dopplereffekt och lite historia - teorfys.lu.se · liteomrelativitetsteorinshistoria...

Dopplereffekt och lite historia

Outline

1 Lite om relativitetsteorins historia

2 Dopplereffekt och satelliter

3 Dopplereffekt och tidsdilatation

L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari 2012 2 / 23

Lite om relativitetsteorins historia


“Vanlig” relativitet

Galileisk transformation

x ′ = ?

t ′ = ?

∆x ′ = x ′2 − x ′1 = (x2 − vt)− (x1 − vt)

= x2 − x1 = ∆x∆t ′ = t ′2 − t ′1 = t2 − t1 = ∆t

Längd- och tidsintervaller är lika i K och K ′.



∼ Mitten av 18-hundratalet

Man förstår elektromagnetismen ganska bra.

Matematisk beskrivning:

Maxwells ekvationer

∇ · E = ρ/ε0

∇ · B = 0

∇× E = −∂B∂t

∇× B = µ0J + µ0ε0∂E∂t

⇒

Vågekvationen

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)E = 0(

∇2 − 1c2

∂2

∂t2

)B = 0



∼ Mitten av 18-hundratalet

ProblemVågekvationen är inte invariant under galileisk transformation.

(∇2 −

1c2

∂2

∂t2

)ψ = 0→

(∇′2 −

1c2

∂2

∂t′2+

2c2 v · ∇′ ∂

∂t′−

1c2 (v · ∇

′)(v · ∇′)

)ψ = 0

FrågaVarför är detta ett problem?

SvarVi vill att alla fysikaliska lagar är desamma i två olika inertialsystem.

Vad gör man då? ⇒ ANVÄNDER ETERN!



Den underbara etern

Vad är eter?Ett medium för ljusets spridning.Användes redan på 16-hundratalet för att förklara många ljusfenomen.

Lösning av vågekvationens transformationMaxwells ekvationer håller bara i eterns vilosystem.

Eterns egenskaper i slutet av 18-hundratalet

Flytande (fyller hela rummet)Stelare än stål (för ljusets högafrekvenser)Utan massa och viskositet (ingeneffekt på planeternas rörelse)

Helt transparentIcke spridandeInkompressibelKontinuerlig på enväldigt liten skala



Den underbara etern

1887: Michelson-Morley-försöketJordens hastighet genom etern kunde inte mätas som större änexperimentets fel (∼ 5 km/s)

⇒ Noll hastighet?

Ingen eter?!? – Vad då?

1905: Einsteins relativitetspostulat

1 Relativitetsprincipen2 Ljuspostulatet

⇒

Längdkontraktion (L = L′/γ)Tidsdilatation (T = γT ′)Lorentztransformation av x , tVågekvationen är invariant under LT!



Eter vs. Einsteins relativitetsteori

Efter 300 år med etern: Väldigt svårt för många att ge upp den ochacceptera att etern inte existerade.

Speciellt när man ska ersätta den med sådan en konstig teori som Einsteins.

Vilken mängd paradoxer man försökte hitta på!

Men nu: Dopplereffekt.


Dopplereffekt och satelliter




I övningarna från kapitel 3 använde vi gång på gång regeln:

Ljuskälla med frekvens ν närmar sig: ν ′ = ν k(u)Ljuskälla med frekvens ν går iväg: ν ′ = ν/k(u)

Den gäller om rörelsen sker längs samma linje som vi står på:

Men t.ex. satelliter rör sig inte på detta sätt:



När satelliten är långt borta och närmar sig eller avlägsnar sig, så får vi devanliga resultaten med k(u).

Men när satelliten är nära, så går frekvensen inte helt plötsligt frånν ′ = ν k(u) till ν ′ = ν/k(u).

Almänna regeln ärν ′ =

ν

γ(1− uc cos θ′)

Hur kommer man på det?



Tänk på en satellit som kretsar omkring jorden på höjd h.Låtsas som om satellitens bana är vågrät sådan att dess läge kanbeskrivas med x ′ = ut ′, y ′ = h.Den skickar ut ljuspulser med frekvensen ν i sitt eget vilosystem S .Tänk på två ljuspulser som skickas ut successivt i

x ′1 vid tid t ′1

x ′2 vid tid t ′2

sett från jorden.



