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第一章 离散时间信号与离散时间系统第一章 离散时间信号与离散时间系统
Chapter 1 Discrete Time Signal and Systems
2008.9
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
1. 概念:时间离散的信号,又可称序列,记作:
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
2. 表示法:
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
3. 常用的典型序列 (单位取样、单位脉冲、单位函数)
性质:
jk
jkjk
,1
,0)()1
)(),()2 jkAkA
0)()0()()( fkfkkf
)()()()()( mfmkmfmkkf
推广:
利用单位序列利用单位序列 (k)(k) 表示任意序列表示任意序列
m
mkmfkf )()()( 例:
注意:注意:
,0,0,3,0,5.1,1,0,
0k
kf
235.11 kkk
(t) 用面积(强度)表示, ( 幅度为 , 但强度为面积 )(k) 的值就是 k=0 时的瞬时值(不是面积)
00
0)(
t
tt
1)(
dtt
0,1
0,0)(
k
kk
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
0,0
0,1)(
k
kkU
0
)()3()2()1()()(i
ikkkkkkU
)1()()( kUkUk
U(k) 可以看作是无数个出现在不同序号上的单位序列信号之和。
推广:
jk
jkjkU
,1
,0)()1
)(),()2 jkAUkAU
性质:
00
0)()()(
k
kkfkUkf
U(t) :奇异信号,数学抽象函数; U(k) :非奇异信号,可实现信号。
可见, U(k) 作用类似于 U(t) ,但二者有较大差别:
关系:与 )()( kUk
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
3. 常用典型序列
e. 正弦序列 sin(ωn)
x(n) = sin(ωn)如果正弦序列是由模拟信号
Xa(t) =sin(Ωt ) 采样得到的,那么Xa(t)|t=nTs=sin(ΩnTs) Ts 为采样周期
x(n)=sin(ωn)
ω=ΩTs= Ω/fs
Ω = 2π ×10rad / s
f =100 Hzs ω = 2π /10rad / s
由采样得到的正弦序列 x(n) = sin(ωn)
模拟正弦信号 Xa(t) =sin(Ωt )
ω :数字角频率
Ω :模拟角频率
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4. 序列的周期性
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
正弦序列周期性的讨论
N=(2π/ω0)k= (2π /ΩTs)k= (2π /ΩTs)k=(T/Ts)k
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
正弦序列周期性的讨论
102
,2.00
0 N 20
2,1.0
00
N
)2(112
,11
4
00 kkN
无周期,4.00
习题习题
例 1 :判断是否为周期序列,如果是,周期是多少?
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
5. 序列的基本运算
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
5. 序列的基本运算
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
5. 序列的基本运算
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
5. 序列的基本运算
1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念
5. 序列的基本运算
习题习题
例 2 :
习题习题
1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念
1. 离散时间系统一种变换,或一种映射,把输入序列(激励)变换为输
出序列(响应);可以是一种硬件装置,或是一个数学表达式
2. 线性时不变离散时间系统 (LTI)
线性:满足叠加原理时不变:系统响应与输入信号加入系统的时间无关
1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念
2. 线性时不变离散时间系统
线性
时不变
习题习题
例 3 :判断系统是否为线性系统
习题习题
例 4 判断系统是否为时不变系统?
