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浙江大学 实用数值计算方法 1
第七章 偏微分方程7.1 一般介绍7.2 一阶双曲型方程的差分求解法7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法7.4 一阶双曲型方程的线上求解法7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法7.6 二阶椭圆型方程的有限元求解法7.7 二阶椭圆型方程的加权残差求解法7.8 二阶抛物型方程的差分求解法7.9 二阶抛物型方程的线上求解法7.10 二阶双曲型方程的特征线求解法
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浙江大学 实用数值计算方法 2
7.1 偏微分方程的一般介绍 Partial Differential Equations(PDEs)
• 自变量数 至少 2 个
,,,,
0,,,,,,,,,,
2
2
2
yxuu
xuu
yuu
xuu
uuuuuuyxFyxuu
xyxxyx
yyxyxxyx
• 阶数 方程中导数的最高阶数
0
0
03
3
yyyx
yxx
yx
uu
uu
ubu
三阶二阶一阶
• 性态 以一阶方程为例
0 cubua yx
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浙江大学 实用数值计算方法 3
7.1
yyxyxxyx
yx
yxyyxyxx
yx
yx
yx
yx
uuuuuuyx
uuuyxyxCBA
FuEuDuCuBuA
uu
xuuu
buu
uuuyxuyx
yxyxccyxbbyxaa
cba
,,,,,,,:
,,,,:,:
:,:,:
0:::
0
0
0
,,,,,,
,,,,,,
,,
2
2
:
对二阶方程
例
为常数
非线性拟线性线性
NonlinearrQuasilinea
Linear
非线性拟线性线性
非线性拟线性线性
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浙江大学 实用数值计算方法 4
7.1
• 类型 一阶栓区型方程
xt
yx
uvu
cubua
0 流动方程Advection Equation(AE) 二阶线性方程 0 GCuBuAu yyxyxx
ellipticACB 椭圆型042
方程,传热方程
方程
Laplaceuu
Poissonyxfuu
yyxx
yyxx
0
,
parabolicACB 抛物型042
方程
扩散方程
BurgeruKuuu
uu
yyyx
yyx
hyperbolicACB 双曲型042
波动方程yyxx uu
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浙江大学 实用数值计算方法 5
7.1
• 求解方法有限差分法 Method of Finite Differences (MFD)
特征线法 Method of Characteristics (MOC)
线上求解法 Method of Lines (MOL)
有限元素法 Method of Finite Elements (MFE)
加权残差法 Method of Weighled Residuals (MWR)
• 问题 收敛性 Convergence
当采取的步骤趋于无限时,数值结果是否趋于理论值?
稳定性 Stability
在某一步引入的误差,经多步数值计算后,会扩大或抑制?dxdy
xy
k
k
eyy
eyy
1
1
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浙江大学 实用数值计算方法 6
7.2 一阶双曲型方程的差分求解法0
xuv
tu
或称流动方程 Advective Advection Equation (AE) v 为流速因子该方程的介折解
vtxfu
dwdu
xw
dwdu
xu
dwduv
tw
dwdu
tu
vtxwwfu
,因为
求具体解时需要提供 2 个辅助条件 vtxftxu
vtxftxu
00
00
,,
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浙江大学 实用数值计算方法 7
7.2
assuming the forcing function is a Rump
The solution of is shown below.
