N◦d'ordre : 3280 THÈSEprésentée àL'UNIVERSITÉ BORDEAUX IÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUEpar Frédéri Fer haudPOUR OBTENIR LE GRADE DEDOCTEURSPÉCIALITÉ : InformatiqueÉtude des Zones d'Absorption pourla Gestion de Flux du Tra� AérienSoutenue le : 8 Dé embre 2006Après avis de :MM. Alexandre d'Aspremont . . Professeur Assistant RapporteurNi olas Durand . . . . . . . . . . Dire teur de Re her he RapporteurDevant la ommission d'examen formée de :MM. Patri k Bellot . . . . . . . . . . . Professeur PrésidentRi hard Castanet . . . . . . . . Professeur Co-Dire teurVu Duong . . . . . . . . . . . . . . . . Professeur Co-Dire teurNi olas Durand . . . . . . . . . . Dire teur de Re her he RapporteurCyril Gavoille . . . . . . . . . . . Professeur SuperviseurMohamed Mosbah . . . . . . . . Professeur Superviseur� 2006 �

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Étude des Zones d'Absorption pour laGestion de Flux du Tra� Aérien Frédéri Fer haud

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Remer iementsLa thèse étant un aboutissement d'une période d'au moins trois ans d'études, regrouperet remer ier toutes les personnes qui m'ont en adré, soutenu ou en ore divertit se révèlesouvent être une énumération exhaustive dont peu de personnes arrivent au bout, à moinsd'être itée (et en ore), sans ompter eux qui auraient été oubliés par mégarde, et euxqui n'auraient pas voulu être ités (ça peut arriver !).A�n d'être sur de n'oublier personne je ommen erais par la manière la plus sobre etla plus expéditive :"Je tiens à remer ier toutes les personnes qui m'ont entourées pendant ses trois der-nières années et qui se re onnaîtront".Puis plus parti ulièrement :Les étudiants d'EUROCONTROL, Martin pour son extrème générosité, Claus pourses onversations, et qui me �t la remarque suivante après ma soutenan e : reste propre !Konrad et Agata, toujours de bonne humeur, Daniel pour qui seuls les hongrois omptent(et une slovaque parlant hongrois), Nabil pour son intelligen e et sa ulture générale, Ellaet ses voitures françaises, Antonia la polyglotte, Peter et Suzanne qui me �rent dé ouvrir laSlovaquie, Magnus et Stephen pour leurs midsummer party, la Vietnaming Team : Dung,Thong, Ha et Huy, Moni a et son amour de Berlus oni, So�ane, Devan, Vin ent et tousles autres ave qui j'ai eu des dis ussions intéressantes tant au point de vue du travail quesur d'autres sujets.Ceux qui m'ont en adré pendant es trois années, aussi fru tueuses que frustrantes. MMGavoille et Mosbah qui m'ont laissé omme un éle tron libre travailler à EUROCONTROL,et dont nos entrevues onsistaient une fois sur deux à me dire que je ne pouvais pas faireça... Mes dire teurs de thèse bien sûr, MM Duong et Castanet qui me �rent on�an e.Alexandre d'Aspremont pour son a ueil à l'université de Prin eton, les parties desquash et les quelques restaurants... ah oui, et pour le travail a ompli.Mar Bui pour son soutien lors de nos weekly report.Les personnes ren ontrées lors des di�érentes onféren es, en parti uliers RIVF 2005et INFORMS 2006.L'équipe INO aussi. Martina se rétaire toujours disponible malgré son emploi du tempssur hargé, Horst et son vin haud, les di�érents Mar ...Mes pro hes qui n'ont pas toujours ompris e que je faisais mais qui m'ont tousen ouragé à leur manière. Mes amis d'enfan e qui ont bien su m'aérer la tête, peut-être unpeu trop ? Anthony, Bertrand, Fran k, Julien, Xavier. Ceux ren ontrés un peu plus tardsur la route (Laurent, JC, Christophe).Mes parents sans qui rien de tout ça n'aurait été possible...Et pour �nir (Last but not Least) ma véritable passion, Marie-Anne, et Adna e petitêtre qui me ré onforte tant quand je la vois. i

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Étude des Zones d'Absorption pour la Gestion de Flux du Tra� AérienRésumé : L'espa e aérien est onstitué de se teurs ayant une apa ité propre. L'allo ationde réneaux onsiste à garantir que la demande de tra� ne dépassera pas ette apa ité.On peut voir les se teurs omme les sommets d'un graphe dont on doit optimiser les �ux.Cette optimisation doit se faire en prenant en ompte l'in ertitude liée au tra� aérien.Cette in ertitude, prin ipalement due aux fa teurs humains (les pilotes, ontr�leurs et pas-sagers), météorologiques, et te hniques (défaillan e te hnique au moment du dé ollage...),perturbe l'allo ation de réneaux de passage dans les se teurs des aéronefs, engendre desretards oûteux et peut engendrer un non respe t de la sûreté du système.En e�et ette in ertitude n'est pas prise en ompte par l'allo ation de réneaux a tuelle.Les ontr�leurs se protégent en dé larant des sous- apa ités pour faire fa e aux sur hargesde tra� aérien.Le tra� aérien étant en roissan e onstante, il faut trouver un algorithme d'a�e tationqui améliore la gestion des apa ités disponibles tout en respe tant les ontraintes du tra� aérien. Ce que nous avons fait en in orporant dans ette allo ation des zones d'absorption.Il s'agit de réneaux non alloués dont le but est de traiter les aéronefs n'ayant pas prisleurs réneaux, a�n qu'ils ne perturbent plus le reste du planning.Les zones d'absorption peuvent être in orporées naturellement grâ e à la di�éren eentre la apa ité dé larée et la apa ité réelle. On entralise ette information et on garantitle respe t des apa ités des se teurs aux ontr�leurs.Dans ette thèse on a développé un modèle théorique montrant le double intérêt d'uti-liser des zones d'absorption au niveau d'un se teur :� elles permettent de garantir que les apa ités sont respe tées sans perturber le plan-ning, et que tous les aéronefs alloués pendant la période régulée passeront dans ettepériode,� elles permettent d'augmenter le taux d'utilisation des réneaux.Puis pour montrer l'intérêt d'utiliser des zones d'absorption en onsidérant des relationsspatio-temporelles (plusieurs se teurs), un simulateur de vol en route a été développé.Il nous a permis d'obtenir le même type de résultats tout en relevant la omplexité de lasolution à trouver, et l'intérêt d'étudier les zones d'absorption, même en as de hangementde la stru ture du système de gestion du tra� aérien.Mots- lef : ombinatoire, algorithmique, graphes, optimisation, Cherno�, probabilités,gestion de ressour es.Dis iplines : Informatique, gestion du tra� aérien.

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Analysis of Absorption Areas in Air Tra� Flow ManagementAbstra t : The airspa e onsists of geographi al regions, alled se tors. Ea h of them hasa apa ity. Slot allo ation assigns departure slots to air raft in order to guarantee that these tor apa ities are never ex eeded.One an see the se tors as the verti es of a graph on whi h the �ows have to beoptimised. This optimisation has to take into a ount un ertainties that a�e t the system'airspa e'. They are due to human- (pilots, ontrollers, passengers), meteorologi al- orte hni al (ma hine breakdown et ..) fa tors and disturb the s heduled slots. This leads todelays and impedes the high safety requirements of the system.In the urrent slot allo ation pro edure, un ertainties are not taken into a ount.Controllers prote t themselves by under-de laring se tor apa ities. But still, apa itiesare ex eeded.In the ontext of steady growth of air tra� , an algorithm has to be found that improvesthe allo ation of the available apa ities while respe ting the operational onstraints. Forthis we propose the on ept of "absorption slots".These are departure slots that are left unallo ated. Air raft who missed their slot anthen be re-s heduled without disturbing the remaining s hedule.In this thesis we developed a theoreti al model to show that absorption slots in onese tor guarantee with high probability :� that the apa ities are respe ted without disturbing the s hedule� that air raft will be re-s heduled during the same planning horizon� that the exploitation rate of departure slots an be in reasedWe also developed a simulator to generalize the above results to a network of se tors.This strengthens the interest in studying absorption slots, even when the stru ture of the urrent air tra� management hanges.Keywords : ombinatori , algorithmi , graphs, optimisation, Cherno�, probability, res-sour es management.Field : Computer S ien e, Air Tra� Management

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Table des matièresRésumé / Abstra t iiiTable des �gures viiListe des tableaux ixNotations xiGlossaire xiiiIntrodu tion 11 Contexte et Dé�nitions 51.1 Gestion du Tra� Aérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 La Gestion de Flux du Tra� Aérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Allo ation de Créneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Sûreté et Ressour es Disponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 État de l'Art et Travaux Asso iés 172.1 Solutions Mises en Oeuvre au Sein de l'ATFM . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Projets en Rapport ave l'ATM en Général . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 L'in ertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Travaux Asso iés à la Gestion de l'In ertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Méthodologie et Modélisation 373.1 Appro hes Possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Niveau de l'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Utilisation de la Théorie des Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Notion de Zone d'Absorption (ZA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6 Le Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Résultats Théoriques 534.1 Re her he de la Taille Optimale des Zones d'Absorption . . . . . . . . . . . 534.2 Temps de Réallo ation des Ressour es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Taux d'O upation des Ressour es en Fon tion du Temps de Réallo ation . 694.4 Distribution des Zones d'Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5 Prise en Compte de la Réutilisation des Ressour es . . . . . . . . . . . . . . 774.6 Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 v

Table des matières4.7 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895 Modèle Expérimental 915.1 Représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 Le Modèle de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.3 Hypothèses et Stratégie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4 Propriétés du Modèle de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.5 Résultats ave le Modèle de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.6 Le Modèle Avan é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.7 Mise en Pla e d'une Zone d'Absorption en Continue . . . . . . . . . . . . . 1065.8 Mise en Pla e d'une Zone d'Absorption Temporelle . . . . . . . . . . . . . . 112Con lusion et Perspe tives 117Bibliographie 121

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Table des �gures1.1 Se torisation de l'espa e supérieur aérien français. . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1 Tra� plani�é et réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1 Représentation graphique de q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Dé omposition du PAR, haque numéro orrespond à un s énario di�érent. . . 514.1 Stratégie adoptée pour trouver la taille optimale des zones d'absorption. . . . . 534.2 Cas où les zones d'absorption sont trop grandes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Cas où les zones d'absorption sont trop petites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4 Utilisation des ressour es en fon tion de z pour p = 75%. . . . . . . . . . . . . 564.5 Représentation graphique de q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.6 Utilisation des ressour es en fon tion de z pour p = 75% et di�érents q. . . . . 604.7 Utilisation des ressour es en fon tion de z pour p = 75% et q = 90%. . . . . . . 614.8 Taux d'o upation des ressour es en fon tion de p et δ. . . . . . . . . . . . . . . 644.9 Taux d'o upation des ressour es en fon tion de p pour q = 0.5. . . . . . . . . . 664.10 Taux d'o upation des ressour es en fon tion du débit pour p = 75%. . . . . . . 704.11 Taux d'o upation des ressour es en fon tion du débit et p. . . . . . . . . . . . 714.12 Distribution des zones d'absorption pendant l'allo ation de ressour es. . . . . . 724.13 Dé�nition des variables pour la distribution des zones d'absorption. . . . . . . . 724.14 Distribution du nombre d'aéronefs à réallouer, ave z < E(Xi). . . . . . . . . . 734.15 Distribution du nombre d'aéronefs à réallouer, ave z ≃ E(Xi). . . . . . . . . . 744.16 Distribution du nombre d'aéronefs à réallouer, ave z donné par Cherno�. . . . 754.17 Utilisation des ressour es en fon tion de la taille des sous-périodes et p. . . . . 764.18 Retard moyen en fon tion de la taille des sous-périodes et p. . . . . . . . . . . . 764.19 Retard moyen en fon tion du taux d'utilisation des ressour es et p. . . . . . . . 774.20 Dé omposition des évènements possibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.21 Retard total moyen en fon tion de p pour q �xé. . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.22 Retard total moyen en fon tion de q pour p �xé. . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.23 Déploiement des premières valeurs de Di et Fi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.24 Nombre d'é he s obtenus par simulation en fon tion de p et q. . . . . . . . . . . 864.25 Distribution du retard total obtenu par simulation en fon tion de q. . . . . . . 874.26 Distribution du retard total obtenu par simulation, n = 100, p = 90%. . . . . . 884.27 Distribution des retards obtenu par simulation pour r = 100, p = 90%. . . . . . 884.28 Distribution des retards obtenu par simulation pour r = 75, p = 75%. . . . . . 895.1 Exemple de graphe généré à partir d'une zone re ouverte par une grille 3× 3. . 925.2 Exemple de zone du modèle de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3 Relation longueur de routes-nombre d'aéronefs sur un se teur. . . . . . . . . . . 99 vii

Table des �gures5.4 Débit moyen pour le modèle de base sans in ertitude. . . . . . . . . . . . . . . 1025.5 Regroupement des ases en "diamant". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.6 Zone obtenue pour le modèle avan ée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.7 Débit moyen maximal (0% d'aléas) selon les zones d'absorption. . . . . . . . . . 1055.8 Représentation de la somme des retards en fon tion des zones d'absorption. . . 1105.9 Représentation de la somme des retards en fon tion du débit moyen. . . . . . . 110

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Liste des tableaux1.1 Les di�érentes lasses de l'espa e aérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.1 χ2 sur la zone 1 ave un degré de liberté de 55. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2 χ2 sur la zone 1 ave un degré de liberté de 86. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3 χ2 sur la zone de la �gure 5.2 ave un degré de liberté de 84. . . . . . . . . . . 1005.4 Distribution des retards dans le modèle de base sans zone d'absorption. . . . . 1015.5 Distribution des retards pour une stratégie en 14 − 15. . . . . . . . . . . . . . . 1015.6 Distribution des retards pour un taux d'aléas de 10%. . . . . . . . . . . . . . . 1055.7 Distribution des retards selon le taux d'aléas en 15− 15. . . . . . . . . . . . . . 1065.8 Distribution des retards selon le taux d'aléas en 14− 15. . . . . . . . . . . . . . 1075.9 Distribution des retards selon le taux d'aléas en 13− 15. . . . . . . . . . . . . . 1085.10 Distribution des retards selon le taux d'aléas en 12− 15. . . . . . . . . . . . . . 1085.11 Résumé des stratégies à hoisir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.12 Distribution des retards selon le taux d'aléas en 14− 15 temporelle. . . . . . . 1125.13 Distribution des retards selon le taux d'in ertitude. . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.14 Distribution des retards en 14− 15 temporelle et périodes de 30 minutes. . . . 114

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NotationsProbabilités et Variables aléatoires

p probabilité de prise d'une ressour eq probabilité de réutilisation d'une ressour eXi v.a. donnant un état de la ième ressour e : prise (= 0) ou non (= 1)Yi v.a. donnant un état de la ième ressour e : réutilisable (= 0) ou non (= 1)T v.a. donnant le nombre de ressour es prisA v.a. donnant le nombre d'aéronefs ayant pris leur ressour e allouéeB v.a. donnant le nombre d'aéronefs ayant pris une ressour e réutilisableC v.a. donnant le nombre d'aéronefs réalloués dans une zone d'absorptionE(X) espéran e de la v.a. XTalgo(n) v.a. donnant le taux d'utilisation des ressour es pour n ressour esdisponibles ave l'algorithme algoS1(r, p) v.a. donnant le nombre d'aéronef ayant pris leurs ressour es sa hant que

r ont été alloués ave une probabilité p de prise de ressour esS2(r, p, q) v.a. donnant le nombre d'aéronef ayant pris leurs ressour es sa hant que

r ont été alloués ave une probabilité p de prise de ressour es etq le taux de réutilisation des ressour es

A1(r, p) v.a. donnant le nombre d'aéronefs ne prenant pas leur ressour e sur ralloués ave une probabilité p de prise de ressour esA2(r, p, ) v.a. donnant le nombre d'aéronefs ne prenant pas leur ressour e sur ralloués ave une probabilité p de prise de ressour es et q le taux deréutilisation des ressour esxi(a) v.a. donnant la position du ième aéronef ne prenant pas sa ressour e sa hantque a aéronefs n'ont pas pris leur ressour edi(a) v.a. donnant le retard (en nombre de ressour es) appliqué sur le ième aéronefn'ayant pas pris sa ressour e pour être réalloué dans une zone d'absorptionsa hant qu'il y a a aéronefs retardésdi v.a. donnant le retard moyen du ième aéronef réallouéd v.a. donnant le temps de réallo ation de tous les aéronefsUj v.a. donnant le nombre d'aéronefs à réallouer avant la jème sériede zone d'absorptionai représente l'évènement se produisant : 0 la ressour e est prise

1 la ressour e n'est pas prise et est réutilisable2 la ressour e n'est pas prise et n'est pas réutilisable

Dj,aiv.a. donnant le retard total pour un mot de longueur j sa hant queXj = ai, ai ∈ {0, 1, 2} xi

NotationsDj v.a. donnant le retard total d'un mot de longueur jFj,ai

v.a. donnant le nombre d'aéronefs à réallouer pour un mot de longueur jsa hant que Xj = ai, ai ∈ {0, 1, 2}Fj v.a. donnant le nomnre d'aéronefs à réallouer d'un mot de longueur jEnsembles de nombresN l'ensemble des entiers naturels positifsZ l'ensemble des entiers naturels relatifsA l'ensemble des positions des ressour es allouéesAi l'ensemble des positions des ressour es allouées à partir du ième aéronefParamètresn nombre de ressour es disponiblesr nombre de ressour es allouées ou nombre d'aéronefsrj nombre de ressour es allouées dans la sous-période jz nombre de ressour es laissées en zones d'absorptionzj nombre de ressour es laissées en zones d'absorption dans la sous période j

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GlossaireACC Air Tra� Control CenterAFIS Aerodrome Flight Information Servi eANM ATFCM Noti� ation MessageANSP Air Navigation Servi e ProviderATC Air Tra� ControlATFCM Air Tra� Flow and Capa ity ManagementATFM Air Tra� Flow ManagementATM Air Tra� ManagementBFGS Broyden Flet her Goldfarb Shanno methodCASA Computer Assisted Slot Allo ationCDM Collaborative De ision MakingCENA Centre d'Études de la Navigation AérienneCFMU Central Flow Management UnitCRNA Centre Régionaux de la Navigation AérienneENAC É ole Nationale de l'Aviation CivileEOBT Estimated O� Blo k TimeETFMS Enhan ed Ta ti al Flow Management SystemIFR Instrumental Flight RulesFAA Federal Aviation AdministrationFIFO First In First OutFIS Flight Information Servi eFMP Flight Management PositionINRETS Institut National de Re her he sur les Transports et leur Sé uritéLIFO Last In First OutLOG Laboratoire d'Optimisation GlobaleOACI Organisation de l'Aviation Civile InternationalePERT Program Evaluation and Resear h Task (ou Review Te hniques)SESAR Single European Sky ATM Resear hSIRO Servi e In Random OrderSIV Servi e d'Information en VolVFR Visual Flight Rules

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À Marie-Anne, sa mère et notre �lle.

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Introdu tionProblèmatiqueLa nature sto hastique du tra� aérien provient prin ipalement de l'in ertitude asso iéeaux aléas des vols opérationnels. Les onditions météorologiques, l'attente de passagers enretard, les problèmes te hniques au moment du dé ollage, dé isions des pilotes et des ontr�leurs... sont des exemples d'aléas. Ceux- i perturbent le planning initial prévu parla CFMU1 ave pour onséquen es des retards propagés sur les di�érents se teurs régulés.Le but est d'introduire des zones d'absorption qui o� ieront omme des absorbeurs pour ontrer ette in ertitude.Une zone d'absorption est dé�nie omme un ensemble de réneaux laissés libres pendantl'allo ation de réneaux. Ces réneaux étant hargés de traiter les aéronefs ne prenant pas elui qui leur est a�e té.On onsidère qu'on peut améliorer d'environ 10% la gestion a tuelle du tra� , e n'estpas énorme et implique qu'un nouveau système de gestion sera implémenté dans le futurpour faire fâ e à la roissan e du tra� aérien. On prend en onsidération ette évolutionfuture en raisonnant en gestion de ressour es (une ressour e = un réneau).En e�et, il y aura toujours des aéronefs à ontr�ler dans un espa e aérien de taille�ni, le nombre de ressour es sera toujours limité par ette taille et les séparations entreaéronefs à assurer. De plus, le système sera toujours soumis à de l'in ertitude de par sanature. Pour le rendre omplètement déterministe, il faudrait :� enlever les fa teurs humains de ontr�le (les pilotes et les ontr�leurs) a�n d'êtredans un système totalement automatisé,� enlever l'in ertitude des onditions météorologiques,� que les passagers soient à l'heure,� qu'il n'y ait plus de problèmes te hniques,� ...Quel que soit le futur système de gestion du tra� aérien, il devra toujours faire fa eà un problème de gestion de ressour es devant e�e tuer des tâ hes dont l'heure d'arrivéen'est pas totalement ertaine. Dans ette thèse, on prend en ompte l'in ertitude en latraitant grâ e aux zones d'absorption, et on démontre l'intérêt d'in orporer e on eptdans le futur système de gestion du tra� aérien.ContexteLe projet SESAR2 [CE06℄, qui vient de ompléter sa première phase de développementdonne l'état a tuel du tra� aérien, relève les problèmes auxquels on doit faire fa e et1Central Flow Management Unit2Single European Sky ATM Resear h 1

Introdu tionles études à mener. SESAR est un groupe de travail européen hargé d'élaborer le futursystème de ontr�le du tra� aérien en Europe. Son but étant de tripler la apa ité, diviserpar deux les oût et dé upler la sûreté d'i i à 2020.Le oût de l'ine� a ité de e ontr�le est hi�ré à 4.4 milliards d'euros en 2005, soit un oût deux fois supérieur au ontr�le nord améri ain, et une e� a ité à a roître fortement.Les auses d'après e rapport sont dues à l'extrème fragmentation du système a tuel,et la di� ulté de mettre en relations toutes es entités. L'utilisation de la théorie desgraphes peut permettre de simpli�er le système a tuel en onsidérant les se teurs ommeles sommets, et les relations spatio-temporelles omme les arêtes. Un tel graphe seraitévolutif [Fer℄ [XFAJ℄ a�n de pouvoir onsidérer que es propriétés hangent dans le temps.L'in ertitude orrespond à l'in apa ité de prévoir ertains évènements. Elle est né essai-rement prise en ompte dans les systèmes réels, ar on ne peut être sur que les évènementsse produiront omme prévu. Elle est onnue dans le tra� aérien mais ni quanti�ée ni priseen ompte, e qui réduit l'e� a ité du système en pla e.Plan de la ThèseContexte et Dé�nitions Dans e premier hapitre on revient sur le système de gestiondu ontr�le aérien ; omment il est ordonné et géré. Il présente les di�érents a teurs quile gèrent et l'utilisent, ainsi que le système dans sa globalité. On insiste un peu plus surl'allo ation de réneaux dite en-route �allo ation que l'on veut améliorer dans ette thèse�et la sûreté du système. On présente aussi la notion de apa ité et e à quoi elle orrespond.État de l'Art et Travaux Asso iés Le deuxième hapitre donne un état de l'art destravaux asso iés à notre étude. D'abord au niveau de la gestion du tra� aérien, puis auniveau de l'in ertitude. Ce qui permet d'avoir une idée du type de solution à adopterpour prendre en ompte la gestion de l'in ertitude dans l'allo ation de réneaux, tout enl'améliorant.Méthodologie et Modélisation Ensuite, le troisième hapitre présente la modélisationdu modèle théorique, un modèle probabiliste, et la méthodologie utilisée.Les prin ipales ontraintes à prendre en onsidération outre les relations de voisinagese torielles, sont :� le taux d'utilisation des ressour es disponibles,� le temps de réallo ation des aéronefs retardés,� le temps d'allo ation du planning initial,� le respe t de la apa ité,� la possibilité de réutilisation de ressour es lorsqu'un aéronef ne peut prendre ellequi lui était a�e tée...On onsidère aussi que :� ertaines ressour es peuvent être réutilisées,� le taux d'in ertitude n'est pas onnue.Il s'agit de donner les diverses appro hes et niveaux d'études possibles, expliquer l'in- orporation de la théorie des graphes et de la théorie des probabilités pour développer lemodèle. Une partie de ette méthodologie a été présentée dans [FDGM04a℄.Résultats Théoriques Dans e hapitre, on présente les ontributions de ette thèse2

Introdu tionOn a ommen é par résoudre les as les plus simple, i.e. en onsidérant un seul se teursans prise en ompte du temps de réallo ation de réneaux dans un premier temps. On om-pare les résultats obtenus ave zones d'absorption et les algorithmes en pla e (CASA) sousles mêmes hypothèses a�n de montrer l'utilité des zones d'absorption, résultats présentésdans [DFGM04℄.On a ensuite onsidéré la robustesse du système. Si les résultats obtenus donne uneapproximation en moyenne, ela n'est pas su�sant, ar la distribution peut être uniformeou de Poisson..., et les interprétations sont di�érentes. Il faut proposer des solutions quigarantissent que dans la grande majorité des as les résultats obtenus sont valides. Laborne de Cherno� a été utilisée pour ela [Fer05a℄, [Fer04℄.Ensuite on a pris en ompte le temps de réallo ation des réneaux a�n de trouver lameilleure distribution des zones d'absorption [Fer05b℄. En distribuant les zones d'absorp-tion, on arrive à réduire sensiblement les retards sans pour autant réduire de beau oup lenombre de réneaux utilisés [Fd06b℄.Un début d'optimisation à été fait sur l'allo ation des zones d'absorption et sera pré-senté à INFORMS 2006 et les résultats prin ipaux de ette thèse font le sujet d'un arti lesoumis au journal ITS [Fd06a℄.Modèle Expérimental Le hapitre 5 présente un modèle expérimental qui permet deprendre en onsidération les relations spatio-temporelles et montre là aussi l'intéret deszones d'absorption. On ommen e par présenter le développement du modèle expérimentalet son évolution a�n de pouvoir l'utiliser. Puis on a appliqué des zones d'absorption demanière ontinue donnant de bons résultatsConféren es, Workshop et Journal Cette thèse présente des résultats qui ont étéa eptés aux onféren es suivantes :� International Conferen e in Intelligent Transportation System, o tobre 2004, Wa-shington DC, USA [DFGM04℄.� 23rd International Conferen e in Digital Avioni s System, o tobre 2004, Salt LakeCity, USA [FDGM04a℄.� 1st International Conferen e in Resear h and Air Transportation, 2004, Zillina, Slo-vaquie [Fer04℄.� 3rd International Conferen e in Resear h, Innovation and Vision For the Future,Février 2005, Can Tho, Vietnam [Fer05a℄.� Workshop ave é ole intégrée sur les Méthodologies et Heuristiques pour l'Optimi-sation des Systèmes Industriels, avril 2005, Hammamet, Tunisie [Fer05b℄.� 4th International Conferen e in Resear h, Innovation and Vision For the Future,Février 2006, Ho Chi Minh [Fd06b℄.� the Institute for Operations Resear h and the Management S ien es annual Meeting,Novembre 2006, Pittsburgh, USA.� Soumission au journal ITS [Fd06a℄.3

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Chapitre 1Contexte et Dé�nitionsLe tra� aérien subit une roissan e annuelle importante. [Mar06℄ donne une approxi-mation d'une roissan e annuelle de 3.7% sur les six pro haines années. Le tra� aérienarrive dans une phase qui est pro he de la saturation. Une faible augmentation du volumede tra� implique de fortes variations sur les retards [Com05℄ [Com06℄. En 2000, le oûtdes retards a été estimé entre 7 et 11 milliards d'euros, dont 60% dire tement liés à l'ATC1(le ontr�le aérien) [dta00℄.1.1 Gestion du Tra� AérienL'Air Tra� Management (ATM), i.e. le ontr�le aérien doit assurer l'exé ution sûre,rapide et e� a e des vols. Il fournit aux aéronefs un ensemble de servi es [SIA℄ :� le servi e de ontr�le de la ir ulation aérienne prévient les ollisions entre les aéronefset le sol ou les véhi ules d'une part, et les abordages entre aéronefs d'autre part. Il onsiste aussi à optimiser et à ordonner la ir ulation aérienne.� le servi e d'information de vol fournit les avis et renseignements utiles à l'exé utionsûre et e� a e du vol : informations météorologiques, informations sur l'état desmoyens au sol de navigation, informations sur le tra� (quand le servi e de ontr�len'est pas assuré sur ette zone).� le servi e d'alerte prévient les organismes de se ours et de sauvetage appropriéslorsque les aéronefs ont besoin d'aide ; il prête à es organismes le on ours né essaire.Pour assurer es servi es, un organisme de entres de ontr�le est mis en pla e :� les entres en-route de la navigation aérienne (CRNA2 ou ACC3) assurent les servi esde la ir ulation aérienne au béné� e des aéronefs en vol. En Fran e, il existe inq entres de ontr�les régionaux : Athis-Mons, Aix en Proven e, Bordeaux, Brest etReims. Ces inq entres se répartissent l'espa e aérien français et assurent le ontr�lesur tout le territoire français.� les entres de ontr�le d'appro he assurent les servi es de la ir ulation aérienne auxabords d'un aérodrome. Les ontr�leurs sont généralement situés dans la vigie d'unetour de ontr�le, ou dans une salle de radar spé ialement aménagée.� les entres de ontr�le d'aérodrome assurent les servi es de la ir ulation aériennedans une zone restreinte (une dizaine de kilomètres) autour d'un aérodrome. Leurprin ipale attribution est la gestion de la piste d'atterrissage.1Air Tra� Control2Centre Régionaux de la Navigation Aérienne3Air tra� Control Center 5

Chapitre 1. Contexte et Dé�nitionsD'autres organismes dits de " ontr�le" existent, mais ils ne fournissent pas le servi ede ontr�le, juste les informations de vol et d'alerte. Ces organismes sont :� FIS : Flight Information Servi e. Il s'agit d'organismes o-implantés ave un entrede ontr�le en-route ou en appro he, ils rendent les servi es d'information de vols etd'alertes dans un espa e non ontr�lé.� AFIS : Aerodrome Flight Information Servi e, qui rempla e le ontr�le d'aérodromepour un aérodrome non ontr�lé en assurant les servi es d'informations de vol etd'alertes. L'agent AFIS n'a, ontrairement à un ontr�leur du tra� aérien, au uneresponsabilité et ne peut donner au une instru tion aux pilotes. Ces derniers sontentièrement responsables de leur sé urité.1.2 La Gestion de Flux du Tra� AérienL'ATFM4 est un servi e ayant pour obje tif d'assurer des �ux de tra� sûrs, ordonnés ete� a es tout en s'assurant que les apa ités du ontr�le aérien sont utilisées au maximumet que le volume de tra� est ompatible ave les apa ités dé larées par les autoritésappropriées [FF04℄.Le sujet de ette thèse est d'apporter une solution qui permet une meilleure gestionde es �ux. On donne i i une vision du ontr�le dans son ensemble, en passant par lesdi�érents types d'aéroports et d'aéronefs pour avoir une idée générale du tra� aérien.Puis on se on entre sur la gestion du tra� en-route des aéronefs IFR5.1.2.1 Les Classes de l'Espa e Aérien Contr�léPar défaut, l'espa e aérien est non ontr�lé. Des zones ontr�lées sont réées dans etespa e où ela est né essaire. Plus il y a de tra� ommer ial dans es zones, plus la lassede l'espa e aérien ontr�lée est ontraignante.Il existe six lasses pour l'espa e aérien, quatre ontr�lées et deux non. Ces lasses sontune normalisation des servi es rendus dans les espa es aériens. À haque lasse orresponddes servi es rendus et des onditions pour y a éder. Les lasses sont nommées de A àG, A étant la plus ontraignante, mais aussi la plus ontr�lée et la plus sé urisée, et G lamoins restri tive.Il existe deux types d'aéronefs :� les aéronefs IFR : Instrumental Flight Rules. Ces aéronefs volent ave des instrumentset peuvent voler ave une visibilité réduite et de nuit. Tous les vols ommer iaux sonte�e tués par des aéronefs IFR.� les aéronefs VFR : Visual Flight Rules. Ces aéronefs volent à vue. Il s'agit de pluspetits aéronefs et ne peuvent voler que lorsque la visibilité est bonne.Tous les aéronefs ont les moyens radios de ommuniquer ave les ontr�leurs. L'espa eaérien est divisé en fon tion des servi es apportés, des interdi tions et en fon tion du typede l'aéronef, VFR ou IFR.L'espa e est divisé volumiquement par l'OACI6.Le tableau 1.1 résume les servi es rendus et les onditions d'a ès des di�érentes lasses[SIA℄.4Air Tra� Flow Management5Instrumental Flight Rules6Organisation de l'Aviation Civile Internationale6

1.2. La Gestion de Flux du Tra� AérienClasses Vols Contr�lés Vols Admis Séparation Informationassurée de ir ulationA IFR IFR IFR/IFRVFR/VFRB VFR et IFR VFR et IFR VFR/IFRIFR/IFRC VFR et IFR VFR et IFR IFR/IFR VFR/VFRVFR/IFRD VFR et IFR VFR et IFR IFR/IFR IFR/VFRE IFR VFR et IFR IFR/IFR Tous les vols1F2 VFR et IFR IFR/IFR Tous les volsG VFR et IFR Tous les vols3Tab. 1.1: Les di�érentes lasses de l'espa e aérien.1.2.2 Les Contr�lesOn distingue deux types de ontr�les des aéronefs : le ontr�le d'appro he, et le ontr�leen-route. Le ontr�le d'appro he orrespond aux phases de dé ollage et d'atterrissage desaéronefs, et le ontr�le en-route au ontr�le entre es deux phases.Par exemple, un vol entre Berlin Tegel et Paris Orly, un pilote va au départ dialoguerave le ontr�le au sol de Berlin Tegel, puis ave le ontr�le d'appro he, et en�n ave le ontr�le en-route sur la majorité du trajet. À l'arrivée, dès qu'il pénètrera dans la zone de ontr�le d'Orly, il verra se su éder les ontr�les d'appro he et de sol.1.2.3 Le Contr�le d'Appro heLe ontr�le d'appro he régule le tra� des aéronefs aux abords des aérodromes. Il assureles servi es de la régulation aérienne dans l'espa e pro he de eux- i.Dans et espa e, peuvent évoluer les aéronefs qui viennent de dé oller et eux quisont en train d'atterrir. Les aéronefs, qui survolent ette zone, sont dans l'espa e aériensupérieur et sont onsidérés dans le ontr�le en-route. Cependant, il faut les prendre en ompte pour pouvoir insérer les aéronefs au dé ollage (et qui rejoignent l'espa e aériensupérieur). Le tra� engendré dans l'espa e d'appro he est très évolutif verti alement, equi en fait une spé i� ité de l'appro he.Tous les aérodromes disposent de tels tra� s, mais le ontr�le d'appro he existe quelorsque l'espa e est ontr�lé. Ce qui n'est pas le as des aérodromes de plus petites tailles,qui ne prennent en ompte que les aéronefs volant à vue par exemple.A�n d'assurer au mieux e ontr�le, les ontr�leurs garantissent deux types d'informa-tion :� une information dite de tra� : le ontr�leur onnaît la position des aéronefs ainsi queleurs intentions. Il transmet es informations aux aéronefs pour lesquels l'informationsemble pertinente. Cette information est due pour tous les aéronefs.1dans la mesure du possible2suggestion de manoeuvres, pas d'impli ation des ontr�leurs3SIV, servi e d'information en vol, à la demande 7

Chapitre 1. Contexte et Dé�nitions� une information d'espa ement en fon tion des moyens te hniques qu'il a à disposition.Le ontr�leur peut ne pas être équipé de radar, disposer d'un radar qui n'est pas agréépour le guidage, ou d'un radar agréé pour les trois servi es radar.1.2.3.1 L'Appro he ClassiqueL'appro he lassique est le ontr�le d'appro he sans radar. Les espa ements horizontauxsont assurés par des séparations stratégiques.Pour deux aéronefs à l'arrivée, on assure le plus souvent une séparation verti ale : sideux aéronefs arrivent en même temps, on les laisse l'un au dessus de l'autre, le se onddes endant quand le premier des end. Une fois le premier posé, le se ond est autorisé àl'appro he. L'ordre répond à la règle du "premier arrivé, premier servi".Pour deux aéronefs au départ, la méthode employée est équivalente. L'aéronef parti enpremier monte, elui parti en se ond reste en dessous, et est autorisé à monter au fur et àmesure de la progression du premier. Une fois la séparation horizontale obtenue (si leurstraje toires divergent après l'envol), le se ond n'est plus restreint pour sa montée.Quand un aéronef part sur une traje toire, et qu'un autre arrive sur une traje toiresensiblement identique, en général, un ritère est dé�ni pour savoir quand es aéronefs sontséparés. L'aéronef à l'arrivée doit passer un point ara téristique, et l'aéronef au départ unautre point. À partir de e moment là, un espa ement est établi, et la séparation ne feraqu'augmenter. On peut alors faire des endre l'arrivée, et faire monter le départ.Bien entendu, les situations de ontr�le réel peuvent mettre en ause plus de deuxaéronefs, mais généralement elles peuvent être dé omposées en une série de es as.1.2.3.2 Appro he Radar : Assistan e, Surveillan eAssistan e Radar : utilisation du radar pour fournir des renseignements aux aéronefssur leur position ou leurs é arts par rapport à leur route.Surveillan e Radar : utilisation du radar pour mieux onnaître la position des aéronefs.Il s'agit d'une appro he où au un guidage radar n'est e�e tué, mais où le radar estutilisé pour a élérer les roisements.Les méthodes sont les mêmes que pour l'appro he lassique. Cependant, au lieu d'at-tendre les ritères de séparations stratégiques pour e�e tuer des roisements (surtout dansle as d'un aéronef à l'arrivée et d'un au départ), on utilise un espa ement radar, qui est engénéral atteint beau oup plus rapidement que les ritères des séparations stratégiques. Deplus, le radar permet aux aéronefs de suivre des traje toires non standardes, pour lesquellesau un espa ement stratégique n'est dé�ni ; il donne au ontr�leur un outil pour assurer unespa ement horizontal entre des aéronefs qui suivent de telles traje toires.En�n, le radar augmente la sé urité, en permettant au ontr�leur de surveiller que sesinstru tions ont été bien omprises et suivies par le pilote.1.2.3.3 Appro he Radar : GuidageQuand le guidage radar peut être utilisé pour assurer le ontr�le d'appro he, les mé-thodes de ontr�le hangent. Le ontr�leur peut donner des aps aux aéronefs à l'arrivée,a�n de les mettre les uns derrière les autres, séparés entre eux par la norme de séparationradar.Grâ e au guidage, il est aussi très simple d'établir une séparation horizontale entre deuxaéronefs au départ ou entre un aéronef au départ et un autre à l'arrivée. Le ontr�leur doit8

1.2. La Gestion de Flux du Tra� Aérientoutefois respe ter des normes d'espa ement radar bien dé�nies qui sont de 3Nm7. On peutdes endre sous e minima sur autorisation de l'autorité ompétente mais on ne des endrajamais en dessous de 2Nm.En guidage radar, il est très important de savoir que la responsabilité de l'anti ollisionn'in ombe plus au ommandant de bord mais au ontr�leur aérien hargé du guidagede l'aéronef. De plus, à au un moment, il ne sera donné de lairan es vers des altitudesinférieures aux altitudes minimales de sé urité.1.2.4 Contr�le En-RouteLe ontr�le aérien "En-Route" prend en harge les aéronefs dont les pilotes ont déposéun plan de vol aux instruments (IFR), soit par e qu'ils pénètrent dans des zones où le ontr�le est obligatoire, soit simplement par e qu'ils le souhaitent et qu'ils ont les quali-� ations pour ela. Le ontr�le en-route orrespond au ontr�le e�e tué entre les phasesd'appro hes, i.e. d'atterrissage et de dé ollage. Les ontr�leurs doivent assurer un espa e-ment horizontal et verti al entre les di�érents aéronefs.1.2.5 Les Contr�leursL'espa e aérien est aussi divisé en zones géographiques appelées se teurs. Chaque se -teur est supervisé par deux ontr�leurs :� l'un en harge de la résolution de on�its, 'est le seul qui ommunique ave lespilotes des aéronefs.� l'autre en harge de la déte tion de on�its et de la harge de oordination entreles se teurs. La harge de oordination orrespond à la transmission et ré eption desinformations des vols ayant traversé et qui vont traverser le se teur qu'il a en harge.Les ontr�leurs travaillent dans une zone d'in ertitude, e qui réduit le nombre deressour es disponibles [Vil04℄.1.2.6 Les Se teursLa on�guration des se teurs dépend des routes aériennes les traversant. En parti ulier,ils doivent répondre aux ontraintes suivantes [Dan95℄ :� la ontrainte de onvexité : un aéronef ne peut rentrer qu'une seule fois dans unse teur. Il ne peut rentrer dedans, passer dans un autre se teur et revenir durant lemême vol.� la ontrainte de temps de passage minimum : un aéronef doit rester un tempsminimal dans le se teur. Il ne peut exister de routes aériennes à l'intérieur d'unse teur qui puissent être par ourues en un temps inférieur à e minimum. Il faut queles ontr�leurs puissent avoir le temps de le voir arriver pour le prendre en harge,et de le transmettre au se teur suivant.� la ontrainte de distan e minimum : Cette ontrainte a pour but d'assurer que ladistan e entre un point de roisement du réseau de transport aérien et la frontière duse teur doit être supérieure ou égale à une distan e donnée. Les ontr�leurs doiventavoir su�samment de temps (à ompter du moment où l'aéronef entre dans leurse teur) pour résoudre les on�its potentiels qui peuvent se produire en e point.� la ontrainte de onnexité : elle permet d'éviter la fragmentation des se teurs.71 Nauti al mile= 1852m 9

Chapitre 1. Contexte et Dé�nitionsLes balises aériennes, appelées waypoints, orrespondent à des points géographiques dé-�nis par leurs oordonnées artésiennes. Les routes sont omposées de segments de droites,dé�nies par es balises, et restreignent ainsi la apa ité du système. Ces balises sont dé�niesa�n de pouvoir suivre les aéronefs par le système de radionavigation. Les systèmes satelli-taires permettent de onsidérer n'importe quel type de traje toire et devraient permettred'augmenter ette apa ité.Les se teurs sont tridimensionnels. Ils ont une altitude plafond et plan her. En général, ela permet d'a�e ter haque niveau de vol à un sens de tra� .On appelle se teur minimal un se teur qui ne peut être redivisé pour être pris en hargepar plusieurs équipes de ontr�leurs, ar ette dé oupe violerait la deuxième ontrainte surles se teurs.Les se teurs minimaux sont utilisés lors des périodes de tra� dense, a�n d'assurer une harge de travail minimale aux ontr�leurs et d'optimiser leur travail. On peut regrouper lesse teurs en as de faibles tra� s. La suite de regroupement et de disso iation des se teurss'appelle le s héma d'ouverture des se teurs.Ces s hémas d'ouverture sont réalisés par les entre de ontr�le en-route. Ils sont adap-tés au tra� prévu et au nombre de ontr�leurs à disposition.

