download gratis bøger på ventus.dk / bookboon -...

Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com

Formelsamling til matematik


Formelsamling til matematik

© 2005 Ventus Publishing ApS

ISBN 87-7681-001-1


4

Formelsamling til matematik Indholdsfortegnelse

1. Brøkregning2. Procentregning2.1 Gennemsnitlig procent2.2 Ligevejet gennemsnit2.3 Vejet gennemsnit2.4 Indekstal3. Rentesregning3.1 Fremskrivning3.2 Tilbageskrivning3.3 Effektiv rente4. Annuitetsregning4.1 Fremtidsværdien af en annuitet4.2 Nutidsværdien af en annuitet4.3 Annuitetsydelse5. Potensregneregler6. Linier6.1 Ligninger for linier7. Parabeler8. Trekanter8.1 Retvinklede trekanter8.2 Vilkårlige trekanter9. Funktioner9.1 Funktionsbegrebet9.2 Sammensat funktion9.3 Omvendt funktion

10. Polynomier10.1 Lineær funktion10.2 Andengradspolynomium10.3 Faktorisering af parabel10.4 Polynomium af grad n11. Asymptote for polynomiumsbrøker 11.1 Vandret asymptote11.2 Skrå asymptote11.3 Lodret asymptote12. Logaritmefunktioner12.1 Logaritmefunktion med grundtal 1012.2 Regneregler12.3 Den naturlige logaritmefunktion12.4 Regneregler12.5 Sammenhæng mellem log og ln13. Ekspotentielle funktioner13.1 Eksponentialfunktion med begyndelsesværdi ≠ 113.2 Fordoblingskonstant T213.3 Halveringskonstant T½13.4 Den omvendte funktion for en eksponentialfunktion

81010101011121213131414

14

151618192123232426262727

Indholdsfortegnelse, niveau B292929303133

3334343535

3536

3637

3838

404141

NNE Pharmaplan er en af verdens førende rådgivende ingeniørvirksomheder med speciale i konsulent- og ingeniørydelser til den farmaceutiske og bioteknologiske industri. NNE Pharmaplan er et datterselskab til Novo Nordisk. Vi har mere end 1500 ansatte fordelt på 22 kontorer rundt om i verden.

Udfordringer...Bliv elev i NNE Pharmaplan. Du kan blive uddannet som kontorassistent, økonomiassistent og teknisk designer.

www.nnepharmaplan.com

Klik

på

rekl

amen

http://bookboon.com/count/pdf/71705/4


5

Indholdsfortegnelse, niveau B14. Potensfunktioner14.1 Eksponent a14.2 Bestemmelse af b14.3 Den omvendte funktion af en potensfunktion15. Proportionalitet16. Trigonometriske funktioner16.1 Radianer 16.2 Cosinus , sinus og tangens 16.3 Regneregler16.4 Specielle funktionsværdier16.5 Trigonometriske grundligninger 16.6 Harmonisk svingning17. Lineære funktioner i to variable18. Differentialregning18.1 Differentiation af specielle funktioner18.2 Regneregler for differentiation

42424444

4546464646484950525354

55

19. Deskriptiv statistik19.1 Diskrete observationer19.2 Pindediagram19.3 Summerede frekvenser19.4 Trappediagram19.5 Grupperede observationer19.6 Søjlediagram (histogram)19.7 Summerede frekvenser19.8 Sumkurve20. Sandsynlighedsregning20.1 Regneregler for sandsynligheder21. Stokastisk variable21.1 Middelværdi μ21.2 Varians σ2

21.3 Standardafvigelse22. Binomialfordeling22.1 Fakultet22.2 Binomialkoeffi cient K(n, r)22.3 Binomialfordelt stokastisk variabel X22.4 Sandsynlighedsfunktion22.5 Middelværdi22.6 Varians σ2

22.7 Standardafvigelse σ23. Normalfordeling23.1 Normalfordelt stokastisk variabel X Stikordsregister for niveau B

57575859606163636466666869696970707070

717172727373

131


KOM TIL U-DAYS D. 4., 5. OG 6. MARTS 2010 OG LÆR MERE OM VORES UDDANNELSER

Internationale universitetsuddannelser

med rod i virkeligheden

Praktik

Studiejobs

ASB Alumni

Summer University

Corporate partners

ASB Karrierecenter

Studiemiljø i særklasse

Job- og CompanyDating

Danske og internationale forskere

Læs mere på www.asb.dk

U-DAYS

VIL DU SIKRE DIN FREMTID MED EN MÅLRETTET UNIVERSITETSUDDANNELSE INDEN FOR BUSINESS? LÆS MERE OM VORES UDDANNELSER PÅ WWW.ASB.DK

Klik

på

rekl

amen



6

1. Vektorer i planen1.1 Regning med vektorer1.2 Vektor bestemt ved to punkter i planen1.3 Arealet af en trekant2. Linie i planen2.1 Ligning for linie2.2 Retningsvektor for linie3. Afstand i planen3.1 Afstand mellem to punkter3.2 Afstand fra punkt til linie4. Parabel5. Cirkel6. Ellipse7. Hyperbel8. Kvadratisk funktion i to variable9. Integralregning9.1 Stamfunktion9.2 Ubestemt integral9.3 Stamfunktion til specielle funktioner9.4 Regneregler for ubestemt integral9.5 Bestemt integral9.6 Regneregler for bestemt integral9.7 Arealberegning


77788486878788898990919395969899999999

100102102104

Indholdsfortegnelse, niveau A

10. Numerisk integration11. Differentialligninger12. Sandsynlighedsregning12.1 Regneregler for sandsynligheder13. Stokastisk variable13.1 Diskret stokastisk variabel13.2 Kontinuert stokastisk variabel13.3 Lineær transformation af stokastisk variabel X14. Binomialfordeling14.1 Binomialfordelt stokastisk variabel X14.2 Approksimation af binomialfordelt stokastisk variabel X med normalfordeling15. Normalfordeling15.1 Normalfordelt stokatisk variabel X15.2 Standardnormalfordelt stokastisk variabel U15.3 Standardisering af normalfordelt stokastisk variabel X _15.4 Gennemsnit x af n uafhængige, identisk normalfordelte stokastiske variable16. Konfi densinterval16.1 Konfidensinterval for middelværdien μ i en normalfordeling med kendt varians σ216.2 Konfidensinterval for sandsynlighedsparameteren p i en binomialfordeling Stikordsregister for niveau A

106109110111115115117118

120120122

124124124

125

127

128128

129

133

www.dfds.com/elever

Klik

på

rekl

amen



7

NIVEAU B

Formelsamling til matematik Niveau B


8

Formelsamling til matematik Brøkregning

1. Brøkregning

To brøker ganges ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.

(1)

To brøker lægges sammen ved først at fi nde en fællesnævner. Derefter sættes de på fælles brøkstreg, og tællerne lægges sammen.

(2)

To brøker trækkes fra hinanden ved først at fi nde en fællesnævner. Derefter sættes de på fælles brøkstreg, og tællerne trækkes fra hinanden.

(3)

Et heltal divideres med en brøk ved at gange heltallet med den omvendte brøk.

(4)

a c a cb d b d

⋅⋅ =

⋅

a c a d c b a d c bb d b d d b b d

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅+ = + =

⋅ ⋅ ⋅

a c a d c b a d c bb d b d d b b d

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅− = − =

⋅ ⋅ ⋅

bc

a c a cab b

⋅= ⋅ =

Eksempel:

2 4 2 4 83 7 3 7 21

⋅⋅ = =

⋅Figur 1

Eksempel:

Figur 2

1 1 1 4 1 3 4 3 4 3 73 4 3 4 3 4 12 12 12 12

⋅ ⋅ ++ = + = + = =

⋅ ⋅

Eksempel:

Figur 3

1 1 1 4 1 3 4 3 4 3 13 4 3 4 3 4 12 12 12 12

⋅ ⋅ −− = − = − = =

⋅ ⋅

Eksempel:

Figur 4

4 2 4 24 81 1 12

⋅= ⋅ = =


9

Formelsamling til matematik Brøkregning

1ab

c cd d

a a d a db b c b c

⋅= ⋅ = ⋅ =

⋅

1ab a a

c b c b c= ⋅ =

⋅

Eksempel:

Figur 5

16 1 1 1

3 6 3 18= ⋅ =

Eksempel:

Figur 6

14

1 18 8

1 1 1 8 1 8 8 24 4 1 4 1 4

⋅= ⋅ = ⋅ = = =

⋅

En brøk divideres med et heltal ved at gange heltallet med brøkkens nævner.

(5)

En brøk divideres med en brøk ved at gange brøkken i tælleren med det omvendte af brøkken i nævneren.

(6)

Har du gjort dig tanker om fremtiden ? Vi har !B l i v h a n d e l s e l e v h o s B D / i n f o : w w w . b d . d k / e l e v

Klik

på

rekl

amen



10

Formelsamling til matematik Procentregning

2. Procentregning

2.1 Gennemsnitlig procent

Over en periode med n terminer, hvor hver termin har en forskellig rentefod r1,r2,…, rn, fi ndes den gennemsnitlige rentefod ved hjælp af denne ligning:

(7) UVM nr. (1)

2.2 Ligevejet gennemsnit

Et ligevejet gennemsnit x af tallene x1, x2, ..., xn fi ndes ved at tage summen af alle tallene, der er ganget med vægten .

(8)

2.3 Vejet gennemsnit

Et vejet gennemsnit af tallene x1, x2, ..., xn fi ndes på samme måde som et ligevejet gennemsnit, men i et vejet gennemsnit er vægtene ikke lig hinanden. Hvis vægtene noteres med r1, r2, ..., rn, fi ndes det vægtede gennemsnit ud fra formlen:

(9) UVM nr. (2)

Summen af alle vægtene skal være lig 1.

1 2r (1 ) (1 ) ... (1 ) 1nnr r r= + ⋅ + ⋅ ⋅ + −

1n

1 21 2

...1 1 1... nn

x x xx x x xn n n n

+ + += ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

1 1 2 2 ... n nx x r x r x r= ⋅ + ⋅ + + ⋅

Eksempel:

( ) ( ) ( )3 1 0,04 1 0,07 1 0,01 1 1,04 1 0,04 4%r = + ⋅ + ⋅ + − = − = =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1,04 1,07 1,01 1,12

1 1,04 1,04 1,04 1,12

⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ =

Det betyder, at et indskud på 1 kr. på ovenstående konto, eller på en konto med en årlig rente på 4%, giver:

En bankopsparing forrentes i år 1 med 4% p.a., i år 2 med 7% p.a., og i år 3 med 1% p.a.. Den gennemsnitlige forrentning vil da være:

Figur 7

Eksempel:

Et avisbud er 3 timer om at gå sin rute. På den første time omdeler han 100 aviser, på anden time omdeler han 90 aviser, og på den sidste time omdeler han 65 aviser. I gennemsnit omdeler han x aviser i timen.

1 1 1100 90 65 853 3 3

x = ⋅ + ⋅ + ⋅ =Figur 8


11

Formelsamling til matematik Procentregning

2.4 Indekstal

Til beskrivelse af prisudvikling bruger man indekstallet (I). Til et givet basisår sætter man prisen (b) på en vare til 100. Efter et antal år har man så prisen (t). Indekstallet kan da bestemmes ud fra formlen:

(10) UVM nr. (3)

100tIb⋅

=

Eksempel:

Figur 9

Et avisbud er to timer om at gå sin rute. Hun starter kl. 11.45, og på det første kvarter omdeler hun 30 aviser, fra kl. 12 til 13 omdeler hun 95 aviser, og på de sidste 45 minutter omdeler hun 60 aviser.Det gennemsnitlige antal omdelte aviser pr. time kan findes som et vægtet gennemsnit:

1 1

2 2

3 3

15 minutter 11202 timer 8



1 1 3120 95 80 92,58 2 8

avisertime

avisertime

avisertime

aviser aviser aviser avisertime time time time

x r

x r

x r

x

= = =

= = =

= = =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Eksempel:

År 2000 2005 2010

Pris 45 50 43

Indeks 10050 100

111,1145

I⋅

= =43 100

95, 5645

I⋅

= =

Tabellen viser prisen for en vare og prisindekset i 3 forskellige år, med år 2000 som basisår. Figur 10


12

Formelsamling til matematik Rentesregning

3. Rentesregning

0 1 ... n antal terminer K0 K1 ... Kn kapitalværdier

Startkapital K0 Rentefod r pr. termin Antal terminer n Kapital Kn efter n terminer

3.1 Fremskrivning

En startkapital, der forrentes med r% pr. termin, vil efter n terminer være vokset til:

(11) UVM nr. (4)

0 (1 )nnK K r= ⋅ +

Eksempel:

Figur 11

500 kr., der forrentes med 5% p.a., er efter 10 år vokset til:

( )

0

1010

5000,05 5%10

500 1 0,05 814,45 kr.

Krn

K

== ==

= ⋅ + =

Gå efter det bedste tilbud !

Er du på jagt efter en uddannelse, hvor mulighederne for at gøre karriere er rigtig gode? Har du gå-på-mod og evner til at gennemføre et seriøst uddannelsesfor-løb med fokus på kundeserivce, salg og samarbejde?

Så skulle du overveje en uddannelse som salgsassi-stent eller trainee i Dansk Supermarked. Vi søger lige nu elever til føtex, Bilka og Netto over hele landet.

Når Dansk Supermarked søger elever, er det for at uddanne dygtige medarbejdere og ledere til fremti-den. Vores succes afhænger af dig. Derfor gør vi rig-tig meget ud af, at du udnytter dine evner optimalt, har det godt, trives med dine opgaver og udvikler dig personligt.

Du kan læse meget mere om vores uddannel-ser og karrieremuligheder på vores hjemmeside elev.dsg.dk, hvor du også kan se og søge ledige elev-stillinger. Du er også velkommen til at gå ned i dit lokale varehus for at høre mere om dine muligheder.

elev.dsg.dk

Klik

på

rekl

amen



13

3.2 Tilbageskrivning

Ved at rykke rundt på fremskrivningsformlen kan man fi nde den startkapital, der er nødvendig for at have en indestående kapital på Kn efter n terminer med en forrentning pr. termin på r%.

(12) UVM nr. (5)

3.3 Effektiv rente

Forrentes et indestående med en fast rente r% pr. termin i n terminer, er den effektive rente i den samlede procentvise rentetilskrivning over de n terminer:

(13) UVM nr. (6)

0 (1 ) nnK K r −= ⋅ +

(1 ) 1ni r= + −

Formelsamling til matematik Rentesregning

Eksempel:

Figur 12

Det beløb, der forrentes med 10% p.a., og som efter 7 år er vokset til 17.000 kr., er:

( ) 70

170000,10 10%7

17000 1 0,10 8723,69 kr.

nKrn

K −

== ==

= ⋅ + =

Eksempel:

Figur 13

Hvis renten er 3% pr. måned, er den effektive rentefod p.a.:

Den effektive rente er altså 42,58% p.a..

( )12

0,03 3%12

1 0,03 1 0,4258

rn

i

= ==

= + − =


14

4. Annuitetsregning

Det initiale beløb, der lånes, kaldes for hovedstol, og noteres som A0 Den til hver termin tilskrevne rente i procent kaldes for rentefod og noteres som r Antal annuitetsydelser noteres som n I en annuitet er alle betalinger lige store, og annuitetsydelsen noteres derfor som y Den opsparede kapital efter n annuitetsydelser noteres som An

4.1 Fremtidsværdien af en annuitet

Ved en annuitetsopsparing med n indbetalinger af y vil der, når den sidste ydelse er indbetalt, være opsparet An. Den første ydelse skal forrentes med r i n-1 terminer, den anden ydelse skal forrentes med r i n-2, osv., til den sidste ydelse, der ikke skal forrentes. Dette giver opsparingsformlen, der har formen:

(14) UVM nr. (7)

4.2 Nutidsværdien af en annuitet

Nutidsværdien af n ydelser, der alle er lig y og alle forrentes med r, fi ndes ved at tage summen af nutidsværdien af samtlige ydelser. Dette giver gældsformlen, der har formen:

Formelsamling til matematik Annuitetsregning

( ) ( ) ( )1 2 1 (1 ) 11 1 ... 1n

n nn

rA y r y r y r y yr

− − + −= ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ + + = ⋅

Eksempel:

Figur 15

Der indbetales 1.000 kr. hvert år i i alt 6 år. Ydelserne forrentes med 4% p.a. Værdien af opsparingen efter sidste indbetaling er:

6

6

1000 kr.4% 0,046

(1 0,04) 11000 6632,98 kr.0,04

yrn

A

== ==

+ −= ⋅ =

Figur 14

Annuitetsopsparing

y y

1 2

y

n

An Indestående

indbetalinger

antal

annuitetsydelser

Annuitetslån

y y

1 2

y

n

ydelser

antal

annuitetsydelser

A0Hovedstol

0


15

(15) UVM nr. (8)

4.3 Annuitetsydelse

Ud fra gældsformlen udledes amortisationsformlen. Formlen giver den gældende terminsydelse på et annuitetslån med en hovedstol på A0, som betales tilbage over n terminer med en rente på r, som:

(16) UVM nr. (9)

Formelsamling til matematik Annuitetsregning

0 1 (1 ) n

ry Ar −= ⋅

− +

Eksempel:

Figur 17

Den månedlige ydelse på et sædvanligt annuitetslån på 1.200 kr., der forrentes med 3% pr. måned, og har en løbetid på 12 måneder, er:

0

12

1200 kr.3% 0,0312

0,031200 120,55 kr.1 (1 0,03)

Arn

y −

=

= ==

= ⋅ =− +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 10

1 (1 )1 1 ... 1 1n

n n rA y r y r y r y r yr

−− − − − − − +

= ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ + = ⋅

Eksempel:

Figur 16

Et lån tilbagebetales med 10 på hinanden følgende månedlige ydelser på 75 kr. Renten er 1% pr. måned. Gældsformlen giver da:

10

0

75 kr.1% 0,0110

1 (1 0,01)75 710,35 kr.0,01

yrn

A−

== ==

− += ⋅ =

Klik

på

rekl

amen



16

5. Potensregneregler

Et tal x, der opløftes i en potens s, ganges med sig selv s gange:

(17)

Opløftes et tal x i en negativ potens -s, giver det 1 divideret med x opløftet i den positive potens +s.

(18) UVM nr. (16)

Opløftes et tal i 0, giver det pr. defi nition 1.

(19) UVM nr. (15)

For et tal x opløftet i s, der ganges med x opløftet i t, gælder:

(20) UVM nr. (10)

For et tal x opløftet i s, der divideres med x opløftet i t, gælder:

(21) UVM nr. (11)

Opløftes x i s, og derefter i t, skal x sammenlagt opløftes i produktet af s og t.

(22) UVM nr. (12)

Formelsamling til matematik Potensregneregler

...1 2 1

sx x x x xs s

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

1ssx

x− =

0 1x =

... ...1 1

s t s tx x x x x x xs s s t

+⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =+ +

( )1ss ts s t s t

t t

x x x x x xx x

+ −− −= ⋅ = ⋅ = =

1 2

1 1 1 ( ) ... ... ... ...s t s t

t

s s sx x x x x x x x ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =123 123 123

Eksempel:

Figur 18

Når 6 opløftes i 3., giver det

36 6 6 6 216= ⋅ ⋅ =

Eksempel:

Figur 19

Når 4 opløftes i -2., giver det:2

2

1 1 144 4 4 16

− = = =⋅

Eksempel:

Figur 20

13 7 13 7 20x x x x+⋅ = =

Eksempel:

Figur 21

2020 12 8

12

22 5 3

5 3

1

x x xxx x xx x

−

− −

= =

= = =

Eksempel:

Figur 22

( )34 4 3 12x x x⋅= =


17

Opløftes et produkt af to tal x og y i en potens s, gælder:

(23) UVM nr. (13)

Opløftes en brøk i en potens, gælder:

(24) UVM nr. (14)

Rod s af et tal x er defi neret som det tal, der ganget med sig selv s gange, giver netop x. Det betyder, at rod s af x kan udtrykkes med denne formel:

(25) UVM nr. (17)

Ud fra gældende regneregler kan det vises, at der for rod t af x opløftet i s gælder:

(26) UVM nr. (18)

Formelsamling til matematik Potensregneregler

( ) ... ... ...1 2 1 1

s s sx y x y x y x y x x y y x ys s s

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

...

1 2 1

s s

s

x x x x x xy y y y y y

s s

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠−

1s sx x=

( )1 1 st t tst s sx x x x⋅= = =

Eksempel:

Figur 23

3 3 3( )x y x y⋅ = ⋅

Eksempel:

Figur 24

4 4

4

x xy y⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

Eksempel:

Figur 25( ) ( )1 1

12 2

1s sss ss

x x

x x x x x⋅

=

= = = =

Eksempel:

Figur 26

53 5 3x x=


18

6. Linier

Hældningskoeffi cienter for linier

For en given linie, der går gennem punkterne A(x1,y1) og B(x2,y2), kan hældningskoeffi cienten (stigningstallet) a fi ndes ud fra:

(27) UVM nr. (19)

Formelsamling til matematik Linier

2 1

2 1

y yax x−

=−

Eksempel:

Figur 28

En linie, der går gennem punkterne A(-3,-2) og B(9,4), har hældningskoefficienten:

( )( )

4 2 6 19 3 12 2

a− −

= = =− −

Figur 27

a

(1)

(2)

1

B(x2 , y2)

A(x1 , y1)

l

v

Deltag i Børsens Gazellespil 2010 - og vind flotte pengepræmier

Gazellespillet er et spændende og innovativt virksomhedsspil, hvor du kommer til at prøve kræfter som iværksætter.

Spillet udfordrer i 2010 elever og lærere på at tage beslutnin-ger i et marked præget af økonomisk og finansiel krise.

