P

rof.

Salo

món

Chi

ng

mat

hsalo

mon

.blo

gspo

t.com

• DEMOSTRACION

REGLAS QUE

PUEDEN USARSE

EN UNA •

DEMOSTRACION

•

Lógica de proposiciones 21

lleva a la conclusión a obtenidas sucesivamente

inferencia se le llama deducción o , . J'l / .' ,-

pasos.

El proceso de demostración puede facilitarse aplicando, si es necesario, alguna de las normas que se indican a continuación.

Resultado 1.3

1. Una premisa se puede introducir en cualquier paso de una deduc-. /

CJOn.

2. Cada vez que se obtiene una conclusión lógicamente válida de varias premisas, puede ser usada a continuación junto con otras premisas o conclusiones válidas para obtener una nueva conclusión.

3. Una premisa o conclusión válida obtenida puede ser sustituida por otra proposición lógicamente equivalente, es decir, por otra proposi­ción con la cual coincida en sus valores de verdad.

EJEMPLO l. 24 Se trata de analizar el siguiente razonamiento:

"Si José ganó la carrera entonces Pedro fue el segundo o Ramón fue el segundo. Si Pedro fue el segundo, entonces José no ganó la carrera. Si Carlos fue el segundo entonces Ramón no fue el segundo. José ganó la carrera. Luego Carlos no fue el segundo."

Comenzamos considerando las proposiciones siguientes:

p: "José ganó la carrera" r: "Ramón fue el segundo"

q: "Pedro fue el segundo" s: "Carlos fue el segundo"

El razonamiento dado puede escribirse, en forma esquemática, de la manera siguiente:

p ----> (q V r) "Si José ganó la carrera entonces Pedro fue el segundo o Ramón fue el segundo"

q ----> -'p "Si Pedro fue el segundo, entonces José no ganó la carrera" s ----> -,r "Si Carlos fue el segundo entonces Ramón no fue el segundo" p "José ganó la carrera"

• "Carlos no fue el segundo" • • -,s

Se pretende saber si la conclusión se deduce lógicamente de las premisas. Para ello, mediante la aplicación de las reglas de inferencia junto con las normas que expresa­mos anteriormente, trataremos de encontrar una serie de premisas (o conclusiones) intennedias que constituyan un camino lógico que nos conduzca a la conclusión. Es­te camino será la demostración de que el razonamiento es lógicamente válido. Como norma práctica, es conveniente numerar las proposiciones y anotar, cuando son con­clusiones, de qué proposiciones proceden y en virtud de qué reglas.

, 22 UNIDAD DIDACTICA 1 Fundamentos

(1) P --+ (qVr) (2) q --+ -'p (3) s --+ -,r

(4) p (5) -,-,p

(6) -'q

(7) qV r

(8) r

Premisa 1. Premisa 2. Premisa 3. Premisa 4. Aplicación de la regla 3, ya que es lógicamente equi­valente a la proposición (4). Se sigue de las proposiciones (2) y (5) por aplicación de Modus tollendo tollens y de la regla 2. Se sigue de las proposiciones (l) y (4) por aplicación del Modus ponendo ponens. Se sigue de las proposiciones (6) y (7) por aplicación del Modus tollendo ponens y de la regla 2. Se sigue de las proposiciones (3) y (8) por aplicación del Modus tollendo tollens y de la regla 2.

Por lo tanto, el razonamiento es válido. Como puede apreciarse, una deducción con­siste en una cadena de proposiciones que se siguen de las premisas por el hecho de

- Ser equivalentes o por la aplicación de alguna regla de inferencia. Cada proposición intennedia es un "paso" de la demostración. En ocasiones, no es sencillo averiguar cuál es el mejor camino desde las premisas a la conclusión. Una demostración con po­cos pasos puede ser calificada de ocurrente o brillante, mientras que una demostración con muchos pasos puede ser tachada de farragosa. Pero, si son correctas desde el pun­to de vista lógico, ambas son demostraciones y prueban la validez del razonamiento .

EJEMPLO 1.25 Para analizar la validez o no del razonamiento:

"Si Juan es más alto que Pedro, entonces María es más baja que Alicia; María no es más baja que Alicia; si Juan y Luis tienen la misma estatura, entonces Juan es más alto que Pedro; luego Juan y Luis no tienen la misma estatura".

se consideran las proposiciones p, q y r dadas por:

p "Juan es más alto que Pedro" q "María es más baja que Alicia" r "Juan y Luis tienen la misma estatura"

Ahora, con símbolos, el razonamiento se escribe:

p--+q

-,q r --+ p

• • •

"Si Juan es más alto que Pedro" entonces María es más baja que Alicia"

"María no es más baja que Alicia" "Si Juan y Luis tienen la misma estatura entonces Juan es más alto que Pedro"

"Juan y Luis no tienen la misma estatura"

Una deducción que muestra su validez es la siguiente:

(1) p--+q (2) -'q (3) r--+p (4) -'p se sigue de (1) y (2), Modus tollendo tollens (5) -,r se sigue de (3) y (4), Modus tollendo tollens

•

•