Download - 第七章 偏微分方程
浙江大学 实用数值计算方法 1
第七章 偏微分方程7.1 一般介绍7.2 一阶双曲型方程的差分求解法7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法7.4 一阶双曲型方程的线上求解法7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法7.6 二阶椭圆型方程的有限元求解法7.7 二阶椭圆型方程的加权残差求解法7.8 二阶抛物型方程的差分求解法7.9 二阶抛物型方程的线上求解法7.10 二阶双曲型方程的特征线求解法
浙江大学 实用数值计算方法 2
7.1 偏微分方程的一般介绍 Partial Differential Equations(PDEs)
• 自变量数 至少 2 个
,,,,
0,,,,,,,,,,
2
2
2
yxuu
xuu
yuu
xuu
uuuuuuyxFyxuu
xyxxyx
yyxyxxyx
• 阶数 方程中导数的最高阶数
0
0
03
3
yyyx
yxx
yx
uu
uu
ubu
三阶二阶一阶
• 性态 以一阶方程为例
0 cubua yx
浙江大学 实用数值计算方法 3
7.1
yyxyxxyx
yx
yxyyxyxx
yx
yx
yx
yx
uuuuuuyx
uuuyxyxCBA
FuEuDuCuBuA
uu
xuuu
buu
uuuyxuyx
yxyxccyxbbyxaa
cba
,,,,,,,:
,,,,:,:
:,:,:
0:::
0
0
0
,,,,,,
,,,,,,
,,
2
2
：
对二阶方程
例
为常数
非线性拟线性线性
NonlinearrQuasilinea
Linear
非线性拟线性线性
非线性拟线性线性
浙江大学 实用数值计算方法 4
7.1
• 类型 一阶栓区型方程
xt
yx
uvu
cubua
0 流动方程Advection Equation(AE) 二阶线性方程 0 GCuBuAu yyxyxx
ellipticACB 椭圆型042
方程，传热方程
方程
Laplaceuu
Poissonyxfuu
yyxx
yyxx
0
,
parabolicACB 抛物型042
方程
扩散方程
BurgeruKuuu
uu
yyyx
yyx
hyperbolicACB 双曲型042
波动方程yyxx uu
浙江大学 实用数值计算方法 5
7.1
• 求解方法有限差分法 Method of Finite Differences (MFD)
特征线法 Method of Characteristics (MOC)
线上求解法 Method of Lines (MOL)
有限元素法 Method of Finite Elements (MFE)
加权残差法 Method of Weighled Residuals (MWR)
• 问题 收敛性 Convergence
当采取的步骤趋于无限时，数值结果是否趋于理论值？
稳定性 Stability
在某一步引入的误差，经多步数值计算后，会扩大或抑制？dxdy
xy
k
k
eyy
eyy
1
1
浙江大学 实用数值计算方法 6
7.2 一阶双曲型方程的差分求解法0
xuv
tu
或称流动方程 Advective Advection Equation (AE) v 为流速因子该方程的介折解
vtxfu
dwdu
xw
dwdu
xu
dwduv
tw
dwdu
tu
vtxwwfu
,因为
求具体解时需要提供 2 个辅助条件 vtxftxu
vtxftxu
00
00
,,
浙江大学 实用数值计算方法 7
7.2
assuming the forcing function is a Rump
The solution of is shown below.