Som leder af en fiktiv virksomhed skal du og dit hold hver uge træffe vigtige beslutninger om produktudvikling, marketing, investeringer m.v.

Spillet starter den 18. januar 2010 og der vil være flotte pengepræmier til de skarpeste beslutningstagere.

Læs alt om spillet og tilmeld jer på gazellespil.borsen.dk KLIK HER

Klik

på

rekl

amen



19

Kendes en linies vinkel på 1. aksen, kan hældningskoeffi cienten også fi ndes ud fra formlen:

(28) UVM nr. (20)

6.1 Ligninger for linier

Ligningen for en given linie l kan opskrives på to forskellige måder. Den første angiver en direkte sammenhæng mellem x-værdien og den tilhørende y-værdi. Skal et punkt ligge på linien l, skal der til en hver x-værdi være en y-værdi, hvilket er givet ved:

(29) UVM nr. (21)

For en linie med en given hældningskoeffi cient, der går gennem punkt A(x0,y0), kan liniens ligning skrives som:

(30) UVM nr. (22)

( )tana v=

y a x b= ⋅ +

0 0( )y y a x x− = ⋅ −

Eksempel:

Figur 29

En linie, der danner en vinkel på 30° med 1. aksen, har hældningskoefficienten:

o 3tan 303

a = =

Eksempel:

Figur 31

En linie, der skærrer 2. aksen i 4 og har en hældningskoefficient på 0,8, har ligningen:

o 3tan 303

a = =

Figur 32

En linie, der går gennem A(3,-7) med hældningskoefficienten –3, har ligningen:

( ) ( )

0

0

33

77 3 3

7 3 93 2

axyy xy xy x

= −== −

− − = − ⋅ − ⇔

+ = − ⋅ + ⇔= − ⋅ +

Eksempel:


Figur 30

a

(1)

(2)

A(x0 , y0) l

1b


20

For en linie med en given hældningskoeffi cient, der går gennem punkt A(x0,y0), kan liniens skærring med 2. aksen b fi ndes som:

(31)


0 0b y a x= − ⋅

Figur 33

En linie, der går gennem A(2,0) med hældningskoefficienten 5, har en skærring på 2. aksen på:

Eksempel:

0

0

520

0 5 2 10

axyb

==

=

= − ⋅ = −

FÅ HELE VERDEN SOM DIN ARBEJDSPLADS!

Vil du være blandt verdens førende shippingfolk? Det Blå Danmark, eller det danske mari-time erhverv, kan tilbyde dig en shippinguddannelse af høj international standard. Danske rederier og shippingvirksomheder er førende inden for de mest avanacerede segmenter af den globale søfart og flytter dagligt 10 procent af al verdens handel til søs. Hvis du har mod på en international karriere, så gå ind på www.worldcareers.dk og find ud af, hvordan DU kan få hele verden som din arbejdsplads.

Få verden som arbejdsplads: www.worldcareers.dk

Klik

på

rekl

amen



21

Formelsamling til matematik Parabler

7. Parabler

Sammenhængen mellem x-værdier og y-værdier i en parabel er givet ud fra ligningen:

(32) UVM nr. (23)

For at lette udregningen af parablens toppunkt og dens skærring(er) med 1. aksen defi neres diskriminanten d som:

(33) UVM nr. (24)

Toppunktet T i en parabel er der, hvor hældningen er 0, og koordinaterne til T er givet ved:

(34) UVM nr. (25)

2y ax bx c= + +

Figur 35

Eksempel:

2

23

12 3 1

abcy x x

== −=

= ⋅ − ⋅ +

2 4d b ac= −

Figur 36

Eksempel:

( )23 4 2 1 9 8 1d = − − ⋅ ⋅ = − =

,2 4

b dTa a− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Figur 37

Eksempel:

( )3 1 3 1, ,2 2 4 2 4 8

T− −⎛ ⎞− ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Figur 34

(1)

(2)

S1

S0

S2

T


22

Parablens skæringspunkter med 1. aksen S1 og S2 vil have koordinaterne:

(35) UVM nr. (26)

Hvis d > 0, vil der være to skærringer med 1. aksen, som er givet ved S1 og S2. Hvis d = 0, vil der kun være en skærring med 1. aksen, og det vil være, hvor toppunktet tangerer 1. aksen. Hvis d < 0, kan kvadratroden af diskriminanten ikke fi ndes, og parablen vil ikke have nogle skærringer med 1. aksen.

Parablens skæringspunkt med 2. aksen S0 er givet ud fra parablens ligning, hvor x = 0:

(36) UVM nr. (27)

Formelsamling til matematik Parabler

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

02

02

2

1

,a

dbS

,a

dbS

Figur 38

Eksempel:

( )

( ) ( )

1

2

3 1 3 1 1,0 ,0 ,02 2 4 2

3 1 3 1,0 ,0 1,02 2 4

S

S

⎛ ⎞− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞− − + +⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )20 0, 0 0 0,S a b c c= ⋅ + ⋅ + =

Figur 39

Eksempel:

( )0

23

10,1

abcS

== −=

=


23

Formelsamling til matematik Trekanter

8. Trekanter

8.1 Retvinklede trekanter

I en given trekant kan alle sidelængder og vinkler fi ndes, hvis blot tre størrelser kendes. I en retvinklet trekant er , og haves længden på to af siderne, kan længden på den sidste side fi ndes ud fra pythagoras sætning:

(37) a2 + b2 = c2 UVM nr. (28)

Derudover kan man, hvis blot man kender sidelængderne, fi nde de to spidse vinkler A og B. For at bestemme disse fi ndes følgende forhold mellem sidelængderne:

(38) Sinus til en vinkel: UVM nr. (29)

(39) Cosinus til en vinkel: UVM nr. (30)

(40) Tangens til en vinkel: UVM nr. (31)

Figur 41

I en retvinklet trekant ABC med vinkel C = 90°, sidelængde a = 4 og sidelængde b = 3, er c bestemt ved:

Eksempel:

2 2 2

2 2

4 3

4 3 16 9 25 5

c

c

+ = ⇔

= + = + = =

1

1

sin

sin

sin

sin

aAc

aAc

bBc

bBc

−

−

=

⎛ ⎞∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ ⎞∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1

cos

cos

cos

cos

bAc

bAc

aBc

aBc

−

−

=

⎛ ⎞∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ ⎞∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1

tan

tan

tan

tan

aAb

aAb

bBa

bBa

−

−

=

⎛ ⎞∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ ⎞∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

90C∠ = o

Figur 40

B

bC

c

A

a


24


8.2 Vilkårlige trekanter

Figur 42

I en trekant gives sidelængderne som a = 4, b = 3 og c = 5. Vinklerne i trekanten er da bestemt som:

Eksempel:

1

1

1

4sin54sin 53,1354cos54cos 36,875

3tan43tan 36,874

aAc

A

aBc

B

bBa

B

−

−

−

= =

⎛ ⎞∠ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

⎛ ⎞∠ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

⎛ ⎞∠ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

o

o

o

Figur 43

a

B

A Cb

c

Hvad enten du drømmer om at starte virksomhed eller allerede er godt i gang, giver vi dig power til at maksimere dit potentiale. I uge 47 er der springboards, workshops, foredrag og konkret rådgivning til alle – fra iværksætterspirer i grundskolen til direktører med vækstambitioner.

Bag initiativet står Økonomi- og Erhvervsministeriet i samarbejde med en lang række private og offentlige organisationer. Initiativet er en del af "Global Entrepreneurship Week", hvor mere end 100 lande sætter fokus på iværksætteri og vækst.

Global Entrepreneurship Week | Økonomi- og Erhvervsministeriet | Væksthusene | Young Enterprise Danmark | DI – Organisation for erhvervslivet | Kauffmann | Make Your Mark

| Dansk Iværksætter Forening | Undervisningsministeriet | DEF | DJØF | Foreningen af Registrerede Revisorer | Øresund Entrepreneurship Academy | Danske Advokater |

Foreningen af Statsautoriserede Revisorer | IDA | DANA | IDEA | Vækstfonden | Women in Business | Connect Denmark | Ministeriet for Videnskab, Teknologi og Udvikling | FUHU

| Ernst & Young | Dansk Erhverv | Venture Cup | Kulturministeriet | Early Warning | Danmarks Eksportråd

Læs mere på www.uge47.dk

Klik

på

rekl

amen



25

En given trekant vil altid kunne deles op i to retvinklede trekanter. Ud fra regnereglerne for retvinklede trekanter kan følgende relationer fi ndes:

8.2.1 Cosinusrelationerne:

(41) UVM nr. (32)

8.2.2 Sinusrelationerne:

(42) UVM nr. (33)

Arealet af en trekant fi ndes ved at gange grundlinie med højden. Ved at benytte sinus-regneregler for en retvinklet trekant kan højden i en given trekant fi ndes. Derfor kan arealet af en trekant T fi ndes som:

(43) UVM nr. (34)


( )( )( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

c a b a b C

b a c a c B

a b c b c A

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅

Figur 44

I en trekant ABC med a = 9, b = 12 og c = 4, er vinkel C bestemt ved:

Eksempel:

2 2 2

2 2 2

1

4 9 12 2 9 12 cos9 12 4 209cos 0,97

2 9 12 216209cos 14,63216

C

C

C −

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔

+ −= = = ⇔

⋅ ⋅⎛ ⎞∠ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

o

sin sin sina b c

A B C= =

Figur 45

I en trekant ABC med vinkel A = 30°, vinkel B = 70° og b = 4, er a bestemt ved:

Eksempel:

4sin 30 sin 70

4 sin 30 2,13sin 70

o o

o

o

a

a

= ⇔

⋅= =

12

121212

sinsinsin

T a b CT b c AT c a B

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

Figur 46

Arealet af en trekant ABC med vinkel B = 50°, a = 2 og c = 12, er:

Eksempel:

12 12 2 sin 50 9,19oT = ⋅ ⋅ ⋅ =


26

Formelsamling til matematik Funktioner

9. Funktioner

9.1 Funktionsbegrebet

Figuren viser grafen for en funktion f(x), der, til enhver x-værdi inden for defi nitionsmængden, giver en tilhørende y-værdi (funktionsværdien).

(44) Defi nitionsmængden for f er defi neret som mængden af x-værdier, for UVM nr. (35) hvilke der fi ndes en tilhørende funktionsværdi.

Afhængigt af om funktionens endepunkter er åbne eller lukkede, kan funktionens defi nitionsmængde skrives som:

Dm(f) = ]a; b] – Intervallets begyndelsespunkt er ikke en gyldig x-værdi (som på fi guren) Dm(f) = [a; b[ – Intervallets endepunkt er ikke en gyldig x-værdi Dm(f) = ]a; b[ – Hverken intervallets begyndelsespunkt eller endepunkt er gyldige x-værdier Dm(f) = [a; b] – Både intervallets begyndelsespunkt og endepunkt er gyldige x-værdier

(45) Værdimængden for f er den mængde, der fremkommer ved at fi nde UVM nr. (36) funktionsværdien for alle x-værdier i defi nitionsmængden.

Vm(f) = [e; g] (som på fi guren)

Hvis værdimængden er givet ved et åbent interval, betyder det, at defi nitionsmængden er givet ved et åbent interval, og at de(n) åbne grænseværdi(er) i værdimængden er funktionsværdien til de(n) åbne grænseværdi(er) i defi nitionsmængden.

(46) Funktionsværdien y = f(x) UVM nr. (37)f(x) er andenkoordinaten til det punkt på grafen, som har førstekoordinaten x.

(47) Monotoniintervallerne for f fortæller om hældningen af funktionen i disse intervaller. UVM nr. (38)f er aftagende i ]a; c] (som på fi guren) f er voksende i ]c; d] (som på fi guren) f er aftagende i ]d; b] (som på fi guren)

Figur 47

(1)

(2)

b

g

f

x

c

a d

e

y = f(x)


27

9.2 Sammensat funktion

Den sammensatte funktion er givet ved f(x), hvor x er erstattet med g(x):

(48) UVM nr. (39)

9.3 Omvendt funktion

Til en given funktion f kan den omvendte funktion (den inverse funktion) f -1 fi ndes ved hjælp af denne formel:

(49) UVM nr. (40)


( )f g xo

( ) ( )( )f g x f g x=o

Figur 48

Eksempel:

( )( )( ) ( )( ) ( )

2

2 2 2

3 8

3 4

3 3 4 8 3 9 12 8 3 9 20

f x x

g x x x

f g x f g x x x x x x x

= ⋅ +

= − ⋅ +

= = ⋅ − ⋅ + + = ⋅ − ⋅ + + = ⋅ − ⋅ +o

1( ) ( )y f x x f y−= ⇔ =

KarriereplatformenShippingbranchen er en unik mulighed for dig, hvis du sigter mod en fremtid, hvor ikke to dage er ens. Ønsker du samtidig en intensiv uddannelse, der kombinerer praktik og teori på højt plan, vil du få et godt fundament for din fremtidige karriere i international shipping.

Fra vort hovedkontor i København får du hele verden som arbejdsplads. Du kommer hurtigt til at indgå i et team med dygtige og engagerede kolleger i et inspirerende arbejdsmiljø.

Vi kan tilbyde vore kommende trainees forskellige udgangs-punkter for en fremtidig karriere.

Tre spændende uddannelsesprogrammerRederiet søger shipping trainees, en trainee til rederiets bunkers-afdeling samt trainees til økonomiafdelingerne.

Læs mere om alle tre uddannelser og adgangskrav under career opportunities på www.j-lauritzen.com.

Hvorfor vælge J. Lauritzen?Vi arbejder med udgangspunkt i en ambitiøs vision om kontinu-erligt at levere ”world-class” til vore kunder og samarbejdspart-nere, og visionen understøttes af et stærkt værdigrundlag. J. Lauritzen er et af de ældste rederier i Danmark, som har stærk fokus på udvikling og drives efter moderne forretningsprincipper.

Tillid og respekt er i højsædetUd over et intensivt uddannelsesforløb tilbyder vi gode ansæt-telsesvilkår, sundhedsforsikring, god frokostordning samt mange sociale aktiviteter efter arbejdstid. Vi kan eventuelt også hjælpe med en studielejlighed.

Dit udgangspunktDu har som minimum en HHX eller HH-fagpakken efter din STX - med et tilfredsstillende eksamensresultat. International handel og økonomi har din store interesse, og du har disse fag samt matematik på min. B-niveau samt engelsk på A-niveau. Herud-over har du måske nogen erhvervserfaring eller har opholdt dig i udlandet i en periode. Som person er du ambitiøs, udadvendt og ivrig efter at tilegne dig ny viden.

AnsøgningSend din motiverede ansøgning senest den 15. februar 2009 mærket ”Trainee” og bilagt relevante eksamenspapirer til [email protected]. Husk at anføre, om du ønsker at blive ship-ping-, økonomi- eller bunkers-trainee. Har du spørgsmål, er du velkommen til at kontakte HR-konsulent Dorthe Olsen på 3396 8426 eller underdirektør Tove E. Nielsen på 3396 8422 eller send en mail til [email protected].

Lad drømmen blive til virkelighed...Trainees til international shipping

Danske rederier transporterer mere end 10% af verdenshand-len, og J. Lauritzen A/S er blandt de førende med globale aktivite-ter inden for søtransport af tørlast (Lauritzen Bulkers), fl ydende petrokemisk gas (Lauritzen Kosan) samt raffi nerede olieprodukter og kemikalier (Lauritzen Tankers). JL er endvidere beskæftiget inden for offshore-industrien med specialskibe. JL beskæftiger ca. 650 personer og ejer og opererer en samlet fl åde på omkring 240 skibe, inkl. nybyg-ninger, omfattende tørlastskibe, gas- og produkttankskibe samt specialskibe. For yderligere information om JL, se www.j-lauritzen.com

OCEANS OF KNOW-HOW

Klik

på

rekl

amen



28


Ovenstående afbildning af f og f -1 fås ved at spejle f(x) i x = y.

Figur 50

For funktion f(x) findes den omvendte funktion:

Eksempel:

Erstattes y med x, så x er den uafhængige variabel, og y den afhængige, er den omvendte funktion givet ved:

( ) 6 56 5

5 1 56 6 6

f x xy x

yx y

= ⋅ − ⇔

= ⋅ − ⇔+

= = ⋅ +

1 1 5( )6 6

f x x− = +

Figur 49

(1)

(2)y = x

f-1

f


29

10. Polynomier

10.1 Lineær funktion

En liniær funktion, eller et førstegradspolynomium, er givet ved formlen:

(50) f(x) = ax + b UVM nr. (41)

Grafen for f er en ret linie i et sædvanligt koordinatsystem.

10.2 Andengradspolynomium

En parabel, eller et andengradspolynomium, er givet ved formlen:

(51) UVM nr. (42)

Grafen for f er en parabel.

Formelsamling til matematik Polynomier

( ) 2f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +

Figur 53

Eksempel:

( ) 2

333

3 3 3

abcf x x x

== −= −

= ⋅ − ⋅ −

Figur 51

a

(1)

(2)

f

1b

Figur 52

(1)

(2)

x1

f

x2

c


30

Diskriminant d

(52) UVM nr. (43)

Nulpunkterne (rødderne) x1 og x2 til parablen er givet ved:

(53) UVM nr. (44)

10.3 Faktorisering af parabel

En parabel kan, når rødderne x1 og x2 kendes, faktoriseres på følgende måde:

(54) UVM nr. (45)


2 4d b ac= −

Figur 54

Eksempel:

( ) ( )23 4 3 3 9 36 45d = − − ⋅ ⋅ − = + =

1 2,2 2

b d b dx xa a

− − − += =

Figur 55

Eksempel:

1

2

3 45 3 6,71 0,622 3 6

3 45 3 6,71 1,622 3 6

x

x

− −= = = −

⋅+ +

= = =⋅

( ) ( ) ( )21 2f x a x b x c a x x x x= ⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ −

Klik

på

rekl

amen



31

10.4 Polynomium af grad n

Et polynomium af grad n har funktionsforskriften:

(55) UVM nr. (46)

For et givet polynomium med heltalskoeffi cienter vil alle rationale nulpunkter kunne skrives som:

(56) , hvor p går op i a0, og q går op i an. UVM nr. (47)

Et polynomium vil dog også kunne have irrationale nulpunkter, som ikke kan fi ndes ud fra denne formel.


Figur 56

En parabel med nulpunkterne -0,62 og 1,62 og a = 3 giver faktoriseringen:

Eksempel:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

2

2 2

2

2

30,62

1,62

3 0,62 1,62 3 1,62 0,62 1 3 3 3

0,62 3 0,62 3 0,62 3 1,14 1,86 3 0

1,62 3 1,62 3 1,62 3 7,86 4,86 3 0

axx

f x x x x x x x x

f

f

== −=

= ⋅ − − ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ⋅ − ⋅ −

− = ⋅ − − ⋅ − − = + − =

= ⋅ − ⋅ − = − − =

( ) 11 1 0...n n

n nf x a x a x a x a−−= ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

Figur 57

Eksempel:

( )

3

2

1

03 2

32

75

6

2 7 5 6

naaaaf x x x x

==

= −== −

= ⋅ − ⋅ + ⋅ −

Et tredjegradspolynomium er givet ved:

pq

Figur 58

Eksempel:

Findes funktionsværdierne for disse nulpunkts-kandidater, fås:

{ }

{ }

0

3

61, 2,3, 1, 2, 321, 2, 1, 2

1 3 1 3,1, , 2,3, , 1, , 2, 32 2 2 2

apaq

pq

= −

= − − −

=

= − −

⎧ ⎫= − − − − −⎨ ⎬⎩ ⎭

Det ses, at dette tredjegradspolynomium har et rationalt nulpunkt i x = 3.

{ }1 12 25, 6, 7 , 8,0, 10 , 20, 36, 60, 138pf

q⎛ ⎞

= − − − − − − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠


32

Kendes nulpunkterne t1, t2,..., tn til et polynomium af grad n, kan funktionen divideres med (x-t1), (x-t2), ...og (x-tn). Det betyder, at funktionen kan faktoriseres som:

(57) UVM nr. (48)


( ) ( ) ( ) ( )11 1 0 1 1... ...n n

n n n n nf x a x a x a x a a x t x t x t−− −= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −

Figur 59

Eksempel:

Da 3 er et nulpunkt i f, går (x-3) op i f(x):

( )

( ) ( ) ( )

3 22

2

2 7 5 6 2 23 3

2 2 3

f x x x x x xx xf x x x x

⋅ − ⋅ + ⋅ −= = ⋅ − + ⇔

− −= ⋅ − + ⋅ −


33

11. Asymptote for polynomiumsbrøker

Hvis g(x) og h(x) er to polynomier af henholdsvis grad n og m, siges f(x) at være en polynomiumsbrøk med tællergrad = n og nævnergrad = m, hvis:

(58) UVM nr. (49)

11.1 Vandret asymptote

(59) Hvis n < m, vil f(x) have en vandret asymptote i y = 0. UVM nr. (50)

Formelsamling til matematik Asymptote for polynomiumsbrøker

)x(h)x(g)x(f =

Figur 60

Eksempel:

Da n < m, er y = 0: en vandret asymptote.

( )

( ) 3

3

71

2 123

7( )2 12

g x xnh x xm

xf xx

= +

=

= ⋅ −

=+

=⋅ −

Få en super god elevuddannelse i Danmarks største detailhan-delsvirksomhed. Du får ansvar, gode kolleger og løn ind på kontoen hver måned. Hør nærmere i butikken eller besøg:

coop.dk/elev

kan du styre vognen?

