Circular Shaft) = πr4/2, r = outside radius of a solid shaft, shear is maximum at outside radius
• If solid shaft material is AISI 1030, determine that is it failed by yielding or not?
![Page 172: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/172.jpg)
ปญหาแบบสองมตของกลศาสตรของแขง
ปญหาบางสวนสามารถทจะลดรปใหเปนปญหาแบบสองมตได ซง
แบงเปนดงน
1. Plane stress problem
2. Plane strain problem
3. Axisymmetric problem
ซงเราจะมาพจารณากนตอไปวาปญหาแบบนมนยามอยางไร
![Page 173: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/173.jpg)
ปญหา Plane stress
ปญหาทซงมแรงกระทาบนระนาบ xy และความหนาของวตถมขนาดเลกดงตวอยางดงรปขางลาง
{ }
, 0
xx xy
yyx y
xy
xy yx z yz xz
⎧ ⎫σσ τ⎡ ⎤ ⎪ ⎪σ = = σ⎨ ⎬⎢ ⎥τ σ⎣ ⎦ ⎪ ⎪τ⎩ ⎭
τ = τ σ = τ = τ =
![Page 174: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/174.jpg)
ปญหา Plane stress (ตอ)
สาหรบ Isotropic material ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด มคาดงน
{ } 2
1 0[ ] 1 0
10 0 1
x x x
y y y
xy xy xy
vED v
v
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫σ ε ε⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥σ = σ = ε = ε⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥τ ε − ε⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
![Page 175: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/175.jpg)
ปญหา Plane stress (ตอ)
1 0
1[ ] 0
10 02
yx
x yx x x
xyy y y
x yxy xy xy
xy
yx xy
y x
vE Ev
SE E
G
whenE E
⎡ ⎤−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ε σ σ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ε = σ = − σ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ε τ τ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
ν ν=
สาหรบ orthotropic material ตวอยางดงรป ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด มคาดงน (มคาคงท 4 ตว)
![Page 176: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/176.jpg)
ปญหา Plane strain
ปญหาทซงมแรงกระทาบนระนาบ xy และความหนาของวตถมขนาดใหญมากตวอยางดงรปขางลาง
{ }
, 0, 0
xx xy
yyx y
xy
xy yx z yz xz z
⎧ ⎫εε ε⎡ ⎤ ⎪ ⎪ε = = ε⎨ ⎬⎢ ⎥ε ε⎣ ⎦ ⎪ ⎪ε⎩ ⎭
ε = ε ε = ε = ε = σ ≠
![Page 177: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/177.jpg)
ปญหา Plane strain (ตอ)
สาหรบ Isotropic material ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด มคาดงน
{ }1 0
[ ] 1 0(1 )(1 2 )
0 0 1 2
x x x
y y y
xy xy xy
v vED v v
vv
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫σ ε − ε⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥σ = σ = ε = − ε⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ − ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥τ ε − ε⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
![Page 178: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/178.jpg)
ปญหา Axisymmetric ปญหาทซงมรปรางของปญหาและแรงกระทามความสมมาตรรอบแกน Z ดงนนเราสามารถสรปไดดงน (สาหรบ Isotropic material)
1 01 0
1 0(1 )(1 2 )0 0 0 1 2
r r
z z
rz rz
v v vv v vEv v vv v
vθ θ
σ ε−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥σ ε−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥σ ε−+ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ ε−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
![Page 179: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/179.jpg)
การสรางเอลเมนต 2 มตโดยวธ Minimum potential energy
วธการสรางเอลเมนต 2 มตแบบ Triangular element ซงสามารถ
นาไปใชกบปญหาแบบ Plane stress และ Plane strain ได
