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第五章 標準分數第六章 常態分配授課教師:葉玉賢老師
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標準分數:定義與分類 標準分數是以標準差為單位,表示個人原始分數和團體平均數之差的一種分數。故標準分數是以平均數為參照點,來說明個人在團體分數的「位置」。
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標準分數:定義與分類Z 分數的計算方式就是將原始分數減掉平均分數後,再除以標準差。
X :原始分數 M :平均分數SD :標準差 從公式可知, z分數只是原始分數的直線轉換而已。
SDMXscoreZ
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當原始分數轉換為「有多少個標準差」的概念…
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當原始分數轉換為「有多少個標準差」的概念… 我們的理解是: 假定標準差是一個測量單位,則小明的分數應該是掉落在平均數以上或以下的「幾個單位」呢? 「幾個單位」中的「幾」個,即是 Z分數的概念。所以 Z分數並沒有單位可言,而是一個數字。
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Z分數的進一步解釋… 假設某國中舉行高中聯招試題模擬考試,已知數學科的全校平均數為 60.00 ,標準差為 4.50 ,而英文科的全校平均數為 75.00 ,標準差為 8.60 ;且A班的數學成績平均為 55.50 ,英文成績平均為 83.60 ,而B班的數學成績平均為 64.50 ,英文則為 66.40 。請問: 我們可以直接拿不同單位的原始分數來比較嗎? 究竟兩班各科的平均成績高於「幾」個標準差? AB兩班的數學與英文成績孰優?
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Z分數的特性當 z分數小於 0時,表示該觀察值落在平均數以下。•當 z分數大於 0,表示該觀察值落在平均數以上;數值越大,表示距離平均數越遠,•若觀察值恰等於平均數,則 z分數為 0。
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Z分數的特性• 任何一組數據經過 z 公式轉換後,均具有平均數為 0 ,標準差為 1 的特性。• z 分數僅是將原始分數進行線性轉換,並未改變各分數的相對關係與距離,因此, z 分數轉換並不會改變分配的形狀。
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缺點… Z 分數的缺點是原始分數小於平均數時,會產生負值。 Z 分數的另一個缺點是不容易對家長解釋分數的意義。
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直線轉換公式直線轉換式: Z = az + b
大寫的 Z : 轉換的標準分數a :直線轉換式的斜率,是 Z 分數分配的標準差b :直線轉換式的截距,是 Z 分數分配的平均數T 分數 (T=10z+50)SAT 考試( Scholastic Assessment Test )( SAT=100z+500 )魏氏智力測驗為(平均數為 100 ,標準差為 15 的標準分數)( WISC=15z+100 )
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比西智力測驗的離差智商= 16Z + 100( 比西智力測驗的平均數 100 ,標準差 16)魏氏智力測驗的離差智商= 15Z + 100( 魏氏智力測驗的平均數 100 ,標準差 15)
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例題例 1:小華班上的數學成績平均分數為 82分,標準差 9,而小華的數學成績為91分,請問小華的 Z分數是多少?例 2:承例 1,小明的數學成績是 64分,請問小明的 Z分數是多少?
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答案是…1
982-91scoreZ
29
82-64scoreZ
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另一個標準分數: T分數T 分數是由 Z分數以線性轉換而得的標準分數。 T分數的計算方式為: T= 10Z + 50 承 Z分數例 1與例 2,小華的 Z分數為 1,小明 Z分數為 -2 ,則小華與小明的 T分數為小華的 T分數= 10 × 1 + 50 = 60小明的 T分數 10 ×-2 + 50=30
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當原始分數的分佈情形並不是常態分配時,通常會考慮將原始分數轉換成常態化標準分數,以使分數的分配達到趨近常態分配的情形。 計算常態化的標準分數,首先將原始分數轉換成百分等級,再藉由常態分配表,查出百分等級相對應的 Z 分數,即為原始分數的常態化標準分數。
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常態分配
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何謂常態? 天下烏鴉一般黑 ………………嗎?表示…1. 只要有一隻烏鴉不是黑色的,則「烏鴉是黑色的」的說法就可以被推翻。2. 事實上,找不到烏鴉不是黑色的,所以烏鴉是黑色的是一種常態。3. 但萬一哪一天找到烏鴉不是黑色的呢… ?
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中國人常講不怕“一萬”,只怕〝萬一〞… 表示〝一萬次中最多 只有可能一次發生〞的事件為意外,統計學家則以〝 20次實驗中最多 只有 1次發生〞, 此種機率低於 5% 的事件為異常。
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機率與分配:機率是什麼? 一副撲克牌有 52張其中有 4張 K 出現老 K的機率為多少?