Klik

på

rekl

amen



34

(60) Hvis n = m, vil f(x) have en vandret asymptote i UVM nr. (51)

11.2 Skrå asymptote

Hvis n = m + 1, og kan f(x) omskrives til , hvor graden af r(x) er mindre end graden af

h(x) (m), vil f(x) have en skrå asymptote givet ved:

(61) UVM nr. (52)

11.3 Lodret asymptote

(62) Hvis k er nulpunkt i nævner men ikke i tæller, så er x = k en lodret asymptote. UVM nr. (53)

n

n

ayb

=

Formelsamling til matematik Asymptote for polynomiumsbrøker

Figur 61

Eksempel:

Da n = m, er : en vandret asymptote.

( )

( )

4 2

4 3

4 2

4 3

5 3 3 14

3 2 7 94

5 3 3 1( )3 2 7 9

g x x x xnh x x x xm

x x xf xx x x

= ⋅ − ⋅ + ⋅ +

=

= ⋅ + ⋅ − ⋅ −

=

⋅ − ⋅ + ⋅ +=⋅ + ⋅ − ⋅ −

53y =

( ) ( )( )

r xf x a x b

h x= ⋅ + +

( ) ( )( )

g x r xy a x b

h x−

= ⋅ + =

Figur 62

Eksempel:

22 4( )8 8x xf x

x⋅ + −

=⋅ +

Denne funktion kan omformes til:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 14 8 4 88 8 3 8 8 3 1 1 3( )

8 8 8 8 8 8 4 8 8 8x x x x

f x xx x x x

⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ − − −= = + = ⋅ − +

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

Funktionen f(x) vil derfor have en skrå asymptote, givet ved:

1 14 8

y x= ⋅ −

Figur 63

Eksempel:

Da -1 er nulpunkt i g(x) men ikke i h(x), gælder der at x = -1: en lodret asymptote for f(x).

( )( )

3

3

3 7

4 4

3 7( )4 4

h x x

g x x

xf xx

= ⋅ −

= ⋅ +

⋅ −=

⋅ +


35

12. Logaritmefunktioner

12.1 Logaritmefunktion med grundtal 10

En logaritmefunktion med grundtal 10 kaldes log(x), og er den omvendte funktion af eksponentialfunktionen.

12.2 Regneregler

(63) UVM nr. (62)

(64) UVM nr. (64)

(65)

(66) UVM nr. (65)

(67) UVM nr. (66)

(68) UVM nr. (67)

(69) UVM nr. (63)

(70)

Formelsamling til matematik Logaritmefunktioner

( ) 10xf x =

( )log 10 1=

( )log 1 0=

( ) ( ) ( )log log logx y x y⋅ = +

( ) ( )log log logx x yy⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )log logxa x a= ⋅

( ) ( )log 10 log 10 1x x x x= ⋅ = ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )log log10 log log 10x xy y x y x x= ⇔ = ⇒ = ⇔ =

Figur 65

Eksempel:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

210 10 100

log log 100 2

log log 2 100 log 200 2,30

log log log 2 log 100 0,30 2 2,30

2log log 1,70100

log log log 2 log 100 0,30 2 1,7020

log log 20 log 400 2,60

log 2 log 20 2

x

x

xy

y x

x y

x y

xyx y

a

a

x a

=

= = =

= = =

⋅ = ⋅ = =

+ = + = + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

− = − = − = −

=

= = =

⋅ = ⋅ = 1,30 2,60⋅ =

Figur 64

(1)

(2)

y = x

y = 10x

y = log x1

1

( )10 log= ⇔ =xy x y


36

12.3 Den naturlige logaritmefunktion

En logaritmefunktion med grundtal e kaldes den naturlige logaritmefunktion ln(x) og er den omvendte funktion af eksponentialfunktionen .

12.4 Regneregler

(71)

(72) UVM nr. (68)

(73) UVM nr. (70)

(74)

(75) UVM nr. (71)

(76) UVM nr. (72)

(77) UVM nr. (73)

(78) UVM nr. (69)

(79)

( ) xf x e=

2,7182818285e =

( )lnxy e x y= ⇔ =

( )ln 1e =

( )ln 1 0=

( ) ( ) ( )ln ln lnx y x y⋅ = +

( ) ( ) ( ) ( )ln lnln lnx xy e y x y x e x= ⇔ = ⇒ = ⇔ =

( ) ( )ln ln 1xe x e x x= ⋅ = ⋅ =

( )ln( ) lnxa x a= ⋅

( ) ( )ln ln lnx x yy⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Figur 67

Eksempel:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

3

3

320,09

ln ln 20,09 3

ln ln 3 20,09 ln 60,27 4,10

ln ln ln 3 ln 20,09 1,10 3,00 4,10

3ln ln 1,9020,09

ln ln ln 3 ln 20,09 1,10 3,00 1,9010

ln ln 10 ln 1000 6,90

ln 3 ln 10 3

x

x

xy e e

y x

x y

x y

xyx y

a

a

x a

=

= = =

= = =

⋅ = ⋅ = =

+ = + = + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

− = − = − = −

=

= = =

⋅ = ⋅ = ⋅2,30 6,90=


Figur 66

(1)

(2)

y = x

y = ex

y = ln x

1

1


37


12.5 Sammenhæng mellem log og ln

Logaritmefunktionen log(x) og logaritmefunktionen ln(x) er begge omvendte funktioner til eksponentialfunktioner med henholdsvis 10 og e som grundtal. Det er derfor muligt at fi nde følgende sammenhænge mellem de to funktioner:

(80) UVM nr. (74)

(81) UVM nr. (75)

( ) ( )( )

lnlog

ln 10x

x =

( ) ( )( )

logln

logx

xe

=

Figur 68

Eksempel:

( )( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

5log 5 0,70

ln 5 1,61

ln 5 1,61 0,70 log 5ln 10 2,30

log 5 0,70 1,61 ln 5log 0, 43

x

e

=

=

=

= = =

= = =

Hvad er det fede ved at læsepå RUC?

studieguide.ruc.dk

Dit s

tudie

vil b

live

præge

t af b

asiss

tudie

r,

grup

pearbe

jde og

tværfa

gligh

ed.

Klik

på

rekl

amen



38

13. Eksponentielle funktioner

Eksponentialfunktion med grundtal a (med begyndelsesværdi = 1 )

(82) f(x) = ax UVM nr. (54)

Den naturlige eksponentialfunktion (med begyndelsesværdi = 1)

(83) f(x) = ex UVM nr. (55)

13.1 Eksponentialfunktion med begyndelsesværdi ≠ 1

En eksponentialfunktion med begyndelsesværdi b ≠ 1, fremskrivningsfaktor a, og en relativ tilvækst r, er givet ved:

(84) f(x) = b·ax = b·(1+r)x UVM nr. (56)

Eksponentialfunktioner i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem giver en ret linie.

Figur 69

y = b · ax

Log. skala

b · a

b

1

10(1)

(2)

Formelsamling til matematik Ekspotentielle funktioner


39

Kendes to punkter (x1, y1) og (x2, y2) i en eksponentialfunktion, kan fremskrivningsfaktoren fi ndes ved:

(85) UVM nr. (57)

Kendes begyndelsesværdien b og et punkt (x1, y1) i eksponentialfunktionen, kan fremskrivningsfaktoren fi ndes ved:

(86) 11

1

1 1x

x y yab b

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Figur 70

Eksempel:For en eksponentiel funktion f(x) = b · ax kendes funktionsværdierne for x1 = 3 og x2 = 8. Fremskrivningsfaktoren findes da som:

( )( )

1

2

15

8 3

3 243

8 1024

1024 1024 4243 243 3

f y

f y

a −

= =

= =

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1

2 1

1

2 2

1 1

x xx x

y yay y

−−

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Figur 70

y = b · axLog. skala

x2

1

x10(1)

(2)

Fremskrivningsfaktor a

y2

y1


Figur 71


40

Kendes fremskrivningsfaktoren samt et punkt (x0, y0) i eksponentialfunktionen, kan begyndelsespunktet fi ndes ved:

(87) UVM nr. (58)

13.2 Fordoblingskonstant T2

For en given eksponentialfunktion kan den tilvækst i x, der giver en fordobling af f(x), fi ndes som fordoblingskonstanten T2:

(88) UVM nr. (59)2ln 2ln

Ta

=

Figur 73

Eksempel:Fordoblingskonstanten for er f(x) = 50 · 1,15x er

( )( ) ( )

2

2

2 4,96

ln 2 4,96ln(1,15)

2 50 1,15 66,125

2 4,96 50 1,15 132,25

T

f

f +

= =

= ⋅ =

+ = ⋅ =

0

0

00

xx

yb y aa

−= = ⋅

Figur 72

Eksempel:For en eksponentiel funktion f(x) = b · ax med fremskrivningsfaktoren givet og funktionsværdien for x0 = 8 er begyndelsesværdien:

( ) 0

8

43

8 1024

41024 102,523

a

f y

b−

=

= =

⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Figur 73


y = b · ax

Log. skala

x0

1

0(1)

(2)

Begyndelsesværdi b

y0

b

Figur 72

Figur 74


41

13.3 Halveringskonstant T½

For en given eksponentialfunktion kan det aftag i x, der giver en halvering af f(x), fi ndes som halverings-konstanten T½:

(89) UVM nr. (60)

13.4 Den omvendte funktion for en eksponentialfunktion

For at fi nde den omvendte funktion af en eksponentialfunktion opstilles eksponentielligningen :

(90) UVM nr. (61)

Figur 74

Eksempel:Halveringskonstanten for er f(x) = 50 · 1,15x er

( )

( )( ) ( )

12

12

2

2 4,96

ln4,96

ln(1,15)2 50 1,15 66,125

2 4,96 50 1,15 33,0625

T

f

f −

= = −

= ⋅ =

− = ⋅ =

( )

lnln ln

ln ln

xf x y b a

yy bbx

a a

= = ⋅ ⇔

⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎝ ⎠= =

Figur 75

Eksempel:

( )

( ) ( )( )

5 7 2

5ln ln 5 ln 77 0, 49ln 2 ln 2

xf x

x

= = ⋅ ⇔

⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎝ ⎠= = = −

aT

ln)ln(2

1

21=


Figur 75

Figur 76


42

14. Potensfunktioner

En potensfunktion med eksponent a har formen:

(91) f(x) = xa UVM nr. (76)

En funktion, der er proportional med potensfunktionen, siges at have proportinalitetsfaktor b og har formen:

(92) f(x) = b·xa UVM nr. (77)

For en potensfunktion gælder der, at den kan afbildes som en ret linie i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

14.1 Eksponent a

Formelsamling til matematik Potensfunktioner

Figur 77

y = b · xalog. skala

x0

1

1 (1)

(2)

b

log. skala

Figur 78

y = b · xalog. skala

x2

1

1 (1)

(2)

log. skala

x1

y2

y1


43

Går en potensfunktion f(x) = b·xa gennem to punkter (x1, y1) og (x2, y2), kan eksponenten fi ndes ved:

(93) UVM nr. (78)

Kendes b og et punkt (x1, y1) i en potensfunktion f(x) = b·xa, kan eksponentet fi ndes ved:

(94)

Figur 78

Eksempel:For en potensfunktion f(x) = b·xa kendes funktionsværdien for x = 1 og x = 4. Eksponenten er:

( )( )( ) ( )( ) ( )

1 4

4 64

ln 64 ln 42

ln 4 ln 1

f

f

a

=

=

−= =

−

( ) ( )( )

1

1

ln lnlny b

ax−

=

Figur 79

Eksempel:For en potensfunktion f(x) = b·xa kendes b samt funktionsværdien for x = 4. Eksponenten er:

( )( ) ( )( )

44 64

ln 64 ln 42

ln 4

bf

a

=

=

−= =

Figur 79

Figur 80


2 1

2 1

ln lnln ln

y yax x−

=−

Hanken School of Economics is one of the oldest business schools in the Nordic countries. Today Hanken is a leading internationally accredited business school with campuses in Helsinki and in Vaasa, Finland. Hanken alumni work in more than 40 countries world-wide.

MASTER’S DEGREE PROGRAMMESGet the keys to an international career. Hanken offers eight Master’s degree programmes instructed in English. These include programmes specialized in areas such as International Management or Intellectual Property Law.

HANKEN MBAThe Hanken MBA is an accredited, two-year part-time programme with flexible structure. The areas of speciali-sation are: service and relationship marketing, finance, and international management.

DOCTORAL STUDIESDoctoral studies at Hanken offer research-based educa-tion of internationally high standard, preparing you for a career in academia, the corporate world or the public sector.

VISIT OUR WEBPAGEHANKEN.FI

INVEST IN YOUR FUTURE

Klik

på

rekl

amen



44

14.2 Bestemmelse af b

Kendes eksponenten samt et givet punkt (x0, y0) for en potensfunktion, kan proportinalitetsfaktor b fi ndes ved:

(95) UVM nr. (79)

14.3 Den omvendte funktion af en potensfunktion

For at fi nde den omvendte funktion af en potensfunktion opstilles potensligningen :

(96) UVM nr. (80)

00 0

0

aa

yb y xx

−= = ⋅

Figur 81

Eksempel:For en potensfunktion f(x) = b·xa kendes eksponenten a samt funktionsværdien for x = 7. b findes da som:

( )3

37 49

149 77

af

b −

=

=

= ⋅ =

( )1aa a

y yf x y b x xb b

⎛ ⎞= = ⋅ ⇔ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Figur 82

Eksempel:

4 42433 243 33

x x⋅ = ⇔ = =


Figur 81

y = b · ax

log. skala

x0

1

1(1)

(2)

y0

b

log. skala

Figur 82

Figur 83


45

15. Proportionalitet

x og y siges at være ligefrem proportionale , hvis:

(97) UVM nr. (81)

x og y siges at være omvendt proportionale , hvis:

(98) UVM nr. (82)

yy k x kx

= ⋅ ⇔ =

1y c x y cx

= ⋅ ⇔ ⋅ =

Formelsamling til matematik Proportionalitet

Figur 84

y = k · x

1

1(1)

(2)

1x

y = k ·


46

16. Trigonometriske funktioner

16.1 Radianer

Til brug i trigonometriske funktioner benyttes radiantallet for en given vinkel i stedet for vinklen i grader:

16.2 Cosinus , sinus og tangens

Ovenstående fi gur viser defi nitionerne på cosinus, sinus og tangens.

16.3 Regneregler

(99) UVM nr. (83)

Da 2·π svarer til en fuld omdrejning i cirklen, gælder der at:

(100) UVM nr. (84)

Fra ovenstående fi gur ses det, at der gælder følgende regneregler:

(101) UVM nr. (85)

( )( ) ( )( )2 2cos sin 1x x+ =

( ) ( )( ) ( )

cos cos

sin sin

x x

x x

− =

− = −

( ) ( )( ) ( )

cos x 2 cos x

sin x 2 sin x

+ ⋅π =

+ ⋅π =

Grader -180° -135° -90° -45° 0° 45° 90° 135° 180°

Radiantal 0−π − π3

4− π

1

2− π

1

4π

1

4π

2

4π

3

4π

Formelsamling til matematik Trigonometriske funktioner

Figur 85

(2)

tan(x)

sin(x)

x

cos(x) 1

X= X= /1

π1

4

π π


47

(102) UVM nr. (86)

(103)

Da tangens kan betragtes som hældningen til linien fra (0, 0) til (cos(x), sin(x)), gælder:

(104) UVM nr. (87)

(105)

(106) UVM nr. (88)

(107) UVM nr. (89)

Graf for cos

cos( x) cos xsin( x) sin x

π+ = −π+ = −

( ) ( )( )

sintan

cosx

xx

=

( ) ( )( )

( )( ) ( )sin x sin x

tan x tan xcos x cos x

π−π− = = = −

π− −

( ) ( )( )

( )( ) ( )sin x sin x


π+ −π+ = = =

π+ −

( ) ( )( )

( )( ) ( )sin x sin x


− −− = = = −

−

X 0 2 2 2

cos x 1 0 -1 0 1

π π π3 π


(2)

1

(1)π π2

Figur 86

cos( x) cos xsin( x) sin x

π− = −π− =

Få mere ud af dit talent

Læs mere på tdc.dk/job

Giv os dit engagement.Så giver vi dig mulighed for udvikling.

Klar til at kickstarte din karriere? Og lære alt, hvad der er at vide om sms’er, bredbånd og mobiler? Så har du nu chancen. Som elev i TDC får du frihed til at udfolde dine evner og gøre dine karrieredrømme til virkelighed. Du kan kravle op ad karrierestigen og blive leder, specialisere dig inden for et særligt fagområde eller vælge en helt tredje vej. Det er helt op til dig. Klik ind på tdc.dk/job, og læs om dine muligheder. Og sørg for at bookmarke siden. For vi opdaterer den hele tiden med ny info og nye uddannelser.

Klik

på

rekl

amen



48

Graf for sin

Graf for tan

16.4 Specielle funktionsværdier UVM nr. (90)

X 0 2 2 2

sin x 0 1 0 -1 0

π π π3π

X 4 0 4

tan x -1 0 1

−π π

Grader 0° 30° 45° 60° 90°

Radiantal 0 6 4 3 2

Sin 0 12 2 2 1

Cos 1 2 212 0

Tan 0 3 1 -

π π π π

2 3

3 2

33


(2)

1

(1)π π2

Figur 87

(2)

(1)−π π

1

π2

π−

2

Figur 88


49

16.5 Trigonometriske grundligninger

Da cosinus, sinus og tangens er periodiske, vil der til en given cosinus-, sinus- eller tangensværdi være fl ere vinkler.

(109) UVM nr. (91)

(110) UVM nr. (92)

(111) UVM nr. (93)

( )( )1

cos x a

x cos a p 2 , p Z−

=

= ± + ⋅ ⋅π ∈

Figur 89

Eksempel:

( )( )

( ) ( )( ) ( )

1

cos x 0,5

cos 0,5 1,05x 1,05 2 Z

4cos 1,05 4 2 cos 26,18 0,5

cos 1,05 4 2 cos 24,08 0,5

p , pFor p gælder:

−

=

=

= ± + ⋅ ⋅π ∈=

+ ⋅ ⋅π = =

− + ⋅ ⋅π = =


( )( )( )

1

1

sin x a

sin a p 2x , p Z

sin a p 2

−

−

=

⎧ + ⋅ ⋅π⎪= ∈⎨π− + ⋅ ⋅π⎪⎩

Figur 90

Eksempel:

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

1

1

sin x 0,3

sin 0,3 p 2x p Z

sin 0,3 p 2

0,30 p 2x p Z

2,84 p 2p 4

sin 0,30 4 2 sin 25,44 0,3

sin 2,84 4 2 sin 27,97 0,3

,

,

For gælder:

−

−

=

⎧ + ⋅ ⋅π⎪= ∈ ⇔⎨π− + ⋅ ⋅π⎪⎩+ ⋅ ⋅π⎧

= ∈⎨ + ⋅ ⋅π⎩=

+ ⋅ ⋅π = =

+ ⋅ ⋅π = =

( )( )1

tan x a

x tan a p p Z , −

=

= + ⋅π ∈

Figur 91

Eksempel:

( )( )

( ) ( )

1

tan x 0,8

x tan 0,8 p 0,67 p p Zp 40,67 4 tan 25,81 0,8

, For gælder:tan

−

=

= + ⋅π = + ⋅π ∈

=

+ ⋅π = =


50

16.6 Harmonisk svingning

Da både cosinus og sinus er periodiske og symmetriske i deres svingninger, kan funktioner, der svinger harmonisk, formes:

(112) UVM nr. (94)

(113) UVM nr. (95)

hvor a er svingningernes størelse, og d er værdien for svingningsaksen.

Da cosinus og sinus er periodiske med en periode på , må ovenstående funktioner have en periode p, for hvilken der gælder:

(114) UVM nr. (96)


( ) ( )cosf x a b x c d= ⋅ ⋅ + +

( ) ( )sinf x a b x c d= ⋅ ⋅ + +

Figur 92

Eksempel:

( ) ( )( ) ( )

2 cos 3 2 7

4 sin 1 8

f x x

f x x

= ⋅ ⋅ − +

= ⋅ + −

2 ⋅ π

2pb⋅ π

=

Figur 93

Eksempel:

Perioden for er( ) ( )2 cos 3 2 7f x x= ⋅ ⋅ − +2 2p

3 3⋅ π

= = ⋅π


studieguide.ruc.dk

Dit s

tudie

vil b

live

præge

t af b

asiss

tudie

r,

grup

pearbe

jde og

tværfa

gligh

ed.

Klik

på

rekl

amen



51

Graf for harmonisk svingning

(115) p = x2 – x1 UVM nr. (97)

(116) UVM nr. (98)

(117) UVM nr. (99)


Figur 94

(1)

(2)

a

x1 x2

ymin

ymax

d

max min

2y ya −

=

maxd y a= −


52

17. Lineære funktioner i to variable

Er værdien af en given funktion liniært afhængig af to variable i stedet for kun én, vil funktionsforskriften have formen:

(118) UVM nr. (100)

Betragtes forskellige funktionsværdier t af en liniær funktion i to variable af formen ,vil der være en liniær sammenhæng mellem x og y. Denne sammenhæng er beskrevet i niveaulinien N(t) :

(119) UVM nr. (101)

Formelsamling til matematik Lineære funktioner i to variable

( ),f x y a x b y c= ⋅ + ⋅ +

Figur 95

Eksempel:

( )( )

, 3 2 5

2,7 3 2 2 7 5 6 14 5 15

f x y x y

f

= ⋅ + ⋅ −

= ⋅ + ⋅ − = + − =

( ),f x y a x b y c= ⋅ + ⋅ +

( ): N t a x b y c t⋅ + ⋅ + =

Figur 96

Eksempel:

( )

( )

:3 2 5

3 5 3 52 2 2

3 :3 2 5 3

3 5 3 3 5 3 3 42 2 2 2

N tx y t

x t ty x

Nx y

xy x x

⋅ + ⋅ − = ⇔− ⋅ + + +

= = − ⋅ +

⋅ + ⋅ − = ⇔− ⋅ + + +

= = − ⋅ + = − ⋅ +


53

18. Differentialregning

For en given funktion er hældningsskoeffi cienten i punktet (x0 , f(x0)) givet ved differentialkvotient f’(x0), der kan defi nineres som:

(120) UVM nr. (102)

Kendes et punkt A(x0 , f(x0)) på grafen samt hældningen (differentialkvotienten) f’(x0), kan ligningen for tangenten t fi ndes ved:

(121) UVM nr. (103)

Formelsamling til matematik Differentialregning

Figur 97

(1)

(2)

x0 x

f(x)

f(x0)

f

t

A

( ) ( ) ( )0

00

0

' limx x

f x f xf x

x x→

−=

−

( ) ( ) ( )0 0 0'y f x x x f x= ⋅ − +

På Aarhus Universitet, Handels- og IngeniørHøjskolen findes der et helt unikt studiemiljø, du med garanti ikke finder andre steder. Her har du nærhed til...