DOF ของแตละโนดคอ v และ u การกระจดตามแนวแกน x และ y
![Page 180: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/180.jpg)
ขนตอนท 1 กาหนดชนดเอลเมนตกาหนดเอลเมนตทจะพฒนาเปน Linear triangular element โดย Nodal displacement matrix คอ
แตละโนดมความอสระในการเคลอนทได 2 แบบ – DOF = 2
{ }
i
ii
jj
jm
m
m
uv
du
d dv
duv
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
![Page 181: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/181.jpg)
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจดเปนขนตอนการกาหนดเลอกฟงกชนทางคณตศาสตรเพอจะนามาอธบายการ
เสยรปของเอลเมนต ซงฟงกชนนจะถอวาเปนคาประมาณ(Approximate
solution) ฟงกชนทเลอกใชสวนใหญเปนฟงกชนโพลโนเมยล ณ.ทนเราใช
ฟงกชนเชงเสน (Linear function)
{ }
1
2
1 2 3 3
4 5 6 4
5
6
( , ) 1 0 0 0( , ) 0 0 0 1
aa
a a x a y au x y x ya a x a y av x y x y
aa
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+ +⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ψ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ +⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
โดย a1 , a2 , a3 , a4 , a5 และ a6 คอคาคงทและจะหาไดจากเงอนไขการกระจดทโนดทงสามดงน
![Page 182: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/182.jpg)
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
{ }0 0 0( , )
0 0 0( , )
i
i
i i j j m m i j m j
i i j j m m i j m j
m
m
uv
N u N u N u N N N uu x yN v N v N v N N N vv x y
uv
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
+ + ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪ψ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ +⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
( , ) , ( , )( , ) , ( , )
( , ) , ( , )
i i i i i i i i i i
j j j j j j j j j j
m m m m m m m j m m
u u x y a a x a y v v x y a a x a yu u x y a a x a y v v x y a a x a y
u u x y a a x a y v v x y a a x a y
= = + + = = + += = + + = = + +
= = + + = = + +
แกสมการได
1 1( ), ( )2 2
1 ( ), 2 ( ) ( ) ( )2
i i i i j j j j
m m m m i j m j m i m i j
N x y N x yA A
N x y A x y y x y y x y yA
α β γ α β γ
α β γ
= + + = + +
= + + = − + − + −
โดย
![Page 183: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/183.jpg)
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
, ,
, ,
, ,
i j m j m j m i m i m i j i j
i j m j m i m i j
i m j j i m m j i
x y y x x y y x x y y x
y y y y y y
x x x x x x
α α α
β β β
γ γ γ
= − = − = −
= − = − = −
= − = − = −
เมอ
โดย Ni , Nj และ Nm คอ shape function และมคณสมบตดงรปดานขวามอ
![Page 184: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/184.jpg)
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
คณสมบตทสาคญของ Displacement function, {ψ}, คอตองมความสมบรณ
(Completeness) ในการใหมการเคลอนทแบบ Rigid-body translation และ Rotation
ได โดยไมทาใหเกดความเคนขน
Stress-free element
Translation Rotation
![Page 185: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/185.jpg)
ขนตอนท 3 การกาหนดความสมพนธของความเครยดกบการกระจด และความเคนกบความเครยดความเครยดของเอลเมนต
{ }
1 ( )2
x
y
xy
uxvy
u vy x
⎧ ⎫∂⎪ ⎪
∂⎪ ⎪⎧ ⎫ε⎪ ⎪∂⎪ ⎪ε = ε =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ε⎩ ⎭ ⎪ ⎪∂ ∂
+⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎭
จากการแทนคา u และ v ลงไปในสมการขางบนจะได
{ }0 0 0
1 0 0 0 [ ]{ }2
i
ii j m
ji j m
ji i j j m m
m
m
uvu
B dvAuv
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫β β β⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ε = γ γ γ =⎨ ⎬⎨ ⎬