sW
WssW
W
Wf
,0.0
0,1
0,0.1
0 xt vuu
wf
W0s
0.1
0.0
u
t
x
0tt 0xx
jx
nt
ntt
jxx tvx
txu j ,
txu ,0
0, txu
ntxu ,
图 7.1 Propagation of the Wave Front
浙江大学 实用数值计算方法 8
7.2.1 最简单的差分化格式构想
t
x0x 1jx jx 1jxx
1nt
nt
0t
t
tbxtuxaxtuxuv
tu
0
0
,,
xjxx j 0
tnttn 0
211
,
1
,
2xO
xuu
xu
tOtuu
tu
nj
nj
nj
nj
nj
nj
xuu
vtuu n
jnj
nj
nj
211
1
nj
nj
nj
nj uu
xtvuu 11
1
2
1 nn
图 7.2
浙江大学 实用数值计算方法 9
7.2.1
以上方法称为 时间镶嵌空间中心 的差分表达 Forward Time Centered Space
FTCS represetation
实际上这个方法不能用：不稳定的方法 Unstable Method
考虑数据误差 r
由于原方程为线性，故误差的传播关系
是与原方程完全相同的差分方程 差分方程独立解的一般形式 Independent Solutions of Difference Equations
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj ruru
xtvruru 1111
11
2
nj
nj
nj
nj rr
xtvrr 11
1
2
xjkir
xjkirnn
j
nnj
exp
exp11
FactorionAmplificat称为放大因子 是否上升序列决定 ,,,,,, 1110 n
jnj
njjj rrrrr
浙江大学 实用数值计算方法 10
7.2.1
线性微分方程的解
xFQydxdyP
dxyd
2
2
xFQyDyPyD 2
应为补充解和特殊解之和 补充解系由下式求出 0
0
0
21
2
2
yPDPDyQDPD
QyDyPyD
equationauxiliaryQPxxPP 的两个根为方程式 0, 2
21
00 21 yPDyPD补充解系由两个独立解组成
xPAyxPAy 222111 expexp
为复数时当 iPQP
yPxPPADy
4
exp2
111111
pyyyy 21
决定。由解，特殊解解组成的补充为微分方程的两个独立
xFyyy
p
21
浙江大学 实用数值计算方法 11
7.2.1
差分方程的解 可用算符运算方法 Operator Calculus 导出 差分算符 Difference Operator
jjjjj
jjj
xfxfyyy
xxx
11
1
jjjjj Eyyyyy 11
,1 E
22
21
1
jj
jj
jj
yyE
yEy
yEy
它和微分算符一样，是一种线性算符用于线性二阶差分方程
xFQyPyy nnn 12
和微分方程类似，它的补充解可由下式得到
0
0
0
21
2
12
n
n
nnn
yPEPEyQPEE
QyPyy
浙江大学 实用数值计算方法 12
7.2.1 故补充系由两个独立解组成 （ Independent Solutions ）
0
0
2
1
n
n
yPEyPE
两个独立解为n
nn
n PAyPAy 2211 21
nnnn
n yPEyyPPAy ,1
1因为：nn
n PAPAy 2211
ixiPQP exp42 时，当 xniAy n
n exp 差分方程的一个独立解（ Eigenmode ）
nn
nn
nnn
n
PyEyinxAixpy
xniAyEy
aaaiaa
aiaaiaia
naaaa
expexp
1exp
!5!3!4!21
!4!3!21exp
!!21exp
11
5342
432
2
浙江大学 实用数值计算方法 13
7.2.1 差分方程独立解的一般形式 inxAy n
n exp
用于本题的情况 xikjr
xikjrnn
j
nnj
exp
exp11
乘以随时间坐标的推进不断njr
FactorionAmplificat“ ”称为 放大因子
时，为不稳定。当 1
将独立解代入差分表达式 n
jnj
nj
nj rr
xtvrr 11
1
2
得到
xkixtv
xikxikxtv
xikjxjikxjik
xtv
xjikxjikxtvxikj
nn
n
sin22
expexp2
exp1exp1exp
21
1exp1exp2
exp1
浙江大学 实用数值计算方法 14
7.2.2 差分格式的改进
的条件是
使
相应的放大因子为：
格式为：得到的差分
而代之以
不用
1
sincos
221
21
2
11111
11
i
XkxtviXk
uuxtvuuu
uu
u
MethodLax
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
1xtv
Courant Condition
t
x0x 1jx 1jxjx
nt
0t
1nt
I
Rtk
1xtv
图 7.3
图 7.4
浙江大学 实用数值计算方法 15
7.2.2
Courant 条件的物理意义波形传递系沿 x=vt 线t 节点的选取• 当节点取在线上：
• 当节点取在线外：
• 当节点取在线内：
Lax 差分格式也写成以下形式
可以看成为以下偏微分方程的 FTCS 差分式
