Transcript
Page 1: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 1

第七章 偏微分方程7.1 一般介绍7.2 一阶双曲型方程的差分求解法7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法7.4 一阶双曲型方程的线上求解法7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法7.6 二阶椭圆型方程的有限元求解法7.7 二阶椭圆型方程的加权残差求解法7.8 二阶抛物型方程的差分求解法7.9 二阶抛物型方程的线上求解法7.10 二阶双曲型方程的特征线求解法

Page 2: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 2

7.1 偏微分方程的一般介绍 Partial Differential Equations(PDEs)

• 自变量数 至少 2 个

,,,,

0,,,,,,,,,,

2

2

2

yxuu

xuu

yuu

xuu

uuuuuuyxFyxuu

xyxxyx

yyxyxxyx

• 阶数 方程中导数的最高阶数

0

0

03

3

yyyx

yxx

yx

uu

uu

ubu

三阶二阶一阶

• 性态 以一阶方程为例

0 cubua yx

Page 3: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 3

7.1

yyxyxxyx

yx

yxyyxyxx

yx

yx

yx

yx

uuuuuuyx

uuuyxyxCBA

FuEuDuCuBuA

uu

xuuu

buu

uuuyxuyx

yxyxccyxbbyxaa

cba

,,,,,,,:

,,,,:,:

:,:,:

0:::

0

0

0

,,,,,,

,,,,,,

,,

2

2

对二阶方程

为常数

非线性拟线性线性

NonlinearrQuasilinea

Linear

非线性拟线性线性

非线性拟线性线性

Page 4: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 4

7.1

• 类型 一阶栓区型方程

xt

yx

uvu

cubua

0 流动方程Advection Equation(AE) 二阶线性方程 0 GCuBuAu yyxyxx

ellipticACB 椭圆型042

方程,传热方程

方程

Laplaceuu

Poissonyxfuu

yyxx

yyxx

0

,

parabolicACB 抛物型042

方程

扩散方程

BurgeruKuuu

uu

yyyx

yyx

hyperbolicACB 双曲型042

波动方程yyxx uu

Page 5: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 5

7.1

• 求解方法有限差分法 Method of Finite Differences (MFD)

特征线法 Method of Characteristics (MOC)

线上求解法 Method of Lines (MOL)

有限元素法 Method of Finite Elements (MFE)

加权残差法 Method of Weighled Residuals (MWR)

• 问题 收敛性 Convergence

当采取的步骤趋于无限时,数值结果是否趋于理论值?

稳定性 Stability

在某一步引入的误差,经多步数值计算后,会扩大或抑制?dxdy

xy

k

k

eyy

eyy

1

1

Page 6: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 6

7.2 一阶双曲型方程的差分求解法0

xuv

tu

或称流动方程 Advective Advection Equation (AE) v 为流速因子该方程的介折解

vtxfu

dwdu

xw

dwdu

xu

dwduv

tw

dwdu

tu

vtxwwfu

,因为

求具体解时需要提供 2 个辅助条件 vtxftxu

vtxftxu

00

00

,,

Page 7: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 7

7.2

assuming the forcing function is a Rump

The solution of is shown below.