⎪ ⎪⎪ ⎪γ β γ β γ β⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
![Page 186: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/186.jpg)
ขนตอนท 3 การกาหนดความสมพนธของความเครยดกบการกระจด และความเคนกบความเครยด (ตอ)
ความเคนของเอลเมนต
[ ] [ ][ ]{ }x x
y y
xy xy
D D B d⎧ ⎫ ⎧ ⎫σ ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪σ = ε =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ ε⎩ ⎭ ⎩ ⎭
![Page 187: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/187.jpg)
ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix
จากหลกการของ Minimum potential energy, Total potential energy
( , , ,..., )p p i i j mu v u vπ = πซงสามารถเขยนไดดงน
โดย{ } { } { } [ ]{ }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
1 12 2
T T
V V
Tb
V
Tp
T
s S Ss
U dV D dV
X dV
d P
T dS
= ε σ = ε ε
Ω = − ψ
Ω = −
Ω = − ψ
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
∫∫
p b p sUπ = + Ω + Ω + Ω
Potential energy ของ Body force
แรงกระทาเปนจด และแรงกระจายบนผว
Strain energy
![Page 188: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/188.jpg)
ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix (ตอ)
นาคา {σ}, {ε} และ {ψ} ไปแทนสมการพลงงานจะได{ } [ ] [ ][ ]{ }
{ } [ ] { } { } { } { } [ ] { }
12
TTp
V
T TT T TS S
V S
d B D B d dV
d N X dV d P d N T dS
π =
− − −
∫∫∫
∫∫∫ ∫∫ถากาหนดให
{ } [ ] { } { } [ ] { }TT
S SV S
f N X dV P N T dS= + +∫∫∫ ∫∫แทนในสมการขางบน
{ } [ ] [ ][ ] { } { } { }12
TT Tp
V
d B D B dV d d fπ = −∫∫∫
![Page 189: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/189.jpg)
ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix (ตอ)
จากนนทาการหาคาอนพนธแลวจบเทากบศนย
{ } [ ] [ ][ ] { } { } 0Tp
V
B D B dV d fd
⎡ ⎤∂π= − =⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦
∫∫∫ดงนน
[ ] [ ][ ] { } { }
[ ]{ } { }
T
V
B D B dV d f
k d f
⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦=
∫∫∫
ถาความหนาของเอลเมนตคงทเทากบ t
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]
T
AT
k t B D B dxdy
tA B D B
=
=
∫∫
ขนาด(6 x 6)
![Page 190: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/190.jpg)
ขนตอนท 5 การประกอบเอลเมนตเขาดวยกนขนตอนนจะทาการประกอบเอลเมนตทกอนเขาดวยกนจะทาใหเราได Global equation
ซง สมการนจะแสดงถงความสมพนธของ Nodal forces และ Nodal displacements ซง
ม Global matrix เปนตวแสดงความสมพนธหรอเขยนสมการไดดงน
{ } [ ]{ }F K d=โดย
[ ] { }( ) ( )
1 1
N Ne e
e e
K K k F F f= =
= = = =∑ ∑
![Page 191: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/191.jpg)
ขนตอนท 6 ทาการแกสมการหาคา Nodal displacements
จากนนทาการกาหนดคาสภาวะขอบลงไปในสมการทแลว จากนนทาการแกสมการหา
คา การกระจดทโนด (Nodal displacements)
ขนตอนท 7 ทาการแกหาคาแรงทกระทาทโนดตางๆ ภายใน
เอลเมนต
นาเอาคาการกระจดทคานวณไดแทนลงในสมการGlobal equation เพอหาคาแรง
ทกระทาทโนดภายในเอลเมนต นอกจากนนเรายงสามารถหาคาความเคนภายใน
เอลเมนตไดดวย
![Page 192: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/192.jpg)
ตวอยางการแปลงแรงกระจายไปเปนแรงทโนด
การแปลงแรงกระจายไปเปนแรงกระทาทโนดมความจาเปนเพราะระเบยบวธไฟ
ไนตเอลเมนตตองการแรงกระทาทโนด ตวอยางขางลางคอการแปลง Surface force
แรงแบบดงเดม Surface load แรงแบบใหม Point load
![Page 193: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/193.jpg)
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress
แผนเพลทคอนขางบางถกกระทาดวยแรงกระจายแบบผวดงรป
จงหา (a) การกระจดทโนด (b) ความเคนภายในเอลเมนต
กาหนดใหความหนาของแผนเพลทเทากบ 1 นว Young’s Modulus, E, กบ 30 x
