THESIS – SM 142501
GRACEFUL LABELING IN DOUBLE DRAGON GRAPH AND PENDANT DRAGON GRAPH RESTU RIA WANTIKA NRP 1213 201 030 SUPERVISOR Dr. Darmaji, S.Si., M.T. MAGISTER’S DEGREE MATHEMATICS DEPARTEMENT FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA
2015
PELABELAN (;RACEFUL PADA GRAF DRAGON GANDA DAN GRAF DRAGON PENDANT
T esis ini disusw1 Wltuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains (M.Si.)
di Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
oleh: RESTU RIA W ANTIK.A
NRP. 1213 201 030
Dr. annaJ S.Si., M.t. NIP. 196 \5 199412 1 001
& Dr. Chairul Imron, MJ!.Komp. NIP. 19611115 198703 1 003
~17_ Endah R ati M.P.,. S.Si., M.T., Ph.D. NIP. 19761213 200212 2 001
Tanggal Ujian : 9 Maret 2015 Peri ode Wisuda : September 201 5
(Pembimbing)
(Penguji)
(Penguji)
irmt:fr~ ~ Prof Dr. I}.. Adi Soeprijanto, M.T.
NIP. 1964,05 199002 I 001
iii
PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF DRAGON GANDA DAN GRAF DRAGON PENDANT
Nama Mahasiswa : Restu Ria Wantika NRP : 1213201030 Jurusan : Matematika FMIPA-ITS Pembimbing : Dr. Darmaji, S.Si., M.T.
ABSTRAK
Pelabelan graf adalah suatu pemetaan (fungsi) yang memasangkan
unsur-unsur graf (simpul atau sisi) dengan bilangan (biasanya bilangan bulat positif). Jika domain fungsi adalah simpul, maka pelabelan disebut pelabelan simpul (vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi, maka disebut pelabelan sisi (edge labeling), dan jika domainnya simpul dan sisi, maka disebut pelabelan total (total labeling). Pelabelan graceful pada graf G adalah fungsi injektif f dari V (G) ke {0, 1, 2,…,q}, dengan q adalah ukuran graf G sedemikian hingga jika sisi uv dilabeli dengan | ( ) ( )| maka label sisinya akan berbeda untuk semua sisi di G. Graf yang memenuhi pelabelan graceful disebut graf graceful. Dalam penelitian ini dikaji pelabelan graceful pada graf dragon yang dimodifikasi dengan menambahkan graf lingkaran pada bagian simpul akhir ekor graf dragon. Graf hasil modifikasi disebut graf dragon ganda dan dinotasikan 2 ( ) dengan . Modifikasi kedua dilakukan dengan menambahkan pendant pada setiap simpul kepala yang tidak terhubung pada graf lintasan. Hasil modifikasi yang demikian disebut dengan graf dragon pendant dan dinotasikan ( ) dengan , dan . Hasil penelitian menunjukkan bahwa graf dragon ganda 2 ( ) dengan dan adalah graf graceful dan graf dragon pendant ( ) dengan , dan adalah graf graceful Kata-kunci: pelabelan graceful, graf dragon ganda, graf dragon pendant
iv
v
GRACEFUL LABELING IN DOUBLE DRAGON GRAPH AND PENDANT DRAGON GRAPH
Name : Restu Ria Wantika NRP : 1213201030 Department : Mathematics FMIPA-ITS Supervisor : Dr. Darmaji, S.Si., M.T.
ABSTRACT
Labeling in a graph is a mapping (function) which maps the element of graph (vertex or edge) with a number (usually a positive integer). If the domain of function is vertex, the labeling called vertex labeling. Meanwhile, if the domain of function is edge, then it is called edges labeling. And if the domain are both vertex and edge, then it is called as total labeling. Graceful Labeling in a graph G is injective function f from V (G) to {0, 1, 2,…,q}, with q is size of graph G such that if edge of uv labeled by | ( ) ( )| then edges label will be different for all edges in G. A graph which satisfied graceful labeling is called graceful graph. In this research, we examined the graceful labeling on a dragon graph which was modified by adding circle graph at the end of dragon graphs tail vertex. Graph which was result of modification is called double dragon graph denoted by 2 ( ) with . Second modification was conducted by adding pendant in every head vertex that is not connected in path graph. That result is called pendant dragon graph and denoted by ( ) with , and . The result showed that double dragon graph with was graceful graph and pendant dragon graph with , and was graceful graph. Keyword : graceful Labeling, double dragon graph, pendant dragon graph
vi
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah
melimpahkan rahmat dan berkat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tesis
yang berjudul “PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF DRAGON GANDA
DAN GRAF DRAGON PENDANT” ini terselesaikan dengan baik. Tesis ini
merupakan sebagian persyaratan kelulusan dalam memperoleh gelar Magister di
Program Studi Magister Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh
Nopember.
Penyusunan Tesis ini tidak lepas dari bimbingan, bantuan, dan dukungan
moral maupun spiritual dari banyak pihak. Oleh sebab itu, penulis mengucapkan
terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak, Ibu, Adek beserta keluarga tercinta yang selalu memberikan
dukungan, doa, dan motivasi agar penulis dapat menyelesaikan Tesis ini.
2. Dr. Darmaji, S.Si., M.T. selaku dosen pembimbing tesis yang telah
memberikan motivasi, arahan, masukkan, dam bimbingan selama penulis
menyelesaikan Tesis ini.
3. Prof. Dr. Erna Apriliani, M.Si, selaku Ketua Jurusan Matematika Institut
Teknologi Sepuluh Nopember.
4. Dr. Chairul Imron, MI.Komp dan Endah Rokhmati MP, S.Si.,M.T selaku
dosen penguji yang telah memberikan masukkan dan juga motivasi kepada
penulis sehingga Tesis ini dapat terselesaikan dengan baik.
5. Seluruh dosen Matematika yang telah memberikan bekal dan ilmu
pengetahuan serta staf administrasi Program Studi Magister Matematika
atas segala bantuannya.
6. Geng belum tau namanya, rahma, winda, Saiful, teman senasib bidang graf
dan sahabat penulis lainnya atas semua dukungan, bantuan, dan
semangatnya selama proses penulisan Tesis ini.
7. Keluarga besar Pascasarjana Matematika 2013 ITS, dan semua pihak yang
telah membantu proses penulisan Tesis ini yang tidak dapat penulis
sebutkan satu persatu. Terima kasih.
