Download - ติวสบายคณิต (เพิ่มเติม) บทที่ 02 ระบบจำนวนจริง

ตวสบายคณต เลม 1 http://www.pec9.com บทท 2 ระบบจ านวนจรง

1

บทท 2 ระบบจ ำนวนจรง

2.1 จ ำนวนจรง

จ ำนวนทเรำใชในวชำคณตศำสตรมหลำยประเภท ซงสำมำรถจ ำแนกแยกประเภทไดดงน

จ ำนวนจรง ( R ) คอจ ำนวนทสำมำรถเขยนแสดงบนบนเสนจ ำนวนได เชน –3 , – 35 , 0

, 0.5 , 3 , o33. เปนตน

จ ำนวนตรรกยะ ( Q ) คอจ ำนวนจรงทสำมำรถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจ ำนวนเตมโดยทสวนไมเปนศนย ไดแกจ ำนวนเตม เศษสวน จ ำนวนอยในรปทศนยมธรรมดำและทศนยมซ ำ

เชน 8 , –6 , 0 , 43 , 4.3 ,

o33. เปนตน จ ำนวนเหลำนสำมำรถเขยนใหอยในรปเศษสวนของ

จ ำนวนเตมไดเสมอจงเปนจ ำนวนตรรกยะ เชน

8 = 18 , –6 = – 1

6 , 0 = 10 , 4.3 = 10

43 , o33. = 9

33

จ ำนวนตรรกยะ ( Q/ ) คอจ ำนวนจรงทไมสำมำรถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจ ำนวนเตมได เชน 3 , 5 +2 , p เปนตน 3 = 1.7320508…… มคำเปนจ ำนวนทศนยมไมซ ำและไมรจบ จงเขยนเปนเศษสวนไมได

p = นยกลางเสนผานศ

ลมเสนรอบวงก ปจจบนยงหำคำทแนนอนไมได จงเขยนเปนเศษสวนไมได

จ ำนวนเชงซอน ( C )

จ ำนวนจรง ( R )

จ ำนวนตรรกยะ ( Q )

จ ำนวนอตรรกยะ ( Q)

จ ำนวนเตม ( I ) จ ำนวนไมเตม ( I)

จ ำนวนเตมบวก ( I+ ) หรอจ ำนวนนบ ( N )

จ ำนวนเตมลบ ( I– ) จ ำนวนเตมศนย ( 0 )

จ ำนวนจนตภำพ

–3 –2 –1 0 1 2 3 –3 – 35 0 0.5 3

o33.

http://www.pec9.com/pec9v3/watch?v=12777&list=219




























2

จ ำนวนตรรกยะ ( Q ) ยงแบงไดเปนจ ำนวนเตม ( I ) และจ ำนวนทไมใชจ ำนวนเตม ( I/ ) จ ำนวนเตม ( I ) ยงแบงเปนจ ำนวนเตมบวก (I) , จ ำนวนเตมลบ (I/) และจ ำนวนเตมศนย (0) จ ำนวนเตมศนย (0) ไมใชจ ำนวนเตมบวกหรอจ ำนวนเตมลบ จ ำนวนเตมบวก เรยกอกอยำงวำจ ำนวนนบ ( N ) เพรำะเปนจ ำนวนทใชในกำรนบจ ำนวนคน สตว สงของใดๆ

1. จ ำนวนทก ำหนดใหตอไปน มกจ ำนวนทเปนจ ำนวนตรรกยะ 8 , 0 , –2 , 3

4 , 1.2693 , 95. , 3 , 1+ 3 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 2. 95. มคำเปนเชนไรเมอเทยบกบ 6 1. นอยกวำ 2. มำกกวำ 3. เทำกบ 4. เทยบไมได 3(แนว O-net) พจำรณำขอควำมตอไปน

(ก) มจ ำนวนตรรกยะทมำกทสดทนอยกวำ 6 (ข) มจ ำนวนอตรรกยะทมำกทสดทนอยกวำ 6

ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก (ข) ถก 2. (ก) ถก (ข) ถก 3. (ก) ผด (ข) ถก 4. (ก) ผด (ข) ผด


















3

2.2 สมบตของระบบจ ำนวนจรง สมบตของจ ำนวนจรงเกยวกบกำรบวก

สมบต ควำมหมำย ตวอยำง 1. ปด ถำ a , b R แลว a + b R 1 , 2 R ดงนน 1 + 2 R 2. กำรสลบท a + b = b + a 1 + 2 = 2 + 1 3. กำรเปลยนหม a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 1 + ( 2 + 3 ) = ( 1 + 2 ) + 3 4. กำรมเอกลกษณ มจ ำนวนจรง 0 ซง 0 + a = a = a + 0 0 + 5 = 5 = 5 + 0 5. กำรมอนเวอรส ส ำหรบจ ำนวนจรง a จะมจ ำนวนจรง –a

ท (–a) + a = 0 = a + (–a) (–3) + 3 = 0 = 3 + (–3)

สมบตจ ำนวนจรงเกยวกบกำรคณ

สมบต ควำมหมำย ตวอยำง 1. ปด ถำ a , b R แลว a .b R 1 , 2 R ดงนน 1 x 2 R 2. กำรสลบท a . b = b . a 1 x 2 = 2 x 1 3. กำรเปลยนหม a ( b . c ) = ( a . b ) . c 1 x ( 2 x 3 ) = ( 1 x 2 ) x 3 4. กำรมเอกลกษณ มจ ำนวนจรง 1 ซง 1 . a = a = a . 1 1 x 5 = 5 = 5 x 1 5. กำรมอนเวอรส ส ำหรบจ ำนวนจรง a ท a ≠ 0 จะมจ ำนวน

จรง a–1 ท (a–1) a = 1 = a ( a–1 ) ( 3

1 ) x 3 = 1 = 3 x ( 31 )

นอกจำกนยงมสมบตทเกยวกบทงกำรบวกและกำรคณ ซงไดแกคณสมบตกำรแจกแจง กลำวคอ a (b + c ) = ab + ac เชน 3 ( 2 + 5 ) = 3 (2) + 3 (5)

4. ตวเลอกใดตอไปนเปนจรงตำมคณสมบตกำรมอนเวอรสส ำหรบกำรบวกจ ำนวนจรง 1. (–6) + 0 = –6 2. [2 + (c + d)] + 3(c + d)] = 2 + [(c + d) + 3 (c + d)] 3. – 7

1 + 71 = 0

4. 2 + (m + 1) = 2 + (1 + m)


















































4

5. ตวเลอกใดตอไปนเปนจรงตำมคณสมบตปดของกำรคณจ ำนวนจรง 1. 3

1 (2 + 7) = (2 + 7) 31 2. (–5) (

51 ) = 1

3. 1 x = x เมอ x คอจ ำนวนจรงใดๆ 4. ผลลพธของ 7 ( –3) เปนจ ำนวนจรง

6. ขอใดตอไปนเปนจรงตำมสมบตของกำรกระจำยจ ำนวนจรง 1. q x 37 = 37 x q 2. (2 + 3) p = 2 p + 3 p 3. 6 + (5 + y) = (6 + 5) + y 4. (2 + 3) (5 + 6) = (5 + 6) (2 + 3)

7. จงหำอนเวอรสกำรบวกของจ ำนวน ( a + b ) ตรงกบขอใดตอไปน 1. – a + b 2. a – b 3. –a – b 4. a + b