Fig. 1.1: Se torisation de l'espa e supérieur aérien français.La �gure 1.1 présente la se torisation de l'espa e aérien français pour une altitude de24000 pieds. Leurs formes dépendent des �ux de tra� , 'est pourquoi ils sont de formesvariées. Cependant, on voit aussi qu'ils suivent les frontière nationales, pour des raisonsjuridiques. D'un point de vue opérationnel, il s'agit d'une ontrainte qui réduit les per-forman es du système. Le iel unique européen devrait permettre une remodélisation desse teurs qui ne prennent plus en ompte les frontières.10

1.3. Allo ation de Créneaux1.2.7 Charge de TravailLa harge de travail d'un ontr�leur doit être respe tée, ar 'est de elle- i que dépendla sûreté du système. L'erreur humaine est un fa teur qu'on ne peut enlever. On veut quele ontr�leur ait une harge de travail pour laquelle l'erreur humaine est minimale.Des études [Ama℄ ont montrées que l'erreur humaine est onstante à partir d'une hargede travail donnée et jusqu'à un maximum. Cela signi�e que l'erreur humaine augmenteexponentiellement à partir d'une harge de travail qu'on nomme de maximale. Par ailleurs ette erreur augmente aussi lorsque le ontr�leur se trouve en situation de faible a tivité(pas ou peu d'aéronefs à ontr�ler).Pour réduire ette erreur humaine, on utilise les se teurs minimaux en période de tra� dense et on les regroupe pendant les autres périodes a�n que les ontr�leurs aient une harge de travail minimale. En période de tra� dense, il arrive qu'il y ait plus d'aéronefsqui veulent passer que de pla es disponibles. Dans e as, on e�e tue des régulations.1.2.8 Capa ité-Ressour esCe qu'on appelle apa ité d'un se teur orrespond à la harge de travail maximale quepeut supporter un ontr�leur. Cette harge de travail varie en fon tion de l'expérien e du ontr�leur, de la on�guration du se teur, des onditions météorologiques...Cette apa ité est traitée en apa ité horaire par la CFMU8. Les apa ités horaires desse teurs ne sont pas les mêmes ar les se teurs n'ont pas la même on�guration. Ainsi,un grand se teur doit surveiller les aéronefs pendant un temps supérieur aux se teurs pluspetits. Ce qui fait que la apa ité horaire (en nombre d'aéronefs) est plus faible pour ungrand se teur que pour un petit. Les apa ités horaires des se teurs varient entre environ30 et 70 aéronefs par heure.Dans la suite de ette thèse, a�n de se rappro her des problèmes d'allo ation de res-sour es, on parlera de ressour es au lieu de apa ité. Ainsi une apa ité de n aéronefs parheure orrespond à n ressour es disponibles par heure.On her he à optimiser l'utilisation des ressour es de l'espa e aérien supérieur.1.3 Allo ation de CréneauxL'allo ation de réneaux se déroule en trois phases. Ces phases permettent de s'adap-ter au mieux à la demande du tra� en fon tion des ressour es disponibles. On ne peutimposer une �exibilité totale aux ontr�leurs. On her he à adapter le tra� aux ressour esdisponibles.Le pro essus d'allo ation de réneaux dé rit i i est elui appliqué par la CFMU, quiest en harge de la régulation du tra� aérien européen, au sein du système ETFMS9. Ilest appliqué à tous les aéronefs devant dé oller de l'espa e aérien géré par l'ATFM, oudes aires adja entes et entrant dans et espa e. Il présente la suite possible des a tions sedéroulant entre le plan de vol initial à l'allo ation �nale [CFM06℄.8Central Flow Management Unit9Enhan ed Ta ti al Flow Management System : système amélioré de gestion ta tique des ourants detra� . L'ETFMS re ueille des données radar a�n de dresser un panorama général du tra� réel à l'é helleeuropéenne 11

Chapitre 1. Contexte et Dé�nitions1.3.1 Plan de VolLorsqu'une ompagnie désire e�e tuer un vol, elle doit déposer un plan de vol à laCFMU. Ce plan de vol ontient diverses informations, en parti ulier elles qui permettentd'allouer son heure de passage dans les di�érents se teurs qu'il traverse. Il omporte entreautres :� l'aérodrome de départ,� l'aérodrome d'arrivée,� la suite de balises suivies,� la niveau de vol désiré,� la vitesse de roisière.À partir de es éléments, on détermine à quelle heure l'aéronef va traverser haquese teur ; et si une régulation est né essaire, 'est par rapport à son plan de vol qu'elle serae�e tuée.1.3.2 Phase StratégiqueCette phase prend pla e jusqu'à sept jours avant la date e�e tive du vol. C'est une phasede re her he, de plani� ation et de oordination des a tivités. Elle onsiste en l'analyse desévolutions des prévisions des demandes de tra� , en l'identi� ation d'éventuels nouveauxproblèmes et en l'évaluation des solutions possibles. En sortie de ette phase, on obtientle planning des apa ités pour l'année suivante, le planning d'allo ation des routes et unensemble d'autres plani� ations, qui peuvent être a tivées si né essaire pendant les phasessuivantes.1.3.3 Phase Pré-Ta tiqueElle se déroule entre le sixième jour et le jour du vol. Elle onsiste en la plani� ationet la oordination des a tivités. Pendant ette phase, on analyse et dé ide de la meilleurefaçon de gérer les ressour es disponibles ( apa ité) et sur la né essité d'implémenter desmesures de �ux (des régulations ou des reroutages). En sortie, on obtient le planningquotidien ATFCM10 publié par l'ANM11.1.3.4 Phase Ta tiqueCette phase se déroule le jour du vol. Elle onsiste en la mise à jour du planningquotidien en fon tion du tra� réel et des apa ités. La gestion du tra� est faite grâ eà l'allo ation de réneaux et/ou des reroutages. Elle donne un réneau de dé ollage auxaéronefs deux heures avant leur EOBT12 ; e qui orrespond à l'heure de �n d'embarque-ment. À partir de et instant, e réneau ne peut être alloué à un autre aéronef, à moinsqu'il ne puisse le prendre.1.3.5 Collaborative De ision Making (CDM)CDM n'est pas en ore une phase implémentée dans la gestion de �ux du tra� aérien,mais son but est de réer une phase temps réel après la phase ta tique, a�n de rendre le10Air Tra� Flow and Capa ity Management11ATFCM Noti� ation Message12Estimated O� Blo k Time12

1.3. Allo ation de Créneauxsystème plus dynamique et de mieux utiliser les ressour es disponibles à partir des dernièresinformations à disposition.CDM est le pro essus qui permet aux dé isions d'être prises par les personnes lesplus aptes, sur la base des informations les plus pré ises, les plus mises à jour, et lesplus essentielles possibles. Cela permet de prendre des dé isions pour un aéronef pré is enfon tion des dernières informations disponibles en temps réel. Ainsi, on her he à optimiserdynamiquement les vols en se basant sur des évènements se produisant le plus près possibledu temps réel.Le pro essus CDM est un pro essus lé permettant à la stratégie ATFCM le partagede toutes les informations intéressantes entre les parties impliquées dans les dé isions etde maintenir un dialogue permanent entre les divers partenaires durant toutes les phasesd'un vol. Cela permet aux di�érentes organisations de se mettre à jour mutuellement, duniveau stratégique à la phase temps-réel.A�n d'être e� a e et d'atteindre ses obje tifs, le pro essus CDM doit avoir les ara -téristiques suivantes :� un pro essus propre,� un pro essus transparent,� un pro essus qui permet d'avoir on�an e entre les di�érents a teurs on ernés.Les prin ipes de CDM ont été implémentés dans les opérations quotidiennes de laCFMU ; la plani� ation et le développement ave une impli ation a tive des ANSP13 (prin- ipalement à travers les FMP14) et les ontr�leurs aériens. Les FMP assurent les �ux detra� en on ertation ave la CFMU.1.3.6 Algorithme d'Allo ation de CréneauxCASA15 est un système automatique et entralisé qui a en harge l'attribution des réneaux de dé ollage [CFM06℄.1.3.6.1 Fon tionnementUne zone est régulée si on a plus d'aéronefs voulant traverser le se teur que la apa itéde elui- i. CASA génère une liste de réneaux de passage disponibles dont le nombre estégal à la plage horaire divisée par la apa ité. La liste ainsi générée va ainsi se remplir aufur et à mesure de l'arrivée des plans de vol. Cette a�e tation suit un algorithme glouton.Si un aéronef souhaite passer dans un réneau déjà alloué à un autre vol, 'est l'aéronefqui aurait du passer en premier en l'absen e de régulation qui prend le réneau ; l'autreaéronef est retardé au réneau suivant, et s'il est déjà o upé, le pro essus se répète.Si un aéronef passe dans plusieurs se teurs régulés, on al ule le retard alloué dans haque se teur et on lui a�e te le retard le plus ontraignant. L'allo ation de réneaux estévolutive puisque haque dép�t de plan de vol est sus eptible de modi�er le planning. Onne parle que d'une préallo ation de réneaux. Si un vol est annulé, le réneau qu'il o upedans haque liste est libéré, et les autres vols voient leur situation évoluée [PM98℄.L'EOBT est l'heure à laquelle un aéronef a prévu de quitter le parking (�n de l'embar-quement), elle di�ère de l'heure de dé ollage par le temps mis par l'aéronef pour se rendreau seuil de la piste. Deux heures avant l'EOBT d'un aéronef, son réneau est transmis àsa ompagnie et au servi e de ontr�le. À partir de et instant, le réneau ne peut être13Air Navigation Servi e Provider14Flight Management Position15Computer Assisted Slot Allo ation 13

Chapitre 1. Contexte et Dé�nitionsréalloué à un autre vol. Cependant, si la ompagnie est dans l'in apa ité de prendre e réneau, elle doit demander un hangement.1.3.6.2 AvantagesTout d'abord CASA répond à es prin ipales ontraintes. Il régule le tra� et ne pri-vilégie pas un aéronef par rapport à un autre. Au une ompagnie n'est privilégiée. Dessystème de taxes sur les routes empruntées existent mais elle sont surtout là pour désen-gorger ertaines portions de l'espa e aérien (et non pas pour faire passer un aéronef devantun autre). De plus, 'est un algorithme simple et fa ile à mettre en oeuvre.1.3.6.3 In onvénientsC'est un algorithme glouton, 'est à dire un algorithme qui suit le prin ipe de faire,étape par étape, un hoix optimal lo al, dans l'espoir d'obtenir un résultat optimal global. À haque ajout d'aéronef dans l'allo ation, on re al ule dans haque zone régulée un nouveauplanning. Malheureusement, le fait de ne pas mettre en relation les di�érentes zones derégulation ne permet pas d'obtenir un optimal global.Il n'y a pas d'optimisation de l'utilisation des ressour es ar on ne onsidère pas l'in er-titude. De plus, utiliser le prin ipe de la pénalisation la plus importante n'est pas optimal.Cet algorithme est très gourmand en ressour es. Sa omplexité est importante et sesitue dans la NP- omplétude. Cependant, omme a tuellement l'allo ation de réneauxpar CASA n'est pas un pro essus en temps réel, on trouve une solution dans les temps.Mais ave la roissan e du tra� et les problèmes de saturation ren ontrés, on en arrive àétudier des solutions temps réel, e qui empê herait une utilisation de CASA.CASA possède aussi les défauts suivants :� lorsqu'un aéronef doit traverser plusieurs zones régulées, l'allo ation se fait par rap-port à l'heure d'arrivée sans retard et ne tient pas ompte des autres zones régulées.Ainsi il arrive qu'un e�et boule de neige se produise. Par exemple, si l'aéronef Adoit être retardé à ause du se teur S, alors le faire dé oller un quart d'heure plustard peut engendrer un dépassement de apa ité d'un autre se teur et faire retarderd'autres aéronefs et ainsi de suite.� lorsqu'un vol subit plusieurs régulations, le fait de lui allouer le retard le plus péna-lisant peut provoquer des violations de apa ité des autres se teurs.1.3.6.4 Con lusionCependant CASA est un outil opérationnel bien intégré dans la haîne omplexe dupro essus d'ATM, et on estime que les régulations lo ales de la CFMU ont un impa t trèsfaible sur la sur harge globale des entres de ontr�le [MPGK00℄.1.3.7 Amélioration de la Gestion du Tra� AérienLe développement stratégique de l'ATFCM se on entre sur un noyau d'hypothèsesd'environnement dans lequel la strategie est appliquée. Chaque hypothèse est une extensiondes méthodes, pro édures, et évènements se déroulant et re�étant le prin ipe stratégiqueATM2000+ a�n que le développement de l'ATFCM soit un pro essus évolutif [FF04℄.Ces hypothèses sont :� une aide te hnologique d'assistan e au pro essus d'automatisation de dé ision,� une tendan e générale à l'a roissement du tra� ,14

1.4. Sûreté et Ressour es Disponibles� une on entration pon tuelle des vols à l'arrivée et au départ,� une roissan e limitée de la apa ité des prin ipaux aéroports,� un système de réneaux aéroportuaires toujours en pla e,� un a roissement de la prise en ompte environnementale,� un pas de dé alage de représentation de l'ATM sur une base dé�nie (ATM paradigme)� une implémentation du iel unique européen,� un besoin de ollaboration pour le pro essus d'aide à la dé ision.La né essité de l'amélioration de ette gestion est identi�ée dans la stratégie ATM2000+.Ave la gestion de la apa ité, il s'agit de pro essus opérationnels entraux de l'ATM. Ildoit être une étape évolutive a�n de gérer dynamiquement la apa ité et la demande.Le rapport de ette étude indépendante fait état que la ible prin ipale est d'éviterla saturation du système de ontr�le et qu'elle n'est pas assez axée sur l'optimisation del'e� a ité du système ATM global. Il est aussi dit que l'ATFM ne doit pas se restreindreaux mé anismes d'allo ation de réneaux, mais devrait aussi être étendu à l'optimisationdu tra� et de la gestion de la apa ité a�n que le pro essus d'allo ation de réneaux soitoptimisé. Le but de ette thèse est justement de montrer qu'on peut améliorer ette gestionpar l'in orporation de zones d'absorption dans ette allo ation.A�n d'arriver à améliorer la gestion de �ux de tra� , qui doit prendre en ompte la pro-te tion des sur harges de travail (dépassement de apa ité), un ensemble de hangements(obje tifs stratégiques) doit être implémenté.Les problèmes a tuels de l'ATFM sont les suivants :1. manque d'adhéren e aux mesures ATFM des ompagnies, des ontr�leurs, et despil�tes,2. in onsistan e entre les mesures ATFM et les a tions ATC,3. di� ultés à évaluer la demande à ause de la dé laration tardive de ertains vols,4. di� ultés à évaluer la apa ité basée sur la harge de travail normal d'un se teurplut�t que sur la harge de travail réel,5. impa t du reroutage sur la omplexité du tra� , la apa ité et la harge de travaildu ontr�leur,6. manque de �exibilité sur l'organisation des se teurs ontr�lés,7. di� ultés pour les ompagnies de prévoir l'impa t des ontraintes ATC,8. béné� e du reroutage limité par les intérêts individuels au ommen ement du ontr�lede la régulation du tra� ,9. in onsistan e des données sur les vols,10. rigidité de l'appli ation des ontraintes d'alllo ation de route,11. e� a ité insu�sante dans la gestion des évènements imprévisibles,12. manque de onnaissan es sur l'état exa t du tra� .Le but de l'ATFCM est de répondre à es problèmes, la solution qu'on apporte permetd'amener un début de solution aux points 2, 6, 10 et 11.1.4 Sûreté et Ressour es DisponiblesLa sûreté dans le transport aérien est le paramètre ontraignant la quantité de res-sour es disponibles. Un niveau de sé urité doit être assuré pour éviter les ollisions entre 15

Chapitre 1. Contexte et Dé�nitionsles aéronefs, ou les a idents individuels. Il existe deux types de sé urité. La sé urité on er-nant le ontr�le des passagers et les ontr�les te hniques des aéronefs, et la sé urité pourles onditions de vols, qui garantit un environnement sûr pour l'évolution de eux- i en im-posant des espa ements entre les di�érents aéronefs. On onsidère uniquement la sé uritédans l'espa e aérien supérieur, pas la gestion des phases de dé ollages/atterrissages.1.4.1 Les Distan es de SéparationLes aéronefs ayant une vitesse de roisière pouvant �irter ave les 1000 km/h, et nepouvant stopper net, il faut garantir des séparations élevées entre eux. Ces séparationssont exprimés en temps et/ou en distan e. La séparation verti ale est de 300 pieds (environ100m) et horizontale de 3Nm. La séparation horizontale peut être ramenée à 2Nm pourles espa es saturés (ave les instruments de ontr�le adéquats), mais elle ne sera jamaisréduite.Ces séparations a�e tent le travail des ontr�leurs ar ils doivent prévoir et résoudre leszones de on�its (appelées lusters). Mais elles ne ontraignent pas en ore les ressour es ar il reste en ore de la pla e.1.4.2 Fa teurs A�e tant les Ressour es DisponiblesLa harge de travail d'un ontr�leur dépend de di�érents paramètres. Son r�le étant degarantir la séparation entre les aéronefs, on omprend aisément que plus il y a d'aéronefsà ontr�ler, plus sa harge de travail augmente. Le premier fa teur a�e tant les ressour esdisponibles est la apa ité d'un ontr�leur. Les nouveaux ontr�leurs étant moins formés,ils ont une apa ité de harge de travail inférieure à leurs aînés ; bien qu'on sa he que lesautomatismes soient aussi un fa teur important de l'erreur humaine.Cette harge de travail optimale est al ulée en fon tion de divers paramètres :� la ompéten e du ontr�leur (son expérien e),� les onditions météorologiques. Plus la météo est mauvaise, plus les ondition de volse détériorent. Il faut augmenter les distan es de sé urité, prévenir des turbulen es,parfois détourner des aéronefs pour éviter les zones de dépression. La météo peut onsidérablement réduire le nombre de ressour es disponibles d'un ontr�leur.� la on�guration du se teur. Moins il y a de roisements de routes et de se teurs adja- ents, plus la gestion du se teur est aisée, et ainsi le nombre de ressour es disponiblesest plus important. Il est plus fa ile de ontr�ler des aéronefs se suivant que de gérerdes interse tions.RésuméLa mise en pla e de nouvelles te hniques de ontr�le du tra� aérien a permis de fairefa e à son a roissement important et régulier. L'instauration de règles de onduites etl'intégration de nouvelles te hnologies ont permis au �l des années de garantir le mêmeniveau de sé urité tout en augmentant le tra� . Cependant, depuis quelques années, onse retrouve en di� ultés à a roître de manière signi� ative les apa ités des systèmesde gestion du tra� aérien ; on arrive à saturation du modèle a tuel. En e�et, une faibleaugmentation du tra� engendre des retards onséquents au dé ollage [Com05℄, [Com06℄ :il faut de plus en plus de moyens pour gagner des marges de apa ités de plus en plusfaibles.16

Chapitre 2État de l'Art et Travaux Asso iésDans le hapitre pré édent, on a brièvement vu omment fon tionnait la gestion de �uxdu tra� aérien européen ave ses ontraintes, ainsi qu'une appro he naturelle permettantd'améliorer l'utilisation des ressour es disponibles ; le CDM qui onsiste en l'implémenta-tion d'une phase temps réel à terme.Dans e hapitre on va présenter les di�érents travaux existants pour améliorer ettegestion.Puis, on survolera les di�érents domaines s ienti�ques, devant faire fa e à l'in ertitude,qui peuvent aider à la gestion de elle- i dans le adre de la gestion de �ux du tra� aérien.2.1 Solutions Mises en Oeuvre au Sein de l'ATFMLa plupart des travaux sur la gestion de l'espa e supérieur aérien sont pour l'espa eeuropéen. La forte densité de population et les nombreux pays ont ontraint les organismesen harge de la gestion du tra� aérien européen d'instaurer des mesures de régulations de et espa e.L'espa e aérien européen ontr�lé par la CFMU est onstitué de 42 états membres. Les25 de l'union européenne plus l'Albanie, l'Arménie, l'Azerbaïdjan, la Bosnie-Herzégovine,la Bulgarie, la Croatie, la Géorgie, l'ex-République Yougoslave de Ma édoine, la Moldavie,Mona o, la Norvège, la Roumanie, la Serbie, la Suisse, la Turquie et l'Ukraine.La omplexité d'ordre te hni o-so iale du tra� aérien apporte un intérêt grandissantpour les her heurs de di�érents domaines (fa teurs humains, informatique, mathématique,physique, ...), mais reste en ore peu onnu. La pression roissante sur les problèmes de a-pa ité tant aéroportuaire que des se teurs liés à la roissan e exponentielle du tra� aérien(elle double tous les dix-quinze ans [Mar06℄), va amener à se développer une re her he plusfondamentale du domaine ATM ave omme prin ipal atout une ollaboration né essaireentre les her heurs de es di�érents horizons.Le ontr�le de l'espa e aérien est géré par la FAA1 pour les USA.2.1.1 EUROCONTROLEUROCONTROL est l'organisme européen en harge de la gestion du tra� aérien.Parmi les di�érentes entités d'EUROCONTROL, il y a les entités opérationnelles qui gèrentle tra� tels que la CFMU et les entres de ontr�le, et les entités expérimentales et dere her hes qui étudient les problèmes et les solutions qui pourraient être apportées, tant1Federal Aviation Administration 17

Chapitre 2. État de l'Art et Travaux Asso iésd'un point de vue opérationnel que juridique. Il existe des problèmes de responsabilité dusaux juridi tions.On prend l'exemple de l'a ident aérien en Suisse des enfants russes. L'a ident a im-pliqué deux aéronefs, l'un russe et l'autre allemand. Un ensemble d'erreurs a été relevésur la transmission d'un aéronef en provenan e d'Allemagne, du manque de ontr�leurs enposte en Suisse, et sur les opérations de maintenan e, amenant la situation à un niveau ri-tique. Les équipages n'avaient pas les mêmes onsignes en as d'urgen e. L'un devait suivreles onsignes par le système anti- ollision de l'aéronef, l'autre devait suivre les onsignesdonnées par le ontr�leur.Malheureusement, le système anti- ollision des aéronefs donnaient des instru tions in-verses à elles du ontr�leur, amenant à l'a ident.Cet exemple montre le problème de déterminer les responsabilités juridiques quandplusieurs pays sont on ernés. Le iel unique européen a pour but de dé�nir elles- i.On va présenter par la suite un ensemble de projets présentant les solutions misesen oeuvre pour améliorer ette gestion. La plupart des travaux étant en relation ave EUROCONTROL (CENA2, ENAC3, LOG4, INRETS5, partenariat ave les universités).2.1.2 FAALes États-Unis ne sont pas en ore réellement onfrontés à e problème dû à une moindredensité de population, et surtout grâ e à un organisme d'état en harge sur tout le territoireétats-unien. Leurs prin ipaux problèmes se situent au niveau des phases d'appro hes. Ene�et pour le dé ollage, les pilotes doivent attendre que les aéronefs les pré édant dé ollent,et omme il n'y a pas de régulation en-route, dès que la piste est libérée il peut dé oller.Par ontre, lorsqu'il arrive à l'aéroport de destination, il doit attendre que tous les aéronefsétant arrivés avant lui aient atterri (sauf si problème de arburant ou te hnique). Ainsi ilpeut tourner un ertain temps au-dessus de l'aéroport de destination, voir se faire reroutervers un autre.L'état du tra� de l'espa e aérien supérieur états-unien ommen e à montrer des pro-blèmes de saturation, en parti ulier au niveau de la �te est, et des études ommen ent àêtre lan ées pour résoudre es problèmes.2.2 Projets en Rapport ave l'ATM en GénéralDans ette partie, on fait un rapide survol de projets, en lien ave l'amélioration de lagestion du tra� aérien, tels que :� l'amélioration du ontr�le au sol [Got04℄, ou sa suppression en l'automatisant [DA99℄� l'amélioration de l'environnement de travail du ontr�leur [Vil04℄,� l'aide à la résolution de on�its entre aéronefs [Gra02℄,� l'optimisation des �ux du tra� aérien [Gia04℄,� l'allo ation de niveaux de vol en roisière [Let98℄, [Bar02℄,� l'utilisation des réseaux de neurones pour la prévision des traje toires [LF99℄,� l'automatisation de la résolution de on�it au roulage [Got04℄,� ...2Centre d'Études de la Navigation Aérienne3É ole Nationale de l'Aviation Civile4Laboratoire d'Optimisation Globale5Institut National de Re her he sur les Transports et leur Sé urité18

2.2. Projets en Rapport ave l'ATM en Général2.2.1 Data MiningLa prin ipale ressour e permettant d'étudier le tra� aérien est l'analyse des don-nées. La plupart des projets est on entrée sur elle- i et le développement de simulateurspermettant de les exploiter. Malheureusement, en raison des ara tères ritiques de esdonnées, elles ne sont pas dans le domaine publi . Leurs exploitations sont limitées et peude travaux sur l'étude des propriétés de es données ont été e�e tués. [GBD04℄ montre ependant qu'en appliquant des outils statistiques sur es données, on arrive à déterminerque leurs intera tions spatio-temporelles dé rivent des lois simples. Mais, bien qu'on arriveà sortir des propriétés sur es données, on n'arrive pas à le prouver formellement.Dans [GD06℄, l'auteur trouve une relation de type logarithme entre le tra� plani�é etréel omme le montre la �gure 2.1. Mais là aussi, bien qu'il voit un motif qui se répète danstous les se teurs onsidérés, il ne donne pas d'expli ations formelles à e phénomène. Celapeut se voir de la manière suivante : quand on a peu d'aéronefs plani�és dans un se teur,alors il dé harge les autres en pouvant en a epter plus. Ensuite quand il est en période desaturation, alors il ne peut en a epter plus et a tendan e à se dé harger sur les se teursvoisins ou à retarder l'heure de dé ollage des aéronefs. Ce qui fait que le roisement de la ourbe y = x ave la ourbe des données peut représenter la apa ité e�e tive du se teur.Ce type de résultats se retrouve dans tous les se teurs étudiés.

0 2 4 6 8 10 12

02

46

810

12

PLN

RE

AL

sample meanlogsqrt1−1/x

Sample Means and candidate functions

Fig. 2.1: Relations entre le tra� plani�é en arrivée en nombre d'aéronefs dans unse teur (axe PLN), ave le réel (axe REAL), pour un intervalle de temps de 15 minutes.La ourbe ontinue orrespond aux données et elles en pointillées aux andidates àla modélisation en logarithmique et ra ine arrée.L'autre utilisation des données, la prin ipale, est la validation de simulateurs et l'implé-mentation de nouvelles stratégies [All97℄, [Gra02℄. Ce sont des appro hes expérimentaleset qui permettent tout de même de faire émerger quelques propriétés.On utilise les données à deux �ns di�érentes mais qui sont tout de même intrinsèque-ment liées.� on implémente de nouvelles stratégies sur les simulateurs et on regarde les di�éren esobtenues ave les données réelles a�n d'en on lure un gain ou non. On peut aussi 19

Chapitre 2. État de l'Art et Travaux Asso iésen déduire des orientations de re her he.� on her he à trouver les relations existantes entre les di�érents a teurs de la gestionde �ux du tra� aérien a�n de mieux omprendre son fon tionnement.Les deux stratégies sont omplémentaires, ar la omplexité du tra� aérien empê heune étude dans sa globalité a�n d'en sortir des propriétés.Le deuxième axe est di� ile à mettre en pla e, mais apporte des solutions plus on rèteset qu'on peut optimiser ar on démontre des propriétés réelles.Alors que la première fon tionne de manière plus intuitive ; on regarde l'allure du tra� et on implémente des stratégies qui à priori permettent d'améliorer la gestion tout engardant les ontraintes du tra� aérien. Cette appro he intuitive permet de trouver dessolutions qui améliorent ette gestion, mais on ne peut pas vraiment les étudier et dire qu'ils'agit de solution optimale. Cependant, ette appro he peut aider à modéliser le tra� enregardant les di�éren es apportées au tra� réel par la stratégie adoptée. On voit ainsi, laréa tion du tra� et on peut dégager des propriétés qu'on ne voyait pas dans les donnéesdu tra� réel.2.2.2 Se torisationA�n d'augmenter le nombre de ressour es de l'espa e aérien, on a her hé à hanger la on�guration des se teurs [Dan95℄ ( f partie 1.2.6).L'étude de la se torisation a pour obje tif de respe ter les ontraintes pré édentes touten garantissant une utilisation optimale de tous les se teurs. On her he à homogénéiserle tra� sur tout l'espa e aérien malgré les demandes qui sont lo alisées. Ce qui fait queles se teurs sont de tailles di�érentes pour prendre en ompte ette spé i� ité. Ainsi, lesse teurs se situant au-dessus de la zone Maastri ht sont très prisés et don plus petits queles se teurs se trouvant au dessus de la Corrèze par exemple.Dans la mesure du possible, on her he aussi à minimiser le nombre de roisements deroutes à l'intérieur d'un se teur a�n de permettre une gestion a rue du se teur par les ontr�leurs.La solution de rendre les se teurs de plus en plus petits semble avoir atteint ses limites ar plus on a de se teurs, plus la harge de oordination grandit et la ontrainte de tailleminimale n'est plus respe tée. La harge de travail du ontr�leur responsable de la résolu-tion de on�its est diminuée, mais elle du ontr�leur supportant la harge de oordinationest a rue.Une autre ontrainte à prendre en ompte lors de l'étude de la se torisation, est les héma d'ouverture des se teurs. Il faut une ertaine ohéren e entre les se teurs minimaux(pas de divisions possibles) et le regroupement de eux- i en période de moindre tra� . Lorsde regroupement de se teurs, on doit toujours avoir les ontraintes des se teurs respe tées.Diverses études sur e sujet ont été e�e tuées ave plus ou moins de résultats tellequ'une se torisation par algorithmes génétiques [DASF95℄, [MV01℄, [TBD02℄, [Dan95℄,mais les résultats restent par ellaires. Elles ne onsidèrent que le plan et les algorithmesgénétiques appliquées ne prennent pas en ompte toutes les données né essaires. Il fau-drait un travail en amont plus important, et les résultats obtenus sans es ontraintes nemontrent pas un réel avantage à utiliser ette méthode.2.2.3 RoutageUn autre axe de re her he pour augmenter le nombre de ressour es disponibles del'espa e aérien est d'améliorer la gestion des routes. Là aussi, divers axes de re her he20

2.2. Projets en Rapport ave l'ATM en Généralexistent :� soit on les enlève, mais on doit faire fa e à des ontraintes telles que les frontièresdes pays (la législation n'étant pas en ore harmonisée), les densités de population,les zones militaires...� soit on les améliore, mais peu de solutions sont proposées,� soit on fait un mixage des deux ave un réseau de routes orrespondant à elui telqu'il est aujourd'hui et un réseau d'autoroutes situé au-dessus de l'espa e supérieur(pour les vols long ourriers qui doivent traverser ou quitter l'Europe). Le réseaua tuel sert alors aux vols ourt et moyen ourriers.[Gia04℄ e�e tue une étude de l'adaptabilité du réseau de routes existant. Par exemple,le réseau de routes ne prend pas en ompte la topologie des points de roisements [Riv06℄.D'autres études telles que [Riv06℄, [Meh00℄ ont essayé de onstruire un nouveau réseaude routes ; ou en ore la réation de routes séparées [MGZK99℄, ou de routes dire tes [Let98℄.Le but de ette thèse n'est pas de remettre en ause le système de routage a tuel.On ne s'intéresse pas aux algorithmes de routage, puisque le seul paramètre sur lequel ontravaille est l'heure de dé ollage. Si un se teur est en sur harge, alors on retarde son heurede dé ollage. On ne her he pas une nouvelle route pour lui.Cependant, il est intéressant de onnaître l'e�et des routes sur les se teurs a�n depouvoir déterminer les relations spatio-temporelles, et dans le adre d'un graphe, pouvoirpondérer les se teurs et les sommets en fon tion de es routes. On her he à apporter unesolution qui fon tionne pour le système en pla e sans tenir ompte de la topologie desroutes. Ainsi, on pourra appliquer ette solution aux futurs réseaux de routes qui serontimplémentés.2.2.4 Programmation par ContraintesLa programmation par ontraintes a été utilisée pour modéliser de manière plus ri-goureuse et plus réaliste ertaines phases de la gestion du �ux aérien. [Bar02℄ donne dessolutions optimales on ernant la régulation de l'attribution des retards au dé ollage et la on�guration des entres de ontr�le ; une optimisation de l'espa e aérien dans l'hypothèseoù les �ux d'aéronefs qui se roisent évoluent à des altitudes di�érentes [BB02℄.L'allo ation de réneaux pour l'ATFM est un problème d'optimisation ombinatoirequi n'est pas optimisé par le système mis en pla e [BB00℄. Les ontraintes de apa ité desse teurs de ontr�le ne sont pas lairement dé�nies et la programmation par ontraintespermet d'en modéliser di�érentes interprétations qui a ordent plus ou moins d'importan eà la régularité de la harge de travail. Deux modèles sont implémentés dans et arti le :� l'un à fenêtres de temps ontiguës qui n'apporte pas de solution réaliste ar il apparaîtdes pi s de tra� aux limites des fenêtres qui peuvent amener les entres de ontr�leà sous estimer leurs apa ité réelles.� et les modèles à fenêtres de temps glissantes (de pas minimal), ou par ontrainte detri qui assurent une harge de travail régulière en produisant des problèmes beau oupplus ontraints menant à des solutions plus oûteuses.Néanmoins, l'intégration dans la fon tion de oût de divers fa teurs tels que la régularitédu tra� est une né essité opérationnelle qui pénaliserait fortement les modèles standards.2.2.5 SuperSe torLes études pré édentes onsistent en l'amélioration des algorithmes d'a�e tation des réneaux, mais pas sur les façons de travailler des ontr�leurs. Les deux on epts suivants 21

Chapitre 2. État de l'Art et Travaux Asso iéssont en ours d'expérimentation au sein d'EUROCONTROL.SuperSe tor [GND+03b℄ [GND+03a℄ est un projet de re her he basé sur les hypothèsesque la prolifération des se teurs ontr�lés a mené à un système trop rigide pour l'utilisationde l'espa e aérien pour faire fa e à la roissan e du tra� aérien à moyen et long terme.Au lieu de diviser les se teurs pour faire fa e à un tra� dense, SuperSe tor proposeune nouvelle organisation du tra� , dans laquelle de grands espa es aériens sont gérés pardes équipes de ontr�leurs, non restreints par la plani� ation se torielle et le ontr�le radarmais par l'envergure du tra� en temps réel et de la résolution de on�its.C'est un projet ambitieux qui né essite une remodélisation de l'espa e aérien, des nou-velles te hniques de régulation, des nouvelles méthodes de travail et des nouveaux ou-tils [GND+03b℄, [GND+03a℄.2.2.6 Se torLessCe on ept onsiste, omme son nom l'indique à ne plus onsidérer les se teurs, maisplut�t les trajets aériens. Les ontr�leurs sont en harge d'axes aériens. Les aéronefs suiventdes routes, et les ontr�leurs doivent garantir les séparations horizontales. Pour que e on ept puisse augmenter le nombre d'aéronefs qu'un ontr�leur puisse prendre en harge,il faut réduire le nombre de roisements possibles.Ainsi un aéronef demandera moins de ressour es au ontr�leur pour être supervisé. Lesétudes ont été faites sous l'hypothèse suivante a�n d'éviter les roisements. Si deux �uxdoivent se roiser, alors on leur a�e te un niveau de vol di�érent, ainsi le risque de ollisionest é arté [DGNS01℄. C'est un ontr�le qui peut s'apparenter au ontr�le militaire, un ontr�leur suit un aéronef pendant toute la durée de son vol [Riv02℄.[Riv06℄ a étudié un on ept permettant de limiter le nombre de roisements dans leplan (proje tion tri-dimensionnelle dans le plan). Il a re ouvert d'une grille l'espa e aérien,et appliqué des algorithmes sur elle- i en fon tion de la demande de tra� pour réduireles distan es à par ourir. Il montre qu'on a juste besoin de quatre niveaux de vol ; les volsallant d'Est en Ouest, d'Ouest en Est, du Nord au Sud et du Sud au Nord. Grâ e à unquadrillage, tous les par ours sont possibles.Cette te hnique n'est pas en ore aboutie ar la grille de départ prise n'est pas assezgrande et ertains trajets sont très pénalisants (par exemple un vol allant du Sud ouest auNord est). Cependant, il montre que 'est un on ept viable, mais pour le moment il estdi� ile de dire qu'il permet une amélioration de la situation a tuelle.Le on ept des zones d'absorption, élaboré dans ette thèse, peut être implémenté dansSe torLess, ar étudier une grille au lieu d'un graphe peut fa ilement se faire par le passageau dual du graphe.2.2.7 Le Free-FlightLes améliorations qui peuvent être apportées au système, bien que performantes, sontlimitées. Il se pose alors la question de l'automatisation et de la suppression du ontr�leau sol [DA99℄. Par automatisation, on entend laisser aux aéronefs le soin de s'éviter mu-tuellement.Plusieurs on epts, regroupés sous l'appellation de free-�ight ont été proposés. Toutd'abord, le free route qui onsiste à enlever toutes notions de routes aériennes dans lesespa es de faibles densités a été proposé par [EAT02b℄, [EAT02a℄ aux USA. Une versioneuropéenne du Free Flight a aussi été implémentée, il s'agit de FREER [DHN+96℄, [DH97℄,[DHN97℄, [DF98℄, [RTC95℄ :22