FOKUS PÅ STUDIEMILJØETFOKUS PÅ STUDIEMILJØET

... dine medstuderende... erhvervslivet

... dine undervisere

Læs mere på hih.au.dk

HANDELS- OG INGENIØRHØJSKOLENDET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTETAARHUS UNIVERSITET

Birk Centerpark 15 7400 Herning [email protected]

Klik

på

rekl

amen



54


Til en given funktion kan man approksimere et førstegradspolynomium til punktet x0 ud fra formlen:

(122) UVM nr. (104)

18.1 Differentiation af specielle funktioner

(123) UVM nr. (105)

Figur 98

Eksempel:

For en funktion ønskes ligningen for tangent i x = 2.( ) 22 8f x x x= ⋅ − +

( )( )( )

( )

22 2 2 2 8 14

' 4 1

' 2 4 2 1 7

7 2 14 7 14 14 7

f

f x x

f

y x x x

= ⋅ − + =

= ⋅ −

= ⋅ − =

= ⋅ − + = ⋅ − + = ⋅Ligningen for tangenten t

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0'p x f x x x f x= ⋅ − +

Figur 99

Eksempel:

Til funktionen f(x) = x3 + 5 vil det approksimerede førstegradspolynomium i punktet x = 2 have formlen:

( )( )( )( )( ) ( )

3

2

3

2

5

' 3

2 2 5 8 5 13

' 2 3 2 3 4 12

12 2 13 12 24 13 12 11

f x x

f x x

f

f

p x x x x

= +

= ⋅

= + = + =

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ − + = ⋅ − + = ⋅ −

Funktion f(x) Afledet funktion f’(x)

k (konstant) 0

ax ln(a)·ax

ex ex

ek·x k·ekx

ln(x)

cos(x) -sin(x)

sin(x) cos(x)

tan(x)

-11=x

x2

2-1

= xx− −

12- x =x

121 1

22x

x−

=

1x

( )( )( )( )22

1=1+ tan x

cos x

xa a·xa-1


55

18.2 Regneregler for differentiation

En funktion h(x), der kan fragmenteres på en af følgende måder, kan diffentieres ud fra følgende:

(124) UVM nr. (106)

(125) UVM nr. (107)

(126) UVM nr. (108)

(127) UVM nr. (109)

(128) UVM nr. (110)

Funktion f(x) Afledet funktion f’(x)

4 0

x7 7·x6

6x ex

e2x 2·e2x

Eksempel:


( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '

h x f x g x f g x

h x f g x f x g x

= ± = ± ⇒

= ± = ±

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '

h x f x g x f g x

h x f g x f x g x f x g x

= ⋅ = ⋅ ⇒

= ⋅ = ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )' ' '

h x k f x k f x

h x k f x k f x

= ⋅ = ⋅ ⇒

= ⋅ = ⋅

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2

' '' '

f x fh x xg x g

f x g x f x g xfh x xg g x

⎛ ⎞= = ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠⋅ − ⋅⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' ' ' '

h x f g x f g x

h x f g x f g x g x

= = ⇒

= = ⋅

o

o


56

Figur 100

Eksempel:

( ) ( ) ( )

( ) ( )3 2

1ln '

' 3

f x x f xx

g x x g x x

= ⇒ =

= ⇒ = ⋅

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3

2

ln1' 3

h x x x f x g x

h x xx

= − = − ⇒

= − ⋅

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

3

3 2 2

ln1' ln 3 1 3 ln

h x x x f g x

h x x x x x xx

= ⋅ = ⋅ ⇒

= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )( )

( )

4 ln1' 4

h x x k f x

h xx

= ⋅ = ⋅ ⇒

= ⋅

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )( ) ( )

3

3 2 2

2 6 43

ln

1 ln 3 1 3 ln 1 3 ln'

x fh x xx g

x x x x x xxh xx xx

⎛ ⎞= = ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅= = =

( ) ( ) ( )( )

( )

3

23

ln

1 3' 3

h x x f g x

h x xx x

= = ⇒

= ⋅ ⋅ =

o



57

19. Deskriptiv statistik

For antal n observationer (x1, x2,…,xn) fi ndes middeltallet (gennemsnittet) ved:

(129) UVM nr. (111)

19.1 Diskrete observationer

I et sæt observationer kan observationerne antage k forskellige værdier (x1, x2,…,xk). Hyppighederne h1, h2,…,hk angiver, hvor mange gange den givne observation forekommer i sættet.

Antal observationer n:

(130) UVM nr. (112)

Frekvenserne f1, f2,…, fk angiver, hvor hyppig en given observationsværdi er i forhold til det samlede antal observationer:

(131) , i = 1,2,…,k UVM nr. (113)

Middeltallet (gennemsnittet) for hele sættet fi ndes ved:

(132) UVM nr. (114)

(133) UVM nr. (115)

Formelsamling til matematik Deskriptiv statistik

x

Figur 101

Eksempel:

Karaktergennemsnittet for en elev, der i 9 fag har opnået karaktererne 11, 8, 7, 9, 03, 10, 8, 8, 8, er:

11 8 7 9 03 10 8 8 8 89

x + + + + + + + += =

n

ii 1

xx

n==∑

k

ii 1

n h=

= ∑

ii

hfn

=

x

k

i ii 1

x hx

n=

⋅=∑

k

i ii 1

x x f=

= ⋅∑


58

19.2 Pindediagram

Højden af pindene svarer til frekvensen/hyppigheden for den givne observationsværdi.

Figur 102

Eksempel:

I en forretning har man i 80 på hinanden følgende dage registreret antal kunder i den første åbningstime. Dette gav følgende resultat:

Antal kunder i første time xi

Hyppighedhi

Frekvensfi

1 12 0,15

2 28 0,35

3 28 0,43

4 6 0,07

i alt 80 1,00

Det gennemsnitlige antal kunder i løbet af den første åbningstime var:

1 12 2 28 3 34 4 6 2, 480

x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

1 0,15 2 0,35 3 0, 43 4 0,07 2, 4x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =


Figur 103

(2) frekvens/hyppighed

x1 x2 xi xk (1)

. . . . . .


59

19.3 Summerede frekvenser

For at fi nde ud af hvor stor en del af observationerne Fi , der er mindre eller lig en given værdi xi , skal de summerede frekvenser F1, F2,…, Fk benyttes:

(134) , i = 1,2,…,k UVM nr. (116)

Figur 104

antalkunder

(1)

0,43

(2) frekvens

0,35

0,15

0,07

1 2 3 4

Eksempel:

Pindediagram for fordelingen af antal kunder.


i

i ij 1

F f=

= ∑

Danmarks største kundekontaktcenter søger flere dygtige medarbejdere tilat hjælpe os i at yde optimalt salg over telefonen.

Vi er 450 medarbejdere placeret centralt på Frederiksberg, tæt på S-tog og Metro.

RING NU!Linda: 8816 6725 - Bettina: 8816 6736eller send din ansøgning til [email protected]

Aditro Customer Services Denmark A/S • Nimbusparken 24, 3 sal • 2000 Frederiksberg • www.aditro.com

LAD DINE DRØMME GÅ I OPFYLDELSE…Vi har dit nye fritidsjob indenfor salg & kommunikationDu er:

Stærk kommunikator på danskMotiveret af konkurrenceEn engageret kollegaEn ildsjæl med godt humør

Vi tilbyder:2-5 vagter om ugen á 5 timer i tidsrummet man-tor 16-21, lør. 12-17God fast timeløn + bonusGrundig uddannelse + coaching

Klik

på

rekl

amen



60


19.4 Trappediagram

Afbildes de summerede frekvenser, fås et trappediagram:

(135) a - fraktil = xi UVM nr. (117)

(136) 1. kvartil = 0,25 fraktil UVM nr. (118)

(137) 2. kvartil = median = 0,5 – fraktil UVM nr. (119)

(138) 3. kvartil = 0,75 – fraktil UVM nr. (120)

Figur 105

Eksempel:

Det ses, at der 0,93 = 93% af dagene kommer 3 eller færre kunder i løbet af den første time.

Antal kunder i xi

FrekvensFi

Summeret frekvensFi

1 0,15 0,15

2 0,35 0,50

3 0,43 0,93

4 0,07 1,00

Figur 106

x1 x2xi xk

(2)Summeretfrekvens

1,0

a


61

19.5 Grupperede observationer

Et sæt observationer opdeles i k intervaller ]x0;x1], ]x1;x2],…, ]xk-1;xk]. Antallet af observationer i hvert interval betegnes med hyppighederne h1, h2,…, hk.

Intervalmidtpunkterne m1, m2,…, mk fi ndes ved:

(139) , i = 1,2,…,k UVM nr. (121)

Det samlede antal observationer n fi ndes ved:

(140) UVM nr. (122)

Intervalfrekvenserne f1, f2,…, fk fi ndes ved:

(141) , i = 1,2,…,k UVM nr. (123)

Figur 107

1,0

0,75

0,25

0,10

1 2 3 4

0,15

0,5

0,93

(2)Summeretfrekvens

Eksempel:

0,10 - fraktil = 11. kvartil = 22. kvartil = median = 23. kvartil = 3


h1 h2 . . . hk hyppigheder

x0 x1 x2 . . . xk intervaller

i 1 ii

x xm2− +=

k

ii 1

n h=

= ∑

ii

hfn

=


62

Det gennemsnitlige intervalmidtpunkt fi ndes ved :

(142) UVM nr. (124)

(143) UVM nr. (125)

(Dette gennemsnit er dog ikke det samme som gennemsnittet af alle observationer, da man ikke ved, hvordan de enkelte observationer er fordelt i de enkelte intervaller.)


x

n

hmx

k

iii∑

=

⋅= 1

∑=

⋅=k

iii fmx

1

Figur 108

Eksempel:

På en skole har man for 60 elever registreret antal timer, som eleven var om at lave en afleveringsopgave i matematik. Denne undersøgelse gav følgende resultat:

Antal timer grupperet i intervaller ]xi-1;xi]

Interval-midtpunktmi

Antal eleverhi

Interval-frekvensfi

]0;1] 0,5 4 0,07

]1;2] 1,5 24 0,40

]2;3] 2,5 27 0,45

]3;4] 3,5 5 0,08

i alt n=60 1,0

0,5 4 1,5 24 2,5 27 3,5 5 2,160

x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

0,5 0,07 1,5 0, 40 2,5 0, 45 3,5 0,08 2,1x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Det gennemsnitlige intervalmidtpunkt er:


studieguide.ruc.dk

Dit s

tudie

vil b

live

præge

t af b

asiss

tudie

r,

grup

pearbe

jde og

tværfa

gligh

ed.

Klik

på

rekl

amen



63


19.6 Søjlediagram (histogram)

Ønskes grupperede observationer afbildet, skal søjlediagrammet benyttes.

19.7 Summerede frekvenser

For at fi nde ud af hvor stor en del af observationerne Fi , der er mindre eller lig en given værdi xi , skal de summerede frekvenser F1, F2,…, Fk benyttes:

(144) , i = 1,2,…,k UVM nr. (126)

Figur 109

x0 x1 x2 xk

. . .

Figur 110

antaltimer(1)

0,080,07

1 2 3 4

0,450,40

(2)Intervalfrekvens

Eksempel:

Søjlediagram for fordelingen af antal timer.

i

i ij 1

F f=

= ∑


64

19.8 Sumkurve

Afbildes de summerede frekvenser, fås sumkurven, hvorpå den andel af observationerne, der er mindre en given værdi, kan afl æses.

(145) a - fraktil = xa UVM nr. (127)

(146) 1. kvartil = 0,25 fraktil UVM nr. (128)

(147) 2. kvartil = median = 0,5 – fraktil UVM nr. (129)

(148) 3. kvartil = 0,75 – fraktil UVM nr. (130)

Figur 111

Eksempel:

Antal timer grupperet i intervaller ]xi-1;xi]

Interval-frekvensfi

Summeret frekvensFi

]0;1] 0,07 0,07

]1;2] 0,40 0,47

]2;3] 0,45 0,92

]3;4] 0,08 1,00


Figur 112

x1 x2 xa xk

(2)Summeret frekvens

(1)

1

a

x0


65


Figur 113

antaltimer(1)

0,100,07

1 2 3 4

(2)Summeret frekvens

0,25

0,500,47

0,75

1,00

0,92

Eksempel:

0,10 - fraktil = 0,931. kvartil = 1,452. kvartil = median = 2,073. kvartil = 2,62

Klik

på

rekl

amen



66

20. Sandsynlighedsregning

Betragtes antal n udfald (u1, u2,…, un), vil de udgøre udfaldsrummet U.

(149) UVM nr. (131)

En sandsynlighedsfunktion P(ui) angiver sandsynligheden for, at udfald ui forekommer. For denne funktion gælder der, at:

(150) UVM nr. (132)

Betragtes en hændelse A (en mængde af udfald), gælder:

(151) P(A) er lig summen af sandsynlighederne af alle udfald i A. UVM nr. (133)

20.1 Regneregler for sandsynligheder

Udfaldsrum U Hændelse A Komplementærhændelse

Formelsamling til matematik Sandsynlighedsberegning

{ }1 2 nU u , u ,..., u=

( )

( )1

0 1 , 1, 2,...,

1

i

n

ii

P u i n

P u=

≤ ≤ =

=∑

Figur 114

Eksempel:

U 1 2 3 4

P(u) 0,3 0,3 0,3 0,1

Et stokastisk eksperiment er beskrevet ved:

Figur 115

Eksempel:

{ }( ) ( ) ( )

2,3

2 3 0,3 0,3 0,6

A

P A P P

=

= + = + =

A

Figur 116

U

s A A


67

For sandsynligheden for, at et givet udfald er i U, vides:

(152) P(U) = 1 UVM nr. (134)

Sandsynligheden for et tomt udfald er givet ved:

(153) P(Ø) = 0 UVM nr. (135)

For sandsynligheden for en given hændelse kan den komplementære sandsynlighed (sandsynligheden for at det modsatte udfald indtræffer) fi ndes ved:

(154) UVM nr. (136)

Formelsamling til matematik Sandsynlighedsberegning

( ) 1 ( )P A P A= −

Eksempel:

Det vides, at hændelsen A har sandsynligheden P(A) = 0,2. Sandsynligheden for den komplementære hændelse vil derfor være:

( ) 1 0, 2 0,8P A = − =Figur 117


68

21. Stokastisk variabel

Diskret stokastisk variabel X

En diskret stokastisk variabel X kan antage n forskellige værdier angivet ved x1,x2,… xn.

Sandsynlighedsfunktionen f(x) angiver sandsynligheden for, at den stokastiske variabel X antager netop værdien x.

(155) UVM nr. (138)

For en diskret stokastisk variabel gives fordelingsfunktionen F(x) ved:

(156) UVM nr. (137)

Formelsamling til matematik Stokastisk variabel

xi x1 . . . x2 xk værdier for X

( ) ( ) , 1, 2,...,i if x P X x i n= = =

Figur 118

Eksempel:

Sandsynlighederne for en stokastisk variabel X er givet ved:

X 3 4 5

P(X=x) 0,30 0,45 0,25

( ) ( ) ( )1

, 1, 2,...,i

i i jj

F x P X x f x i n=

= ≤ = =∑

Figur 119

Eksempel:

Fordelingsfunktionen for en stokastisk variabel X er givet ved:

X 3 4 5

F(x) 0,30 0,75 1,00








Klik

på

rekl

amen



69


21.1 Middelværdi μ

For en stokastisk variabel X kan det gennemsnitlige udfald (middelværdien) fi ndes ved:

(157) UVM nr. (140)

21.2 Varians σ2

Variansen af en stokastisk variabel angiver, hvor meget udfaldene varierer omkring middelværdien:

(158) UVM nr. (141)

(159) UVM nr. (142)

21.3 Standardafvigelse

Standardafvigelsen for en stokastisk variabel er kvadratroden af variansen.

(160) UVM nr. (143)

( ) ( )n

i ii 1

E X x P X x=

μ = = ⋅ =∑

( ) ( ) ( )n

22i i

i 1Var X x P X x

=

σ = = −μ ⋅ =∑

( ) ( ) ( )( )22 2Var X E X E Xσ = = −

Figur 121

Eksempel:

Variansen af X findes ved:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3,95 0,30 4 3,95 0, 45 5 3,95 0, 25 0,55Var X = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ =

( ) 2 2 2 23 0,30 4 0, 45 5 0, 25 3,95 0,55Var X = ⋅ + ⋅ + ⋅ − =

Figur 120

Eksempel:

Middelværdien af X er:

( )E X 3 0,30 4 0,45 5 0, 25 3,95μ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( )2X X Var Xσ = σ = σ =

Figur 122

Eksempel:

Standardafvigelsen af X er:

( )X 0,55 0,74σ = =


70

22. Binomialfordeling

22.1 Fakultet

Med n fakultet n! menes:

(161) UVM nr. (144)

(162) 0!= 1 UVM nr. (145)

22.2 Binomialkoeffi cient K(n, r)

Haves en mængde på n, kan man udvælge r af dem på K(n,r) forskellige måder:

(163) UVM nr. (146)

22.3 Binomialfordelt stokastisk variabel X

En stokastisk variabel, der er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p, er angivet ved:

(164) UVM nr. (147)

Formelsamling til matematik Binominalfordeling

Figur 123

Eksempel:

6! 1 2 3 4 5 6 720= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Figur 124

Eksempel:

Haves fire lamper, kan man tænde to af dem på følgende måde:

Kombination Lampe 1 Lampe 2 Lampe 3 Lampe 4

1 Tændt Tændt Slukket Slukket

2 Tændt Slukket Tændt Slukket

3 Tændt Slukket Slukket Tændt

4 Slukket Tændt Tændt Slukket

5 Slukket Tændt Slukket Tændt

6 Slukket Slukket Tændt Tændt

( )4 4! 1 2 3 4 244, 2 62 2!(4 2)! 1 2 1 2 4

K ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅= = = = =⎜ ⎟ − ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

! 1 2 ...n n= ⋅ ⋅ ⋅

!( , )!( )!

n nK n rr r n r⎛ ⎞= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

( ),X b n p

Figur 125

Eksempel:Lad X betegne antal defekte enheder i en stikprøve på 100, som stammer fra en produktion, hvoraf 8% af enhederne er defekte.X vil da være givet ved:

( )100;0,08X b


71

22.4 Sandsynlighedsfunktion

For en stokastisk variabel X, der er binomialfordelt med (n,p), kan sandsynligheden for, at den antager én speciel værdi r, fi ndes ved:

(165) UVM nr. (148)

22.5 Middelværdi

Det forventede udfald for en stokastisk binomial variabel kaldes middelværdien og er givet ved:

(166) UVM nr. (149)


( ) ( ) ( ), 1 n rrP X r K n r p p −= = ⋅ ⋅ −

Figur 126

Eksempel:

Sandsynligheden for, at stikprøven indeholder 3 defekte, er:

( ) ( ) ( )100 323 100,2 0,08 1 0,08 0,025P X K −= = ⋅ ⋅ − =

( )E X n p= ⋅

Figur 127

Eksempel:

Det forventede antal defekte i stikprøven er:

( ) 100 0,08 8E X = ⋅ =

Klik

på

rekl

amen



72


22.6 Varians σ2

Variansen af en stokastisk binomial variabel er givet ved:

(167) UVM nr. (150)

22.7 Standardafvigelse σ

Standardafvigelsen af en stokastisk binomial variabel er givet ved:

(168) UVM nr. (151)

( ) ( )1Var X n p p= ⋅ ⋅ −

( ) ( )X n p 1 pσ = ⋅ ⋅ −

Figur 129

Eksempel:

Standardafvigelsen af antal defekte er:

( ) ( )X 100 0,08 1 0,08 7,36 2,71σ = ⋅ ⋅ − = =

Figur 128

Eksempel:

Variansen af antal defekte er:

( ) 2Var X 100 0,08 (1 0,08) 7,36= σ = ⋅ ⋅ − =


73

23. Normalfordeling

23.1 Normalfordelt stokastisk variabel X

En stokastisk variabel, der er normalfordelt med middelværdi μ og standardafvigelse σ, er angivet ved:

(169) X ~ N(μ , σ) UVM nr. (152)

Grafen for fordelingsfunktionen F er en ret linie på normalfordelingspapir.

Formelsamling til matematik Normalfordeling

Figur 130

μ - s μ μ + s

0,159

0,50

0,841

(2)

(1)

Eksempel:

Lad X betegne det antal km, en bestemt bilmodel kører på 1 liter benzin. Det antages, at:

( )18,3X N

F


74

Sandsynligheden for, at en normalfordelt stokastisk variabel antager en værdi under eller lig a, er givet ved:

(170) UVM nr. (153)


( ) ( )P X a F a≤ =

Figur 131

0,0

15 18 21

0,20

0,50

0,90

(2)

(1)

Eksempel:

Grafen for fordelingsfunktionen F på normalfordelingspapir går gennem punkterne(18 - 3 ; 0,159) = (15 ; 0,159), (18; 0,5) og (18 + 3; 0,841) = (21; 0,841)

NNE Pharmaplan er en af verdens førende rådgivende ingeniørvirksomheder med speciale i konsulent- og ingeniørydelser til den farmaceutiske og bioteknologiske industri. NNE Pharmaplan er et datterselskab til Novo Nordisk. Vi har mere end 1500 ansatte fordelt på 22 kontorer rundt om i verden.