5

8. ให a , b เปนจ ำนวนจรงใดๆ และ a * b = a – b + 1 จงพจำรณำขอควำมทก ำหนดให ตอไปนวำเปนจรงกขอ ก. a * b = b * a ข. ( a * b ) * c = a * ( b * c ) ค. เซตของจ ำนวนจรงกบ * มสมบตปด ง. เซตของจ ำนวนจรง มเอกลกษณของ * จ. ส ำหรบจ ำนวนจรง a ใดๆ มจ ำนวนจรงทเปนอนเวอรสของ a

1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. 4 ขอ

2.3 ทฤษฏบทเศษเหลอ และกำรแกสมกำรพหนำมตวแปรเดยว

2.3.1 ทฤษฏบทเศษเหลอ ทฤษฏบทเศษเหลอ “ เมอ p(x) เปนพหนามใดๆ ถาหาร p(x) ดวยพหนาม x – c แลวเศษจากการหารจะเทากบ p(c) เมอ c เปนจ านวนจรง ” เราใชทฤษฏบทเศษเหลอหาเศษเหลอจากการหารพหนามไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยำง จงหาเศษทเหลอจากการหาร p(x) = x3 + x2 + 4x + 1 ดวย x – 1 แนวคด ขนท 1 ให x – 1 = 0 จะได x = 1

ขนท 2 จาก p(x) = x3 + x2 + 4 x + 1 ( แทนคา x = 1 ) จะได p(1) = (1)3 + (1)2 + 4( 1 ) + 1 p(1) = 7 นนคอเศษทเหลอจากการหารมคาเทากบ 7











6

9. เศษเมอหาร x3 – 7x2 + 11x – 4 ดวย x – 3 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –5 2. –6 3. –7 4. –8 10. เศษเมอหาร x3 + x2 + 4x + 1 ดวย x มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3 3. 5 4. –5 11. เศษเมอหาร 4x4 – 3x2 + 8 ดวย x2 – 3 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 40 2. 35 3. 30 4. 25








7

12. คา a ทท าให x – 2 หาร x2 – 7x + a ลงตวพอด มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 10 3. 15 4. 20 13(แนว มช) ถาพหนาม p(x) = 6x3 + ax2 + bx – 1 ม (x – 1) เปนตวประกอบ และเมอหาร ดวย ( x + 1) จะเหลอเศษ –24 แลว a b จะมคาเทากบขอใด 1. 44 2. –44 3. 66 4. –66

2.3.2 กำรแกสมกำรพหนำมตวแปรเดยว สมกำรพหนำมตวแปรเดยว คอสมกำรทเขยนอยในรป an xn + an–1 xn + an+2 xn+2 + …… + a1 x + a0 = 0 เมอ n เปนจ ำนวนเตมบวก กำรแกสมกำรพหนำมทมดกรสง (ตงแตดกร 3 ขนไป ) สำมำรถท ำไดดงตวอยำงตอไปน





8

14. ค าตอบของสมการ x3 + x2 – 8x – 12 = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –3 < x < 4 2. –2 < x < 3 3. –1 < x < 5 4. 0 < x < 6

15. เซตค าตอบของสมการ x3 – 10x2 + 27x = 18 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 2. { 5 , 6 , 9 , 13 , 15 } 3. { 1 , 3 , 6 , 9 , 12 } 4. { 1 , 2 , 5 , 6 , 9 } 16(แนว มช) ค ำตอบของสมกำร x3 – x2 – 5x – 3 = 0 ทสอดคลองกบเงอนไข x2 > 2 อย ในชวงขอใดตอไปน 1. –3 < x < 0 2. –2 < x < 3 3. 0 < x < 5 4. –1 < x < 1 17. ค าตอบของสมการ 1 – 3x2 + 2x3 = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –1 < x < 2 2. 0 < x < 1 3. –3 < x < 0 4. 0 < x < 6












9

18. ค าตอบของสมการ 2x4 – 13x3 + 28x2 = 23x – 6 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –5 < x < 0 2. 0 < x < 5 3. –4 < x < 2 4. –3 < x < 3 19. ค าตอบของสมการ x3 + 5x2 + 6x = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –3 < x < 2 2. –2 < x < 1 3. –4 < x < 1 4. 0 < x < 3

20. ค าตอบของสมการ x3 – 5x2 – 16x + 80 = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –5 < x < 0 2. –6 < x < 6 3. –4 < x < 8 4. 0 < x < 10








10

21(แนว PAT1) ผลบวกของต ำตอบของสมกำร 2x3 – 7x2 + 7x –2 = 0 เทำกบขอใดตอไปน 1. 3.0 2. 3.5 3. 4.0 4. 4.5 22(แนว En) เซตในขอใดตอไปนเปนเซตค ำตอบของสมกำร 9x3 + 12x2 + x – 2 = 0 1. { – 2 , 3

1 , 23 } 2. { – 1 , – 3

1 , 21 }

3. { – 1 , 31 , 3

2 } 4. { – 1 , – 32 , 3

1 }

23. ให a เปนจ ำนวนเตม ถำ x – a หำร x3 + 2 x2 – 5x – 2 เหลอเศษ 4 แลวผลบวกของ คำ a ทงหมดทสอดคลองกบเงอนไขดงกลำวเทำกบขอใดตอไปน 1. –6 2. –2 3. 3 4. 6










11

2.4 สมบตของกำรไมเทำกน สมบตบำงประกำรของกำรไมเทำกน

ให a , b , c เปนจ ำนวนจรงใดๆ 1) สมบตกำรถำยทอด ถำ a > b และ b > c แลว a > c

เชน 10 > 8 และ 8 > 7 จะไดวำ 10 > 7 2) สมบตกำรบวกดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a > b แลว a + c > b + c เชน 2 > 1 จะได 2 + 4 > 1 + 4

นนคอ 6 > 5 3) สมบตกำรคณดวยจ ำนวนทเทำกน

3.1) ถำ a > b แลว a c > b c เมอ c > 0 เชน 2 > 1 จะได 2 x 4 > 1 x 4

นนคอ 8 > 4 3.2) ถำ a > b แลว a c < b c เมอ c < 0 เชน 2 > 1 จะได 2 x (–5) < 1 x (–5)

นนคอ – 10 < – 5 3.3) ถำ a > b แลว a c = b c เมอ c = 0 เชน 2 > 1 จะได 2 x 0 = 1 x 0

นนคอ 0 = 0 4) ถำ a < b และ c < d แลว a + c < b + d

5) ถำ a < b และ c < d แลว a – d < b – c 6) ถำ 0 < a < b และ 0 < c > d แลว ac < bd

7) ถำ 0 < a < b และ 0 < c > d แลว da < cb

8) ถำ 0 < a < b แลว a1 < b1


12

2.5 ชวงและกำรแกอสมกำร 2.5.1 ชวง

บทนยำม เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจ ำนวนจรง และ a < b ชวงเปด ชวงปด

ชวงครงเปด ชวงครงเปด

ชวง ชวง ชวง ชวง ชวง

(a , b) [a , b]

(a , b] [a , b)

(a , ) [a , )

(– , a) (– , a] (– , )

หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง

{ x a < x < b } { x a x b } { x a < x b } { x a x < b } { x x > a} { x x a} { x x < a } { x x a } เซตของจ ำนวนจรง R

ฝกท ำ จงเขยนชวงตอไปนในรปของเซต พรอมทงแสดงชวงดวยกรำฟบนเสนจ ำนวน

1. ( –2 , 1)

2. [ 4 , 7 ] 3. [ –3 , 1 ) 4. ( –3 , 0 ]