106 psi และ ν = 0.3
FE model
![Page 194: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/194.jpg)
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress (ตอ)
(1) (2)[ ] [ ] [ ]K k k= +หลกการทาคอตองหา Global element stiffness matrix
จากนนแทนในสมการ Global matrix equation และแทนเงอนไขโหลดและ
สภาวะขอบลงไป
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
4 4
4 4
0000
[ ]5000
05000
0
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x x
y y
F dF dF dF d
KF d
F dF d
F d
=⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎩ ⎭ ⎩ ⎭
F1x
5000
5000
F2x
F2y
F1y
![Page 195: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/195.jpg)
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress (ตอ)
จากผลการแทนจะไดสมการ
1
1
2
2
48 0 28 14 0 26 20 120 87 12 80 26 0 14 728 12 48 26 20 14 0 0
14 80 26 87 12 7 0 0375,005000 0 26 20 12 48 0 28 140.91
0 26 0 14 7 0 87 12 805000 20 14 0 0 28 12 48 26
0 12 7 0 0 14 80 26 87
x
y
x
y
FFFF
− − −⎧ ⎫ ⎡⎪ ⎪ ⎢ − − −⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪ ⎢− − −⎪ ⎪ ⎢ − − −⎪ ⎪ ⎢=⎨ ⎬ ⎢ − − −⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪ − − −⎪ ⎪
− − −⎪ ⎪⎪ ⎪ − − −⎩ ⎭ ⎣
3
3
4
4
0000
x
y
x
y
dddd
⎧ ⎫⎤⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥ ⎨ ⎬⎥ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎦ ⎩ ⎭
ตอไปตองทาการแกหาของดานขวามอ(คาการกระจดทโนด)กอน จากนนแทน
คาเพอหาคาตอบของดานซายมอคอคาแรงกระทาทโนดของโครงสรางรวม
![Page 196: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/196.jpg)
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress (ตอ)
3
3 6
4
4
609.64.2
10 .663.7104.1
x
y
x
y
dd
indd
−
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭
ผลลพธของคาตอบได
ขอสงเกต จะเหนวาคาตอบทไดมคาความผดพลาดขนของสมดลแรง(แตนอย
มากๆ) และการกระจดทโนด จะแกไดอยางไร
1
1 3
2
2
5.00050.0007
10 .4.99970.0005
x
y
x
y
FF
lbFF
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭⎩ ⎭
![Page 197: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/197.jpg)
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress (ตอ)
10053012.4
x
y
xy
psiσστ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭⎩ ⎭
นาคาการกระจดทไดลงไปแทนในสมการความสมพนธระหวางความเคนและ
ความเครยดจะได
Note: คาความเคนมคาคงทตลอดทวทงอลเมนต ดงนนจะเกดอะไรขนระหวาง
รอยตอของอลเมนต ลองมาดกนตอไป
9951.22.4
x
y
xy
psiσστ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭⎩ ⎭
อลเมนต 1 อลเมนต 2
![Page 198: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/198.jpg)
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress (ตอ)
ขดกบหลกสมดล
คาความเคนทรอยตอเอลเมนตมทศตรงกนขาม
แตขนาดตางกนดงนนสมดลระหวางเอลเมนตไมได
![Page 199: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/199.jpg)
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress (ตอ)
จากการทดสอบตอไปพบวาม Directional bias เกดขน
Mesh แบบท 1
Mesh แบบท 2
![Page 200: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/200.jpg)
3D Stress element
เรามความจาเปนตองใชเอลเมนตแบบสามมตเมอ วตถ รปแบบของภาระและสภาวะขอบของปญหามความซบซอนทจะวเคราะหปญหาเปนแบบ 2 มตได เอลเมนตพนฐานของระบบสามมตประกอบไปดวย (1) Brick element (2) Tetrahedral element (3) Wedge element
Solid(3D)
• ทแตละโนดจะมระดบความอสระเทากบ
3 คอ u, v, w สมการของเอลเมนตจะเปน
{ } { }ˆ ˆ ˆf k d⎡ ⎤= ⎣ ⎦
ขนาด 24 x 24 สาหรบ Brick element
ขนาด 8 x 1 ขนาด 8 x 1
![Page 201: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/201.jpg)