1,2
xtv
vxt
不稳定1,3
xtv
vxt
稳定1,1
xtv
vxt
tuuu
xuu
vtuu n
jnj
nj
nj
nj
nj
nj 1111
1 221
2
2
22
xu
tx
xuv
tu
dissipative term 耗散项Numerical Viscosity 数值黏度
t
x1jx jx 1jx
x
nt1t
3t2t
图 7.5
浙江大学 实用数值计算方法 16
7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法Method of Characteristics (MOC)
dyyudx
xudu
yxu
AyuBC
xu
yxCBA
的全微分
线性的函数，可以是
,
,,,
dyyudx
AyuBC
du
CyuB
xuA
0
AduCdxyuBdxAdy
这是原方程的转换方程，它们的解相同。 为原方程的特征线方程0 BdxAdy
yxFAB
dxdy ,
在特征线上，满足 的为解。0 AduCdx
浙江大学 实用数值计算方法 17
7.3.1 Method of Characteristics (MOC)
yxFdxdy ,
yxGdxdU ,
,,,,,,,
,,,,,,,
,,,,,,,
,
,,,,,,,
,
,,,,
10
11110
00100
01000
10
0
njnn
j
j
n
n
yxuyxuyxu
yxuyxuyxu
yxuyxuyxu
yxGdxdu
yxuyxuyxu
yxFdxdy
yyyyxxyx
积分，可以得到再对
条件轨迹。根据给定的初始
线的积分可以得到一族特征方程
作为初值，对常微分别由
时，分从平面上在
y
x
ny
1y
0yy
x0,0u
yxu ,
0x jx1x
图 7.6
浙江大学 实用数值计算方法 18
7.3.1 Method of Characteristics (MOC)
yxFdxdy ,
yxGdxdU ,
y
x
ky0
01y
00yy
x0,0u yxu ,
0x jx1x
ky1
11y
10y
jky
0jy
1jy
kL
0L
1L
,2,1,0,
,
,,,, 001000
kL
yxFdxdy
yyyxxyx
k
k
到一族特征线的轨迹
积分可以得程作为初值，对常微分方
时，分别由平面上，从在
,,,,,,,,,:
,,,,,,,,,:
,,,,,,,,,:
221100
12121110101
02021010000
jkjkkkk
jj
jj
yxyxyxyxL
yxyxyxyxL
yxyxyxyxL
图 7.7
浙江大学 实用数值计算方法 19
7.3.1
故积分上式，可以得到
，满足常微分方程因为在每一条特征线上
可以计算出根据给定的初始条件，
yxGdxdu
yxuyxuyxuyxu
k
,
,,,,,,,,,
00010000
0
,,,,,,,
,,,,,,,
,,,,,,,
1100
1111010
0101000
jkjkk
jj
jj
yxuyxuyxu
yxuyxuyxu
yxuyxuyxu
进行插值计算。方向上对函数值则还应进行上的解，方向上也规则的离散点此，若需要知道
上。因方向不规则的离散点是定义在
方法求得的离散解由此可知，用
uyy
yxy
yxuMOC
jkj
jkj
,
,
浙江大学 实用数值计算方法 20
7.4 一阶双曲型方程的线上求解法Method of Lines (MOL)
有限差分法：偏微分方程完全离散成为 一组差分方程 用线性代数方程组求解 线上求解法：偏微分方程部分离散成为 一组常微分方程 用常微分方程积分方法求解
CxuB
tuA
nixu
AB
AC
dtdu
nixxtgtxuxftxuxu
AB
AC
tu
tx
i
i
i
,,1,0
,,1,0,,
,
,
0
0
得到常微分方程组：轴离散化，将
浙江大学 实用数值计算方法 21
线上求解法 Method of Lines (MOL)
nitutxu i ,,1,0,, 视为把部分离散化方法
t
x0x ix nxx
1t
0tt
线间距
积分步长
。常微分方程组的数值解分方法计算然后用任何一种数值积
各种差分，样条，的近似值。
导方法得到：可以用任何一种数值求
为已知。或初始条件
xu
tutxu
i
ii
00,
nixu
AB
AC
tu ii ,,1,0
7.4
图 7.8
浙江大学 实用数值计算方法 22
7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法02
2
2
2
yu
xu
称为稳态热传导方程，通式为
• Dirichlet 问题
• Neumann 问题
算符称为
方程称为
Laplacex
Laplaceu
k k
2
22
2 0
02
2
2
2
yu
xu
02
2
2
2
yu
xu
yfyxu
yfyxuyfyxuyfyxu
n
m
41
301
2
10
,,,,
ygxu
ygxu
ygxu
ygxu
n
m
y
y
x
x
4
3
2
1
0
0
浙江大学 实用数值计算方法 23
y
x
ny
0y
jy
0x ix mx
xfyxu n 4,
xfyxu 30,
02
2
2
2
yu
xu
yxQ ,
u(x m
,y)=
f 2(y)
u(x 0,y
)=f 1(y
)
xgyu
y3
0
xgyu
ny4
xgyu
mx2
xgyu
x1
0