Udfordringer...Bliv elev i NNE Pharmaplan. Du kan blive uddannet som kontorassistent, økonomiassistent og teknisk designer.

www.nnepharmaplan.com

Klik

på

rekl

amen



75

Figur 132

Eksempel:Sandsynligheden for, at en bil af denne model kører højst 12 km på 1 liter benzin, er:

( ) ( )12 12 0,02 2%P X F≤ = = =


Sandsynligheden for, at en normalfordelt stokastisk variabel antager en værdi over eller lig a, er givet ved:

(171) UVM nr. (154)

Sandsynligheden for, at en normalfordelt stokastisk variabel antager en værdi i intervallet [a;b], er givet ved:

(172) UVM nr. (155)

( ) ( )1P X a F a≥ = −

Figur 133

Eksempel:

Sandsynligheden for, at den kører mindst 12 km på 1 liter benzin, er:

( ) ( )12 1 12 1 0,02 0,98 98%P X F≥ = − = − = =

( ) ( ) ( ) , P a X b F b F a a b≤ ≤ = − <

Figur 134

Eksempel:Og sandsynligheden for, at den kører mellem 12 - 20 km på 1 liter benzin, er:

( ) ( ) ( )12 20 20 12 0,75 0,02 0,73P X F F≤ ≤ = − = − =


76

NIVEAU A

Formelsamling til matematik Niveau A


77

1. Vektorer i planen

Formelsamling til matematik Vektorer i planen

Figur 135

0a1 (y)

a2

a

a

a

a

a

KOM TIL U-DAYS D. 4., 5. OG 6. MARTS 2010 OG LÆR MERE OM VORES UDDANNELSER

Internationale universitetsuddannelser

med rod i virkeligheden

Praktik

Studiejobs

ASB Alumni

Summer University

Corporate partners

ASB Karrierecenter

Studiemiljø i særklasse

Job- og CompanyDating

Danske og internationale forskere

Læs mere på www.asb.dk

U-DAYS

VIL DU SIKRE DIN FREMTID MED EN MÅLRETTET UNIVERSITETSUDDANNELSE INDEN FOR BUSINESS? LÆS MERE OM VORES UDDANNELSER PÅ WWW.ASB.DK

Klik

på

rekl

amen



78


En vektor angiver både en talværdi og en retning. Grafi sk afbildes en vektor med en pil, der illustrerer vektorens retning. Pilens længde angiver vektorens talværdi. Vektorer er karakteriseret ved deres retning og længde, men ikke ved deres begyndelses- og endepunkter. Alle vektorer på illustrationen ovenfor er derfor ens og betegnes alle ved koordinaterne til endepunktet for den vektor, der har begyndelsespunkt i origo.

Vektor i planen

En vektor i planen betegnes på følgende måde:

(173) UVM nr. (156)

Længde af vektor

Længden af en vektor betegnes og er givet ved kvadratroden af summen af kvadraterne på vektorens koordinater:

(174) UVM nr. (157)

1.1 Regning med vektorer

I det følgende er og vektorer, mens t er et reelt tal.

Vektor

En konstant ganges på en vektor ved at gange konstanten på hvert koordinat i vektoren. Bemærk, at for t < 0 har og modsat retning.

1

2

aa

a⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r

Figur 136

Eksempel:

Vi skal opskrive vektoren med begyndelsespunkt i origo og endepunkt i (3, 4). Der gælder altså, at a1 = 3, og a2 = 4. Således er vektoren givet ved:

ar

3a

4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r

ar

2 21 2a a a= +

r

Figur 137

Eksempel:

Vi skal finde længden af vektoren . Der gælder altså, at

a1 = 3, og a2 = 4. Således er længden af vektoren givet ved:

3a

4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

rar

2 2a 3 4 5= + =r

1

2

bb

b⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r1

2

aa

a⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r

t a⋅ r

art a⋅ r

Figur 138t a⋅ r

ar


79

(175) UVM nr. (158)

Sum

Summen af to vektorer er defi neret som den koordinatvise sum af vektorerne.


1

2

t at a

t a⋅⎛ ⎞

⋅ = ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

r

a b+rr

Figur 139

Eksempel:

Vi skal finde vektoren for og t = 2. Der gælder altså,

at a1 = 3, a2 = 4, og t = 2. Således er vektoren givet ved

t a⋅ r3

a4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r

2 3 6t a

2 4 8⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r

Figur 140

a b+rr

ar

br

www.dfds.com/elever

Klik

på

rekl

amen



80


(176) UVM nr. (159)

Differens

Differensen mellem to vektorer er givet som den koordinatvise differens af vektorerne.

(177) UVM nr. (160)

Basisvektorer

Basisvektorerne i planen og er defi neret som de vektorer, der er parallelle med koordinatsystemets akser og har længde 1. Enhver vektor kan skrives som en sum af basisvektorerne.

1 1

2 2

a ba b

a b+⎛ ⎞

+ = ⎜ ⎟+⎝ ⎠

rr

Figur 141

Eksempel:

Vi skal finde summen af vektorerne og .

Der gælder altså, at a1 = 3, a2 = 4, b1 = -2, og b2 = 2. Således er summen af vektorerne givet ved:

3a

4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r 2b

2−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r

3 ( 2) 1a b

4 2 6+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rr

a b−rr

Figur 142

a b−rr

ar

br

Figur 143

Eksempel:

Vi skal finde differensen mellem vektorerne og .

Der gælder altså, at a1 = 3, a2 = 4, b1 = -2, og b2 = 2. Således er differensen mellem vektorerne givet ved:

3a

4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r 2b

2−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r

3 ( 2) 5a b

4 2 2− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rr

1 1

2 2

a ba b

a b−⎛ ⎞

− = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

rr

i , jr r

ir j

r

Figur 144

1a irr

ir

jr

ar

2a jrr


81

(178) ,

(179)

Skalarprodukt

Produktet af to vektorer kaldes skalarproduktet og er defi neret som summen af koordinatvise produkter. Skalarproduktet af to vektorer kan også anvendes til at fi nde vinklen mellem vektorerne.

(180) UVM nr. (161)

(181) UVM nr. (162)

(182) UVM nr. (163)


1i

0⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r 0j

1⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r

11 2

2

aa a i a j

a⎛ ⎞

= + = ⎜ ⎟⎝ ⎠

r rr

Figur 145

Eksempel:

Vi skal opskrive vektoren ved hjælp af basisvektorerne og .

Der gælder altså, at a1 = 3, og a2 = 4. Således kan skrives som:

3a

4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

rir

jr

ar

3a 3 i 4 j

4⎛ ⎞

= ⋅ + ⋅ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

r rr

a b⋅rr

Figur 146ar

br

v

1 1 2 2a b a b a b⋅ = +rr

a b a b cos v⋅ = ⋅ ⋅r rr r

2a a a⋅ =r r r

Figur 147

Eksempel:

Vi skal endvidere finde vinklen mellem vektorerne. Der gælder, at , og . Således er vinklen mellem vektorerne givet ved:

3a

4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

rVi skal finde skalarproduktet af vektorerne og .

Der gælder altså, at a1 = 3, a2 = 4, b1 = -2, og b2 = 2. Således er skalarproduktet givet ved:

2b

2−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r

a b 3 ( 2) 4 2 2⋅ = ⋅ − + ⋅ =rr

a 5=r

b 8=r

2 5 8 cos v= ⋅ ⋅

v 81,87⇒= °


82


Vinkelrette vektorer og

Hvis to vektorer står vinkelret på hinanden, er skalarproduktet mellem dem nul. Tilsvarende gælder, at hvis skalarproduktet mellem to vektorer er nul, så står vektorerne vinkelret på hinanden.

(183) UVM nr. (164)

Projektionen af på

Projektionen er den vektor, der fremkommer ved at projicere vektoren vinkelret ind på vektoren . Dermed har og samme retning, men forskellige længder.

(184) UVM nr. (165)

ar br

a b a b 0⊥ ⇔ ⋅ =r rr r

bauur

ar br

bauur

ar br

br

bauur

Figur 148

ar

br

bauur

b 2a ba bb

⋅= ⋅

rruur rr

Har du gjort dig tanker om fremtiden ? Vi har !B l i v h a n d e l s e l e v h o s B D / i n f o : w w w . b d . d k / e l e v

Klik

på

rekl

amen



83

Tværvektor

Tværvektoren fremkommer ved at rotere vektoren med 90° i positiv omløbsretning (mod uret). Således er og vinkelrette, og .

(185) UVM nr. (166)

(186)

Arealet af parallelogram A, som udspændes af og

Arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne og , er givet ved den numeriske værdi til skalarproduktet mellem tværvektoren og vektoren .

Figur 149

Eksempel:

Vi skal finde projektionen af vektoren ind på vektoren .

Der gælder, at , og . Således er projektionen givet ved:

3a

4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

rbauur 2

b2−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r

a b 2⋅ =rr b 8=

r

b2 1a b b8 4

= ⋅ = ⋅uur r r

ra

ar ar

ar ar a a 0⋅ =r r

Figur 150

ar

ar

(2)

(1)

a a 0⋅ =r r

Figur 151

Eksempel:

Vi skal finde tværvektoren af vektoren ind på vektoren. Der

gælder altså, at a1 = 3, og a2 = 4. Således er tværvektoren givet ved:

3a

4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

rar

4a

3−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r

ar br

ar br

ar br


2

1

aa

a−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r


84

Figur 152

ar

br

(187) UVM nr. (167)

1.2 Vektor bestemt ved to punkter i planen

Koordinatsæt for

En vektor mellem to punkter i planen (A(x1, y1) og B(x2, y2)) er defi neret som den koordinatvise differens mellem endepunktets koordinater og begyndelsespunktets koordinater.

(188) UVM nr. (168)

ˆA a b= ⋅rr

Figur 153

Eksempel:

Vi skal finde arealet af parallelogram A, der udspændes af vektorerne

og . Der gælder, at og dermed er arealet givet

ved:

3a

4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r 4a

3−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r2b

2−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r

4 2A 14

3 2− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Figur 154

B(x2, y2)

A(x2, y2)

(2)

(1)

ABuuur

2 1

2 1

x xAB

y y−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

uuur



85

Figur 155

Eksempel:

Vi skal finde koordinatsættet for vektoren mellem punkterne A(1, 2) og B(5, 5). Der gælder altså, at x1 = 1, x2 = 5, y1 = 2, og y2 = 5. Således er koordinatsættet givet ved:

ABuuur

5 1 4AB

5 2 3−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

uuur

Længde af

Længden af en vektor mellem to punkter i planen A(x1, y1) og B(x2, y2) er givet ved kvadratroden af summen af kvadraterne på vektorens koordinater:

(189) UVM nr. (169)

ABuuur

2 22 1 2 1AB (x x ) (y y )= − + −

uuur

Figur 156

Eksempel:

Vi skal finde længden af vektoren mellem punkterne A(1, 2) og

B(5, 5). Der gælder altså, at x1 = 1, x2 = 5, y1 = 2, og y2 = 5. Således er længden af vektoren givet ved:

ABuuur

ABuuur

2 2AB (5 1) (5 2) 5= − + − =uuur


Gå efter det bedste tilbud !

Er du på jagt efter en uddannelse, hvor mulighederne for at gøre karriere er rigtig gode? Har du gå-på-mod og evner til at gennemføre et seriøst uddannelsesfor-løb med fokus på kundeserivce, salg og samarbejde?

Så skulle du overveje en uddannelse som salgsassi-stent eller trainee i Dansk Supermarked. Vi søger lige nu elever til føtex, Bilka og Netto over hele landet.

Når Dansk Supermarked søger elever, er det for at uddanne dygtige medarbejdere og ledere til fremti-den. Vores succes afhænger af dig. Derfor gør vi rig-tig meget ud af, at du udnytter dine evner optimalt, har det godt, trives med dine opgaver og udvikler dig personligt.

Du kan læse meget mere om vores uddannel-ser og karrieremuligheder på vores hjemmeside elev.dsg.dk, hvor du også kan se og søge ledige elev-stillinger. Du er også velkommen til at gå ned i dit lokale varehus for at høre mere om dine muligheder.

elev.dsg.dk

Klik

på

rekl

amen



86

1.3 Arealet af en trekant

Arealet af trekant ABC

Arealet af en trekant givet ved punkterne A, B og C er givet ved ½ gange den numeriske værdi af skalarproduktet mellem tværvektoren og vektoren .

(190) UVM nr. (170)

Figur 157

B

CA

AB∧uuur

ACuuur

Figur 158

Eksempel:Vi skal finde arealet af den trekant T, der er givet ved punkterne A(1,2),

B(5, 5) og C(7, 2). Der gælder, at og . Således er arealet givet ved:

3AB

4

∧ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

uuur 6AC

0⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

uuur

3 61 1T 18 94 02 2−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ = ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


1T AB AC2

∧

= ⋅ ⋅uuur uuur


87

2. Linie i planen

En normalvektor til en linie er en vektor nr , der står vinkelret på linien.En retningsvektor for en linie er en vektor rr , der er parallel med linien.

2.1 Ligning for linie

Ligningen for linien l gennem punktet P0(x0, y0) med normalvektor a

nb⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r er givet ved:

(191) UVM nr. (171)

Ligningen for linien l gennem punktet P0 (x0, y0) med hældningskoeffi cient α er givet ved:

(192)

0 0a(x x ) b(y y ) 0− + − =

Figur 159

P0(x0, y0)

(2)

rr

rn

(1)

l

Figur 161

Eksempel:

Vi skal finde ligningen for linien l gennem punktet P0 (3, 4) med hældningskoefficient 2. Der gælder altså, at = 2, x0 = 3, og y0 = 4. Således er ligningen for linien givet ved:

y 4 2(x 3) 2x 2= + − = −

Figur 160

Eksempel:

Vi skal finde ligningen for linien l gennem punktet P0 (3, 4) med

normalvektor . Der gælder altså, at a = -2, b = 3, x0 = 3, og y0

= 4. Således er ligningen for linien givet ved:

2n

3−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r

23

2(x 3) 3(y 4) 0

y x 2

− − + − =⇔= +

Formelsamling til matematik Linie i planen

0 0y y (x x )= + α −


88

2.2 Retningsvektor for linie

Hældningskoeffi cienten for en linie er givet som 2. koordinaten til den retningsvektor, der har 1. koordinat 1.

En retningsvektor for linien l med ligningen y = αx + β kan dermed skrives som:

(193) UVM nr. (172)1r ⎛ ⎞= ⎜ ⎟α⎝ ⎠

r

Figur 162

Eksempel:

Vi skal finde hældningskoefficienten for en linie l med retningsvektor . . Der gælder altså, at = 4, og således er liniens

hældningskoefficient 4

1r

4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

r

Formelsamling til matematik Linie i planen

Klik

på

rekl

amen



89

3. Afstand i planen

3.1 Afstand mellem to punkter

Afstanden mellem to punkter i planen A(x1, y1) og B(x2, y2) kan bestemmes ved at konstruere en retvinklet trekant ud fra punktet C(x2, y1). Afstanden |AB| er dermed givet som kvadratroden af summen af kvadraterne på sidelængderne |AC| og |BC|.

Afstanden |AB| mellem to punkter A(x1, y1) og B(x2, y2):

(194) UVM nr. (173)

Formelsamling til matematik Afstand i planen

Figur 163

0(1)

(2)

A(x1, y1)

B(x2, y2)

C(x2, y1)

2 22 1 2 1AB (x x ) (y y )= − + −

Figur 164

Eksempel:

Vi skal finde afstanden mellem punkterne A(-1, 2) og B(3, 3). Der gælder altså, at x1 = -1, x2 = 3, y1 = 2, og y2 = 3. Således er afstanden mellem punkterne givet ved:

2 2AB (3 ( 1)) (3 2) 17= − − + − =


90

Figur 165

P0(x0, y0)(2)

(1)

l

3.2 Afstand fra punkt til linie

Afstand dist(P, l) fra punktet P(x0, y0) til linien l med ligningen ax + by + c = 0Afstanden fra et punkt P(x0, y0) til en linie l med ligningen ax + by + c = 0 er defi neret som længden af det liniestykke mellem punktet og linien, der står vinkelret på linien.

(195) UVM nr. (174)0 0

2 2

ax by cdist(P, l)

a b

+ +=

+

Figur 166

Eksempel:

Vi skal finde afstanden fra punktet P(1, 5) til linien l med ligningen -2x + 2y – 4 = 0. Der gælder altså, at a = -2, b = 2, c = -4, x0 = 1, og y0 = 5. Således er afstanden fra punktet til linien givet ved:

4dist(P, l) 2

8= =

Formelsamling til matematik Afstand i planen


91

4. Parabel

Ligning for parabel med symmetriakse parallel med 2. aksen

Ligningen for en parabel med symmetriakse parallel med 2. aksen er givet ved:

(196) UVM nr. (175)

Figur 167

(2)

(1)

T

2= − + +y ax bx c

Formelsamling til matematik Parabel

Deltag i Børsens Gazellespil 2010 - og vind flotte pengepræmier

Gazellespillet er et spændende og innovativt virksomhedsspil, hvor du kommer til at prøve kræfter som iværksætter.

Spillet udfordrer i 2010 elever og lærere på at tage beslutnin-ger i et marked præget af økonomisk og finansiel krise.

Som leder af en fiktiv virksomhed skal du og dit hold hver uge træffe vigtige beslutninger om produktudvikling, marketing, investeringer m.v.

Spillet starter den 18. januar 2010 og der vil være flotte pengepræmier til de skarpeste beslutningstagere.

Læs alt om spillet og tilmeld jer på gazellespil.borsen.dk KLIK HER

Klik

på

rekl

amen



92

Diskriminant

Diskriminanten d er en regnestørrelse, der blandt andet anvendes til at fi nde parablens toppunkt. Diskriminanten er givet ved:

(197) UVM nr. (176)

Toppunkt T

Parablens toppunkt T er givet ved:

(198) UVM nr. (177)

Figur 169

Eksempel:

Vi skal finde diskriminanten for parablen med ligningen y = 2x2 – x + 4. Der gælder altså, at a = 2, b = -1, og c = 4. Således er diskriminanten givet ved:

2( 1) 4 2 4 33d = − + ⋅ ⋅ =

Figur 168

Eksempel:

Ligningen for en parabel med koefficienter a = 2, b = -1 og c = 4 er givet ved:

212 4y x x= − −

2 4d b ac= −

,2 4

b dTa a− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Figur 170

Eksempel:

Vi skal finde toppunktet for parablen med ligningen y = 2x2 – x + 4. Der gælder, at a = 2, b = -1, og d = -33. Således er parablens toppunkt givet ved:

( 1) 33 1 33, ,2 2 4 2 4 8

T − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Formelsamling til matematik Parabel


93

5. Cirkel

Ligning for cirkel med centrum C(x0, y0) og radius r

En cirkel med centrum C(x0, y0) og radius r består af de punkter, der har afstand r til centrum og således opfylder følgende ligning:

(199) UVM nr. (178)

Omkreds O

Omkredsen af en cirkel med radius r er givet ved:

(200) UVM nr. (179)

Figur 171

C(x0, y0)

(2)

(1)

r

2 2 20 0( ) ( )x x y y r− + − =

Figur 172

Eksempel:

Vi skal finde ligningen for cirklen med centrum C(2, 2) og radius 4. Der gælder altså, at x0 = 2, y0 = 2, og r = 4. Således er cirklens ligning givet ved:

2 2 2

2 2

( 2) ( 2) 4

4 4 8 0

x y

x x y y

− + − =⇔

− + − − =

2O r= π⋅

Figur 173

Eksempel:

Vi skal finde omkredsen af en cirkel med radius 3. Der gælder altså, at r = 3, og således er cirklens omkreds givet ved:

2 3 6O = π⋅ = π

Formelsamling til matematik Cirkel


94

Areal A

Arealet af en cirkel med radius r er givet ved:

(201) UVM nr. (180)2A r= π⋅

Figur 174

Eksempel:

Vi skal finde arealet af en cirkel med radius 3. Der gælder altså, at r = 3, og således er cirklens omkreds givet ved:

23 9A = π⋅ = π

Formelsamling til matematik Cirkel

FÅ HELE VERDEN SOM DIN ARBEJDSPLADS!

Vil du være blandt verdens førende shippingfolk? Det Blå Danmark, eller det danske mari-time erhverv, kan tilbyde dig en shippinguddannelse af høj international standard. Danske rederier og shippingvirksomheder er førende inden for de mest avanacerede segmenter af den globale søfart og flytter dagligt 10 procent af al verdens handel til søs. Hvis du har mod på en international karriere, så gå ind på www.worldcareers.dk og find ud af, hvordan DU kan få hele verden som din arbejdsplads.