เฉลย 1) –2 < x < 1

2) 4 x 7

3) –3 x < 1

4) –3 < x 0

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 1 0 1 2

3 4 5 6 7 8

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2

4 5 6 7 8 9

a b

a b

a b

a b

a a

a

a

-3 -2 1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2




























































13

24. ถา A = (–1 , 2) , B = [0 , 4] ชวงค าตอบของ A B คอขอใดตอไปน 1. ( –1 , 4 ] 2. ( –1 , 5 ] 3. ( –1 , 6 ] 4. ( –1 , 7 ]

25. ถา A = (–1 , 2) , B = [0 , 4] ชวงค าตอบของ A B คอขอใดตอไปน 1. [0 , 1) 2. [0 , 2) 3. [0 , 3) 4. [0, 4) 26. ถา A = (–1 , 2) , B = [0 , 4] ชวงค าตอบของ A – B คอขอใดตอไปน 1. (–1 , –2) 2. (–1 , –1) 3. (–1 , 0) 4. (–1 , 1) 27. ถา A = (–1 , 2) , B = [0 , 4] ชวงค าตอบของ B – A คอขอใดตอไปน 1. [1 , 2] 2. [1 , 4] 3. [2 , 2] 4. [2 , 4]










14

ฝกท ำ จงเขยนชวงตอไปนในรปของเซต พรอมทงแสดงชวงดวยกรำฟบนเสนจ ำนวน 1. ( 1 , ) 2. [ 0 , ) 3. ( – , 1 )

4. ( – , –2 ]

เฉลย

1) x > 1

2) x ≥ 1

3) x < 1

4) x –2

28. ถา A = (– , 2) , B = [0 , ) ชวงค าตอบของ A B คอขอใดตอไปน 1. [0 , 1) 2. [0 , 2) 3. [0 , 3) 4. [0, 4)

-3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2























15

29. ถา A = (–1 , 2) ชวง A คอขอใดตอไปน 1. (– , 1] [2 , ) 2. (– , 0] [2 , ) 3. (– , –1] [2 , ) 4. (– , 1] [2 , )

2.5.2 กำรแกอสมกำรตวแปรเดยวดกร 1 กำรแกอสมกำรพหนำมดกรหนงตวแปรเดยว สำมำรถท ำไดโดยใชวธคณไขวยำยขำงคลำยกำรแกสมกำร แตตองระวงวำหำกมกำรคณตลอดดวยจ ำนวนทมคำเปนลบ ตองเปลยนเครองหมำยอสมกำรดวยเสมอ ดงแสดงในโจทยตวอยำงตอไปน

30. เซตค ำตอบของอสมกำร 4 x + 2 x + 7 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ) 2. ( – , 3

5 ) 3. ( 35 , ) 4. ( 2 , )

31. เซตค ำตอบของอสมกำร 2x – 1 x + 9 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ) 2. ( – , 10 ) 3. ( 10 , ) 4. ( 2 , )













16

32. เซตค ำตอบของอสมกำร 8x – 5 3x + 15 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ] 2. ( – , 4 ] 3. [ 4 , ) 4. [ 10 , ) 33. เซตค ำตอบของอสมกำร 3x – 2 x คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ] 2. ( – , 1 ] 3. [ 0 , ) 4. [ 2 , ) 34. เซตค ำตอบของอสมกำร 8 – 3x x คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ) 2. ( – , 2 ) 3. ( 0 , ) 4. ( 2 , ) 35. เซตค ำตอบของอสมกำร 5 – 3m 19 + 4m คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ] 2. (– , 2 ) 3. [–2 , ) 4. [2 , )










17

36. เซตค ำตอบของอสมกำร 6 – 3m 3m คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ] 2. ( – , 1 ] 3. [ 0 , ) 4. [ 2 , ) 37. ชวงค ำตอบของอสมกำร 6x – 7 > 6 (5 + x) เทำกบขอใดตอไปน 1. 2. (–13 , 13) 3. (–,–13) (13 , ) 4. (– , )

38. ชวงค ำตอบของอสมกำร 8x – 3 < 8 (x + 1) เทำกบขอใดตอไปน 1. 2. (–7 , 7) 3. (– , –7) (7 , ) 4. (– , )








18

2.5.3 กำรแกอสมกำรตวแปรเดยวดกรสง วธการแกอสมการตวแปรเดยวดกรสง ใหศกษาจากตวอยางตอไปน

39. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 5x + 6 < 0 คอเซตขอใดตอไปน 1. (–∞ , 3 ) 2. ( 2 , 3 ) 3. (0 , 5) 4. (2 , ∞) 40. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 7x + 12 0 คอเซตขอใดตอไปน 1. (–∞ , 5 ] 2. (3 , 4) 3. [ 3 , 4 ] 4. [2 , ∞) 41. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 3x – 10 > 0 คอเซตขอใดตอไปน

1. ( –∞ , –2 ) ( 5 , ∞ ) 2. ( –∞ , –6 ) ( 1 , ∞ ) 3. ( –∞ , –2 ] [ 5 , ∞ ) 4. ( –∞ , –6 ] [ 1 , ∞ )









19

42. เซตค ำตอบของอสมกำร 5x 6 – x2 คอเซตขอใดตอไปน 1. ( –∞ , –2 ) ( 5 , ∞ ) 2. ( –∞ , –6 ) ( 1 , ∞ ) 3. ( –∞ , –2 ] [ 5 , ∞ ) 4. ( –∞ , –6 ] [ 1 , ∞ )

43. เซตค ำตอบของอสมกำร x3 – 3x2 10x คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –2 ] [0 , 5 ] 2. [–2 , 0 ] [5 , ) 3. [–2 , 5 ] 4. [0 , 2]

44. เซตค ำตอบของอสมกำร x (x2 + 4) < 5x2 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , 0 ) (1 , 4 ) 2. (0 , 1 ) (4 , ) 3. (0 , 4 ) 4. (1 , 4 )











20

45. เซตค ำตอบของอสมกำร x3 – x > 2x2 – 2 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –1 ) (1 , 2) 2. (–1 , 1) (2 , ) 3. (–1 , 2 ) 4. (1 , 2 ) 46(แนว มช) ให A เปนเซตค ำตอบของอสมกำร 3y2 – 2y – 5 0 คอมพลเมนตของ A คอขอใด 1. [–1 , 3

5 ] 2. [ 35 , 1 ]

3. ( – , 35 ) (1 , ) 4. ( – , –1) ( 3

5 , )

สงตองทรำบเพมเตมเกยวกบกำรแกอสมกำรโดยใชเสนจ ำนวน 1) อสมการพหนามทจะแกโดยวธนได ตองเรยงล าดบตวแปรจากตวแปรทมก าลงสงไปหาตวแปรทมก าลงนอย และตวแปรทอยหนาสดตองมคาสมประสทธเปนบวกเทานน 2) กรณทโจทยอยในรปเศษสวน ตองระวงวาค าตอบทไดตองไมท าใหสวนเปน 0 3) ตวแปรทไมทราบคาวาเปนบวกหรอเปนลบหามคณไขว 4) ตวแปรซงยกก าลงจ านวนเตมคใหคดเปนตวแปรยกก าลง 1 ตวแปรรปยกก าลงดวยจ านวนเตมค ชวงทอยตดกบจดวกฤตทเกดจากตวแปรยกก าลงคนนใหใชเครองหมายบวกหรอลบเหมอนกนทงชวงทตดดานซายและดานขวา และทจดวกฤตนนใหเตมจดดวยเสมอ