Laplace 方程的 Dirichlet 边界条件和 Neumann 边界条件和 Poisson 方程方程Poisson
yxyu
xu ,2
2
2
2
边界条件也需 4 个，有 3 类给定方法• Dirichlet 边 界 条 件• Neumann 边 界 条 件• 混合 边 界 条 件
7.5
图 7.9
浙江大学 实用数值计算方法 24
7.5.1 Laplace 算符的差分表达02
2
2
22
yu
xuu
简化表示为
级数导出。精度可由二阶导数的差商表示及
24
''2
44
3'''
2''
'
44
3'''
2''
'
122
2462
2462
hfxfh
hxfxfhxf
hfhxfhxfhxfxfhxf
hfhxfhxfhxfxfhxf
Taylor
iiii
iiiiii
iiiiii
22
11'' 2 hOh
ffff iiii
用于 Laplace 算符
211
2112
,,2,
,,2,,
yyxuyxuyxu
xyxuyxuyxu
yxu
jijiji
jijijiii
并用简化表示当 ,hyx
jijijijijiij uuuuuh
u ,1,1,,1,122 41
浙江大学 实用数值计算方法 25
1ix ix 1ix
1jy
jy
1jy
1, jiu
jiu , jiu ,1jiu ,1
1, jiu
011
16111
1
01
1411
1,
2
2
2
2
2
2
22
22
ijk
ij
uh
zu
yu
xuu
uh
yxu
Laplace
在三维空间内
方程的差分表达
7.5.1
图 7.10
浙江大学 实用数值计算方法 26
例： Laplace 方程的 Dirichlet 边界问题
co0
co0co0co0
co0 co0 co0
co100
y
x
cm10
cm20
5yh
5xh
解得
或
出一个线性方程对每个内部节点均可写
10000
410141014
0400100040004000
3
2
1
32
231
12
TTT
TTTTTTT
cTcTcT
o
o
o
786.26143.7786.1
3
2
1
7.5.1
图 7.11
浙江大学 实用数值计算方法 27
为了提高精度需要加密网络1 8 15 5 12
2 9 16 6 13
3 10 17 7 14
4 11 18 1 8 15
5 12 2 9
6 13 3 10
7 14 4 11
987654321 151413121110
987654321
100000141000001100000141000001
100000041000001000001410000
10000014100010000014100
1000001410100000141
10000014
5,15121 非零元素数带宽
ha
7.5.1
图 7.12
浙江大学 实用数值计算方法 28
Laplace 方程 Dirichlet 边界问题的差分求解• 消去法
• 直接迭代 Liebmann 方法
• 相继松弛 S.O.R. 方法
• 交替方向 A.D.I. 方法
04, ,1,1,,1,12 jijijijijiij uuuuuu
411,1,,1,1,
kjijijijikji uuuuu
1,1,,
1,11,1,,1,1
1, 4
kjikjikji
kjikjijijiji
kji
uRuu
uuuuu
uR
1,1,1,
,,1,1,1,
1,1,1,
,,1,11,,
24
24
24
24
kjijiji
kjijijikjikji
kjijiji
kjijijikjikji
uuuP
uuuPuu
uuuP
uuuPuu
7.5.1
浙江大学 实用数值计算方法 29
7.6 二阶椭圆型方程的有限元素法求 Method of Finite Elements (MFE)
以 Laplace 方程的 Dirichlet 问题为例
根据变分原则Variational
Principles
等价性定理以上方程的解将使以下泛函
为最小。
yxyxgyxu
Dyxyu
xu
,,,,
,,02
2
2
2
dxdyyu
xuuJ
D
22
21
S
D
me D
图 7.13
浙江大学 实用数值计算方法 30
7.6
将 D 进行剖分，常用的是三角剖分法
对任何一个元素用二原线性函数近似
在三个顶点上
可得到
SDeDm
m ,
yaaayxW e321,
kkk
jjj
iii
Wyaxaa
WyaxaaWyaxaa
321
321
321
kk
jj
ii
kk
jj
ii
kkk
jjj
iii
wxwxwx
ea
ywywyw
ea
yxWyxWyxW
ea
111
21
111
21
21
3
21
其中kk
jj
ii
yxyxyx
e111
2
浙江大学 实用数值计算方法 31
7.6
X
Y
u
ixjx
kx iy kyjy
yxu ,e yxW ,
i
j
ke
Ui=Wi
Uk=Wk
Uj=Wj
图 7.14
浙江大学 实用数值计算方法 32
7.6
所以
其中
既然顶点坐标均为规定，所以
并有
kkkk
jjjj
iiiie
wydxcb
wydxcb
wydxcbe
yxW
2
1,
ijkjikijjik
kijikjkijkj
jkikjijkkji
xxdyycyxyxb
xxdyycyxyxb
xxdyycyxyxb
,,
,,
,,
kjie WWWyxW ,,,
kkjjii
eey
kkjjii