sW
WssW
W
Wf
,0.0
0,1
0,0.1
0 xt vuu
wf
W0s
0.1
0.0
u
t
x
0tt 0xx
jx
nt
ntt
jxx tvx
txu j ,
txu ,0
0, txu
ntxu ,
图 7.1 Propagation of the Wave Front
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浙江大学 实用数值计算方法 8
7.2.1 最简单的差分化格式构想
t
x0x 1jx jx 1jxx
1nt
nt
0t
t
tbxtuxaxtuxuv
tu
0
0
,,
xjxx j 0
tnttn 0
211
,
1
,
2xO
xuu
xu
tOtuu
tu
nj
nj
nj
nj
nj
nj
xuu
vtuu n
jnj
nj
nj
211
1
nj
nj
nj
nj uu
xtvuu 11
1
2
1 nn
图 7.2
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浙江大学 实用数值计算方法 9
7.2.1
以上方法称为 时间镶嵌空间中心 的差分表达 Forward Time Centered Space
FTCS represetation
实际上这个方法不能用:不稳定的方法 Unstable Method
考虑数据误差 r
由于原方程为线性,故误差的传播关系
是与原方程完全相同的差分方程 差分方程独立解的一般形式 Independent Solutions of Difference Equations
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj ruru
xtvruru 1111
11
2
nj
nj
nj
nj rr
xtvrr 11
1
2
xjkir
xjkirnn
j
nnj
exp
exp11
FactorionAmplificat称为放大因子 是否上升序列决定 ,,,,,, 1110 n
jnj
njjj rrrrr
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浙江大学 实用数值计算方法 10
7.2.1
线性微分方程的解
xFQydxdyP
dxyd
2
2
xFQyDyPyD 2
应为补充解和特殊解之和 补充解系由下式求出 0
0
0
21
2
2
yPDPDyQDPD
QyDyPyD
equationauxiliaryQPxxPP 的两个根为方程式 0, 2
21
00 21 yPDyPD补充解系由两个独立解组成
xPAyxPAy 222111 expexp
为复数时当 iPQP
yPxPPADy
4
exp2
111111
pyyyy 21
决定。由解,特殊解解组成的补充为微分方程的两个独立
xFyyy
p
21
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浙江大学 实用数值计算方法 11
7.2.1
差分方程的解 可用算符运算方法 Operator Calculus 导出 差分算符 Difference Operator
jjjjj
jjj
xfxfyyy
xxx
11
1
jjjjj Eyyyyy 11
,1 E
22
21
1
jj
jj
jj
yyE
yEy
yEy
它和微分算符一样,是一种线性算符用于线性二阶差分方程
xFQyPyy nnn 12
和微分方程类似,它的补充解可由下式得到
0
0
0
21
2
12
n
n
nnn
yPEPEyQPEE
QyPyy
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浙江大学 实用数值计算方法 12
7.2.1 故补充系由两个独立解组成 ( Independent Solutions )
0
0
2
1
n
n
yPEyPE
两个独立解为n
nn
n PAyPAy 2211 21
nnnn
n yPEyyPPAy ,1
1因为:nn
n PAPAy 2211
ixiPQP exp42 时,当 xniAy n
n exp 差分方程的一个独立解( Eigenmode )
nn
nn
nnn
n
PyEyinxAixpy
xniAyEy
aaaiaa
aiaaiaia
naaaa
expexp
1exp
!5!3!4!21
!4!3!21exp
!!21exp
11
5342
432
2
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浙江大学 实用数值计算方法 13
7.2.1 差分方程独立解的一般形式 inxAy n
n exp
用于本题的情况 xikjr
xikjrnn
j
nnj
exp
exp11
乘以随时间坐标的推进不断njr
FactorionAmplificat“ ”称为 放大因子
时,为不稳定。当 1
将独立解代入差分表达式 n
jnj
nj
nj rr
xtvrr 11
1
2
得到
xkixtv
xikxikxtv
xikjxjikxjik
xtv
xjikxjikxtvxikj
nn
n
sin22
expexp2
exp1exp1exp
21
1exp1exp2
exp1
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浙江大学 实用数值计算方法 14
7.2.2 差分格式的改进
的条件是
使
相应的放大因子为:
格式为:得到的差分
而代之以
不用
1
sincos
221
21
2
11111
11
i
XkxtviXk
uuxtvuuu
uu
u
MethodLax
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
1xtv
Courant Condition
t
x0x 1jx 1jxjx
nt
0t
1nt
I
Rtk
1xtv
图 7.3
图 7.4
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浙江大学 实用数值计算方法 15
7.2.2
Courant 条件的物理意义波形传递系沿 x=vt 线t 节点的选取• 当节点取在线上:
• 当节点取在线外:
• 当节点取在线内:
Lax 差分格式也写成以下形式
可以看成为以下偏微分方程的 FTCS 差分式
1,2
xtv
vxt
不稳定1,3
xtv
vxt
稳定1,1
xtv
vxt
tuuu
xuu
vtuu n
jnj
nj
nj
nj
nj
nj 1111
1 221
2
2
22
xu
tx
xuv
tu
dissipative term 耗散项Numerical Viscosity 数值黏度
t
x1jx jx 1jx
x
nt1t
3t2t
图 7.5
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浙江大学 实用数值计算方法 16
