SUMATORIAS

Donia Alizandra Ruelas Acerodonializ7@gmail.comSUMATORIAS

CONTENIDOIntroduccinDefinicinPropiedades Sumatorias Notables Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Conclusiones Bibliografa

INTRODUCCIN

INTRODUCCINrase una vez un nio alemn llamado Carl F. Gauss. Cuando tena diez aos, su profesor de la escuela, enfadado porque sus alumnos se portaban mal, le puso un problema matemtico al pequeo Carl y a sus compaeros.Los nios deban sumar todos los nmeros del 1 al 100, es decir: 1+2+3+4+5++98+99+100

El profesor se sent en su silla a leer el peridico, confiaba en que tendra horas hasta que los nios sumaran todos los nmeros. Sin embargo, el pequeo Gauss no tard ni cinco minutos en ir hacia el profesor y darle el resultado: 5050.

Cmo lo haba hecho? Gauss tena que sumar lo siguiente:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ... + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando siempre los simtricos, facilitaba enormemente las cosas, es decir: 1 +100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 4 + 97 = 101 5 + 96 = 101 ...46 + 55 = 10147 + 54 = 10148 + 53 = 10149 + 52 = 10150 + 51 = 101

50 veces 101, es decir 50x101= 5050

De donde se deduce la frmula de la sumatoria de los n primeros nmeros.

Conociendo esta frmula podremos resolver el problema planteado a Gauss, que fue de sumar los 100 primero nmeros. DEFINICIN

DEFINICINLa sumatoriaes la operacin de la adicin de una secuencia de nmeros, el resultado es la suma total.NOTACINndice superiorTrmino generalndice inferiorsigma

PROPIEDADES

P1. El nmero de sumandos y de trminos de una sumatoria es igual al ndice superior menos el ndice inferior mas la unidad.Ejemplo:Hallar el nmero de trminos de la siguiente expresin:

11P2. La sumatoria de una constante es igual al producto del nmero de sumandos por la constante.Ejemplo:Hallar la sumatoria de la siguiente expresin:12P3. La sumatoria en el que el trmino general es una suma algebraica sta se puede descomponer en sumatorias independientes.Ejemplo:

Donde: k y k son constantes.13P4. Una sumatoria cuyo ndice inferior no es la unidad puede descomponerse de sta manera:Ejemplo:Hallar la sumatoria de la siguiente expresin:14SUMATORIAS NOTABLES

Los n primeros nmeros naturales

Los n primeros nmeros pares naturalesDemostracin:lqqd

SN primeros NFactorizacin

Los n primeros nmeros impares naturales.Demostracin:P3:SN #pares y P2:simplificacinlqqd

Los n primeros nmeros cuadrados perfectosLos n primeros nmeros cubos perfectos.

Los n primeros nmeros cuartos perfectos.

Los n primeras potencias.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Escriba con notacin a) 3+9+27+81+(10 trminos)

Resolucin:3+9+27+81+(10 trminos) 3+9+27+81+(10 trminos) =b) 2+6+10+14+18(10 trminos)Resolucin:2+6+10+14+18(10 trminos)2+6+10+14+18(10 trminos) =2. HallarResolucin::propiedad 3

:S.N y :propiedad 2:propiedad 23. Calcular P , si P = 3 +24 + 81 + 192 + + 8232Resolucin::factorizando

:S.N. cubos274. Hallar n: Resolucin::S.N. nmeros pares

:Ec. De 2 grado285. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..Resolucin:

:Propiedad 315 trminosS = 4 + 7 +12 + 19 + . ..15 trminos:S.N. y Propiedad 2296. Calcular E: Resolucin::Decimal a fraccin

:Factorizando

307. Se tiene: Resolucin:

Encontrar el valor de: Por Tanto:M =9A=4R=6

B: Hallandon=69Aplicando S.N 318. Un mnibus sali de su paradero inicial con 7 pasajeros, y en cada estacin suben 2 pasajeros ms de lo que subieron en la estacin anterior. Si al llegar a su paradero final se contaron con 520 pasajeros. En cuntas estaciones se detuvo el mnibus a recoger pasajeros?Resolucin:

Inicio: 1 2 3 n Final 7 9 11 13 __ 520

Total de pasajeros: 7 +9+11+13++n=520

329. Un obrero ha ahorrado este mes $ 178 y tiene con esto $ 1410 en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes $12 ms que el mes anterior. Cunto ahorro el primer mes?Resolucin:

1 2 3 n Mes Mes Mes 1 Mesactual pasado antepasado de ahorro 178 + 166 + 154 + +(190-12n) = 1410

3310. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fsiles prometindole pagar una suma por el primer fsil que encuentre y que luego se le ir duplicando dicha suma paraCada nuevo fsil encontrado. Si encuentra 12 fsiles y recibeS/. 12285 Cunto le pagaron por el octavo fsil encontrado?Resolucin:

34EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Escriba con notacin a) 11+13+15+17+(7 trminos)b) 4+9+16+25+36(10 trminos)2. HallarResolucin:3. Calcular P , si P = 7 +10 + 14 + 19 + + 78Resolucin:

384. Hallar n: Resolucin:

395. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..Resolucin:30 trminos406. Calcular G: Resolucin:

417. Se tiene: Resolucin:

Encontrar el valor de:

42 CONCLUSIONES

Las sumatorias notables, son sumatorias ya calculadas que nos permiten resolver problemas.

La definicin de sumatoria ayuda en el entendimiento base en problemas de sumatorias.Las propiedades de las sumatorias facilitan en la resolucin de problemas. BIBLIOGRAFA

Ministerio de educacin.(2007).Matemtica primer grado de educacin secundaria. Editorial Bruo. Lima-Per.

Razonamiento Matemtico.(2009). Razonamiento Matemtico. Editorial Lumbrras. Lima Per

Recursos tic para la educacin. (2010). Recursos. Recuperado 1 de Setiembre, 2011. de http://recursostic.educacion.es/

GRACIAS

Ir ms all de uno mismo y dominar el mundo