eex
wdwdwdey
WyxW
wcwcwcex
WyxW
21,
21,
浙江大学 实用数值计算方法 33
7.6
使泛函最小的问题，即对
近似为对
求极值，或
因此得到：
可解得
e e
ey
ex
yx
dxdyww
dxdyuuuJ
22
22
21
21
dxdye
wdwdwd
ewcwcwc
wJ
kkjjii
e e
kkjjii
2
2
2
221
nmwJWm
,,2,1,0
rWA nmuw mm ,,2,1,
n 为内部节点数
边界上的 W 为给定
浙江大学 实用数值计算方法 34
7.6
2
2
121
1
,,
,,cos,cos,
,,,,
,
,,,,
yxyxh
yxuyxhyuyxq
xuyxp
yxyxgyxuDyxyxf
yxuyxryuyxq
yxuyxp
x
对于更为一般性的情况
需要极小化的泛函将是
也可剖分为有限个元素后求解
2
212
222
21,
,,,21
dsuhuhdxdyuyxf
uyxryuyxq
xuyxpuJ
y
x
D
1
2sx
syS
normal
genttan
12
图 7.15
浙江大学 实用数值计算方法 35
7.8 二阶抛物型方程的差分求解法动态扩散方程
对于一维空间
用差商代替微商，可以有各种选择，例如
所以有
需要另有更方便的方法
tC
DC
12
xgtxC
xgtxCxgtxC
xCD
tC
n 3
20
10
2
2
,,
,,
iixx
jijii
tx
jjtjiji
tx
xxhh
CCCtC
tthhtCC
tC
ji
ji
12,1,1
2
2
11,1,
,2
,2
jijijix
tjiji CCC
hhDCC ,1,,121,1, 22
时的数值和 ji tt 1
浙江大学 实用数值计算方法 36
7.8
显式方法
得到
或者：
则有：
22
,1,,1
,2
2
,1,
,
2x
x
jijiji
tx
tt
jiji
tx
hOh
cccxc
hOh
cctc
ji
ji
jijijix
tjiji ccc
Dhhcc ,1,,12,1, 2
jijijiji crccrc ,,1,11, 21
2122
2 rDhhhDhr txx
t 时，，当其中
jijiji ccc ,1,11, 21
0x ix 1ix1ix nx x
t
1jt
jt
0t图 7.16
浙江大学 实用数值计算方法 37
7.8
示例：
取
得到的数值解与以下解析解比较
2.0,20
0,004.00,
119.0 2
2
tctc
xcxc
tc
sec2.67
119.042
sec119.042
2
t
x
h
cmDcmh
1
2
1
2
2012sin1200294.0exp12
10sin01175.0exp20
2,
n
n
xntn
xntnxtxC
饱和蒸汽C2H5OH
32.0,20cmmgtc 304.00, cmmgxc
sec11904.0 2cmD
cm2020 0 x
30.0,0cmmgtc
空气
2cmA
图 7.17
浙江大学 实用数值计算方法 38
0
1
2
3
4
5
6
840 24201612
%c
cmx 4
cmx 12
Number of time steps
Analytical Solutions
Numerical Solutions
steptimepert
cmxset
cmDxtDr
sec6.334119.025.0
0.4
sec119.0,25.0
2
22
Analytical versus Numerical Solutions
Diffusion Dynamics
r0.25
7.8
图 7.18
浙江大学 实用数值计算方法 39
0
1
2
3
4
5
6
420 121086
%c
cmx 4
cmx 12
Number of time steps
Analytical Solutions
Numerical Solutions
steptimepert
cmxset
cmDxtDr
sec2.674119.0
5.00.4
sec119.0,5.0
2
22
Analytical versus Numerical Solutions
Diffusion Dynamics
r0.5
7.8
图 7.19
浙江大学 实用数值计算方法 40
7.8
显式法的稳定性分析
所以jijiji
ji
Wce
tx
,,,
,
时存在误差若在
时，有在
令
所以代入前式，并根据
级数展开
21
0,
,
,
,2
,2
21
21
2
,1,
22
22
,,,1
21
22
,,,1
1,,,,1,1
,,1,11,
r
MDEe
Dtxr
txctww
xtcx
xcxww
xtcx
xcxww
Taylor
wwrwwr
ereere
jj
ijiji
jijiji
jijiji
jjjijiji
jijijiji
2
2
,,1,11,
,,
21
xtc
Dtxct
ereere
ji
jijijiji
浙江大学 实用数值计算方法 41
7.8
因此有 tME
tMErrEE
j
jjj
2121
0100
11
1
2
ttMEtMjE
tMEtMEE
j
jjj
则若当
所以时，在
0,0,21
,00
11
00
txr
MtEEt
jj
0
,,
,2
2
,
2
2
jiji
ji
xcD
tc
xtc
DtxcM
稳定条件为
故算法为稳定即 01 jE
21
2
xtDr