Få verden som arbejdsplads: www.worldcareers.dk

Klik

på

rekl

amen



95

6. Ellipse

Ligning for ellipse med centrum C(x0, y0) og halvakser a og b

En ellipse med centrum C(x0, y0) og halvakser a og b består af de punkter, der opfylder følgende ligning:

(202) UVM nr. (181)

Areal A

Arealet af en ellipse med halvakser a og b er givet ved:

(203) UVM nr. (182)

Figur 175

C(x0, y0)

(2)

(1)

ab

2 20 0

2 2

( ) ( ) 1x x y ya b− −

+ =

Figur 176

Eksempel:

Vi skal finde ligningen for ellipsen med centrum C(2, 2) og halvakser a = 5 og b = 3. Der gælder altså, at x0 = 2, y0 = 2, a = 5, og b = 3. Således er ellipsens ligning givet ved:

2 2

2 2

2 2

( 2) ( 2) 15 3

9 36 25 100 135 0

x y

x x y y

− −+ =

⇔

− + − + =

A ab= π⋅

Figur 177

Eksempel:

Vi skal finde arealet af en ellipse med halvakser a = 5 og b = 3. Således er ellipsens areal givet ved:

3 2 6A = π⋅ ⋅ = π

Formelsamling til matematik Ellipse


96

Formelsamling til matematik Hyperbel

7. Hyperbel

Ligning for hyperbel med centrum i C(x0, y0) og halvakser a og b

En hyperbel med centrum C(x0, y0) og halvakser a og b består af de punkter, der opfylder følgende ligning:

(204) UVM nr. (183)

Ligning for asymptoter

En hyperbel med centrum C(x0, y0) og halvakser a og b har to asymptoter, som består af de punkter, der opfylder følgende ligninger:

(205) UVM nr. (184)

Figur 178

C

(2)

(1)

b

a

(x0,y0)

2 20 0

2 2

( ) ( ) 1x x y ya b− −

− =

Figur 179

Eksempel:

Vi skal finde ligningen for hyperblen med centrum C(2, 2) og halvakser a = 5 og b = 3. Der gælder altså, at x0 = 2, y0 = 2, a = 5, og b = 3. Således er hyperblens ligning givet ved:

2 2

2 2

2 2

( 2) ( 2) 15 3

9 36 25 100 65 0

x y

x x y y

− −− =

⇔

− − + − =

0 0

0 0

( )og

( )

ba

ba

y y x x

y y x x

− = −

− = − −


97

Figur 180

Eksempel:

Vi skal finde ligningen for asymptoterne til hyperblen med centrum C(2, 2) og halvakser a = 5 og b = 3. Der gælder altså, at x0 = 2, y0 = 2, a = 5, og b = 3. Således er asymptoternes ligninger givet ved:

2 2 13 3 3

72 23 3 3

1 ( 2)og

1 ( 2)

y x y x

y x y x

− = − ⇔ = −

− = − − ⇔ = − −

Formelsamling til matematik Hyperbel

Hvad enten du drømmer om at starte virksomhed eller allerede er godt i gang, giver vi dig power til at maksimere dit potentiale. I uge 47 er der springboards, workshops, foredrag og konkret rådgivning til alle – fra iværksætterspirer i grundskolen til direktører med vækstambitioner.

Bag initiativet står Økonomi- og Erhvervsministeriet i samarbejde med en lang række private og offentlige organisationer. Initiativet er en del af "Global Entrepreneurship Week", hvor mere end 100 lande sætter fokus på iværksætteri og vækst.

Global Entrepreneurship Week | Økonomi- og Erhvervsministeriet | Væksthusene | Young Enterprise Danmark | DI – Organisation for erhvervslivet | Kauffmann | Make Your Mark

| Dansk Iværksætter Forening | Undervisningsministeriet | DEF | DJØF | Foreningen af Registrerede Revisorer | Øresund Entrepreneurship Academy | Danske Advokater |

Foreningen af Statsautoriserede Revisorer | IDA | DANA | IDEA | Vækstfonden | Women in Business | Connect Denmark | Ministeriet for Videnskab, Teknologi og Udvikling | FUHU

| Ernst & Young | Dansk Erhverv | Venture Cup | Kulturministeriet | Early Warning | Danmarks Eksportråd

Læs mere på www.uge47.dk

Klik

på

rekl

amen



98

8. Kvadratisk funktion i to variable

En kvadratisk funktion i to variable er en andengradsligning, der skrives på formen:

(206) UVM nr. (185)

Niveaukurve N (t)

Niveaukurven for en kvadratisk funktion i to variable er en ligning, der skrives på formen:

(207) UVM nr. (186)

Der gælder følgende sammenhæng mellem koeffi cienterne i ligningen for den kvadratiske funktion og niveaukurvens grafi ske fremstilling:

- En cirkel for a = c

- En ellipse for a · c < 0 og a ≠ c

- En hyperbel for a · c < 0

2 2( , )f x y ax bx cy dy e= + + + +

Figur 181

Eksempel:

Ligningen for den kvadratiske funktion med koefficienterne a = 2, b = -2, c = 4, d = 8 og e = 12 er givet ved:

2 22 2 4 8 12y x x y y= − + + +

2 2( ) :N t ax bx cy dy e t+ + + + =

Figur 182

Eksempel:

Niveaukurven for den kvadratiske funktion f(x, y) = 2x2 - 2x + 4y2 + 8y + 12 er givet ved:

2 2

2 21 12 2

2 212

1 1 1 12 2 4 2

( ) : 2 2 4 8 12

( ) : 2( ) 4( 1) 7

( ) ( 1)( ) : 1( 7 ) ( 7 )

N t x x y y t

N t x y t

x yN tt t

− + + + =⇔

− + + + =

⇔

− ++ =

− −

Formelsamling til matematik Kvadratisk funktion i to variable


99

9. Integralregning

9.1 Stamfunktion

Stamfunktionen til en funktion f(x) betegnes F(x) og er defi neret som den funktion, hvis afl edte er f(x). Der gælder således, at:

(208) F er en stamfunktion til f UVM nr. (187)

9.2 Ubestemt integral

Stamfunktionen kaldes også det ubestemte integral. Det ubestemte integral af funktionen f(x) betegnes og defi neres som:

(209) c konstant

Processen med at fi nde et ubestemt integral kaldes integration, og konstanten c kaldes integrationskonstanten.

9.3 Stamfunktion til specielle funktioner

(210) I det følgende er integrationskonstanten udeladt. UVM nr. (188)

( ) ( )F x f x′⇔ =

,)()(∫ += cxFdxxf

Funktion f(x) Stamfunktion ( )f x dx∫k (konstant) k·x

xa 111

aa x ++

11x x−= ln x

12x x=

322

3 x

xa 1ln

xa a

ex ex

ek x 1 ekxk

ln x lnx x x⋅ −

cos x sin x

sin x cos x−

tan x

tan x

tan x

ln cos x−

21 (tan )x+

2

1(cos )x

Formelsamling til matematik Integralregning


100

9.4 Regneregler for ubestemt integral

Der gælder følgende simple regneregler for ubestemte integraler:

(211) UVM nr. (190)

Funktion f(x) Stamfunktion ( )f x dx∫4 4x

x5 616 x⋅

2x 1ln 2 2x

4e x 414 e x

( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫


KarriereplatformenShippingbranchen er en unik mulighed for dig, hvis du sigter mod en fremtid, hvor ikke to dage er ens. Ønsker du samtidig en intensiv uddannelse, der kombinerer praktik og teori på højt plan, vil du få et godt fundament for din fremtidige karriere i international shipping.

Fra vort hovedkontor i København får du hele verden som arbejdsplads. Du kommer hurtigt til at indgå i et team med dygtige og engagerede kolleger i et inspirerende arbejdsmiljø.

Vi kan tilbyde vore kommende trainees forskellige udgangs-punkter for en fremtidig karriere.

Tre spændende uddannelsesprogrammerRederiet søger shipping trainees, en trainee til rederiets bunkers-afdeling samt trainees til økonomiafdelingerne.

Læs mere om alle tre uddannelser og adgangskrav under career opportunities på www.j-lauritzen.com.

Hvorfor vælge J. Lauritzen?Vi arbejder med udgangspunkt i en ambitiøs vision om kontinu-erligt at levere ”world-class” til vore kunder og samarbejdspart-nere, og visionen understøttes af et stærkt værdigrundlag. J. Lauritzen er et af de ældste rederier i Danmark, som har stærk fokus på udvikling og drives efter moderne forretningsprincipper.

Tillid og respekt er i højsædetUd over et intensivt uddannelsesforløb tilbyder vi gode ansæt-telsesvilkår, sundhedsforsikring, god frokostordning samt mange sociale aktiviteter efter arbejdstid. Vi kan eventuelt også hjælpe med en studielejlighed.

Dit udgangspunktDu har som minimum en HHX eller HH-fagpakken efter din STX - med et tilfredsstillende eksamensresultat. International handel og økonomi har din store interesse, og du har disse fag samt matematik på min. B-niveau samt engelsk på A-niveau. Herud-over har du måske nogen erhvervserfaring eller har opholdt dig i udlandet i en periode. Som person er du ambitiøs, udadvendt og ivrig efter at tilegne dig ny viden.

AnsøgningSend din motiverede ansøgning senest den 15. februar 2009 mærket ”Trainee” og bilagt relevante eksamenspapirer til [email protected]. Husk at anføre, om du ønsker at blive ship-ping-, økonomi- eller bunkers-trainee. Har du spørgsmål, er du velkommen til at kontakte HR-konsulent Dorthe Olsen på 3396 8426 eller underdirektør Tove E. Nielsen på 3396 8422 eller send en mail til [email protected].

Lad drømmen blive til virkelighed...Trainees til international shipping

Danske rederier transporterer mere end 10% af verdenshand-len, og J. Lauritzen A/S er blandt de førende med globale aktivite-ter inden for søtransport af tørlast (Lauritzen Bulkers), fl ydende petrokemisk gas (Lauritzen Kosan) samt raffi nerede olieprodukter og kemikalier (Lauritzen Tankers). JL er endvidere beskæftiget inden for offshore-industrien med specialskibe. JL beskæftiger ca. 650 personer og ejer og opererer en samlet fl åde på omkring 240 skibe, inkl. nybyg-ninger, omfattende tørlastskibe, gas- og produkttankskibe samt specialskibe. For yderligere information om JL, se www.j-lauritzen.com

OCEANS OF KNOW-HOW

Klik

på

rekl

amen



101

(212) UVM nr. (190)

(213) UVM nr. (191)

Partiel (delvis) integration

Det ubestemte integral til produktet af to funktioner f(x) og g(x) kan bestemmes ved partiel integration og er givet ved:

(214) UVM nr. (192)

Figur 183

Eksempel:

Vi skal finde det ubestemte integral af f(x) + g(x), hvor, og . Det ubestemte integral er således givet ved:

2 21 12 2

3 2 21 1 11 26 2 2

3 211 26

(( ) ( 1)) ( ) ( 1)

( ) ( )

( )

x x x dx x x dx x dx

x x c x x c

x x x c c

+ + + = + + +

= + + + + +

= + + + +

∫ ∫ ∫

( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫

Figur 184

Eksempel:

Vi skal finde det ubestemte integral af f(x) – g(x), hvor , og . Det ubestemte integral er således givet ved:

= +212( )f x x x

= +( ) 1g x x

2 21 12 2

3 2 21 1 11 26 2 2

311 26

(( ) ( 1)) ( ) ( 1)

( ) ( )

( )

x x x dx x x dx x dx

x x c x x c

x x c c

+ − + = + − +

= + + − + +

= − + −

∫ ∫ ∫

( ) ( )k f x dx k f x dx⋅ =∫ ∫

Figur 185

Eksempel:

Vi skal finde det ubestemte integral af , hvor k = 2, og . Det ubestemte integral er således givet ved:

⋅ ( )k f x= +21

2( )f x x x

2 2 3 21 1 1 12 2 6 2

3 213

2 ( ) 2 ( ) 2( )

2

x x dx x x dx x x c

x x c

⋅ + = + = + +

= + +∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx F x g x F x g x dx′⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫

Figur 186

Eksempel:

Vi skal finde det ubestemte integral af , hvor , og . Det ubestemte integral er således givet ved:

⋅( ) ( )f x g x =( ) exf x= +( ) 2 3g x x

e (2 3) e (2 3) e 2 e (2 3) (2 e ) e (2 1)x x x x x xx dx x dx x c x c⋅ + = + − ⋅ = + − ⋅ + = + −∫ ∫



102

Integration ved substitution

Det ubestemte integral af en funktion, der kan skrives på formen , kan bestemmes ved substitution og er givet ved:

(215) UVM nr. (193)

9.5 Bestemt integral

Det bestemte integral fra a til b af funktionen f(x) betegnes og defi neres som:

(216) UVM nr. (194)

Tallene a og b kaldes henholdsvis den nedre og øvre integrationsgrænse. Bemærk, at det ubestemte integral angiver en talværdi, mens det ubestemte integral angiver en funktion.

9.6 Regneregler for bestemt integral

Der gælder følgende simple regneregler for bestemte integraler:

(217) UVM nr. (195)

(218) UVM nr. (196)

( ( )) ( )f g x g x′⋅

( ( )) ( ) ( ) , hvor ( )f g x g x dx f t dt t g x′⋅ = =∫ ∫

Figur 187

Eksempel:

Vi skal finde det ubestemte integral af udtrykket . Det ubestemte integral er således givet ved:

+⋅ 2 32 e x

2 3

2 3

2 e e

e e , hvor 2 3

x t

t x

dx dt

c c t x

+

+

⋅ =

= + = + = +∫ ∫

( )b

af x dx∫

( ) [ ( )] ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a= = −∫

( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

Figur 188

Eksempel:

Vi skal finde det bestemte integral fra a = 0 til b = 3 via c = 2 af . Det bestemte integral er således givet ved:= +21

2( )f x x x3 2 32 2 2 3 2 2 3 2 31 1 1 1 1 1 1

0 22 2 2 6 2 6 20 0 21 13 3

( ) ( ) [ ] [ ]

3 (9 3 ) 9

x xdx x x dx x x dx x x x x+ = + + + = + + +

= + − =∫ ∫ ∫

( ( ) ( )) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

Figur 189

Eksempel:

Vi skal finde det bestemte integral fra a = 0 til b = 3 af f(x) + g(x), hvor og g(x) = x + 1. Det bestemte integral er således givet ved:

= +212( )f x x x

3 3 32 2 3 2 3 2 31 1 1 1 10 02 2 6 2 20 0 0

1 12 2

(( ) ( 1)) ( ) ( 1) [ ] [ ]

9 7 16

x x x dx x x dx x dx x x x x+ + + = + + + = + + +

= + =∫ ∫ ∫



103

(219) UVM nr. (196)

(220) UVM nr. (197)

Partiel (delvis) integration

Det bestemte integral til produktet af to funktioner f(x) og g(x) kan bestemmes ved partiel integration og er givet ved:

(221) UVM nr. (198)

Figur 190

Eksempel:

Vi skal finde det bestemte integral fra a = 0 til b = 3 af f(x) - g(x), hvor og g(x) = x + 1. Det bestemte integral er således givet ved:

= +212( )f x x x

3 3 32 2 3 2 3 2 31 1 1 1 10 02 2 6 2 20 0 0

1 12 2

(( ) ( 1)) ( ) ( 1) [ ] [ ]

9 7 1

x x x dx x x dx x dx x x x x+ − + = + − + = + − +

= − =∫ ∫ ∫

( ) ( )b b

a ak f x dx k f x dx⋅ =∫ ∫

Figur 191

Eksempel:

Vi skal finde det bestemte integral fra a = 0 til b = 3 af k · f(x), hvor k = 2 og . Det bestemte integral er således givet ved:= +21

2( )f x x x

3 32 2 3 2 31 1 1 102 2 6 20 0

2 ( ) 2 ( ) 2 [ ] 2 9 18x x dx x x dx x x⋅ + = + = ⋅ + = ⋅ =∫ ∫

( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )b bb

aa af x g x dx F x g x F x g x dx′⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫


( ( ) ( )) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫

Klik

på

rekl

amen



104

Integration ved substitution

Det bestemte integral af en funktion, der kan skrives på formen , kan bestemmes ved substitution og er givet ved:

(222) UVM nr. (199)

Bemærk, at integrationsgrænserne skal ændres, når man fi nder et bestemt integral ved substitution.

9.7 Arealberegning

Areal A af skraveret område

Værdien af det bestemte integral fra a til b af funktionen f(x) kan tolkes som arealet af det område, der ligger under grafen for f og afgrænses af 1. aksen samt de lodrette linier gennem x = a og x = b.

(223) UVM nr. (200)

Figur 192

Eksempel:

Vi skal finde det bestemte integral fra a = 0 til b = 3 af f(x) · g(x), hvor f(x) = ex og g(x) = 2x + 3. Det bestemte integral er således givet ved:

3 33 3 30 0 00 0

3 3 3

e (2 3) [e (2 3)] 2 e [e (2 3)] 2 [e ]

(9e 3) (2e 2) 7e 1

x x x x xx dx x dx x+ = + − ⋅ = + − ⋅

= − − − = −

∫ ∫

( ( )) ( )f g x g x′⋅

( )

( )( ( )) ( ) ( )

( ( )) ( ( )), hvor ( )

b g b

a g af g x g x dx f t dt

F g b F g a t g x

′⋅ =

= − =

∫ ∫

Figur 193

Eksempel:

Vi skal finde det bestemte integral fra a = 0 til b = 3 af udtrykket 2·e2x+3. Det bestemte integral er således givet ved:

3 92 3 9 9 330 3

2 e e [e ] e e , hvor 2 3x t tdx dt t x+⋅ = = = − = +∫ ∫

Figur 194

f

(2)

(1)ba

( ) , ( ) 0 og [ ; ]b

aA f x dx f x x a b= ≥ ∈∫



105

Areal A af skraveret område

Arealet af området mellem graferne for funktionerne f(x) og g(x) på intervallet [a; b] er givet ved:

(224) UVM nr. (201)

Figur 195

Eksempel:

Vi skal finde arealet af det område, der ligger under grafen for funktionen på intervallet [-3; 1]. Der gælder altså, at a = -3, og b = 1. Således er arealet givet ved:

1 2 3 2 11 1 133 3 33

( 2 4) [ 4 ] 5 ( 12) 17A x x dx x x x −−= + + = + + = − − =∫

( ( ) ( )) , hvor ( ) ( ) og [ ; ]b

aA f x g x dx f x g x x a b= − ≥ ∈∫

Figur 196

Eksempel:

Vi skal finde arealet af det område, der ligger mellem graferne for funktionerne og på intervallet [-3; 1]. Der gælder altså, at a = -3, og b = 1. Således er arealet givet ved:

1 1 12 2 2 2

3 3 33 2 1 3 2 11 1 1

3 33 3 3

(( 2 4) (3 8 4)) ( 2 4) (3 8 4)

[ 4 ] [ 4 4 ] (5 ( 12)) (1 21) 37

A x x x x dx x x dx x x dx

x x x x x x− − −

− −

= + + − + − = + + − + −

= + + − + − = − − − − =

∫ ∫ ∫



106

10. Numerisk integration

Arealet af området under grafen for en funktion f(x) på intervallet [a; b] kan også bestemmes numerisk. Ved at inddele intervallet [a; b] i en række mindre delintervaller kan området under grafen på hvert delinterval tilnærmes med et rektangel. Summen af disse rektanglers arealer er således en tilnærmelse til selve områdets areal. Tilnærmelsen bliver god, hvis delintervallerne er meget smalle.

Figur 197

f

(2)

(1)ba x1 ,x2

. . .

Formelsamling til matematik Numerisk integration

Få en super god elevuddannelse i Danmarks største detailhan-delsvirksomhed. Du får ansvar, gode kolleger og løn ind på kontoen hver måned. Hør nærmere i butikken eller besøg:

coop.dk/elev

kan du styre vognen?

Klik

på

rekl

amen



107

Delintervallængde

Delintervallerne har samme længde og er givet som længden af intervallet [a; b] divideret med antallet af delintervaller:

(225) UVM nr. (202)

Tilnærmelsessummer for

Arealet af hvert rektangel i området er givet som rektanglets bredde gange højde. Bredden er givet ved længden af delintervallerne, mens højden kan angives på fl ere forskellige måder.

Summen af rektanglernes arealer angiver således en tilnærmelse til selve områdets areal.

Venstresum Vn

Angives rektanglernes højde som funktionsværdien i delintervallernes venstre endepunkt, er arealet af hvert enkelt rektangel givet ved for i = 0, 1, 2,..., n - 1. Dermed kan områdets areal tilnærmes med venstresummen Vn, som er defi neret som:

(226) UVM nr. (203)

Højresum Hn

Angives rektanglernes højde som funktionsværdien i delintervallernes højre endepunkt, er arealet af hvert enkelt rektangel givet ved for for i = 0, 1, 2, 3,..., n. Dermed kan områdets areal tilnærmes med højresummen Hn, som er defi neret som:

(227) UVM nr. (204)

Trapezsum Tn

Områdets areal kan også tilnærmes med en såkaldt trapezsum. Trapezsummen Tn er defi neret som gennemsnittet af venstresummen Vn og højresummen Hn:

(228) UVM nr. (205)

1 , 1, 2, ,i ib ax x x i n

n−

−Δ = − = = K

( )b

af x dx∫

( )ix f xΔ ⋅

1 1

0 0( ) ( )

n n

n i ii i

V x f x x f x− −

= =

= Δ ⋅ = Δ∑ ∑

( )ix f xΔ ⋅

1 1( ) ( )

n n

n i ii i

H x f x x f x= =

= Δ ⋅ = Δ∑ ∑

1

01

( ) 2 ( ) ( )2 2

nn n

n i ni

V H xT f x f x f x−

=

+ Δ ⎛ ⎞= = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑



108

Figur 198

Eksempel:

Vi skal finde henholdsvis venstresum, højresum og trapezsum for funktionen på intervallet [1; 4]. Intervallet inddeles i 6 lige lange delintervaller. Der gælder altså, at a = 1, b = 4, og n = 6. Således er delintervallængden givet ved:

Intervalpunkterne givet ved:

Venstresummen for områdets areal er således givet ved:

Højresummen for områdets areal er således givet ved:

Trapezsummen for områdets areal er således givet ved:

(2)

(1)41

f

12

4 16

x −Δ = =

1 1 10 1 2 3 4 5 62 2 21, 1 , 2, 2 , 3, 3 og 4.x x x x x x x= = = = = = =

1 1 1 12 2 2 212

( (1) (1 ) (2) (2 ) (3) (3 ))(2 1,75 2 2,75 4 5,75) 9,125

nV f f f f f f= + + + + +

= + + + + + =

1 1 1 12 2 2 212

( (1 ) (2) (2 ) (3) (3 ) (4))(1,75 2 2,75 4 5,75 8) 12,125

nH f f f f f f= + + + + +

= + + + + + =

9,125 12,125 10,6252nT +

= =



109

11. Differentialligninger

En differentialligning er en bestemt type ligning, hvor løsningen er en funktion, i modsætning til almindelige ligninger, hvor løsningen typisk er et tal.