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機率與分配:機率是什麼?
naAP
a : A 事件出現的次數n :所有事件出現的次數
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出現老K的機率是…
0769.0131
524
naAP
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二項分配: binominal distribution
50.021
naAP
投擲 1 個銅板出現正面的機率
a : A 事件出現的次數n :所有可能出現的次數
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二項分配: binominal distribution
投擲 2 個銅板有 4 種可能 正面 正面 正面 反面 反面 正面 反面 反面
可能情況 機率2 個正面 1/4
1 個正面 2/4
0 個正面 1/4
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二項分配: binominal distribution
投擲 2次N= 2
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二項分配: binominal distribution 投擲 3 個銅板有 8 種可能 正面 正面 正面 正面 正面 反面 正面 反面 正面 反面 正面 正面 正面 反面 反面 反面 正面 反面 反面 反面 正面 反面 反面 反面
可能情況 機率3 個正面 1/8
2 個正面 3/8
1 個正面 3/8
0 個正面 1/8
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二項分配: binominal distribution
投擲 4 個銅板出現正面的機率可能情況 機率4 個正面 1/16
3 個正面 4/16
2 個正面 6/16
1 個正面 4/16
0 個正面 1/16
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二項分配: binominal distribution
投擲 4次N= 4
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二項分配: binominal distribution
投擲 6 個銅板出現正面的機率可能情況 機率6 個正面 1/645 個正面 6/644 個正面 15/643 個正面 20/642 個正面 15/641 個正面 6/640 個正面 1/64
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二項分配: binominal distribution
投擲 6次N= 6
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二項分配: binominal distribution
投擲 10次N= 10
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二項分配: binominal distribution
投擲次數愈多、愈像常態分配樣本數量愈大、愈像常態分配 當 pn 與 qn皆≧ 10 時,出現正面的平均數 μ 當 pn與 qn皆≧ 10 時,出現正面的標準差 σ
2npn 5.05.0nnpq
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常態分配: normal distribution
反曲點 反曲點
鐘形分配 兩邊對稱
μ+ 1σμ- 1σ μ
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常態分配: normal distribution
連續的分配 兩邊對稱於平均數 平均數=中數=眾數曲線有兩個反曲點: μ+ 1σ與 μ- 1σ曲線下的面積代表機率曲線下的全部面積為 1
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標準常態分配
反曲點 反曲點
+1- 1 0
以 Z分數為基礎 μ= 0 σ= 1
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標準常態分配
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回到教育議題… 假設某次 IQ 測驗有一萬人,平均分數為 100 分,標準差為 15 分,且 IQ 測驗成績直方圖呈鐘形…
![Page 38: 第五章 標準分數 第六章 常態分配](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102703/568136f1550346895d9e87a5/html5/thumbnails/38.jpg)
我們可以知道約有 6800 人的成績在 85 分到 115 分之間,約有 9500 人的成績在 70 分到 1
30 分之間,約有 9970 人的成績在 55分到 145 分之間,也可由此推得 IQ 成績低於 55 分約有 1
5 人,而 IQ超過 145 分的大約有 15 人
![Page 39: 第五章 標準分數 第六章 常態分配](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102703/568136f1550346895d9e87a5/html5/thumbnails/39.jpg)
例如,在 IQ 測驗中 平均分數是 100 分,標準差為 15 分, IQ超過 130 分者為智優, 低於 70 分者為智劣
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IQ 成績直方圖
100
![Page 41: 第五章 標準分數 第六章 常態分配](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102703/568136f1550346895d9e87a5/html5/thumbnails/41.jpg)
IQ 成績直方圖頂邊中點連線
100
![Page 42: 第五章 標準分數 第六章 常態分配](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102703/568136f1550346895d9e87a5/html5/thumbnails/42.jpg)
IQ 成績次數分配折線圖
100
![Page 43: 第五章 標準分數 第六章 常態分配](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102703/568136f1550346895d9e87a5/html5/thumbnails/43.jpg)
IQ 成績常態分佈圖
40 55 70 85 100 115 130 145 160
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常態曲線 ( 或高斯曲線 )
221 )(
21)(
x
exf
1. 常態曲線公式是一條由兩個參數(平均數和標準差)所決定的函數。 將 χ‐μ 以 z分數取代 σ 換算公式所得出來的分配曲線稱之為標準化分配曲線( standardized n
ormal distribution)
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常態曲線圖
N( 2,)
f
21
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鐘形分佈
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標準常態分配密度函數呈對稱鐘形
0.00
0.15
0.30
0.45
0.60
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 z
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圖6.10 經驗法則(68%,95%,99.7%)
0.00
0.15
0.30
0.45
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
68%
95%
99.7%
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查表練習
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查表練習
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查表練習
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查表練習
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查表練習
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查表練習σ=100μ=500
?