Download - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Μελέτη Δ.Ε. με χρήσητου Mathematica
Εισαγωγή
Η επίλυση ΔΕ με Mathematica γίνεται απευθείας με τις εντολές
DSolveDSolve : επίλυση με συμβολικό τρόπο
NSolveNSolve : αριθμητική (προσεγγιστική) επίλυση
ΕισαγωγήΚαι οι δυο εντολές δέχονται
μια ή περισσότερες εξισώσεις για επίλυσηΠρώτης ή ανώτερης τάξης εξισώσειςΓραμμικές ή μη γραμμικές εξισώσειςΠροβλήματα με αρχικές συνθήκες, συνοριακά προβλήματα.
Η εντολή DSolve
Συμβολική επίλυση (symbolic solution)
Σύνταξη εντολών για επίλυση ΔΕ πρώτης τάξηςΓενική λύση ΔΕ:
eqn=y’[t] ==eqn=y’[t] ==τύπος ΔΕτύπος ΔΕ
DSolve[eqn,y[t],t]DSolve[eqn,y[t],t]όπου eqn η ονομασία που δείνει ο χρήστης y[t] η άγνωστη συνάρτηση της ΔΕκαι t η μεταβλητή
ΠαραδείγματαΈστω η ΔΕ eqn=y'[t] ==r y[t](M-y[t]) DSolve[eqn,y[t],t]
' ( )y ry m y
Οι εξισώσεις Οι εξισώσεις 0ρίζονται με διπλό 0ρίζονται με διπλό ==
Όπου C[1] είναι η σταθερά ολοκλήρωσης cΗ λύση της ΔΕ δόθηκε από το πρόγραμμα : .
1
mrt mc
mrt mc
e mye
ΔΕ με αρχικές συνθήκες
Σύνταξη εντολών για επίλυση ΔΕ πρώτης τάξης με αρχικές συνθήκες
eqn=y’[t] ==eqn=y’[t] ==τύπος ΔΕτύπος ΔΕ
con=con=αρχική συνθήκηαρχική συνθήκη
DSolve[DSolve[{{eqneqn,,concon}},y[t],t],y[t],t]
Είναι ο τύπος της ΔΕ ο οποίος προκύπτει Είναι ο τύπος της ΔΕ ο οποίος προκύπτει αν λύσουμε την αρχική ΔΕ ως προς αν λύσουμε την αρχική ΔΕ ως προς y’y’
ΠαραδείγματαΝα λυθεί το πρόβλημα ' 0
(0) 2
y y
y
ΠρόβλημαΝα βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ
2 2
'
(1) 2
x yy
xy
y
Λύση
Η λύση είναι με Mathematica
Γραφικές παραστάσεις
Πολλές φορές θέλουμε να έχουμε εκτός από τη λύση της ΔΕ και την γραφική παράσταση κάποιας ή κάποιων μερικών λύσεων από τη γενική λύση της διαφορικής
ΠρόβλημαΝα λυθεί το πρόβλημα αρχικής τιμής
' cos5
(1) 0
xy y e x
y
Μετά να γίνει η γραφική παράσταση της λύσης στο διάστημα -1<χ<1
Λύση
Η λύση με Mathematica
Γραφική λύση
ΠαράδειγμαΝα βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ
Να γίνει γραφική παράσταση των λύσεων για τις οποίες η αυθαίρετη σταθερά παίρνει τις τιμές -2,-1,0,1 και 2 (ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ)
2' cosy
y xx
Λύση
Βρίσκουμε τη γενική λύση, με την εντολή:
Γραφική παράσταση
Η εντολή Evaluate είναι απαραίτητη για να δημιουργηθεί πρώτα η Λίστα των 5 λύσεων και μετά να δουλέψει η Plot
Evaluate
ΠαράδειγμαΝα λυθούν οι ΔΕ
Στη δεύτερη ΔΕ να γίνουν ολοκληρωτικές καμπύλες για 10 αρνητικές τιμές της αυθαίρετης σταθεράς και για τιμές y στο διάστημα -5<y<0
2 3
' 5
'
y y
y y x
Λύση
Γραφική λύση
Η εντολή PlotRange δίνεται για να καθορίσουμε το σύνολο τιμών στον άξονα y
PlotRange
Αρκετές ΔΕ που καταλήγουν σε ΔΕ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ μεταβλητών αντιμετωπίζονται αμέσως με την εντολή DSolve DSolve χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε επι μέρους ολοκληρώσεις σε κάποιο ενδιάμεσο στάδιο.
ΠαράδειγμαΝα λυθεί η ΔΕ
Να σχεδιαστούν οι ολοκληρωτικές καμπύλες όταν η αυθαίρετη σταθερά παίρνει τιμές -2,-1,0,1,2
2
2
sin'y t
yt
Λύση
Γραφική παράσταση
Η εντολή PlotStyle δείνει χρώμα στη κάθε γραφική παράσταση λύσης
PlotStyle RGBColor
H εντολή RGBColor δείνει το κατάλληλο χρώμα