viii
Semoga Tuhan memberikan anugerah dan karunia-Nya kepada semua pihak yang
telah membantu penulis dalam menyelesaikan Tesis ini.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan Tesis ini masih banyak
kekurangan, sehingga kritik dan saran dari pembaca sangat penulis harapkan
untuk perbaikan kedepannya. Akhirnya semoga Tesis ini dapat bermanfaat bagi
pembaca, khususnya mahasiswa Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
Surabaya, 23 Maret 2015
Penulis
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN i
ABSTRAK iii
ABSTRACK v
KATA PENGANTAR vii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR GAMBAR xi
DAFTAR SIMBOL xiii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
BAB II DASAR TEORI 2.1 Terminologi Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2 Beberapa Graf Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Fungsi……………………………………………………………… 7 2.4 Amalgamasi………………………………………………………... 8 2.5 Graf Dragon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……. 9 2.6 Graf dragon ganda…………………………………………………. 9 2.7 Graf dragon pendant………………………………………............ 10 2.8 Pelabelan Graf
2.8.1 Definisi Pelabelan Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.8.2 Pelabelan Graceful………………………. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Tahapan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pelabelan graceful pada graf dragon ganda 2D3 (2) dan graf Jointsum dari copy sikel………………………………………… 15
4.2 Pelabelan graceful pada graf dragon ganda …………………… 18 4.3 Pelabelan graceful pada graf dragon pendant …………………… 28
BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan ………………………………………………………. 43 5.2 Saran………………………………………………………………. 43
DAFTAR PUSTAKA 45
ix
x
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Graf Sederhana dan bukan sederhana……………………………. 6
Gambar 2.2 Graf Lingkaran…………………………………………………… 6
Gambar 2.3 Graf Lintasan……………………………………………………... 7
Gambar 2.4 Fungsi Satu-satu………………………………………………….. 7
Gambar 2.5 Fungsi Surjektif…………………………………………………... 8
Gambar 2.6 Fungsi Bijektif………………………………………………….... 8
Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4……………………………….. 9
Gambar 2.8 Graf Dragon………………………………………………………. 9
Gambar 2.9 Graf Dragon Ganda………………………………........................ 9
Gambar 2.10 Graf Dragon Pendant……………………………......................... 10
Gambar 2.11 (a). Pelabelan Simpul, (b). Pelabelan Sisi c) Pelabelan Total…… 10
Gambar 2.12 (a). Pelabelan Graceful Skolem (b). Pelabelan Graceful Ganjil … 11
Gambar 2.13 Contoh pelabelan graceful pada graf dengan ‖ ‖ = | | -1 (a) dan graf dengan ‖ ‖ | | -1 (b)……………………………...
12
Gambar 4.1 Contoh pelabelan menurut Lekha………………………………. 16
Gambar 4.2 Pelabelan Graf dragon ganda 2 …………………………… 16
Gambar 4.3 Pelabelan Graf dragon ganda 2 …………………………… 17
Gambar 4.4 Graf Dragon Ganda 2 …………………………………… 18
Gambar 4.5 Graf Dragon Ganda 2 ……………………………………… 23
Gambar 4.6 Graf Dragon Ganda 2 …………………………………… 24
Gambar 4.7 Graf Dragon Ganda 2 ……………………………………… 27
Gambar 4.8 Graf Dragon Pendant …………………………………… 29
Gambar 4.9 Graf Dragon Pendant …………………………………… 32
Gambar 4.10 Graf Dragon Pendant …………………………………… 32
Gambar 4.11 Graf Dragon Pendant …………………………………… 34
Gambar 4.12 Graf Dragon Pendant …………………………………… 35
Gambar 4.13 Graf Dragon Pendant …………………………………… 37
Gambar 4.14 Graf Dragon Pendant …………………………………… 38
Gambar 4.15 Graf Dragon Pendant …………………………………… 41
xi
xii
DAFTAR SIMBOL
G = (V, E) Sebarang graf tak berarah dengan V adalah himpunan tak kosong dari semua simpul dan E adalah himpunan sisi
V (G) Himpunan simpul dari graf G E(G) Himpunan sisi dari graf G Cn Notasi dari graf lingkaran order n Pn Notasi dari graf lintasan order n Dn (m) Notasi dari graf dragon order n dan ukuran m 2Dn (m) DPn (m)
Notasi dari Graf dragon ganda order n dan ukuran m Notasi dari Graf dragon pendant order n dan ukuran m
| | Order graf G ‖ ‖ Ukuran graf G
xiii
xiv
1
BAB I
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Salah satu cabang ilmu di Matematika adalah teori graf. Teori graf pertama
kali ditulis oleh ahli matematika dari Swiss, Leonhard Euler, pada tahun 1736.
Euler mencoba menyelesaikan persoalan jembatan Konigsberg. Konigsberg
sendiri adalah sebuah kota yang terletak di Prusia timur, sekarang bernama
Kaliningrad, sebuah kota yang termasuk dalam wilayah Rusia. Dalam tulisannya,
Euler mencoba solusi atas permasalahan bagaimana menyeberangi semua
jembatan itu tepat satu kali dari tempat berangkat sampai kembali ke tempat
semula.
Saat ini, pelabelan graf menjadi topik yang banyak mendapat perhatian,
karena model- model yang ada pada pelabelan graf berguna untuk aplikasi yang
luas antara lain pelabelan graf graceful pada graf pot, pelabelan graceful pada graf
duplikasi simpul dan graf duplikasi sisi dari graf sikel Cn , pelabelan graceful pada
graf lintasan menggunakan program php dan javascrip, pelabelan harmonis,
pelabelan super dan lain-lain. Hingga saat ini pemanfaatan teori pelabelan graf
banyak memiliki peranan terutama pada sektor komunikasi, transportasi,
penyimpanan data komputer, dan pemancar frekuensi radio.
Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), dengan V
adalah himpunan tak kosong simpul dan E adalah himpunan pasangan tak terurut
dari simpul-simpul yang disebut sisi. Order dari G yang menyatakan banyaknya
simpul di G dinotasikan dengan | | dan ukuran dari G yang menyatakan
banyaknya sisi di G dinotasikan dengan ‖ ‖. Graf G disebut finite atau
berhingga jika himpunan simpul adalah berhingga, atau graf yang jumlah
simpulnya adalah n berhingga. Graf infinite atau tak berhingga adalah graf yang
jumlah simpulnya tidak berhingga. Graf trivial adalah graf berorder satu dengan
himpunan sisinya merupakan himpunan kosong.
2
Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan (fungsi) yang
memasangkan unsur-unsur graf (simpul atau sisi) dengan bilangan (biasanya
bilangan bulat). Jika domain dari fungsi adalah simpul, maka pelabelan
disebut pelabelan simpul (vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi, maka
disebut pelabelan sisi (edge labeling), dan jika domainnya simpul dan sisi,
maka disebut pelabelan total (total labeling). Pelabelan graceful pada graf G
adalah fungsi injektif f dari V (G) ke {0, 1, 2,…,q} sedemikian hingga jika sisi
uv dilabeli dengan | ( ) ( )| maka label sisinya akan berbeda untuk
semua sisi di G. Graf yang memenuhi pelabelan graceful dinamakan graf
graceful.
Allesandra pada tahun 2014 menunjukkan bahwa graf pendant dengan
dengan 3,4 (mod 8) memiliki pelabelan graceful, Cavalier pada tahun
2006 menunjukkan bahwa semua graf pohon adalah graceful dan Eshghi pada
tahun 2002 menunjukkan bahwa beberapa graf merupakan graf graceful antara
lain graf roda dengan 3, R2n dengan n ≥ 3, graf helm dengan 3
dan graf dragon ( ) dengan 3 dan 1. Tri lusia (2008)
menunjukkan bahwa graf digraf lintasan merupakan digraf graceful dengan n
genap dan digraf bipartite lengkap merupakan digraf graceful.
Beberapa contoh graf graceful dapat diperoleh dari Galian (2013) antara
lain graf lingkaran ( ) dengan n adalah n 0 (mod 4) dan n 3 (mod 4), graf
bintang, graf lintasan, graf dragon, graf gir, graf caterpillar, graf banana, pohon,
graf lobster dan graf kembang api.