sW

WssW

W

Wf

,0.0

0,1

0,0.1

0 xt vuu

wf

W0s

0.1

0.0

u

t

x

0tt 0xx

jx

nt

ntt

jxx tvx

txu j ,

txu ,0

0, txu

ntxu ,

图 7.1 Propagation of the Wave Front

Page 8: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 8

7.2.1 最简单的差分化格式构想

t

x0x 1jx jx 1jxx

1nt

nt

0t

t

tbxtuxaxtuxuv

tu

0

0

,,

xjxx j 0

tnttn 0

211

,

1

,

2xO

xuu

xu

tOtuu

tu

nj

nj

nj

nj

nj

nj

xuu

vtuu n

jnj

nj

nj

211

1

nj

nj

nj

nj uu

xtvuu 11

1

2

1 nn

图 7.2

Page 9: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 9

7.2.1

以上方法称为 时间镶嵌空间中心 的差分表达 Forward Time Centered Space

FTCS represetation

实际上这个方法不能用:不稳定的方法 Unstable Method

考虑数据误差 r

由于原方程为线性,故误差的传播关系

是与原方程完全相同的差分方程 差分方程独立解的一般形式 Independent Solutions of Difference Equations

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj ruru

xtvruru 1111

11

2

nj

nj

nj

nj rr

xtvrr 11

1

2

xjkir

xjkirnn

j

nnj

exp

exp11

FactorionAmplificat称为放大因子 是否上升序列决定 ,,,,,, 1110 n

jnj

njjj rrrrr

Page 10: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 10

7.2.1

线性微分方程的解

xFQydxdyP

dxyd

2

2

xFQyDyPyD 2

应为补充解和特殊解之和 补充解系由下式求出 0

0

0

21

2

2

yPDPDyQDPD

QyDyPyD

equationauxiliaryQPxxPP 的两个根为方程式 0, 2

21

00 21 yPDyPD补充解系由两个独立解组成

xPAyxPAy 222111 expexp

为复数时当 iPQP

yPxPPADy

4

exp2

111111

pyyyy 21

决定。由解,特殊解解组成的补充为微分方程的两个独立

xFyyy

p

21

Page 11: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 11

7.2.1

差分方程的解 可用算符运算方法 Operator Calculus 导出 差分算符 Difference Operator

jjjjj

jjj

xfxfyyy

xxx

11

1

jjjjj Eyyyyy 11

,1 E

22

21

1

jj

jj

jj

yyE

yEy

yEy

它和微分算符一样,是一种线性算符用于线性二阶差分方程

xFQyPyy nnn 12

和微分方程类似,它的补充解可由下式得到

0

0

0

21

2

12

n

n

nnn

yPEPEyQPEE

QyPyy

Page 12: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 12

7.2.1 故补充系由两个独立解组成 ( Independent Solutions )

0

0

2

1

n

n

yPEyPE

两个独立解为n

nn

n PAyPAy 2211 21

nnnn

n yPEyyPPAy ,1

1因为:nn

n PAPAy 2211

ixiPQP exp42 时,当 xniAy n

n exp 差分方程的一个独立解( Eigenmode )

nn

nn

nnn

n

PyEyinxAixpy

xniAyEy

aaaiaa

aiaaiaia

naaaa

expexp

1exp

!5!3!4!21

!4!3!21exp

!!21exp

11

5342

432

2

Page 13: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 13

7.2.1 差分方程独立解的一般形式 inxAy n

n exp

用于本题的情况 xikjr

xikjrnn

j

nnj

exp

exp11

乘以随时间坐标的推进不断njr

FactorionAmplificat“ ”称为 放大因子

时,为不稳定。当 1

将独立解代入差分表达式 n

jnj

nj

nj rr

xtvrr 11

1

2

得到

xkixtv

xikxikxtv

xikjxjikxjik

xtv

xjikxjikxtvxikj

nn

n

sin22

expexp2

exp1exp1exp

21

1exp1exp2

exp1

Page 14: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 14

7.2.2 差分格式的改进

的条件是

使

相应的放大因子为:

格式为:得到的差分

而代之以

不用

1

sincos

221

21

2

11111

11

i

XkxtviXk

uuxtvuuu

uu

u

MethodLax

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

1xtv

Courant Condition

t

x0x 1jx 1jxjx

nt

0t

1nt

I

Rtk

1xtv

图 7.3

图 7.4

Page 15: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 15

7.2.2

Courant 条件的物理意义波形传递系沿 x=vt 线t 节点的选取• 当节点取在线上:

• 当节点取在线外:

• 当节点取在线内:

Lax 差分格式也写成以下形式

可以看成为以下偏微分方程的 FTCS 差分式

1,2

xtv

vxt

不稳定1,3

xtv

vxt

稳定1,1

xtv

vxt

tuuu

xuu

vtuu n

jnj

nj

nj

nj

nj

nj 1111

1 221

2

2

22

xu

tx

xuv

tu

dissipative term 耗散项Numerical Viscosity 数值黏度

t

x1jx jx 1jx

x

nt1t

3t2t

图 7.5

Page 16: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 16

7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法Method of Characteristics (MOC)