2.2. Projets en Rapport ave l'ATM en Général� FREER-1 : e projet onsiste à enlever toutes les infrastru tures au sol pour lesespa es de faible densité omme au dessus des o éans par exemple. Il a été étudiétoutes les on�gurations possibles de on�its à deux aéronefs, puis d'un ordre total(on met un ordre sur les aéronefs) s'il y a plus de deux aéronefs en on�its. Bien queles règles soient dé�nies pour deux et trois aéronefs, au une généralisation n'a étéapportée pour les as de plus de trois aéronefs,� FREER-2 : est un omplément à FREER-1 qui répond à la remarque pré édenteen ajoutant un ontr�le au sol garantissant que l'espa e Free-Flight ne puisse seretrouver en situation où plus de trois aéronefs soient en on�its.Le on ept de Free-�ight a été poussé plus en avant au sein du LOG pour la résolutionde on�its impliquant plus de trois appareils. [GDA01a℄, [GDA01b℄ et [Gra02℄ montrentqu'il est possible de traiter la totalité des on�its sur une journée de tra� aérien, ertains on�its impliquant jusqu'à 20 aéronefs, sur un système de routes dire tes ou sur le réseaude routes existant.D'autres on epts de Free-�ight ont été proposés [ACdV03℄, mais tous posent la ques-tion de la présen e d'un pilote à bord. Bien que la te hnologie existe pour assurer des volssans pilote, psy hologiquement pour les passagers, il est di� ile d'admettre de voler dansde telles onditions. Même pour les trains à grande vitesse, où le ondu teur de train poseses mains sur un volant qui n'en est pas un et qui est là pour véri�er que tout va bien, lespassagers ne seraient pas prèts.De plus le passage à un système totalement automatisé impliquerait un hangementdrastique du système en pla e, et pour le moment au un pro essus de transition n'a étéétudié. Ce projet est un projet à long terme et pas vraiment d'a tualité pour le moment.2.2.8 Single European Sky ATM Resear h (SESAR)Le projet SESAR [CE06℄ est un programme de modernisation de la gestion du tra� aérien européen. Il a pour but de ombiner les aspe ts te hnologiques, é onomiques etréglementaires et utilisera la réglementation d'un iel unique européen. Il syn hroniserales plani� ations et les a tions des di�érents a teurs et fédèrera les ressour es pour ledéveloppement et l'implémentation des améliorations requises à travers l'Europe, au niveaudes systèmes de gestion au sol et des aéronefs.SESAR est développé par un onsortium omposé :� de 29 ompagnies et organisations,� de 20 partenariats,� des utilisateurs de l'espa e aérien,� des fournisseurs des servi es de navigation aérienne,� d'aéroports,� de l'industrie,� de militaires,� d'asso iation de pilotes et de ontr�leurs� de entres de re her he,� de l'expertise d'EUROCONTROL.Ce projet est plani�é sur di�érentes phases dans le temps :� D1 adre du tra� aérien et situation a tuelle,� D2 demande du mar hé de la gestion du tra� aérien,� D3 dé�nition des on epts ibles du future système de gestion,� D4 séle tion du meilleur s énario à développer,� D5 produ tion du alendrier de SESAR, 23

Chapitre 2. État de l'Art et Travaux Asso iés� D6 programme de travail pour l'implémentation de SESAR.Aujourd'hui, l'étape D1 a été réalisée et approuvée par les di�érents partenaires.SESAR doit dé�nir e que sera le système à l'horizon 2020, ave pour obje tif :� tripler les mouvements aériens (la apa ité),� réduire les retards,� dé upler la sûreté,� réduire de 10% l'impa t environnemental des aéronefs (bruit et pollution atmosphé-rique),� fournir les servi es ATM pour un oût inférieur d'au moins 50% à elui d'aujourd'huipour les utilisateurs de l'espa e aérien.La partie D1 du projet SESAR est le premier do ument présentant e que va devenir lavision et le plan d'a tion à suivre pour réaliser es obje tifs. Elle présente une des riptionde l'industrie du transport aérien a tuelle et de l'ATM. Elle a pour but de résumer lesaspe ts lés de la situation a tuelle ; ses for es et ses faiblesses. Elle présente quelques dé-veloppements prometteurs, et dé�nit les futurs besoins. Elle regoupe les re ommandationssur lesquelles le projet SESAR doit être basé.Chi�res Clés : En 2004, les a teurs de l'aviation ont apportés une plus value de 220milliards d'euros et ont employé environ 4 millions de personnes, soit environ 1.5% du PIBeuropéen.En 2005, il y a eu 9.2 millions de vols (en roissan e de 3.7% par rapoort à 2004 etde 15% par rapport à 1999, soit environ 30000 vols journaliers opérés par 5000 aéronefs ommer iaux.En 2025, on estime que la demande sera 2.4 fois supérieure à elle d'aujourd'hui, ave des variations lo ales importantes, notamment dans les nouveaux pays de l'union euro-péenne.La diversité des utilisateurs de l'espa e aérien est aussi amenée à roître ( ompagnieslow- ost, aviation générale et d'a�aires, aéronefs sans pilote...).L'ATM est un réseau omposé d'une entaine d'aéroports prin ipaux qui sont liés entreeux par 600 se teurs de l'espa e aérien, ontr�lé par plus de 36 fournisseurs de servi e dela navigation aérienne.Du point de vue de la performan e :� de 1992 à 2003, l'ATM a été mis en ause dans 3.6% des a idents ommmer iaux.Il n'y a pas eu d'a ident depuis 2003.� en 2005, les retards dus à la régulation ont huté de 75% depuis 1999. Le retardmoyen par vol est de 1.9 minutes, à moitié dû par les aéroports et à moitié par lesrégulations en-route. À présent, la apa ité des aéroports est la ontrainte majeureempê hant une roissan e du tra� .� le oût est de 0.76 euros/km (pour les phases en-route), soit 7 milliards d'eurosannuel. Ce oût a augmenté de 13% entre 2003 et 2006. Cela représente un oûtdeux fois plus her que elui des États-unis. Le manque de performan e du réseauATM est estimé à :� 2 milliards d'euros dus à la on�guration du réseau,� 1.4 milliards d'euros dus au non respe t des vols,� 1 milliard d'euros dus aux retards au sols.Con lusions Prin ipales : le transport aérien est un moyen de mobilité mûr :� il o�re aux lients un moyen de transport sûr et de bon rapport qualité/prix,24

2.3. L'in ertitude� il ontribue largement aux PIB européen et mondial,� il démontre une apa ité à ré upérer rapidement des périodes de ré ession é ono-mique. Cependant, suite aux évènements mondiaux ré ents, la rentabilité des om-pagnies aériennes est a tuellement faible.� les utilisateurs de l'espa e aérien ommer ial sont les plus exposés ar ils doiventrépondre aux demandes des lients dans un domaine très ompétitif et faire fa e àdes oûts �xes,� ils sont les premiers à sou�rir de la baisse subite de la demande,� ette situation est le risque prin ipal qui peut empê her le modèle é onomique enpla e d'être viable à long terme.Des in ompatibilités entre les manières dont les utilisateurs de l'espa e aérien ommer- ial opèrent, ont mené à des problèmes d'e� a ité du système ATM, en parti ulier surl'utilisation de l'espa e aérien tel qu'il est divisé aujourd'hui.Re ommandations : Il faut :� développer un adre expli ite liant les aspe ts é onomiques, ommer iaux et despriorités opérationelles des a teurs du tra� aérien dans le système ATM à établir.� supprimer la fragmentation du système a tuel,� rendre plus �exible le système pour pouvoir implémenter une phase temps-réel,� augmenter les relations entre les ontr�les d'appro he et en-route,� ...Pour le moment, SESAR a uniquement fait l'état des lieux du tra� et mis en relationles divers a teurs du tra� aérien. Au un idée pour répondre aux obje tifs �xés n'a en oreété développée. SESAR est un projet ambitieux et qui a les ressour es su�santes pour êtremené à bien.Cependant, au un adre n'a été développé, on ne sait pas à quoi ressemblera l'ATMdé�nit par SESAR, mais la solution apportée doit pouvoir être implémentée dans e futursystème.Entre autres, on verra dans ette thèse que les zones d'absorption permettent de rendrele système plus �exible, i.e. pouvoir implémenter une phase temps-réel qui répondra à lademande des lients de l'espa e aérien supérieur, sans pour autant réduire le taux d'utili-sation des ressour es du système en pla e, et par extension, du système à être implémentépar SESAR. Car quel qu'il soit, il y aura toujours des trajets à onsidérer ; es trajetspouvant être modélisés à l'aide de graphes.2.3 L'in ertitudeOn a vu pré édemment que les ressour es de l'espa e aérien étaient limitées. Mais esressour es ne sont pas utilisées de manière optimale, à ause de l'in ertitude du système.Cette in ertitude est due aux éléments entrant dans la gestion du tra� aérien :� les onditions météorologiques,� les problèmes te hniques : au moment du dé ollage, les te hni iens des aéroportse�e tuent un he k-in, et il arrive qu'il faille e�e tuer des réparations de dernièreminute, empê hant l'aéronef de prendre son réneau de dé ollage,� l'attente de passagers : ertains passagers ne respe tent pas les heures d'embarque-ment et l'on doit les attendre pour des raisons de sé urité. Par exemple, un aéronefne peut dé oller ave les bagages d'un passager dans les soutes sans elui- i, 25

Chapitre 2. État de l'Art et Travaux Asso iés� la gestion des ompagnies aériennes : les ompagnies essayent de rentabiliser leursaéronefs. Pour ela, les aéronefs e�e tuent plusieurs vols par jour (pour les volsmoyen ourriers). Si un aéronef prend du retard lors de son premier vol, on ne saitpas omment la ompagnie gère les vols suivants qui doivent être assurés par etaéronef : soit le retard est réper uté, soit on dispat he les passagers en orrespondan esur d'autres vols,� la ongestion des aéroports : les réneaux de passage dans les se teurs sont al ulésave un dé ollage dans le quart d'heure suivant la �n de l'embarquement. Il se peutqu'il y ait plusieurs aéronefs en attente de dé ollage et en provenan e qui les dé alent.Bien que es évènements soient onnus, ils ne sont pas bien pris en ompte par l'algo-rithme d'a�e tation de réneaux. Les réneaux ont une adhéren e limitée et l'utilisationdes ressour es n'est pas optimisée.Pour se protéger de e manque d'adhéren e, des aéronefs aux réneaux, les entres de ontr�le régionaux dé larent des sous- apa ités a�n d'éviter les sur harges de travail.L'idée développée dans ette thèse est de prendre en ompte es évènements de manière entralisée pour que les apa ités des ontr�leurs ne soient pas dépassées. Ainsi, les entresde ontr�le donneront les véritables ressour es disponibles.2.4 Travaux Asso iés à la Gestion de l'In ertitudeL'in ertitude est un phénomène étudié dans beau oup de domaines s ienti�ques. On aétudié es domaines a�n de l'appliquer pour la gestion du tra� aérien.L'in ertitude est gérée di�éremment selon les ontraintes de haque domaine, mais leprin ipe reste le même : on utilise plus de ressour es pour traiter les problèmes.2.4.1 Théorie de l'Ordonnan ementLa théorie de l'ordonnan ement est un domaine de la re her he opérationnelle qui onsiste en le al ul des dates d'exé ution optimales des tâ hes [Leu04℄, [CC88℄, [EL99℄,[BNS04℄.Un problème d'ordonnan ement est onstitué de tâ hes, de ressour es et de ontraintes.Le but est d'optimiser le traitement des tâ hes en fon tion des ressour es disponibles etdes ontraintes existantes, ou d'admissibilité de la solution.Une appro he par optimisation onsiste à pouvoir ordonner les solutions existantes àpartir d'indi ateurs de performan es qui peuvent être temporelles (temps total d'exé utiondes tâ hes), é onomiques ( oût du traitement des tâ hes), liés aux ressour es (quantité deressour es né essaires pour exé uter les tâ hes)...On peut iter omme problème d'ordonnan ement :� le réseau PERT6 [DWW04℄ est prin ipalement utilisé dans la gestion de projet. Leprin ipe est de trouver l'organisation optimale pour mener un projet à son but endé elant les phases ritiques, qui ne peuvent subir de retard, sinon tout ou une partiedu reste du projet est bloqué. La réalisation d'une thèse peut être organisée à partird'un réseau PERT pour l'organisation des tâ hes qui sont la réalisation de l'état del'art, la dé�nition du sujet, la résolution d'un ou plusieurs problèmes, la publi ationde résultats, la réda tion de la thèse...� l'ordonnan ement des systèmes d'exploitation onsiste en l'ordonnan ement des tâ hesd'un ordinateur pour l'exé ution optimale sur le ou les pro esseurs des ordinateurs,6Program Evaluation and Resear h Task ou Program Evaluation and Review Te hnique26

2.4. Travaux Asso iés à la Gestion de l'In ertitude� et bien sûr l'allo ation de réneaux ou de ressour es du tra� aérien. On a desressour es à disposition et des tâ hes à réaliser. Ces tâ hes orrespondent à assurerles vols des aéronefs, et les ressour es, la harge de travail des ontr�leurs. On veutoptimiser le système au niveau de l'utilisation des ressour es tout en prenant en ompte l'in ertitude.On a un problème d'ordonnan ement à résoudre, mais les problèmes d'ordonnan ementutilisent des te hniques d'autres domaines. On a étudié plusieurs de eux- i a�n d'essayerd'appliquer ertains on epts.2.4.2 Traitement du SignalLe traitement du signal est une dis ipline qui fait appel aux résultats de la théorie del'information, des mathématiques et des statistiques. Il onsiste en l'étude des te hniquesde traitement telles que l'ampli� ation ou le �ltrage, l'analyse et l'interprétations dessignaux [Max77℄.Les signaux peuvent provenir de sour es diverses et variées, mais ils sont majoritaire-ment traités de manière éle trique grâ e aux apteurs et transdu teurs.Les signaux éle triques se divisent en deux types :� analogiques produits par ertains apteurs, ampli� ateurs ou onvertisseurs numérique-analogiques� numériques [Bel81℄ produits par les terminaux, ordinateurs ou d'une numérisationd'un signal analogique ( onvertisseur analogique-numérique)...Le signal qu'on her he à traiter est elui du temps de passage des aéronefs dans lesdi�érents se teurs, a�n d'utiliser les méthodes existantes du traitement du signal pourl'allo ation de réneaux. En parti ulier, on veut essayer d'utiliser une des mesures repré-sentative de la qualité d'un signal et de l'information ontenue : l'entropie [Bri78℄, [Jan99℄.L'entropie, en physique statistique, est une unité de mesure utilisée en statistiques eten théorie de l'information. Elle permet de mesurer le degré de désordre d'un systèmeau niveau mi ros opique. Plus l'entropie est importante, moins le système est ordonné,et plus importante sera la quantité d'énergie inutilisée ou utilisée de façon in ohérente.Cher her l'entropie de la gestion du tra� aérien permettrait de prouver que les ressour esdisponibles sont bien utilisées, ou non.L'entropie S est dé�nie par la formule suivante :S = k ln(ω) (2.1)Ave ω, le nombre d'états mi ros opiques di�érents que peut atteindre le système àl'équilibre et k, la onstante de Boltzmann.L'entropie a d'abord été utilisée dans la thermodynamique puis a été utilisée dansd'autres domaines telle que la physique quantique.Exemple 2.4.2.1 (Entropie pour les gaz) On onsidère une m�le de gaz. Le nombrede molé ules est énorme et il faut prendre en ompte les trois paramètres de position spatialeet un paramètre d'énergie (agitation thermique). Le nombre de on�gurations possibles estgigantesque, ependant, la thermodynamique statique l'a al ulé et donne une entropie de

159J.K−1. Par ontre à 0 kelvin, l'agitation thermique n'existe plus, le gaz se trouve dansson état fondamental et il n'existe plus qu'une seule on�guration possible, d'où une entropienulle.On s'est intéressé au al ul de l'entropie dans le tra� aérien, mais le nombre de vols àprendre en ompte (environ 30000 par jour), sans oublier de onsidérer l'in ertitude et tous 27

Chapitre 2. État de l'Art et Travaux Asso iésles a teurs du tra� aérien demande une puissan e de al ul importante. Il faut simpli�erle modèle avant de pouvoir al uler son entropie. Il faut aussi pouvoir donner une notion ompréhensible de l'entropie pour le tra� aérien.2.4.2.1 Théorie de l'InformationLa théorie de l'information est l'étude des te hniques de ommuni ation entre dif-férentes entités. Ces entités sont reliées entre elles par des ou hes physiques ( âble en uivre, �bre optique, ondes...). Le but de la théorie de l'information est de garantir quel'information émise par la première entité soit transmise sans perte vers une autre entité.Le prin ipe utilisé dans la théorie de l'information dé oule du théorème de Shannon[Sha48℄. Le Shannon est une unité de mesure qui orrespond au nombre de bits né essairespour oder une information. On s'est intéressé au deuxième théorème de Shannon :Théorème 2.1 (Shannon)Soit un anal de apa ité C transmettant s symboles par unité de temps d'une sour e Xd'entropie H(X) dont le débit est un mot par unité de temps. s est une sour e qui produitdes mots aléatoires indépendants les uns des autres et prenant K valeurs possibles mk ave une probabilité p(mk). Alors il existe une méthode de odage qui garantit une transmissionquasiment parfaite (probabilité d'erreur arbitrairement faible) si :H(X) < sC (2.2)L'entropie, originellement dé�nie en thermodynamique par Clausius et dont le lien aété fait par Boltzmann ave la théorie des probabilités, orrespond i i à la moyenne de laquantité d'information :

H(s) = −∑

k

p(mk) log2[p(mk)] (2.3)Ce qui veut dire que si un anal génère des erreurs, on peut trouver un odage desmessages à émettre en leur rajoutant de la redondan e, a�n que le message émis puisseêtre retrouvé sans erreur. Mais Shannon ne donne pas de méthodologie pour trouver etype de odage. On her he à trouver des méthodes de odage qui se rappro hent le pluspossible de ette borne. Aujourd'hui, la méthode la plus prometteuse semble être elle desturbo odes [BGT93℄, [BG96℄.Les turbo odes font appels à des te hniques de odage et de dé odage orre teursd'erreurs dont les prin ipes s'apparentent à eux mis en oeuvre pour onstruire et résoudredes grilles de mots roisés. Les turbo odes ont permis d'obtenir des performan es trèspro hes de la limite théorique prédite par Shannon, il y a une inquantaine d'années.Le prin ipe de la théorie de l'information pour l'envoi d'information est d'utiliser laredondan e de l'information grâ e à un message odé et son ode orre teur d'erreur. Le ode orre teur d'erreur permet de déterminer si le message à été altéré, et si oui s'ilpeut le réparer. Selon que le message est bien reçu (non altéré, ou réparable) ou non, ledestinataire renvoie un a usé de ré eption. S'il est positif, alors les messages suivants sontenvoyés, sinon il est renvoyé.L'in ertitude est gérée par l'ajout d'un ode qui permet de véri�er l'intégrité du messageet de le réparer [CJ91℄. Pour ela, on utilise des odes orre teurs d'erreur, qui peuventêtre assimilés à des bu�ers, mais qui ne sont pas vides. L'idée, qui s'avère très performanteen théorie de l'information, ne peut être utilisée dans un modèle d'allo ation de réneauxaériens, ar pour ela il faudrait pouvoir trouver une relation entre les vols et un odage28

2.4. Travaux Asso iés à la Gestion de l'In ertitudequi permette l'allo ation de eux- i. Cela signi�erait de pouvoir dé oder un vol à sonarrivée, i.e. ela permettrait de trouver le hemin spatio-temporel initialement prévu malgrél'in ertitude subie. Or on veut ontr�ler ette in ertitude en temps réel, pas en tenir omptea posteriori.2.4.3 Théorie des Files d'AttenteUn autre domaine devant faire fa e à l'in ertitude est le domaine des �les d'attente.Exemple 2.4.3.1 (Gestion d'un supermar hé) Le problème est le suivant : le géranta des employés, des aisses et un nombre probable de lients qui varie au ours du temps. Legérant doit ouvrir ses aisses en fon tion de ses lients, du travail à faire dans le magasinet du nombre d'employés à disposition. S'il n'ouvre pas assez de aisses, alors les lientssont mé ontents et il prend le risque d'en perdre ertains. S'il en ouvre trop, le lient est ontent, mais ses dépenses augmentent et il devient moins ompétitif. Le but est de trouverun s héma d'ouverture des aisses optimal qui permettent de satisfaire le lient tout engarantissant des dépenses moindres. C'est le prin ipe de la théorie des �les d'attente.Kendall à introduit une notation en A/B/C en 1953 [GH85℄. Cette notation a ensuiteété étendue en 1/2/3(/4/5/6). Les nombres orrespondants sont :1. une lettre représentant le pro essus d'arrivée des tâ hes,� M pour Markovien, impliquant une distribution exponentielle des temps d'arrivée,� M [X] pour Markovien ave un volume d'entrée où X est une variable aléatoirereprésentant le nombre de lients arrivant dans le groupe,� D pour une distribution déterministe,� Ek pour une distribution d'Erlang ave k omme paramètre,� G pour une distribution générale (impli itement indépendante, mais ertains au-teurs préfèrent utiliser Gi).2. une lettre de signi� ation similaire pour le pro essus de servi e,3. le nombre de serveurs,4. la apa ité du système, ou le nombre maximal de lients autorisés dans le système,y ompris les lients en train d'être traités,5. l'ordre de priorité des �les d'attente� premier arrivé, premier servi (FIFO7),� dernier arrivé, premier servi (LIFO8),� ordre aléatoire (SIRO9),� partage de pro essus...6. taille de la sour e. Cela orrespond à la taille de la population qui arrive sur lesserveurs.La théorie des �les d'attente est dire tement appli able aux systèmes de transportsintelligents, les entres d'appels, les réseaux, les télé ommuni ations, les �ux de tra� ...Cependant, une appro he mathématique des �les d'attente montre ses limites. La mo-délisation des �les d'attente mathématiquement est trop restri tif pour permettre de modé-liser toutes les situations du monde réel. Cette restri tion est due au fait que les hypothèsesde la théorie ne sont pas toujours valables dans le réel.7First In First Out8Last In First Out9Servi e In Random Order 29

Chapitre 2. État de l'Art et Travaux Asso iésDes modèles analytiques ont bien été développés et donnent de bons résultats [Sur83℄,[TS85℄, en parti ulier pour la prédi tion. Mais ette étude [Sur83℄ qui a été faite dans un adre opérationel, montre aussi qu'elle ne peut être faite dans un adre sto hastique.De plus, la plupart des problèmes de �les d'attente on erne l'adaptabilité des serveurs(le nombre de serveurs à mettre en pla e, leur produ tivité...) en fon tion du nombre de lients. Dans la gestion de �ux du tra� aérien, 'est l'inverse qui est onsidéré. Les res-sour es sont données ; on doit adapter la demande à elles- i. On veut optimiser l'utilisationde es ressour es.Par ontre, on utilise i i aussi une zone d'absorption, orrespondant à la �le d'attente.Ce on ept sera utilisé par la suite pour la gestion de l'in ertitude, sauf que ette zoned'absorption se remplira non pas de tous les vols qui doivent passer dans un se teur, maisuniquement par eux soumis à de l'in ertitude.2.4.4 Gestion de Chaîne LogistiqueLa gestion de haîne logistique organise les �ux entre les fournisseurs des fournisseursaux lients des lients, a�n de minimiser le oût de eux- i et en fon tion de la apa ité deprodu tion des fournisseurs et de la demande des lients. Elle orrespond à la partie logis-tique qui s'o upe des �ux et des pro essus d'approvisionnement, vus omme un pro essusglobal.On distingue plusieurs atégories de �ux :� les �ux de mar handises,� les �ux �nan iers,� et les �ux d'informations.Gérer une haîne logistique, 'est �uidi�er les �ux tout en optimisant les oûts qui sontprin ipalement :� les sto ks,� l'a heminement des mar handises,� les oûts de rupture.On pensait pouvoir utiliser la gestion de la haîne logistique en onsidérant les se teurs omme des fournisseurs (le vol est traité par haque se teur qu'il traverse), les lients étantles aéroports, et la haîne, la suite de se teurs.Cependant, la gestion de la haîne logistique n'est pas un domaine d'étude, mais plut�tun problème d'optimisation de pro essus. Il existe de nombreuses entreprises qui proposentleurs servi es pour optimiser la haîne logistique, ar haque as est spé i�que et demandeune étude parti ulière. C'est une idée qui ne peut pas réellement être utilisée pour lagestion de �ux du tra� aérien, ar si on l'utilisait, il faudrait trouver une modélisationde e tra� , et utiliser une autre méthode. Il s'agit plus d'une te hnique de résolution qued'une méthodologie pour onstruire un modèle qu'on peut optimiser.2.4.5 Théorie des GraphesLe but de ette thèse est d'appliquer la théorie des graphes à la gestion de �ux du tra� aérien a�n d'aémliorer le système, ou du moins, mieux omprendre son fon tionnement.2.4.5.1 Les GraphesMathématiquement, un graphe, au sens de la théorie des graphes, est un objet repré-sentant une relation binaire, orientée ou non, entre des éléments d'un ensemble.30

2.4. Travaux Asso iés à la Gestion de l'In ertitudeUn graphe est un ouple G = (V,E) d'ensembles tel que E ∈ V 2. Les graphes sontutilisés pour représenter :� les réseaux routiers,� les réseaux de bus,� les réseaux internet,� les systèmes dis rets qui passent d'un état à l'autre de manière dis ontinue,� la modélisation inématique des mé anismes,� le nombre d'équations indépendantes disponibles (loi des mailles) [Die95℄ en éle tro-nique.� ...L'avantage des graphes est que les on epts sont fa iles à omprendre et à retenir.De véritables problèmes de re her he sont résolus sous formes de jeux mathématiquespermettant de re ouvrir de grandes di� ultés.La théorie des graphes est largement utilisée par les informati iens du fait de l'impor-tan e qu'y revêt l'aspe t algorithmique.Mais l'absen e de notations algébriques et les représentations di�érentes empê hent une omparaison aisée. Un graphe peut-être représenté sous forme matri ielle, par sa liste desommets et d'arêtes, par une des ription par propriétés, ou par des dessins. Contrairementaux polyn�mes qu'on peut trier par exposant, on peut di� ilement omparer les graphes.On se retrouve ave un foisonnement de lasses et de sous- lasses de graphes et des résultatsles on ernant ; d'où la né essité de bien dé�nir les graphes qu'on utilise.Comme il a été présenté pré édemment, la gestion du tra� aérien est onstituée dese teurs, de ontr�leurs et d'aéronefs. L'idée est d'utiliser la théorie des graphes pourd'abord modéliser le problème, pour ensuite pouvoir éventuellement le résoudre.On onçoit aisément un graphe dont les sommets seraient les se teurs, et les arêtesles relations spatio-temporelles existantes entre eux, son dual, ou l'inverse. Ces relationssont dé�nies à partir des propriétés des aéronefs et des routes aériennes. En e�et, le tempsmis par un aéronef pour traverser un se teur dépend de la on�guration de la route, des onsignes du ontr�leur (a élérer, ralentir, ...), de la vitesse de l'aéronef...On veut que le graphe onsidère les �ux de tra� . Pour ela, on peut utiliser la théoriedes �ux dans les graphes. Sa on�guration pouvant hanger en fon tion du tra� (less hémas d'ouverture), e graphe doit être dynamique.2.4.5.2 Les Graphes ÉvolutifsLes graphes évolutifs, dé�nis sous le terme de graphes espa e-temps par [FF62℄ (pourmodéliser le temps dans le adre des graphes de �ots en 1958), ommen ent à être de plusen plus utilisés.Les te hnologies utilisées dans les réseaux de ommuni ation sont nombreuses et en onstante évolution. La plupart du temps, étudier des solutions spé i�ques à haque in-novation for e au re y lage systématique des mêmes idées algorithmiques de base, au dé-triment d'avan ées tant pour la re her he que pour l'ingénierie. Une appro he pour éviter et é ueil onsiste en une uni� ation transversale des problématiques sous-ja entes grâ e àdes modélisations stru turelles et algorithmiques pertinentes. Par exemple, des stru tures ombinatoires aussi générales que les graphes ont permis de prendre en ompte des a-ra téristiques des réseaux �laires statiques lassiques et d'en extraire des problématiquesalgorithmiques fondamentales telles que le al ul des plus ourts hemins ou les réseauxde �ots. On s'intéresse à des modèles ombinatoires pour les réseaux dynamiques et l'al-gorithmique qui s'y rapporte [Fer℄, [XFAJ℄. 31

Chapitre 2. État de l'Art et Travaux Asso iésLes graphes évolutifs, se veulent une réponse au manque ru ial de modélisation de ladynamique des réseaux a tuels et qui donnent un adre formel à la prise en ompte duparamètre "temps", ainsi qu'à l'analyse ompétitive des proto oles. Les graphes évolutifsdonnent un adre formel pour l'émergen e de nouveaux points de vue sur des questionsaussi an iennes que les omposantes onnexes ou les arbres de poids minimum, en présen ede l'évolution des réseaux dans le temps.L'in onvénient des graphes évolutifs est leurs tailles. Elle est égale à la taille du réseau onsidéré multipliée par le nombre de pas de temps.Soit G = (V,E) un graphe et soit SG = Gt0 , Gt1 , ..., GtT une suite de sous graphes deG, le système EG = (G,SG) est appelé graphe évolutif.La représentation d'un graphe évolutif est généralement faite via une liste d'adja en es :� un temps d'a tivité pour haque ar ,� un temps d'a tivité pour haque sommet,� une dynami ité ∆ qui orrespond à la taille des listes des temps d'a tivité.Une représentation ompa te des graphes évolutifs est donnée par [FF62℄.Le réseau onstitué des se teurs et des relations spatio-temporelles entre eux peut êtrevu omme un graphe évolutif. En e�et, ertains se teurs peuvent être saturés et ainsi ertains hemins n'existent plus pendant ertains intervalles de temps. Il faut :� soit trouver une autre route pour faire passer le vol,� soit faire attendre l'aéronef jusqu'à e que le hemin soit de nouveau ouvert.Dans ette thèse, on onsidère uniquement le deuxième as. La seule ontrainte qu'onpeut modi�er est la ontrainte de temps.Il existe aussi d'autres modèles ombinatoires pour les réseaux dynamiques :� des graphes munis de fon tions,� des modèles probabilistes,� ...2.4.6 Probabilités et in ertitudeL'adhéren e des aéronefs aux réneaux (ressour es) est loin d'être parfaite due auxaléas opérationnels, qu'on appelle in ertitude. Cette in ertitude empê he une utilisationoptimale de es ressour es, ependant, en avoir ons ien e lors de leur allo ation peutpermettre de rendre le modèle plus performant.En raisonnant en termes de probabilité, on peut trouver des algorithmes d'a�e tationdes ressour es plus performants.2.4.6.1 In ertitudeL'in ertitude provient de notre manque de onnaissan es, ou sur des évaluations impré- ises des évènements. On simule souvent des omportement à partir de lois probabilistes ensées représenter les omportements, mais on dispose srarement de e type de lois quise basent fortement sur des heuristiques de prédi tion. On e�e tue des jugements sur lavraisemblan e des di�érents possibles, et es jugements ne peuvent être traduits par desmesures quantitatives, omme pour le tra� aérien [htt℄.L'in ertitude des évènements est mesurée sur une é helle allant de 0, pour l'évènementimpossible, à 1, évènement ertain.32

2.4. Travaux Asso iés à la Gestion de l'In ertitude2.4.6.2 ProbabilitésLe al ul des probabilités dé oule prin ipalement de la ombinatoire ( omptage desévènements désirés par rapport au nombre d'évènements possibles) et/ou des axiomesdes probabilités (probabilités sur les ensembles telles que jon tion, disjon tion...) [Fel66℄,[Fel54℄.Les prin ipales appli ations des probabilités sont :� les statistiques généralement basées sur la distribution des probabilités et le théorèmede la limite entrale,� la théorie de la dé ision,� les stratégies mixtes en théorie des jeux,� l'estimation optimale par l'usage de la loi de Bayes,� appli ation de la dé ision automatique (imagerie médi ale et astronomique, re on-naissan e des ara tères, �ltres anti-spam...),� ...Quand on parle de probabilité, on parle de al ul de ombinatoire. Depuis le milieudes années 70, le théorème de Cox-Jaynes [Jay03℄, [Cox46℄ prouve que tout mé anismed'apprentissage, est soit isomorphe à la théorie des probabilités, soit in onsistant.Dans e as, la probabilité est une tradu tion numérique subje tive d'un état de onnaissan es, obtenue par un pro essus rationnel. C'est une valeur subje tive ar l'inter-prétation d'un évènement di�ère d'un individu à l'autre. C'est l'é ole bayésienne [Tho96℄.Mais la résolution des problèmes a un but qui di�ère :� la probabilité de l'aléatoire représente la probabilité d'évènements futurs dont laréalisation dépend de quelques phénomènes physiques aléatoires, omme obtenir unas en lançant un dé ou obtenir un ertain nombre en tournant une roue,� la probabilité de l'épistémé représente l'in ertitude qu'on a devant des a�rmations,lorsqu'on ne dispose pas de la onnaissan e omplète des ir onstan es et des au-salités. De telles propositions peuvent avoir été vraies sur des évènements passéset le seront peut-être dans le futur, mais ne se véri�ent pas. Quelques exemples deprobabilités de l'épistémé sont :� assigner une probabilité à l'a�rmation qu'une loi proposée de la physique est vraie,� déterminer omment il est � probable � qu'un suspe t ait ommis un rime, en sebasant sur les preuves présentées.Mi hel Fou ault ara térise l'épistémé de la manière suivante [Fou66℄ : "[...℄ l'épistémé,où les onnaissan es, envisagées hors de tout ritère se référant à leur valeur rationnelle ouà leurs formes obje tives, enfon ent leur positivité et manifeste ainsi une histoire qui n'estpas elle de leur perfe tion roissante, mais plut�t elle de leurs onditions de possibilité."La question qui se pose aujourd'hui et qui est en ore ouverte est la suivante [htt℄ :une probabilité est-elle rédu tible à notre in apa ité à prédire pré isément quelles sont lesfor es qui pourraient a�e ter un phénomène, ou fait-elle partie de la nature de la réalitéelle-même ainsi que le suggère la mé anique quantique ?Bien que les mêmes règles mathématiques s'appliquent indépendamment de l'interpré-tation hoisie, le hoix a des impli ations philosophiques importantes : parle-t-on jamais dumonde réel (et a-t-on le droit d'en parler ?) ou bien simplement des représentations qu'onpeut en avoir ? Ne pouvant, par dé�nition, di�éren ier le � monde réel � de e qui est onnu, il est bien entendu impossible de tran her : la question est, par nature, subje tive.Outre l'aspe t philosophique, on voit que l'utilisation des probabilités n'est pas fa ile-ment justi�able. Il n'y a au un sens à parler de moyenne indépendamment de la déviation.C'est pourquoi on a her hé à obtenir des résultats qui ne sont pas en moyenne, mais en 33

Chapitre 2. État de l'Art et Travaux Asso iésgrande probabilité, i.e. garantis dans plus de x% des as. Lorsqu'on utilise les probabilités,on ne peut parler de ertitude des résultats, mais on her he à s'en rappro her.Comme on ne onnaît pas ave pré ision le taux d'in ertitude dans le tra� aérien (onparle du taux d'adhéren e des réneaux de passage dans les se teurs), on a utilisé unevariable pour la représenter. Cette variable prend des valeurs omprises entre 0.5 et 1.Aujourd'hui, l'in ertitude est située aux alentours de 20%, mais il peut arriver que lesystème se dégrade ou s'améliore, il est alors intéressant de voir omment le système se omporte ave la nouvelle solution étudiée. Prendre une valeur de 1 permet non pas detrouver une solution pour le as où il n'y aurait pas d'in ertitude ( ar on a vu pré édemmentque 'est un as qui ne peut jamais être atteint dans la pratique), mais de déterminer unelimite à atteindre.2.4.7 OptimisationLe système de gestion du tra� aérien doit être onsidéré omme un système dynamique,dû au fait que des évènements sont sus eptibles de hanger la on�guration des se teursouverts (non régulés) à fermés (régulés) supprimant des hemins possibles. Le projet CDMva dans e sens en essayant d'in orporer une phase temps-réel aux phases d'allo ation de réneaux.Mais le système étant pro he de la saturation, ajouter une phase temps réel ne su�tpas, il faut en parallèle penser à optimiser l'utilisation des ressour es en fon tion de lademande.Avant de hoisir une méthode d'optimisation, il faut se poser trois questions [Des01℄ :� quelle est la fon tion à optimiser ?� quelles sont les variables d'optimisation ?� quelles sont les ontraintes du problème ?Les réponses à es questions permettent d'identi�er le problème et de pouvoir faireapparaître des similitudes ave des problèmes onnus.Puis on étudie sa fon tion obje tif et sa onvexité, a�n de s'orienter sur la méthoded'optimisation à hoisir.On lassi�e les méthodes d'optimisation en deux atégories. Elles di�èrent par leurmode de dépla ement dans l'espa e de re her he.Elles peuvent être déterministes : on e�e tue une exploration déterministe de l'espa e dere her he. Sous ertaines onditions, elles permettent de situer la dire tion de l'optimumpar rapport à ha un des points de et espa e, et de pro he en pro he, de diminuer ladistan e entre le point ourant et l'optimum. Les méthodes les plus utilisées sont :� Nelder Mead (ordre zéro) [NM65℄,� Gradient (ordre un) [BV04℄,� Newton, BFGS10 (ordre deux) [Fis92℄,� le Simplexe pour les problèmes linéaires [Dan63℄,� Bran h and Bound [NPR96℄.Le numéro d'ordre orrespond au degré de dérivabilité de la fon tion. On parle dedegré d'ordre pour les méthodes d'optimisation lo ales. Elles assurent la onvergen e versl'optimum lo al le plus pro he (i.e. sur un intervalle de la fon tion onsidérée). Les autresméthodes sont des re her hes d'optimum global (i.e. sur toute la fon tion onsidérée).Les autres méthodes d'optimisation sont dites sto hastiques. Ellles re her hent l'op-timum par une re her he aléatoire dans l'espa e de re her he. On les utilise lorsque les10Broyden Flet her Goldfarb Shanno method34

2.4. Travaux Asso iés à la Gestion de l'In ertitudeméthodes d'optimisation déterministes sont trop oûteuses en temps de al ul. Les mé-thodes d'optimisation sto hastiques les plus onnues sont :� la re her he tabou [GT93℄, [GL98℄, et Monte Carlo [Rub81℄,� le re uit simulé [LA87℄, [KGV83℄, [AL97℄,� les algorithmes évolutionnaires, qui ne di�èrent uniquement sur l'espa e de re her hesur lequel ils travaillent et par l'absen e de ertains opérateurs :� les algorithmes génétiques [Hol92℄,� les stratégies d'évolution [S h95℄,� la programmation évolutive [Fog95℄,� la programmation génétique [Koz92℄.Les résultats obtenus dans ette thèse montrent qu'il doit exister des optimums. Cesoptimums dépendent du oût de l'utilisation des ressour es par rapport au retard a�e té.On verra par la suite, que plus on utilise les ressour es, plus les retards augmentent. C'estpourquoi il faudra hoisir une méthode d'optimisation.