Hal yang menarik dalam pelabelan graceful adalah, pertama, pemberian
label pada simpul sedemikian sehingga jika sisinya mendapat label harga
mutlak dari selisih pelabelan kedua simpul yang terhubung langsung (adjacent)
maka hasilnya berbeda. Kedua, pembentukan pola dari graf yang telah
mendapatkan label sehingga dapat dirumuskan. Sebuah graf baru dapat
dibangun dari sebuah graf yang well known dengan mengenakan operasi
tertentu. Hal yang menarik dalam pelabelan graceful adalah membuktikan
apakah graf baru tersebut juga memenuhi pelabelan graceful.
Pada penelitian ini graf yang akan digunakan adalah graf dragon yang
telah dimodifikasi yaitu graf dragon ganda dan graf dragon pendant.
3
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan dalam
penelitian ini adalah :
1. Menunjukkan apakah graf dragon ganda dan graf dragon pendant
merupakan graf graceful atau bukan.
2. Menentukan konstruksi pelabelan graceful pada graf dragon ganda dan
graf dragon pendant. 1.3 Tujuan Penelitian
1. Mengetahui apakah graf dragon ganda dan graf dragon pendant merupakan
graf graceful atau bukan.
2. Mengonstruksi pelabelan graceful apabila graf dragon ganda dan graf
dragon pendant merupakan graf graceful.
1.4 Batasan Masalah
Pelabelan graceful pada sebuah graf merupakan NP-complete problem.
Oleh karenanya dalam penelitian tesis ini graf dibatasi pada graf dragon
ganda dengan , dan dan graf dragon pendant
dengan , dan , . 1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah memberikan pengetahuan yang baru
dalam bidang teori graf, khususnya dalam pelabelan graf, yaitu mengetahui
pelabelan graceful pada graf dragon ganda dan graf dragon pendant. Selain
itu dapat digunakan sebagai pengembangan ilmu pengetahuan dalam
masalah pelabelan untuk penelitian berikutnya.
4
5
BAB II DASAR TEORI
2.1 Terminologi Dasar Graf
Sebuah Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), ditulis
dengan notasi G = (V, E) terdiri atas himpunan V = { } dengan
V adalah himpunan tak kosong dari simpul (vertex) yang disebut himpunan
simpul, dan himpunan E = { }, dimana anggotanya disebut sisi.
Order dari G yang menyatakan banyaknya simpul di G dinotasikan dengan
| | dan ukuran dari G yang menyatakan banyaknya sisi di G dinotasikan
dengan ‖ ‖ (Gross, 2006).
Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan simpul u dan v. Jika e = (u, v)
adalah sisi pada graf G, maka u dan v disebut terhubung langsung (adjacent),
u dan e serta v dan e disebut terkait langsung (incident). Untuk selanjutnya, sisi
e = (u,v) akan ditulis e = uv. Banyak sisi yang terkait langsung dengan simpul v
dinamakan derajat simpul v, ditulis d(v).
Graf G disebut finite atau berhingga jika himpunan simpul adalah
berhingga, atau graf yang jumlah simpulnya adalah n berhingga. Graf infinite atau
tak berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya tidak berhingga. Graf trivial
adalah graf berorder satu dengan himpunan sisinya merupakan himpunan kosong.
Sebuah sisi graf yang menghubungkan sebuah simpul dengan dirinya
sendiri dinamakan gelung (loop). Jika terdapat lebih dari satu sisi yang
menghubungkan dua simpul u dan v pada suatu graf maka sisi-sisi tersebut disebut
sisi rangkap (multiple edges).
Graf yang tidak memiliki sisi rangkap dan tidak memiliki gelung disebut
graf sederhana. Sedangkan sebuah graf yang memiliki sisi rangkap tetapi tidak
memiliki gelung disebut graf rangkap.
Pada Gambar 2.1 (a) adalah contoh graf sederhana, sedangkan pada
Gambar 2.1 (b) adalah contoh bukan graf sederhana dimana sisi merupakan
gelung dan sisi merupakan sisi rangkap (Budayasa, 2007).
6
u
v w
xe1
e2
e3
e4
p
q r
s
e1
e2 e3
e4e5
e6
Gambar 2.1 Graf sederhana dan graf bukan sederhana
2.2 Beberapa Graf Sederhana
Terdapat beberapa jenis graf sederhana. Berikut ini contoh-contoh
graf sederhana beserta definisinya.
a. Graf Lingkaran (Cycle Graph)
Graf lingkaran adalah sebuah graf yang setiap simpulnya
berderajat dua. Graf lingkaran dinotasikan dengan Cn, dengan
n merupakan banyaknya simpul pada graf lingkaran. Penggambaran graf
lingkaran tidak penting, yang terpenting adalah setiap simpul pada graf
lingkaran berderajat dua. Adapun gambar dari graf lingkaran disajikan
pada Gambar 2.2.
C3 C4 C6
Gambar 2.2: Graf Lingkaran
b. Graf lintasan ( Path graph)
Graf lintasan adalah graf yang memiliki n simpul dimana
simpul ujung dan akhir memiliki derajat satu dan simpul lainnya
memiliki derajat dua. Simpul v1 disebut simpul ujung, sedangkan vn
(a) (b)
7
disebut simpul akhir. Graf lintasan dinotasikan dengan Pn dengan n
adalah order pada graf lintasan. Adapun gambar dari graf lingkaran
disajikan pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3. Graf lintasan (P5)
2.3. Fungsi
a. Injektif
Suatu fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi satu satu (one to one) atau
injective jika tidak ada dua elemen berbeda di X yang dipetakan kepada satu
elemen yang sama di Y. Dengan kata lain, jika dan maka
Gambar 2.4 Fungsi satu-satu
b. Surjektif
Fungsi f dikatakan fungsi pada (onto) atau surjektif jika f adalah suatu
fungsi dari X ke Y dan range dari f adalah Y, maka f dikatakan fungsi pada
(onto). Definisi fungsi pada (onto) dapat dinyatakan dengan notasi
8
Gambar 2.5 Fungsi Surjektif
c. Bijektif
Apabila fungsi f memenuhi fungsi injektif dan surjektif
maka f dinamakan fungsi bijektif. Contoh fungsi bijektif disajikan pada
Gambar 2.6
Gambar 2.6 Fungsi Bijektif
2.4. Amalgamasi
Dalam membentuk sebuah graf baru, salah satu cara yang dapat
dilakukan dengan menggunakan operasi amalgamasi. Amalgamasi simpul
dari pasangan simpul graf bersama adalah graf yang diperoleh
dengan menggabungkan simpul dan menjadi satu simpul. Notasi yang
digunakan untuk menyatakan operasi amalgamasi adalah “ ” (Ardiansyah,
2013).
Selanjutnya, diberikan graf G dan H yang ditunjukkan pada
Gambar 2.7, jika dilakukan amalgamasi dari simpul dan maka operasi
amalgamasi dinotasikan dengan
=
9
Dimana R adalah graf baru yang terbentuk
Gambar 2.7. Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4
2.5 Graf Dragon
Graf dragon adalah graf yang diperoleh amalgamasi simpul graf
lingkaran dan graf lingkaran. Graf lingkaran pada graf dragon dinamakan
kepala dan graf lintasan pada graf dragon dinamakan ekor. Graf dragon
dinotasikan dengan Dn (m) dimana n merupakan order pada graf lingkaran
dan m merupakan ukuran pada graf lintasan.