I satellitens system skickas pulserna ut med tidskillnaden τ = 1/ν.På jorden är (tidsdilatation): t ′2 − t ′1 = γτ = γ/ν.Men det tar tid

r ′1/c för den första pulsenr ′2/c för den andra pulsen

att nå till jorden.Därför är

τ ′ = (t ′2 + r ′2/c)− (t ′1 + r ′1/c) = γτ − (r ′1 − r ′2)/c



Om x ′2 − x ′1 � r ′1 så kan vi approximera

r ′1 − r ′2 ≈ (x ′2 − x ′1) cos θ′ = u(t ′2 − t ′1) cos θ′ = uγτ cos θ′

Därför får vi

τ ′ = γτ − (r ′1 − r ′2)/c ≈ γτ − uγτ cos θ′/c = γτ(1− uc cos θ′)

Alltsåν ′ = 1/τ ′ =

1/τγ(1− u

c cos θ′)=

ν

γ(1− uc cos θ′)



Vi kan nu kontrollera...

θ′ = 0 = 0◦ (närmar sig):

ν ′ = νγ−1 11− u/c

= ν

√1− u2/c2

1− u/c= ν

√(1− u/c)(1 + u/c)

1− u/c

= ν

√1 + u/c1− u/c

= ν k(u)



Vi kan nu kontrollera...

θ′ = π = 180◦ (avlägsnar sig):

ν ′ = νγ−1 11 + u/c

= ν

√1− u2/c2

1 + u/c= ν

√(1− u/c)(1 + u/c)

1 + u/c

= ν

√1− u/c1 + u/c

= ν/k(u)


Dopplereffekt och tidsdilatation




År 1907Einstein föreslår att man kan mäta våglängden av strålning som en snabbatom sprider, sett från en rät vinkel i förhållande till dess riktning.

Varför interessant?Vi hade

ν ′(θ′) = ν/γ(1− uc cos θ′)

Alltså blir våglängden (λ = c/ν ∝ 1/ν)

λ′(θ′) = λγ(1− uc cos θ′)

För θ′ = π2 = 90◦ : λ′(π/2) = λγ.

⇒ Vi kan mäta tidsdilatationsfaktorn γ !



ExempelEn accelererad proton kan uppta en elektron och den resulterandeväteatomen har en hastighet på c:a 106 m/s, alltså u/c ≈ 1/300 ochγ − 1 ≈ 5 · 10−6.För t.ex. λ = 5000 Å fås λ′ − λ = 0.025 Å.En mycket liten förändring, men den kan dock mätas.

ProblemVinkeln måste vara precis π

2 .Om den avviker med u/c radianer, c:a 0.2◦ i detta fall, så blir 1− u

c cos θ′

faktorn mycket större än γ, och γ kan inte mätas.

FrågaKan ni se ett annat sätt för att mäta γ, γ − 1 eller u2/c2 meddopplereffekten för våglängd?

λ′(θ′) = λγ(1− uc cos θ′)



År 1938Ives och Stilwell skriver en artikel om ett experiment de genomförde:De mätte strålningen som atomer utsänder framåt och bakåt, alltså förθ′ = 0 och θ′ = π.

λ′(0) = λγ(1− u/c) och λ′(π) = λγ(1 + u/c)

Så att

∆λ1 ≡ 12(λ′(π)− λ′(0)) = u

c γλ ≈uc λ 1:a ordningens effekt

∆λ2 ≡ 12(λ′(π) + λ′(0))− λ

= γλ− λ = (γ − 1)λ 2:a ordningens effekt

=(

((1− u2/c2)−1/2 − 1)λ ≈ (1 + 1

2u2/c2 − 1)λ

= 12

u2

c2λ = 12λ(∆λ1)2

⇒ ∆λ2 = 12λ(∆λ1)2



BetydelseOm vi inte hade någon relativistisk effekt, så skulle man ha

∆λ2 = 0

(eftersom då vore γ = 1; λ′ = λ(1− uc cos θ′))

⇒ Vi kan använda detta experiment för att avgöra om relativitetsteorinstämmer eller inte.

Experiment

I experimentet använde Ives och stilwell H+2 och H+

3 ioner, accelereradegenom noggrant inställd spänning.

Atomerna utsråler ljus i den karakteriska Balmer linjen.



Results

Experimentet visar hur man med lite skicklighet kan ta nuvarande metoderoch driva dem till den yttersta gränsen.



OBS!År 1938 (33 år efter Einsteins publicering av relativitetsteorin), efter attIves och Stilwell genomförde sitt experiment, trodde de fortfarande inte pårelativitetsteorin.De tyckte att deras resultat bevisade bara att rörliga klockor går långsamt,liksom en stång kontraheras om den rör sig i samma riktning som etern.

Det är svårt att ge upp sina gamla föreställningar och idéer!


dopplereffekt och lite historia - teorfys.lu.se · liteomrelativitetsteorinshistoria...

Documents