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Chapitre 3Méthodologie et ModélisationL'étude du système de gestion du tra� aérien peut être e�e tuée par des appro hesdi�érentes. C'est un domaine où les données sont nombreuses et les omportements desdivers a teurs ne sont pas pré isément onnus. Cependant, ils répondent et doivent se onformer aux règles du tra� aérien.On peut étudier le système à partir de es données, par le développement de simula-teurs, ou essayer de le omprendre en le développant théoriquement à partir des propriétésde es entités.Quand on her he à dé�nir le omportement de e système, si on veut être exhaustif,alors une appro he mi ros opique sera plus adaptée, au détriment d'une omplexi� ationdu système.Dans e hapitre, on expli ite les hoix e�e tués pour montrer l'intérêt de l'utilisationdes zones d'absorption dans la gestion de �ux du tra� aérien. Puis on dé�nit les variableset paramètres utilisés pour ela.3.1 Appro hes PossiblesL'ATFM est un domaine qui est étudié depuis peu, ar on a toujours su trouver desméthodes de régulation qui répondaient à la demande roissante (aides te hniques, stru -turation du modèle...). Mais depuis quelques années, la roissan e de la demande amène deplus en plus de retard, et les solutions trouvées, bien qu'e� a es, ne sont plus su�santes, ar elles ne sont pas utilisées de manière optimale. Ces solutions sont issues de l'appro heexpérimentale. On voit omment fon tionne le tra� aérien et intuitivement, on y apportedes solutions qu'on valide sur des simulateurs.Cette appro he ne su�t plus aujourd'hui, 'est pourquoi on her he à déterminer om-ment réagit le tra� aérien à partir des données de tra� s réel et plani�é. On essaye àpartir de es données de faire émerger les propriétés du tra� .La première phase du projet SESAR [CE06℄ montre d'ailleurs un état des lieux peu�atteur de la situation a tuelle et de la né essité de hanger le système a tuel. Au unesolution n'est proposée, mais des obje tifs à réaliser à l'horizon 2025. À part peut être lanavigation satellite, il est peu probable de trouver des solutions qui permettent une réelleamélioration du système a tuel. SESAR suggère même une refonte omplète de e système.C'est pourquoi il faut trouver une solution qui soit le plus générale possible qui puisseêtre implémentée dans n'importe quel système de gestion du tra� aérien. Le on eptde zones d'absorption est étudié a�n de voir quelles améliorations il peut apporter. Étantdonné qu'il y aura toujours des lients (les aéronefs) à servir (par les fournisseurs de servi e 37

Chapitre 3. Méthodologie et Modélisationde la navigation aérienne) et que l'in ertitude sera toujours présente (bien que les méthodesde prédi tion appliquées dans les di�érents domaines devraient pouvoir la réduire), alorsl'étude de l'utilité des zones d'absorption aura toujours un sens.La dernière appro he, elle utilisée dans ette thèse, est théorique. Le système a desrègles qui doivent être respe tées, et des ontraintes te hniques qu'on peut modéliser ma-thématiquement et naturellement dé�nies à partir des lois probabilistes.Pour faire fa e à ette roissan e, de nombreux projets sont lan és en partenariat ave des entreprises et des universités de renommées internationales, ouvrant un peu plus ledomaine aérien à la ommunauté s ienti�que, et permettant de développer une théorie dutra� aérien qui ne se ontente pas seulement de dé�nir les règles le régissant (le al ul desangles d'atterrissage, de la vitesse à adopter, de la position à t + t0 en fon tion du vent...)Si l'ATM devenait une s ien e à part entière, alors on pourrait travailler ave desfa teurs de risques moindre, ar la base théorique serait plus développée et valide. Le génie ivil, qui est devenu un domaine d'études il y a une inquantaine d'années, a permis deréduire onsidérablement ette marge d'erreur.3.1.1 Appro he ExpérimentalePour faire fa e à l'augmentation onstante du tra� aérien, on a régulièrement déve-loppé son environnement a�n de garantir de plus en plus de vols en gardant, voire mêmeen augmentant les ontraintes de sûreté.Jusqu'à il y a quelques années, le progrès te hnique a toujours su devan er la demande,et le problème de sur apa ité ne s'est jamais réellement posé. À haque fois qu'une satura-tion de la gestion de e tra� (risque de ollision dans l'air ou au niveau des aéroports) sefaisait sentir, des idées ont été implémentées et ont répondu aux exigen es de roissan e :� développement de règles plus ontraignantes pour la gestion du tra� aérien,� mise en pla e d'un ontr�leur au niveau des aéroports,� dé�nition de routes aériennes,� utilisation de la radio,� utilisation du radar,� se torisation et ontr�le en-route,� vols IFR,� planning d'allo ation de réneaux,� ...Ces idées ont généralement été implémentées en oordination ave les pilotes, les ontr�-leurs et divers autres a teurs du tra� aérien. Mais aujourd'hui, les te hniques utilisées parles a teurs du système (pilotes, ontr�leurs, ompagnies), demandent de plus en plus d'ef-forts pour être améliorées et les gains sont moindres. Cela montre qu'on ne peut plusbeau oup améliorer le système. En e�et, les radars ne peuvent être plus pré is, les dis-tan es de séparation ne peuvent être réduites sans augmenter le risque de ollision, et lesappareils de ontr�le de vol permettraient presque d'enlever les pilotes des aéronefs. Onpeut toujours améliorer les te hniques (rendre les aéronefs plus réa tifs, avoir des radarsplus intuitifs qui aident à la dé ision et à la déte tion de on�its par exemple), mais legain apporté par es nouveautés ne suivent pas l'évolution de la demande du tra� , omme 'était le as auparavant : haque innovation permettait de faire fa e à ette roissan e.Le système est devenu rigide, et il est aujourd'hui di� ile de se ontenter de l'appro heexpérimentale pure pour améliorer le système. Avoir une intuition ne su�t plus, il y apeu de han es d'avoir une intuition qui améliore de manière visible, dans sa globalité lesystème. Cependant, il faut aussi analyser les e�ets de l'implémentation de haque nouvelle38

3.1. Appro hes Possiblesidée, ar même si elle- i n'apporte pas ou peu de béné� es au niveau de la gestion, ellepeut permettre de faire émerger ertaines propriétés.L'appro he expérimentale est surtout indispensable pour valider les résultats obtenuspar les deux appro hes suivantes. Elle permet de véri�er les résultats, ou de les ontredireavant de pouvoir les implémenter dans le système réel.3.1.2 Étude des DonnéesCes données sont malheureusement sous-exploitées, elles sont utilisées pour faire des onstats, ou alors pour pouvoir omparer de nouvelles stratégies par une appro he expéri-mentale. Ce i est dû au fait qu'il est di� ile d'y avoir a ès en dehors d'EUROCONTROL,les laboratoires de re her he ne peuvent pas les utiliser, bien qu'elles soient intéressantes arappartenant à un domaine en ore peu développé et qui demandent des onnaissan es de di-verses ommunautés s ienti�ques (mathématiques, probabilités, statistiques, informatique,physique, météorologie, so iologie...). Aujourd'hui, peu de propriétés ont été trouvées.[GBD04℄, [GD06℄ montrent qu'il existe une relation entre la quantité de tra� prévu etréel qui n'est pas linéaire mais logarithmique ( f �gure 2.1). Ces résultats, en ourageants,devraient ependant permettre de fo aliser un intérêt sur es données, et la né essité d'yavoir a ès devrait assouplir les onditions pour les exploiter.Le problème de l'étude des données, quel que soit le domaine onsidéré, est l'interpréta-tion des résultats et l'utilisation de eux- i. Par exemple, on peut trouver qu'une variabledu système suit une loi gaussienne, mais pourquoi ? Et omment le prouver ? Les testsstatistiques peuvent montrer leurs limites.L'étude des données permet souvent de simpli�er un modèle, de trouver des heuris-tiques, ou des pistes pour démontrer des propriétés. Mais l'étude des données seules nesu�t pas à démontrer les résultats, il faut alors avoir une appro he théorique pour ela.Ce type d'études permet de simpli�er ette résolution, en iblant les paramètres mis en auses par exemple, et aide à déterminer ertaines propriétés pouvant être utilisées dansles autres appro hes.3.1.3 Appro he ThéoriqueC'est l'appro he hoisie dans ette thèse ar une appro he expérimentale ( f hapitre 5)a montré l'intérêt de développer le on ept de zone d'absorption pour la gestion de l'in er-titude dans le tra� aérien. Mais les résultats ne peuvent être validés uniquement ave uneappro he expérimentale : manque d'optimisation et ertaines bonnes idées peuvent êtremal exploitées à tort. L'étude des données sert plut�t à dé ouvrir des propriétés et pro-poser des idées que de développer des solutions. L'appro he théorique s'est naturellementimposée.On ne peut ommen er par modéliser l'ensemble du système de gestion du tra� aérien.Il faut déterminer les relations les plus simples, et au fur et à mesure ajouter les ontraintesa�n d'arriver au système global.Ce type d'appro he présente omme avantage de dé�nir un adre mathématique ausystème, et d'avoir les outils pour prouver les propriétés du système. On peut ainsi plus fa- ilement appliquer les résultats d'autres domaines au système grâ e aux relations existantesentre eux- i (telles que inje tion, surje tion, bije tion, isomorphisme, homomorphisme...).Cela permet de ne pas avoir à démontrer toute la théorie qui est développée, puisqu'onutilise les propriétés de es domaines. 39

Chapitre 3. Méthodologie et ModélisationMais elle a omme in onvénient la omplexité et/ou l'approximation de ses dé�nitions, e qui rend le modèle souvent plus restri tif que dans la réalité. Une appro he théoriqueest onservatri e, i.e. on veut garantir les résultats. On fon tionne dans le as le pire, equi rend le système plus ontraignant.Dans ette thèse, on se on entre sur la modélisation du tra� aérien supérieur. Onne prend pas en ompte toute la partie on ernant les phases d'appro hes (dé ollage etatterrissage), ni de gestion des aéroports. On onsidère uniquement les se teurs qui gèrentle tra� dit en-route orrespondant à la partie de vol en roisière.La saturation du tra� aérien ne provient pas uniquement des aéroports. Si les se teursde l'espa e supérieur sont saturés, alors les aéronefs ne peuvent pas non plus dé oller, sinonles ontraintes de sé urité seraient violées, i.e les ontr�leurs se trouveraient en sur hargede travail. On veut optimiser, ou du moins apporter une solution qui permette d'améliorerle système d'allo ation de réneaux de passage dans les se teurs (fait par CASA). On peutétudier indépendamment les systèmes qui régulent les réneaux (gestion des aéroports etdes se teurs), et les relier par la suite. C'est pourquoi, on s'est intéressé uniquement àl'allo ation de réneaux en-route.Comme il est dit pré édemment, le système a tuel est devenu rigide, les solutions nepeuvent être globales (ou alors il faut aussi étudier une phase de transition et il s'agit deprojets à long terme). Il faut trouver des solutions qui améliorent lo alement le système(pour avoir une réponse à ourt terme), et qui, si possible, soient adaptées au systèmefutur (pour que la solution soit aussi valide pour le moyen et long terme) a�n de pouvoirréutiliser les résultats obtenus.3.2 Niveau de l'étudeVu dans son ensemble, le tra� aérien européen onsiste en la gestion d'environ 600se teurs ave leurs s hémas d'ouverture multiples, derrière lesquels se trouvent les ontr�-leurs, les algorithmes d'allo ation de réneaux entralisés par la CFMU, et environ 30000vols à ontr�ler quotidiennement, qui empruntent un grand réseau de routes, à des vitesses,des altitudes, et des trajets en ommuns ou di�érents [CE06℄. La question qui se pose està quel niveau d'étude doit-on se positionner ? Au niveau ma ros opique et onsidérer lespropriétés au niveau des �ux ? Ou au niveau mi ros opique et onsidérer les propriétés de haque entité ?3.2.1 Ma ros opiqueLorsqu'on onsidère les propriétés ma ros opiques d'un système, on étudie le ompor-tement olle tif d'un ensemble de sous-stru tures assemblées en grand nombre.Pour la gestion du tra� aérien, ela orrespond à l'étude des �ux de tra� , et ainsiobtenir des résultats orrespondant à l'ensemble du tra� , sans pouvoir dire quels aéronefssubissent quels évènements et quelles routes ils suivent. Cela permet de pouvoir améliorerle système sans avoir à rentrer dans les détails de haque entité (pilotes, ontr�leurs, plansde vol...).L'étude de l'é oulement du tra� où la route à suivre n'est pas expli ite pour un �uxou un aéronef donné, est un exemple de propagation dynamique de �ux de tra� qui nené essite pas la onnaissan e pré ise des diverses portions de routes à suivre. Ce typede modèle permet de simuler un réseau de routes à partir des �ux d'entrées/sorties auxpoints orrespondants du réseau (i i les frontières des se teurs). Outre la propagationdes �ux à l'intérieur du réseau de routes, il permet la des ription des �ux de tra� au40

3.3. Utilisation de la Théorie des Graphestravers de grandeurs ma ros opiques omme le débit, la on entration, les longueurs des�les d'attente [Tab98℄.Pour e�e tuer e type d'études on a besoin :� d'une base de données d'ar hives de tra� ,� d'une demande prévue de tra� ,� d'une zone de l'espa e en-route.Puis on dé�nit à partir des évènements observés des propriétés et des prédi tions qu'onutilise pour la modélisation ma ros opique.On veut in orporer des zones d'absorption pour traiter les aéronefs soumis à de l'in- ertitude de manière spé i�que. Une étude ma ros opique empê he ela ar on ne peutdé eler quels sont es aéronefs. L'avantage d'une étude ma ros opique est justement de nepas mettre d'ordre de priorité sur les aéronefs.Mais pour une appro he théorique, l'étude ma ros opique n'est pas un hoix onve-nable, ar il se baserait sur l'étude des données qui est soumise à interprétation. On déve-lopperait un modèle sous des hypothèses non validées ; les propriétes n'étant pas lairementdé�nies.On serait de plus obligé de ommen er son développement à un niveau prenant en ompte beau oup de paramètres et omplexi�erait le début de son développement.3.2.2 Mi ros opiqueSi on onsidère les propriétés individuelles de haque élément du système étudié, alorson parle d'étude mi ros opique.L'avantage d'une telle étude est d'être exhaustif, i.e. tous les éléments sont onsidérésave leur propriétés spé i�ques. Ainsi, ave une bonne dé�nition des éléments omposantle système, on peut modéliser tous les as possibles.Mais les études mi ros opiques demande beau oup de ressour es, 'est pourquoi ellesont longtemps été limitées à des problèmes de tailles raisonnables.Aujourd'hui, les ordinateurs ont des puissan es de al ul telles, qu'il est de moinsen moins problèmatique de onsidérer le système de gestion du tra� aérien dans sonensemble en ayant une réponse en temps réel. De plus, les progrès e�e tués en algorithmiquepermettent d'optimiser les temps de al uls en simpli�ant les fon tions et/ou en distribuantles al uls.Cependant, rien n'empê he d'utiliser des propriétés ma ros opiques dans le modèlemi ros opique pour simpli�er ertains paramètres (ave de la perte d'informations, maisqui dans e as est jugée non né essaire).L'étude mi ros opique permet de garder le ontr�le sur haque entité et d'avoir a èsà toutes les informations.Comme on onsidère haque élément du modèle indépendamment, il est plus aisé dedé omposer la modélisation théorique. Chaque entité ayant un ensemble de propriétés quilui est propre, on peut éviter de prendre en onsidération ertaines et les rajouter au furet à mesure du développement du modèle théorique.3.3 Utilisation de la Théorie des GraphesOn a vu que la théorie des graphes permettait une modélisation aisée de problèmesparfois ompliqués. L'idée de pouvoir utiliser les graphes vient naturellement de la stru turemême du système. En e�et, il est omposé de se teurs et de routes aériennes qui lestraversent. 41

Chapitre 3. Méthodologie et Modélisation3.3.1 Relations Spatio-TemporellesOn se situe au niveau de la apa ité des se teurs, les seules paramètres à prendre en ompte sont le nombre d'aéronefs déjà présents dans le se teur, le nombre d'aéronefs lequittant, et le nombre d'aéronefs arrivant. Cela est naturellement formulé par une stru ture,les sommets du graphe, représentant les se teurs ayant es trois paramètres :� le nombre d'aéronefs pouvant entrer,� le nombre d'aéronefs dans le se teur,� le nombre d'aéronefs sortant.Ces relations sont spatio-temporelles, ar elles on ernent des données de l'espa e aé-rien, et à haque instant, la on�guration peut hanger (ouverture de se teur, se teurs àleur apa ité maximale et don bloquant, ...). Ces relations sont les arêtes.On veut optimiser l'utilisation des ressour es d'un tel graphe, tout en sa hant que leseul paramètre sur lequel on peut travailler est l'heure de dé ollage. Dans notre modèle, lesaéronefs ayant dé ollés ne peuvent être modi�és, ni reroutés. On doit garantir le respe tdes ressour es disponibles uniquement en modi�ant les heures de dé ollage.Pour ela, on ne fait dé oller un aéronef que si on est sûr qu'il dispose d'une ressour edans haque se teur qu'il doit traverser.A�n de simpli�er l'étude, on ommen e par déterminer un algorithme d'a�e tationpour un seul se teur, prenant en ompte l'in ertitude du tra� aérien.3.3.2 Résolution des Problèmes de RoutageBien que la théorie des graphes permette de résoudre les problèmes de routage, e sujetn'est pas traité dans ette thèse.Cependant, on ne peut o ulter omplètement les reroutages dans le système du tra� aérien, on doit permettre l'intégration de eux- i dans le modèle développé. En utilisantles graphes, e routage est impli itement onsidéré dans le modèle.Il s'agit d'une ontrainte qu'on ne her he pas à optimiser, ar on se on entre surl'optimisation du temps d'allo ation de réneaux.3.3.3 Graphes ÉvolutifsComme dit pré édemment, les relations du système sont spatio-temporelles. La mo-délisation la plus en adéquation est une représentation par les graphes évolutifs [FF62℄.Ce graphe évolutif est onstitué d'un ensemble de sous graphes qui représentent à haqueinstant l'état des ressour es disponibles ( apa ité sous utilisée) ou non (se teur régulé), etdes tâ hes en ours (les aéronefs dans les se teurs), ave les onne tions possibles entre lesse teurs (les relations spatio-temporelles).La modélisation qui vient en premier lieu est de représenter les se teurs par les sommets,et les relations temporelles par les arêtes. Les arêtes doivent représenter deux types depropriétés :� les relations spatiales, e qui orrespond aux voisinages des se teurs,� les relations temporelles, qui représentent l'évolution du modèle.Les sommets ont les propriétés suivantes :� nombre de ressour es,� nombre d'aéronefs présents dans le se teur,Les arêtes représentent uniquement le nombre d'aéronefs passant d'un se teur à l'autreentre les instants t et t + 1.42

3.4. Notion de Zone d'Absorption (ZA)3.4 Notion de Zone d'Absorption (ZA)L'idée développée dans ette thèse est que l'utilisation de zones d'absorption pourraitpermettre d'améliorer la gestion du tra� aérien.3.4.1 Dé�nitionUn zone d'absorption orrespond à des ressour es laissées volontairement libres pen-dant l'allo ation de ressour es. Ainsi, s'il y a de l'in ertitude, les aéronefs ne pouvant pasprendre leurs ressour es ne perturberons pas le reste du planning et seront a�e tés dansune ressour e des zones d'absorption.Les zones d'absorption se dé�nissent en ressour es laissées libres. A�n de se protégerdes pi s de tra� , phénomène ourant, les ontr�leurs se protègent des sur harges de tra� en dé larant des sous apa ités.On veut agir en amont du raisonnement des ontr�leurs : puisque les ontr�leurs dé- larent une sous- apa ité pour se protéger, on leur demande la vraie apa ité et on garantitqu'il n'y aura pas de dépassement de elle- i. Cette apa ité orrespond aux ressour es dis-ponibles du système qu'on développe.Dans l'absolu, on veut que les zones d'absorption soient implémentables sans baisserle nombre de ressour es disponibles. Pour ela, il faut que les zones d'absorption ne soientpas plus gourmandes en ressour es que la di�éren e entre la apa ité réelle d'un ontr�leuret elle qui est dé larée ; e qui devrait être le as ar en entralisant e type d'information,on peut optimiser leur utilisation (i.e. pouvoir les mettres en relation et ainsi réduire leurtaille).Utiliser des zones d'absorption ne garantit pas un traitement optimal, voire meilleuredes ressour es, mais 'est un on ept qui a fait ses preuves dans divers domaines tels quel'information, le traitement des haînes de produ tion, l'ordonnan ement...De plus, ils doivent répondre à ertaines ontraintes telles qu'un aéronef ne peut at-tendre indé�niment d'être réalloué, répondre à la demande du tra� ...3.4.2 Expérimentations Montrant leur E� a itéLes zones d'absorption sont ouramment utilisées dans les problèmes d'ordonnan ementet ont prouvé leur e� a ité en as d'in ertitude. Dans le monde réel, on ne peut être sûrqu'un évènement se produit, ou qu'il se produise exa tement omme prévu.Si on utilise toutes les ressour es disponibles, alors si une erreur se produit :� soit on ne peut pas la ré upérer,� soit tout l'ordonnan ement initial est perturbé.Dans les deux as, on se retrouve dans une situation non prévue qui peut avoir des onséquen es lourdes telles que la réation de �les d'attente en entrée, le mé ontentementdes lients �naux, une information erronée...Pour éviter ela, on prévoit un temps de traitement plus long pour pouvoir traiter eserreurs et on garantit une ertaine robustesse au modèle.3.5 ProbabilitéOn se retrouve à devoir traiter un problème d'allo ation de ressour es (les apa itésdes se teurs) aux aéronefs. 43

Chapitre 3. Méthodologie et Modélisation3.5.1 CombinatoireL'analyse ombinatoire est une bran he des mathématiques qui étudie les on�gurationsde olle tions �nies d'objets, ou les ombinaisons d'ensembles �nis, et les dénombrements.On s'intéresse à la ombinatoire énumérative qui ompte les éléments dans des en-sembles �nis. La ombinatoire voit ses origines au xviiie siè le en même temps que le al ul des probabilités. Elle a été développée autour des jeux de hasard et sous l'in�uen edu al ul des probabilités, puis elle se lia à d'autres théories, en parti ulier la théorie desnombres et des graphes [PS98℄.3.5.1.1 Évènements ConsidérésLes ressour es peuvent avoir deux états :� soit un aéronef leur est alloué,� soit elles sont laissées libres pour traiter les aéronefs ne prenant pas leurs ressour es.Et elles peuvent être utilisées de trois manières di�érentes :� elle a traité son aéronef alloué,� elle a été perdue (l'aéronef ne l'a pas prise, ou 'est une zone d'absorption inutilisée),� elle a traité un autre aéronef (gestion de l'in ertitude)On a un système à une variable qui peut prendre trois valeurs, ela peut se résumerà un problème de ombinatoire (trouver le nombre de ressour es réellement utilisées) etd'algorithmique (trouver un algorithme d'allo ation performant).Le but n'est pas d'augmenter le nombre des ressour es, mais d'améliorer l'utilisationde elles- i. On veut obtenir le taux optimal d'utilisation des ressour es en fon tion dutaux d'in ertitude.3.5.1.2 Robustesse du ModèleDans le modèle développé, la ombinatoire, liée à la théorie des probabilités, permetde al uler la distribution du nombre de ressour es réellement utilisées.À partir de ette distribution on peut dé�nir un modèle ave grande probabilité, i.e.on peut garantir que dans x% de as, ela se passera omme dé rit. Pour augmenter larobustesse, il su�t d'augmenter le nombre de zones d'absorption, au détriment du tauxd'utilisation des ressour es.3.5.1.3 Intervalle de Con�an eLa notion de robustesse du modèle est dé�nie par l'intervalle de on�an e [Fel66℄ :un intervalle de on�an e I(a) (au � niveau de on�an e � a) relatif à une mesure M onstatée, est l'intervalle dans lequel, pour toute valeur de la variable onsidérée,X(M |p) > aCe i ne signi�e pas que � la probabilité que la valeur réelle ne soit pas dans I(a) est

1−a �, e qui n'aurait pas de sens puisque la valeur réelle n'est pas une variable aléatoire.Cela signi�e que � si la valeur réelle n'est pas dans I(a), la probabilité, a priori, du résultatde la mesure qu'on a obtenu était inférieure à 1− a �.On en utilise souvent une a eption plus sommaire, mais plus pratique. On al ule laprobabilité minimale (pour toute valeur de P ) que le résultat de la mesure soit dans unintervalle de largeur donnée autour de la valeur réelle. On retient la largeur pour laquelle44

3.5. Probabilité ette probabilité est égale à a. On dé�nit un autre � intervalle de on�an e � par unintervalle de ette largeur autour de la valeur ressortant de la mesure.3.5.2 AlgorithmiqueOn a étudié des nouveaux algorithmes prenant en ompte les zones d'absorption pourl'allo ation des ressour es dans le tra� aérien. Ces nouveaux algorithmes ont été omparésà CASA sous les mêmes ontraintes pour pouvoir les omparer.3.5.2.1 Algorithmes ImplémentésLe prin ipal obje tif de ette thèse est de montrer qu'il existe une solution permettantde réduire les retards en-route du tra� aérien. Les paramètres prin ipaux sont :� le retard total a�e té dû à la gestion de �ux du tra� aérien,� le taux d'utilisation des ressour es.Au premier abord, on pourrait penser que l'utilisation des zones d'absorption diminueles retards mais aussi réduit l'utilisation des ressour es. Les résultats obtenus montrentque non seulement elle permet de réduire les retards, mais aussi, pour ertaines valeurs,d'augmenter l'utilisation des ressour es.Exemple 3.5.2.1 (Intérêt des ZA) Prenons l'exemple suivant : Soit n = 30 le nombrede ressour es disponibles, soit p = 0.8 la probabilité de prise de ressour es. Si on a�e te lesressour es omme le fait CASA (toutes les ressour es sont allouées), alors en moyenne, ily aura pn aéronefs qui dé olleront soit 24 aéronefs.Maintenant laissons z = 5 ressour es libres à la �n de l'allo ation pour gérer l'in er-titude. Dans e as, on aura p(n − z) aéronefs qui utiliserons leurs ressour es plus euxqu'on a pu réallouer dans les zones d'absorption. Soit au maximum (1− p)(n− z) = 5. Oron a laissé 5 ressour es libres, on a 25 aéronefs qui ont pu prendre une ressour e.Dans les deux as, on avait 30 ressour es disponibles. En appliquant le même tauxd'in ertitude, on a vu que le fait d'utiliser des zones d'absorption permet d'augmenterl'utilisation des ressour es (25/30 ave zone d'absorption ontre 24/30 sans).L'exemple pré édant illustre le fait que l'utilisation des ressour es peut augmenter letaux d'o upation des ressour es, mais il ne dit pas omment on doit pla er les zones d'ab-sorption. De plus, on ne onnaît pas l'e�et sur les retards. C'est le but de l'algorithmiquequi, asso ié au al ul des probabilités, va permettre de dé�nir des algorithmes d'a�e ta-tion des ressour es en fon tion des ontraintes onsidérées, et de pouvoir le omparer àl'algorithme en vigueur CASA.3.5.2.2 Comparaisons e�e tuéesLes paramètres qu'on veut améliorer sont la diminution des retards et le taux d'utili-sation des ressour es.Les retards onsidérés ne sont pas eux qui ont lieu lors de l'allo ation initiale (pouréviter une sur harge le jour des opérations, un planning est e�e tué ave régulation siné essaire), mais eux dus aux régulations. On ompare les e�ets des régulations sur letra� réel, i.e. les retards alloués en temps réel à ause de l'in ertitude. Ainsi, on peutdéterminer si la stratégie adoptée (le nouvel algorithme de régulation testé) est meilleureque elui en pla e (en l'o uren e CASA). 45

Chapitre 3. Méthodologie et ModélisationLe taux d'utilisation des ressour es est aussi primordial à onsidérer, ar il arrivedéjà qu'on soit en période de saturation. Si on ne onsidère pas e paramètre, alors onpeut trouver une solution simple qui onsiste à utiliser deux ressour es par aéronef, au as où il manquerait la sienne. Ainsi plus au un retard n'est dû au système de gestion.Par ontre, même si on ne onsidère pas dire tement le retard dû à l'allo ation initiale, eux-là exploseraient et les demandes des ompagnies ne seraient pas satisfaites. Le oûtdu taux d'utilisation des ressour es représentent es retards. Si on ne onsidère pas eparamètre, alors on risque de trouver une solution qui ne serait pas implémentable, 'esten quelque sorte un paramètre équivalent aux retards a�e tés lors de l'a�e tation desressour es (planning ta tique). Si on a le même nombre de ressour es à disposition, alors es retards seront identiques ; si on en a plus, alors ils devraient diminuer, et si on en amoins ils augmenteraient.À partir de es deux paramètres, on peut dire si une stratégie est meilleure qu'uneautre. Bien que haque stratégie fon tionne sur des ontraintes parti ulières, ela permetd'obtenir des bornes. Par exemple, ne pas prendre en ompte le temps de réallo ation deressour es peut permettre d'atteindre le nombre minimal de zones d'absorption à appliquerpour améliorer la gestion. Car en les mettant toutes à la �n, on garantit que elles- i serontutilisées par les aéronefs, et que s'il en reste quelques unes de libres, on est sûr qu'il n'yaura pas d'autre aéronef après elles- i dans la période de régulation onsidérée.3.6 Le ModèleDans ette partie, on va dé�nir les di�érents paramètres et variables qu'on va étudierpar la suite, ainsi qu'expliquer nos hoix et e qu'on veut représenter.3.6.1 Dé�nition des ParamètresLes trois paramètres à étudier sont le nombre de ressour es disponibles, le nombre deressour es utilisées en zones d'absorption et le nombre de ressour es allouées. À partirde es trois paramètres, on obtient aussi le taux d'utilisation des ressour es e�e tif et leretard alloué en nombre de ressour es. On a vu que le tra� aérien était un système spatio-temporel. Les ressour es sont aussi temporelles, ainsi on obtient le retard ave le nombre deressour es qu'un aéronef doit attendre avant d'être réalloué. Par exemple, pour un se teurayant une apa ité de 50 aéronefs par heure, le fait de devoir attendre 5 ressour es impliquequ'il devra attendre 6 minutes, si elles sont distribuées équiprobablement dans le temps.3.6.1.1 Le Nombre de Ressour es DisponiblesL'algorithme d'allo ation re her hé est un algorithme qui améliore la gestion du tra� lors des périodes de régulation, 'est à dire les périodes où le tra� est saturé. On her heraà utiliser le maximum de ressour es disponibles. L'ensemble des ressour es disponibles estégal à n.Le nombre de ressour es utilisées par l'algorithme A est donné par A(n).Pour omparer les taux d'utilisation des ressour es des di�érents algorithmes, on intro-duit la variable TA(n). Cette variable est égale au nombre de ressour es réellement utiliséessur le nombre de ressour es disponibles :TA(n) =

A(n)

n46

3.6. Le ModèleOn ompare les résultats obtenus par les di�érents algorithmes à TCASA(n) = CASA(n)n .3.6.1.2 Intervalle ÉtudiéLes ressour es disponibles des se teurs sont données en apa ité horaire. Ces apa itésvarient en fon tion de la topologie du se teur (grandeur, nombre de roisements des routesaériennes), de l'expérien e des ontr�leurs, du temps prévu. Ces apa ités varient entre 30et 70 aéronefs par heure (pour l'Europe). Comme il s'agit de apa ité horaire, les périodesde régulation durent au minimum une heure.De plus, les régulations ne durent pas toute la journée mais il arrive fréquemmentqu'elles soient a tivées plus d'une heure. C'est pourquoi l'intervalle étudié pour n est ompris entre 30 et 210, i.e. entre une heure de régulation pour le se teur disposant dumoins de ressour es et trois heures de régulation pour le se teur en ayant le plus.3.6.2 La Taille des Zones d'AbsorptionUn zone d'absorption orrespond à une ressour e laissée libre pendant l'allo ation deressour es a�n d'avoir une meilleure gestion du tra� aérien. L'allo ation de ressour es orrespond à l'allo ation de réneaux.Les zones d'absorption ont pour obje tif de ontrer l'in ertitude qui modi�e le planninginitial dans la gestion a tuelle. L'implémentation des zones d'absorption implique uneautre stratégie qui respe te les ontraintes du système. Il n'y pas de priorité donnée pourl'a�e tation des ressour es. Mais lorsqu'un aéronef est soumis à de l'in ertitude et qu'ilne peut prendre son réneau, au lieu de prendre elui d'un autre et de lui a�e ter duretard, et aéronef devra attendre une zone d'absorption. Ainsi un aéronef ne prenant passa ressour e ne perturbera pas le planning initial.Le nombre des zones d'absorption, z, ne doit pas non plus être trop grand ar plus zest grand, plus le taux d'o upation des ressour es est faible.L'intérêt des zones d'absorption a été démontré théoriquement et dans diverses ap-pli ations, en garantissant une robustesse des modèles qui les utilise tout en optimisantl'utilisation des ressour es (voir se tion 2.4).3.6.3 Les Ressour es AllouéesLe dernier paramètre, r, orrespond au nombre de ressour es allouées, ou au nombred'aéronefs ar une ressour e est allouée à un aéronef, dépend des deux pré édents :

r = n− zOn onsidère que le respe t des apa ités est primordial. On ne peut les dépasser, ontrairement à e qui se passe a tuellement (heureusement les ontr�leurs se protègenten sous-dé larant leurs apa ités).Dans le modèle onsidéré, pour le as de CASA, une ressour e non prise est for émentune ressour e perdue, ar toutes les ressour es sont allouées. L'aéronef ne prenant pas saressour e va demander elle d'un autre et ainsi de suite. Les aéronefs se trouvent bous uléset l'un d'entre eux ne trouvera pas de ressour e pendant la période de régulation. Chaqueaéronef qui ne peut prendre sa ressour e implique qu'une ressour e est perdue dans emodèle (bien sûr on ne omptabilise pas les aéronefs qui doivent se dé aler pour donner saressour e à un autre). 47

Chapitre 3. Méthodologie et ModélisationDans la réalité, les réneaux alloués ne peuvent être réalloué que jusqu'à deux heuresavant l'EOBT de l'aéronef. Mais on veut pouvoir implémenter une phase temps réel quidiminue et intervalle. On onsidère que si on garde CASA, alors toutes les ressour espeuvent être réa�e tées tant qu'elles n'ont pas été prises. Dans la réalité, 'est e qu'il sepasse ar les ontr�leurs en période de tra� dense répondent à la demande sans véritable-ment suivre la plani� ation CFMU.CASA est un algorithme pour lequel r sera toujours supérieur au nombre de ressour esutilisées s'il y a de l'in ertitude ; tandis que les algorithmes qu'on propose her he à garantirla ontrainte suivante :TA(n) =

r

nOn alloue moins de ressour es ave les algorithmes proposés, mais on garantit que tousles aéronefs alloués passeront pendant la période de régulation ; e qui n'est pas le aspour CASA. De plus, on verra que les algorithmes proposés permettent de faire passerplus d'aéronefs en période régulée que CASA s'il y a de l'in ertitude. S'il n'y en a pas, nosalgorithmes e�e tuent le même travail que CASA, et les zones d'absorptions deviennentinutiles ar il n'y a plus d'in ertitude à absorber.3.6.4 Les VariablesLa variable prin ipale est elle qui dé�nit l'in ertitude. Elle peut être représentée par laprobabilité p qu'un aéronef prenne son réneau. Il est aussi possible de réutiliser ertainesressour es qui n'ont pas été prises. Plus le système sera réa tif, plus ette proportion seraimportante.Il faut aussi al uler la fon tion de oût entre l'utilisation des ressour es et les retardsa�e tés.3.6.4.1 Probabilité de Prise d'une Ressour eCette variable représente la probabilité qu'un aéronef prenne sa ressour e. En e�et, lesressour es ne sont pas toutes prises par les aéronefs qui leurs sont alloués dus aux aléasopérationnels :� hoix des ontr�leurs,� hoix des pilotes,� météo,� problèmes te hniques,� attente des passagers...Il n'existe pas d'études pré ises du taux d'in ertitude. A�n de ouvrir l'ensemble des on�gurations possibles, on fait varier les valeurs de p de 0.5 à 0.95. Si on a un p inférieurà 0.5, alors il ne sert à rien de faire une allo ation de ressour es ar plus de la moitié desaéronefs en demanderait une autre et impliquerait une utilisation de zones d'absorptiontrop importante. Le as p pro he de 1 orrespond à une in ertitude quasiment nulle etl'e�et des zones d'absorption serait négligeable, et inutile.3.6.4.2 Probabilité de Réutilisation d'une Ressour eUne hypothèse non prise en ompte pour le moment, est la possibilité de réallouerune ressour e, si elle- i n'est pas utilisée. Dans ertains as, on sait assez de temps àl'avan e qu'un aéronef ne va pas prendre son réneau (problème te hnique, retard dans48

3.6. Le Modèle

t

Aeronefs

t0Fig. 3.1: Exemple de distribution du temps auquel on sait qu'un aéronef ne va pasprendre sa ressour e par rapport au temps de prise prévue de elle- i.une rotation...). Dans e as, la ressour e se libère et devient une zone d'absorption. Onnote ette probabilité q.La �gure 3.1 montre un exemple de distribution du temps auquel on sait qu'une res-sour e ne va pas être prise. t0 étant le temps minimal pour pouvoir réutiliser une ressour e,tous les aéronefs qui ont transmis ette information assez de temps à l'avan e sont ha hurésen rouge. q est égal à la proportion de la partie ha hurée en rouge par rapport à l'intégralede ette distribution.Le but de CDM (voir se tion 1.3.5) est de rendre le système plus réa tif ; ainsi etteproportion q est amenée à augmenter dans les années à venir, grâ e à une entralisationdes informations et des prédi tions plus �ables des traje toires aériennes, des évènementsmétéorologiques et des omportements des pilotes et ontr�leurs, via une ertaine automa-tisation des a teurs de la navigation aérienne.3.6.4.3 Variable d'OptimisationDans un premier temps, on her he à diminuer les retards grâ e à l'utilisation dezones d'absorption. On ompare simplement le retard alloué entre les di�érentes stratégiesproposées et elle en pla e. Mais ette omparaison ne su�t pas, il faut aussi prendre en ompte le temps de réallo ation des aéronefs et le taux d'utilisation des ressour es. Or onse doute que plus on diminue les retards, plus le taux d'utilisation des ressour es est faibleet inversement. On veut pouvoir trouver quel est le meilleur ompromis entre les deuxvariables. Pour ela une fon tion de oût Calgo(n, α) simple est onsidérée, elle est donnéepar :

Calgo(α, n) = Talgo(n)− αRalgo(n)Ave Ralgo(n), la fon tion donnant la somme des retards appliquée par l'algorithmealgo.Cette fon tion de oût n'est pas justi�ée dans la pratique. Elle sert uniquement pourmontrer qu'il peut exister une solution optimale, ou du moins qu'une étude sur la véritablefon tion de oût est né essaire. 49

Chapitre 3. Méthodologie et ModélisationLa variable d'optimisation onsidérée i i est α. Lors de son utilisation, on onsidère unintervalle dépendant de la valeur de n pour :max

1≤m≤nCalgo(α,m)Si m = 1 ou m = n, alors la valeur d'alpha n'aura pas d'intérêt ar ela implique :� que les retards n'ont pas d'importan e (m = n), on favorise le taux d'utilisation desressour es, au détriment du temps de réallo ation des aéronefs,� que le taux d'utilisation des ressour es n'a pas d'importan e (m = 1), seul le fait degarantir que les aéronefs passeront pendant l'intervalle de régulation importe.On verra pourquoi dans les hapitres suivants.Les valeurs intéressantes d'α sont omprises dans un intervalle tel que :

max1≤m≤n

Calgo(α,m) (3.1)implique que m > 1 et m < n.3.6.5 Dé�nition du ProblèmeLe problème d'allo ation de ressour es est le suivant [FDGM04b℄,Soit :� n le nombre de ressour es disponibles pendant la période régulée,� r le nombre d'aéronefs alloués à ette période, r ≤ n� ai la ressour e allouée à l'aéronef i, i ∈ [1, r], ai ∈ [1, n]� si le statut du vol i :� 0 : l'aéronef prend ai� 1 : l'aéronef ne prend pas ai� di la ressour e réellement prise par le vol i, i ∈ [1,m], di ∈ [1, n] et ai ≤ diLe problème d'allo ation de ressour es (PAR) est dé�ni de la façon suivante :� l'entrée du PAR est une liste de ouple I = {(a1, s1), (a2, s2), ...(ar , sr)} tel queai < aj∀i < jPAR est un algorithme renvoyant une liste :� O = {d1, d2, ..., dr} ave di 6= dj si i 6= j, et di ≥ aiLes onditions di 6= dj et di ≥ ai impliquent qu'il y a au plus un aéronef par ressour e ; haque di ∈ O représente la ressour e réellement prise par par le vol i.

di ∈ O si di ≤ n, sinon l'aéronef n'est pas omptabilisé dans le taux d'utilisation desressour es de la période régulée, ar il aura été a�e té après la régulation.Si di ∈ O et ai < di alors le vol n'a pas pris sa ressour e allouée, et si ai = di le vol àpris sa ressour e.3.6.5.1 Dé omposition de PARA�n de simpli�er la omplexité du PAR, on le résout sous des hypothèses di�érentes.� utilisation des zones d'absorption ou non,� réutilisation des ressour es non prises par les aéronefs ou non. Quand un aéronef neprend pas sa ressour e ai, il peut arriver que ai soit allouée à l'aéronef j.� prise en ompte du temps de réallo ation des ressour es ou non,� prise en ompte des relations spatio-temporelles ou non.50

3.6. Le Modèle

Z︸︷︷︸

1

Z︸︷︷︸

2

R

Z︸︷︷︸

3

Z︸︷︷︸

4

R

D

Z︸︷︷︸

5

Z︸︷︷︸

6

R

Z︸︷︷︸

7

Z︸︷︷︸

8

R

D

S

Z︸︷︷︸

9

Z︸︷︷︸

10

R

Z︸︷︷︸

11

Z︸︷︷︸

12

R

D

Z︸︷︷︸

13

Z︸︷︷︸

14

R

Z︸︷︷︸

15

Z︸︷︷︸

16

R

D

S

PAR

Fig. 3.2: Dé omposition du PAR, haque numéro orrespond à un s énario di�érent.Pour résoudre PAR dans son ensemble, on ommen e par le résoudre en onsidérantmoins de ontraintes, puis on les rajoute une à une et a�n de trouver une solution etmontrer l'impa t des zones d'absorption.En résumé, on ommen e par résoudre PAR pour un seul se teur (pas de prise en ompte des relations spatio-temporelles), sans tenir ompte du temps de réallo ation desressour es. Ensuite les résultats ave et sans zone d'absorption sont omparés.PAR se dé ompose en 16 as ( f. Figure 3.2) ave les notations suivantes :� Z les zones d'absorption sont utilisées,� Z les zones d'absorption ne sont pas utilisées,� R ertaines ressour es peuvent être réutilisées,� R les ressour es ne peuvent être réutilisées,� D le temps de réallo ation des aéronefs est pris en ompte,� D le temps de réallo ation des aéronefs n'est pas pris en ompte,� S les relations spatio-temporelles sont onsidérées,� S les relations spatio-temporelles ne sont pas onsidérées.3.6.5.2 Résolution du PARSoit TAj(I) le taux d'utilisation des ressour es d'un algorithme A résolvant le PARsous les hypothèses du s énario j.Lorsque TA2n+1(I) < TA2n+2(I), on montre que l'utilisation des zones d'absorptionpermet d'augmenter le taux d'utilisation des ressour es.On ommen e par résoudre le as le plus simple, qui orrespond aux s énarii 1 et 2,puis on ajoute une hypothèse et on passe au as suivant.Par exemple, pour les s énarii 1 et 2, on suppose que le modèle est onstitué d'un seulse teur pour lequel le temps de réallo ation des ressour es n'a pas d'importan e, et que lesressour es allouées non prises sont perdues.Une fois es deux as résolus et qu'on a prouvé que TA1(I) < TA2(I) on passe aus énario suivant.À partir du as 4, on prend en ompte le temps de réallo ation des aéronefs. Il faut onsidérer une autre variable d'optimisation qui représente le oût entre le temps de réal-lo ation et le taux d'utilisation des ressour es.Puis, on voit sur la Figure 3.2 qu'avant de prendre en ompte les relations spatio-temporelles, il faut d'abord résoudre les as 1 à 8. Car haque ajout d'hypothèse omplexi�e 51

Chapitre 3. Méthodologie et Modélisationle système. Mais si on prouve que le fait d'utiliser des zones d'absorption dans le as 8 estplus mauvais que d'utiliser CASA, ela ne voudra pas dire qu'il faut arrêter ette étude.L'e�et réseau du système permet de diminuer e nombre de zones d'absorption ar ellessont naturellement prises en ompte dans e as à ause des se teurs bloquants. Il reste desressour es disponibles non utilisées et non utilisables. En rendant les se teurs bloquantsplus �exibles, alors on peut augmenter le taux d'utilisation des ressour es du système.Dans ette thèse, on n'a pas résolu le PAR dans son ensemble, mais on a prouvé à haque s énario l'intérêt d'utiliser des zones d'absorption.3.6.6 Problème d'OptimisationUne des mesures de performan e d'un algorithme résolvant le PAR est le taux d'uti-lisation des ressour es. Soit A un algorithme résolvant le PAR, le taux d'utilisation desressour es de A sur l'entrée IA est dé�nie par :TA(IA) =

card(OA)

nave card(OA) le ardinal de OA pour l'algorithme A.Intuitivement, ela donne le nombre d'aéronefs ayant pris une ressour e pendant lapériode régulée ave l'algorithme A pour résoudre PAR, en fon tion du nombre total deressour es disponibles.Une autre mesure de performan e est le temps de réallo ation des aéronefs. On peutprendre le temps moyen, qui donne une première idée, la déviation par rapport à la moyennequi est plus satisfaisante ou la distribution qui permet d'être exhaustif s'il est possible dela trouver.3.7 RésuméLe modèle développé est probabiliste, et se résume à un problème ombinatoire de néléments alloués ou non qui peuvent prendre quatre valeurs :� 0 : l'aéronef a pris sa ressour e allouée (probabilité p),� 1 : l'aéronef n'a pas pris sa ressour e allouée mais est allouable à un autre aéronef(probabilité (1− p)q),� 2 : l'aéronef n'a pas pris sa ressour e allouée et sa ressour e est perdue (probabilité(1− p)(1− q)),� -1 : la ressour e est une zone d'absorption.On onsidère que les évènements sont indépendants. [GD06℄ montre qu'il y a une dé-pendan e entre les retards. Celle- i est due au fait que les aéronefs prennent la pla e desautres et ainsi un e�et boule de neige se produit. Si ave les zones d'absorption on élimine et e�et boule de neige, alors on peut onsidérer es variables omme étant indépendantes.On dé ompose le PAR omme indiqué par la �gure 3.2. On ommen e par résoudrele problème ave le moins de ontraintes possibles a�n de pouvoir arriver à résoudre leproblème dans son ensemble.Cette appro he permet d'essayer d'être exhaustif sur les propriétés du système, et ausside voir d'où proviennent ertains phénomènes par leur dé omposition.