2.6 Graf Dragon Ganda
Graf dragon ganda adalah graf yang dibentuk dari amalgamasi simpul
dari graf dragon dan graf lingkaran. Graf dragon ganda dinotasikan 2Dn (m).
Gambar 2.9. Graf dragon ganda 2
Gambar 2.8. Graf Dragon 𝐷
G: H: R:
10
2.7 Graf Dragon Pendant
Graf dragon pendant adalah graf dragon yang pada setiap simpul
bagian kepala yang tidak terhubung dengan ekor ditambahkan pendant. Graf
dragon pendant dinotasikan DPn (m).
Gambar 2.10. Graf dragon pendant DP5 (3)
2.8 Pelabelan Graf
2.8.1 Definisi dan Jenis Pelabelan Graf
Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan (fungsi) yang
memasangkan unsur-unsur graf (simpul atau sisi) dengan bilangan (biasanya
bilangan bulat). Jika domain dari fungsi adalah simpul, maka pelabelan
disebut pelabelan simpul (vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi,
maka disebut pelabelan sisi (edge labeling), dan jika domainnya simpul dan
sisi, maka disebut pelabelan total (total labeling) (Gallian, 2013). Pada
Gambar 2.11 dapat dilihat perbedaan antara pelabelan ketiganya dimana
pelabelan simpul hanya pada simpul saja yang dilabeli, pelabelan sisi hanya
pada sisi saja yang dilabeli dan pelabelan total keduanya dilabeli yaitu sisi
dan simpul.
Gambar 2.11: (a). Pelabelan Simpul, (b). Pelabelan Sisi c) Pelabelan Total
11
Adapun beberapa jenis pelabelan antara lain pelabelan skolem graceful dan pelabelan graceful ganjil. Pelabelan skolem graceful adalah fungsi injektif dari himpunan simpul V ke himpunan bilangan { 1, 2,…,n} sedemikian hingga jika sisi uv dilabeli dengan | | maka label sisinya { 1, 2,…,q}. Pelabelan graceful ganjil adalah fungsi injektif dari himpunan simpul V ke himpunan bilangan {0, 1, 2,…,2q-1} sedemikian hingga jika sisi uv dilabeli dengan | | maka label sisinya {1,3,5,…,2q-1} (Gallian, 2013). Adapun contoh pelabelan skolem graceful dan pelabelan graceful ganjil disajikan pada Gambar 2.12
2 3
4
12
3
11 5
3
05
3
1
Gambar 2.12: (a). Pelabelan Skolem Graceful (b). Pelabelan Graceful Ganjil
Pada Gambar 2.12 dapat dilihat perbedaan antara pelabelan skolem
graceful dan pelabelan graceful ganjil adalah pada pelabelan simpul pada
graceful ganjil menggunakan label 0 . Sedangkan pada skolem graceful
menggunakan label 1. Pada pelabelan sisi merupakan akibat dari pelabelan
simpul yang diperoleh dari selisih dua simpul yang berhubungan langsung. Pada
pelabelan graceful ganjil sisi terlabeli integer ganjil sedangkan pada pelabelan
skolem graceful sisi terlabeli dengan integer tanpa 0.
2.8.2 Pelabelan Graceful
Pelabelan graceful pada graf G adalah fungsi injektif f dari V (G) ke
{0, 1, 2,…,q} sedemikian hingga jika sisi uv dilabeli dengan | |
maka label sisinya akan berbeda untuk semua sisi di G (Gallian, 2013).
(a) (b)
12
Adapun aturan pelabelan graceful sebagai berikut :
i. Memberikan label pada simpul suatu graf G yang memenuhi fungsi injektif dari himpunan simpul ke himpunan bilangan bulat tak negatif {0, 1, 2, ..., q}.
ii. Akibat dari point (i) adalah semua sisi uv yang dilabeli | f(u) – f(v) | memiliki hasilnya berbeda untuk semua sisi di G.
Pada Gambar 2.13 diberikan contoh pelabelan graceful pada graf lintasan dengan ‖ ‖ = | | -1 (a) dan graf dragon dengan ‖ ‖ | | -1 (b).
1 2 4 0 3
1 2 4 3
Gambar 2.13. Contoh pelabelan graceful pada graf dengan ‖ ‖ = | | - 1 (a) dan graf dengan ‖ ‖ | | -1 (b)
Dapat dilihat bahwa pada Gambar 2.11 (a) himpunan {0, 1, 2,3,4 } terpakai seluruhnya untuk melabelkan simpul pada graf. Sedangkan pada Gambar 2.12 (b), himpunan {0, 1, 2, ..,8} hanya terpakai sebagaian saja yaitu {0, 1,2,3,4,6,7,8} untuk melabelkan simpul pada graf. Secara umum bila graf G memiliki jumlah sisi ‖ ‖ =| | -1 , maka label terpakai seluruhnya, bila graf G memiliki jumlah sisi ‖ ‖ | | -1, maka label tidak seluruhnya terpakai. Pada Gambar 2.13 warna merah merupakan bobot sisi yang diperoleh dari selisih dua simpul yang berhubungan langsung. Pada Gambar 2.13 (a) terlihat bahwa semua sisinya berbeda yaitu {1, 2,3,4} dan pada Gambar 2.13 (b) semua sisinya berbeda yaitu {1, 2,3,4,6,7,8}.
(b) (a)
13
BAB III METODE PENELITIAN
Pada bagian ini diuraikan metode penelitian yang digunakan untuk mencapai
tujuan penelitian.
3.1 Tahapan penelitian
1. Studi literatur dan pemahaman konsep
Pada tahap ini dilakukan studi literatur dari beberapa referensi buku,
artikel, jurnal dari berbagai sumber mengenai penelitian pelabelan
graceful pada graf.
2. Analisis
a. Melakukan observasi terhadap graf yang diteliti.
b. Melakukan pelabelan graceful pada graf dragon ganda dan graf dragon
pendant dengan menggunakan beberapa cara antara lain :
Trial
Trial yang dimaksudkan pada penelitian ini adalah mencoba
kemungkinan-kemungkinan dalam melabeli simpul pada graf
dragon ganda dan graf dragon pendant berdasarkan penelitian
sebelumnya sedemikian sehingga jika sisinya mendapat label harga
mutlak dari selisih kedua simpul yang terhubung langsung
(adjacent) maka hasilnya berbeda.
Pendeteksian pola
Apabila ditemukan label simpul yang memenuhi pelabelan
graceful pada graf dragon ganda dan graf dragon pendant maka
metode pendeteksian pola digunakan untuk merumuskan pola
secara umum.
14
Adapun cara pelabelan yang dilakukan pada graf dragon ganda dan
graf dragon pandant adalah melabeli simpul kepala pada graf dragon ganda
dan graf dragon pendant kemudian dilanjutkan melabeli simpul ekor pada
graf dragon ganda dan graf dragon pendant.
3. Evaluasi
Pada tahap ini melakukan evaluasi terhadap analisa yang telah
dilakukan pada pelabelan graceful pada graf dragon ganda dan graf dragon
pendant. Apabila graf dragon ganda dan graf dragon pendant tidak
memenuhi aturan pelabelan graceful maka dicari alasan mengapa graf
tersebut tidak memenuhi aturan tersebut.