21

47. เซตค ำตอบของอสมกำร 6x – x2 5 คอเซตในขอใดตอไปน 1. [ 2 , 3 ] 2. [1 , 5] 3. [1 , 3] 4. [3 , 5] 48. เซตค ำตอบของอสมกำร 9 – x2 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –3] 2. (– , –3] [3 , ) 3. [3 , ) 4. [–3 , 3]

49. เซตค ำตอบของอสมกำร 4) (x 5) (x

0 คอเซตในขอใดตอไปน

1. (– , 4) 2. (4 , 5) 3. [4 , 5] 4. (4 , 5]








22

50. เซตค ำตอบของอสมกำร 2) (x 3) (x 1) (x


1. (– , –3 ] [1 , 2 ) 2. (– , 1 ] [2 , 3 ) 3. (– , –2 ] [1 , 3 ) 4. (– , –3 ] [–2 , –1 )

51. เซตค ำตอบของอสมกำร x 12 2x > 7 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 3 ) 2. (– , 0) ( 3 , 4) 3. ( 4 , ) 4. (0 , 3) ( 4 , )

52. จ ำนวนเตมนอยทสดในเซตค ำตอบของอสมกำร 4 x 6 x + 1 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –2 2. –1 3. 4 4. 5










23

53. เซตค ำตอบของอสมกำร 1 x 1

4) (x 1

คอเซตในขอใดตอไปน

1. (– , 1) (4 , ) 2. (– , –4) (–1 , ) 3. (1 , 4) 4. (–4 , –1) 54. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)3 (x + 2)4 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (–∞ , 1) 2. (–∞ , ∞) 3. (–∞ , –2) (–2 , 1) 4. {–2} (1 , ∞)

55. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)3 (x + 2)4 > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (–1 , 0) 2. (1 , ∞) 3. (–∞ , 1) 4. (–1 , 1)










24

56. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)3 (x + 2)4 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (–∞ , 1) 2. (–∞ , ∞) 3. (–∞ , –2) (–2 , 1) 4. (–2 , ∞) 57. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)3 (x + 2)4 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (–∞ , 1] 2. (–∞ , ∞) 3. (–∞ , –2] [–2 , 1] 4. {–2} [1 , ∞)

58. เซตค ำตอบของอสมกำร (x + 2) (x – 3)6 (x – 5) < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. { –3 } ( –2 , 5 ) 2. (–2 , 5 ) 3. { –2 } ( 3 , 5 ) 4. (–2 , 3 ) (3 , 5 )











25

59. เซตค ำตอบของอสมกำร 3) (x 71) (x 7) (x 22) (x


1. [ 3 , 7 ] 2. (– , 1 ) (3 , 7 ] 3. (– , 0 ] 4. (– , 1 ) {2} (3 , 7 ] 60. เซตค ำตอบของอสมกำร (2x + 1)3 (x + 1)5 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( –1 , – 21 ) 2. (– , –1 ] [– 21 , ) 3. (– , –1 ) 4. (– 21 , ) 61. เซตค ำตอบของอสมกำร x3 – x2 – x + 1 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. [ –1 , ) 2. (– , –1 ] [ 0 , ) 3. (– , –1 ] 4. (– , 0 ] [ 1 , )











26

62. เซตค ำตอบของอสมกำร 15) 2x 2(x

6) x 210)(x 3x 2(x

0 คอขอใดตอไปน

1. [–3 , 3) 2. (–∞ , –3] (3 , ∞) 3. (–∞ , –3] {2} (3 , ∞) 4. (–∞ , –5) (–5 , –3] {2} (3 , ∞)

63. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 + 2 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 2 ) ( 2 , ) 2. (– 2 , 2 ) 3. 4. R 64. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 + 5 > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 5 ) ( 5 , ) 2. (– 5 , 5 ) 3. 4. R











27

65. เซตค ำตอบของอสมกำร (x2 + 5) (x – 2) (x – 6) 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 2 ) (6 , ) 2. [2 , 6] 3. 4. R

66. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 3x – 1 < x + 2 < 5 มกจ ำนวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

67. จ ำนวนเตมบวกทไมเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร –2x – 5 < 7 < 3x – 2 มก จ ำนวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4










28

68. เซตค ำตอบของอสมกำร x < x2 – 12 < 4 x คอเซตในขอใดตอไปน 1. (4 , 6) 2. (5 , 6) 3. (6 , 6) 4. (7 , 6)

2.6 คำสมบรณ

คำสมบรณของจ ำนวนจรง a ใดๆ หมำยถงระยะหำงจำกจด 0 ถงจ ำนวนจรง a นน บนเสนจ ำนวน เชน 2 = 2 –3 = 3 –1 = 1 0 = 0

สมบตบำงประกำรของคำสมบรณ

1. x =

บ เปนจ านวนลx เมอx

ย วกหรอศนเปนจ านวนบx เมอx

2. x 0 3. x x 4. x = –x 5. x . y = x y 6. yx = y

x

7. x – y = y – x 8. x 2 = x2 = x2

9. ถำ x a จะไดวำ –a x a ถำ x a จะไดวำ –a x a ถำ x a จะไดวำ x –a x a ถำ x a จะไดวำ x –a x a

–3 –2 –1 0 1 2 3


















29

69. ถำ x > 0 และ y < 0 แลว x y มคำเทำกบเทำใด 1. x y 2. –x y 3. x y 4. x y 70. ถำ b < a แลว b – a เทำกบขอใด 1. b – a 2. a + b 3. –a –b 4. a – b 71. ถำ x + y > z แลว x + y – z เทำกบขอใด 1. x + y – z 2. x + y + z 3. x – y – z 4. x – y + z








30

2.7 กำรแกสมกำรและอสมกำรในรปคำสมบรณ

2.7.1 กำรแกสมกำรพหนำมเกยวกบคำสมบรณ วธกำรแกสมกำรพหนำมซงอยในรปคำสมบรณใหศกษำจำกโจทยตวอยำงตอไปน

72. ค ำตอบของสมกำร x + 1 = 10 อยในชวงขอใดตอไปน 1. ( – , –11) 2. ( – , 0) 3. ( –12 , 12) 4. ( 0 , 20) 73. ค ำตอบของสมกำร 2x – 4 = 16 อยในชวงขอใดตอไปน 1. ( – , –11) 2. ( – , 0) 3. ( –12 , 12) 4. ( 0 , 20)






31

74. เซตค ำตอบของ 2x + 6 = x มสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 75. เซตค ำตอบของ x = 2x – 3 มสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 76. เซตค ำตอบของ x – 2 = x + 3 มสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3








32

77. เซตค ำตอบของ x 2 – 2 x – 24 = 0 มสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 78. เซตค ำตอบของ x 2 + x – 72 = 0 มสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 2.7.2 กำรแกอสมกำรพหนำมเกยวกบคำสมบรณ วธกำรแกอสมกำรคำสมบรณใหศกษำจำกโจทยตวอยำงตอไปน

79. เซตค ำตอบของอสมกำร x – 2 < 1 คอขอใดตอไปน 1. [ – , 1] 2. [ – , 3] 3. [1 , 3] 4. [3 , ]








33

80. เซตค ำตอบของอสมกำร 2x + 3 7 คอขอใดตอไปน 1. [ – , –5] 2. [ – , 0] 3. [–5 , 2] 4. [2 , ] 81. เซตค ำตอบของอสมกำร x – 9 5 คอขอใดตอไปน 1. (– , 4 ] [ 10 , ) 2. (– , 4 ] [ 14 , ) 3. (– , 6 ] [ 10 , ) 4. (– , 6 ] [ 14 , ) 82. เซตค ำตอบของอสมกำร x + 3 > 5 คอขอใดตอไปน 1. (–8 , 2) 2. (2 , 8) 3. (– , –8) (2 , +) 4. (– , 2) (8 , +)