52

Chapitre 4Résultats ThéoriquesDans e hapitre, on développe les résultats et ontributions obtenus durant ette thèse.Avant d'utiliser les algorithmes de la théorie des graphes pour améliorer les �ux de tra� entre les se teurs, il faut ommen er par trouver un algorithme qui optimise l'utilisationdes ressour es d'un se teur.Dans un premier temps, on a her hé le nombre de zones d'absorption optimal en neprenant pas en ompte le temps de réallo ation des aéronefs, puis en le onsidérant. On apu étudier une distribution des zones d'absorption dans les périodes régulées.On a voulu garantir une robustesse au modèle ; pour ela on a utilisé le théorème deCherno� qui permet d'obtenir des résultats ave grande probabilité, mais qui se montreratrop restri tif pour une distribution uniforme.4.1 Re her he de la Taille Optimale des Zones d'AbsorptionL'intégration de zones d'absorption dans la gestion de �ux du tra� aérien implique unediminution du taux d'utilisation des ressour es. On veut minimiser le nombre de ressour esné essaires pour la gestion de l'in ertitude. Pour garantir ela, il faut que s'il existe uneressour e d'une zone d'absorption non utilisée, alors il n'y aura plus d'aéronefs à réalloueraprès elle- i.Ressources allouees

zn−z

ZAFig. 4.1: Stratégie adoptée pour trouver la taille optimale des zones d'absorption.Partant de e raisonnement, la stratégie utilisée est la suivante : pendant la périoderégulée, on met la zone d'absorption à la �n ( f Figure 4.1). Ainsi on se retrouve dans trois as de �gure :� soit il y a eu moins d'aéronefs retardés que de zones d'absorption, et on a laissé tropde zones d'absorption, as présenté sur la �gure 4.2,� soit il y a eu plus d'aéronefs retardés que de zones d'absorption, et on n'a pas laisséassez de zones d'absorption, as présenté sur la �gure 4.3, 53

Chapitre 4. Résultats Théoriques� soit il y a eu autant d'aéronefs retardés que de zones d'absorption, et on a laisséle nombre adéquat de zones d'absorption, as idéal qu'on ne peut malheureusementpas garantir.������������

������������

X X X X X XXXXX

n − z z

(1−p)(n−z)

nFig. 4.2: Cas où les zones d'absorption sont trop grandes, n représentant le nombrede réneaux disponibles, n− z le nombre d'aéronefs, z le nombre de réneaux laissésdans la zone d'absorption, et p la probabilité qu'un aéronef prenne son réneau alloué.Les roix représentent les aéronefs n'ayant pas pris leur réneau (soit (1 − p)(n − z)aéronefs). En bleu, on a le surplus de zones d'absorption.��������

X X X X X X X X X X X X X XXXXXXXXXXXXX

n − z z

(1−p)(n−z)

nFig. 4.3: Cas où les zones d'absorption sont trop petites, n représentant le nombrede réneaux disponibles, n− z le nombre d'aéronefs, z le nombre de réneaux laissésdans la zone d'absorption, et p la probabilité qu'un aéronef prenne son réneau alloué.Les roix représentent les aéronefs n'ayant pas pris leur réneau (soit (1 − p)(n − z)aéronefs). En rouge, on a le nombre d'aéronefs qu'on n'a pas pu allouer pendant lapériode de régulation.Optimiser la taille des zones d'absorption signi�e trouver une solution se rappro hantdu troisième as (on a autant de zones d'absorption que d'aéronefs retardés), tout enévitant le deuxième as ar on veut garantir que tous les aéronefs alloués dé olleront.Cette stratégie donne la taille optimale des zones d'absorption à appliquer, mais neprend pas en ompte le temps de réallo ation des ressour es. Cette ontrainte sera onsi-dérée dans la partie 4.2.4.1.1 Résultats en MoyenneOn peut obtenir une première idée de l'apport des zones d'absorption en e�e tuant uneappro he en moyenne.54

4.1. Re her he de la Taille Optimale des Zones d'Absorption4.1.1.1 Sans Réutilisation des Ressour esOn veut résoudre les s énarii 1 et 2 de la Figure 3.2. Dans es s énarii, on a deux typesd'évènements :� l'aéronef prend sa ressour e,� l'aéronef ne prend pas sa ressour e.Soit Xi la variable aléatoire dé�nie par :{

Pr(Xi = 0) = pPr(Xi = 1) = 1− p

(4.1)Xi = 0 représente le fait que la ième ressour e a été prise, et Xi = 1 l'inverse.Soit TCASAi

la variable aléatoire représentant le nombre de ressour es pris ave l'algo-rithme CASA pour le s énario i.Dans le as de CASA, on obtient :E(TCASA1) =

pn

n= p (4.2)On applique maintenant l'algorithme ZA présenté par la Figure 4.1, on alloue r = n−zaéronefs et on laisse z ressour es pour les zones d'absorption.

TZA2 =n−z∑

i=1

(1−Xi)

︸ ︷︷ ︸

A

+ min( n−z∑

i=1

Xi, z)

︸ ︷︷ ︸

C

(4.3)Ave A la variable aléatoire représentant le nombre d'aéronefs ayant pris leurs ressour eset C la variable aléatoire représentant le nombre d'aéronefs ayant pu prendre un zoned'absorption en rempla ement de leur ressour e initiale. Le al ul de l'espéran e de A,donnée par E(A), se al ule assez fa ilement. Par ontre pour l'espéran e E(C), le al ulest plus omplexe, et il faut faire attention ar E(min(a, b)) 6= min(E(a), E(b)).On aE(A) = E

( n−z∑

i=1

(1−Xi))

= p(n− z) (4.4)Pour C on sépare les possibilités en deux, soit il y a trop de zones d'absorption ;z∑

i=1

iPr(C = i), et dans e as on rajoute le nombre d'aéronefs retardés, soit i.Soit on n'a pas assez de zones d'absorption et on rajoute z aéronefs.E(C) =

z∑

i=1

[

i

(n− z

i

)

(1− p)ipn−z−i]

︸ ︷︷ ︸trop de zones d'absorption + zn−z∑

i=z+1

[ (n− z

i

)

(1− p)ipn−z−i]

︸ ︷︷ ︸pas assez de zones d'absorption (4.5)Or(1− p)(n− z) =

n−z∑

i=1

[

i

(n− z

i

)

(1− p)ipn−z−i] (4.6)D'où 55

Chapitre 4. Résultats ThéoriquesE(C) = (1− p)(n− z)−

n−2z∑

i=1

[

i

(n− zz + i

)

(1− p)z+ipn−2z−i] (4.7)Et

E(TZA2) = p(n− z) + (1− p)(n− z)−n−2z∑

i=1

[

i

(n− zz + i

)

(1− p)z+ipn−2z−i] (4.8)

E(TZA2) = n− z −n−2z∑

i=1

[

i

(n− zz + i

)

(1− p)z+ipn−2z−i] (4.9)L'espéran e E(TZA2) permet de donner la moyenne des ressour es utilisées. On veutobtenir le z qui permet d'obtenir le meilleur taux d'utilisation des ressour es. Pour ela, onpeut obtenir formellement le résultat en moyenne à partir de E(TZA2), ou par une appro heexhaustive en testant tout les z possibles.

73.5

74

74.5

75

75.5

76

76.5

77

77.5

78

78.5

79

0 5 10 15 20 25

ress

ourc

es

zFig. 4.4: Nombre moyen de ressour es utilisées sur 100 disponibles pour une proba-bilité de prise de ressour es p de 75% en fon tion du nombre de zones d'absorptionappliqué.Interprétation de la �gure 4.4 Cette �gure montre le nombre de ressour es utiliséesen moyenne pour n = 100 ressour es disponibles et un taux de prise de ressour es de 75%.Sans zone d'absorption on se retrouve ave pn = 75 ressour es utilisées omme donnée parl'équation 4.2, e qui orrespond au as de l'algorithme CASA ( ar z = 0). Le nombre deressour es utilisé ommen e par roître ave z jusqu'à une valeur maximale. En fait 'est omme si on se retrouvait dans le as de CASA ave 99 ressour es, auquel as on auraitp(n − z) ressour es en moyenne (soit pour n − z = 99, ECASA1(99) = 74.25) auquel onajoute l'aéronef réalloué dans la zone d'absorption, soit environ 75.25. La probabilité quela ressour e laissé en zone d'absorption soit prise est orrespond au fait qu'il y ait au moinsun aéronef qui n'est pas pris sa ressour e, soit : 1−

(990

)

p99 = 1− 4, 28.10−13 , soit uneprobabilité quasi ertaine.56

4.1. Re her he de la Taille Optimale des Zones d'AbsorptionOn voit que la meilleure a�e tation pour z au niveau du taux d'utilisation des res-sour es, est de hoisir z = 17, dans e as on obtient un taux moyen d'utilisation desressour es de presque 79. On a bien E(TCASA1) < E(TZA2)Et on peut répéter e pro essus tant qu'on se trouve dans la situation où il y a unegrande probabilité qu'il y ait plus d'aéronefs retardés que de ressour es laissées en zonesd'absorption. Puis on se trouve dans une situation les zones d'absorption deviennent tropgrandes. La roissan e de la ourbe ralentit alors fortement pour obtenir son maximumaux alentours de z = 17.Puis elle redes end rapidement pour suivre la droite d'équation n− z. On se retrouvedans la situation inverse, les zones d'absorption sont su�samment grandes pour garantirque tous les aéronefs alloués passeront pendant la période régulée, soit en prenant leursressour es, soit en en trouvant une dans les zones d'absorption. Et omme on a alloué n−zaéronefs, on ne peut obtenir plus de n− z ressour es utilisées, mais on s'en rappro he trèsrapidement pour z > 20.Revenons au z maximal. Si on laisse 17 ressour es en zone d'absorption, on a alloué 83vols. On obtient un nombre moyen de ressour es utilisées d'à peine 79. Il y a, en moyenne4− 5 vols qu'on n'a pas pu faire passer pendant la période de régulation, e qui ontreditnotre hypothèse qui veut garantir que tous les aéronefs alloués passent pendant la périodede régulation. Cependant on a vu que et algorithme donne un meilleur taux d'utilisationdes ressour es que CASA.Pour faire fa e à notre ontrainte, il faut non pas onsidérer les résultats en moyenne,mais garantir qu'ave un intervalle de on�an e élevé, tous les aéronefs passeront. Ce àquoi on s'atta hera dans la partie 4.1.1.3.4.1.1.2 Ave Réutilisation des Ressour esOn onsidère maintenant qu'on peut anti iper ertains aléas et ainsi réallouer les res-sour es on ernées à d'autres aéronefs.Soit t0 le temps minimal né essaire pour réallouer une ressour e perdue par un aéronef( f Figure 4.5)

t

Aeronefs

t0Fig. 4.5: Nombre d'aéronefs pour lesquels on sait à l'instant ti qu'il ne prendrontpas leur ressour e. L'aire ha hurée en rouge représente les ressour es qui peuvent êtreréutilisées, ar il s'agit de elles dont on sait à un temps supérieur à t0 qu'elles neseront pas prises. q orrespond à la proportion ha hurée omparée à l'intégrale de ette ourbe. 57

Chapitre 4. Résultats ThéoriquesOn suppose que lorsque le entre de régulation est informé qu'un aéronef ne prendrapas sa ressour e à un temps supérieur à t0, alors il y a un aéronef qui peut la prendre.Soit Xi la variable aléatoire représentant les évènements suivants :� Pr(Xi = 0) = p, l'aéronef a pris sa ressour e,� Pr(Xi = 1) = 1− p, l'aéronef n'a pas pris sa ressour e.Soit Yi la variable aléatoire représentant les évènements suivants :� Pr(Yi = 0) = q, la ressour e peut être réutilisée,� Pr(Yi = 1) = 1− q, la ressour e ne peut être réutilisée.Soit n le nombre de ressour es disponibles, soit z le nombre de ressour es laissées enzones d'absorption, soit r = n− z le nombre d'aéronefs alloués.Ave CASA Dans l'allo ation a tuelle, on a z = 0, d'où r = n. On est sous les ontraintes représentées par le s énario 3 de la Figure 3.2. On nomme l'algorithme étudiéCASA3,On a :

TCASA3(n) =1

n

n∑

i=1

(1−Xi)

︸ ︷︷ ︸Ressour es prises+1

n

n∑

i=1

Xi(1− Yi)

︸ ︷︷ ︸Ressour es réutilisées (4.10)D'oùE(TCASA3) = p + (1− p)q (4.11)Ave Zones d'Absorption Il s'agit de résoudre le as 4 de la �gure 3.2. On utilise lamême stratégie utilisée pré édemment ( f �gure 4.1). On met tous les zones d'absorptionà la �n. On nomme et algorithme ZA4On a

TZA4(n) =1

n

r=n−z∑

i=1

(1−Xi)

︸ ︷︷ ︸

A Ressour es prises+1

n

r=n−z∑

i=1

Xi(1− Yi)

︸ ︷︷ ︸

B Ressour es réutilisées+1

nmin(

r=n−z∑

i=1

XiYi, z)

︸ ︷︷ ︸

C Zones d'absorption (4.12)Ave A la variable aléatoire représentant le nombre d'aéronefs ayant pris leurs ressour esallouées. B représentant les ressour es réutilisées et C les aéronefs ayant pu prendre uneressour e dans les zones d'absorption.On a :

E(A) =p(n− z)

n(4.13)

E(B) =(1− p)q(n − z)

n(4.14)58

4.1. Re her he de la Taille Optimale des Zones d'AbsorptionE(C) =

zones d'absorption trop grandes as où min=

r=n−z∑

i=1

XiYi

︷ ︸︸ ︷

1

n

z∑

i=1

(

i

(n− z

i

)[(1− p)(1− q)

]i[1− (1− p)(1− q)

]n−z−i)

+z

n

r=n−z∑

i=1

( (n− z

i

)[(1− p)(1 − q)

]i[1− (1− p)(1− q)

]n−z−i)

︸ ︷︷ ︸zones d'absorption trop petites, as où min=z

(4.15)On a trop de zones d'absorption quand I, le nombre d'aéronefs retardés, est inférieurà z, or :

Pr(I = i) =

(n− z

i

)[(1− p)(1− q)

]i[1− (1− p)(1− q)

]n−z−i (4.16)Le nombre moyen d'aéronefs rajoutés grâ e aux zones d'absorption est donné par lasomme des probabilités d'obtenir i aéronefs qui n'ont pas pris leurs ressour es, pondéréspar i (pour i allant de 1 à z), plus la somme des probabilités d'obtenir j aéronefs qui n'ontpas pris leurs ressour es, pondérés par z, ar on ne peut pas rajouter plus d'aéronefs quede ressour es laissées en zones d'absorption (pour j allant de z + 1 à n− z).On a :(1−p)(1− q)(n− z) =

n−z∑

i=1

(

i

(n− z

i

)[(1−p)(1− q)

]i[1− (1−p)(1− q)

]n−z−i) (4.17)D'où :

E(C) =

(1− p)(1 − q)(n − z)

−n−2z∑

i=1

(

i

(n− zz + i

)[(1− p)(1− q)

]z+i[1− (1− p)(1− q)

]n−2z−i) (4.18)Et :

E(TZA4(n)) =

1n

[

p(n− z) + (1− p)q(n− z) + (1− p)(1− q)(n− z)

−∑

i=1

(n−2zi

(n− zz + i

)[(1− p)(1− q)

]z+i[1− (1− p)(1− q)

]n−2z−i)](4.19)

E(TZA4(n)) =

1n

[

n− z

−∑

i=1

(n−2zi

(n− zz + i

)[(1− p)(1− q)

]z+i[1− (1− p)(1− q)

]n−2z−i)](4.20)On remarque que si q = 0, alors on a E(TZA4(n)) = E(TZA2(n)).Interprétation de la �gure 4.6 Les ourbes représentent l'espéran e de nE(TZA4(n))en fon tion de z, pour n = 100, p = 75% et haque ourbe représente des valeurs de qdi�érentes.On remarque que prendre en onsidération la réutilisation des ressour es permet d'aug-menter le nombre de ressour es utilisées pour tout z. C'est normal ar on peut utiliser 59

Chapitre 4. Résultats Théoriques

72

74

76

78

80

82

84

86

88

90

0 5 10 15 20 25

ress

ourc

es

z

q=0%q=20%q=50%

Fig. 4.6: Nombre moyen de ressour es utilisées sur 100 disponibles pour une pro-babilité de prise de ressour e p = 75% en fon tion du nombre de zone d'absorptionappliqué. Chaque ourbe représente les valeurs obtenues pour un taux de réutilisationq di�érent. ertaines ressour es perdues en zone d'absorption ; on donne ainsi une deuxième han eaux ressour es d'être réutilisées. Plus le taux de ette deuxième han e est important, pluson augmente le nombre de ressour es utilisées.On onstate aussi que la forme des ourbes évolue en fon tion de q. Plus q augmente,moins la roissan e jusqu'à l'optimal de z est importante. Ainsi, on voit sur la �gure 4.7qu'il n'y a même plus de roissan e. En fait, plus q augmente, plus il prend la pla e desabsorbeurs, réduisant leur impa t, et aussi leur taille.On voit que les z optimaux, eux utilisés pour obtenir le plus grand nombre de res-sour es utilisées, diminuent ave la roissan e de q, e qui orrobore la remarque pré édente.Cependant, on voit que même pour un taux de réutilisation q de 50%, il y a toujours unintérêt à utiliser les zones d'absorption.Les deuxièmes parties des ourbes sont asymptotiques à la droite d'équation n − z,pour les mêmes raisons que pré édemment ; on ne peut avoir plus de ressour es utiliséesque d'aéronefs alloués.On remarque i i aussi que quel que soit q, le z optimal trouvé pour le nombre moyende ressour es utilisées ne garantit pas que tous les aéronefs passeront. Par exemple pour

q = 20%, on obtient z = 14, on a 82 ressour es utilisées alors qu'on a a�e té 86 aéronefs ;il y a en moyenne 4 aéronefs qui ne sont pas passés.Interprétation de la �gure 4.7 Pour un taux de réutilisation de ressour es de 90%, iln'y a plus d'intérêt à utiliser de zones d'absorption si on onsidère les résultats en moyenne, ar le z optimal est obtenu pour 0. Mais dans la réalité, il n'est pas raisonnable d'étudierde tels taux pour q ar :1. il faut avoir été prévenu assez de temps à l'avan e qu'une ressour e se libère,2. il faut qu'il y ait un aéronef qui puisse prendre ette ressour e.60

4.1. Re her he de la Taille Optimale des Zones d'Absorption

94.5

95

95.5

96

96.5

97

97.5

0 1 2 3 4 5

ress

ourc

es

z

q=90%

Fig. 4.7: Nombre moyen de ressour es utilisées sur 100 disponibles pour une probabi-lité de prise de ressour e p = 75% et de réutilisation q = 90% en fon tion du nombrede zones d'absorption appliqué.Ce qui demanderait une haute réa tivité du système, e qui n'est pas le as, et si eladevait arriver, alors on montrerait que les zones d'absorption n'ont pas d'utilité sous es ontraintes.4.1.1.3 Résultats ave Grande ProbabilitéMalheureusement, à partir des résultats obtenus en moyenne, on ne peut rien déduire : sion a une distribution uniforme, ou de Poisson, des variables ave des moyennes identiques,on aboutit à des on lusions di�érentes.On a obtenu le nombre de zones d'absorption né essaires en moyenne, mais on ne saitpas si elles seront toutes utilisées ou si les aéronefs perdant leur ressour e en trouverontune autre (zone d'absorption ou ressour e réutilisable).On veut que la grande majorité des aéronefs perdant leur ressour e en trouve une autrependant la période de régulation. Pour ela, on utilise la borne de Cherno� [Che52℄Bornes de Cherno� En théorie des probabilités, la borne de Cherno� donne une borneinférieure orrespondant au nombre de su és de n évènements indépendants. Il s'agit d'un as parti ulier de l'inégalité de Cherno� [Che52℄.Soient E1, E2, ..., En des évènements indépendants se réalisant ave une probabilitép > 1

2 . Alors la borne de Cherno� dit que la probabilité d'obtenir simultanement plus den2 évènements Ek est supérieure à :

1− e−2n(p− 12)2 (4.21)Exemple 4.1.1.1 (Cherno�) On onsidère une piè e de monnaie biaisée, on a plus de han es d'obtenir une fa e que l'autre, mais on ne sait pas laquelle. La solution la plussimple est de lan er plusieurs fois la piè e et de ompter ombien de fois on tombe sur 61

Chapitre 4. Résultats Théoriquespile et sur fa e. Mais ombien de fois doit-on lan er la piè e pour obtenir un intervalle de on�an e satisfaisant ? Cherno� permet de répondre à ette question.On suppose qu'on veut garantir qu'on s'est trompé ave une probabilité inférieure à ǫ.D'après l'équation 4.21 on a :n ≥ 1

p− 12

ln1√ǫ

(4.22)Si on obtient fa e dans 60% des lan ers, alors on aura un intervalle de on�an e su-périeur à 95% si on obtient e résultat au bout de 150 lan ers ; si elle était biaisée à 90%,alors seulement un peu plus de 10 lan ers aurait su�t. Moins la piè e est biaisée, plus ilfaudra e�e tuer de lan ers.La borne de Cherno� est plus généralement utilisée dans les algorithmes aléatoires a�nde déterminer une borne pour le nombre né essaire d'essais né essaires pour déterminerune valeur ave un intervalle de on�an e donné.En généralisant, on obtient les bornes de Cherno� :Théorème 4.1Bornes de Cherno� Soit X1,X2, ...,Xn des variables aléatoires indépendantes. Soient Xi ∈[0, 1] et ǫ > 0, alors :

Pr( 1

n

n∑

i=1

Xi ≥ (1 + ǫ)E(Xi))≤ e−

E(Xi)ǫ2

2 (4.23)Ave CASA et q = 0Théorème 4.2Soit n le nombre de ressour es disponibles, soit r le nombre d'aéronefs qu'on veut alloueret soit p la probabilité qu'un aéronef prenne sa ressour e. Alors on a ave une probabilitésupérieure 1 − 1rc , ∀c > 0 au moins pr −

√

2cpr ln(r) aéronefs qui passeront pendant lapériode de régulation.Preuve : Soit Xi la variable aléatoire dé�nit par :� Pr(Xi = 0) = p qui représente la probabilité que l'aéronef prenne sa ressour e,� Pr(Xi = 1) = 1 − p qui représente la probabilité que l'aéronef ne prenne pas saressour e.On onsidère les Xi indépendants.On pose :S1(r, p) =

r∑

i=1

Xi (4.24)S1(r, p) représente le nombre d'aéronefs ayant pris leur ressour e sa hant que r aéronefsont été alloués, et p dé�nissant la variable Xi.On a :

E(S1(n, p)) = pn (4.25)D'après Cherno� et l'équation 4.23 on a :Pr(S1(n, p) ≤ (1− ǫ)E(S1(n, p))) ≤ e−E(S1(n,p))ǫ2/2 (4.26)62

4.1. Re her he de la Taille Optimale des Zones d'AbsorptionOn pose : ǫ =√

2c ln(n)E(S1(n,p))

Pr(

S1(n, p)) ≤(1−

√

2c ln(n)

E(S1(n, p))

)E(S1(n, p))

)

≤ ec ln(n) (4.27)Pr

(

S1(n, p) ≤ pn−√

2cpn ln(n))

≤ 1

nc(4.28)

Pr(

S1(n, p) ≥ pn−√

2cpn ln(n))

≤ 1

nc(4.29)Ave Zone d'Absorption et q = 0 En remplaçant n par n − z dans le théorèmepré édent, on obtient le taux d'o upation des ressour es ave zones d'absorption :

Pr(

S1(n− z, p) ≥ p(n− z)−√

2cp(n − z) ln(n − z))

≤ 1

(n− z)c(4.30)On peut ainsi trouver z en fon tion de c et omparer les résultats obtenus ave euxn'utilisant pas de zone d'absorption, et trouver une optimisation sur z.Optimisation de z pour q = 0 Soit A1(r, p) le nombre d'aéronefs ne prenant pasleur ressour e sa hant que r ressour es ont été allouées ave une probabilité de prise deressour e de p. On a :

A1(n− z, p) + S1(n− z, p) = n− zS1(n− z, p) = n− z −A1(n− z, p)D'où :

Pr(

A1(n − z, p) ≤ n− z − p(n− z) +√

2cp(n − z) ln(n− z))

≥ 1− 1(n−z)c

Pr(

A1(n − z, p) ≤ (1− p)(n − z) +√

2cp(n − z) ln(n− z))

≥ 1− 1(n−z)c

(4.31)On suppose maintenant que ette inégalité soit d'un niveau de on�an e de 1− δ > 0.Ave δ = 1(n−z)c . Pour l'équation 4.31, un intervalle de on�an e de 1− δ = 0.9 signi�e quel'allo ation des ressour es é houera (au moins un aéronef n'aura pu être alloué pendantla période régulée) dans moins de 10% des as. Il y aura plus d'aéronefs retardés que dezones d'absorption.On obtient une onstante c égale à :

c = − ln(δ)

ln(n − z)(4.32)A�n d'être sûr que tous les aéronefs ne prenant pas leur ressour e initiale puissent avoirune ressour e d'une zone d'absorption, ave une on�an e de 1− δ, on doit imposer :

Pr(z ≥ A1(n− z, p)) ≥ 1− δ (4.33)C'est à dire trouver le plus petit z qui garantit à 1−δ près que tous les aéronefs retardéstrouveront une ressour e dans les zones d'absorption.D'où :z = (1− p)(n− z) +

√

2cp(n− z) ln(n− z) (4.34) 63

Chapitre 4. Résultats Théoriquesz =

1− p

2− pn +

1

2− p

√

2cp(n − z) ln(n− z) (4.35)En remplaçant c par − ln(δ)ln(n−z) dans l'équation 4.35 , on obtient le z optimal en fon tionde δ :

z =ln (δ) p + p2n + 2n− 3 pn +

√

(ln δ)2 p2 − 4 ln δpn + 2 ln δp2n

4− 4 p + p2(4.36)

n=100,d=10% avec buffern=100,d=10% sans buffern=100,d=5% avec buffern=100,d=5% sans buffer

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tau

x d’

occu

patio

n de

s re

ssou

rces

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1p

Fig. 4.8: Taux d'o upation des ressour es en fon tion de la probabilité p de prisede ressour e d'un aéronef, d représente le δ de l'intervalle de on�an e.Interprétation de la Figure 4.8 Elle présente le taux d'o upation des ressour es enfon tion du taux p de prise de ressour es des aéronefs, et de δ représenté par d.Elle montre les résultats obtenus ave et sans zone d'absorption en respe tant le prin ipedu premier arrivé, premier servi. On voit le double intérêt d'utiliser des zones d'absorptionet d'optimiser leur taille grâ e à la borne de Cherno�. Premièrement, il augmente le tauxd'utilisation des ressour es en donnant aux aéronefs une deuxième han e, de plus il ga-rantit aussi que tous les aéronefs alloués passeront pendant la période régulée (à l'erreur δprès).Contrairement aux résultats en moyenne obtenus pré édemment, on a une nette amé-lioration du taux d'utilisation des ressour es ave un intervalle de on�an e supérieur à90%, et e, quel que soit le taux d'in ertitude appliqué (1− p). On remarque que plus ondiminue δ, qui représente l'erreur, plus le taux d'utilisation des ressour es diminue, maisnotre modèle est plus robuste. Il faut voir ave quelle erreur il est raisonnable de travailler.Car plus on rend le modèle robuste, plus le taux d'erreur δ diminue :64

4.1. Re her he de la Taille Optimale des Zones d'Absorption� moins de ressour es des zones d'absorption risquent d'être utilisées,� plus le système est protégé des risques de sur apa ité.On veut trouver le meilleur taux d'utilisation des ressour es tout en minimisant lesrisques de sur apa ité. Il faut étudier le oût de e risque par rapport au oût de la sous-utilisation des ressour es.Cependant, la borne de Cherno� montre sa limite pour les valeurs de p pro hes ouégales à 1. En e�et pour p = 1, tous les aéronefs prennent leurs ressour es, on a un tauxd'o upation des ressour es de 1 et le nombre de zone d'absorption est de 0 ; e qui ne sevoit pas sur la �gure 4.8.Cherno� donne une borne, mais pas la valeur exa te. Elle permet de simpli�er ladétermination des intervalles de on�an e, e qu'on a prouvé par l'expérimentation, a�nde voir quelle était la di�éren e entre la borne de Cherno� et la simulation. Cette borne aété testée dans la partie 4.6.3.1.Ave CASA et q Variable Aux al uls pré édants, on ajoute la variable q qui représentele taux de réutilisation des ressour es.On dé�nit S2(r, p, q) omme le nombre de ressour es utilisées pour r allouées ave :� p la probabilité de prise de la ressour e,� q la probabilité qu'une ressour e puisse être réutilisée.On a S2(r, p, 0) = S1(r, p) etE(S2(r, p, q) = p + q(1− p)) (4.37)Théorème 4.3Soit n le nombre de ressour es disponibles, soit r = n le nombre d'aéronefs qu'on veutallouer, soit p la probabilité qu'un aéronef prenne sa ressour e et q qu'elle soit réutilisable.Alors on a ave une probabilité supérieure 1 − 1

nc , ∀c > 0 au moins n(p + (1 − p)q) −√

2cn(p + (1− p)q ln(n) aéronefs qui passeront pendant la période de régulation.Preuve : La démonstration se fait en remplaçant S1(n, p) par S2(n, p, q) dans la démons-tration du théorème pré édent dont l'espéran e est donnée par l'équation (4.37) et onobtient :Pr

(

S2(n, p, q) ≥ n(p + (1− p)q)−√

2cn(p + (1− p)q) ln(n))

≤ 1

nc(4.38)Ave Zone d'Absorption et q Variable On ajoute les zones d'absorption, i.e. onrempla e r = n par r = n− z dans l'équation (4.38) et on obtient :

Pr(

S2(n−z, p, q) ≥ (n−z)(p+(1−p)q)−√

2c(n − z)(p + (1− p)q) ln(n− z))

≤ 1

(n− z)c(4.39)On peut ainsi al uler z en fon tion de c et optimiser ette valeur.Optimisation de z ave prise en ompte de la réutilisation des ressour es Ondé�nit A2(n, p, q) omme étant le nombre d'aéronefs ne prenant pas leur ressour e allouéeet ne trouvant pas une ressour e réutilisable. On a : 65

Chapitre 4. Résultats ThéoriquesA2(n− z, p, q) + S2(n− z, p, q) = n− zS2(n − z, p, q) = n− z −A2(n − z, p, q)

(4.40)D'où en remplaçant S2(n − z, p, q) par sa valeur donnée par l'équation (4.40) dansl'équation (4.39) :Pr

(

A2(n−z, p, q) ≤ (1−p)(1−q)(n−z)+√

2c(n − z)(p + (1− p)q) ln(n − z))

≥ 1− 1

(n− z)c(4.41)Comme pré édemment, on veut un intervalle de on�an e de 1 − δ > 0. Ave δ =− ln δ

ln(n−z) .A�n d'être sûr que tous les aéronefs ne prenant pas leur ressour e puissent en trouverune autre (soit dans les zones d'absorption, soit une ressour e réutilisable), ave un niveaude on�an e de 1− δ, on doit avoir Pr(z ≥ A2(n− z, p, q)) ≥ 1− δ, e qui signi�e :z = (1− p)(1− q)(n− z) +

√

2c(n − z)(p + (1− p)q) ln(n− z) (4.42)z =

n(1− p)(1− q)

1 + (1− p)(1− q)+

1

1 + (1− p)(1− q)

√

2c(n − z)(p + (1− p)q) ln(n− z) (4.43)en remplaçant c par − ln(δ)ln(n−z) , on obtient le z optimal en fon tion de δ, les résultatsobtenus sont donnés par la �gure4.9.