4. Menyusun laporan
Laporan penelitian disusun dalam bentuk hasil dan pembahasan
pada bab 4 yang dilanjutkan dengan pada bab 5.
15
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini dibahas mengenai pelabelan graceful pada graf dragon ganda
dan graf dragon pendant. Pada penelitian ini graf dragon ganda yang diteliti
adalah = 3, dan = 4, sedangkan graf dragon pendant yang
diteliti adalah = 3,4, 5 dan 6 dengan .
4.1. Pelabelan graceful pada graf dragon ganda 2D3 (2) dan graf Jointsum dari dua copy sikel
Graf dragon ganda adalah graf yang dibentuk dari amalgamasi simpul dari
graf dragon dan graf lingkaran. Graf dragon ganda dinotasikan 2Dn (m). Untuk
m =1 graf dragon ganda mempunyai nama lain yang disebut dengan graf Jointsum
dari dua copy sikel.
Pelabelan graceful pada graf Jointsum dari dua copy sikel telah diteliti oleh
Lekha menyatakan bahwa Jointsum dari dua copy sikel merupakan pelabelan
graceful (Lekha, 2012). Hanya saja setelah mencermati hasil dari pelabelan
tersebut dan mengimplementasikannya pada graf dengan n =3 dengan pola umum
sebagai berikut
Untuk ≤ 𝑖 ≤ −
𝑓(𝑣 ) = ( + )
−𝑖 +
, untuk 𝑖 gasal
= + 𝑖 +
, untuk 𝑖 genap
Untuk +
≤ 𝑖 ≤ −
𝑓(𝑣 ) = ( + )
−𝑖 +
, untuk 𝑖 genap
= + 𝑖 +
, untuk 𝑖 gasal
16
𝑓(𝑣 ) = 0
Untuk ≤ 𝑖 ≤
𝑓(𝑣 ) = ( + ) −𝑖 −
, untuk 𝑖 gasal
=𝑖 + −
, untuk 𝑖 genap
Penulis menemukan sebuah kesalahan bila pelabelan dilakukan. Berikut akan
ditunjukkan pelabelan yang mengikuti hasil pelabelan pola umum dari Lekha
Gambar 4.1. Contoh pelabelan menurut Lekha
Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa ada label sisi yang sama yaitu 5.
Hal ini tidak sesuai dengan definisi dari pelabelan graceful yaitu fungsi
injektif f dari V (G) ke {0, 1, 2,…,q} sedemikian hingga jika sisi uv dilabeli
dengan |𝑓( ) − 𝑓(𝑣)| maka label sisinya akan berbeda. Dari permasalahan
di atas peneliti melakukan revisi pada n = 3 yaitu sebagai berikut
Gambar 4.2. Pelabelan graf dragon ganda 2D3 (1)
17
Berikut akan ditunjukkan pelabelan graceful pada graf dragon ganda
dengan = , hal ini dilakukan karena untuk = memiliki pelabelan
yang unik. Adapun pelabelannya dapat dikonstruksi sebagai berikut
Gambar 4.3. Pelabelan graf dragon ganda 2D3 (2)
4.2. Pelabelan graceful pada graf dragon ganda
Pada pelabelan graceful graf dragon ganda dalam tesis ini diklasifikasikan
menjadi 2 bagian, yaitu
a. Pelabelan graceful pada graf dragon ganda ( ) untuk n = 3 dengan
b. Pelabelan graceful pada graf dragon ganda ( ) untuk n= 4 dengan
.
Pada bab sebelumnya telah diberikan definisi pelabelan graceful. Perlu
diingat bahwa pelabelan graceful pada graf G adalah fungsi injektif f dari V (G) ke
{0, 1, 2,…,q} sedemikian hingga jika sisi uv dilabeli dengan |𝑓( ) − 𝑓(𝑣)|
maka label sisinya akan berbeda. Pada Teorema 4.1 diberikan konstruksi dari
pelabelan graceful pada graf dragon ganda ( ) dengan dan pada
Teorema 4.2 diberikan konstruksi dari pelabelan graceful pada graf dragon ganda
( ) dengan .
18
Teorema 4.1 Graf Dragon Ganda ( ) dengan adalah graf
graceful
Bukti : Misalkan graf dragon ganda ( ) dengan adalah graf
dengan himpunan simpul dan himpunan sisi sebagai berikut
= *𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 } dan = * }
Dalam hal ini | | = + dan ‖ ‖ = + . Sehingga graf dragon ganda
( ) dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.4
Gambar 4.4. Graf dragon ganda 2 ( )
Untuk = dapat dikonstruksikan pelabelan graceful sebagai berikut
v3
5
9
0 8 1 7v1
v2
v4 v5 v6
4
5
9
8 7 6
6
4
3 2
1
v7v7
v8v8
Untuk = dapat dikonstruksikan pelabelan graceful sebagai berikut
6v3 v9
4
10
0 9 1 8 3
5
v1
v2
v4 v5 v6 v7
v86
4
10
9 8 7 5
2 1
3
19
Sedangkan untuk dapat dikonstruksikan pelabelan graceful secara
umum. Adapun pengkonstruksiannya sebagai berikut
Pelabelan tiga simpul pertama pada graf dragon ganda, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 dapat
dikonstruksikan sebagai berikut:
𝑓(𝑣 ) =
{
( )
0 ( )
( )
𝑓(𝑣 ) = +
𝑓(𝑣 ) = 0
Sedangkan untuk simpul selanjutnya, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 dapat
dikonstruksikan sebagai berikut:
Untuk ≤ 𝑖 ≤ ⌊ ⌋
𝑓(𝑣 ) = { + −
𝑖 −
𝑖
𝑖 −
𝑖
𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) =
{
𝑓 (𝑣
⌊ ⌋) −
+
0 ( )
𝑓 (𝑣⌊ ⌋) +
+
( )
𝑓 (𝑣⌊ ⌋) +
+
( )
𝑓 (𝑣⌊ ⌋) −
+
( )
20
⌊ +
⌋ + ≤ +
𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) =
{
𝑓 (𝑣
⌊ ⌋ ) +
+
0 ( )
𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) −
+
( )
𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) −
+
( )
𝑓 (𝑣⌊ ⌋
) + +
( )
Untuk ⌊ ⌋ + ≤ 𝑖 ≤ +
𝑓(𝑣 ) = {𝑓(𝑣 ) + 𝑖
𝑓(𝑣 ) − 𝑖
𝑓(𝑣 ) =
{
+
0 ( )
+
( )
+
( )
𝑓(𝑣 ) =
{
+
0 ( )
+
( )
+
( )
Untuk , konstruksi pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut:
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
{
+
( )
+
0 ( )
+
( )
21
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
{
+
( )
+
0 ( )
+
( )
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = +
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = + − 𝑖 ≤ 𝑖 ≤ ⌊ +
⌋
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = |𝑓 (𝑣⌊ ⌋) − 𝑓 (𝑣
⌊ ⌋ )| 𝑖 = ⌊
+
⌋ +
= {
+
+
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = |𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) − 𝑓 (𝑣
⌊ ⌋ )| 𝑖 = ⌊
+
⌋ +
= {
+
+
⌊ +
⌋ + ≤ 𝑖 ≤ +
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = {
+
+ ⌊ +
⌋ − 𝑖
+
+ ⌊ +
⌋ − 𝑖
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| 𝑖 = +
= {
22
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| 𝑖 = +
= {
( ) ( )
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = {
( ) ( )
Adapun label simpul yang tidak digunakan pada pelabelan graceful graf dragon
ganda ( ) adalah sebagai berikut
Untuk 0( )
{ +
( − )
+ }
Untuk ( )
{ + ( − )
+
( − )
}
Untuk ( )
{ +
+
( − )
}
Untuk ( )
{ +
+
}
23
Sebagai contoh untuk graf dragon ganda = dapat dikonstruksi pelabelannya
menurut teorema 4.1. Hasilnya diberikan seperti pada Gambar 4.5
6v3 v9
4
10
0 9 1 8 3
5
v1
v2
v4 v5 v6 v7
v86
4
10
9 8 7 5
2 1
3
Perhatikan Gambar 4.5.dapat dilihat bahwa simpul dilabeli sejumlah
integer dari 0 sampai dengan 10 (sesuai dengan ukuran graf) dan tidak ada
yang sama. Dapat dilihat bahwa label simpul yang digunakan hanya sebagai
yaitu *0 0+ dikarenakan banyak simpul kurang dari banyak sisi.