34

83. เซตค ำตอบของอสมกำร x (x – 5) 6 คอขอใดตอไปน 1. (– , 3) (6 , ) 2. (– , –1) (2 , 3) (6 , )

3. (– , –1) (6 , ) 4. (– , )

84. เซตค ำตอบของอสมกำร 3x + 4 x + 2 คอขอใดตอไปน 1. (– , – 2

3 ] 2. (– , –1 ] 3. [– 23 , –1 ] 4. (–1 , )

85. เซตค ำตอบของอสมกำร 2x + 1 3x + 2 คอขอใดตอไปน 1. (– 3

2 , – 21 ) 2. (– 3

2 , 21 ) 3. (– 2

1 , 32 ) 4. (– 5

3 , )









35

86. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 5x + 2 2 คอขอใดตอไปน 1. (– , 5 ) 2. (0 , 1 ) (4 , 5) 3. (5 , ) 4. (– , 0) (1 , 4) (4 , ) 87. เซตค ำตอบของอสมกำร x – 4 x – 2 คอขอใดตอไปน 1. (– , 3 ] 2. (– , 4 ] 3. (3 , ) 4. (4 , ) 88. เซตค ำตอบของอสมกำร x + 1 > x – 3 คอขอใดตอไปน 1. (– , –1 ] 2. (– , 3 ] 3. (–1 , 3 ) 4. (– , )









36

89. จ ำนวนเตมลบทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร x x – 1 มกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 90. จ ำนวนเตมลบทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 3 x – 2 x + 6 มกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

91(แนว En) เซตค ำตอบของ 2 x 1 x

> 2 คอเซตหรอชวงในขอใดตอไปน

1. 2. (2 , 3) 3. (–1 , 2) (2 , 7) 4. ( 35 , 2) (2 , 3)








37

92. จ ำนวนเตมลบทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร x4x 3 มกจ ำนวน

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

93. ค ำตอบของอสมกำร 3 – x < 1 คอชวงในขอใดตอไปน 1. (–4 , –2) (2 , 4) 2. (–4 ,–2) (3 , 4) 3. (–4 , –2) (4 , 4) 4. (–4 ,–2) (5 , 4)

94. จ ำนวนเตมลบทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร xx

– 8 < x มกจ ำนวน 1. 6 2. 7 3. 8 4. 9







38

95. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 1 x x 1 3

< – x มกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

96. ชวงค ำตอบของอสมกำร 5x5x + 2 > x คอขอใดตอไปน

1. (– , 2) – {–5 } 2. (– , 3) – {–5 } 3. (– , 4) – {–5 } 4. (– , 5) – {–5 } 97. ในชวงค ำตอบของอสมกำร x + 2 3 + x – 3 มจ ำนวนเตมบวกอยกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

98. เซตค ำตอบของสมกำร x + 3 + x – 1 = 6 มสมำชกอยกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


39

ตะลยโจทยท วไป บทท 2 ระบบจ ำนวนจรง

2.1 จ ำนวนจรง 1. ขอควำมตอไปน ขอใดเปนจรงตำมสมบตของจ ำนวนจรง

1) 6 + (3 ×2) = (6 + 3) ×2 2) x – (y – z) = (x – y) – z 3) x – y = y – x 4) 5p + 5q = 5 (p + q)

2. ขอใดไมถกตอง 1. อนเวอรสกำรบวกของ 7 คอ –7 2. อนเวอรสกำรคณของ 8 คอ 8

1 3. อนเวอรสกำรบวกของ 2

9 คอ 29 4. อนเวอรสกำรคณของ 3

5 คอ 53

2.2 สมบตของระบบจ ำนวนจรง

3. ตวเลอกใดตอไปนเปนจรงตำมคณสมบตกำรมเอกลกษณกำรคณจ ำนวนจรง 1. ( 3 x 8 ) x 5 = ( 8 x 3 ) x 5 2. ( 3 x 2 ) x 4 = 3 x ( 2 x 4 )

3. 32 x 1 = 32 4. 4 x 41 = 1

2.3 ทฤษฏบทเศษเหลอ และกำรแกสมกำรพหนำมตวแปรเดยว

2.3.1 ทฤษฏบทเศษเหลอ

4. เมอหำร x3 – 4x2 + 6x – 4 ดวย x – 2 จะเหลอเศษเทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. 4 3. 5 4. 7

5. เมอหำร p(x) = 2x3 – x2 + x + 7 ดวย x – 2 จะเหลอเศษเทำกบขอใดตอไปน 1. 21 2. 28 3. 36 4. 44

6. เมอหำร p(x) = 5x3 – x2 + 3x + 4 ดวย x + 1 จะเหลอเศษเทำกบขอใดตอไปน 1. –10 2. –7 3. –5 4. 4

7. เมอหำร p(x) = 2x5 + 3x4 + 4x3 + 5x2 + 6x +7 ดวย x + 1 จะเหลอเศษเทำกบขอใด ตอไปน

1. –1 2. 1 3. 2 4. 3




















40

8. เมอหำร p(x) = 4x3 + 5x2 – 4x ดวย 2 x – 3 จะเหลอเศษเทำกบขอใดตอไปน 1. – 4

75 2. – 455 3. 4

55 4. 475

9. เมอหำร 9x4 – 4x2 + 16 ดวย x2 – 2 จะเหลอเศษเทำกบขอใดตอไปน 1. 22 2. 28 3. 36 4. 44

10. คำ a ทท ำให x – 3 หำร x3 – 2x2 + 7x + a เหลอเศษ 4 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –26 2. –13 3. 13 4. 26

11. คำ a ทท ำให x – 3 หำร 3x3 – 7x2 – 9x – a ลงตว มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –13 2. –9 3. 9 4. 13

12. คำ a ทท ำให 3x – 5 หำร 3x2 – ax + 10 ลงตว มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 9 2. 11 3. 15 4. 33

13. คำ a ทท ำให x – a หำร x2 – x – 6 ลงตว มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –3 2. –2 3. 3 4. 3 , –2

14. ถำ (x – 1) และ (x – 3) ตำงหำร a x3 + b x2 – 5 x + 6 ลงตวแลว a b มคำเทำไร 1. –3 2. –2 3. 3 4. 5

15. ถำ p (x) = a x3 – x2 – b x + 4 ม (x – 2) เปนตวประกอบ และเมอหำร p (x) ดวย (x + 1) แลวเหลอเศษ 6 แลว ab มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –4 2. –2 3. 2 4. 4

16. ถำ (x + 4) , (x – 3) , (x – 2) เปนตวประกอบของ p (x) = a x3 + b x2 + c x + 24 แลว 7 (a + b) + c มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. –14 2. –7 3. 7 4. 14

2.3.2 กำรแกสมกำรพหนำมตวแปรเดยว

17. ผลรวมของค ำตอบต ำสดและสงสดของสมกำร x3 + 4x2 + x – 6 = 0 มคำเทำกบขอใด ตอไปน 1. –3 2. –2 3. 2 4. 3

























41

18. ผลรวมของค ำตอบต ำสดและสงสดของสมกำร x3 –2x2 –5x + 6 = 0 มคำเทำกบขอใด ตอไปน 1. –5 2. –1 3. 1 4. 2