65

0,8 1

60

0,7

p

0,6 0,9

80

0,5

70

75

n=100,d=10% avec buffer

n=100,d=10% sans buffer

n=100,d=5% avec buffer

n=100,d=5% sans buffer Fig. 4.9: Taux d'o upation des ressour es en fon tion de p pour q = 0.5.66

4.2. Temps de Réallo ation des Ressour esInterprétation de la �gure 4.9 : On a un exemple de bornes inférieures obtenuespour le z optimal en fon tion de p et pour q = 0.5 donné. On obtient le même type de ourbe que pour q = 0 ( as de la �gure 4.8). Le type de ourbe obtenu a toujours la mêmeforme quelle que soit la valeur de q. Cependant, plus q est faible, plus l'é art entre le tauxd'o upation des ressour es obtenu ave et sans zone d'absorption est important.On voit l'intérêt d'utiliser des zones d'absorption pour la gestion de �ux du tra� aérienave la prise en ompte de la réallo ation de ressour es.Ave les zones d'absorption, on garantit (à δ près) que les aéronefs alloués passerontpendant la période de régulation, on a :Pr(S2(n, p, q) ≤ n− z) ≥ 1− δ (4.44)Du point de vue de l'utilisation des ressour es, du respe t des apa ités et du planningd'allo ation, l'utilisation des zones d'absorption permet d'améliorer la gestion a tuelle.Mais un point important qu'on n'a pas en ore pris en ompte est le temps de réallo ationdes aéronefs.4.2 Temps de Réallo ation des Ressour esOn a obtenu la taille optimale des zones d'absorption en fon tion des probabilités p, qet de l'intervalle de on�an e δ.Dans ette partie, on va essayer de trouver la distribution du temps de réallo ation desaéronefs (mesurée en nombre de ressour es), en fon tion de ses paramètres.4.2.1 Position des Aéronefs RetardésSoient r = n − z représentant le nombre de ressour es allouées et A = {1, 2, .., r} unensemble de r éléments.Soit xi(a) la variable aléatoire donnant la position du ième aéronef qui ne peut pasprendre sa ressour e, sa hant qu'il y a "a" aéronefs qui n'ont pas pris leurs ressour es,

xi(a) ∈ A.Étant donné un entier positif a, la distribution de xi(a) est donnée par la ré urren esuivante :

Pr(x1(a) = k) =

0

@

r − ka− 1

1

A

0

@

ra

1

A

Pr(xi(a) = k) =k−1∑

j=i−1

Pr(xi−1(a) = j)

0

@

r − ka− i

1

A

0

@

r − ja− i + 1

1

A

(4.45)Preuve : Si a aéronefs ne prennent pas leur ressour e, la séquen e des positions de esaéronefs peut être représentée par {x1(a), x2(a), ..., xa(a)} telle que :

{xi(a) ∈ Axi(a) > xi−1(a), pour tout 2 ≤ i ≤ a

(4.46)On ommen e par al uler Pr(x1(a) = k) : 67

Chapitre 4. Résultats Théoriques{x1(a) = k,

0

@

r − ka− 1

1

Apossibilités︷ ︸︸ ︷

A1 = {k + 1, k + 2, ..., r}︷ ︸︸ ︷

x2(a), x3(a), ..., xa(a)︸ ︷︷ ︸

A = {1, 2, ...r}︸ ︷︷ ︸

0

@

ra

1

Apossibilités } (4.47)Il y a (

ra

) séquen es possibles de longueur a. Le nombre de séquen es ommençantpar x1(a) = k est égal au nombre de séquen es de longueur (a − 1) sur l'ensemble A1 =

{k + 1, k + 2, ..., r}, qui est de (r − ka− 1

), on obtient ainsi :Pr(x1(a) = k) =

(r − ka− 1

)

(ra

) (4.48)On suppose maintenant qu'on onnaît la distribution probabiliste Pr(xi(a) = k) et on her he à al uler Pr(xi+1(a) = k). Ce i orrespond à l'ensemble des possibilités donnépar l'ensemble suivant :{

j égal à i ou i+1...k−1︷ ︸︸ ︷

xi(a) = j, xi+1(a) = k,

0

@

r − ka− i− 1

1

Apossibilités︷ ︸︸ ︷

Ai+1 = {k + 1, k + 2, ..., r}︷ ︸︸ ︷

xi+2(a), xi+3(a), ..., xa(a)︸ ︷︷ ︸

Ai = {j + 1, j + 2, ...r}︸ ︷︷ ︸

0

@

r − ja− i

1

Apossibilités } (4.49)On doit obtenir :

Pr(xi+1(a) = k) =∑k−1

j=i Pr(xi+1(a) = k, xi(a) = j)

Pr(xi+1(a) = k) =∑k−1

j=i Pr(xi+1(a) = k|xi(a) = j) Pr(xi(a) = j)(4.50)On peut al uler Pr(xi+1(a) = k|xi(a) = j) expli itement. Il y a (

r − ja− i

) séquen esde longueur a− i sur les ensembles des positions Ai{j + 1, j + 2, ..., r}. Parmi elles- i, lenombre de séquen es ommençant par la position k est égal au nombre de séquen es delongueur (a− i− 1) sur l'ensemble Ai+1{k + 1, k + 2, ..., r}, soit (r − k

a− i− 1

), d'où :Pr(xi+1(a) = k|xi(a) = j) =

(r − k

a− i− 1

)

(r − ja− i

) , (4.51)68

4.3. Taux d'O upation des Ressour es en Fon tion du Temps de Réallo ationqui est le résultat re her hé.4.2.2 Réallo ation des Aéronefs et RetardsDe la position des aéronefs qui n'ont pas pu prendre leur ressour e, on al ule lesretards dus aux réallo ations. On suppose que r ressour es sont allouées et z sont laisséesen zones d'absorption. Chaque aéronef qui ne prend pas sa ressour e originale est réallouédans la première zone d'absorption libre.Soit di(a) le retard (en nombre de ressour es) appliqué sur le ième aéronef n'ayant paspris sa ressour e pour être réalloué dans une zone d'absorption, sa hant qu'il y a a aéronefsqui ont été retardés.On a :Pr(di(a) = k) = Pr(xi(a) = r − k + i) (4.52)Maintenant on suppose que a, le nombre de ressour es allouées non prises, n'est plus�xé. On pose di le retard moyen du ième aéronef réalloué :

Pr(di = k) =

r∑

j=1

Pr(di(j) = k) Pr(a = j) (4.53)Ave a donné par la distribution binomiale :Pr(a = j) =

(jr

)

(1− p)jpr−j (4.54)On al ule le temps de réallo ation moyen E(d) pour tous les aéronefs :E(d) =

1

r

r∑

i=1

r∑

j=i

j Pr(di = j) (4.55)4.3 Taux d'O upation des Ressour es en Fon tion duTemps de Réallo ationDans ette partie, pour un intervalle de on�an e donné, on étudie l'évolution du tempsde réallo ation moyen et du débit (nombre de ressour es utilisé divisé par le nombre deressour es disponibles) obtenus, en fon tion de la probabilité p qu'un aéronef prenne son réneau initial, et de n le nombre de ressour es disponibles.On suppose que le nombre total d'aéronefs dans le système est donné par r et qu'il ya n ressour es disponibles, on a :Pr(di = k) =

r∑

j=1

Pr(xi(j) = r − k + i) Pr(a = j)

E(d) =1

r

r∑

i=1

r∑

j=1

j Pr(di = j)

(4.56)69

Chapitre 4. Résultats Théoriques

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0.48 0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66 0.68

Tem

ps d

e re

allo

catio

n (e

n re

ssou

rces

)

Taux d’occupation des ressources

p=75%

Fig. 4.10: Temps de réallo ation des ressour es et débit obtenus pour p = 0.75, nvariant de 5 à 100 et pour un seuil de on�an e de 90%. Les petites valeurs de n sontsur la gau he, et les plus grandes sur la droite.Interprétation de la �gure 4.10 Cette �gure représente le temps de réallo ation enfon tion du débit obtenu pour un intervalle de on�an e de 90% et pour p = 0.75.Chaque point représente les valeurs obtenues pour un n donné. Les petites valeurs den sont représentées sur la gau he. À partir de n, on al ul le z optimal en fon tion de δ.Ce al ul renvoie un réel et non un entier, a�n de préserver la borne de Cherno� et resterdans l'intervalle de on�an e. Quand on obtient z /∈ Z, on prend l'entier supérieur, d'où ladis rétisation obtenue.Cependant, et ensemble de points suit un motif exponentiel, d'où la possibilité d'avoirune allo ation optimale en fon tion du oût du taux d'utilisation des ressour es par rapportau oût des retards alloués. Cela veut dire que la stratégie de mettre toutes les zonesd'absorption à la �n de la période de régulation n'est pas la meilleure.On voit aussi que les petites valeurs de n réduisent trop le débit pour être prises en ompte, tandis que les grandes valeurs permettent une meilleure utilisation des ressour esau détriment du retard alloué.Interprétation de la �gure 4.11 Elle montre le même type de résultats que pour la�gure 4.10 quand p varie de 0.5 à 0.95. On remarque que le temps de réallo ation enfon tion du débit augmente plus rapidement quand p dé roît. Intuitivement, quand p estfaible, il y a plus d'aéronefs qui ne prennent pas leurs ressour es, et les zones d'absorptionsont largement utilisées et le temps de réallo ation augmente.Dans ette se tion, on a remarqué que le taux d'utilisation des ressour es n'évoluaitpas linéairement ave les retards donnés par les réallo ations. Comme on s'y attendait, lefait de mettre toutes les zones d'absorption en �n de période de régulation n'est pas lameilleure solution du point de vue des retards. On va her her à distribuer elles- i surtout le temps de la régulation.70

4.4. Distribution des Zones d'Absorption

0

5

10

15

20

25

0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

Tem

ps d

e re

allo

catio

n (e

n re

ssou

rces

)

Taux d’utilisation des ressources

p=50%p=55%p=60%p=65%p=70%p=75%p=80%p=85%p=90%p=95%

Fig. 4.11: Temps de réallo ation et débit en fon tion de p variant de 0.5 à 0.95 et nvariant de 5 à 100, ave un seuil de on�an e de 90%.4.4 Distribution des Zones d'AbsorptionComme le montrent les �gures 4.10 et 4.11, mettre toutes les zones d'absorption à la�n de la période de régulation implique des retards importants. Il faut distribuer es zonesd'absorption et ainsi réduire le taux d'utilisation des ressour es.On a vu que z est fon tion de n, p, et δ. On suppose p et δ �xés, on veut obtenir le zoptimal en fon tion de n.D'après l'équation (4.36), pour q = 0, et l'équivalente pour q variable, le z optimal estde la forme :z = An + B +

√Cn + DSupposons qu'on désire séparer la période de régulation par i. On a i sous-périodes engardant la même stratégie (on alloue les zones d'absorption en �n de sous-période).La sous-période j est onstituée de rj ressour es allouées suivies de zj , pour 1 ≤ j ≤ i.Les zj étant al ulés optimalement de la même manière que z, ainsi ils sont de la forme

zj = Ajn + Bj +√

Cjn + DjSi on a i∑

j=o

(zj + rj) = n, par ontre i∑

j=o

(zj > z ar ( k∑

i=0

√ak

)

>

√√√√

k∑

i=1

akDistribuer les ressour es permet de réduire les retards aux dépends du taux d'utilisationdes ressour es. On va voir par la suite omment a�e ter les zones d'absorption (nombre desous-périodes à utiliser) pour trouver le meilleur arrangement entre le taux d'o upationdes ressour es et le temps de réallo ation de elles- i.La stratégie utilisée est elle dé�nit par la �gure 4.12. Au lieu de mettre toutes leszones d'absorption à la �n, on va les distribuer tout au long de la période régulée.Chaque sous-période reprend la stratégie pré édente, a�n de pouvoir utiliser les résul-tats pré édents. 71

Chapitre 4. Résultats Théoriques...Ressources Allouees Ressources Allouees Ressources AlloueesZA ZA ZA

... ...Ressources Allouees ZA

Fig. 4.12: Distribution des zones d'absorption pendant l'allo ation de ressour es.4.4.1 Indépendan e des Sous-Périodes ?Pour pouvoir utiliser les résultats obtenus ave la stratégie présentée par la �gure 4.1,il faut montrer que haque sous-période peut être onsidérée indépendamment les unes desautres. Pour ela, les "e�ets de bords" doivent être négligeables.Les e�ets de bord orrespondent aux aéronefs qui n'ont pas pris leur ressour e et netrouvent pas de zones d'absorption dans la sous-période et en demande une dans la sous-période suivante.A�n de voir l'impa t des e�ets de bord en fon tion de z, on va regarder la distributiondu nombre d'aéronefs à réallouer avant haque zone d'absorption.4.4.1.1 Dé�nition du Problème... ... ... ... ... ......r r rz z1 2 i1 2 i

n

zss periode iss periode 2ss periode 1

Fig. 4.13: Dé�nition des variables pour la distribution des zones d'absorption.On dé�nit les variables omme indiqués par la �gure 4.13. Chaque sous-période j est onstituée d'un nombre de ressour es allouées rj suivies de zones d'absorption zj , pour1 ≤ j ≤ i.On veut onnaître la distribution du nombre d'aéronefs à réallouer avant haque zoned'absorption, soit Uj la variable aléatoire donnant le nombre d'aéronefs en attente d'êtreréalloués avant la ième série de zones d'absorption.Le problème se résume à al uler Pr(Uj = k), la distribution de Uj .4.4.1.2 Solution

Pr(Uj = k) peut être dé�ni ré ursivement. En e�et, il dépend uniquement du nombred'aéronefs provenant de la sous-période pré édente (la sous-période j − 1) ; les aéronefsen surnombre qui n'ont pas pu étre réalloués dans les zones d'absorption pré édentes. Etde eux provenant de sa propre sous-période, dépendant du taux d'in ertitude sur les rjaéronefs alloués.72

4.4. Distribution des Zones d'AbsorptionPr(Uj = k) =

la somme des aéronefs venant Uj−1 et Uj est égale à k︷ ︸︸ ︷Aéronefs venant de Uj−1︷ ︸︸ ︷

k∑

l=1

[

Pr(Uj−1 = zj−1 + k)

Aéronefs venant de Uj

︷ ︸︸ ︷(

rj−1

k − l

)

(1− p)k−lprj−1−k+l]

+

zj−1∑

l=0

[

Pr(Uj−1 = l)](

rj−1

j

)

(1− p)jprj−1−j

︸ ︷︷ ︸Au un aéronef ne vient de Uj−1

(4.57)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 10 20 30 40 50

Pro

babi

lite

Nombre d’aeronefs en attenteFig. 4.14: Distribution du nombre d'aéronefs avant haque zone d'absorption pourdes sous-périodes onstituées de r = 50 ressour es allouées, z = 10 ressour es laisséesen zones d'absorption, et p = 0.75. La ourbe ayant le pi le plus haut représente ladistribution avant la première série de zone d'absorption, la se onde pour la se ondesérie et ainsi de suite jusqu'à la entième.La ré urren e présentée par (4.57) se divise en deux parties. La première somme pré-sente le fait qu'il y a des aéronefs provenant de la sous-periode j − 1 pré edente, i.e qu'ona plus de zj−1 aéronefs à réallouer dans elle- i, auxquels on ajoute eux orrespondantà la sous-période j. La deuxième partie orrespond au fait qu'il n'y a au un aéronef enprovenan e de la sous-période j − 1.Pour simpli�er les al uls, on suppose que tous les rj sont égaux ainsi que tous les zj .Interprétation de la �gure 4.14 Pour une quantité de zones d'absorption inférieure aunombre moyen d'aéronefs alloués, les "e�ets de bord" sont importants, haque distributiondes aéronefs en attente d'être réalloués est di�érente pour haque sous-période.L'a�aissement des ourbes s'explique par le fait qu'il n'y a pas assez de ressour esdans les zones d'absorption dans haque sous-période. Le nombre d'aéronefs devant êtreréalloués augmente à haque nouvelle sous-période et la dispersion s'ampli�e.Ce résultat est logique, ar pour r = 50 ressour es allouées ave un taux de prise deressour es de p = 0.75 ; il y a en moyenne plus de 12 (12.5 exa tement) ressour es non 73

Chapitre 4. Résultats Théoriquesprises. En mettre juste 10, implique qu'en moyenne, plus de deux aéronefs seront reportéssur la sous-période suivante, soit 5 dans la sous-période j + 2 et ainsi de suite.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 10 20 30 40 50

Pro

babi

lite

Nombre d’aeronefs en attenteFig. 4.15: Distribution du nombre d'aéronefs avant haque zone d'absorption pourdes sous-périodes onstituées de r = 50 ressour es allouées, z = 13 ressour es laisséesen zones d'absorption et p = 0.75. La ourbe ayant le pi le plus haut représente ladistribution avant la première série de zone d'absorption, la se onde pour la se ondesérie et ainsi de suite jusqu'à la entième.Interprétation de la �gure 4.15 Les distributions sont obtenues ave une taille dezone d'absorption légèrement supérieure à la moyenne (z = 13, r = 50, p = 0.75).On voit dans e as que pour haque sous-période, la dispersion augmente, mais elle- iest moindre que pour la �gure 4.14. On voit qu'augmenter le nombre de zones d'absorptionpermet de réduire sa dispersion.Optimiser z en fon tion de la moyenne du nombre d'aéronefs retardés n'est pas su�sant,les e�ets de bord ont tendan e à se umuler et être de plus en plus importants.Interprétation de la �gure 4.16 Elle représente les résultats obtenus si on utilise unnombre de zones d'absorption donné par Cherno� ave un intervalle de on�an e de 90%.On voit dans e as que la dispersion est quasiment nulle. La distribution des 100 premièressous-périodes sont sensiblement identiques.Ce type de résultat se véri�e pour toutes les valeurs de r omprises entre 5 et 200 etpour p ompris entre 0.5 et 1.On en on lut que pour un intervalle de on�an e supérieur à 90%, on peut onsidé-rer au moins les 100 premières sous-périodes indépendamment (les "e�ets de bord" sontnégligeables).4.4.2 Position des zones d'absorptionA�n de réduire le retard des aéronefs réalloués, on étudie le positionnement optimal deszones d'absorption dans l'allo ation de ressour es initiale. Pour ela, on divise l'allo ationinitiale de n ressour es en sous-périodes de tailles égales, omposées de r ressour es allouées74

4.4. Distribution des Zones d'Absorption

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 10 20 30 40 50

Pro

babi

lite

Nombre d’aeronefs en attenteFig. 4.16: Distribution du nombre d'aéronef avant haque zone d'absorption pourdes sous-périodes onstituées de r = 50 ressour es allouées, z = 18 ressour es laisséesen zones d'absorption et p = 0.75. La ourbe ayant le pi le plus haut représente ladistribution avant la première série de zones d'absorption, la se onde pour la se ondesérie et ainsi de suite jusqu'à la entième.et z laissées en zones d'absorption. On veut déterminer le nombre optimal de périodes àutiliser.On fait l'hypothèse que la saturation des zones d'absorption d'une période ne peutpas empiéter sur la suivante. On a vu que les e�ets de bord étaient négligeables pour unintervalle de on�an e de 90%. Pour que ette hypothèse soit véri�ée, on pose δ > 0.1.Ayant un nombre di�érent de séquen es de zones d'absorption selon le nombre de sous-périodes onsidéré, on doit garder le même intervalle de on�an e sur l'allo ation totale.Si on a i sous-périodes, on doit avoir un intervalle de on�an e de 1 − δ1/i sur ha unedes sous-périodes a�n de garantir un intervalle de on�an e de 1 − δ sur l'ensemble de lapériode régulée.A�n de pouvoir omparer le plus de on�gurations de sous-périodes possibles, on onsi-dère qu'on a 210 ressour es disponibles ar 210 est un multiple des 4 premiers nombrespremiers. Ainsi, on peut avoir des tailles de sous-périodes de 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 20,21, 30, 35, 42, 70, 105 et 210, et avoir plusieurs on�gurations à omparer.On peut aussi onsidérer des sous-périodes non multiples de n. Pour ela, il faut regardertoutes les longueurs possibles de sous-périodes, et a�n d'avoir un nombre entier de sous-périodes, on augmente la période de régulation du nombre de ressour es manquantes. Mais e n'est pas la stratégie étudiée i i, et les résultats se rappro hent de eux obtenus.Interprétation de la �gure 4.17 Cette �gure représente le taux d'utilisation des res-sour es en fon tion de la taille des sous-périodes, pour p variant de 60% à 90%. Lorsquela taille de la sous-période diminue, les retards diminuent aussi. Malheureusement, le tauxd'utilisation des ressour es aussi, quel que soit p.Comme attendu, lorsqu'on divise en i sous-périodes, le taux d'utilisation des ressour esdiminue. Au début faiblement, puis plus on diminue la taille des sous-périodes, la hutedu taux d'utilisation des ressour es devient plus importante. On explique ela par le faitque lorsqu'on divise la période en i sous-périodes, pour garder la même robustesse, on doit 75

Chapitre 4. Résultats Théoriques

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Tau

x d’

utili

satio

n de

s re

ssou

rces

Taille des sous periodes

p=60%p=70%p=80%p=90%Fig. 4.17: Taux d'utilisation des ressour es en fon tion de la taille des sous-périodespour p variant de 0.6 à 0.9.augmenter l'intervalle de on�an e de haque sous-période de i√

1− δ et ainsi diminuer letaux d'utilisation des ressour es.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Ret

ard

moy

en

Taille des sous periodes

p=60%p=70%p=80%p=90%Fig. 4.18: Retard moyen en fon tion de la taille des sous-périodes pour p variant de

0.6 à 0.9.Interprétation de la �gure 4.18 On voit que le retard moyen augmente linéairementave la taille des sous-périodes. La stratégie étant toujours la même pour haque sous-période, on met les zones d'absorption à la �n de la période ; lorsqu'on divise par i lapériode, on divise approximativement d'autant le retard moyen. Approximativement aron a vu que la taille des zones d'absorption augmentait ave le nombre de sous-périodes,don il y aura un peu moins de ressour es à attendre avant qu'un aéronef puisse êtreréalloué, le retard diminue un peu plus vite que linéairement.76

4.5. Prise en Compte de la Réutilisation des Ressour esLe taux d'utilisation des ressour es et le retard moyen n'évoluent pas de la mêmemanière selon la taille des périodes.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

Ret

ard

moy

en

Taux d’utilisation des ressources

p=60%p=70%p=80%p=90%

Fig. 4.19: Retard moyen en fon tion du taux d'utilisation des ressour es pour pvariant de 0.6 à 0.9.Interprétation de la �gure 4.19 Pour les petites valeurs de p (les ressour es ont moinsde han es d'être prises), les sous-périodes de petites tailles réduisent le retard moyen pourun taux d'utilisation des ressour es légèrement plus faible, tandis que pour les grandesvaleur de p, les grandes périodes permettent une réelle augmentation du débit sans que le oût sur le retard moyen soit important.En fait, plus on a de han es qu'un aéronef prenne sa ressour e, alors moins il y ad'aéronefs à réallouer, et ainsi le retard moyen n'augmente pas beau oup. Par ontre ommeon utilise moins de ressour es pour les zones d'absorption, il y a moins d'in ertitude et letaux d'utilisation des ressour es augmente fortement. Pour les petites valeurs de p, on estobligé de mettre une proportion de zones d'absorption importante. Plus on se rappro he dep = 0.6, plus ette proportion se rappro he de 0.5. Sa hant que ela veut dire qu'on a uneressour e laissée en zone d'absorption pour une ressour e allouée. On ne peut des endreplus bas en taux d'utilisation des ressour es. Tandis que pour les retards, plus la périodeest petite, moins les aéronefs devront attendre pour se faire réallouer.4.5 Prise en Compte de la Réutilisation des Ressour esOn ommen e par obtenir le retard moyen puis on obtient la distribution de elui- ide manière expérimentale.4.5.1 Dé�nition du ProblèmeSoit p la probabilité de prise de ressour e, et q la probabilité qu'on puisse réutiliser uneressour e non utilisée.Ainsi on a 3 possibilités pour haque ressour e allouée, soit elle est utilisée, soit elle estréutilisée, soit elle est perdue. Le problème peut se résoudre en onsidérant un problème 77

Chapitre 4. Résultats Théoriques ombinatoire de mots de longueur r (nombre d'aéronefs alloués) sur un alphabet A ={a1, a2, a3} omposé de 3 éléments. Il y a 3r possibilités. Et à partir de haque mot, onpeut trouver le temps de réallo ation moyen.Exemple 4.5.1.1 Prenons le mot a1a1a2a1a1a3a1a2a1a3 ave :� a1 représente la prise de la ressour e allouée,� a2 représente la non prise de la ressour e allouée, mais elle- i est réutilisable,� a3 représente la perte de la ressour e.Soit Xi = aj la variable aléatoire dé�nit par

Pr(Xi = a1) = pPr(Xi = a2) = (1− p)qPr(Xi = a3) = (1− p)(1− q)

(4.58)En dé omposant le mot, on peut obtenir toutes les informations né essaires pour dé�niret obtenir le retard et le taux d'o upation des ressour es :� X1 = a1 : le premier aéronef prend sa ressour e,� X2 = a1 : le deuxième aéronef prend sa ressour e,� X3 = a2 : le troisième aéronef ne prend pas sa ressour e qui peut être réutilisée, mais omme il n'y a au un aéronef dans la �le, ette ressour e est perdue. Le troisièmeaéronef A3 est mis en �le, en attente d'être réalloué.� X4 = a1 : le quatrième aéronef prend sa ressour e,� X5 = a1 : le inquième aéronef prend sa ressour e,� X6 = a3 : le sixième aéronef ne prend pas sa ressour e, elle est perdue, et l'aéronefest rajouté à la �le d'attente qui est omposée de F = {A3, A6}� X7 = a1 : le septième aéronef prend sa ressour e,� X8 = a2 : le huitième aéronef ne prend pas sa ressour e mais elle est réutilisée parle premier aéronef de la �le d'attente qui est A3 ; A8 est rajouté à la �le d'attente,F = {A6, A8},� X9 = a1 le neuvième aéronef prend sa ressour e,� X10 = a3 le dixième aéronef ne prend pas sa ressour e et elle est perdue, on le rajouteà la �le d'attente, F = {A6, A8, A10}� les aéronefs qui sont dans la �le d'attente sont mis dans les zones d'absorption (s'ilsexistent ou s'il y en a assez), sinon ils sont annulés de la période régulée.La probabilité que et évènement arrive est de :

p6[(1 − p)q]2[(1 − p)(1 − q)]2 (4.59)Mais onsidérer toutes les stratégies demande des temps de al uls importants. Parexemple, pour n = 20 on doit al uler 320 possibilités, soit 3, 5.109, e qui prend approxi-mativement 25 Go de mémoire uniquement pour développer tous les évènements.4.5.2 Appro he Ré ursiveOn onnaît le taux d'o upation des ressour es, mais pas le retard moyen dû à laréallo ation. Pour le trouver, on a développé une appro he ré ursive.Soit Dj,aila variable aléatoire donnant le retard total pour un mot de longueur jsa hant que Xj = ai, ai ∈ A.Soit Dj la variable aléatoire représentant le retard total d'un mot de longueur j.Soit Fj,aila variable aléatoire représentant le nombre d'aéronefs dans la �le d'attentepour un mot de longueur j sa hant que Xj = ai, ai ∈ A.78

4.5. Prise en Compte de la Réutilisation des Ressour esSoit Fj la variable aléatoire représentant le nombre d'aéronefs dans la �le d'attentepour un mot de longueur j.4.5.2.1 Cal ul de la Longueur Moyenne de la File d'AttentePour al uler le retard, il faut aussi trouver Fj . On onsidère trois évènements quipeuvent se produire après un mot de longueur j − 1 :� l'évènement a1 n'ajoute au un aéronef à la �le d'attente : Fj,a1 = Fj−1� l'évènement a2 n'ajoute au un aéronef à la �le d'attente s'il y a des aéronefs dedans,sinon elle en ajoute un :

Fj,a2 = Fj,a12+ Fj,a2

2

Fj,a12

= Fj−1

Fj,a22

= 1� l'évènement a3 ajoute un aéronef à la �le d'attente : Fj,a3 = Fj−1 + 1Ave a12 représentant que la ressour e est réutilisable mais qu'au un aéronef n'est dansla �le d'attente, et a2

2 la ressour e est réutilisable et il y a au moins un aéronef à réallouer.On a :Pr(Xj = a2

1) = pj−1(1− p)qPr(Xj = a1

1) = (1− pj−1)(1− p)q(4.60)Ainsi on obtient :

E(F1) = 0E(Fj) =

(Pr(Xj = a1) + Pr(Xj = a1

2))E(Fj−1) +

(Pr(Xj = a2

2) + Pr(Xj = a3))E(Fj−1)

E(Fj) = p + (1− pj−1)(1 − p)qE(Fj−1) +((1− p)(1− q) + pj−1(1− p)q

)E(Fj−1) (4.61)Et par indu tion :

E(Fj) = j(1− p)(1− q) + q − pjq (4.62)Preuve : on a :E(F0) = 0(1− p)(1− q) + q − p0q = 0 (4.63)On suppose E(Fj − 1) = (j − 1)(1 − p)(1− q) + q − pj−1q vrai, on al ul E(Fj + 1).

E(Fj) =

p + (1− pj−1)(1− p)q[(j − 1)(1 − p)(1− q) + q − pj−1q

]

+[(1− p)(1− q) + pj−1(1− p)q

]

×[(j − 1)(1 − p)(1− q) + q − pj−1q

]

E(Fj) = j(1 − p)(1− q) + q − pjq

(4.64)4.5.2.2 Cal ul du Retard MoyenLa �gure 4.20 présente les as pouvant survenir quand on ajoute une lettre de l'alphabetA à un mot de longueur j − 1. Dans le as où il s'agit de a1, l'aéronef prend sa ressour eet du oup les aéronefs de la �le d'attente ne bougent pas, et tous es aéronefs doiventattendre une ressour e de plus avant d'être réalloués (dépla ement de la �le vers la droite) :

Dj,a1 = Dj−1 + Fj−1 (4.65)Pour le as a2, la ressour e est réutilisable, la �le d'attente n'est pas dé alée ar lepremier aéronef de la �le prend sa pla e. Le seul aéronef qui est retardé est l'aéronef qui 79

Chapitre 4. Résultats ThéoriquesFilej−1

j

j

j

j−1

j−1

File

File

a1

a2

a3Fig. 4.20: Dé omposition des évènements possibles.a perdu sa ressour e qui est mis en bout de �le d'attente. Il doit attendre que tous lesaéronefs de la �le soient réalloués avant. Cependant, e n'est pas tout à fait exa t arlorsqu'il n'y a au un aéronef dans la �le d'attente, on ajoute 1 au retard total, d'où :Dj,a2 = D1

j,a2+ D2

j,a2

Dj,a12

= Dj−1 + Fj−1

Dj,a22

= 1

(4.66)Pour le as a3, la ressour e est perdue. Tous les aéronefs de la �le d'attente sont retardésd'une ressour e, et on ajoute l'aéronef à la �le d'attente, d'où :Dj,a3 = Dj−1 + Fj−1 + 1 (4.67)On obtient :

E(D0) = 0

E(Dj) =

(Pr(Xj = a1) + Pr(Xj = a12))

×(E(Dj−1) + E(Fj−1))+(E(Dj−1) + E(Fj−1))(Pr(Xj = a2

2) + Pr(Xj = a3))

E(Dj) =

{(p + 1− pj−1(1− p)q)× (E(Dj−1) + E(Fj−1))+(pj − 1(1− p)q + (1− p)(1− q))((E(Dj−1) + E(Fj−1)))

(4.68)Et par indu tion :

E(Dj) =j

2(j + 1)(1 − p)(1− q) + jq − qpj+1 − qp

p− 1(4.69)80

4.5. Prise en Compte de la Réutilisation des Ressour es

0,80,5 0,70

0,6

50

p

250

200

100

0,9

150

1

q=10%

q=30%

q=50% Fig. 4.21: Retard total moyen en fon tion de p pour q �xé.Preuve :E(D0) =

0

2(1) (1− p) (1− q) + 0q − qp1 − qp

p− 1= 0 (4.70)On suppose E(Dj−1) vrai, on al ule E(Dj) :

E(Dj) =

(p + 1− pj−1(1− p)q)[( j−1

2 j(1− p)(1− q)

+(j − 1)q − qpj−qpp−1 + (j − 1)(1− p)(1− q) + q − p(j − 1)q

]

+[pj − 1(1− p)q + (1− p)(1− q)

][ j−12 j(1 − p)(1− q)

+(j − 1)q − qpj−qpp−1 + (j − 1)(1− p)(1− q) + q − p(j − 1)q

]

E(Dj) = j2 (j + 1)(1− p)(1− q) + jq − qpj+1−qp

p−1

(4.71)Interprétation des �gures 4.21 et 4.22 Elles représentent graphiquement le retardtotal moyen en fon tion de p (4.21) et en fon tion de q (4.22). On onstate que le retardmoyen diminue à peu près linéairement quand p et/ou q augmente(nt). La ourbure qu'onvoit pour les valeurs de p pro hes de 1 sur la �gure 4.21 s'explique par le fait que lepremier aéronef retardé puisse avoir sa ressour e réallouée, mais e n'est pas la as ar iln'y a au un aéronef à réallouer, évènement a1

2. On obtient omme prévu le même type derésultats pour q = 0, ave un taux d'utilisation des ressour es qui augmente et un retardmoyen qui augmente lorsque q augmente. 81

Chapitre 4. Résultats Théoriques250

0,3

200

150

0,2

100

50

0,10

q

0,50,4

p=60%

p=75%

p=90% Fig. 4.22: Retard total moyen en fon tion de q pour p �xé.4.5.3 Distribution des RetardsLa distribution des retards est plus ompliquée à al uler ar elle est dé�nie par leséquations :F0 = 0

Fj =

{Fj−1 si a1 ou a1

2

Fj−1 + 1 si a22 ou a3

(4.72)et :D0 = 0

Dj =

{Dj−1 + Fj−1 si a1 ou a1

2

Dj−1 + Fj−1 + 1 si a22 ou a3

(4.73)Trouver la ré urren e de la distribution des retards à partir des équations (4.72) et 4.73n'est pas aisée. Si on développe les premières valeurs que peut prendre Di on a :Soit Ei = 1 représentant l'évènement Pr(Xi = a1) ou Pr(Xi = a12) et Ei = 2 représen-tant l'évènement Pr(Xi = a2

2) ou Pr(Xi = a3). La �gure 4.23 montre la di� ulté à trouverdes relations de ré urren e pour déterminer simplement la distribution des retards. Ondoit onsidérer haque as indépendamment. Le développement par ré urren e de l'arbren'est pas expli ite. On voit ependant que haque niveau i est dupliqué sur la premièremoitié du niveau i + 1 et qu'on peut trouver des solutions pour déterminer la deuxièmemoitié. Mais haque bran he de notre arbre a une probabilité di�érente, elles dépendenttoutes de i.82

4.6. Validation

(0, 0) (1, 1)

(0, 0)

(1, 2) (2, 3)

(1, 1)

(0, 0)

(1, 3) (2, 4)

(1, 2)

(2, 5) (3, 6)

(2, 3)

(1, 1)

(0, 0)

(1, 4) (2, 5)

(1, 3)

(2, 6) (3, 7)

(2, 4)

(1, 2)

(2, 7) (3, 8)

(2, 5)

(3, 9) (4, 10)

(3, 6)

(2, 3)

(1, 1)

(a, b) → Fi = a,Di = b

(0, 0) on ommen e pour i=0Fig. 4.23: Déploiement des premières valeurs de Di et Fi.Le al ul peut se faire, mais il est très oûteux en temps de al ul. On a ependantréussi à trouver la distribution par simulation. Cette solution est donnée et expliquée dansla partie suivante.4.6 ValidationA�n de véri�er les al uls e�e tués dans e hapitre, on a validé les résultats parsimulation.4.6.1 AlgorithmeL'algorithme de simulation est le suivant :simul(nb_test, p, q, r)1 for i = 0 to r − 12 do delay[i]← 03 for k = 1 to nb_test4 do init_queue(queue, r,−1)5 init_queue(ressource_allocation, r,−1)6 for i = 0 to r − 17 do rand_number ← rand(100)8 if rand_number < p× 1009 then event[i]← 010 else rand_number← rand(100)11 if rand_number < q × 10012 then event[i]← 113 else event[i]← 214 if event[i] = 015 then ressource_allocation[i]← i16 else if event[i] = 117 then ressource_allocation[i]← queue[0]18 remove_first_queue(queue)19 add_queue(i, queue)20 else ressource_allocation[i]← −121 add_queue(i, queue)22 cumul ← 0 83

Chapitre 4. Résultats Théoriques23 ac_delayed← 024 for j = 0 to r − 125 do if ressource_allocation[j] 6= −126 then if j 6= ressource_allocation[j]27 then cumul← cumul + j − ressource_allocation[j]28 ac_delayed← ac_delayed + 129 else ac_delayed← ac_delayed + 130 nb_elt← nb_a _queue(queue)31 for j = 0 to nb_elt− 132 do cumul← cumul + r + j − queue[j]33 struct.delay[cumul] = delay[cumul] + 134 struct.ac_delayed[k]← ac_delayed35 return structAve :� la fon tion init_queue(queue,r,−1) a�e tant la valeur −1 aux r premiers élémentsde queue,� la fon tion rand(n) qui renvoie un nombre aléatoire entre 0 et n,� la fon tion remove_first_queue(queue) enlève le premier élément de queue,� la fon tion add_queue(i,queue) ajoute l'élément i à la �n de queue,� la fon tion nb_a _queue(queue) renvoie le nombre d'éléments de queue,si queue[j] = −1, alors il n'y a pas d'élément dans queue[j].4.6.2 Expli ation de l'algorithmeOn explique le fon tionnement de l'algorithme SIMUL(nb_test, p, q, r). nb_test re-présente le nombre de fois où l'on veut lan er la simulation, p la probabilité de prised'une ressour e lorsqu'elle est allouée à un aéronef, q la probabilité qu'une ressour e soitréutilisable et r le nombre d'aéronefs alloués.Les lignes 1 à 5 initialisent les variables de la simulation, la valeur −1 signi�e qu'au unaéronef n'a pris ette ressour e. ressource_allocation[i] renvoie la ressour e prise parl'aéronef i. queue[i] orrespond à l'aéronef en position i dans la �le d'attente et le nombrede tests à e�e tuer (donné par nb_test).On suppose que l'allo ation de ressour es est la suivante : l'aéronef i est alloué à laième ressour e. On a�e te toutes les ressour es à −1, et lors de la simulation, on hangesa valeur selon l'évènement se produisant. Et on laisse −1 si elle n'est pas prise.Les lignes 6 à 13 orrespondent au oeur de la simulation, 'est i i qu'ont lieu les évène-ments. event[i] orrespond à l'évènement se produisant. S'il est égal à 0 alors l'aéronef prendsa ressour e, à 1 il ne la prend pas, mais elle est réutilisable, et 2 la ressour e est perdue.rand_number permet de déterminer l'évènement se produisant. Si rand_number < p,l'évènement se produisant est 0, la ressour e est prise. Quand elle n'est pas prise, on e�e -tue un autre tirage sur rand_number et s'il est < q alors l'évènement se produisant est 1sinon 2.La fon tion rand(n) renvoie un nombre entre 0 et n− 1 de manière uniforme.Les lignes 14 à 21 remplissent l'allo ation de ressour es ayant eu lieu ave la simulation :84

4.6. Validation� quand la ressour e est prise par l'aéronef alloué (event[i] = 0), alors la ressour e i aété prise par l'aéronef i,� quand la ressour e n'est pas prise et qu'elle est réutilisable (event[i] = 1), alors onalloue le premier aéronef de la �le d'attente à la ressour e i. On enlève ensuite lepremier aéronef de la �le d'attente (queue[0]) et on y ajoute l'aéronef i en �n de �led'attente. S'il n'y a au un aéronef dans queue, alors la valeur renvoyée par queue[0]est −1 e qui signi�e que la ressour e est perdue,� quand la ressour e est perdue, on perd la ressour e i (ressource_allocation[i] = −1),et on ajoute et aéronef à la �le d'attente.Les lignes 22 et 23 initialisent les variables cumul, qui permet de al uler la sommedes retards, et ac_delayed qui al ule le nombre d'aéronefs n'ayant pas pu prendre leurressour e allouée.Les lignes 24 à 29 al ulent la somme des retards et le nombre d'aéronefs retardés. Sil'aéronef i prend la ressour e i, alors il n'est pas retardé. S'il prend la ressour e j 6= i alorsl'aéronef i est retardé (on ajoute 1 à ac_delayed) de j− i qu'on ajoute à cumul pour avoirla somme des retards. Si on a −1, ela signi�e que la ressour e a été perdue, on ajouteuniquement un aéronef de retardé.Les lignes 30 à 32 permettent de ompléter le al ul de la somme des retards en ajoutant eux des aéronefs qui sont alloués dans les zones d'absorption. Ces aéronefs sont déjà omptabilisés dans ac_delayed à la ligne 29 ar haque ressour e perdue ajoute un aéronefdans la �le d'attente qui, ne pourra pas être réalloué avant une zone d'absorption.Les lignes 33 à 35 enregistrent le retard obtenu et le nombre d'aéronefs retardés obtenuspour haque simulation. delay[i] renvoie le nombre de fois où l'on a obtenu une somme deretards égale à i.La fon tion simul(nb_test,p,q,n) renvoie la distribution de la somme des retards, ainsique le nombre d'aéronefs retardés. À partir de es données, on peut véri�er que les résultatsobtenus sont orre ts.4.6.3 Comparaison des Résultats Théoriques et Obtenus parSimulationCette partie valide les résultats pré édemment obtenus et de trouver par simulation lesrésultats pour le temps de réallo ation de ressour es et le retard pour q 6= 0.4.6.3.1 Cherno�La �gure 4.24 montre que Cherno� est très onservateur. Ainsi pour un intervalle de on�an e de 90%, on obtient dans le pire des as un taux d'erreur de 5 pour 10000. Lasimulation a été e�e tuée 100000 fois. L'intervalle de on�an e est bien respe té, mais onvoit que Cherno� donne une borne trop grande. Il faut étudier s'il est possible d'obtenirune borne moins restri tive a�n de diminuer le nombre de zones d'absorption à appliquer.Le taux moyen d'aéronefs prenant leur réneaux est de p + (1− p) ∗ q. On onstate quel'erreur augmente (et atteint son maximum) quand ette équation est égale à 0.5. Ce qui orrespond à la propriété de la borne de Cherno�, plus on est près de la moyenne, plusl'erreur augmente (mais est toujours respe tée). 85