Selanjutnya pelabelan sisi pada graf tersebut dapat diperoleh dari selisih
kedua simpul ujung sisi tersebut dan dapat dilihat juga pada Gambar 4.5
semua sisi terlabeli (warna merah) dengan bilangan integer yang berbeda.
Teorema 4.2 Graf Dragon Ganda ( ) dengan adalah graf
graceful;
Bukti : Misalkan graf dragon ganda ( ) dengan adalah graf
dengan himpunan simpul dan himpunan sisi sebagai berikut :
= *𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 } dan = * }
Dalam hal ini | | = + dan ‖ ‖ = + . Sehingga graf dragon ganda
( ) dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.6
Gambar 4.5. Graf dragon ganda 2𝐷 ( )
24
v2
vm+7v1
v3
v4 v5 vm+3
vm+6
vm+4v6
vm+5
Gambar 4.6. Graf dragon ganda 2 ( )
Untuk = dapat dikonstruksikan pelabelan graceful sebagai berikut
4
9
10
0 8 1v1
v2
v4
v3v5
5
6
9
108 7 v6
25v8
v9
4
3
1
2
v7v7
3
Untuk = dapat dikonstruksikan pelabelan graceful sebagai berikut
5
10
11
0 9 1v1
v2
v4
v3v5 v6
5
6
10
119 8 7
7
8
4v8 v9
v10
4
3
1
2
v7v7
Sedangkan untuk dapat dikonstruksikan pelabelan graceful secara
umum. Adapun pengkonstruksiannya sebagai berikut
Pelabelan empat simpul pertama pada graf dragon ganda, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣
dapat dikonstruksikan sebagai berikut:
𝑓(𝑣 ) = + .
𝑓(𝑣 ) = ⌊ +
⌋
𝑓(𝑣 ) = + .
25
𝑓(𝑣 ) = 0
Sedangkan untuk simpul selanjutnya, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 dapat
dikonstruksikan sebagai berikut:
Untuk ≤ 𝑖 ≤ ⌊ ⌋ +
𝑓(𝑣 ) = { + −
𝑖 −
𝑖
𝑖 −
𝑖
⌊ +
⌋ + ≤ +
𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) =
{
𝑓 (𝑣
⌊ ⌋ ) − ⌊
+
⌋ 0 ( )
𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) + ⌊
+
⌋ − ( )
𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) + ⌊
+
⌋ ( )
𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) − (⌊
+
⌋ − ) ( )
Untuk ⌊ ⌋ + ≤ 𝑖 ≤ +
𝑓(𝑣 ) = {𝑓(𝑣 ) − 𝑖
𝑓(𝑣 ) + 𝑖
𝑓(𝑣 ) =
{
𝑓(𝑣 ) − 0 ( )
𝑓(𝑣 ) + ( )
𝑓(𝑣 ) − ( )
𝑓(𝑣 ) + ( )
𝑓(𝑣 ) = {𝑓(𝑣 ) +
𝑓(𝑣 ) −
26
Untuk , konstruksi pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut:
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = +
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = + − ⌊ +
⌋
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = + − ⌊ +
⌋
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = +
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = + − 𝑖 ≤ 𝑖 ≤ ⌊ +
⌋ +
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = {⌊ +
⌋
⌊ +
⌋ −
𝑖 = ⌊ +
⌋ +
⌊ +
⌋ + ≤ 𝑖 ≤ +
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = { ⌊ +
⌋ + − 𝑖
⌊ +
⌋ + − 𝑖
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| 𝑖 = +
= { 0 ( ) ( )
( ) ( )
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| 𝑖 = +
= 1
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = { 0 ( ) ( )
( ) ( )
27
Adapun label simpul yang tidak digunakan pada pelabelan graceful graf dragon
ganda ( ) adalah sebagai berikut
Untuk 0( )
{ +
+
}
Untuk ( )
{ + ( − )
+
( − )
}
Untuk ( )
{ + ( − )
+
( − )
}
Untuk ( )
{ +
+
}
Sebagai contoh untuk graf dragon ganda = dapat dikonstruksi
pelabelannya menurut teorema 4.2. Hasilnya diberikan seperti pada Gambar 4.7
7
5
11
12
0 10 9
6
41
8
v1
v2
v4
v3v5 v6 v7
v8
v9 v10
v11
6
7
11
1210 9 8 5
4
2
1
3
Perhatikan Gambar 4.7 dapat dilihat bahwa simpul dilabeli sejumlah
integer dari 0 sampai dengan 12 (sesuai dengan ukuran graf) dan tidak ada
yang sama. Dapat dilihat bahwa label simpul yang digunakan hanya sebagai
Gambar 4.7. Graf dragon ganda 2𝐷 ( )
28
yaitu *0 0 + dikarenakan banyak simpul kurang dari
dengan banyak sisi.Selanjutnya pada pelabelan sisi pada graf tersebut dapat
diperoleh dari selisih kedua simpul ujung sisi tersebut dan dapat dilihat juga
pada Gambar 4.7 semua sisi terlabeli (warna merah) dengan bilangan integer
yang berbeda.
4.3. Pelabelan graceful pada graf dragon pendant
Pada pelabelan graceful graf dragon pendant dalam tesis ini diklasifikasikan
menjadi 4 bagian, yaitu
a. Pelabelan graceful pada graf dragon pendant ( ) untuk n = 3 dengan
b. Pelabelan graceful pada graf dragon pendant ( ) untuk n = 4 dengan
.
c. Pelabelan graceful pada graf dragon pendant ( ) untuk n = 5 dengan
.
d. Pelabelan graceful pada graf dragon pendant ( ) untuk n = 6 dengan
.
Pada Teorema 4.3 diberikan konstruksi dari pelabelan graceful pada graf
dragon pendant ( ) untuk n = 3 dengan . Selanjutnya pada Teorema
4.4 diberikan konstruksi dari pelabelan graceful pada graf dragon pendant
( ) untuk n = 4 dengan , Teorema 4.5 diberikan konstruksi dari
pelabelan graceful pada graf dragon pendant ( ) untuk n = 5 dengan
dan Teorema 4.6 diberikan konstruksi dari pelabelan graceful pada graf
dragon pendant ( ) untuk n = 6 dengan .
Teorema 4.3 Graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf graceful.