dyyudx

xudu

yxu

AyuBC

xu

yxCBA

的全微分

线性的函数,可以是

,

,,,

dyyudx

AyuBC

du

CyuB

xuA

0

AduCdxyuBdxAdy

这是原方程的转换方程,它们的解相同。 为原方程的特征线方程0 BdxAdy

yxFAB

dxdy ,

在特征线上,满足 的为解。0 AduCdx

Page 17: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 17

7.3.1 Method of Characteristics (MOC)

yxFdxdy ,

yxGdxdU ,

,,,,,,,

,,,,,,,

,,,,,,,

,

,,,,,,,

,

,,,,

10

11110

00100

01000

10

0

njnn

j

j

n

n

yxuyxuyxu

yxuyxuyxu

yxuyxuyxu

yxGdxdu

yxuyxuyxu

yxFdxdy

yyyyxxyx

积分,可以得到再对

条件轨迹。根据给定的初始

线的积分可以得到一族特征方程

作为初值,对常微分别由

时,分从平面上在

y

x

ny

1y

0yy

x0,0u

yxu ,

0x jx1x

图 7.6

Page 18: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 18

7.3.1 Method of Characteristics (MOC)

yxFdxdy ,

yxGdxdU ,

y

x

ky0

01y

00yy

x0,0u yxu ,

0x jx1x

ky1

11y

10y

jky

0jy

1jy

kL

0L

1L

,2,1,0,

,

,,,, 001000

kL

yxFdxdy

yyyxxyx

k

k

到一族特征线的轨迹

积分可以得程作为初值,对常微分方

时,分别由平面上,从在

,,,,,,,,,:

,,,,,,,,,:

,,,,,,,,,:

221100

12121110101

02021010000

jkjkkkk

jj

jj

yxyxyxyxL

yxyxyxyxL

yxyxyxyxL

图 7.7

Page 19: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 19

7.3.1

故积分上式,可以得到

,满足常微分方程因为在每一条特征线上

可以计算出根据给定的初始条件,

yxGdxdu

yxuyxuyxuyxu

k

,

,,,,,,,,,

00010000

0

,,,,,,,

,,,,,,,

,,,,,,,

1100

1111010

0101000

jkjkk

jj

jj

yxuyxuyxu

yxuyxuyxu

yxuyxuyxu

进行插值计算。方向上对函数值则还应进行上的解,方向上也规则的离散点此,若需要知道

上。因方向不规则的离散点是定义在

方法求得的离散解由此可知,用

uyy

yxy

yxuMOC

jkj

jkj

,

,

Page 20: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 20

7.4 一阶双曲型方程的线上求解法Method of Lines (MOL)

有限差分法:偏微分方程完全离散成为 一组差分方程 用线性代数方程组求解 线上求解法:偏微分方程部分离散成为 一组常微分方程 用常微分方程积分方法求解

CxuB

tuA

nixu

AB

AC

dtdu

nixxtgtxuxftxuxu

AB

AC

tu

tx

i

i

i

,,1,0

,,1,0,,

,

,

0

0

得到常微分方程组:轴离散化,将

Page 21: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 21

线上求解法 Method of Lines (MOL)

nitutxu i ,,1,0,, 视为把部分离散化方法

t

x0x ix nxx

1t

0tt

线间距

积分步长

。常微分方程组的数值解分方法计算然后用任何一种数值积

各种差分,样条,的近似值。

导方法得到:可以用任何一种数值求

为已知。或初始条件

xu

tutxu

i

ii

00,

nixu

AB

AC

tu ii ,,1,0

7.4

图 7.8

Page 22: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 22

7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法02

2

2

2

yu

xu

称为稳态热传导方程,通式为

• Dirichlet 问题

• Neumann 问题

算符称为

方程称为

Laplacex

Laplaceu

k k

2

22

2 0

02

2

2

2

yu

xu

02

2

2

2

yu

xu

yfyxu

yfyxuyfyxuyfyxu

n

m

41

301

2

10

,,,,

ygxu

ygxu

ygxu

ygxu

n

m

y

y

x

x

4

3

2

1

0

0

Page 23: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 23

y

x

ny

0y

jy

0x ix mx

xfyxu n 4,

xfyxu 30,

02

2

2

2

yu

xu

yxQ ,

u(x m

,y)=

f 2(y)

u(x 0,y

)=f 1(y

)

xgyu

y3

0

xgyu

ny4

xgyu

mx2

xgyu

x1

0

Laplace 方程的 Dirichlet 边界条件和 Neumann 边界条件和 Poisson 方程方程Poisson

yxyu

xu ,2

2

2

2

边界条件也需 4 个,有 3 类给定方法• Dirichlet 边 界 条 件• Neumann 边 界 条 件• 混合 边 界 条 件

7.5

图 7.9

Page 24: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 24

7.5.1 Laplace 算符的差分表达02

2

2

22

yu

xuu

简化表示为

级数导出。精度可由二阶导数的差商表示及

24

''2

44

3'''

2''

'

44

3'''

2''

'