ขอควรพจารณาในการทาแบบจาลอง
ขอควรพจารณาโดยทวไป เลอกชนดเอลเมนตทเหมาะสม กาหนดสภาวะขอบทเหมาะสม กาหนดสภาวะโหลดทเหมาะสม
Aspect ratio และ รปรางของเอลเมนต
Aspect ratio คอ อตราสวนของสวนทยาวทสดตอสวนทสน ถา Aspect ratio
เพมมากขนจะทาใหความถกตองของคาตอบมคาลดลง ตวอยางดงหนาถดไป
![Page 202: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/202.jpg)
ผลของ Aspect ratio
เชคการกระจดทโนด A
![Page 203: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/203.jpg)
ผลของ Aspect ratio
เชคการกระจดทโนด A
![Page 204: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/204.jpg)
ไมควรใชรปรางของเอลเมนตดงน
![Page 205: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/205.jpg)
ควรใชหลกการของสมมาตรเพอลดขนาดของปญหา
![Page 206: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/206.jpg)
ควรใชหลกการของสมมาตรเพอลดขนาดของปญหา(ตอ)
Cyclic symmetry
![Page 207: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/207.jpg)
ควรแบงเมชใหละเอยดในบรเวณดงตอไปน
![Page 208: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/208.jpg)
ใช semi-infinite element ในการลดขนาดโมเดลใหเลกลง เพราะบรเวณดงกลาว
อยไกลจากโหลดมาก
Semi-infinite element
![Page 209: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/209.jpg)
เมอมการใชชนดของเอลเมนตตางชนดกนใหคานงถงการถายโหลดระหวางกนวา
ถกตองหรอไม
แบบนจะไมมการถายโมเมนตระหวาง
Plane element กบ Beam element
เพราะ Plane element ไมสามารถ
รบภาระแบบโมเมนตไดทจด A
วธแกคอการเพม Beam element AB
เขาไปจะทาใหมการถายโมเมนตได
![Page 210: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/210.jpg)
ในบาง Commercial program เราสามารถใชเทคนคของการ Refinement (h หรอ P)
มาชวยในการทาใหไดคาตอบทดขน
เพม order ของ element ให
สงขน
เพมจานวนของ element ให
มากขน
![Page 211: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/211.jpg)
Mesh convergence
จดประสงคตองการศกษาหาจานวนเอลเมนตทใชในการวเคราะห วาจานวนเอลเมนตทเหมาะสมควรจะมคาเทาไหร ทงนเพอสรางความมนใจวาคาตอบทไดเปนคาตอบทยอมรบได ซงขนตอนนจะเรยกวาเปนการเชค convergence ของคาตอบ
ตวอยางแสดงดงรป โดยเราจะทาการเชคคาเปรยบเทยบคาตอบสามคา
1) การขจดทดานลางของร
2) Peak Von Mises stress ทคาจน
3) Peak Von Mises stress ทผวภายในร
![Page 212: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/212.jpg)
Mesh convergence (ตอ)
รปแบบของการแบงเมช
![Page 213: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/213.jpg)
Mesh convergence (ตอ)
22.5496.E6345.E63.15E–4Very fine
2.7426.E6332.E63.14E–4Fine
1.0365.E6311.E63.13E–4Normal
0.26205.E6180.E62.01E–4Coarse
Relative CPU time (sec)
Stress at attachment
Stress at bottom of
hole
Displacement of bottom
of hole
Mesh
![Page 214: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/214.jpg)
Mesh convergence (ตอ)
![Page 215: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/215.jpg)
Mesh convergence (ตอ)Locally refined mesh
3.44346.E63.14E–4Locally refined
22.5345.E63.15E–4Very fine
Relative CPU time
Stress at bottom of
hole
Displacement of bottom of
holeMesh
![Page 216: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/216.jpg)
ตวอยางการวเคราะหทนาสนใจ
Woman’s bra
![Page 217: ( Finite Element Method, FEM ] - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/box/2_54/435301/IntroductionFEM.pdf · ระเบียบวิธีไฟไนต เอลิเมนต ( Finite](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012405/5b3ed2507f8b9af46b8b5bce/html5/thumbnails/217.jpg)
ตวอยางการวเคราะหทนาสนใจ(ตอ)
รองเทาสาหรบผปวยโรคเบาหวาน