UNITÉS ET MESURES

Dossier n°4 Juin 2005

Conçu et réalisé par :

Marie-Christine LIEFOOGHE

Bruno VANBAELINGHEM

Annie VANDERSTRAELE

Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA

AIRES

OU

SURFACES

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 1

C. D. R. UNITÉS ET MESURES

Apprentissage AGRIMEDIA Aires ou surfaces

Objectifs :

- Calculer les aires des figures géométriques usuelles à l'aide des formules

Sommaire :

- Notion d'aire et de surface

- Calculs d'aires

- Problèmes et corrections Matériel nécessaire :

- Une règle graduée

- Une calculatrice

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 2

SURFACES et AIRES Voici deux figures géométriques : Comparons-les. Elles n'ont pas la même forme : on dira que leurs SURFACES sont différentes. Pourtant elles sont composées de 6 carrés identiques : on dira qu'elles ont la même AIRE.

Définition : on appelle AIRE la mesure d'une surface Remarque : les mots "AIRE", "SURFACE" et "SUPERFICIE" sont souvent utilisés l'un

à la place de l'autre.

Chapitre 1

C'est comme moi, tout le monde m'appelle "MÉMÈRE"

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 3

Exemple : Si ce carré � représente une unité d'aire, alors la figure tracée ci-dessus a une aire de 13 unités puisqu'elle est composée de 13 carrés unités identiques.

Maintenant à vous ! Quelle est l'aire de chacune des figures suivantes ?

Voir réponses page suivante

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 4

RÉPONSES

Cette figure est composée de 21 carrés unités. Son aire est donc de 21 unités.

Cette figure est composée de 35 carrés unités. Son aire est donc de 35 unités.

Cette figure est composée de 9 carrés unités et de 5 moitiés de carrés unités. Son aire est donc : 9 + 2,5 = 11,5 soit 11,5 unités.

Très bien !

Passons à la suite.

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 5

rayon

hauteur hauteur x 2

base grande

base petite

Aire

+

=

52 x 2

4)(1 Aire =

+=

CALCULS D'AIRES

Lorsqu'il s'agit de calculer les aires de figures géométriques usuelles, telles que le carré, le rectangle, le triangle… il est plus rapide d'utiliser une formule.

Figure géométrique Formule de calcul Exemple

CARRÉ

côté

Aire = côté x côté

3

Aire = côté x côté

Aire = 3 x 3 = 9

L'aire de ce carré est : 9 unités

RECTANGLE

Longueur

Aire = Longueur x largeur

l = 2 Aire = L x l

Aire = 3 x 2 = 6

L = 3 L'aire de ce rectangle est : 6 unités

TRIANGLE

base

2

3 L'aire de ce triangle est : 3 unités

DISQUE

Aire = π x rayon x rayon

Aire = π x rayon2

Aire = π x rayon x rayon

1,2 Aire = π x 1,2 x 1,2 Aire � 4,5

L'aire de ce disque est : 4,5 unités

TRAPÈZE petite base grande base

1 2 4 L'aire de ce trapèze est : 5 unités

Chapitre 2 largeur

2

hauteur x base Aire =

hauteur

2

hauteur x base Aire =

32

2 x 3 Aire ==

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 6

Maintenant à vous ! Exercice 1 :

Calculez les aires des figures suivantes (elles ne sont pas à l'échelle) :

Figure géométrique Calcul de l'aire (ou de la surface)

13 m

27 m

rayon = 8,5 m

9,8 cm 6,1 cm

72 mm 18 mm 22 mm

Voir réponses page suivante

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 7

RÉPONSES Calculez les aires des figures suivantes (elles ne sont pas à l'échelle) :

Figure géométrique Calcul de l'aire (ou de la surface)

13 m

27 m

Aire = Longueur x largeur Aire = 27 x 13 Aire = 351

L'aire de ce rectangle est : 351 m2

rayon = 8,5 m

Aire = π x rayon x rayon

Aire = π x 8,5 x 8,5 � 227

L'aire de ce disque est : 227 m2

9,8 cm 6,1 cm

L'aire de ce triangle est : 29,89 cm2

72 mm 18 mm

22 mm

L'aire de ce trapèze est : 990 mm2

29,89 2

6,1 x 9,8Aire ==

2

hauteur x base Aire =

hauteur x 2

base grande

base petite

Aire

+

=

99022 x 2

72)(18 Aire =

+=

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 8

Exercice 2 : 1) Quelle est l'aire d'une porte rectangulaire de 2 mètres de haut et de 0,93 mètre de large ?

2) Quelle est l'aire d'une vitre carrée de 1,2 mètre de côté ? 3) Quelle est l'aire d'un massif circulaire de 3 mètres de diamètre ? 4) Quelle est l'aire d'un champ en forme de trapèze de bases 210 m et 150 m et de hauteur 75 m ?

5) Quelle est l'aire d'un panneau de signalisation triangulaire ayant 60 cm de base et 52 cm de hauteur ?

Voir réponses page suivante

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 9

RÉPONSES 1) Quelle est l'aire d'une porte rectangulaire de 2 mètres de

haut et de 0,93 mètre de large ?

L'aire de cette porte est : 2 x 0,93 = 1,86 soit 1,86 m2

L'aire de cette porte est : 1,86 m2

2) Quelle est l'aire d'une vitre carrée de 1,2 mètre de côté ?

L'aire de cette vitre est : 1,2 x 1,2 = 1,44 soit 1,44 m2

L'aire de cette vitre est : 1,44 m2

3) Quelle est l'aire d'un massif circulaire de 3 mètres de diamètre ?

Le rayon de ce massif est la moitié de son diamètre soit 1,5 m

L'aire de ce massif est :

π x 1,5 x 1,5 � 7,07 soit 7,07 m2

L'aire de ce massif est : 7,07 m2

4) Quelle est l'aire d'un champ en forme de trapèze de bases 210 m et 150 m et de

hauteur 75 m ?