7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法Method of Characteristics (MOC)
dyyudx
xudu
yxu
AyuBC
xu
yxCBA
的全微分
线性的函数,可以是
,
,,,
dyyudx
AyuBC
du
CyuB
xuA
0
AduCdxyuBdxAdy
这是原方程的转换方程,它们的解相同。 为原方程的特征线方程0 BdxAdy
yxFAB
dxdy ,
在特征线上,满足 的为解。0 AduCdx
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浙江大学 实用数值计算方法 17
7.3.1 Method of Characteristics (MOC)
yxFdxdy ,
yxGdxdU ,
,,,,,,,
,,,,,,,
,,,,,,,
,
,,,,,,,
,
,,,,
10
11110
00100
01000
10
0
njnn
j
j
n
n
yxuyxuyxu
yxuyxuyxu
yxuyxuyxu
yxGdxdu
yxuyxuyxu
yxFdxdy
yyyyxxyx
积分,可以得到再对
条件轨迹。根据给定的初始
线的积分可以得到一族特征方程
作为初值,对常微分别由
时,分从平面上在
y
x
ny
1y
0yy
x0,0u
yxu ,
0x jx1x
图 7.6
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浙江大学 实用数值计算方法 18
7.3.1 Method of Characteristics (MOC)
yxFdxdy ,
yxGdxdU ,
y
x
ky0
01y
00yy
x0,0u yxu ,
0x jx1x
ky1
11y
10y
jky
0jy
1jy
kL
0L
1L
,2,1,0,
,
,,,, 001000
kL
yxFdxdy
yyyxxyx
k
k
到一族特征线的轨迹
积分可以得程作为初值,对常微分方
时,分别由平面上,从在
,,,,,,,,,:
,,,,,,,,,:
,,,,,,,,,:
221100
12121110101
02021010000
jkjkkkk
jj
jj
yxyxyxyxL
yxyxyxyxL
yxyxyxyxL
图 7.7
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浙江大学 实用数值计算方法 19
7.3.1
故积分上式,可以得到
,满足常微分方程因为在每一条特征线上
可以计算出根据给定的初始条件,
yxGdxdu
yxuyxuyxuyxu
k
,
,,,,,,,,,
00010000
0
,,,,,,,
,,,,,,,
,,,,,,,
1100
1111010
0101000
jkjkk
jj
jj
yxuyxuyxu
yxuyxuyxu
yxuyxuyxu
进行插值计算。方向上对函数值则还应进行上的解,方向上也规则的离散点此,若需要知道
上。因方向不规则的离散点是定义在
方法求得的离散解由此可知,用
uyy
yxy
yxuMOC
jkj
jkj
,
,
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浙江大学 实用数值计算方法 20
7.4 一阶双曲型方程的线上求解法Method of Lines (MOL)
有限差分法:偏微分方程完全离散成为 一组差分方程 用线性代数方程组求解 线上求解法:偏微分方程部分离散成为 一组常微分方程 用常微分方程积分方法求解
CxuB
tuA
nixu
AB
AC
dtdu
nixxtgtxuxftxuxu
AB
AC
tu
tx
i
i
i
,,1,0
,,1,0,,
,
,
0
0
得到常微分方程组:轴离散化,将
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浙江大学 实用数值计算方法 21
线上求解法 Method of Lines (MOL)
nitutxu i ,,1,0,, 视为把部分离散化方法
t
x0x ix nxx
1t
0tt
线间距
积分步长
。常微分方程组的数值解分方法计算然后用任何一种数值积
各种差分,样条,的近似值。
导方法得到:可以用任何一种数值求
为已知。或初始条件
xu
tutxu
i
ii
00,
nixu
AB
AC
tu ii ,,1,0
7.4
图 7.8
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浙江大学 实用数值计算方法 22
7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法02
2
2
2
yu
xu
称为稳态热传导方程,通式为
• Dirichlet 问题
• Neumann 问题
算符称为
方程称为
Laplacex
Laplaceu
k k
2
22
2 0
02
2
2
2
yu
xu
02
2
2
2
yu
xu
yfyxu
yfyxuyfyxuyfyxu
n
m
41
301
2
10
,,,,
ygxu
ygxu
ygxu
ygxu
n
m
y
y
x
x
4
3
2
1
0
0
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浙江大学 实用数值计算方法 23
y
x
ny
0y
jy
0x ix mx
xfyxu n 4,
xfyxu 30,
02
2
2
2
yu
xu
yxQ ,
u(x m
,y)=
f 2(y)
u(x 0,y
)=f 1(y
)
xgyu
y3
0
xgyu
ny4
xgyu
mx2
xgyu
x1
0
Laplace 方程的 Dirichlet 边界条件和 Neumann 边界条件和 Poisson 方程方程Poisson
yxyu
xu ,2
2
2
2
边界条件也需 4 个,有 3 类给定方法• Dirichlet 边 界 条 件• Neumann 边 界 条 件• 混合 边 界 条 件
7.5
图 7.9
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浙江大学 实用数值计算方法 24
7.5.1 Laplace 算符的差分表达02
2
2
22
yu
xuu
简化表示为
级数导出。精度可由二阶导数的差商表示及
24
''2
44
3'''
2''
'
44
3'''
2''
'
122
2462
2462
hfxfh
hxfxfhxf
hfhxfhxfhxfxfhxf
hfhxfhxfhxfxfhxf
Taylor
iiii
iiiiii
iiiiii
22
11'' 2 hOh
ffff iiii
用于 Laplace 算符
211
2112
,,2,
