Download - Пределы последовательностей и функции
{ предел последовательности - число e - оценка – предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы – первый и второй – бесконечно малые величины и их свойства - сравнение бесконечно малых величин - теоремы о бесконечно малых величинах – примеры }
Пусть – произвольное множество и пусть каждому поставлен
в соответствие некоторый элемент . Тогда говорят, что задана
последовательность которая обозначается также
символами
Nn Aa
A
,...,,, 321 aaa Nnn1nnn a a a
,,
Число называется пределом последовательности , если
для
Ra a n
:Nn 0 nn aa n
.1,2,3.....n ,! 0n1
Пример
10 1,n n 4321 !n !,
....n321
1, ....,
241
, 61
, 21
, 1, 1 ,
Теорема
Сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно.
Последовательность называется ограниченной (ограниченной
сверху, ограниченной снизу), если
a n
Nn baba ba: Rb nnn ,
так что
Тогда для
Пусть последовательность сходится и . a n nn
aa
lim
1n nn 1aa1a 1n1 nn 1aa Nn 1 :
Пусть )a..., ,a,amax(:b 1n211 1 1n b a Очевидно, что
Доказательство
Сумма, разность и произведение двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями
baba nnn
)(lim
Свойства пределов (связанные с арифметическими операциями)
Rbb Raa nn
nn
limlim
abba nnn
)(lim
),lim 0bNn 0(b ba
ba
nn
n
n
Последовательность называется бесконечно малой, если a n 0ann
lim
Последовательность называется бесконечно большой, если
n
nalim
a n
Если
то
0n n
1e
! 10 1,n n 4321 !n !,
321
12
21
1
21
121
221
21
21
11
n3211
3211
211
11s
n
n
n2
n
)(
...
...
Ряд сходится
3e2
John Napier (1550 – 1617)
e иногда называют неперовым числом
или числом Эйлера
Leonhard Euler (1707 – 1783)
en1
1n
n
lim n
n
n
0kn n
11t
k1
s
!
Доказательство
k
n
0k
kn
n
n1
Cn1
1nt
1nn
1n1
1n1
1
n
0k
n
k1
n1
1j1
nj
1jn
!e
n1
n1
10n
n
n
!lim
Теорема
n
1k
k
1jk
n
0k nj1jn
1n1
knkn
)!(!!
j1n1j1n
nj1jn
)(
en1
1n
n
lim
nn1
1n1
1n1
11n
13n
12n
11n
1se0 2n !
...)!(
...)!()!()!(
710 10
11111
se !
...... 59718281828421201
241
61
21
11
Число e - иррациональное
Допустим e – число рациональное, тогда Nqp, qp
e ,
q1seq0 q /)(! Согласно предположению q!e – целое число. Тогда число q!(e-sq) тоже
целое. )!
...!
(!!q1
21
11qsq q Так как q >= 1, то выходит существует целое число между нулем и единицей ! Мы добились противоречия.
Определение (по Коши)Постоянное число A называется пределом функции f(x) в точке x0 ( при x
стремящемся к x0 ) если для произвольного числа > 0 найдется число
() > 0 такое, что из условия | x – x0 | < ( x не равно x0 ) вытекает
неравенство | f(x) – A | < . Определение (в кванторах)
( ) 0: lim ( ) : ( )0
def
0 0x xf x A 0 x x x x x f x A
Бесконечно малая величина lim u = 0Переменная величина u называется бесконечно малой, если, каково бы не было малое положительное числа > 0 , в процессе изменения переменной наступит момент, начиная с которого будет постоянно
выполняться неравенство | u | < .
y = f(x)
x
y
0 x02
2A
Доказать, что предел
Решение
1)(a 1a lim x
0x
@
Требуется доказать | ax – 1 | < при | x | < ()
логарифмируем последние неравенства по основанию a ( a > 1 )
1ax 1a1 x
)(log)(log 1x1 aa )(loglog
1x1
1aa
)()( x
11
1 aa log),(logmin)(
)(log 1x a
Теорема 1. Алгебраическая сумма любого определенного числа бесконечно малых является величиной бесконечно малой.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину является величиной бесконечно малой.
M
Доказательство
Пусть – бмв, a u – ограниченная переменная величина.
Mu M
Mu что и доказывает теорему.
Следствия:
Функция f(x) называется бесконечно большой в точке a ( ) если
M xf a-x 0:x :0(M) M )(
)(lim xfax
c n величины бесконечно малые
Теорема 1. (прямая)Если переменная величина u стремится к пределу a , то разность между нею и ее пределом есть величина бесконечно малая.
Теорема 2. (обратная)
Если переменная величина u равна сумме некоторой постоянной величины A и величины бесконечно малой , то эта постоянная есть предел переменной.
Пример:
ДоказательствоПусть a = lim u. Это значит, что при всяком , будет справедливо неравенство | u - a | < при достаточном продолжении изменения u. Но тогда величина u – a есть величина бесконечно малая.
1x1
1x
1xxxx
limlimlim
A
x1
1x
1x
Переменная величина может иметь только один предел.