122

2462

2462

hfxfh

hxfxfhxf

hfhxfhxfhxfxfhxf

hfhxfhxfhxfxfhxf

Taylor

iiii

iiiiii

iiiiii

22

11'' 2 hOh

ffff iiii

用于 Laplace 算符

211

2112

,,2,

,,2,,

yyxuyxuyxu

xyxuyxuyxu

yxu

jijiji

jijijiii

并用简化表示当 ,hyx

jijijijijiij uuuuuh

u ,1,1,,1,122 41

Page 25: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 25

1ix ix 1ix

1jy

jy

1jy

1, jiu

jiu , jiu ,1jiu ,1

1, jiu

011

16111

1

01

1411

1,

2

2

2

2

2

2

22

22

ijk

ij

uh

zu

yu

xuu

uh

yxu

Laplace

在三维空间内

方程的差分表达

7.5.1

图 7.10

Page 26: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 26

例: Laplace 方程的 Dirichlet 边界问题

co0

co0co0co0

co0 co0 co0

co100

y

x

cm10

cm20

5yh

5xh

解得

出一个线性方程对每个内部节点均可写

10000

410141014

0400100040004000

3

2

1

32

231

12

TTT

TTTTTTT

cTcTcT

o

o

o

786.26143.7786.1

3

2

1

7.5.1

图 7.11

Page 27: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 27

为了提高精度需要加密网络1 8 15 5 12

2 9 16 6 13

3 10 17 7 14

4 11 18 1 8 15

5 12 2 9

6 13 3 10

7 14 4 11

987654321 151413121110

987654321

100000141000001100000141000001

100000041000001000001410000

10000014100010000014100

1000001410100000141

10000014

5,15121 非零元素数带宽

ha

7.5.1

图 7.12

Page 28: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 28

Laplace 方程 Dirichlet 边界问题的差分求解• 消去法

• 直接迭代 Liebmann 方法

• 相继松弛 S.O.R. 方法

• 交替方向 A.D.I. 方法

04, ,1,1,,1,12 jijijijijiij uuuuuu

411,1,,1,1,

kjijijijikji uuuuu

1,1,,

1,11,1,,1,1

1, 4

kjikjikji

kjikjijijiji

kji

uRuu

uuuuu

uR

1,1,1,

,,1,1,1,

1,1,1,

,,1,11,,

24

24

24

24

kjijiji

kjijijikjikji

kjijiji

kjijijikjikji

uuuP

uuuPuu

uuuP

uuuPuu

7.5.1

Page 29: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 29

7.6 二阶椭圆型方程的有限元素法求 Method of Finite Elements (MFE)

以 Laplace 方程的 Dirichlet 问题为例

根据变分原则Variational

Principles

等价性定理以上方程的解将使以下泛函

为最小。

yxyxgyxu

Dyxyu

xu

,,,,

,,02

2

2

2

dxdyyu

xuuJ

D

22

21

S

D

me D

图 7.13

Page 30: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 30

7.6

将 D 进行剖分,常用的是三角剖分法

对任何一个元素用二原线性函数近似

在三个顶点上

可得到

SDeDm

m ,

yaaayxW e321,

kkk

jjj

iii

Wyaxaa

WyaxaaWyaxaa

321

321

321

kk

jj

ii

kk

jj

ii

kkk

jjj

iii

wxwxwx

ea

ywywyw

ea

yxWyxWyxW

ea

111

21

111

21

21

3

21

其中kk

jj

ii

yxyxyx

e111

2

Page 31: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 31

7.6

X

Y

u

ixjx

kx iy kyjy

yxu ,e yxW ,

i

j

ke

Ui=Wi

Uk=Wk

Uj=Wj

图 7.14

Page 32: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 32

7.6

所以

其中

既然顶点坐标均为规定,所以

并有

kkkk

jjjj

iiiie

wydxcb

wydxcb

wydxcbe

yxW

2

1,

ijkjikijjik

kijikjkijkj

jkikjijkkji

xxdyycyxyxb

xxdyycyxyxb

xxdyycyxyxb

,,

,,

,,

kjie WWWyxW ,,,

kkjjii

eey

kkjjii

eex

wdwdwdey

WyxW

wcwcwcex

WyxW

21,

21,

Page 33: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 33

7.6

使泛函最小的问题,即对

近似为对

求极值,或

因此得到:

可解得

e e

ey

ex

yx

dxdyww

dxdyuuuJ

22

22

21

21

dxdye

wdwdwd

ewcwcwc

wJ

kkjjii

e e

kkjjii

2

2

2

221

nmwJWm

,,2,1,0

rWA nmuw mm ,,2,1,

n 为内部节点数

边界上的 W 为给定

Page 34: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 34

7.6

2

2

121

1

,,

,,cos,cos,

,,,,

,

,,,,

yxyxh

yxuyxhyuyxq

xuyxp

yxyxgyxuDyxyxf

yxuyxryuyxq

yxuyxp

x

对于更为一般性的情况

需要极小化的泛函将是

也可剖分为有限个元素后求解

2

212

222

21,

,,,21

dsuhuhdxdyuyxf

uyxryuyxq

xuyxpuJ

y

x

D

1

2sx

syS

normal

genttan

12

图 7.15

Page 35: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 35

7.8 二阶抛物型方程的差分求解法动态扩散方程

对于一维空间

用差商代替微商,可以有各种选择,例如

所以有

需要另有更方便的方法

tC

DC

12

xgtxC

xgtxCxgtxC

xCD

tC

n 3

20

10

2

2

,,

,,

iixx

jijii

tx

jjtjiji

tx

xxhh

CCCtC

tthhtCC

tC

ji

ji

12,1,1

2

2

11,1,

,2

,2

jijijix

tjiji CCC

hhDCC ,1,,121,1, 22

时的数值和 ji tt 1

Page 36: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 36

7.8

显式方法

得到

或者:

则有:

22

,1,,1

,2

2

,1,

,

2x

x

jijiji

tx

tt

jiji

tx

hOh

cccxc

hOh

cctc

ji

ji

jijijix

tjiji ccc

Dhhcc ,1,,12,1, 2

jijijiji crccrc ,,1,11, 21

2122

2 rDhhhDhr txx

t 时,,当其中

jijiji ccc ,1,11, 21

0x ix 1ix1ix nx x

t

1jt

jt

0t图 7.16

Page 37: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 37

7.8

示例:

得到的数值解与以下解析解比较

2.0,20

0,004.00,

119.0 2

2

tctc

xcxc

tc

sec2.67

119.042

sec119.042

2

t

x

h

cmDcmh

1

2

1

2

2012sin1200294.0exp12

10sin01175.0exp20

2,

n

n

xntn

xntnxtxC

饱和蒸汽C2H5OH

32.0,20cmmgtc 304.00, cmmgxc

sec11904.0 2cmD

cm2020 0 x

30.0,0cmmgtc

空气

2cmA

图 7.17

Page 38: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 38

0

1

2

3

4

5

6

840 24201612

%c

cmx 4

cmx 12

Number of time steps

Analytical Solutions

Numerical Solutions

steptimepert

cmxset

cmDxtDr

sec6.334119.025.0

0.4

sec119.0,25.0

2

22

Analytical versus Numerical Solutions

Diffusion Dynamics

r0.25

7.8

图 7.18

Page 39: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 39

0

1

2

3

4

5

6

420 121086

%c

cmx 4

cmx 12

Number of time steps

Analytical Solutions

Numerical Solutions

steptimepert

cmxset

cmDxtDr

sec2.674119.0

5.00.4

sec119.0,5.0

2

22

Analytical versus Numerical Solutions

Diffusion Dynamics

r0.5

7.8

图 7.19

Page 40: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 40

7.8

显式法的稳定性分析

所以jijiji

ji

Wce

tx

,,,

,

时存在误差若在

时,有在

所以代入前式,并根据

级数展开

21

0,

,

,

,2

,2

21

21

2

,1,

22

22

,,,1

21

22

,,,1

1,,,,1,1

,,1,11,

r

MDEe

Dtxr

txctww

xtcx

xcxww

xtcx

xcxww

Taylor

wwrwwr

ereere

jj

ijiji

jijiji

jijiji

jjjijiji

jijijiji

2

2

,,1,11,

,,

21

xtc

Dtxct

ereere

ji

jijijiji

Page 41: 第七章  偏微分方程

浙江大学 实用数值计算方法 41

7.8

因此有 tME

tMErrEE

j

jjj

2121

0100

11

1

2

ttMEtMjE

tMEtMEE

j

jjj

则若当

所以时,在

0,0,21

,00

11

00

txr

MtEEt

jj

0

,,

,2

2

,

2

2

jiji

ji

xcD

tc

xtc

DtxcM

稳定条件为

故算法为稳定即 01 jE

21

2

xtDr


Top Related