Nedenfor er nogle af de mest simple differentialligninger beskrevet.

UVM nr. (206)

Ligning Løsning

( )dy h xdx= ( )y h x dx= ∫( ) ( )dy h x g y

dx= ⋅ 1

( ) ( )g y dy h x dx=∫ ∫dy kydx= ek xy c= ⋅

( )dy y b aydx= −

1 e

ba

b xyc −=+ ⋅

Ligning Løsning

3dy xdx= 3 31

4y x dx x c= = +∫3dy x y

dx= ⋅ 31

414

414

ln

exp( )

y dy x dx

y x

y x

=

⇒

=

⇔

=

∫ ∫

2dy ydx= 2e xy c= ⋅

12(2 )dy y y

dx= − 2

41 e xy

c −=+ ⋅

Figur 199

Eksempel:

Formelsamling til matematik Differentialligninger


studieguide.ruc.dk

Dit s

tudie

vil b

live

præge

t af b

asiss

tudie

r,

grup

pearbe

jde og

tværfa

gligh

ed.

Klik

på

rekl

amen



110

12. Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning er en matematisk disciplin, der anvendes til at beskrive sandsynligheden for, at en given hændelse indtræffer.

Vi forestiller os i det følgende et eksperiment, der har n mulige udfald. Disse udfald betegnes u1, u2,...,un .

Udfaldsrum U

Udfaldsrummet er en mængde, der består af alle de mulige udfald for et givent eksperiment:

(229) U = {u1, u2,...,un} UVM nr. (207)

Sandsynlighedsfunktion P

En sandsynlighedsfunktion er en funktion, der angiver sandsynligheden for, at et bestemt udfald indtræffer. Sandsynligheden for at et bestemt udfald indtræffer ligger i intervallet [0;1], og summen af alle disse sandsynligheder er 1.

(230) UVM nr. (208)

(231) UVM nr. (208)

Hændelse A

En hændelse A er defi neret som en delmængde af udfaldsrummet U.

Sandsynlighed en P(A) for en hændelse A

Sandsynligheden for at en hændelse indtræffer betegnes P(A) og er givet som summen af sandsynlighederne for, at hvert enkelt udfald i hændelsen indtræffer.

0 ( ) 1, 1, 2, ,iP u i n≤ ≤ = K

1

( ) 1n

ii

P u=

=∑

Figur 200

A

U

Formelsamling til matematik Sandsynlighedsregning


111

12.1 Regneregler for sandsynligheder

Der gælder følgende simple regneregler for sandsynligheder:

(232) P(U) = 1 UVM nr. (210)

(233) P(Ø) = 0 UVM nr. (211)

Komplementær hændelse

Den komplementære hændelse til en hændelse A betegnes . Sandsynligheden for, at den komplementære hændelse indtræffer, er givet ved:

(234) UVM nr. (212)

A

)(1)( APAP −=

Figur 201

Eksempel:

Vi betragter et eksperiment med 4 mulige udfald: u1, u2, u3 og u4. Udfaldsrummet kan således skrives som .Sandsynligheden for hvert udfald er henholdsvis 20%, 10%, 40% og 30%. Der gælder altså, at:

Vi skal nu finde sandsynligheden for, at enten udfald 3 eller 4 indtræffer. Vi definerer derfor hændelsen A som A = {3;4}. Således er sandsynligheden givet ved:

P(A) = P(3) + P(4) = 0,4 + 0,3 = 0,7

Vi skal nu finde sandsynligheden for, at den komplementære hændelse til A indtræffer. Den komplementære hændelse til A er givet som , og sandsynligheden er således givet ved:

U 1

P(u) 0,2

2 3

0,1 0,4

4

0,3

{ }1, 2A =

( ) 1 ( ) 1 0,7 0,3P A P A= − = − =

Figur 202

A

U

B



112

Additionsreglen

Sandsynligheden for, at enten hændelsen A eller B indtræffer, er givet ved:

(235) UVM nr. (213)

Betinget sandsynlighed

Sandsynligheden for, at hændelsen A indtræffer, givet at hændelsen B indtræffer, betegnes P(A|B) og er givet ved:

(236) UVM nr. (214)

Tilsvarende er sandsynligheden for, at hændelsen B indtræffer, givet at hændelsen A indtræffer, givet ved:

(237) UVM nr. (214)

Multiplikationsreglen

Fra regnereglerne om betinget sandsynlighed følger det umiddelbart, at følgende gælder:

(238) UVM nr. (215)

(239) UVM nr. (215)

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩

( )( | )( )

P A BP A BP B∩

=

( )( | )( )

P A BP B AP A∩

=

( ) ( | ) ( )P A B P A B P B∩ = ⋅

( ) ( | ) ( )P A B P B A P A∩ = ⋅


Hanken School of Economics is one of the oldest business schools in the Nordic countries. Today Hanken is a leading internationally accredited business school with campuses in Helsinki and in Vaasa, Finland. Hanken alumni work in more than 40 countries world-wide.

MASTER’S DEGREE PROGRAMMESGet the keys to an international career. Hanken offers eight Master’s degree programmes instructed in English. These include programmes specialized in areas such as International Management or Intellectual Property Law.

HANKEN MBAThe Hanken MBA is an accredited, two-year part-time programme with flexible structure. The areas of speciali-sation are: service and relationship marketing, finance, and international management.

DOCTORAL STUDIESDoctoral studies at Hanken offer research-based educa-tion of internationally high standard, preparing you for a career in academia, the corporate world or the public sector.

VISIT OUR WEBPAGEHANKEN.FI

INVEST IN YOUR FUTURE

Klik

på

rekl

amen



113

A og B uafhængige hændelser

Hændelserne A og B er uafhængige, hvis der gælder, at:

(240) UVM nr. (216)

(241) UVM nr. (216)

Hvis disse regneregler kombineres med multiplikationsreglen, følger det umiddelbart, at hændelserne A og B er uafhængige, hvis der gælder, at:

(242) UVM nr. (217)

Bayes formel

Fra multiplikationsreglerne følger det umiddelbart, at følgende gælder:

(243) UVM nr. (218)

( | ) ( )P A B P A=

( | ) ( )P B A P B=

( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ⋅

( | ) ( )( | )( )

P A B P BP B AP B⋅

=

Figur 203

Eksempel:

Vi betragter to hændelser A og B, hvor der gælder at P(A) = 0,4, P(B) = 0,3, og Vi skal nu finde sandsynligheden for, at enten hændelsen A eller B indtræffer. Fra additionsreglen får vi således, at:

Vi skal nu finde den betingede sandsynlighed for hændelse A givet hændelse B. Fra regnereglerne om betinget sandsynlighed får vi således, at:

Vi skal nu undersøge, om hændelserne A og B er uafhængige. Vi kan konstatere, at:

Dermed er hændelserne A og B ikke uafhængige.Vi skal nu finde den betingede sandsynlighed for hændelse B givet A. Fra Bayes Formel får vi nu således, at:

∩ =( ) 0,1P A B

( ) 0, 4 0,3 0,1 0,6P A B∪ = + − =

13

0,1( | )0,3

P A B = =

( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ ≠ ⋅

13 1

40,3( | )

0, 4P B A ⋅

= =

Figur 204

A

U

. . .H1 H1 Hn



114

Loven om den totale sandsynlighed

Når udfaldsrummet U kan inddeles i en række hændelser (H1, H2,...,Hn), kan sandsynligheden for, at en hændelse A indtræffer, skrives på følgende måde:

(244) UVM nr. (219)

Bayes formel (alternativ version)

Når udfaldsrummet U kan inddeles i en række hændelser (H1, H2,...,Hn), kan Bayes formel alternativt skrives på følgende måde:

(245) UVM nr. (220)

1

( ) ( | ) ( )n

i ii

P A P A H P H=

= ⋅∑

( | ) ( )( | ) , 1, 2, ,

( )j j

j

P A H P HP H A j n

P A⋅

= = K

Figur 205

Eksempel:

En fabrik producerer en bestemt vare på tre maskiner: . Produktionen fordeler sig med 40% på M1, 50% på M2 og 10% på M3. Nogle af de producerede varer er defekte, men de defekte varer er ikke fordelt ligeligt på de tre maskiner. På M1 er 5% af de producerede varer defekte, på M2 er 6% af de producerede varer defekte, og på M3 er 30% af de producerede varer defekte. Mængden af defekte varer betegnes D.Der udvælges nu en tilfældig vare fra produktionen, og vi skal finde sandsynligheden for, at varen er defekt.Der gælder altså, at P(M1) = 0,4, P(M2) = 0,5, P(M3) = 0,1, P(D|M1) =0,05, P(D|M2) =0,06, og P(D|M3) =0,3. Ifølge loven om den totale sandsynlighed er sandsynligheden for, at varen er defekt, således givet ved:

Det oplyses nu, at en vare er defekt, og vi skal finde sandsynligheden for, at varen er produceret på M1. Der gælder altså, at P(D|M1) =0,05, P(M1) = 0,4, og P(D) = 0,08. Ifølge Bayes formel er sandsynligheden for, at varen er produceret på M1, således givet ved:

( ) 0,05 0,4 0,06 0,5 0,3 0,1 0,08P D = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

10,05 0, 4( | ) 0, 25

0,08P M D ⋅

= =



115

13. Stokastisk variabel

En stokastisk variabel er en variabel, der tilfældigt antager en værdi i et specifi ceret udfaldsrum. En stokastisk variabel kan enten være diskret eller kontinuert.

13.1 Diskret stokastisk variabel

En diskret stokastisk variabel X er en variabel, der tilfældigt antager en værdi blandt n mulige værdier i et udfaldsrum. Disse værdier betegnes x1, x2,..., xn og er sorteret efter størrelse, således at .

Sandsynlighedsfunktion f

Sandsynlighedsfunktionen f for en diskret stokastisk variabel X angiver sandsynligheden for, at den stokastiske variabel antager hver af værdierne x1, x2,..., xn:

(246) UVM nr. (222)

For en konkret værdi xi kaldes f(xi) for punktsandsynlighed en i xi.

1 2 nx x x≤ ≤ ≤L

x2 . . . xi x1. . .

( ) ( )i if x P X x= =



116

Fordelingsfunktion F

Fordelingsfunktionen F for en diskret stokastisk variabel X angiver sandsynligheden for, at den stokastiske variabel antager en værdi, der er mindre end en given værdi xi.

(247) UVM nr. (221)

Der gælder endvidere, at for i = 1, 2,..., n.

Middelværdi μ

Middelværdien af en diskret stokastisk variabel X betegnes μ eller E(X) og er defi neret som:

(248) UVM nr. (224)

Varians σ2

Variansen af en diskret stokastisk variabel X betegnes σ2 eller Var(X) og er defi neret som:

(249) UVM nr. (225)

Bemærk, at variansen ikke kan være negativ.

Standardafvigelse σ

Standardafvigelsen af en diskret stokastisk variabel X betegnes σ og er defi neret som:

(250) UVM nr. (227)

Standardafvigelsen kaldes også for spredning en.

1

( ) ( ) ( ), 1, 2, ,i

i i jj

F x P X x f x i n=

= ≤ = =∑ K

1

E( ) ( )n

i ii

X x f x=

μ = = ⋅∑

2 2

1

Var( ) ( ) ( )n

i ii

X x f x=

σ = = −μ ⋅∑

( ) Var( )X Xσ = σ =


1)(0 ≤≤ ixF

Få mere ud af dit talent

Læs mere på tdc.dk/job

Giv os dit engagement.Så giver vi dig mulighed for udvikling.

Klar til at kickstarte din karriere? Og lære alt, hvad der er at vide om sms’er, bredbånd og mobiler? Så har du nu chancen. Som elev i TDC får du frihed til at udfolde dine evner og gøre dine karrieredrømme til virkelighed. Du kan kravle op ad karrierestigen og blive leder, specialisere dig inden for et særligt fagområde eller vælge en helt tredje vej. Det er helt op til dig. Klik ind på tdc.dk/job, og læs om dine muligheder. Og sørg for at bookmarke siden. For vi opdaterer den hele tiden med ny info og nye uddannelser.

Klik

på

rekl

amen



117

Figur 206

Eksempel:

Vi betragter en diskret stokastisk variabel X, der kan antage værdierne 2,4 og 8. Sandsynligheden for hvert udfald er henholdsvis 60%, 30% og 10%. Der gælder altså, at:

Vi skal nu finde fordelingsfunktionen F(x) for X. Der gælder, at:

Vi skal nu finde middelværdien, variansen og standardafvigelsen for X. Middelværdien E(X) er givet ved:

Variansen Var(X) af X er givet ved:

Standardafvigelsen (X) af X er givet ved:

X 2

P(X=x) 0,6

4 8

0,3 0,1

X 2

F(X) 0,6

4 8

0,9 1,0

E( ) 2 0,6 4 0,3 8 0,1 3,2X = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

2 2 2Var( ) (2 3, 2) 0,6 (4 3, 2) 0,3 (8 3, 2) 0,1 3,36X = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ =

( ) 3,36 1,83Xσ = =

13.2 Kontinuert stokastisk variabel

En kontinuert stokastisk variabel er en variabel, der tilfældigt antager en værdi blandt alle tal i et interval eller på hele 1. aksen.

Sandsynlighedsfunktionen f for en kontinuert stokastisk variabel X kaldes også for tæthedsfunktion en. Arealet under grafen for f er 1.

Fordelingsfunktion F

Fordelingsfunktionen F for en kontinuert stokastisk variabel X angiver sandsynligheden for, at den stokastiske variabel antager en værdi, der er mindre end en given værdi x.

(251) F(x) svarer til arealet under grafen for f til venstre for x. UVM nr. (228)

Figur 207

(2)

x

f

(1)



118

13.3 Lineær transformation af stokastisk variabel X

Dette afsnit gælder både for diskrete og kontinuerte stokastiske variable.

En lineær transformation af en stokastisk variabel X er en stokastisk variabel Y, der kan skrives på formen:

(252) Y = aX + b UVM nr. (229)

Regneregler

Der gælder følgende simple regneregler for lineære transformationer af stokastiske variable:

Middelværdien af den stokastiske variabel Y = aX + b er givet ved:

(253) UVM nr. (230)

Variansen af den stokastiske variabel Y = aX + b er givet ved:

(254) UVM nr. (231)

Standardafvigelsen af den stokastiske variabel Y = aX + b er givet ved:

(255) UVM nr. (232)

E( ) E( ) E( )Y aX b a X b= + = ⋅ +

2Var( ) Var( ) Var( )Y aX b a X= + = ⋅

( ) ( ) | | ( )Y aX b a Xσ = σ + = ⋅σ



studieguide.ruc.dk

Dit s

tudie

vil b

live

præge

t af b

asiss

tudie

r,

grup

pearbe

jde og

tværfa

gligh

ed.

Klik

på

rekl

amen



119

Figur 208

Eksempel:

Vi betragter en stokastisk variabel X med middelværdi 5 og varians 1. Der gælder altså, at E(X) = 5, Var(X) = 1, og (X) = 1.Ved en lineær transformation danner vi nu den stokastiske variabel Y = 2X + 8. Der gælder altså, at a = 2, og b = 8.Vi skal nu finde middelværdien, variansen og standardafvigelsen for Y.

Middelværdien E(Y) er givet ved.

Variansen Var(Y) er givet ved:

Standardafvigelsen er givet ved:

E( ) E(2 8) 2 E( ) 8 18Y X X= + = ⋅ + =

2Var( ) Var(2 8) 2 Var( ) 4Y X X= + = ⋅ =

( ) (2 8) | 2 | ( ) 2Y X Xσ = σ + = ⋅σ =



120

14. Binomialfordeling

n fakultet n!

Produktet af alle heltal fra 1 til n kaldes n fakultet og betegnes n! Endvidere defi neres 0! til 1:

(256) n! = 1 · 2 · ... · n UVM nr. (233)

(257) 0! = 1 UVM nr. (234)

Binomialkoeffi cient K(n, r)

Binomialkoeffi cienten angiver hvor mange forskellige delmængder med r elementer, der kan udtages af en mængde med n elementer:

(258) UVM nr. (235)

14.1 Binomialfordelt stokastisk variabel X

Binomialfordelingen er kendetegnet ved en antalsparameter n og en sandsynlighedsparameter p. En binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p er en diskret stokastisk

variabel, der tilfældigt antager en værdi fra mængden {0, 1, 2,…, n}.

Der benyttes følgende skrivemåde om en binomialfordelt stokastisk variabel:

(259) X ~ b(n, p) UVM nr. (236)

Figur 209

Eksempel:

Vi skal finde 5 fakultet. Der gælder altså, at n = 5, og dermed får vi, at:

5! 1 2 3 4 5 120= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

!( , ) , 0!( )!

n nK n r r nr r n r⎛ ⎞= = ≤ ≤⎜ ⎟ −⎝ ⎠

Figur 210

Eksempel:

I en kasse ligger der 5 kugler i forskellige farver. Der trækkes nu 3 kugler fra kassen, og vi skal undersøge, hvor mange forskellige farvekombinationer disse 3 kugler kan have.Den rækkefølge kuglerne trækkes i har ingen betydning, og derfor kan vi benytte binomialformlen til at udregne antallet af kombinationer. Der gælder altså, at n = 5, og r = 3. Således er antallet af kombinationer givet ved:

5 5! 120(5,3) 103 3!(5 3)! 6 2

K ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ − ⋅⎝ ⎠

Formelsamling til matematik Binomialfordeling


121

Sandsynlighedsfunktion

Sandsynlighedsfunktionen for en binomialfordelt stokastisk variabel X er givet ved:

(260) UVM nr. (237)

Middelværdi

Middelværdien af en binomialfordelt stokastisk variabel X er givet ved:

(261) E(X) = n · p UVM nr. (238)

Varians

Variansen af en binomialfordelt stokastisk variabel X er givet ved:

(262) Var(X) = n · p · (1 - p) UVM nr. (239)

Standardafvigelse

Standardafvigelsen af en binomialfordelt stokastisk variabel X er givet ved:

(263) σ UVM nr. (240)

( ) ( , ) (1 ) , 0r n rP X r K n r p p r n−= = ⋅ ⋅ − ≤ ≤

)1()( ppnX −⋅⋅=









Klik

på

rekl

amen



122

14.2 Approksimation af binomialfordelt stokastisk variabel X med normalfordeling

En binomialfordelt stokastisk variabel X med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p kan approksimeres med en normalfordeling med middelværdi n · p og standardafvigelse .

Tilnærmelsen bliver god, når blot , og .

Tilnærmelsesvis fordeling af X

Hvis X ~ b(n, p), og der endvidere gælder, at , og , så kan fordelingen af X approksimeres med en normalfordeling givet ved:

(264) UVM nr. (241)

Figur 211

Eksempel:

En stikprøve på 50 enheder udvælges fra en produktion, hvor 14% af de producerede enheder er defekte.Vi lader nu en diskret stokastisk variabel X betegne antallet af defekte enheder i stikprøven, og vi antager endvidere, at:

Vi skal nu finde sandsynligheden for, at 5 af de udvalgte enheder er defekte.Der gælder altså, at n = 50, og p = 0,14. Sandsynligheden for, at 5 af de udvalgte enheder er defekte, er således givet ved:

Vi skal nu finde det forventede antal defekte enheder i stikprøven. Det forventede antal enheder er givet ved middelværdien til X. Der gælder således, at:

Vi skal endvidere finde variansen og standardafvigelsen af X.Variansen er givet ved:

Standardafvigelsen er givet ved:

~ (50; 0,14)X b

5 5( 5) (50,5) 0,14 (1 0,14) 0,1286P X K= = ⋅ ⋅ − =

E( ) 50 0,14 7X = ⋅ =

Var( ) 50 0,14 (1 0,14) 6,02X = ⋅ ⋅ − =

( ) 50 0,14 (1 0,14) 2, 45Xσ = ⋅ ⋅ − =

(1 )n p p⋅ ⋅ −

5n p⋅ ≥ (1 ) 5n p⋅ − ≥

5n p⋅ ≥ (1 ) 5n p⋅ − ≥

( )~ , (1 )X N n p n p p⋅ ⋅ ⋅ −

Figur 212

Eksempel:

Vi skal finde en approksimation med en normalfordeling til fordelingen af den stokastiske variabel Der gælder altså, at n = 20, og p = 0,4. Approksimationen er således givet ved:

( ) ( )~ 20 0, 4; 20 0, 4 (1 0, 4) 8; 4,8X N N⋅ ⋅ ⋅ − =



123

Beregning af sandsynligheder ved hjælp af fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen Φ

Ved at approksimere en binomialfordelt stokastisk variabel med en normalfordeling kan fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen anvendes til at beregne sandsynligheder i binomialfordelingen.