Bukti : Misalkan graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf dengan
himpunan simpul dan himpunan sisi sebagai berikut
= *𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 } dan = * }
29
Dalam hal ini | | = + dan ‖ ‖ = + . Sehingga graf dragon pendant
( ) dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.8
v2
v1 v3v4
v5
v6 v7 vm+4 vm+5v6 v7 vm+4 vm+5
Pelabelan lima simpul pertama pada graf dragon pendant, yaitu
𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 dapat dikonstruksikan sebagai berikut:
𝑓(𝑣 ) = ⌊ +
⌋
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ +
⌊ +
⌋ −
𝑓(𝑣 ) = ⌊ +
⌋ +
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ +
⌊ +
⌋ −
𝐷𝑃 (𝑚)
30
Sedangkan untuk simpul selanjutnya, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 dapat
dikonstruksikan sebagai berikut:
≤ 𝑖 ≤ +
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ − +
𝑖 +
𝑖
⌊ +
⌋ + −
𝑖 +
𝑖
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ + −
𝑖 +
𝑖
⌊ +
⌋ − +
𝑖 +
𝑖
Untuk , konstruksi pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut:
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
≤ 𝑖 ≤ +
𝑓( ) = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = 𝑖
Adapun label simpul yang tidak digunakan pada pelabelan graceful graf
dragon pendant ( ) adalah sebagai berikut
⌊ +
⌋ − 𝑖
31
Sebagai contoh untuk graf dragon pendant = dapat dikonstruksi
pelabelannya menurut teorema 4.3. Hasilnya diberikan seperti pada
Gambar 4.9
v2
v1 v3v4
v5
v6 v7v6 v74
3
1
5
6 0 71
2
4
5
6 7
3
Gambar 4.9. Graf Dragon Pendant ( )
Perhatikan gambar 4.9.dapat dilihat bahwa simpul dilabeli sejumlah
integer dari 0 sampai dengan 7 (sesuai dengan ukuran graf) dan tidak ada
yang sama. Dapat dilihat bahwa label simpul yang digunakan hanya sebagai
yaitu *0 + dikarenakan banyak simpul sama dengan banyak sisi.
Selanjutnya pelabelan sisi pada graf tersebut dapat diperoleh dari selisih
kedua simpul ujung sisi tersebut dan dapat dilihat juga pada Gambar 4.9
semua sisi terlabeli (warna merah) dengan bilangan integer yang berbeda.
Teorema 4.4 Graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf
graceful
Bukti : Misalkan graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf
dengan himpunan simpul dan himpunan sisi sebagai berikut :
= *𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 } dan = * }
Dalam hal ini | | = + dan ‖ ‖ = + . Sehingga graf dragon pendant
( ) dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.10
32
v2
v1
v3
v4
v7
vm+6 vm+7
v5
v6
v8 v9
Gambar 4.10. Graf Dragon Pendant ( )
Pelabelan tujuh simpul pertama pada graf dragon pendant, yaitu
𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 dapat dikonstruksikan sebagai berikut:
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ +
⌊ +
⌋ −
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ +
⌊ +
⌋ −
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ +
⌊ +
⌋ −
33
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
Sedangkan untuk simpul selanjutnya, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 dapat
dikonstruksikan sebagai berikut:
≤ 𝑖 ≤ +
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ − +
𝑖 +
𝑖
⌊ +
⌋ + −
𝑖 +
𝑖
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ + −
𝑖 +
𝑖
⌊ +
⌋ − +
𝑖 +
𝑖
Untuk , konstruksi pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut:
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
≤ 𝑖 ≤ +
𝑓( ) = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = 𝑖
34
Adapun label simpul yang tidak digunakan pada pelabelan graceful graf
dragon pendant ( ) adalah sebagai berikut
⌊ +
⌋ 𝑖
Sebagai contoh untuk graf dragon pendant = dapat dikonstruksi
pelabelannya menurut teorema 4.4. Hasilnya diberikan seperti pada
Gambar 4.11
v7
v2
v1
v3
v4v5
v6
v8 v933
5
22
6 1
8
77
00 9922
33
44
11
55 66
77
88 99
Gambar 4.11. Graf dragon pendant ( )
Perhatikan gambar 4.11 dapat dilihat bahwa simpul dilabeli sejumlah
integer dari 0 sampai dengan 9 (sesuai dengan ukuran graf) dan tidak ada
yang sama. Dapat dilihat bahwa label simpul yang digunakan hanya sebagai
yaitu *0 + dikarenakan banyak simpul sama dengan banyak
sisi. Selanjutnya pelabelan sisi pada graf tersebut dapat diperoleh dari selisih
kedua simpul ujung sisi tersebut dan dapat dilihat juga pada Gambar 4.11
semua sisi terlabeli (warna merah) dengan bilangan integer yang berbeda.
Teorema 4.5 Graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf
graceful
Bukti : Misalkan graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf
dengan himpunan simpul dan himpunan sisi sebagai berikut :
35
= *𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 } dan = * }
Dalam hal ini | | = + dan ‖ ‖ = + . Sehingga graf dragon pendant
( ) dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.12
v2
v1
v3
v4
v6
v7
vm+8 vm+9
v5v5
v8
v9
v10 v11
Gambar 4.12. Graf Dragon Pendant ( )
Pelabelan sembilan simpul pertama pada graf dragon pendant, yaitu
𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 dapat dikonstruksikan sebagai berikut:
𝑖 =
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ − 𝑖
⌊ +
⌋ + 𝑖
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ +
⌊ +
⌋ −
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ +
⌊ +
⌋ −
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
36
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
𝑓(𝑣 ) = ⌊ +
⌋
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ +
⌊ +
⌋ −
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
Sedangkan untuk simpul selanjutnya, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 dapat
dikonstruksikan sebagai berikut:
0 ≤ 𝑖 ≤ +
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ − +
𝑖 + 0
𝑖
⌊ +
⌋ + −
𝑖 +
𝑖
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ + −
𝑖 + 0
𝑖
⌊ +
⌋ − +
𝑖 +
𝑖
Untuk , konstruksi pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut:
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
37
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
0 ≤ 𝑖 ≤ +
𝑓( ) = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = 𝑖
Adapun label simpul yang tidak digunakan pada pelabelan graceful graf
dragon pendant ( ) adalah sebagai berikut
⌊ +
⌋ + 𝑖
⌊ +
⌋ −
Sebagai contoh untuk graf dragon pendant = dapat dikonstruksi
pelabelannya menurut teorema 4.5. Hasilnya diberikan seperti pada
Gambar 4.13
v8
v2
v1
v3
v4
v6
v7
v5v5
v9
v10 v1177
6
55
3
22
899
1
1010 00 1111
11
44
1010 1111
88
99
66
5522
33
77
38
Gambar 4.13. Graf Dragon Pendant ( )
Perhatikan gambar 4.13 dapat dilihat bahwa simpul dilabeli sejumlah
integer dari 0 sampai dengan 11 (sesuai dengan ukuran graf) dan tidak ada
yang sama. Dapat dilihat bahwa label simpul yang digunakan hanya sebagai
yaitu *0 0 + dikarenakan banyak simpul sama dengan
banyak sisi. Selanjutnya pelabelan sisi pada graf tersebut dapat diperoleh dari
selisih kedua simpul ujung sisi tersebut dan dapat dilihat juga pada Gambar
4.13 semua sisi terlabeli (warna merah) dengan bilangan integer yang
berbeda.