1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念
3. 因果性和稳定性
系统的因果性是指系统的可实现性
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4.LTI系统输入输出关系
(n) h(n)
1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念
-m
m)-(nx(m)
(n-m) h(n-m)
x(m)(n-m) x(m)h(n-m)
-m
m)-x(m)h(n
称此为 x(n) 与 h(n) 的卷积和 (Convolution)
由 LTI 系统的性质有以下:
即: x(n) y(n)
1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念
例例 55 ::用图解法求图示信号的卷积和用图解法求图示信号的卷积和 y(k)=f(k)*h(k)y(k)=f(k)*h(k) 。。
)(*)()( khkfky 解:
01.0,04.0,09.0,16.0,21.0,20.0,17.0,12.0)(
0k
ky
1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念
4) 卷积的性质交换率:
结合率:
分配律:
此外:此外:
卷积应用举例——连续卷积卷积应用举例——连续卷积
卷积应用举例——离散卷积卷积应用举例——离散卷积
核矩阵
积阵列
设当前的待处理像素为 f(i,j) , 给出一个处理模板如下所示。
(i-1, j-1) (i-1, j) (i-1, j+1)
(i , j-1) (i, j) (i, j+1)
(i+1, j-1) (i+1, j) (i+1, j+1)
卷积应用举例——离散卷积卷积应用举例——离散卷积
19
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , )
m n
m n
m n
g i j f m n h i m j n
h m n f i m j n
f i m j n
则有:
111
111
111
91H即:
卷积应用举例——离散卷积卷积应用举例——离散卷积
111
121
111
101
1H
121
242
121
161
2H
111
101
111
81
3H
00
1
00
41
41
41
41
21
4H
将以上的均值滤波器加以修正,得到加权平均滤波器:
卷积应用举例——离散卷积卷积应用举例——离散卷积
1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念
5.LTI 系统的频率响应令系统输入 x(n) 为一个特殊的复正弦信号则系统的输出为:
定义
为系统的频率响应。
-m
-m
)(
-m-m
)(
)()()()()()(
mjnj
mnj
emhe
emhn-mxmhn-mhmxny
njenx )(
-m
)()( mjj emheH 注意: 1. 该式实际上是序列 h(m)的傅里叶变换( DTFT——Discrete Time Fourier Transform );2. 周期连续复值函数;
)()()( jjj eeHeH
幅频响应 相频响应
1 、差分方程描述:
例 6 : y(k) 表示一个国家在第 k 年的人口数, a 、 b 分别代表出生率和死亡率,是常数。设 f(k) 是国外移民的净增数,则该国在第 k+1 年的人口总数 y(k+1) 为多少?
y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+f(k)=(a-b+1)y(k)+f(k)
所以,有 y(k+1)+(b-a-1)y(k)=f(k)
例 7 :某人每月初均存入银行固定款 f(k) ,月息为 a ,每月本息不取,试求第 k 个月的初存入款时的本息和 y(k) 为多少?
有 y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k)
1-3 1-3 离散时间系统模型离散时间系统模型
例例 88 ::
T
kyky
dt
tdy 1
kykTyty
kfkTftf
kfkayT
kyky
1
kfaT
Tky
aTky
11
1
1
tftaydt
tdy
例例 99 ::图示电路,写出节点电压关系。图示电路,写出节点电压关系。
0)(112
2
kukua
aku
讨论:讨论:(( 11 )差分方程:)差分方程:由激励序列、响应序列以及其移序序列组成的方程。由激励序列、响应序列以及其移序序列组成的方程。含含 y(k) , y(k-1) ,…的差分方程的差分方程 : : 后向差分方程后向差分方程含含 y(k) , y(k+1) ,…的差分方程的差分方程 : : 前向差分方程前向差分方程(( 22 )差分方程 阶数:)差分方程 阶数:响应最高序号与最低序号的差值。响应最高序号与最低序号的差值。(( 33 )离散自变量)离散自变量 kk 不一定限于时间。不一定限于时间。(( 44 )) NN 阶线性常系数差分方程:阶线性常系数差分方程:
1-3 1-3 离散时间系统模型离散时间系统模型
1-3 1-3 离散时间系统模型离散时间系统模型
2 、差分方程求解
习题习题
例 10 :
小结小结时域特性与频域特性h(n) 、 H(ejw)
线性、时不变性、因果性、 稳定性低通、高通、带通、带阻、线性相位离散系统研究的两方面: 系统分析:给定系统,研究其特性 系统综合:给定特性指标,设计系统