Der gælder således følgende regneregler:

(265) UVM nr. (242)

(266) UVM nr. (243)

(267) UVM nr. (244)

0,5( )(1 )

a n pP X an p p

⎛ ⎞+ − ⋅≤ ≈ Φ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ −⎝ ⎠

Figur 213

Eksempel:

Vi skal finde en approksimation med en normalfordeling til fordelingen af den stokastiske variabel Der gælder altså, at n = 20, og p = 0,4. Approksimationen er således givet ved:

18 0,5 40 0, 4( 18) (0,8069) 0,79040 0, 4 (1 0,4)

P X⎛ ⎞+ − ⋅

≤ ≈ Φ = Φ =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ −⎝ ⎠

0,5( ) 1(1 )

a n pP X an p p

⎛ ⎞− − ⋅≥ ≈ −Φ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ −⎝ ⎠

Figur 214

Eksempel:

Vi skal finde sandsynligheden for, at for X ~ b(40; 0,4). Der gælder altså, at a = 18, n = 40, og p = 0,4. Således er sandsynligheden givet ved:

≥ 18X

18 0,5 40 0, 4( 18) 1 1 (0, 4841) 0,31440 0, 4 (1 0, 4)

P X⎛ ⎞− − ⋅

≥ ≈ −Φ = −Φ =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ −⎝ ⎠

Figur 215

Eksempel:

Vi skal finde sandsynligheden for, at for X ~ b(40; 0,4). Der gælder altså, at a = 13, b = 18, n = 40, og p = 0,4. Således er sandsynligheden givet ved:

18 0,5 40 0,4 13 0,5 40 0, 4(13 18)40 0,4 (1 0,4) 40 0, 4 (1 0,4)

(0,8069) ( 1,1296) 0,790 0,129 0,661

P X⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ⋅ − − ⋅

≤ ≤ ≈ Φ −Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Φ −Φ − = − =

0,5 0,5( )(1 ) (1 )

b n p a n pP a X bn p p n p p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ⋅ − − ⋅≤ ≤ ≈ Φ −Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠



124

15. Normalfordeling

15.1 Normalfordelt stokatisk variabel X

Normalfordelingen er kendetegnet ved en middelværdi μ og en standardafvigelse σ.

En normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi μ og standardafvigelse σ er en kontinuert stokastisk variabel, der tilfældigt antager en værdi på 1. aksen.

Der benyttes følgende skrivemåde om en normalfordelt stokastisk variabel:

(268) X ~ N(μ, σ) UVM nr. (245)

15.2 Standardnormalfordelt stokastisk variabel U

En stokastisk variabel U siges at være standardnormalfordelt, hvis den er normalfordelt med middelværdi 0 og standardafvigelse 1. Således er U standardnormalfordelt, hvis der gælder, at:

(269) U ~ N(0, 1) UVM nr. (246)


Danmarks største kundekontaktcenter søger flere dygtige medarbejdere tilat hjælpe os i at yde optimalt salg over telefonen.

Vi er 450 medarbejdere placeret centralt på Frederiksberg, tæt på S-tog og Metro.

RING NU!Linda: 8816 6725 - Bettina: 8816 6736eller send din ansøgning til [email protected]

Aditro Customer Services Denmark A/S • Nimbusparken 24, 3 sal • 2000 Frederiksberg • www.aditro.com

LAD DINE DRØMME GÅ I OPFYLDELSE…Vi har dit nye fritidsjob indenfor salg & kommunikationDu er:

Stærk kommunikator på danskMotiveret af konkurrenceEn engageret kollegaEn ildsjæl med godt humør

Vi tilbyder:2-5 vagter om ugen á 5 timer i tidsrummet man-tor 16-21, lør. 12-17God fast timeløn + bonusGrundig uddannelse + coaching

Klik

på

rekl

amen



125

Graf for fordelingsfunktion en Φ

Fordelingsfunktionen for en standardnormalfordelt stokastisk variabel X betegnes Φ(x), og den angiver sandsynligheden for, at den stokastiske variabel antager en værdi, der er mindre end en given værdi x.

Omvendt kan man for en given sandsynlighed a være interesseret i at fi nde den værdi ua, der opfylder, at:

(270) Φ(ua) = a UVM nr. (248)

Værdien ua kaldes for a-fraktilen for standardnormalfordelingen.

15.3 Standardisering af normalfordelt stokastisk variabel X

En normalfordelt stokastisk variabel X med middelværdi μ og standardafvigelse σ kan skrives som en lineær transformation af en standardnormalfordelt stokastisk variabel U.

Hvis U ~ N(0,1), kan X skrives som X = σ · U + μ, og der gælder således, at X ~ N(μ, σ).

Omvendt kan U skrives som , og der gælder således, at . Denne omskrivning kaldes en standardisering.

Der gælder således, at, hvis X ~ N(μ, σ), så er:

(271) UVM nr. (249)

Figur 216

f

(2)

(1)

ua

1

0,5

a F

Figur 217

Eksempel:

I standardnormalfordelingen er 0,975-fraktilen givet ved ua = 1,96. Der gælder altså, at:

Det betyder således, at sandsynligheden for, at en standardnormalfordelt stokastisk variabel X antager en værdi, der er mindre end 1,96, er 97,5%.

(1,96) 0,975Φ =

XU −μσ= (0,1)X N−μ

σ ∼

(0,1)X N−μσ ∼



126

Beregning af intervalsandsynligheder

Ved at standardisere en normalfordelt stokastisk variabel X kan fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen anvendes til at beregne intervalsandsynligheder for X.

Der gælder således følgende regneregler:

(272) UVM nr. (250)

(273) UVM nr. (251)

(274) UVM nr. (252)

Figur 218

Eksempel:

Vi skal standardisere en stokastisk variabel . Der gælder altså, at X er normalfordelt med middelværdi = 5, og standardafvigelse = 2. Således gælder der, at:

52 (0,1)X N− ∼

( ) aP X a −μ⎛ ⎞≤ = φ⎜ ⎟σ⎝ ⎠

Figur 219

Eksempel:

Vi skal finde sandsynligheden for, at for X ~ N(5,2). Der gælder altså, at a = 6, μ = 5, og s = 2. Således er sandsynligheden givet ved:

≤ 6X

12

6 5( 6) ( ) 0,69152

P X −⎛ ⎞≤ = Φ = Φ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1 aP X a −μ⎛ ⎞≥ = −Φ⎜ ⎟σ⎝ ⎠

Figur 220

Eksempel:


≥ 6X

12

6 5( 6) 1 1 ( ) 0,30852

P X −⎛ ⎞≥ = −Φ = −Φ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) b aP a X b −μ −μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ = Φ −Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Figur 221

Eksempel:


≤ ≤3 6X

12

6 5 3 5(3 6) ( ) ( 1) 0,6915 0,1587 0,53282 2

P X − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ = Φ −Φ = Φ −Φ − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠



127

15.4 Gennemsnit af n uafhængige, identisk normalfordelte stokastiske variable

Gennemsnittet af n uafhængige og identisk normalfordelte stokastiske variable betegnes . Hvis Xi ~ N(μ, σ) for i = 1, 2,..., n, så er gennemsnittet defi neret som:

(275) UVM nr. (253)

Hvis Xi ~ N(μ, σ) for i = 1, 2,..., n, så er gennemsnittet normalfordelt med middelværdi μ og standardafvigelse .

(276) UVM nr. (254)

X

X

1

1

n

ini

X X=

= ∑

Xnσ

( ),n

X N σ∼ μ

Figur 222

Eksempel:

Vi betragter 10 uafhængige stokastiske variable X1, X2,…, X10, og det antages, at Xi ~ N(4,3) for . Der gælder altså, at μ = 4, og = 3, for alle de stokastiske variable.Vi observerer nu følgende værdier for de stokastiske variable X1, X2,…, X10 og skal på baggrund af dette finde gennemsnittet og fordelingen af gennemsnittet.

Gennemsnittet er således givet ved:

Fordelingen af gennemsnittet er givet ved:

X

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 3,17 3,67 6,04 1,96 6,82 5,20 7,50 9,86 1,91 0,33

110 (3,17 3,67 6,04 1,96 6,82 5,20 7,50 9,86 1,91 0,33) 4,65X = + + + + + + + + + =

( )310

4,X N∼

σ



128

16. Konfi densinterval

16.1 Konfi densinterval for middelværdien μ i en normalfordeling med kendt varians σ2

Vi forestiller os et eksperiment, hvor observationsværdierne antages at være normalfordelte med samme ukendte middelværdi μ og kendt varians σ2.

Vi udtager nu en stikprøve bestående af n observationsværdier x1, x2,..., xn. Gennemsnittet af observationsværdierne i stikprøven betegnes og er givet ved . Lad endvidere ua/2 og u1-a/2 betegne henholdsvis -fraktilen og -fraktilen i standardnormalfordelingen.

100 · (1 - a)% - konfi densinterval for μ

På baggrund af stikprøven ønsker vi at angive et 100 · (1 - a)% - konfi densinterval for den ukendte middelværdi μ.

Konfi densintervallet er givet ved:

(277) UVM nr. (225)

X 1

1

n

ini

x x=

= ∑ 2a

2(1 )a−

1 / 2 / 2a ax u x un n−

σ σ− ⋅ < μ < − ⋅

Formelsamling til matematik Konfi densinterval


studieguide.ruc.dk

Dit s

tudie

vil b

live

præge

t af b

asiss

tudie

r,

grup

pearbe

jde og

tværfa

gligh

ed.

Klik

på

rekl

amen



129

16.2 Konfi densinterval for sandsynlighedsparameteren p i en binomialfordeling

Vi forestiller os et eksperiment, hvor observationerne antages at være binomialfordelt med ukendt sandsynlighedsparameter p. Hver observation kan således antage to mulige værdier. Den ene af disse værdier betegnes som en succes, og vi interesserer os for antallet af succeser i eksperimentet.

Vi udtager nu en stikprøve bestående af n observationer, og vi betegner antallet af succeser i stikprøven ved x. Andelen af succeser i stikprøven betegnes og er defi neret som:

(278) UVM nr. (256)

Lad endvidere ua/2 og u1-a/2 betegne henholdsvis -fraktilen og -fraktilen i standardnormalfordelingen.

100 · (1 - a)% - konfi densinterval for p

På baggrund af stikprøven ønsker vi at angive et 100 · (1 - a)% - konfi densinterval for den ukendte middelværdi p. For at kunne angive et pålideligt konfi densinterval skal der gælde, at og .

Konfi densintervallet er givet ved:

(279) UVM nr. (257)

Figur 223

Eksempel:

På en årgang, der har været til matematikprøve, udvælges 10 elevers karakterer tilfældigt. De udvalgte karakterer blev 10, 9, 8, 11, 7, 10, 6, 9, 9, 8.Af erfaring ved man, at karaktererne kan antages at være normalfordelte med ukendt middelværdi og varians 2 = 2,25.Vi skal nu finde et 95% - konfidensinterval for middelværdien μ.Gennemsnittet af stikprøven er givet ved , mens standardafvigelsen er givet ved . Endvidere gælder, at 0,025-fraktilen i standardnormalfordelingen er givet ved -1,96, mens 0,975-fraktilen i standardnormalfordelingen er givet ved 1,96.

Konfidensintervallet er således givet ved:

= 8,7xσ = =2,25 1,5

1,5 1,58,7 1,96 8,7 1,9610 10

7,770 9,630

− ⋅ < μ < + ⋅

⇔< μ <

σ

p

ˆ xpn

=

2a

2(1 )a−

ˆ 5n p⋅ ≥ ˆ(1 ) 5n p⋅ − ≥

1 / 2 / 2ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆa ap p p pp u p p u

n n−

⋅ − ⋅ −− ⋅ < < − ⋅



130

Figur 224

Eksempel:

Der udtages en stikprøve på 50 enheder fra en produktion. Der registreres 8 defekte enheder i stikprøven.Andelen af defekte enheder i stikprøven er således givet ved:

Det antages, at antallet af defekte enheder er binomialfordelt med ukendt sandsynlighedsparameter p.Vi skal nu finde et 95% - konfidensinterval for sandsynlighedsparameteren p.Der gælder, at 0,025-fraktilen i standardnormalfordelingen er givet ved -1,96, mens 0,975-fraktilen i standardnormalfordelingen er givet ved 1,96. Vi kan endvidere konstatere, at , og . Vi er derfor i stand til at opstille en pålideligt konfidensinterval for p.

Konfidensintervallet er således givet ved:

8ˆ 0,1650

p = =

⋅ = ⋅ = ≥ˆ 50 0,16 8 5n p⋅ − = ⋅ = ≥ˆ(1 ) 50 0,84 42 5n p

0,16 (1 0,16) 0,16 (1 0,16)0,16 1,96 0,16 1,9610 10

0,067 0,387

p

p

⋅ − ⋅ −− ⋅ < < + ⋅

⇔− < <



131

Stikordsregister for niveau B

Formelsamling til matematik Stikordsregister for niveau B

amortisationsformlen;14Andengradspolynomium; 28Annuitetsregning;13Annuitetsydelse;14Annuitetsydelsen;13Antal annuitetsydelser;13approksimerende førstegradspolynomium;52Arealet af en trekant;24Asymptote for polynomiumsbrøk;32basisår;10begyndelsesværdi = 1;37Begyndelsesværdi b;39Bestemmelse af b;43Binomialfordeling;69Binomialfordelt stokastisk variabel;69Binomialkoeffi cient;69brøker;7Brøkregning;7Cosinus;45Cosinus til en vinkel;22Cosinusrelationerne;24defi nitionsmængden;25Defi nitionsmængden;25Den naturlige eksponentialfunktion;37Den naturlige logaritmefunktion;35Den omvendte funktion for en eksponentialfunktion;40Deskriptiv statistik;56differentialkvotient;52Differentialregning;52Differentiation af specielle funktioner;52Diskret stokastisk variabel X;52Diskrete observationer;56Diskriminant;29diskriminanten;20Effektiv rente;12eksponent;33Eksponent a;41Eksponentialfunktion med begyndelsesværdi ≠ 1;37Eksponentialfunktion med grundtal a;37eksponentiel ligningen;40Eksponentielle funktioner;37Faktorisering af parabel;29Fakultet;69Fordoblingskonstant T2;39fraktil;58;63Frekvenserne;56Fremskrivning;11fremskrivningsfaktor a;38Fremskrivningsfaktor a;38Fremtidsværdi af en annuitet;13Funktioner;25Funktionsbegrebet;25Funktionsværdien;25fællesnævner;7førstegradspolynomium;28Gennemsnitlig procent;9

gennemsnitlige intervalmidtpunkt;61gennemsnitlige rentefod;9gennemsnittet;56Graf for cos;46Graf for harmonisk svingning;50Graf for sin;47Graf for tan;47grundtal 10;34grundtal e;34Grupperede observationer;60gældsformlen;14Halveringskonstant T½;40Harmonisk svingning;49heltalskoeffi cienter;30hovedstol;13Hyppighederne;56Hældningskoeffi cient for linie;17hændelse;65Hændelse;65Indekstal;10Intervalfrekvenserne;60Intervalmidtpunkter;60irrationale nulpunkter;30Komplementærhændelse;65kvartil;58;63ligefrem proportionale;44Ligevejet gennemsnit;9Ligning for linie;17ligningen for tangenten;52Lineær funktion;28Lineær funktion i to variable;51Linie;17liniens skærring med 2. aksen;18liniens vinkel;18Lodret asymptote;33Logaritmefunktionen med grundtal 10;34Logaritmefunktioner;34median;58;63middeltallet;56Middelværdi;70Middelværdi μ;68Monotoniintervallerne;25negativ potens;15niveaulinien;51Normalfordeling;72normalfordelingspapir;72Normalfordelt stokastisk variabel;72Nulpunkterne;29Nutidsværdi af en annuitet;13nævner;7nævnergrad;32Omvendt funktion;26omvendt proportionale;44omvendte funktion for en potensfunktion;43opsparede kapital;13opsparingsformlen;13


132

parabel;28Parabel;20Parablens skæringspunkt med andenaksen;21Parablens skæringspunkter med 1. aksen;15Pindediagram;57Polynomier;28Polynomium af grad n;30polynomiumsbrøk;32positive potens;15Potensfunktioner;41potensligningen;43Potensregneregler;15prisudvikling;10Procentregning;9proportinalitetsfaktor b;41proportional med potensfunktionen;41Proportionalitet;44pythagoras sætning;22Radianer;45radiantallet;45rationale nulpunkter;30Regneregler for differentiation;54Regneregler for sandsynligheder;65relativ tilvækst;37rentefod;9Rentefod;11;13Rentesregning;11rødderne;29Sammenhæng mellem log og ln;35Sammensat funktion;26sandsynlighedsfunktion;65Sandsynlighedsfunktion;70Sandsynlighedsregning;65sinus;45Sinus til en vinkel;22Sinusrelationerne;24Skrå asymptote;33Standardafvigelse;68Standardafvigelse σ;71Startkapital;11stigningstallet;17Stokastisk variabel;67Sumkurve;63Summerede frekvenser;58;63svingningernes størelse;49svingningsaksen;49Søjlediagram (histogram);62tangens;45Tangens til en vinkel;22Tilbageskrivning;12tomt udfald;66toppunkt;20Toppunktet;20Trappediagram;59Trigonometriske funktioner;45Trigonometriske grundligninger;48tæller;7tællergrad;32udfald;65Udfaldsrum;65udfaldsrummet;65Vandret asymptote;32Varians σ2;68;71

Vejet gennemsnit;9Vilkårlig trekant;24Værdimængden;25

Formelsamling til matematik Stikordsregister for niveau B


133

Stikordsregister for niveau A

Formelsamling til matematik Stikordsregister for niveau A

Additionsreglen; 111Afstand; 88- fra punkt til linie; 89- i planen; 88- mellem to punkter; 88Approksimation af binomialfordelt stokastisk variabel X med normalfordeling; 121Areal- af cirkel; 93- af det parallelogram, to vektorer udspænder; 82- af ellipse; 94- af trekant; 84Arealberegning; 23Asymptoter til hyperbel; 95Basisvektorer i planen; 79Bayes formel; 112- alternativ version; 113Beregning af sandsynligheder ved hjælp af fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen; 112Bestemt integral- regneregler for; 101- tilnærmelsessummer for; 106Betinget sandsynlighed; 111Binomialfordeling; 119Binomialfordelt stokastisk variabel; 119Binomialkoeffi cient; 119Cirkel; 92Delintervallængde; 106Delvis integration; 100, 102Differens mellem to vektorer; 77Differentialligninger; 108Diskret stokastisk variabel; 114Diskriminant; 91Ellipse; 94Fordelingsfunktion- af standardnormalfordelt stokastisk variabel, graf for; 112- for diskret stokastisk variabel; 114- for kontinuert stokastisk variabel; 116Gennemsnit af n uafhængige identiske normalfordelte stokastiske variable; 126Hyperbel; 95- asymptoter; 95Hændelse; 109Højresum; 106Integralregning; 98Integration- delvis; 100, 102- partiel; 100, 102- ved substitution; 101, 103Intervalsandsynligheder,- beregning af; 125Konfi densinterval; 127- for middelværdien i en normalfordeling med kendt varians; 127- for sandsynlighedsparameteren i en binomialfordeling; 127Kontinuert stokastisk variabel; 116

Koordinatsæt for vektor bestemt ved to punkter i planen; 83Kvadratisk funktion i to variable; 97Ligning- for asymptoter til hyperbel; 95- for cirkel; 92- for ellipse; 94- for hyperbel; 95- for linie; 86 - for parabel; 90Lineær transformation af stokastisk variabel; 117Linie- i planen; 86- ligning for; 86- retningsvektor for; 87Loven om den totale sandsynlighed; 113Længde- af liniestykke mellem to punkter i planen; 88- af vektor; 77- af vektor bestemt ved to punkter i planen; 77Middelværdi- af diskret stokastisk variabel; 115- for binomialfordelt stokastisk variabel; 120- regneregler for; 117Multiplikationsreglen; 111n fakultet; 119Niveaukurve; 97Normalfordeling; 123Normalfordelt stokatisk variabel; 123- middelværdi af; 123- standardafvigelse af; 123- varians af; 123Normalvektor til linie; 86Numerisk integration; 105Omkreds af cirkel; 92Parabel; 90Partiel integration; 100, 102Projektion af vektor på vektor; 81Punktsandsynlighed; 114Retningsvektor for linie; 87Sandsynlighed- betinget; 111- for en hændelse; 109- for komplementær hændelse; 110- loven om den totale; 113Sandsynligheder- regneregler for; 110- ved hjælp af fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen, beregning af; 122Sandsynlighedsfunktion; 109- for binomialfordelt stokastisk variabel; 120- for diskret stokastisk variabel; 114Sandsynlighedsregning; 109Skalarprodukt; 80Spredning; 115


134

Stamfunktion; 98- til specielle funktioner; 98Standardafvigelse- af normalfordelt stokastisk variabel; 124- diskret stokastisk variabel; 115- for binomialfordelt stokastisk variabel; 120- regneregler for; 117Standardisering af normalfordelt stokastisk variabel; 117Stokastisk variabel- binomialfordelt; 119- diskret; 114- kontinuert; 116- standardnormalfordelt; 123Stokastisk variable; 114Stokatisk variabel- normalfordelt; 123Sum af to vektorer; 78Tilnærmelsessummer for bestemt integral; 106Toppunkt for parabel; 91Trapezsum; 106Tværvektor; 82Tæthedsfunktion; 116Uafhængige hændelser; 112Ubestemt integral- regneregler for; 99Udfaldsrum; 109Varians- af binomialfordelt stokastisk variabel; 120- af diskret stokastisk variabel; 115- af normalfordelt stokatisk variabel; 123- regneregler for; 117Vektor bestemt ved to punkter i planen; 83Vektorer i planen; 76- areal af parallelogram udspændt af to; 82- differens mellem to; 79- regning med; 77- sum af to; 78- vinkelrette; 80Venstresum; 106Vinkelrette vektorer; 80

Formelsamling til matematik Stikordsregister for niveau A

download gratis bøger på ventus.dk / bookboon -...

Documents