L'aire de ce champ est :

L'aire de ce champ est : 13 500 m2

5) Quelle est l'aire d'un panneau de signalisation

triangulaire ayant 60 cm de base et 52 cm de hauteur ?

L'aire de ce panneau est :

L'aire de ce panneau est : 1 560 cm2

2m 500 13 soit 500 13 75 x 2

210)(150=

+

2cm 560 1 soit 560 1 2

52 x 60=

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 10

PROBLÈMES 1) Une pelouse carrée de 25 mètres de côté est traversée, en son milieu, par deux allées pavées perpendiculaires de 1,2 mètre de large (voir schéma).

Calculez l'aire de la pelouse à tondre puis l'aire des allées. 2) Un bassin circulaire de 3 mètres de rayon est entouré d'une allée en gravier de largeur 1,5 mètre. Quelle est l'aire de l'allée ?

Aide : calculer l'aire totale (bassin + allée),

ensuite calculer l'aire du bassin et enfin calculer la différence entre les deux.

Voir réponses page 12

Bassin

Allée

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 11

3) La nouvelle ligne du T.G.V. (Train à Grande Vitesse) va traverser un champ rectangulaire de 600 mètres de long sur 360 mètres de large (voir schéma). Quelle était l'aire cultivable avant la construction de la ligne ? Quelle sera l'aire cultivable après la construction de la ligne ?

15 m 195 m 4) Une porte cochère a la forme d'un carré surmonté d'un demi disque. Sa hauteur totale est 4,5 mètres et sa largeur 3 mètres (voir schéma). Sachant que chaque ouverture grillagée mesure 30 cm de diamètre, quelle est la surface à vernir ?

Voir réponses pages 13 et 14

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 12

RÉPONSES 1) Une pelouse carrée de 25 mètres de côté est traversée, en son milieu, par deux

allées pavées perpendiculaires de 1,2 mètre de large (voir schéma). Calculez l'aire de la pelouse à tondre puis l'aire des allées. Il y a plusieurs façons de résoudre cet exercice, nous vous en proposons une.

La pelouse à tondre est formée de 4 carrés égaux.

Calculons le côté d'un de ces carrés :

11,92

1,2 - 25= soit 11,9 mètres

L'aire d'un carré est : 11,9 x 11,9 = 141,61 soit 141,61 m2

L'aire de la pelouse à tondre est donc :

141,61 x 4 = 566,44 soit 566,44 m2 L'aire totale du terrain carré est : 25 x 25 = 625 soit 625 m2

L'aire des allées est donc : 625 - 566,44 = 58,56 soit

L'aire de la pelouse à tondre est 566,44 m2 et l'aire des allées est 58,56 m2

2) Un bassin circulaire de 3 mètres de rayon est entouré d'une allée en gravier de

largeur 1,5 mètre. Quelle est l'aire de l'allée ?

L'aire totale (bassin + allée) est :

π x 4,5 x 4,5 = 63,62 soit 63,62 m2 L'aire du bassin est :

3 mètres π x 3 x 3 = 28,27 soit 28,27 m2 L'aire de l'allée est donc : 63,62 - 28,27 = 35,35 soit 35,35 m2

L'aire de l'allée est 35,35 m2

58,56 m2

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 13

3) La nouvelle ligne du T.G.V. (Train à Grande Vitesse) va traverser un champ rectangulaire de 600 mètres de long sur 360 mètres de large (voir schéma). Quelle était l'aire cultivable avant la construction de la ligne ? Quelle sera l'aire cultivable après la construction de la ligne ?

Hauteur du triangle 15 m 195 m Hauteur du trapèze � Avant la construction de la ligne TGV, l'aire cultivable était l'aire du rectangle.

Soit : 600 x 360 = 216 000 ou encore : 216 000 m2

� Après la construction de la ligne TGV, le terrain cultivable est formé d'un triangle et

d'un trapèze.

Les dimensions du triangle sont : � base = 360 - 15 - 195 soit 150 m � hauteur = 600 m L'aire de ce triangle est : soit : 45 000 m2

Les dimensions du trapèze sont : � petite base = 195 m � grande base = 360 - 15 soit 345 m � hauteur = 600 m L'aire de ce trapèze est : soit : 162 000 m2

� Après la construction de la ligne TGV, l'aire cultivable sera :

45 000 + 162 000 = 207 000 soit 207 000 m2

Avant la construction de la ligne TGV, l'aire cultivable était : 216 000 m2

Après la construction de cette ligne, l'aire cultivable devient : 207 000 m2

000 45 2

600 x 150=

( ) 000 162 600 x

2

345 195=

+

base Triangle

Trapèze

UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n° 4 14

4) Une porte cochère a la forme d'un carré surmonté d'un demi disque. Sa hauteur totale est 4,5 mètres et sa largeur 3 mètres (voir schéma). Sachant que chaque ouverture grillagée mesure 30 cm de diamètre, quelle est la surface à vernir ?

1,5 m 30 cm

3 m 3 m � L'aire du carré est : 3 x 3 = 9 soit 9 m2 � Le rayon du demi disque est : 4,5 - 3 = 1,5 soit 1,5 m

L'aire du demi disque est : soit 3,53 m2 � Le rayon de chaque ouverture grillagée est : 15 cm soit 0,15 m

L'aire d'une ouverture grillagée est : π x 0,15 x 0,15 = 0,07 soit 0,07 m2 La surface à vernir est : 9 + 3,53 - (2 x 0,07) = 12,39 soit 12,39 m2

La surface à vernir est 12,39 m2

Fin

3,532

1,5 x 1,5 x =

π