19. ผลรวมของค ำตอบต ำสดและสงสดของสมกำร x3 –19x + 30 = 0 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –3 2. –2 3. 2 4. 3

20. ค ำตอบของสมกำร x3 – 7x – 6 = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –5 x 0 2. 0 x 5 3. –4 x 4 4. –3 x 1

21. ผลรวมของค ำตอบต ำสดและสงสดของสมกำร x4 –2x3 –13x2 + 14x + 24 = 0 เทำกบขอใด 1. –3 2. –1 3. 1 4. 3

22. ค ำตอบของสมกำร 3x4 – 8x3 + x2 +8x = 4 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –5 x 0 2. 0 x 5 3. –4 x 2 4. –3 x 1

23. ค ำตอบของสมกำร 2x3 + 7x2 + 5x = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –3 x 0 2. 0 x 5 3. –1 x 4 4. 0 x 7

24. ค ำตอบของสมกำร 3x3 + 2x2 – 12x – 8 = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –5 x 0 2. 0 x 5 3. –4 x 4 4. –3 x 1

2.4 สมบตของกำรไมเทำกน

2.5 ชวงและกำรแกอสมกำร 2.5.1 ชวง ค ำชแจง จงใชขอมลตอไปนในกำรตอบค ำถำม 3 ขอถดไป

ก ำหนดให U = [–2 , 7] , A = (0 , 4] , B = (–1 , 6)

25. ชวง A – B เทำกบขอใดตอไปน 1. 2. (–1 , 4] 3. [4 , 6] 4. (6 , )

26. ชวง A/ เทำกบขอใดตอไปน 1. (– , –2] 2. (–2 , 7] 3. [–2 , 0] (4 ,7] 4. (4 , )






















42

27. ชวง (A B/) เทำกบขอใดตอไปน 1. 2. (–2 , 7] 3. [–2 , 0] (4 ,7] 4. (4 , )

2.5.2 กำรแกอสมกำรตวแปรเดยวดกร 1

28. ชวงค ำตอบของอสมกำร 4x – 9 > 7 เทำกบขอใดตอไปน 1. (– , 4) 2. (–4 , 4) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (4 , )

29. ชวงค ำตอบของอสมกำร 3 (x – 2) 2 (x + 4) เทำกบขอใดตอไปน 1. (– , 14) 2. (–14 , 14) 3. (–,–14) (14 , ) 4. (14 , )

30. ชวงค ำตอบของอสมกำร 2x – 20 6 x เทำกบขอใดตอไปน 1. (– , –5) 2. (–5 , 5) 3. (– , –5) (5 , ) 4. (–5 , )

31. ชวงค ำตอบของอสมกำร 2x – 3 > 2 (5 + x) เทำกบขอใดตอไปน 1. 2. (–13 , 13) 3. (–,–13) (13 , ) 4. (– , )

32. ชวงค ำตอบของอสมกำร 4x – 3 < 4 (x + 1) เทำกบขอใดตอไปน 1. 2. (–7 , 7) 3. (– , –7) (7 , ) 4. (– , )

2.5.3 กำรแกอสมกำรตวแปรเดยวดกรสง

33. เซตค ำตอบของอสมกำร 2x < 3 – x2 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , –5 ) 2. (–5 , –4 ) 3. ( –3 , 1 ) 4. ( 5 , )

34. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 + 2x 15 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , –5 ] 2. [–5 , 3 ] 3. [ –3 , 5 ] 4. ( 3 , )

35. เซตค ำตอบของอสมกำร 4x2 – 4x – 3 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , – 2

1 ) 2. ( – 21 , 2

3 )

3. ( 23 , ) 4. ( – , – 2

1 ) ( 23 , )

36. เซตค ำตอบของอสมกำร 3x2 + 2 7x คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 3

1 ] 2. [– 31 , 2 ] 3. ( – , 3

1 ] [2 , ) 4. ( 31 , )























43

37. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1) (x + 2) (x – 5) (x + 3) > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 1 ) ( 3 , ) 2. ( – , –1 ) ( 5 , ) 3. ( – , –3 ) ( –2 , 1 ) ( 5 , ) 4. ( – , –1 ) ( –2 , 1 ) ( 3 , )

38. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 < 16 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , –4 ) (4 , ) 2. ( –4 , 4 ) 3. ( – , –16 ) (16 , ) 4. ( –16 , 16 )

39. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 > 11 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , –11 ) (11 , ) 2. ( –11 , 11 ) 3. ( – , – 11 ) ( 11 , ) 4. ( – 11 , 11 )

40. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 4x + 2 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , – 2 ) ( 2 , ) 2. (– 2 , 2 ) 3. ( – , 2 –2 ) ( 2 +2 , ) 4. ( 2 –2 , 2 +2 )

41. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร x3 – 3x2 10x มกจ ำนวน 1. 3 2. 4 3. 5 4. 7

42. จ ำนวนเตมลบทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร x3 – x > 2x2 – 2 มกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

43. เซตค ำตอบของอสมกำร x4 – 13x2 + 36 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –3) 2. (–3 , –3)

3. (– , –2) (2 , ) 4. (–3 , –2) (2 , 3)

44. เซตค ำตอบของอสมกำร 4 – x2 > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –2) 2. (– , –2) (2 , ) 3. (2 , ) 4. (–2 , 2)

45. เซตค ำตอบของอสมกำร 3) (x 1) (x . 2) (x


1. ( – , –1 ] [ 0 , 4 ) 2. ( – , –1 ] [ 2 , ) 3. ( – , –2 ] [ 1 , 3 ) 4. ( – , –1 ] ( 3 , 4 ]



























44

46. เซตค ำตอบของอสมกำร 5) (x 2) (x 3) (2x

> 0 คอเซตในขอใดตอไปน

1. (–5 , –2) ( 23 , ) 2. (–2 , 2

3 ) (5 , )

3. (–5 , –2) (– 23 , ) 4. (–2 , – 2

3 ) (5 , )

47. เซตค ำตอบของอสมกำร 92x1)3(x


1. ( – , 1] 2. (– , –3) [1 , 3) 3. (–3 , 3) 4. (– , –3] [1 , 3]

48. เซตค ำตอบของอสมกำร x1 3 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ) 2. (– , 0) [ 3

1 , ) 3. (0 , 3

1 ] 4. (0 , )

49. เซตค ำตอบของอสมกำร x – x4 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , –2 ) 2. (– , –2] [ 0 , 2] 3. [–2 , 0) [2 , ) 4. [2 , )

50. จ ำนวนเตมมำกทสดในเซตค ำตอบของอสมกำร 1 x 4 2x 1 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

51. จ ำนวนเตมนอยทสดในเซตค ำตอบของอสมกำร 1 x 6 1 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 1 2. 2 3. 6 4. 7

52. จ ำนวนเตมมำกทสดในเซตค ำตอบของอสมกำร 2 x 8 x มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

53. จ ำนวนเตมบวกในเซตค ำตอบของอสมกำร x 62x ≤ 5 มกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

54. เซตค ำตอบของอสมกำร 1 2x 1

< x1 คอเซตในขอใดตอไปน

1. (–∞ , 21 ) (1 , ∞) 2. ( 2

1 , 1)

3. (0 , 21 ) 4. (0 , 2

1 ) (1 , ∞)

























45

55. เซตค ำตอบของอสมกำร 2 x x x1 คอเซตในขอใดตอไปน

1. (–2 , –1) (0 , 2) 2. (–∞ , 0) (2, ∞) 3. (–∞ , –2) (2 , ∞) 4. (–∞ , –2) (–1 , 0) (2 , ∞)