Переменная величина, имеющая предел, является величиной ограниченной. Предел алгебраической суммы любого числа переменных равен алгебраической сумме их пределов. Предел произведения любого определенного числа переменных равен произведению их пределов.
Если переменная величина имеет предел, отличный от нуля, то начиная с некоторого момента она принимает значение того знака, каков знак ее предела. Если предел переменной величины отличен от нуля, то величина ей обратная, является ограниченной величиной. Предел частного двух переменных равен частному от деления их пределов, если предел делителя отличен от нуля.
Теорема 1.
Всякая монотонно изменяющаяся и ограниченная в направлении своего изменения величина имеет предел.
Доказательство ведется на основе теоремы Дедекинда.
Теорема 2.
Если числовые значения переменной величины v постоянно заключены между соответствующими числовыми значениями двух других переменных u и w и эти последние стремятся к одному и тому же пределу a , то к этому же пределу a стремится и переменная v .
v
x
y
0
A
u
w
Функция при имеет предел, равный 1 : x
xy
sin 0x 1
xx
0x
sinlim
1
C
B0
Рассмотрим единичную окружность.
xCOB 2
x0
1rOBOC
A
xOA xAC cossin
D
tgxBD
Сравнивая площади треугольника OAC , сектора OBC и треугольника OBD, получаем
OBDOBCOAC SSS xx
21
x21
xx21
cossin
cossin
x1
xx
xcossin
cos 1x
x1
0x0x
sinlim:lim 1
xx
0x
sinlim
0x 1
0xx
x
y
,
,sin
Неопределенность
00y
x
y
x
Найти предел
Решение
@x
tgx0x
lim
sinlim lim
cos
sinlim lim
cos cos
x 0 x 0
x 0 x 0
tgx 0 x 1x 0 x x
x 1 11 1
x x 0
Функция при имеет предел, равный e : x
x1
1
x e
x1
1x
x
lim
en1
1n
n
lim
xПусть
nx1n 1n
1x1
n1
Величину x заключим между n и n+1
1n1
1x1
1n1
1
nx1n
1n1
1x1
1n1
1
e1n
11 e
n1
1n
n
1n
n
limlim
По второй теореме (признак существовании пределов):
ex1
1x
x
lim
При доказывается то-же самое. x
ex1 x1
0x
lim
Неопределенность 1
Найти предел
Решение
@x
x10x
)ln(lim
0
0x
x10x
)ln(lim
x1
0xx1 )ln(lim
))(limln( x
1
0xx1
1e )ln(
)ln(lim x1x1
0x
0q
lim
Если предел отношения двух бесконечно малых есть число, отличное от нуля
то и называются бесконечно малыми одного порядка малости..
x7x2
0x
sinlim
Пример:
x2x2
72
0x
sinlim
72
172
Если предел отношения двух бесконечно малых иравен нулю
то называются бесконечно малой более высокого порядка малости, чем .
0
lim
sin 2x и 7x - бесконечно малые одного порядка малости
Пример:x
x10x
coslim
010
2x
2x
2x
x2x
2
0x
2
0x
sinsinlim
sinlim
1-cosx - бесконечно малая более высокого порядка, чем x . .
Пример:
Если предел отношения двух бесконечно малых ине существует (ни конечный, ни бесконечный), и называются несравнимыми бесконечно малыми.Пример:
tg x - бесконечно малая более низкого порядка, чем x 2 .
Если отношения двух бесконечно малых и является величиной бесконечно большой, то называется бесконечно малой более низкого порядка малости, чем .
lim
11
xx
x1
x1
xtgx
0x20x
sincos
limlim
= sin x .sin (1/x) и = x
- несравнимые бесконечно малые.
?sinlimsin
limsinsin
lim
1x1
xx
xx1
x
0x0x0x
y
x
Если предел отношения двух бесконечно малых и равно 1, то и называется равносильными (эквивалентными) бесконечно малыми . Символическое обозначение: ~
1
lim
Две бесконечно малые и , равносильные порознь третей бесконечно малой , равносильны между собой. V
Разность двух равносильных бесконечно малых – является бмв более высокого порядка малости, чем каждая из них. Lim ( )/= 0 ,Lim ( )/= 0Если разность двух бесконечно малых – есть бмв высшего порядка по сравнению с одной из них, то они равносильны. Lim ( )/= 0 .
Предел отношения двух бесконечно малых сохраняет свое значение при замене этих бесконечно малых им равносильными.
Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков равносильна слагаемому низшего порядка малости (если оно единственно).
Найти предел
Решение
@xx4tgx2
xtgx3x1043
3 52
0x sin
sinlim
5x2x10
tgx2x10
xx4tgx2
xtgx3x100x0x43
3 52
0x
limlim
sin
sinlim
010x3
x10x3
0x
2
0x
lim
sinlim 0
10x
x10
xtg 3 2
0x
3 5
0x
limlim
01
xx2tgx2x4 2
0x
3
0x
coslimlim 0
2x
tgx2x 3
0x
4
0x
lim
sinlim