Teorema 4.6 Graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf
graceful
Bukti : Misalkan graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf
dengan himpunan simpul dan himpunan sisi sebagai berikut
= *𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 } dan = * }
Dalam hal ini | | = + dan ‖ ‖ = + . Sehingga graf dragon
pendant ( ) dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.14
v2
v1
v3
v4
v6
v7
vm+10 vm+11
v5v5
v8
v9
v10
v11
v12v12 v13
Pelabelan sebelas simpul pertama pada graf dragon pendant, yaitu
𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 dapat dikonstruksikan sebagai berikut:
𝐷𝑃 (𝑚)
39
𝑓(𝑣 ) = ⌊ +
⌋
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ +
⌊ +
⌋ −
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ +
⌊ +
⌋ −
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ +
⌊ +
⌋ −
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
40
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ +
⌊ +
⌋ −
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ −
⌊ +
⌋ +
Sedangkan untuk simpul selanjutnya, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 dapat
dikonstruksikan sebagai berikut:
≤ 𝑖 ≤ +
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ − +
𝑖 +
𝑖
⌊ +
⌋ + −
𝑖 +
𝑖
𝑓(𝑣 ) = {⌊ +
⌋ + −
𝑖 +
𝑖
⌊ +
⌋ − +
𝑖 +
𝑖
Untuk , konstruksi pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut:
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = 0
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
41
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =
≤ 𝑖 ≤ +
𝑓( ) = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = 𝑖
Adapun label simpul yang tidak digunakan pada pelabelan graceful graf
dragon pendant ( ) adalah sebagai berikut
⌊ +
⌋ + 𝑖
⌊ +
⌋ −
Sebagai contoh untuk graf dragon pendant = dapat dikonstruksi
pelabelannya menurut teorema 4.6. Hasilnya diberikan seperti pada
Gambar 4.15
8
6
411
12
7
11
5
9
3
10
00 1333
11
12 13
9
11
622
44
55
8
77
11
10
v1
v7v7
v2
v8v8
v3
v9v9
v4
v10v10v11v11
v5v5
v6v6v12v12 v13v13
Gambar 4.15. Graf Dragon Pendant ( )
Perhatikan gambar 4.15 dapat dilihat bahwa simpul dilabeli sejumlah
integer dari 0 sampai dengan 13 (sesuai dengan ukuran graf) dan tidak ada
42
yang sama. Dapat dilihat bahwa label simpul yang digunakan hanya sebagai
yaitu *0 0 + dikarenakan banyak simpul sama
dengan banyak sisi.Selanjutnya pelabelan sisi pada graf tersebut dapat
diperoleh dari selisih kedua simpul ujung sisi tersebut dan dapat dilihat juga
pada Gambar 4.15 semua sisi terlabeli (warna merah) dengan bilangan integer
yang berbeda.
43
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini disampaikan kesimpulan dan saran yang diperoleh dari
pembahasan konstruksi pelabelan graceful pada graf dragon ganda dan graf dragon
pendant pada bab sebelumnya.
5.1 Kesimpulan
Dari hasil penelitian pada bab sebelumnya, diperoleh hasil sebagai berikut:
1. Graf dragon ganda dengan adalah graf graceful
(Teorema 4.1).
2. Graf dragon ganda dengan adalah graf graceful
(Teorema 4.2) .
3. Graf dragon pendant untuk n = 3 dengan adalah
graf graceful (Teorema 4.3).
4. Graf dragon pendant untuk n = 4 dengan adalah
graf graceful (Teorema 4.4) .
5. Graf dragon pendant untuk n = 5 dengan adalah
graf graceful (Teorema 4.5) .
6. Graf dragon pendant untuk n = 6 dengan adalah
graf graceful (Teorema 4.6).
5.2 Saran
Pembahasan mengenai pelabelan graceful ini masih terbuka bagi
peneliti lain untuk melanjutkan penelitian ini pada aplikasinya dan bisa juga
mengadakan penelitian yang sejenis dengan jenis graf yang sama dengan
jumlah simpul yang berbeda atau dengan jenis-jenis graf yang berbeda.
44
45
DAFTAR PUSTAKA
Ahmad,Muzayyin, (2012), Pelabelan Graceful dan pelabelan ̂ pada graf pot bunga dan graf pohon palem, Universitas Indonesia.
Alessandra, (2014), “A new graceful labeling for pendant graphs”, Aequat. Math. Hal 135–145.
Ardiyansah, Ridwan dan Darmaji, (2013),” Bilangan Kromatik Graf Hasil
Amalgamasi Dua Buah Graf ”. Jurnal Sains dan SENI POMITS Vol. 2, No.1, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
Budayasa, Ketut, (2007), Teori Graph dan Aplikasinya, Unesa University
Press.
Cavalier, (2006),Graceful Labelings, Bachelor of Science Louisiana State University
Eshghi. Kourosh,(2013), Introduction To graceful graphs, Sharif University of Technology
Gallian J. A.,(2013), A dynamic survey of graph labeling, Department of
Mathematics and Statistics University of Minnesota Duluth. Gross, L. Jonathan dan Yellen, Jay,(2006), Graph Theory and Its
Applications, Chapman& Hall/CRC, New York. Lekha, Bijukumar, (2012), Some interesting results in the theory of Graphs,
thesis PhD, Saurashtra University. Narindra, dkk.(2011), pelabelan graceful pada graf duplikasi simpul dan
graf duplikasi sisi dari graf sikel Cn, Universitas Diponegoro.
Riadi. Bambang,(2009), Menentukan Pelabelan Graceful pada Graf Lintasan (Pn ) dengan panjang n menggunakan program php dan javascript, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang
Tri,Lusia,(2008), “Pelabelan graceful digraph lintasan dan digraph
bipartite”, Jurnal MIPA, Nomer 1, hal 1-5. Universitas Jember
Zulfi.Amir, dkk,(2011), “pelabelan graceful, skolem graceful dan pelabelan ̂ pada graf ( )”, Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta.
46
BIODATA PENULIS
Oktober 2011 dengan mendapat gelar Sarjana Pendidikan. Sebelum mendapat
gelar Sarjana, penulis mendapat pekerjaan sebagai guru matematika di SMPK
Angelus Custos II Surabaya pada tahun 2010 hingga 2012. Penulis melanjutkan
studi S2 di Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Surabaya melalui program pra s2 pada tahun 2012 hingga tahun 2013 kemudian
meneruskan program s2 tahun 2013 sampai 2015. Selama kuliah S2 di jurusan
matematika, penulis mengambil bidang graf. Kritik dan saran ataupun pertanyaan
yang berhubungan dengan tesis ini dapat menghubungi penulis melalui email
Penulis memiliki nama lengkap Restu Ria
Wantika lahir di Surabaya, 22 November 1989.
Penulis telah menempuh pendidikan formal
mulai dari SDN Kebraon II, SMPN 16
Surabaya, dan SMAN 1 Surabaya. Setelah
lulus dari SMA, penulis melanjutkan studi S1
di Jurusan Matematika Universitas Negeri
Surabaya dan diterima sebagai mahasiswa
angkatan 2007. Penulis lulus sarjana dengan
delapan semester dan wisuda pada bulan