Chapitre 4. Résultats Théoriques

0 0.1

0.2 0.3

0.4 0.5

0.6 0.7

0.8 0.9

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

5e-05

0.0001

0.00015

0.0002

0.00025

Error Rate

n=50

delta=5%delta=10%

pq

Error Rate

Fig. 4.24: Proportion du nombre d'é he s obtenus par simulation pour une allo ationde 100 aéronefs alloués en fon tion de p et q, pour un δ de 5% et 10%.La borne est restri tive, pour l'a�ner, il faudrait avoir une meilleure notion du om-portement de l'in ertitude.4.6.4 Résultats Obtenus Uniquement par SimulationOn a vu que la distribution des retards n'est pas fa ile à obtenir si on prend en onsidé-ration q le taux de réutilisation des ressour es. Cependant, en utilisant l'algorithme 4.6.1,on obtient les résultats suivant :Interprétation de la �gure 4.25 Elle montre que la distribution des retards augmentejusqu'à atteindre le nombre de ressour es allouées. Puis, elle diminue après une assurefran he. Pour q = 100%, on explique ela par le fait d'avoir au plus un aéronef à réal-louer dans les zones d'absorption, les autres aéronefs trouveront une ressour e parmi lesréallouables et auront un temps de réallo ation faible.Lorsque q = 0%, au un aéronef ne trouvera une pla e parmi les ressour es des aéronefsne les ayant pas prises. Plus ils sont éloignés des zones d'absorption, plus ils attendront.Ce qui explique la linéarité obtenue pour q = 0% sur la �gure 4.25 jusqu'à un retard de20 ressour es (il y a 20 ressour es d'alloués). Si on onsidère les évènements amenant à detels résultats, on omprend pourquoi :� un retard de 1 : seul le dernier aéronef alloué a été retardé, il prend la premièreressour e des zones d'absorption libres qui est la ressour e suivante.� un retard de 2 : seul l'avant dernier aéronef alloué a été retardé.� un retard de 3 : seul l'antépénultième aéronef alloué a été retardé.� un retard de 4 : soit l'aéronef situé quatre ressour e avant la zone d'absorption a étéretardé, ou les aéronefs en dernière et avant dernière position ont été retardés.86

4.6. Validation

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

10 20 30 40 50 60 70 80

Pro

babi

lite

Somme des retards

Distribution obtenue pour 100.000 tests, r=20, p=90%

q=0%q=25%q=50%q=75%

q=100%

Fig. 4.25: Distribution du retard total obtenu par simulation pour 20 ressour esallouées et un taux de prise de ressour es de 90% pour di�érents q.� ...Plus le retard augmente, plus on a de possibilités pour obtenir e retard, e qui expliquesa roissan e. Par ontre, après la assure, i.e pour obtenir un retard supérieur à 20, il fautqu'il y ait au moins deux aéronefs qui soient retardés et qu'ils soient dans des positionsbien pré ises.La distribution des retards inférieurs ou égaux à 20 est donnée par des ombinaisons deun ou plusieurs aéronefs retardés. Par ontre, pour les retards supérieurs à 20, il faut qu'ily ait au moins deux aéronefs de retardés et que la somme de leurs retards soit supérieurà 20. Il y a plus de possibilités avant la assure, ar p = 90% est important, et le nombremoyen d'aéronefs retardés pour 20 aéronefs est de deux ; e qui explique la assure.Plus q augmente, plus ette assure est importante. En augmentant q, on augmente lenombre de ombinaisons possibles pour réallouer les aéronefs en un temps total inférieurau nombre de ressour es allouées.Interprétation de la �gure 4.26 Si on augmente le nombre de ressour es allouées pourle même p, alors la assure sera plus faible pour les faibles valeurs de q ar la distributiondes retards se di�usent. Dans le as n = 20, on avait en moyenne deux ressour es allouéesqui n'étaient pas prises, ainsi dans la majorité des as on avait moins de trois ressour esallouées qui ne sont pas prises. Or la majeure partie des ombinaisons de une, deux outrois ressour es donne un retard inférieur à 20. Par ontre, quand n augmente, par exemplepour n = 100, on a en moyenne 10 ressour es qui ne sont pas prises, et les ombinaisonsreprésentant une somme inférieure à 100 ne sont pas majoritaires.La �gure 4.26 montre que la assure n'existe plus ave un nombre de ressour es allouéesplus important et q = 0%. Par ontre on remarque que les valeurs sont un peu plus di�uses.En fait pour 100 ressour es, la distribution est plus étalée, on obtient des valeurs qui nepeuvent être négligées pour un retard total ompris entre 0 et 1000. Comparativement,le même nombre de test avait été lan é pour la distribution de la �gure 4.25 mais pourdes résultats ompris entre 0 et 60 ; d'où moins de bruit pour les résultats obtenus parsimulation 87

Chapitre 4. Résultats Théoriques

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Pro

babi

lite

Somme des retards

Distribution des retards pour 100.000 essais, n=100, p=90%

q=0%

Fig. 4.26: Distribution du retard total obtenu par simulation pour 100 ressour esallouées et un taux de prise de ressour e de 90% et q = 0.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Pro

babi

lite

Somme des retards

Distribution de la somme des retards pour 100.000 tests, n=100, p=90%

q=0%q=25%q=50%q=75%

q=100%

Fig. 4.27: Distribution de la somme des retards obtenue par simulation pour 100ressour es allouées et un taux de prise de ressour e 90% et di�érentes valeurs de q.Interprétation de la �gure 4.27 Par ontre, lorsqu'on augmente q, alors ette propor-tion devient majoritaire, et la assure se rée. Le fait d'augmenter q augmente le nombre de ombinaisons possibles pour obtenir une valeur omprise entre 0 et le nombre de ressour esallouées, e qui se on�rme pour q = 100% où la distribution des retards se on entre sur et intervalle.Interprétation de la �gure 4.28 Si on diminue le taux de prise des ressour es, il n'ya plus de assure (jusqu'à q = 75%) ar la probabilité d'obtenir les ombinaisons donnantun résultat ompris entre 0 et le nombre de ressour es allouées diminue. Mais ette �guremontre aussi un autre résultat intéressant, 'est que la distribution de la somme des retardsest très étalée pour q = 0%, et plus q augmente, plus ette distribution se restreint entre88

4.7. Résumé

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0.0035

0 500 1000 1500 2000

Pro

babi

lite

Somme des retards

Distribution de la somme des retards pour 100,000 essais, n=75, p=75%

q=0%q=25%q=50%q=75%

Fig. 4.28: Distribution de la somme des retards obtenue par simulation pour 75ressour es allouées et un taux de prise de ressour e 75% et di�érentes valeurs de q.0 et le nombre de ressour es allouées.A�n de ne pas é raser les ourbes sur la �gure, la ourbe pour q = 100% n'est pasreprésentée, ar on a une distribution augmentant exponentiellement jusqu'au nombre deressour es allouées.Plus on augmente q, alors moins on a besoin de zones d'absorption et ainsi on augmentele taux de réallo ation des ressour es. Ils montrent aussi l'intérêt du projet CDM, qui ajustement pour but de rendre le système de gestion de �ux du tra� aérien plus réa tif.On voit que si on arrive à un taux de réutilisation des ressour es pro he de 100%, alorsles zones d'absorption ne sont plus né essaires. L'axe de re her he restant orrespondraità diminuer les retards, et pour ela essayer de déterminer quels aéronefs risquent de ne pasprendre leurs ressour es.4.7 RésuméOn a développé un modèle théorique pour l'allo ation des ressour es de l'espa e aériensupérieur, orrespondant à l'a�e tation des réneaux en-route. Grâ e à e modèle, on amontré l'intérêt d'utiliser des zones d'absorption pour améliorer la gestion des ressour esen as d'in ertitude. Elles permettent d'augmenter le taux d'utilisation des ressour estout en garantissant que tous les aéronefs alloués pourront passer pendant la période derégulation onsidérée, à 1− δ près.La borne de Cherno� utilisée permet de simpli�er les al uls, mais on a vu que pournotre as la borne est trop faible, elle garantit une robustesse plus importante, mais audétriment du nombre de zones d'absorption, et du taux d'utilisation des ressour es.Pour augmenter e taux, on peut étudier la distribution du nombre d'aéronefs retardésa�n de trouver une borne plus pro he de la réalité et d'utiliser moins de zones d'absorption.Mais le risque est de voir apparaître des e�ets de bord non négligeables pour les sous-périodes, e qui augmenterait la omplexité du modèle théorique si on devait les prendreen ompte. 89

Chapitre 4. Résultats ThéoriquesOn a vu qu'on peut trouver des allo ations optimales si on onnaissait la fon tion de oût entre le taux d'utilisation des ressour es et le temps de réallo ation.Mais l'ajout de ontraintes omplexi�e le modèle théorique. La résolution devient deplus en plus oûteuse en temps de al ul et don de validation des résultats. Il faut trouverdes heuristiques pour simpli�er le modèle.On n'a pas pris en ompte q pour al uler le temps de réallo ation de manière théorique,mais on a obtenu les résultats par simulation. Ces résultats montrent l'intérêt de mettre en ommun les études qui permettraient d'augmenter q et l'appli ation des zones d'absorption.On n'a pas non plus pris en ompte les relations spatio-temporelles. On s'est situéau niveau d'un seul se teur. Car avant de pouvoir les prendre en ompte, via la théoriedes graphes, il faut déterminer lo alement quelle est la meilleure allo ation possible. Ainsien prenant en ompte ette allo ation, on essaie de développer une solution globale quiréduirait lo alement les performan es, mais qui doit améliorer la gestion de �ux du tra� aérien.A�n de montrer que l'utilisation des zones d'absorption permettent d'améliorer le sys-tème en pla e, on a développé un petit simulateur le démontrant.La prise en ompte des relations spatio-temporelles peut permettre de diminuer lenombre de ressour es laissées en zones d'absorption. En e�et, dans le système a tuel, ertains se teurs sont bloquants ar ils atteignent leur apa ité maximale plus rapidement.En rendant une ertaine �exibilité à es se teurs via les zones d'absorption, la gestion del'in ertitude, et ainsi des ressour es, sera améliorée. C'est e qu'on va her her à montrerdans le hapitre suivant.

90

Chapitre 5Modèle ExpérimentalDans e hapitre, on développe un modèle expérimental, les hoix réalisés, puis lesévolutions e�e tuées pour obtenir un modèle sur lequel on puisse travailler.Les données utilisées sont des données non réelles. A�n de simpli�er le modèle on n'apas pris en ompte l'in ertitude en route. Ainsi on a pu garantir les apa ités, et garderles ontraintes du modèle théorique.5.1 ReprésentationLe modèle utilisé est un graphe évolutif ( f �gure 5.1). Les sommets représentent lesse teurs à un temps donné. Les arêtes sont les relations temporelles entre les se teurs.Dé�nition du graphe Soit G un graphe orienté évolutif, ave V (G) l'ensemble de sessommets et E(G) l'ensemble de ses arêtes, dé�nit ainsi :� v ∈ V (G) ssi v est un se teur à un temps donné.� (v1, v2) ∈ E(G) ssi� v1, v2 ∈ V (G)� v1 et v2 représentent des se teurs qui sont soit voisins et reliables par une routeaérienne, soit identiques mais à des temps di�érents.� si v1 représente un se teur au temps t, alors v2 représente un se teur au tempst + 1.Notre graphe est évolutif ar les propriétés des sommets hangent ave le temps. Lorsde la phase ta tique, on travaille ave des apa ités di�érentes que lors de la phase tempsréel. La phase temps réel orrespond aux dé isions prises en fon tion des évènements seproduisant et des ressour es disponibles à haque instant.Ce graphe évolutif est onstitué de sous graphes représentant les relations spatiales,et es sous graphes sont reliés entre eux par des arêtes représentant les relations spatio-temporelles.Le graphe devient vite important pour pouvoir y faire des al uls à la main. Parexemple, pour une arte omposée de seize se teurs, haque se teur ayant en moyennequatre voisins ( as de la grille), on a par ou he, seize sommets, et par inter- ou he

16 × 5 = 80 arêtes (une pour haque voisin, plus une restante sur le même se teur re-présentant le fait qu'un aéronef reste dans le même se teur entre deux unités de temps).On a un sous-graphe au temps t omposé de 16× (t + 1) sommets et (80 × t) arêtes.Le graphe �nal est le graphe utilisé pendant l'allo ation de ressour es (phase ta tique)auquel on hange le nombre de ressour es disponibles des sommets (se teurs), et on essaye 91

Chapitre 5. Modèle Expérimental1 2 3

4 5 67 8 9

1 2 34 5 6

7 8 9

1 2 34 5 6

7 8 9

5

7 8

4

1 2 3

6

9

Fig. 5.1: Exemple de graphe généré à partir d'une zone re ouverte par une grille 3×3.Les ouleurs des �è hes orrespondent aux voisins d'un même sommet. La �gure degau he représente une vue de dessus et la �gure de droite une vue 3D pour trois ou hes su essives. Les noms des sommets de notre graphe orrespondent aux nomsdes se teurs de la �gure de gau he.de faire passer les mêmes aéronefs ayant subi ou non de l'in ertitude. Selon l'évolution de egraphe, on onstate que les aéronefs passent plus ou moins bien selon le taux d'in ertitude.Les ressour es disponibles dans le modèle expérimentale orrespondent au nombre d'aé-ronefs qu'un ontr�leur peut superviser en même temps. On onsidère qu'il est de 15.5.2 Le Modèle de BaseLe graphe représente les se teurs d'une zone de taille X sur Y . On veut éviter les sur- harges de travail (plus d'aéronefs que de ressour es disponibles) sur les se teurs de ettezone. Pour avoir une représentation réaliste du tra� , on onstruit e graphe "dynamique"à partir d'un graphe "statique" omposé de points d'entrée/sortie sur l'espa e aérien supé-rieur, et de routes de la zone. Sur la �gure 5.2, on a la représentation d'une zone ave sespoints d'entrée/sortie, les di�érentes routes possibles et les se teurs représentés par unegrille.5.2.1 Graphe Statique et Graphe DynamiqueLes points d'entrée/sortie et les routes dé�nissent le graphe statique (les points d'en-trée/sortie représentant les sommets et les routes les arêtes) de notre modèle. Ce graphereprésente l'ensemble des points d'entrée/sortie de la zone ainsi que toutes les routes exis-tantes entre es points d'entrée/sortie. Un aéronef ne peut se dépla er que sur une routedu graphe statique.La zone et les se teurs représentent le graphe dynamique ( ar évolutif). Les sommetssont les se teurs et les arêtes les relations de voisinage entre les se teurs de la zone entreles temps t et t + 1.92

5.2. Le Modèle de Base

Fig. 5.2: Exemple de zone, en rouge les points d'entrée/sortie, en noir les routes eten bleu les délimitations des se teurs.5.2.2 Les Points d'Entrée/SortieLes points d'entrée/sortie ont une position dans la zone donnée par ses oordonnées artésiennes, permettant de les situer dans le plan. Un point d'entrée/sortie a un ensemblede destinations (des points de sortie). S'il existe une route aérienne allant du point d'en-trée/sortie A à un point de sortie B, alors il en existe une allant de B à A (le trajet inverseexiste). On s'assure qu'il n'y a pas de point d'entrée/sortie isolé, et que, via des es ales, haque point d'entrée/sortie peut relier tous les autres (on a un graphe statique onnexe).5.2.3 Les RoutesLes routes relient les points d'entrée/sortie de la zone. Elles sont en sens unique, i.e. surune route tous les aéronefs vont dans le même sens. Les routes sont omposées d'une suitede waypoints (les positions intermédiaires) que suivent les aéronefs. A�n de savoir ombiende temps passe un aéronef dans haque se teur, on her he aussi les se teurs traversés par elle- i ainsi que la portion leur appartenant. On onsidère que la vitesse d'un aéronefest onstante durant tout son trajet dans l'espa e aérien supérieur, on sait pré isément ombien de temps passe un aéronef dans haque se teur traversé.Les routes sont empruntées de façon équiprobable. Dans la réalité, un sixième du tra� européen utilise vingt routes. Le modèle n'est ependant pas en désa ord ave la réalité,il su�t juste de mettre un poids sur les routes pour s'y retrouver.Elles sont al ulées aléatoirement à partir des points d'entrée/sortie de départ et d'ar-rivée, ave l'algorithme suivant :route((Ax, Ay), (Bx, By)) 93

Chapitre 5. Modèle Expérimental1 /* COMMENTS2 Ax = position x du point d'entrée/sortie de départ3 Ay = position y du point d'entrée/sortie de départ4 Bx = position x du point d'entrée/sortie destination5 By = position y du point d'entrée/sortie destination6 END COMMENTS */7 Px ← Ax8 Py ← Ay9 while Px 6= Bx and Py 6= By10 do if |Px −Bx| > 50kms and |Py −By| > 50kms11 then (Ix, Iy) position intermédiaire12 Ix ← Px + random( 50unité de distan e de la zone )13 Iy ← Py + random( 50unité de distan e de la zone )14 join((Px, PY ), (Ix, Iy))15 Px ← Ix16 Py ← Iy17 else join((Px, Py), (Ix, Iy))La fon tion random(n) tire un nombre aléatoirement entre 0 et n− 1. Cet algorithmedonne les positions intermédiaires des routes, qu'on peut assimiler aux waypoints empruntéspar les aéronefs lors de leurs vols.La fon tion join(A,B) relie le point A au point B par un plus ourt hemin.5.2.4 Les Se teursLes sommets du graphe dynamique représentent les se teurs minimaux à un tempsdonné. Un se teur minimal possède des données statiques :� ses oordonnées,� la somme des routes le traversant,et dynamiques :� ses ressour es réelles et maximales, permettant de dé�nir les zones d'absorption,� le nombre et le nom des aéronefs présents à haque instant t.Ce qu'on appelle ressour es réelles d'un se teur, orrespond aux ressour es utiliséespendant l'allo ation de ressour es (phase ta tique). Elles permettent de déterminer l'heurethéorique d'entrée des aéronefs dans la zone.Un aéronef dépose un plan de vol ontenant la route qu'il veut emprunter et l'heure àlaquelle il désire dé oller. On véri�e s'il est valide en regardant si à haque instant t il neprovoque pas un dépassement de la harge de travail des ontr�leurs, sinon on le retarde.Ainsi, on obtient un plan de vol valide (en théorie).Puis lors de la simulation (en temps réel), on utilise les ressour es maximales pourabsorber les retards dus à l'in ertitude. La di�éren e entre la quantité de es deux typesde ressour es représentent les zones d'absorption.5.2.5 La ZoneLa zone est dé�nie à partir de ses dimensions (longueur et largeur), une unité de dis-tan e, une unité temporelle et possède routes, points d'entrée/sortie, se teurs et aéronefs.On dé oupe la zone en une grille, e qui implique que les ou hes du graphe "dynamique"94

5.3. Hypothèses et Stratégiesoient des grilles, et que haque se teur au temps t à trois, quatre ou inq voisins au tempst + 1 ( f �gure 5.1).Les unités servent à al uler le temps que mettent les aéronefs à e�e tuer leur par ourset à a�ner les résultats. Par exemple, si on veut travailler sur une zone de 1000kms sur1000kms (à peu près le iel aérien français). Il ne sert à rien de dé�nir une pré ision de lazone au km près ar un aéronef fait environ du 10 kilomètres par minute, on prend uneunité plus grande.5.2.6 Les AéronefsLes aéronefs, qui par ourent la zone, hoisissent une route de elle- i et une vitesse de roisière. À haque unité de temps, on projette sa position sur le graphe des se teurs. Parexemple, si à l'instant t, l'aéronef A se trouve sur le se teur S, alors on ajoute l'aéronef Asur le sommet du graphe orrespondant au se teur S au temps t.Les aéronefs possèdent une heure de dé ollage, une route et une vitesse qu'ils respe tent.Ils peuvent subir deux types de retard : eux dus à l'in ertitude, et eux dus à l'engorgementd'un se teur (toutes ses ressour es sont prises). L'in ertitude dé rit le fait qu'un aéronef,au moment du dé ollage, pour une raison quel onque (ne dépendant pas de l'allo ationde ressour es), ne dé olle pas. Il demande un autre réneau, à partir du moment où il estprêt. Le modèle ne sait pas quels aéronefs subissent de l'in ertitude et ombien de tempselle dure.5.3 Hypothèses et StratégieOn utilise deux apa ités di�érentes : les ressour es réelles qui orrespondent aux res-sour es allouées, et les ressour es maximales qui orrespondent à la somme des ressour esréelles plus les ressour es laissées en zones d'absorption.Pour les expérimentations, on onsidère un ensemble d'aéronefs qui est valide mais dont ertains se teurs ont atteint leur apa ité réelle (les ressour es réelles sont toutes utiliséespour l'allo ation). Puis on a�e te une proportion donnée d'in ertitude (qui onsiste àretarder des aéronefs au dé ollage) et on véri�e qu'au un se teur ne dépasse sa apa itémaximale (ressour es maximales disponibles des se teurs).Le seul paramètre modi�able au ours de l'exé ution, 'est l'heure de dé ollage desaéronefs. On onsidère qu'on ne peut modi�er leur traje toire. Lorsqu'un on�it est déte té,on retarde un aéronef du se teur on erné pour le résoudre.Ce qui amène au al ul d'un premier graphe de sorte à e que le al ul des plans de volne viole pas l'intégrité du système. On peut retarder n'importe quel aéronef du se teur audé ollage, e qui garantit qu'au un se teur ne sera en sur harge. Ce graphe orrespond àl'allo ation de ressour es des aéronefs, on utilise pour le al uler la apa ité réelle.Comme on her he à déterminer la meilleure taille des zones d'absorption, on travailleuniquement sur le temps réel, la stratégie utilisée pour l'allo ation de ressour es n'est pasimportante. On ne prend pas en ompte les retards dus à ette allo ation.5.3.1 L'In ertitudeLes aéronefs ne dé ollent pas toujours à l'heure. Lorsqu'un aéronef dé olle ave unretard, on al ule e que ela implique, et si un se teur dépasse sa apa ité, on résout le on�it en retardant les aéronefs n'ayant pas en ore dé ollé. L'in ertitude a pour onsé-quen e es retards. On suppose qu'on onnaît le taux d'in ertitude qu'il y aura sur un 95

Chapitre 5. Modèle Expérimentalensemble de plans de vol. De plus, si un aéronef ne peut pas prendre sa ressour e, on sup-pose qu'il sera bient�t prêt, i.e. il y aura beau oup plus d'aéronefs retardés brièvement quelonguement. Cette durée dé roît exponentiellement lorsqu'on l'a�e te. On suppose que lesaléas ont lieu par tran he de quinze minutes. L'a�e tation des retards dus à l'in ertitudesuit l'algorithme suivant :un ert(nb_aeronefs, aleas)1 for i← 0 to nb_aeronefs×aleas100 − 12 do ret← (10 − ln(random(e9 + 1))) 15unité de temps de la zone3 retarder le dé ollage d'un aéronef n'ayant pas en ore subit d'aléa de retAve aleas le pour entage de l'in ertitude, et nb_aeronefs le nombre d'aéronefs onsi-dérés dans notre simulation.Lorsqu'on parle de 10% d'aléas, ela signi�e qu'on rempla e aleas dans notre algorithmepar 10, i.e. dix pour ent des aéronefs de la simulation n'ont pas dé ollé à l'heure prévuepar l'allo ation de ressour es.Pour simpli�er le modèle, on onsidère que les heures de passage dans les points d'entrée orrespondent aux heures de dé ollage.5.3.2 Obtention des Plans de VolA�n d'avoir un ensemble d'aéronefs valide (i.e. tous les se teurs ne dépassent pas la apa ité réelle), on e�e tue une première allo ation. À haque aéronef ajouté, on véri�equ'il n'engendre pas un dépassement de apa ité de se teur, si 'est le as, on retarde sonheure de dé ollage, on véri�e s'il passe et ainsi de suite. On obtient ainsi un ensemble deplans de vol qui ne viole pas l'intégrité du modèle.5.3.3 Déroulement de l'ExpérimentationOn part d'un plan de vol valide et on applique, sur un nombre donné d'aéronefs, unaléa qui onsiste à retarder l'heure de dé ollage de l'aéronef.À haque temps t on a trois types d'aéronefs :� le type A : l'aéronef doit dé oller au temps t et n'a pas subi d'aléa.� le type B : l'aéronef doit dé oller au temps t mais a subi un aléa. On l'enlève dugraphe, et on a�e te son temps de dé ollage au temps t plus le temps de l'aléa.� le type C : l'aéronef a subi un aléa et sa nouvelle heure de dé ollage est au temps t.Dans le as A, on ne hange pas le trajet dans le graphe, dans le as B, on l'enlève, etdans le as C on l'ajoute. Ainsi tous les aéronefs de type C ont déjà été enlevés de notregraphe ar ils ont été de type B plus t�t.On onnaît le taux d'in ertitude, mais pas sur quels aéronefs elle a lieu. Dans le modèleexpérimental, on suppose qu'on est au ourant des aléas uniquement à l'heure de dé ollagedes aéronefs, mais on ne sait pas dans ombien de temps ils seront de nouveaux prêts. Onenlève un aéronef subissant un aléa à l'instant orrespondant à son dé ollage (son entréesur la zone), et on essaie de le rajouter lorsqu'il sera de nouveau prêt. La ressour e qu'illaisse libre dans haque se teur "pro�te" si possible à un autre aéronef de type B.

96

5.4. Propriétés du Modèle de Base5.3.4 Algorithme AppliquéLe modèle suit l'algorithme suivant :allo ation_temps_reel(G)1 for t1 ← debut→ fin2 do enlever(B,G)3 ajouter(C,G)4 t2 ← t15 while t2 < fin6 do s← premier_se teur_engorge(G)7 a← dernier_aeronef_terre(s.nom, s.temps)8 if a 6= nil9 then enlever_aeronef(a,G)10 retarder_aeronef(a, 15)11 ajouter_aeronef(a,G)12 else t2 ← t2 + 1Ave :� enlever(B,G) qui enlève tous les aéronefs de type B du graphe G,� ajouter(C,G) qui ajoute tous les aéronefs de type C dans le graphe G,� premier_se teur_engorge(G) qui renvoie le premier se teur engorgé dans letemps de G s'il existe,� dernier_aeronef_terre(nom, temps) qui renvoie le dernier aéronef devant ar-rivé dans s au temps t et n'ayant pas dé ollé s'il existe,� enlever_aeronef(a,G) enlève l'aéronef a du graphe G,� retarder_aeronef(a, i) retarde l'heure de dé ollage de l'aéronef a de i,� ajouter_aeronef(a,G) ajoute l'aéronef a au graphe G.À haque temps t, on enlève du graphe G obtenu par les allo ations des ressour esde la phase ta tique, les aéronefs de type B, et on ajoute eux qui ont été retardés autemps t (de type C). On fait une simulation de tous les aéronefs qui doivent dé oller autemps t, sans se sou ier des ressour es disponibles, puis on par ourt le graphe. On regarde ou he par ou he en ommençant par elle orrespondant au temps t jusqu'à la �n de lasimulation. Sur haque ou he, on regarde haque se teur, et si le nombre d'aéronefs estsupérieur à la apa ité maximale, on enlève l'aéronef arrivant normalement le dernier dansle se teur et n'ayant pas en ore dé ollé au temps t. On retarde et aéronef au dé ollage.Puis on re ommen e à her her les on�its à partir de la ou he t, jusqu'à e qu'il n'yen ait plus. On fait alors dé oller tous les aéronefs n'ayant pas été retardés par la résolutionde on�its et devant dé oller au temps t, aéronefs qu'on ne pourra plus modi�er. Puis onajoute les aéronefs au temps t + 1.À haque fois qu'on déte te un on�it, on retarde un aéronef et on in rémente savariable de retard. Une fois la simulation terminée, on ré upère la distribution des retardssur les aéronefs.5.4 Propriétés du Modèle de BaseLe but du modèle est d'aider à déterminer la meilleure taille de zone d'absorption pourun taux d'in ertitude donné, a�n d'avoir le meilleur débit possible sans dépassement des apa ités, tout en minimisant les retards. 97

Chapitre 5. Modèle ExpérimentalOn ommen e par e�e tuer une série de tests pour essayer de faire émerger les propriétésdu modèle. Tous les résultats donnés par les �gures ont été véri�és plusieurs fois sur deszones di�érentes, et à haque fois on obtient le même type de données.La stratégie a été essayée sur la zone de la �gure 5.2. Sa taille est de 500 × 500, sonunité de distan e est de deux kms et son unité de temps de inq minutes. Les aéronefs vontde inq ents à sept ent kilomètres par heure et un sur deux subit un aléa impliquant unretard allant de un à neuf (un retard de un orrespond à quinze minutes, deux à trenteminutes. . . ). On onsidère un temps total de simulation d'environ deux ents unités (soitplus de mille minutes) ave mille inq ent aéronefs et des apa ités réelles et maximalesde dix et dix.On ommen e par travailler sans zone d'absorption pour voir les réa tions du modèleexpérimental a�n de l'améliorer.5.4.1 Relation entre la Longueur des Routes et les AéronefsOn ommen e par extraire la distan e des routes présente sur un se teur et le nombred'aéronefs ayant passé par un se teur. Les résultats sont donnés par la �gure 5.3.Interprétation de la �gure 5.3 On remarque que les deux �gures sont très similaires,on en déduit qu'il doit exister une relation entre la distan e de route présente sur un se teuret le nombre d'aéronefs y passant.Comme les aéronefs hoisissent de façon équiprobable leur route, on a un nombred'aéronefs au kilomètre qui reste onstant ; e qui explique ette relation. Dans la réalité, e n'est pas le as, mais pour s'y ramener, il su�t de mettre un poids sur les routes selon lenombre d'aéronefs qui hoisissent haque route. Puis on multiplie le nombre de kilomètresde routes dans haque se teur par leur poids, et on se ramène au modèle où toutes lesroutes ont le même poids.On a utilisé un outil statistique pour prouver ette relation : le test du χ2.5.4.2 Test du χ2Pour démontrer expérimentalement que le nombre d'aéronefs présents sur un se teurest proportionnel à la longueur des routes du se teur, on e�e tue un test du χ2.Le test du χ2 est un outil statistique dont le but est de pouvoir dire si oui ou nonune variable aléatoire X ′ (ayant k résultats possibles x1, x2, . . . , xk) a pour loi elle de lavariable aléatoire X prenant les k valeurs xi ave Pr(X = xi) = pi pour i variant de 1 à k.Les k résultats possibles sont les se teurs ayant une longueur de route non nulle, et les

xi sont donnés par la longueur des routes présentes sur un se teur. Soit LSila longueur deroute présente sur le se teur Si, on a :

pi =LSi

∑nj=0 LSj

(5.1)Ave n le nombre de se teurs.On veut véri�er par l'expérimentation que le modèle suit ette loi. On travaille surle temps de passage des aéronefs dans un se teur et on e�e tue leur somme sur tous lesse teurs. Grâ e aux pi, on obtient les valeurs attendues, on les ompare ave elles obtenuesen al ulant le χ2 orrespondant :98

5.4. Propriétés du Modèle de Base

2

4

6

8

10

row

2

4

6

8

10

column

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

B

2

4

6

8

10

row

2

4

6

8

10

column

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

A

Fig. 5.3: Relation longueur de routes-nombre d'aéronefs sur un se teur. La �gure Breprésente la longueurs des routes des se teurs ave la valeur un pour le se teur enayant le plus, et la �gure A le nombre d'aéronefs ayant passé sur un se teur, ave la valeur un pour le se teur en ayant eu le plus. Chaque histogramme représente unse teur, l'histogramme en position (i, j) orrespond au se teur j × 10 + i dans notreexemple, ave i pour le numéro de la olonne et j pour elui de la ligne de la grille.χ2 =

n∑

i=0

(Ai − Ei)2

Ai(5.2)Ave les Ai les valeurs attendues et les Ei les valeurs obtenues par l'expérimentation.Pour que le χ2 soit valide, il faut que haque Ai et Ei soient supérieurs à 5. On enlève dela formule tous les se teurs dont les Ai (et don Ei) sont nulles.Puis on utilise une table du χ2 qui donne la probabilité P que la variable aléatoire X ′ait pour loi X.Les tableaux suivants donnent les résultats obtenus sur di�érentes zones selon le nombred'aéronefs. 99

Chapitre 5. Modèle ExpérimentalAéronefs 100 100 100 200 200 200 400 400

χ2 114.58 102.32 106.9 63.32 71.42 73.21 45.178 27.331

P 0 0.0001 0 0.2062 0.0675 0.8249 0.8249 0.9993Aéronefs 400 800 800 800 1600 1600 1600

χ2 42.57 14.38 9.05 14.65 13.97 18.48 11.475

P 0.8894 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999Tab. 5.1: χ2 sur la zone 1 ave un degré de liberté de 55.Aéronefs 200 500 500 500 500 500 500

χ2 non valide 70.175 55.259 51.493 38.14 64.377 48.439

P non valide 0.8921 0.9959 0.9988 0.9999 0.9607 0.9996Aéronefs 1000 1000 1000 1000 1000 1000

χ2 37.386 38.079 31.142 58.469 25.837 41.335

P 0.9999 0.9999 0.9999 0.9899 0.9999 0.9999Aéronefs 1500 1500 1500 1500 1500 1500

χ2 10.668 10.805 5.309 10.472 10.463 6.51

P 1 1 1 1 1 1Tab. 5.2: χ2 sur la zone 1 ave un degré de liberté de 86.Aéronefs 300 300 300 600 600 1200 2400 4800

χ2 95 84 103 83 81 56 10 13

P 0.1834 0.4794 0.078 0.5103 0.5724 0.9939 1 0.9999Tab. 5.3: χ2 sur la zone de la �gure 5.2 ave un degré de liberté de 84.Les degrés de libertés orrespondent au nombre minimal de LSiné essaire pour onnaîtretoutes leurs valeurs (théoriques et expérimentales). Sur la zone de la �gure 5.2, on a 15se teurs qui ne sont pas traversés par des routes. On onsidère uniquement 85 se teurs. Orpour onnaître tous les LSi

il faut onnaître la valeur de 84 se teurs ar on onnaît ∑

i LSi.Pour ette zone, le degré de liberté pour le al ul du χ2 est don de 84.Les valeurs "non valides" des tableaux orrespondent à des tests où il existait desse teurs ave moins de inq passages d'aéronefs, non exploitables du point de vue du χ2.On remarque que le test du χ2 fon tionne dans toutes les on�gurations à partir d'un ertain nombre d'aéronefs. On en on lut que le nombre d'aéronefs au km sur les routesest onstant.5.4.3 Exploitation du RésultatPuisque le nombre d'aéronefs au kilomètre est onstant, on a une relation dire te entrele graphe statique et le graphe dynamique. Le nombre d'aéronefs présent sur un se teurest proportionnel à la longueur des routes d'un se teur.On veut optimiser le débit aérien, 'est à dire minimiser les zones d'absorption. On100

5.5. Résultats ave le Modèle de Base onstate que tous les se teurs ne posent pas de problème. On a vu que le tra� dépendaitde la longueur de routes présente sur haque se teur. Les se teurs n'ayant pas tous la mêmelongueur de route, on a des se teurs qui ont plus de risques d'être engorgés que d'autres.On essaye de travailler sur les apa ités de es se teurs a�n de garantir qu'il n'y ait pasd'aéronef retardé plus d'un temps t pour un taux d'aléas donné.5.5 Résultats ave le Modèle de BaseMalheureusement, le modèle possède un faible débit et les zones d'absorption sontquasiment inutiles, ar sans les mettre, on a une très bonne distribution des retards. Lamarge de travail sur les zones d'absorption est très faible, on ne peut pas utiliser le modèledans ette on�guration pour résoudre le problème.Aléas Retards 0 1 2 3 40% 5000 0 0 0 0

10% 4999 1 0 0 0

25% 4924 67 7 1 1

50% 4798 188 13 1 0

75% 4875 119 6 0 0

100% 4948 50 2 0 0Tab. 5.4: Distribution des retards dans le modèle de base sans zone d'absorption.Interprétation du tableau 5.4 Ce tableau montre que sans mettre de zones d'absorp-tion, on onstate que même ave la pire distribution des retards possible (en l'o urren eave un taux d'aléas de 50%), on obtient seulement 4% d'aéronefs retardés, ave un retardmaximal d'une heure.Aléas Retards 0 1 2 3 40% 5000 0 0 0 0

10% 4999 1 0 0 0

25% 4859 128 9 4 0

50% 4818 169 12 1 0

75% 4844 148 8 0 0

100% 4963 36 1 0 0Tab. 5.5: Distribution des retards pour une stratégie en 14− 15.Interpétation du tableau 5.5 Ce tableau on�rme le fait que le modèle de base n'estpas adapté. En e�et, en mettant une apa ité réelle de 14 pour l'allo ation de réneauxet une apa ité maximale de 15 pour la simulation, on obtient des résultats quasimentidentiques pour la distribution des retards. Le gain par rapport à une a�e tation sans zoned'absorption est nul. Le oût de la mise en pla e de zones d'absorption ne se justi�e pasdans e modèle. 101

Chapitre 5. Modèle Expérimental

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 200 400 600 800 1000 1200

debi

t

duree (en min)

15-1514-15

Fig. 5.4: Débit moyen pour le modèle de base sans in ertitude.Interprétation de la �gure 5.4 Elle représente le débit moyen d'aéronefs en fon tion dutemps durant la simulation, sans aléa. La ourbe 15− 15 orrespondant à une simulationsans zone d'absorption ( as du premier tableau), le meilleur débit moyen possible, estau-dessus de la 14 − 15 ( as du deuxième tableau). Comme la distribution des retardsest similaire dans les deux as, on en on lut que pour le modèle de base, la meilleurea�e tation des zones d'absorption est de ne pas en mettre.On remarque aussi que le débit moyen est inférieur à 500, sur un débit théorique de1500 (100 se teurs de apa ité maximale 15), e qui est peu. À titre de omparaison, lenombre d'aéronefs passant dans le iel français en une journée, sur environ 140 se teursest d'environ 8000, ave des regroupements de se teurs ar le débit n'est pas toujours aumaximum (les vols de nuit sont moins nombreux). Le modèle en absorbe ave di� ulté5000 sur les deux tiers d'une journée, orrespondant à un plein débit toute la journée,toutes les apa ités du modèle sont déjà exploitées.5.6 Le Modèle Avan éOn fait évoluer le modèle de sorte à augmenter le débit et à avoir une utilité à poserdes zones d'absorption. Le problème du modèle de base réside dans le fait que seuls lesse teurs ayant le plus de routes se trouvent engorgés. Comme es se teurs sont en petitnombre, lorsqu'on résout un on�it, alors il y a peu de risque de retarder un aéronef en as ade, as loin d'être isolé dans la réalité, ar les se teurs sont délimités d'après le tra� attendu. Ce tra� est le plus homogène possible sur les se teurs, pour ela on e�e tue desregroupements de se teurs, a�n d'exploiter le mieux possible les ressour es disponibles.On a démontré que la longueur des routes sur un se teur permet de déterminer lenombre d'aéronefs attendus. En mettant la même longueur sur haque se teur, on se rap-pro hera du modèle réel.Dans le modèle de base, la grille donnait la délimitation des se teurs. On a�ne la grillea�n de regrouper es ases selon la longueur des routes pour obtenir les nouveaux se teurs.Les se teurs ne sont plus re tangulaires (des ases d'une grille).102

5.6. Le Modèle Avan é5.6.1 Délimitation des Se teursOn veut qu'il y ait la même longueur de route dans haque se teur. La arte des se teursne ressemblera plus à une grille.On part d'une grille pour notre délimitation, mais ave un a�nage beau oup plusgrand ; e qui implique quelques hangements sur le modèle de base.5.6.1.1 Les CasesOn ajoute les ases à notre modèle, qui orrespondent aux éléments de la grille. Chaque ase est un re tangle de la grille et possède une longueur de route la traversant, ainsi qu'unparamètre de marquage servant pour la délimitation, permettant de dire si elle est déjàa�e tée ou non à un se teur pré édemment réé.5.6.1.2 Les Se teursLes se teurs ont les mêmes propriétés que dans le modèle de base, auxquels on ajoutel'ensemble des ases les onstituant en rempla ement de leurs oordonnées (si on sait dansquelle ase on est, alors on sait à quel se teur on appartient). Une ase ne peut appartenirqu'à un et un seul se teur.Les autres éléments du modèle avan é ne subissent pas de hangements importants parrapport au modèle de base. Il s'agit uniquement de l'intégration des ases dans eux- i.5.6.1.3 Regroupement des asesC'est le regroupement des ases qui dé�nit le se teur. Ce regroupement s'e�e tue selonla méthode du grossissement en diamant ( f �gure 5.5). On regarde toutes les ases voisinesdu se teur (sur les otés, pas en diagonale), et si elles ne sont pas marquées (elles n'appar-tiennent pas à un autre se teur), on les ajoute au se teur. Tant qu'on n'a pas atteint lalongueur de route voulue sur le se teur, on re ommen e, à moins de ne plus avoir de asesvoisines non marquées. On obtient ette longueur à partir du nombre de se teurs désirés.Puisqu'on onnaît la longueur de route totale, on la divise par le nombre de se teurs désiréset on obtient la longueur de route moyenne que doit avoir haque se teur....1 1 1

22 2

2

22

223

33

33

333

Fig. 5.5: Regroupement des ases en "diamant". Les numéros orrespondent auxétapes. On onsidère que tous les voisins ne sont pas marqués. On ommen e par hoisir une ase, puis à l'étape 2 on ajoute tous les voisins de 1, à l'étape 3, tous lesvoisins de 2 et ainsi de suite.Sur la �gure 5.5, les numéros orrespondent aux étapes de réation des se teurs. Ainsià l'étape 1, on a une seule ase, puis à l'étape 2 on en rajoute quatre. . .Au début, au une ase n'est marquée, et à haque fois que l'une d'entre elles est ajoutéeà un se teur, on la marque. Tant qu'il reste des ases non marquées, on ontinue à réerde nouveaux se teurs. Si une ase est isolée (tous ses voisins sont marqués), on l'ajoute àun de ses se teurs voisins. 103

Chapitre 5. Modèle Expérimental5.6.2 Zone ObtenuePar ette méthode de délimitation de se teurs, on obtient des se teurs de tailles di�é-rentes mais quasiment de même poids (au niveau tra� ). Un exemple de résultat obtenuest donnée sur la �gure 5.6. Sur ette zone, on a une grille arrée de �té 250 ( e qui donne62500 ases), et elle a les mêmes ara téristiques que la zone de la �gure 5.2. On veutdélimiter 100 se teurs. On en obtient un peu plus, mais on a un peu plus de 90 se teursde même poids, e qui permet de mieux répartir le tra� sur les se teurs.

