חזרה תרגילי

General Things to Remember

• Be careful to identify if we’re talking about gains or costs (because the search cost is always negative)

• Check carefully if the payoff cost allows you to use advance formulation of the original model

Problem 1• You have 5 boxes on the table– Each box can generate a random number from a

uniform distribution (0,100)– In order to activate a box you need to feed it with a

$1– In addition, in order to approach the table you need

to pay $2– You can approach the table up to 5 times, and

activate as many boxes as you want each time– Your revenue will be the maximum prize revealed

Problem 1 (cont.)

• Show that 81 is an upper bound for your expected revenue

Solution

• Searching sequentially, with a search cost of c=1 and an infinite decision horizon will always yield a better expected net revenue thus this is an upper bound:

14.114x

85.86

*01.001.01

)()()()(

100

x

xxxydy

xxVxFdyyyfcxV

xy

xy

Good, but not good enough…

Parallel Search is an even tighter bound (if infinite horizon)…

• We know that:

xxxdyyNyN

xNxfxFNxf

xxFxF

xxVxFdyyyfNcxV

N

xy

N

NNN

NNN

N

xy

N

01.001.0*01.02

01.0*01.0)()()(

01.0)()(

)()()()()(

1001

11

N=1: x=75.5N=2: x=79.2N=3: x=80.5N=4: x=80.95N=5: x=81

המזכירה בעיית

עם • המזכירה בעיית , n=5נתונה מועמדים , סיימנו אם גם המקורית לבעיה בניגוד כאשר

הטוב המועמד את מצאנו ולא החיפוש אתשבהסתברות הרי פנוי αביותר יהיה עדיין הוא

אותו לשכור יהיה וניתןכאשר – לחיפוש האופטימלית האסטרטגיה מהי

α=0.2?ערך – - Nבחר מ ) - 10גדול .αו( שנית ופתור כרצונך

Analysis

• What is the probability of selecting the best applicant?– For r=1 or r=n, 1/n– For r>1:

timeline

n

max of r-1 max of j-r

rn

n

rj

n

rj

n

rjn jn

r

j

r

nPr

1

11

1

11

itselect you and

best isapplicant th -j

> the probability that the maximum number in a sample of j-1 is one of the

first r-1 numbers

Adding α

• The revised equation:

n

r

jn

rr

n

rjn

1

1

11

r 1/(j-1)sum(1/(j-

1)) (r-1)/5 A (r-1)*a/n1 0.22 1 2.08 0.2 0.42 0.04 0.463 0.5 1.08 0.4 0.43 0.08 0.514 0.33 0.58 0.6 0.35 0.12 0.475 0.25 0.25 0.8 0.2 0.16 0.36

rn

A

And if you’re a wiseguy…

• Just choose α=1 and the probability of ending up with the best equals 1…

Buying a Laptop

• Assume you are a comparison shopping agent and a buyer offers you sqrt(x) dollars for each saving of x dollars below a price of $50 for a product

• You have 3 stores to look at:

• How will you search and what is the probability of getting to store C?

f(x)

0 100Store AcA=1.3

f(x)

10 90Store BcB=0.5

f(x)

20 80Store CcC=0.3

This is a Pandora’s version!

Seller fi(x)

A 1/100

B 1/80

C 1/60

i

z

x iiiii dxxfzxci

5050

And the rule: go to store with minimal zi unless found a price below zi

Cont.

• Optimal strategy: start with B, if price above 37.41 then go to C and if best price is above 45.23 then go to A

Seller zi

A 45.23

B 36.98

C 37.41

i

z

x iiiii dxxfzxci

5050

Probability of getting to C

66.0)41.37( BPP

Yet another Pandora…

• You go to NY for a month• There are N pubs you might find attractive• Each pub has a different a-priori distribution

of value for you and different exploration cost• Your performance will be the accumulated

value• What is the optimal strategy?

Solution

• All search should be conducted during first day.

• Cost to be used is c/30

dyyfzycz

30/

Pandora’s Problem

• We have two boxes:– One with payoffs $10 with probability 0.99 and $K

with probability 0.01. Cost of opening is $1.– The other with probability 0.5 has a prize of 100$

and with probability 0.5 has a prize of $200. its cost for opening is c->0.

– What should be the value of K so that the first box will be opened first

Solution

• RV of second box is 200• RV of first box is:

(K-200)*0.01=10.01K=3K=300

dyyfzycz

שאלה

מעבד • כל בנוי מעבדים מרובת מחשב במערכתליבות משתי

• ) ליבה ) כל על המתנה זמן הרגעי שהעומס ידוע(x<1>0עבור ) f(x)=2xמתפלג מנורמל,

הוא • במעבד לליבה גישה ובמידה 0.05זמןהשניה לליבה גם לגשת מכן לאחר ומחליטים

מעבד – אותו 0.02שלהיא • והמטרה במידה הדגימה מדיניות מהי

למינימום הכולל הזמן את להביא

פתרון

שני • בעלת כהזדמנות מעבד כל על להסתכל ניתןשלבים.

•: השני מהשלב נתחיל

• - מ גדול ערך שמצאנו זמן כל לדגום 0.39כלומר נרצההשניה הליבה את גם

39.0

202.00

0

x

dyyyz

dyyfyzc

z

z

פתרון

•: הראשונה הליבה על נסתכל כעת

• - מ קטן ערך מצאנו שלא זמן כל 0.52כלומרהראשונה הליבה את לדגום נרצה

52.0

02.0)(1)(39.0 0

39.0

0

z

dyyfyFydwwwfzdyyfyzcz

y

y

wy