56. จ ำนวนเตมบวกในเซตค ำตอบของอสมกำร 3 2x 1 x < 3 x 1 มกจ ำนวน

1. 0 2. 1 3. 4 4. 5

57. เซตค ำตอบของอสมกำร 1) (x x 6 x


1. (– , –1) (0 , 32 ) 2. (–∞, – 23 ] (–1 , 0) [ 32 , ∞)

3. (–∞, – 23 ) (–1 , 0) ( 32 , ∞) 4. (–∞, – 2

3 ] [–1 , 0] [ 32 , ∞)

58. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 3 x

4 + 1 คอเซตในขอใดตอไปน

1. (– , – 21 ) (0 , ) 2. (– , – 2

1 ] (0 , ) 3. (– , – 2

1 ) 4. (0 , )

59. เซตค ำตอบของอสมกำร 2 3x 2x

x 5


1. (– , 1) (2 , 3) 2. (–1 , 1) ( 2, 3 ) 3. (–∞, –1) (1, 2) (3, ∞) 4. (– , 2) (3 , )

60. เซตค ำตอบของอสมกำร (x + 2)2 (x + 1) < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –1 ) 2. (– , –2 ) (–2 , –1 ) 3. (– , –1 ] 4. (– , –2 ) (–2 , –1 ]

61. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)2 (x + 4) 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –4 ] 2. [4 , ) 3. (– , –4 ] [4 , ) 4. (– , –4 ] {1}

62. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 (x + 1) > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (–1 , 0 ) (0 , ) 2. (–1 , 0 ) (5 , ) 3. (–1 , 0 ) (7 , ) 4. (–1 , 0 ) (8 , )


























46

63. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 (x + 1) < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –1 ) 2. (– , –2 ) 3. (– , –3 ) 4. (– , –4 )

64. เซตค ำตอบของอสมกำร (x + 2)2 (x + 4) (x – 5) > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –4 ) 2. (5 , – ) 3. (– , –4 ) (5 , ) 4. (– , –4 ) {2} (5 , )

65. เซตค ำตอบของอสมกำร 42)(x31)(x


1. (0 , 1) 2. (– , –2 ) (–2 , ) 3. (– , 1) 4. (– , –2 ) (2 , 1]

66. เซตค ำตอบของอสมกำร 5x3x

< 0 คอเซตในขอใดตอไปน

1. (0 , 5) 2. (5 , – ) 3. (– , 0 ) 4. (– , 0 ) (5 , )

67. เซตค ำตอบของอสมกำร x3 – x2 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (0 , 1) 2. (– , 0 ) (0 , ) 3. (– , 1) 4. (– , 0 ) (0 , 1)

68. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 + 2 > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 2 ) ( 2 , ) 2. (– 2 , 2 ) 3. 4. R

69. เซตค ำตอบของอสมกำร 2 x2 + 1 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 2 ) ( 2 , ) 2. (– 2 , 2 ) 3. 4. R

70. เซตค ำตอบของอสมกำร (x10 + 1) (x – 1) (x + 2) (x + 3) 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , –3 ] [1 , ) 2. [–3 , –2 ] [1 , ) 3. 4. R

























47

71. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 + 6x + 13 > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 2 ) ( 2 , ) 2. (– 2 , 2 ) 3. 4. R

72. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำรทก ำหนดใหตอไปน มกจ ำนวน 6 – 7x < x2 – 5x – 2 < 4

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

73. ก ำหนดให A = { x I– –2 21 x < 1 }

และ B = { x I+ –4 2x – 2 1 } จ ำนวนสมำชกของ A B จะมกจ ำนวน

1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

2.6 คำสมบรณ

2.7 กำรแกสมกำรและอสมกำรในรปคำสมบรณ

2.7.1 กำรแกสมกำรพหนำมเกยวกบคำสมบรณ

74. ผลบวกของสมำชกในเซตค ำตอบของสมกำร x – 5 = 4 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 8 4. 10

75. ผลบวกของสมำชกในเซตค ำตอบของสมกำร x + 2 = –2x + 5 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

76. เซตค ำตอบของสมกำร x – 1 = 2x มจ ำนวนสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

77. ผลบวกของสมำชกในเซตค ำตอบของสมกำร x2 – 3x + 1 = 5 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3 3. 5 4. 6

78. เซตค ำตอบของสมกำร 2x 1x

= 2 มจ ำนวนสมำชกกตว

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3






















48

79. เซตค ำตอบของสมกำร 2 x + 3 = 2x + 1 มจ ำนวนสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 2.7.2 กำรแกอสมกำรพหนำมเกยวกบคำสมบรณ

80. เซตค ำตอบของอสมกำร x – 2 < 3 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. [ – , –5] 2. [ – , 0] 3. [–5 , ] 4. [0 , ]

81. เซตค ำตอบของอสมกำร 2x – 1 < 11 คอขอใดตอไปน 1. ( – , –5) 2. ( – , 6)

3. (–5 , 6) 4. (– , –5) (6 , )

82. เซตค ำตอบของอสมกำร 3 – 4x ≤ 1 คอขอใดตอไปน 1. [ – , – 2

1 ] 2. [ – , 1]

3. [ 21 , 1] 4. (– , 2

1 ] [1 , ]

83. เซตค ำตอบของอสมกำร 3x + 5 ≥ 4 คอขอใดตอไปน 1. [ – , –3] 2. [ – , – 31 ]

3. [–3 , – 31 ] 4. (– , –3] [– 31 , ]

84. เซตค ำตอบของอสมกำร x – 2 3 คอขอใดตอไปน 1. [ – , –1] 2. [ –1 , 5]

3. [5 , ] 4. (– , –1] [5 , ]

85. เซตค ำตอบของอสมกำร 5 x 9

– 3 > 0 คอขอใดตอไปน

1. (–8 , –2) 2. (– , –5) (–5 , –2) 3. (–5 , –2) 4. (–8 , –5) (–5 , –2)

86. เซตค ำตอบของอสมกำร 4x3x

+ 2 > 0 คอขอใดตอไปน

1. (–4 , 4) 2. (– , –4) (–4 , ) 3. (–4 , 2) 4. (– , –4) (2 , )
























49

87. จ ำนวนเตมลบทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร x – 1 < x มกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

88. เซตค ำตอบของอสมกำร 4x –3 2x +7 คอขอใดตอไปน 1. [– 3

2 , 5 ] 2. (–5 , 32 )

3. (–∞ , –5] [ 32 , ∞) 4. (–∞ , – 3

2 ] [5 , ∞)

89. เซตค ำตอบของอสมกำร 2 2x – 1 3x + 1 คอขอใดตอไปน 1. (–∞ , – 71 ) (5 , ∞) 2. (– 71 , 5 ) 3. (–5 , 71 ) 4. ( 71 , 5 )

90. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 1x 1x 1 มกจ ำนวน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

91. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 2x x 2 มกจ ำนวน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

92. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 4x x 2 มกจ ำนวน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

93. ชวงค ำตอบของอสมกำร 2 < x 4 1 2x

มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. ( , – 49 ) 2. ( , 4

9 )

3. (– 49 , 4 ) (4 , ) 4. ( 4

9 , 4 ) (4 , )

94. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 2x2x45x2x

1 มกจ ำนวน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

95. ชวงค ำตอบของอสมกำร 1 5x 1 5x

+ 4x > 0 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. (– , – 5

1 ) 2. (– , 51 ) 3. (– 5

1 , ) 4. ( 51 , )