,,2,,
yyxuyxuyxu
xyxuyxuyxu
yxu
jijiji
jijijiii
并用简化表示当 ,hyx
jijijijijiij uuuuuh
u ,1,1,,1,122 41
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浙江大学 实用数值计算方法 25
1ix ix 1ix
1jy
jy
1jy
1, jiu
jiu , jiu ,1jiu ,1
1, jiu
011
16111
1
01
1411
1,
2
2
2
2
2
2
22
22
ijk
ij
uh
zu
yu
xuu
uh
yxu
Laplace
在三维空间内
方程的差分表达
7.5.1
图 7.10
![Page 26: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/26.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 26
例: Laplace 方程的 Dirichlet 边界问题
co0
co0co0co0
co0 co0 co0
co100
y
x
cm10
cm20
5yh
5xh
解得
或
出一个线性方程对每个内部节点均可写
10000
410141014
0400100040004000
3
2
1
32
231
12
TTT
TTTTTTT
cTcTcT
o
o
o
786.26143.7786.1
3
2
1
7.5.1
图 7.11
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浙江大学 实用数值计算方法 27
为了提高精度需要加密网络1 8 15 5 12
2 9 16 6 13
3 10 17 7 14
4 11 18 1 8 15
5 12 2 9
6 13 3 10
7 14 4 11
987654321 151413121110
987654321
100000141000001100000141000001
100000041000001000001410000
10000014100010000014100
1000001410100000141
10000014
5,15121 非零元素数带宽
ha
7.5.1
图 7.12
![Page 28: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/28.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 28
Laplace 方程 Dirichlet 边界问题的差分求解• 消去法
• 直接迭代 Liebmann 方法
• 相继松弛 S.O.R. 方法
• 交替方向 A.D.I. 方法
04, ,1,1,,1,12 jijijijijiij uuuuuu
411,1,,1,1,
kjijijijikji uuuuu
1,1,,
1,11,1,,1,1
1, 4
kjikjikji
kjikjijijiji
kji
uRuu
uuuuu
uR
1,1,1,
,,1,1,1,
1,1,1,
,,1,11,,
24
24
24
24
kjijiji
kjijijikjikji
kjijiji
kjijijikjikji
uuuP
uuuPuu
uuuP
uuuPuu
7.5.1
![Page 29: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/29.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 29
7.6 二阶椭圆型方程的有限元素法求 Method of Finite Elements (MFE)
以 Laplace 方程的 Dirichlet 问题为例
根据变分原则Variational
Principles
等价性定理以上方程的解将使以下泛函
为最小。
yxyxgyxu
Dyxyu
xu
,,,,
,,02
2
2
2
dxdyyu
xuuJ
D
22
21
S
D
me D
图 7.13
![Page 30: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/30.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 30
7.6
将 D 进行剖分,常用的是三角剖分法
对任何一个元素用二原线性函数近似
在三个顶点上
可得到
SDeDm
m ,
yaaayxW e321,
kkk
jjj
iii
Wyaxaa
WyaxaaWyaxaa
321
321
321
kk
jj
ii
kk
jj
ii
kkk
jjj
iii
wxwxwx
ea
ywywyw
ea
yxWyxWyxW
ea
111
21
111
21
21
3
21
其中kk
jj
ii
yxyxyx
e111
2
![Page 31: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/31.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 31
7.6
X
Y
u
ixjx
kx iy kyjy
yxu ,e yxW ,
i
j
ke
Ui=Wi
Uk=Wk
Uj=Wj
图 7.14
![Page 32: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/32.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 32
7.6
所以
其中
既然顶点坐标均为规定,所以
并有
kkkk
jjjj
iiiie
wydxcb
wydxcb
wydxcbe
yxW
2
1,
ijkjikijjik
kijikjkijkj
jkikjijkkji
xxdyycyxyxb
xxdyycyxyxb
xxdyycyxyxb
,,
,,
,,
kjie WWWyxW ,,,
kkjjii
eey
kkjjii
eex
wdwdwdey
WyxW
wcwcwcex
WyxW
21,
21,
![Page 33: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/33.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 33
7.6
使泛函最小的问题,即对
近似为对
求极值,或
因此得到:
可解得
e e
ey
ex
yx
dxdyww
dxdyuuuJ
22
22
21
21
dxdye
wdwdwd
ewcwcwc
wJ
kkjjii
e e
kkjjii
2
2
2
221
nmwJWm
,,2,1,0
rWA nmuw mm ,,2,1,