0 1 2 3 4 5

6 78

910 11 12

13 14 1516 17 1819

2021

22 2324 2526

27 2829 30 31323334 35

3637 38 394041

424344 45

4647 48

4950 51 525354 55565758

5960 61 6263 64 65

6667 68 6970 71

727374

75 76

7778 7980 81 8283

8485 86 8788 89

909192 9394 9596 9798 99

100101

102 103

Fig. 5.6: Zone obtenue pour le modèle avan ée.On a e�e tué un test du χ2 sur e nouveau modèle pour omparer la longueur desroutes ave le tra� , et on obtient les mêmes résultats que pour le modèle de base. Larelation entre tra� et longueur des routes est toujours valide.5.6.3 Débit et Distribution des RetardsCette nouvelle délimitation donne de meilleurs résultats au niveau du débit moyen ( f.�gure 5.7) et " olle" plus à la réalité du point de vue de la distribution des retards. Onobtient un débit moyen de plus de 1000 aéronefs, et un débit réel de 1200 sans aléa, e quiest deux fois supérieur aux résultats obtenus ave le modèle de base.On a fait passer 12000 aéronefs sur un temps orrespondant aux deux tiers d'unejournée (un peu plus de 1000 minutes). La distribution des retards est plus importanteque dans le premier modèle, ar au lieu d'avoir uniquement ertains se teurs qui posentproblèmes, presque tous les se teurs sont potentiellement engorgeables.La olonne "Total" orrespond à la somme pondérée par le nombre de fois ou un aéronefa été retardé de la distribution des retards. On onstate que même ave seulement 10%104

5.6. Le Modèle Avan é

0

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800 1000 1200

debi

t

duree (en min)

15-1514-15

13-15

12-15

Fig. 5.7: Débit moyen maximal (0% d'aléas) selon les zones d'absorption.d'aléas, on obtient presque 15% d'aéronefs retardés, et la somme du nombre de fois qu'unaéronef a été retardé (nombre de fois où on a du résoudre un engorgement), est de plus de18% ( f tableau 5.6).Retards 0 1 2 3 4 5 6 Totalnb aéronefs 10232 1425 268 59 13 2 1 2206Tab. 5.6: Distribution des retards pour un taux d'aléas de 10%.5.6.4 Vers les Zones d'AbsorptionLes premiers résultats obtenus sur le modèle avan é permettent de travailler sur leszones d'absorption, ar selon la taille de eux- i, on n'obtient pas les mêmes résultats.On veut trouver le meilleur ompromis entre le débit d'une zone et la distribution desretards sur les aéronefs. Pour ela, on utilise le modèle avan é prédé�ni et on e�e tue unesérie de tests.Pour la mise en pla e de telles zones, on ompare deux types d'a�e tation des zonesd'absorption :� une a�e tation ontinue, i.e. on met un zone d'absorption en ontinue durant toutela simulation sur tous les se teurs,� une a�e tation temporelle, i.e. on met des zones d'absorption qui évoluent dans letemps. Les se teurs n'ont pas en permanen e la même taille de zones d'absorption.Cette méthode permet d'a�e ter sur haque se teur des zones d'absorption de taillesplus grandes mais de durées plus ourtes, ou bien de mettre moins de zones d'ab-sorption.Dans la se tion suivante, on va ommen er par traiter le as des zones d'absorption en ontinue et on dé�nit pour ette méthode les meilleures a�e tations possibles selon le tauxd'in ertitude. 105

Chapitre 5. Modèle Expérimental5.7 Mise en Pla e d'une Zone d'Absorption en ContinueLes se teurs du modèle sont presque tous de même poids, on met la même taille dezone d'absorption sur haque se teur durant toute la simulation, ar haque se teur a lemême risque d'être engorgé. On essaye de trouver une relation entre le débit moyen et ladistribution des retards selon la taille des zones d'absorption.Les résultats sont obtenus à partir de la zone de la �gure 5.6 ave 12000 aéronefs surun temps de 1040 minutes. Les aéronefs vont de 500 à 700 km/h et dé ollent à n'importequel moment dans la journée. Si un aéronef doit dé oller après la durée de la simulation( ar retardé pendant l'allo ation de réneaux), il n'est pas pris en ompte.En fait, on essaie de faire passer 12000 aéronefs sur notre zone durant le temps dela simulation, mais selon les apa ités réelles a�e tées, on a plus ou moins d'aéronefs quipassent. Ainsi notre simulateur fon tionne en on�guration ritique, i.e, il n'y a pas d'autreaéronef qui peut être alloué pendant la phase ta tique (en respe tant les ressour es réelles).On parle de zone d'absorption X−Y , ou de stratégie en X −Y , pour dire qu'on a une apa ité réelle de X lors de notre allo ation de ressour es et une apa ité maximale de Ylors de notre simulation.Dans un premier temps, on s'intéresse à la distribution des retards selon les zonesd'absorption et le taux d'in ertitude, puis on s'intéresse au débit moyen obtenu et en�n on ompare es deux types de données pour dé�nir quelle est la meilleure stratégie à adopterselon le taux d'in ertitude, i.e. la taille des zones d'absorption à utiliser.5.7.1 Distribution des Retards selon les Zones d'AbsorptionLa olonne "Total" des tableaux de distribution des retards orrespond à la sommepondérée des aéronefs retardés. Cette somme représente le nombre de fois où un se teur aété engorgé durant notre simulation.5.7.1.1 Stratégie en 15− 15Aléas Retards 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total0% 12000 0 0 0 0 0 0 0 0 010% 10232 1425 268 59 13 2 1 0 0 220620% 10136 1455 302 79 20 6 7 0 1 245730% 10128 1528 267 56 17 4 0 0 0 231840% 9942 1670 315 63 10 0 0 0 0 252950% 9924 1692 289 67 24 2 1 0 1 260060% 9929 1704 283 64 15 0 3 0 1 254870% 10041 1617 270 55 14 2 0 1 0 239580% 10061 1585 285 59 9 1 0 0 0 237390% 10141 1520 274 46 17 1 1 0 0 2285100% 10250 1493 213 30 10 2 1 1 0 2072Tab. 5.7: Distribution des retards selon le taux d'aléas en 15− 15.106

5.7. Mise en Pla e d'une Zone d'Absorption en ContinueInterprétation du tableau 5.7 Il montre que les retards sont déjà importants pour10% d'in ertitude et que 'est aux alentours de 50% qu'il y a le plus de retards, puis aprèson a une diminution de eux- i ave l'augmentation de l'in ertitude.Cette diminution s'explique ar de 0% à 60 − 70% on augmente le dé alage entreaéronefs dé ollant à l'heure et eux ayant subi des aléas, tandis que de 60 − 70% à 100%on le diminue. Plus lairement, dans le as de 100%, tous les aéronefs sont retardés d'aumoins quinze minutes ; tous les réneaux de dé ollage sont libérés et réa�e tés. L'allo ationde réneaux se trouve dé alée de quinze minutes, et la distribution des retards est plusfaible.La distribution des retards pour une stratégie en 15− 15 montre que les aéronefs sontretardés au plus de deux heures (8×15 minutes), et dans le as de 50% d'aléas, on obtientun nombre de on�its résolus de 2600, e qui, pour 12000 aéronefs, est assez important. Si haque aéronef était retardé de un, on aurait plus de 20% de retards dus à l'in ertitude.Aléas Retards 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total0% 12000 0 0 0 0 0 0 0 0 010% 11963 30 6 1 0 0 0 0 0 4520% 11436 486 63 9 5 1 0 0 0 66430% 10926 896 138 34 5 1 0 0 0 129940% 10781 1020 159 35 3 2 0 0 0 146550% 10663 1134 169 30 4 0 0 0 0 157860% 10599 1217 146 35 3 0 0 0 0 162670% 10579 1239 155 26 1 0 0 0 0 163180% 10753 1077 141 24 3 1 0 0 1 145690% 10833 1038 114 11 3 1 0 0 0 1312100% 10947 952 87 10 4 0 0 0 0 1172Tab. 5.8: Distribution des retards selon le taux d'aléas en 14− 15.Interprétation du tableau 5.8 Ave la stratégie en 14− 15, on a une meilleure distri-bution des retards et un plus fort ontraste entre le total des retards selon le taux d'aléas.On voit lairement, que lors du as où on a 10% d'aléas, on préférera la stratégie en 14−15à 15− 15.La mise en pla e d'une zone d'absorption hange les données, in�uant sur la distributiondes retards. Les zones d'absorption permettent de faire diminuer sensiblement les retards.Au lieu d'avoir un total de 2600 on�its à résoudre au maximum, on n'en a plus 1631, soitune baisse d'environ 40% pour une zone d'absorption de taille 1. Le maximum de retardabsorbé l'est pour un taux d'aléas de 10% ave 2161 retards de moins et le minimum (hors0%) pour 60% ave 922 retards.De plus, bien qu'on ait un aéronef retardé de deux heures omme dans le premier as,on onstate que les ases orrespondantes aux retards 6, 7 et 8 sont égales a zéro (à uneex eption près). En moyenne, un aéronef retardé l'est moins qu'ave la stratégie en 15−15.Interprétation du tableau 5.9 Cette fois, le total des retards est en moyenne divisépar deux par rapport à la stratégie pré édente. Le maximum de retard alloué à un aéronef 107

Chapitre 5. Modèle ExpérimentalAléas Retards 0 1 2 3 4 Total0% 12000 0 0 0 0 010% 12000 0 0 0 0 020% 11961 39 0 0 0 3930% 11716 263 17 3 1 31040% 11460 485 43 11 1 60850% 11352 589 54 5 0 71260% 11281 644 63 9 3 80970% 11269 660 64 5 2 81180% 11314 632 46 8 0 74890% 11408 549 38 4 1 641100% 11512 463 24 1 0 514Tab. 5.9: Distribution des retards selon le taux d'aléas en 13− 15.est d'une heure. Le maximum de retard absorbé par rapport à 14 − 15 est de 989 pour30% d'aléas.On augmente l'absorption des retards ave ette stratégie, mais désormais, la distri-bution des retards est assez faible (à peine 7% d'aéronefs retardés et au maximum d'uneheure) pour supposer qu'il ne sert à rien d'augmenter la taille des zones d'absorption. Ce-pendant, on l'a quand même testé pour le démontrer, et ainsi arriver à la limite de la tailled'a�e tation des zones d'absorption pour le modèle.Aléas Retards 0 1 2 3 Total0% 12000 0 0 0 010% 12000 0 0 0 020% 11991 9 0 0 930% 11942 55 2 1 6240% 11808 182 10 0 20250% 11680 299 18 3 34460% 11651 326 19 4 37670% 11617 358 23 2 41080% 11704 287 8 1 30690% 11803 183 11 1 208100% 11814 180 6 0 192Tab. 5.10: Distribution des retards selon le taux d'aléas en 12− 15.Interprétation du tableau de la �gure 5.10 Bien que tableau de la �gure 5.10 montreune très bonne distribution des retards, si on la ompare à la stratégie en 13− 15, le gainest assez faible. On obtient un maximum de retards de seulement 442 (pour 80% d'aléas).En omparant la somme des retards absorbés selon les di�érentes stratégies, on onstatequ'elle dé roît exponentiellement des stratégies en 15 − 15 aux stratégies en 12 − 15.108

5.7. Mise en Pla e d'une Zone d'Absorption en ContinueLe gain entre haque augmentation de la taille des zones d'absorption diminue de façonexponentielle.Par rapport à l'absorption obtenue à haque augmentation de la taille de la zoned'absorption, la stratégie en 12 − 15 semble être en dessous de la limite inférieure parrapport au gain obtenu. Ce n'est pas une bonne stratégie d'utiliser elle- i ou des stratégiesqui augmenteraient en ore la taille des zones d'absorption.5.7.2 Choix de la Meilleure Stratégie selon le Taux d'AléasIntuitivement, on voit que le débit dépend de la apa ité réelle (utilisée pour l'allo ationde ressour es) et du taux d'in ertitude. Plus la apa ité réelle (toujours inférieure ou égaleà la apa ité maximale utilisée pour la simulation) est importante, plus le débit est élevé.Ce n'est pas for ément vrai ave de l'in ertitude, d'où l'intérêt de voir l'e�et des di�érentesstratégies.On vient de traiter la distribution des retards, on va essayer de mettre en relation ledébit moyen et la distribution des retards en fon tion des zones d'absorption et du tauxd'in ertitude ; soit quatre paramètres à prendre en ompte.On �xe le taux d'in ertitude et on regarde le total des retards en fon tion des zonesd'absorption (�gure 5.8) et le total des retards en fon tion du débit moyen (�gure 5.9).Pour la �gure 5.8, les zones d'absorption 0, 1, 2 et 3 orrespondent respe tivement auxzones d'absorption utilisés lors des stratégies en 12 − 15, 13 − 15, 14 − 15 et 15 − 15. Les ourbes, selon le taux d'in ertitude, on�rment visuellement que le gain entre les tailles dezones d'absorption dé roît de façon exponentielle.On traite les ourbes une à une sur les deux �gures. Quand on parle de débit, on seréfère à la �gure 5.9, quand on parle de zones d'absorption, à la �gure 5.8, de débit pourune zone d'absorption et des deux à la fois, en faisant le lien via l'axe des retards.Les se tions suivantes présentes l'interprétation des �gures 5.8 et 5.9.5.7.2.1 Sans In ertitudeSans in ertitude, on est dans le modèle idéal. Il n'y a pas de on�it, alors il ne sert àrien de mettre des zones d'absorption.Les stratégies qui onsisteraient à mettre une zone d'absorption dans e as seraientmauvaises, ar elles n'absorberaient au un retard ( ar il n'y en aurait pas à l'origine) touten diminuant le débit.5.7.2.2 Ave un taux d'aléas de 10%On a un gain très net pour une zone d'absorption entre 15 − 15 et 14 − 15, puis trèsfaible entre 14− 15 et 13− 15 pour les retards.Le débit augmente entre la stratégie 15− 15 et 14− 15.On voit que les retards sont importants en 15− 15 et très faibles en 14− 15. Bien quel'allo ation de réneaux ait donné un moins bon débit théorique, les zones d'absorption ontpermis de l'augmenter par rapport à 15 − 15 ar tous les aéronefs retardés ont pu passersans engendrer de retards, ontrairement à la stratégie 15− 15.On retrouve aussi le double intérêt de mettre des zones d'absorption pour un tauxd'in ertitude de 10%, ar non seulement on absorbe les retards, mais on augmente aussi ledébit.Cependant, mettre une zone d'absorption en 13−15 ne serait pas judi ieux ar le débitest fortement réduit et la distribution des retards est déjà très bonne en 14− 15. 109

Chapitre 5. Modèle Expérimental

0

1

2

3

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Zon

es d

’abs

orpt

ion

Total retard

10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

Fig. 5.8: Représentation de la somme des retards en fon tion des zones d'absorption.

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Deb

it m

oyen

Total retard

10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

Fig. 5.9: Représentation de la somme des retards en fon tion du débit moyen.5.7.2.3 Ave un taux d'aléas de 20%Dans e as, la meilleure a�e tation dépend de l'importan e qu'on a orde au débitpar rapport aux retards.Le meilleur débit est obtenu ave une zone d'absorption en 14− 15, mais on a un totalde retards non négligeable tandis que la stratégie en 13− 15 donne un débit inférieur maisave un total de retards négligeable.Si on privilégie le débit, la meilleure stratégie semble être en 14 − 15. Si on veut110

5.7. Mise en Pla e d'une Zone d'Absorption en Continueminimiser les retards, alors il vaut mieux hoisir la 13− 15.D'où la di� ulté de hoisir une bonne taille pour les zones d'absorption, tout dépendde e qu'on re her he et des oûts des di�érentes stratégies.5.7.2.4 Ave un taux d'aléas de 30% et 40%Si on suit l'évolution générale des ourbes sur la �gure 5.8, on remarque que la valeurdu total des retards en 1 (stratégie en 14− 15) devrait être un peu moins élevée, e i dit,l'exploitation des résultats ne s'en trouve pas hangée.Les débits moyens pour les stratégies en 13 − 15, 14 − 15, et 15 − 15 sont à peu prèsau même niveau. Les retards dus aux aléas sont mieux absorbés en 13− 15 qu'en 14− 15et 15− 15, la meilleure stratégie onsiste don à mettre des zones d'absorption en 13− 15lorsqu'on aura environ 30% d'aléas.5.7.2.5 Ave un taux d'aléas de 50% à 100%Le débit moyen est meilleur pour des zones d'absorption en 14 − 15 et 15 − 15, mais elui en 13 − 15 n'est pas beau oup plus faible.Dans tous es as de �gures, il ne faut pas prendre la stratégie en 15− 15 ( ar plus deretards qu'en 14 − 15 pour un débit moyen quasi identique). Cependant, le hoix se feraentre 13− 15 et 14− 15, ar la di�éren e de débit est de moins de 50 aéronefs par minuteet le total des retards est environ deux fois supérieur en 14− 15 par rapport à la stratégieen 13 − 15.Cela dépend du oût des retards induits par les aléas par rapport au oût de retarderun aéronef pendant l'allo ation de ressour es (mise en pla e de zones d'absorption).En lair, il vaut mieux utiliser la stratégie en 14 − 15 si on favorise le débit, et lastratégie en 13− 15 pour la distribution des retards.5.7.3 RésuméLe problème de l'a�e tation des zones d'absorption est omplexe. Elle dépend du tauxd'in ertitude, du oût de leur mise en pla e, de l'importan e du débit et de la distributiondes retards. Cependant, on peut essayer de résumer quelle stratégie adopter selon le tauxd'aléas, selon qu'on favorise le débit ou qu'on minimise les retards (MR). Le tableau 5.11donne es résultats d'après l'exploitation des �gures 5.8 et 5.9.Aléas 0% 10% 20% 30% 40% 50%débit 15-15 14-15 14-15 13-15 13-15 14-15MR 15-15 14-15 13-15 13-15 13-15 13-15Aléas 60% 70% 80% 90% 100%débit 14-15 14-15 14-15 14-15 14-15MR 13-15 13-15 13-15 13-15 13-15Tab. 5.11: Résumé des stratégies à hoisir.Les valeurs peuvent hanger si on prend en ompte les retards lors de l'allo ation desressour es, e qui orrespondrait à mettre un oût sur les zones d'absorption. Ce oûtaugmenterait de façon exponentielle ave la diminution du nombre d'aéronefs alloués, 111

Chapitre 5. Modèle ExpérimentalOn remarque que l'a�e tation en 12 − 15, bien qu'absorbant très bien les retards, estloin d'être satisfaisante du point de vue du débit. Pour tous les taux, elle hute rapidement.Comme la stratégie en 13− 15 donne des résultats satisfaisants au niveau des retards, onne séle tionnera jamais la stratégie en 12− 15, e qui on�rme e qui a été remarqué dansla se tion 5.7.2 : vu que le débit en 12 − 15 se retrouve divisé par deux par rapport aumaximum possible, e n'est pas une bonne stratégie.5.8 Mise en Pla e d'une Zone d'Absorption TemporelleOn essaie une nouvelle stratégie qui onsiste à mettre des apa ités réelles sur lesse teurs qui évoluent dans le temps. Le tra� aérien n'est pas onstant, il y a des périodesoù des se teurs sont à leur débit maximal, tandis que d'autres sont en période de faibletra� .On travaille sur deux paramètres au niveau des zone d'absorption : leur durée et leurtaille (di�éren e entre apa ité réelle et apa ité maximale). On pourrait essayer de lesa�e ter de la façon la plus judi ieuse possible, malheureusement il faudrait faire beau oupd'heuristiques ar on doit prendre en ompte le voisinage des se teurs, déterminer lesmoments pré is où haque se teur serait engorgeable.On her he intuitivement à prouver l'intérêt de l'utilisation des zones d'absorptiongrâ e à un modèle expérimental simpli�é. On a a�e té des zones d'absorption un peualéatoirement sur les se teurs les plus engorgés et exploité les résultats ainsi obtenus, selonle taux d'in ertitude.5.8.1 A�e tations des Zones d'absorption en Même TempsOn a�e te les zones d'absorption à intervalles de temps réguliers en même temps surtous les se teurs.Aléas Retards 0 1 2 3 4 5 Total Débit moyen0% 12000 0 0 0 0 0 0 91710% 11809 171 17 3 0 0 214 90520% 11572 389 35 3 1 0 472 88330% 11327 597 69 6 1 0 757 84240% 11181 731 71 17 0 0 924 77650% 11094 788 100 14 3 1 1047 68760% 11063 841 85 10 1 0 1045 59970% 11101 811 78 9 1 0 998 52280% 11143 780 75 2 0 0 936 46990% 11243 697 54 6 0 0 820 421100% 11277 667 51 4 1 0 785 405Tab. 5.12: Distribution des retards selon le taux d'aléas en 14− 15 temporelle.On a appliqué l'algorithme suivant : sur haque période de quinze minutes, on met lesdix premières minutes à quinze en apa ité réelle, et les inq dernières à douze, e qui faitun total de zones d'absorption équivalent à la stratégie en 14− 15 ontinue.112

5.8. Mise en Pla e d'une Zone d'Absorption Temporelleinterprétation du tableau 5.12 En omparant les résultats obtenus ave la stratégieen 14 − 15 ontinue, la distribution des retards est bien plus faible (ex eptée pour 10%d'aléas). Par ailleurs, plus le taux d'aléas augmente, plus la di�éren e de débit entre lesdeux stratégies diminue. Cette stratégie s'avère plus e� a e à partir d'un taux d'aléa de70% à 80%, ar la distribution des retards est meilleure. Le débit est juste un peu plusfaible. Cependant, on arrive dans des débits d'une valeur deux fois inférieure à elui sansaléas, e qui laisse supposer qu'il reste une grande marge de travail en e qui on ernel'a�e tation des zones d'absorption.Comme on a mis les zones d'absorption en même temps sur tous les se teurs, à inter-valles de temps réguliers, les résultats obtenus ne sont pas bons pour un taux d'aléas allantde 0% à 60%, s'expliquant par le fait que notre zone passe d'un débit maximal théoriqued'environ 1500 à 1200, bloquant tout le graphe pendant la durée d'a�e tation des zonesd'absorption.Il faut a�e ter les zones d'absorption de sorte à e que le débit maximal théorique dugraphe ne varie pas, tout en faisant �u tuer les apa ités sur les se teurs.Cependant, les premiers résultats onfortent l'idée que la mise en pla e de zones d'ab-sorptions temporelles est une meilleure stratégie. En e�et, on voit que l'absorption desretards est meilleure. Malheureusement, omme on les a mises toutes aux mêmes momentsdans le temps, le débit se trouve fortement diminué durant l'allo ation de ressour es, artous les se teurs sont bloquants en même temps.Il faut trouver les meilleures empla ements a�n de ne pas défavoriser l'allo ation deressour es tout en optimisant l'absorption des retards.5.8.2 Vers une Meilleure A�e tation des Zones d'AbsorptionPour ela, on doit prendre en ompte la géographie de la zone (position des points d'en-trée/sortie, tra é des routes, relations spatio-temporelles entre les se teurs. . . ), la vitessedes aéronefs, le nombre de se teurs, le taux d'in ertitude, . . . e qui implique une longuere her he avant de pouvoir ommen er à les déterminer.C'est pourquoi, on a ontinué les tests sur les zones d'absorption temporels sans tenir ompte de tous es paramètres. Les seules ontraintes qu'on onsidère, 'est d'a�e terle même nombre de zones d'absorption, et que le débit théorique durant l'allo ation de réneaux soit onstant.5.8.2.1 Période de quinze minutesOn a�e te sur haque se teur une période de quinze minutes : inq minutes de miseen pla e d'une zone d'absorption en 12− 15, puis dix minutes sans. Les périodes ne om-men ent pas toutes en même temps, on les répartit de façon à e qu'on ait en permanen ele même débit théorique et d'éviter les périodes bloquantes.Interprétation du tableau 5.13 Ave ette stratégie les résultats sont moins bons,que pour toutes les autres stratégies e�e tuées avant. Par exemple, pour 20% d'aléas, onobtient un débit moyen de 895, tandis que le total de retards est de 586, pour 70% undébit moyen de 521 pour un total de retards de 1244. Soit un débit trop faible pour 20%d'aléas, et pas de gain signi� atif pour les aléas importants.Cependant, on onstate que malgré une distribution des retards plus importante quepar rapport à la stratégie qui onsiste à mettre toutes les zones en même temps, on obtientun meilleur débit. Ce qui signi�e que l'allo ation de ressour es o�re un meilleur débit 113

Chapitre 5. Modèle ExpérimentalAléas Retard 0 1 2 3 4 Total Débit moyen0% 12000 0 0 0 0 0 92710% 11650 319 23 7 1 390 91720% 11484 459 51 7 1 586 89530% 11082 806 93 16 3 1052 83840% 10979 894 106 18 3 1170 77050% 10894 960 124 19 3 1277 69060% 10828 1047 97 26 2 1327 60270% 10900 973 111 15 1 1244 52180% 10816 1061 100 20 3 1333 46390% 11016 889 84 9 2 1092 428100% 11092 830 72 5 0 989 412Tab. 5.13: Distribution des retards selon le taux d'in ertitude en 14− 15 temporelleà débit théorique onstant et période de 15 minutes.théorique. On on�rme qu'une meilleure pose des zones d'absorption peut améliorer ledébit ; et ainsi réduire le oût de la pose des zones d'absorption.En e�et, plus on a de retards, plus le débit se trouve diminué ar moins d'aéronefsdé ollent à l'heure initialement prévue.5.8.2.2 Période de trente minutesAléas Retard 0 1 2 3 4 5 Total Débit moyen0% 12000 0 0 0 0 0 0 93210% 11574 372 43 8 2 1 495 91620% 11296 606 81 14 2 1 823 88930% 11036 845 96 17 5 1 1113 84540% 10840 1002 131 19 8 0 1353 76850% 10755 1074 144 25 2 0 1447 68960% 10820 1045 116 17 2 0 1336 60370% 10787 1053 137 20 1 2 1401 52880% 10818 1067 105 9 1 0 1308 46690% 10915 978 96 9 2 0 1205 426100% 10971 917 96 14 1 1 1160 410Tab. 5.14: Distribution des retards en 14− 15 temporelle et périodes de 30 minutes.Interprétation du tableau 5.14 Cette fois, on applique le même algorithme que pré- édemment ave une période de trente minutes. On met pendant dix minutes une zoned'absorption en 12− 15, puis vingt minutes sans.Les résultats obtenus montrent que les résultats sont globalement les mêmes que lorsd'une période de quinze minutes ave ependant une distribution des retards moins im-114

5.8. Mise en Pla e d'une Zone d'Absorption Temporelleportante. Comme le débit est plus ou moins identique, alors l'allo ation de réneaux o�reun meilleur débit que lorsqu'on a mis une période de quinze minutes.5.8.3 RésuméComme on a�e te les zones d'absorption un peu au hasard sur les se teurs, alors ellesréduisent le débit sans pour autant être e� a es au niveau des retards. Elles ne sont pasmises en relation et ne peuvent pas s'entraider, i.e. si un aéronef ause deux retards surdeux se teurs di�érents, alors il faut une zone d'absorption en orrespondan e sur es deuxse teurs. Si l'aéronef met trente minutes à par ourir les deux se teurs, il faudrait que leszones d'absorption aient lieu en même temps sur es deux se teurs (si on a une périodede quinze ou de trente minutes omme dans nos tests). Sinon la pose de l'une empê hel'absorption du retard à ause de la non pose de l'autre en même temps.Le fait de mettre au hasard es zones d'absorption n'améliore pas la régulation du tra� aérien. Mais on a pu mettre en éviden e l'existen e d'une solution optimale pour augmenterle débit et minimiser les retards selon le taux d'in ertitude. On a onstaté qu'il ne su�saitpas, à même nombre de zones d'absorption, d'améliorer le débit pendant l'allo ation deressour es (période de trente minutes par rapport à la période de quinze minutes) pourobtenir de meilleurs résultats lors du temps réel.Il faut mettre en relation les données de l'allo ation de ressour es et du temps réel :augmenter le débit de l'allo ation de ressour es sans pour autant augmenter la distributiondes retards mémoire en temps réel.D'où l'intérêt d'utiliser les propriétés des graphes évolutifs pour résoudre le problème.Il faut her her à déterminer elles qui permettront de mieux dé�nir l'endroit où poser leszones d'absorption.En e�et, on n'utilise pas une ara téristique importante pour la pose de es zones, 'est la relation de voisinage. En utilisant les graphes, on peut essayer de déterminer s'ilexiste une solution permettant de mettre en relation les zones d'absorption des di�érentsse teurs d'un espa e aérien. On her he à faire "glisser" les zones d'absorption par rapportaux routes a�n que si un aéronef ne peut pas dé oller à ause de plusieurs se teurs de saroute, alors ette pose permet de libérer des réneaux par rapport à ses temps de passagesur eux- i.Le problème est de savoir s'il existe un "glissement" pour toutes les routes qui sere oupe, ou de trouver, le as é héant, le meilleur.La pose de es zones d'absorption pouvant par exemple être déterminée par l'in orpo-ration de vols blan s à intervalle régulier entre les points d'entrée/sortie. L'utilisation desgraphes permet de simpli�er e problème.Le modèle expérimental a permis de démontrer qu'il y avait un intérêt à utiliser deszones d'absorption pour l'allo ation des ressour es de l'espa e aérien supérieur. L'obje tifde CDM de entraliser toutes les informations du tra� (en temps réel) permettrait deprendre des dé isions jusqu'à l'instant du dé ollage. I i on a vu que même ave une réutili-sation possible de toutes les ressour es, les zones d'absorption permettent d'améliorer ettegestion, ar l'e�et réseau empê he d'utiliser toutes les ressour es disponibles, omme elaétait onsidéré dans la partie théorique.Les zones d'absorption permettraient une souplesse de et e�et réseau en permettantde mieux utiliser les ressour es.115

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Con lusion et Perspe tivesLes modèles théoriques et expérimentaux développés dans ette thèse montrent qu'onpeut améliorer la gestion de �ux du tra� aérien en in orporant des zones d'absorption.Elles permettent de diminuer les retards, tout en améliorant l'utilisation des ressour es.Eléments de Résolution du Problème des Zones d'AbsorptionPrin ipe et But La résolution du problème de l'a�e tation de zones d'absorption onsiste tout d'abord à déterminer quel est le meilleur débit théorique, qui est obtenusans zone d'absorption et sans in ertitude, puis de se rappro her le plus possible de ettevaleur, selon le taux d'in ertitude, en a�e tant au mieux les zones d'absorption. Si onatteint ette limite, alors ela implique qu'il n'y a plus d'aéronefs retardés.Pour résoudre e problème, et voir l'e�et de l'a�e tation des zones d'absorption, ona développé un modèle théorique qui prouve formellement que l'utilisation de elles- iaméliore le système de gestion en pla e. Puis, on a onstruit un simulateur qui permet deprendre en ompte les relations spatio-temporelles existantes entre les se teurs, aboutissantaux mêmes types de résultats.Le Modèle Théorique On a développé un modèle théorique dans le but d'utiliser lesgraphes évolutifs. Pour ela on a d'abord trouver un algorithme d'a�e tation des réneauxau niveau d'un seul se teur.On s'est restreint à un seul se teur a�n de simpli�er le modèle. Le fait d'avoir trouvéune allo ation qui améliore ette gestion au niveau d'un se teur, permet de pouvoir di�user et algorithme dans le graphe évolutif modélisant le tra� aérien, en ajoutant la ontraintedes relations spatio-temporelles.Le Modèle Expérimental On a élaboré un système permettant de faire ir uler desaéronefs sur une zone et pouvoir déterminer où se trouvent les aéronefs à haque instant.Ce modèle a permis de mettre en éviden e que le tra� sur un se teur était proportionnelà la longueur des routes présente sur elui- i. Ce résultat a été démontré à l'aide d'un testdu χ2.En pondérant les routes on se retrouve dans un modèle qui se rappro he du modèleréel (la plupart du tra� aérien européen passe par un minorité de routes), mais ave unemauvaise se torisation ; le tra� n'est pas distribué sur tous les se teurs.On a par la suite e�e tuée une se torisation dépendant des routes. Ainsi, on obtient unmodèle dont les se teurs ont le même risque d'être engorgés, et qui augmente le débit moyen(multiplié par deux par rapport au modèle de base). Ce modèle permet de voir l'e�et del'a�e tation de di�érentes tailles de zones d'absorption en onsidérant les relations spatio-temporelles. 117

Con lusion et Perspe tivesL'étude s'est ensuite essentiellement portée sur l'a�e tation de zones d'absorption en ontinue ( as le plus simple). Les résultats permettent de dire qu'il s'agit d'une bonnestratégie et dé rivent quelle est la meilleure zone d'absorption en ontinue à utiliser selonle taux d'aléas prévu.On voit qu'elles sont utiles dès que l'in ertitude est de 10% ar elles donnent un meilleurdébit et minimisent la distribution des retards.La mise en pla e de zones d'absorption temporelles à réduit les performan es du modèle.Cependant elle montre qu'on peut améliorer la gestion a tuelle si on met en relation lesdi�érentes zones d'absorption de haque se teur.ContributionsLe Modèle Théorique Le développement du modèle théorique à permis de prouverformellement que l'utilisation de zones d'absorption améliore la gestion a tuelle. Non seule-ment on a montré qu'elles peuvent diminuer les retards, mais aussi qu'elles améliorent ledébit dans le as où il y a des aléas, quelles que soient les valeurs de p et q.La simpli� ation du modèle a permis d'obtenir des bornes à atteindre. On a ainsi trouvéquelle est la taille minimale de zones d'absorption à appliquer en fon tion de l'in ertitudeet de la probabilité de réutilisation des ressour es.L'utilisation de la borne de Cherno� donne une robustesse au modèle, et permet d'avoirdes résultats ave grande probabilité.Cependant l'étude théorique s'est restreinte à un seul se teur. Le modèle expérimentala généralisé es résultats à plusieurs se teurs.Le Modèle Expérimental Le modèle expérimental montre qu'on peut trouver fa i-lement une a�e tation des zones d'absorption qui donne le même type de résultats quepour le modèle théorique sur un seul se teur. Pour ela il a su�t de les poser de manière ontinue.Les mauvais résultats obtenus pour une pose en dis ontinue sont à relativiser, arils montrent qu'on peut améliorer ette pose en prenant en ompte les relations spatio-temporelles. Il faut mettre les zones d'absorption en relation, a�n de réduire leur taille etaugmenter le taux d'utilisation des ressour es.Perspe tivesRe her he de Bornes moins Contraignantes La borne de Cherno� permet de donnerdes résultats ave un intervalle de on�an e donné quelle que soit la distribution desévènements. Malheureusement on a vu qu'elle est trop restri tive ar pour une erreurde 10% on en obtient à peine inq pour dix mille. On doit pouvoir trouver une borne quipermet d'utiliser moins de ressour es pour les zones d'absorption, ou trouver la distributionde probabilité des évènements onsidérés, tout en garantissant la même robustesse. Pour ela il faut obtenir une meilleure distribution de l'in ertitude.Généralisation théorique des résultats Les résultats du modèle théorique se sontrestreint à un se teur. Il faut ommen er par regarder e qui se passe pour deux se teurs etgénéraliser sur un ensemble de se teurs. Pour ela la théorie des graphes peut en simpli�erla modélisation et la résolution.118

Con lusion et Perspe tivesEn parti ulier les graphes évolutifs qui peuvent onsidérer l'évolution des propriétes dessommets dans le temps. On peut ainsi in orporer les s hémas d'ouverture et l'évolution entemps réel des se teurs.E�et réseau Certaines ontraintes réduisent le taux d'utilisation des ressour es en aug-mentant le nombre de ressour es né essaires pour les zones d'absorption. Le fait de prendreen ompte les relations spatios-temporelles peut laisser penser qu'il s'agit d'une ontrainteallant dans e sens. Ce n'est pas le as, le modèle expérimental le montre.En e�et, quand on onsidère un ensemble de se teurs, un se teur régulé à tendan eà protéger les se teurs dans lesquels passent ses aéronefs. Ainsi, il y a des ressour esnon utilisées dans et ensemble lorsque ertains se teurs sont régulés. En a�e tant deszones d'absorption à es se teurs, on permet de donner une ertaine �exibilité quant à lagestion de eux- i, on réduit l'e�et réseau (quelques se teurs bloquant tout le réseau), eton homogénéise le tra� .Mais ela peut tout de même apporter des problèmes de apa ité sur des se teurs quin'étaient pas régulés. L'étude de et e�et réseau permet de déte ter les se teurs posantproblèmes. La pose des zones d'absorption peut permettre de di�user le tra� et ainsiaméliorer la gestion des apa ités.Étude de la Fon tion de Coût entre le Temps de Réallo ation et le Nombre deRessour es Utilisées A�n de déterminer la meilleure allo ation de ressour es, on doit onnaître e oût. On peut fa ilement avoir les mêmes unités pour ses deux paramètres.Le taux d'utilisation des ressour es étant dire tement responsable des retards des aéronefslors de l'allo ation. Il su�t de omparer les deux types de retards :� eux dus à l'allo ation de réneaux,� eux dus à l'in ertitude (né essitant une réallo ation).Étude des Propriétés du Système En partant des données réelles du système, mêmes'il est di� ile de trouver es propriétés. Ave des données plausibles, on peut trouver unalgorithme d'a�e tation optimal.Implémentation sur un Simulateur Cet algorithme d'a�e tation optimal doit ensuiteêtre validé sur des simulateurs utilisant des données réelles, ayant les propriétés utiliséespour trouver notre algorithme, a�n de voir si on améliore réellement la gestion de �ux dutra� aérien.In orporation de la Solution dans le Système Global On s'est on entré sur l'étudedu tra� aérien supérieur, ave omme seule possibilité, le fait de pouvoir retarder lesaéronefs n'ayant pas dé ollé. Il faut pouvoir l'in orporer au système global qui onsidèreaussi les régulations des ontr�les d'appro hes et des aérodromes, et les reroutages.Politique sur les Zones d'Absorption Si on in orpore des zones d'absorption dansle planning d'allo ation de réneaux, il faut garantir que seuls les aéronefs soumis à del'in ertitude les prennent. Les ompagnies aériennes ne doivent pas raisonner en se disantque de toutes façon il y a des absorbeurs, et ainsi minimiser leur oût en les exploitant. Ilfaut, pour rendre e� a e les zones d'absorption, pouvoir déterminer quels sont les aéronefsréellement soumis à de l'in ertitude pour pénaliser les autres. 119

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