96. ชวงค ำตอบของอสมกำร 4 x x 4

– 2 x + 3 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. (– , –6] 2. (– , 6] 3. [–6 , ) 4. [6 , )





















50

97. ชวงค ำตอบของอสมกำร 2 x 1 x

0 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. (– , –2] 2. (–2 , 1] 3. [1 , ) 4. (–2 , 1] [1 , 2)

98. ชวงค ำตอบของอสมกำร 1 x x < 2 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. (– , 1) 2. (1 , ) 3. (– , –2) (2 , ) 4. (– , –2) (–1 ,1) (2 , )

99. ชวงค ำตอบของอสมกำร x – 3 + 3x – 1 > 12 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. (– , –2) 2. (–2 , )

3. (–2 , 4) 4. (– , –2) (4 , )

100. เซตค ำตอบของสมกำร x – 4 + x – 3 = 1 มจ ำนวนสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

101. เซตค ำตอบของสมกำร x – 1 + x – 2 = 3 มจ ำนวนสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

102. เซตค ำตอบของสมกำร x – 2 + x + 3 = 0 มจ ำนวนสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


51

เฉลยบทท 2 ระบบจ ำนวนจรง

1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 3. 3. ตอบขอ 4. 4. ตอบขอ 3. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 4. 7. ตอบขอ 2. 8. ตอบขอ 1. 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบขอ 1. 11. ตอบขอ 2. 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบขอ 4. 14. ตอบขอ 1. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 1. 18. ตอบขอ 2. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 2. 21. ตอบขอ 2. 22. ตอบขอ 4. 23. ตอบขอ 2. 24. ตอบขอ 1. 25. ตอบขอ 2. 26. ตอบขอ 3. 27. ตอบขอ 4. 28. ตอบขอ 2. 29. ตอบขอ 3. 30. ตอบขอ 3. 31. ตอบขอ 2. 32. ตอบขอ 3. 33. ตอบขอ 2. 34. ตอบขอ 2. 35. ตอบขอ 3. 36. ตอบขอ 2. 37. ตอบขอ 1. 38. ตอบขอ 4. 39. ตอบขอ 2. 40. ตอบขอ 3. 41. ตอบขอ 1. 42. ตอบขอ 4. 43. ตอบขอ 1. 44. ตอบขอ 1. 45. ตอบขอ 2. 46. ตอบขอ 4. 47. ตอบขอ 2. 48. ตอบขอ 2. 49. ตอบขอ 4. 50. ตอบขอ 1. 51. ตอบขอ 4. 52. ตอบขอ 1. 53. ตอบขอ 2. 54. ตอบขอ 2. 55. ตอบขอ 4. 56. ตอบขอ 3. 57. ตอบขอ 1. 58. ตอบขอ 4. 59. ตอบขอ 4. 60. ตอบขอ 1. 61. ตอบขอ 1. 62. ตอบขอ 4. 63. ตอบขอ 4. 64. ตอบขอ 3. 65. ตอบขอ 2. 66. ตอบขอ 1. 67. ตอบขอ 3. 68. ตอบขอ 1. 69. ตอบขอ 2. 70. ตอบขอ 4. 71. ตอบขอ 1. 72. ตอบขอ 3. 73. ตอบขอ 3. 74. ตอบขอ 1. 75. ตอบขอ 2. 76. ตอบขอ 2. 77. ตอบขอ 3. 78. ตอบขอ 3. 79. ตอบขอ 3. 80. ตอบขอ 3. 81. ตอบขอ 2. 82. ตอบขอ 3. 83. ตอบขอ 2. 84. ตอบขอ 3. 85. ตอบขอ 4. 86. ตอบขอ 2 87. ตอบขอ 1. 88. ตอบขอ 4. 89. ตอบขอ 1. 90. ตอบขอ 1. 91. ตอบขอ 4. 92. ตอบขอ 4. 93. ตอบขอ 1. 94. ตอบขอ 3. 95. ตอบขอ 1. 96. ตอบขอ 2. 97. ตอบขอ 3. 98. ตอบขอ 3.


52

เฉลยตะลยโจทยท วไป บทท 2 ระบบจ ำนวนจรง

1. ตอบขอ 4. 2. ตอบขอ 4. 3. ตอบขอ 3. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 1. 6. ตอบขอ 3. 7. ตอบขอ 4. 8. ตอบขอ 4. 9. ตอบขอ 4. 10. ตอบขอ 1. 11. ตอบขอ 2. 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบขอ 4. 14. ตอบขอ 2. 15. ตอบขอ 4. 16. ตอบขอ 1. 17. ตอบขอ 2. 18. ตอบขอ 3. 19. ตอบขอ 2. 20. ตอบขอ 3. 21. ตอบขอ 3. 22. ตอบขอ 3. 23. ตอบขอ 1. 24. ตอบขอ 3. 25. ตอบขอ 1. 26. ตอบขอ 3. 27. ตอบขอ 1. 28. ตอบขอ 4. 29. ตอบขอ 1. 30. ตอบขอ 4. 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบขอ 4. 33. ตอบขอ 3. 34. ตอบขอ 2. 35. ตอบ ( 2

3 , 21 ) 36. ตอบขอ 3.

37. ตอบขอ 3. 38. ตอบขอ 2. 39. ตอบขอ 3. 40. ตอบ (2– 2 , 2+ 2 ) 41. ตอบขอ 3. 42. ตอบขอ 1. 43. ตอบขอ 4. 44. ตอบขอ 4. 45. ตอบขอ 3. 46. ตอบขอ 2. 47. ตอบขอ 2. 48. ตอบขอ 2. 49. ตอบขอ 3. 50. ตอบขอ 3. 51. ตอบขอ 2. 52. ตอบขอ 3. 53. ตอบขอ 3. 54. ตอบขอ 4. 55. ตอบขอ 4. 56. ตอบขอ 2. 57. ตอบขอ 2. 58. ตอบขอ 2. 59. ตอบขอ 3. 60. ตอบขอ 2. 61. ตอบขอ 4. 62. ตอบขอ 1. 63. ตอบขอ 1. 64. ตอบขอ 3. 65. ตอบขอ 4. 66. ตอบขอ 1. 67. ตอบขอ 4. 68. ตอบขอ 4. 69. ตอบขอ 3.

70. ตอบ [–3,–2] [1 , ) 71. ตอบขอ 4. 72. ตอบขอ 4. 73. ตอบขอ 4. 74. ตอบขอ 4. 75. ตอบขอ 1. 76. ตอบขอ 2. 77. ตอบขอ 2. 78. ตอบขอ 3. 79. ตอบขอ 2. 80. ตอบขอ 3. 81. ตอบขอ 3. 82. ตอบขอ 3. 83. ตอบขอ 4. 84. ตอบขอ 4. 85. ตอบขอ 4. 86. ตอบขอ 2. 87. ตอบขอ 1. 88. ตอบขอ 4. 89. ตอบขอ 1. 90. ตอบขอ 1. 91. ตอบขอ 3. 92. ตอบขอ 1. 93. ตอบขอ 4. 94. ตอบขอ 3. 95. ตอบขอ 4. 96. ตอบขอ 1. 97. ตอบขอ 4. 98. ตอบขอ 4. 99. ตอบขอ 4. 100. ตอบขอ 3. 101. ตอบขอ 3. 102. ตอบขอ 1.

Download - ติวสบายคณิต (เพิ่มเติม) บทที่ 02 ระบบจำนวนจริง

Top Related