n 为内部节点数
边界上的 W 为给定
![Page 34: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/34.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 34
7.6
2
2
121
1
,,
,,cos,cos,
,,,,
,
,,,,
yxyxh
yxuyxhyuyxq
xuyxp
yxyxgyxuDyxyxf
yxuyxryuyxq
yxuyxp
x
对于更为一般性的情况
需要极小化的泛函将是
也可剖分为有限个元素后求解
2
212
222
21,
,,,21
dsuhuhdxdyuyxf
uyxryuyxq
xuyxpuJ
y
x
D
1
2sx
syS
normal
genttan
12
图 7.15
![Page 35: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/35.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 35
7.8 二阶抛物型方程的差分求解法动态扩散方程
对于一维空间
用差商代替微商,可以有各种选择,例如
所以有
需要另有更方便的方法
tC
DC
12
xgtxC
xgtxCxgtxC
xCD
tC
n 3
20
10
2
2
,,
,,
iixx
jijii
tx
jjtjiji
tx
xxhh
CCCtC
tthhtCC
tC
ji
ji
12,1,1
2
2
11,1,
,2
,2
jijijix
tjiji CCC
hhDCC ,1,,121,1, 22
时的数值和 ji tt 1
![Page 36: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/36.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 36
7.8
显式方法
得到
或者:
则有:
22
,1,,1
,2
2
,1,
,
2x
x
jijiji
tx
tt
jiji
tx
hOh
cccxc
hOh
cctc
ji
ji
jijijix
tjiji ccc
Dhhcc ,1,,12,1, 2
jijijiji crccrc ,,1,11, 21
2122
2 rDhhhDhr txx
t 时,,当其中
jijiji ccc ,1,11, 21
0x ix 1ix1ix nx x
t
1jt
jt
0t图 7.16
![Page 37: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/37.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 37
7.8
示例:
取
得到的数值解与以下解析解比较
2.0,20
0,004.00,
119.0 2
2
tctc
xcxc
tc
sec2.67
119.042
sec119.042
2
t
x
h
cmDcmh
1
2
1
2
2012sin1200294.0exp12
10sin01175.0exp20
2,
n
n
xntn
xntnxtxC
饱和蒸汽C2H5OH
32.0,20cmmgtc 304.00, cmmgxc
sec11904.0 2cmD
cm2020 0 x
30.0,0cmmgtc
空气
2cmA
图 7.17
![Page 38: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/38.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 38
0
1
2
3
4
5
6
840 24201612
%c
cmx 4
cmx 12
Number of time steps
Analytical Solutions
Numerical Solutions
steptimepert
cmxset
cmDxtDr
sec6.334119.025.0
0.4
sec119.0,25.0
2
22
Analytical versus Numerical Solutions
Diffusion Dynamics
r0.25
7.8
图 7.18
![Page 39: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/39.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 39
0
1
2
3
4
5
6
420 121086
%c
cmx 4
cmx 12
Number of time steps
Analytical Solutions
Numerical Solutions
steptimepert
cmxset
cmDxtDr
sec2.674119.0
5.00.4
sec119.0,5.0
2
22
Analytical versus Numerical Solutions
Diffusion Dynamics
r0.5
7.8
图 7.19
![Page 40: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/40.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 40
7.8
显式法的稳定性分析
所以jijiji
ji
Wce
tx
,,,
,
时存在误差若在
时,有在
令
所以代入前式,并根据
级数展开
21
0,
,
,
,2
,2
21
21
2
,1,
22
22
,,,1
21
22
,,,1
1,,,,1,1
,,1,11,
r
MDEe
Dtxr
txctww
xtcx
xcxww
xtcx
xcxww
Taylor
wwrwwr
ereere
jj
ijiji
jijiji
jijiji
jjjijiji
jijijiji
2
2
,,1,11,
,,
21
xtc
Dtxct
ereere
ji
jijijiji
![Page 41: 第七章 偏微分方程](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061405/56813da3550346895da76ba1/html5/thumbnails/41.jpg)
浙江大学 实用数值计算方法 41
7.8
因此有 tME
tMErrEE
j
jjj
2121
0100
11
1
2
ttMEtMjE
tMEtMEE
j
jjj
则若当
所以时,在
0,0,21
,00
11
00
txr
MtEEt
jj
0
,,
,2
2
,
2
2
jiji
ji
xcD
tc
xtc
DtxcM
稳定条件为
故算法为稳定即 01 jE
21
2
xtDr